(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Транскрипт

1 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = , 7 4. = , 9 = Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino četvrta nejednakost.. C. Od 7:4 sati do 8:00 sati proteklo je ukupno 18 minuta. Stvarno vrijeme dolaska vlaka je 8 sati 5 minuta + 1 minuta = 8 sati 17 minuta. Od 8:00 sati do 8:17 sati proteklo je ukupno 17 minuta. Dakle, Ana je čekala vlak ukupno = 35 minuta. 3. D. Riješimo zadanu jednadžu na uoičajen način: x 7 x + 3 = 0, x 1, 7 ± ( 7) ± ± 5 7 ± 5. = = = = Traženo veće rješenje doivamo odairom znaka + i ono iznosi: x1 = = = B. Kvadrirajmo inom u prvoj zagradi i sredimo doiveni izraz najviše što možemo. Imamo redom: (3 x 1) 5 ( x 1) 9 x 3 x 1 1 x 5 = + + = = + + = + 18 x 1 x x 5 18 x x B. Najveći dvoznamenkasti roj djeljiv rojem 5 je roj 95. Najmanji dvoznamenkasti roj djeljiv rojem 5 je roj. Razlika tih dvaju rojeva je 95 = C. Neka su a i rojevi iz zadatka. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je a. Iz podataka da su ti rojevi pozitivni i u omjeru : 5, te iz pretpostavke a zaključujemo da postoji strogo pozitivan realan roj k takav da vrijede jednakosti a = k, = 5 k. Prema zahtjevu zadatka, umnožak a mora iti jednak 640, pa doivamo jednadžu: Riješimo ovu jednadžu na uoičajen način: ( k) (5 k) = 640. k 5 k = 640, k = 640, /: k = 64. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 1

2 Jedino strogo pozitivno rješenje ove kvadratne jednadže je k = 64 = 8. Tako zaključujemo da je traženi zroj jednak: a + = k + 5 k = 7 k = 7 8 = D. Neka je h tražena visina (iskazana u cm). Prosječna visina svih = 0 učenika jednaka je aritmetičkoj sredini zadanih 0 podataka: h h h h h = = = = Vrijednost ovoga razlomka mora iti jednaka 177 cm, pa doivamo jednadžu: Riješimo ovu jednadžu na uoičajen način: h = h = 177, / h = 1770, h = = C. Bez sniženja ismo oa proizvoda platili ukupno = 84 kn. Nakon sniženja od % cijena majice iznosi: = = = 76.5 kn. 0 Nakon sniženja od 5% cijena hlača iznosi: = = = kn. 0 4 Odatle zaključujemo da ćemo nakon oaju sniženja te proizvode platiti ukupno = 5.75 kn, odnosno za = 58.5 kn manje nego prije sniženja. Iskazana u postocima ušteda iznosi: p = 0 = % B. Od navedenih četiriju geometrijskih tijela jedino pravilna uspravna četverostrana piramida ima jednu stranu (i to osnovicu) kvadrat, a preostale četiri strane (plašt) jednakokračne trokutove.. A. Najprije izrazimo duljinu i širinu akvarija u dm. Pritom koristimo jednakost 1 dm cm =. Doivamo: 50 cm = 5 dm, 30 cm = 3 dm. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

3 Tako zaključujemo da je tražena visina jednaka: 3 18 L 6 dm 1. dm = 1 cm. h = = = 5 3 dm 5 dm 11. B. Zamislimo luku, položaj roda nakon sata plovide i položaj roda nakon sljedećih 5 sati plovide kao materijalne točke. Označimo te točke redom s A, B i C. Trokut ABC je pravokutan trokut s pravim kutom pri vrhu B. Duljine njegovih kateta su: AB BC = 1 km/h h = 4 km, = 14 km/h 5 h = 70 km. Tražena udaljenost jednaka je duljini hipotenuze AC. Primjenom Pitagorina poučka doivamo da je ta udaljenost jednaka: d = AC = AB + BC = + = + = = km. 1. D. Duljina promjera AC jednaka je zroju duljina promjera AB i promjera BC : AC = AB + BC = = 0 cm. Traženu površinu doit ćemo tako da od površine kruga čiji je promjer AC oduzmemo zroj površine kruga čiji je promjer AB i površine kruga čiji je promjer BC. Odmah imamo: AC AB BC P = π π + π = π π + π = = π 6 π + 4 π = 0 π 36 π 16 π = 48 π cm. 13. D. Iz podataka da pravac p prolazi ishodištem paralelno s pravcem x y + 3 = 0 1 zaključujemo da jednadža pravca p glasi: x y = 0, odnosno y = x. Od četiriju 1 ponuñenih točaka pravcu p pripada jedino točka (, 5) jer je 5 =. 14. A. Iz podatka da je diskriminanta funkcije f negativna zaključujemo da graf funkcije f ne siječe os apscisa (funkcija f nema nijednu realnu nultočku). Iz podatka da je koeficijent c pozitivan zaključujemo da graf funkcije f siječe os ordinata u točki koja pripada pozitivnom dijelu osi ordinata (jer graf funkcije f siječe os ordinata u točki (0, c)). Jedina krivulja koja ima oa navedena svojstva je krivulja navedena pod A. 15. A. 317 maratonaca koji su istrčali stazu duljine km istrčalo je ukupno = km polumaratonaca koji su istrčali stazu duljine km istrčalo je ukupno = km. Odatle zaključujemo da su svi mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3

4 polumaratonci istrčali = km više od svih maratonaca, odnosno da su svi maratonci istrčali km manje od svih polumaratonaca. 16. C. Neka su x i y redom roj kutija čaja mase 0 g i roj kutija čaja mase 50 g. Ukupna masa kupljenoga čaja jednaka je x 0 + y 50 g, dok je ukupna cijena kupljenoga čaja x y 5kn. Iz podataka u zadatku doivamo sljedeći sustav dviju linearnih jednadži s dvije nepoznanice: x 0 + y 50 = 500, x y 5 = 743. Pomnožimo drugu jednadžu sustava s i od doivene jednadže oduzmimo prvu jednadžu sustava. Doivamo: x 0 x = ,.6 x 0 x = ,.6 x = 86, / :.6 x = 1. Uvrstimo x = 1 u prvu jednadžu sustava, pa doijemo: y 50 = 500, y = 500, 50 y = 3000, / : 50 y = 60. Tako zaključujemo da je traženi roj jednak x + y = = Imamo redom: = = = = ,+. Svi realni rojevi veći od 47 tvore otvoreni interval 47, ) =. Imamo redom: = = = ) 560. Neka je x traženi roj. Tada mora vrijediti jednakost x =. Riješimo ovu jednadžu po nepoznanici x na uoičajen način: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4

5 0.35 x = 1.96 / x = 196, / : 0.35 x = ) x =. Primijetimo najprije da mora vrijediti relacija x { 4,0} jer za x = 4 ili x = 0 nije definirana jedna strana jednadže. Uz taj uvjet, primijenimo činjenicu da su dva razlomka s istim rojnicima meñusono jednaka ako i samo ako su njihovi nazivnici meñusono jednaki. Tako odmah doivamo jednadžu x 4 = 3 x koja je ekvivalentna jednadži ( ) x = 4. Ova jednadža ima točno jedno rješenje x =..) x < 7 ili x,7 zajednički višekratnik rojeva i 3). Imamo redom:. Pomnožimo zadanu nejednadžu sa 6 (jer je 6 najmanji 3 ( x + 3) + ( x + ) > 6 ( x + 1), 3 x x + 4 > 6 x + 6, 3 x + x 6 x > 6 9 4, x > 7, / : ( 1) x < 7. Dakle, skup svih rješenja zadane nejednadže je otvoreni interval, ) 86. Iz zadanih podataka zaključujemo da je dvostruka vrijednost traženoga roja jednaka 17. Dakle, traženi roj jednak je 17 : = 86..) 1. Ukupan roj jauka jednak je 5 48 = 30. To znači da u košari ima = 18 8 krušaka i limuna. Ukupan roj krušaka u košari jednak je 1 18 = 6, pa je ukupan roj 3 limuna u košari jednak 18 6 = ) c. a 3 Imamo redom: c a 3 =, / a 3. c =. a 3.). Primjenom formule za razliku kvadrata doivamo: a + (3 a ) ( 9 a ) = ( 9 a ) = 3 a 3 a + (3 a ) (3 a + ) 3 a + 3 a + = ( 9 a ) = ( 9 a ) =. (3 a) 9 a mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5

6 3. 1.) 3; 1. Iz prve jednadže zadanoga sustava je x = 9 3 y. Pomnožimo li tu jednakost s, doit ćemo: 4 x = 18 6 y. Uvrstimo tu jednakost u drugu jednadžu sustava, pa doijemo: 18 6 y 8 = 5 y 1, 6 y 5 y = , ( 11) y = 11, / : ( 11) y = 1. Uvrštavanjem ove vrijednosti u izraz x = 9 3 y doivamo: x = 9 3 1, x = 9 3, x = 6, / : x = 3. Dakle, rješenje zadanoga sustava je ( x, y ) = (3,1)..) 1. Prikažimo oje strane zadane jednadže kao potencije s azom i izjednačimo 4 eksponente doivenih potencija. Imamo: x x = 3 x x = 3 =,, x+ x 3, x + x 3 =, 4 x 3 =, 4 x = + 3, 4 x = 1, / : 4 x = ) 4. Mjera preostaloga kuta trokuta BCD jednaka je 180 ( ) = = 60. Dakle, mjere svih triju kutova toga trokuta su jednake, pa je taj trokut jednakostraničan. Zog toga je CD = BD = BC = 1 cm. Nadalje, trokut ABD je pravokutan. Duljina njegove hipotenuze AB jednaka je 13 cm, a duljina njegove katete BD iznosi 1 cm. Primjenom Pitagorina poučka izračunamo duljinu katete AD : AD = AB BD = = = = cm. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6

7 Tako slijedi da je traženi opseg jednak: O = AB + BC + CD + DA = = 4 cm..) 8. Mjera kuta suplementarnoga kutu čija je mjera 150 jednaka je = 30 Mjera trećega kuta trokuta kojemu mjere dvaju kutova iznose 4 i 30 jednaka je 180 ( ) = = 8. Taj kut trokuta i kut α su vršni kutovi, pa oni imaju jednake mjere. Tako zaključujemo da mjera kuta α iznosi ) Vidjeti Sliku 1. Primijetimo najprije da duljina dužine AB iznosi 3 cm. Zog toga duljina visine povučene iz vrha C trokuta ABC na stranicu AB iznosi: v c P 6 = = = 4 cm. AB 3 Dakle, tražimo sve točke ravnine koje su od dužine AB udaljene za 4 cm. To zapravo znači da tražimo sve točke ravnine koje su od pravca AB udaljene za 4 cm. One tvore dva pravca usporedna s pravcem AB. Prvi od tih pravaca se nalazi 4 cm iznad pravca AB, a drugi 4 cm ispod pravca AB. Ucrtamo te pravce i doivamo sliku 1. Slika 1. Tražena točka je ilo koja točka na nekom od ucrtanih dvaju pravaca..). Graf siječe os apscisa u točki (, 0). Zog toga je tražena nultočka x =., 6. 1.) Vidjeti Sliku. Iz podatka f (0) = 3 zaključujemo da traženi graf prolazi točkom (0, 3). Iz druge rečenice zadatka proizlazi da je f (0 + 4) = f (0) 1, odnosno f (4) = 3 1, odnosno f (4) =. Dakle, graf prolazi i točkom (4, ). Zog toga u zadani pravokutni koordinatni sustav u ravnini ucrtamo točke (0, 3) i (4, ), pa ih spojimo pravcem. Doiveni pravac je traženi graf (vidjeti sliku.). mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7

8 Slika..) x 1. Pretpostavimo da je f ( x) = a x + za neke a, R. Iz slike je vidljivo da graf funkcije f prolazi točkom (0, 1). Odatle zaključujemo da je = 1. Nadalje, primijetimo da ako se vrijednost varijale x poveća od 0 do 1, onda se vrijednost varijale 1 ( 1) 1+ 1 y poveća s 1 na 1. To znači da je a = = =. Dakle, f ( x) = x ) 16. siječnja. Iz slike je vidljivo da je tjelesna temperatura pacijenta točno četiri puta mjerena u :00 sati. Prvo mjerenje je oavljeno prilikom prijema pacijenta u olnicu, tj. 13. siječnja. Drugo mjerenje je oavljeno dan kasnije, tj. 14. siječnja. Treće mjerenje je oavljeno dva dana kasnije, tj. 15 siječnja. Posljednje, četvrto mjerenje oavljeno je tri dana kasnije, tj. 16. siječnja, pa je toga dana pacijent otpušten iz olnice..) 45. Povucimo pravac čija je jednadža T = 37. (on prolazi usporedno s osi apscisa kroz točku (0, 37.)). Vidimo da se točno devet istaknutih točaka na grafikonu nalazi iznad toga pravca, pa je traženi oujam jednak 9 5 = 45 ml. 3.) 37.. Vrijednosti tjelesne temperature (iskazane u C ) izmjerene 14. siječnja iznose redom 37.5, 36.8, 37.4, 37.4 i 38. Traženi prosjek jednak je aritmetičkoj sredini navedenih vrijednosti. Ona iznosi: T 37.4 = = = C ) Tražena zarada (izražena u kn) jednaka je vrijednosti Z (7). Ta vrijednost iznosi: Z (7) = = = = ) 15. U rješavanju ovoga zadatka primijenit ćemo sljedeću tvrdnju. Tvrdnja 1. Neka je f ( x) = a x + x + c, gdje su a,, c R takvi da je a 0. Neka su x0, x1 R takvi da vrijede nejednakost x0 x1 i jednakost f ( x0 ) = f ( x1 ). Tada nužno vrijedi x0 + x1 =. a mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8

9 Dokaz: Iz pretpostavke f ( x0 ) = f ( x1 ) slijedi a x + x + c = a x + x + c, odnosno a x x + ( x x ) = 0, odnosno a ( x0 x1) ( x0 + x1 ) + ( x0 x1 ) = 0. Prema pretpostavci je x0 x1, što povlači x0 x1 0. Zog toga dijeljenjem jednakosti a ( x0 x1 ) ( x0 + x1) + ( x0 x1 ) = 0 s x0 x1 doivamo a ( x0 + x1 ) + = 0, a odavde je izravno x0 + x1 =, što je i trealo pokazati. a Posljedica 1. Paraola x =. a y = a x + x + c je osno simetrična s ozirom na pravac Dokaz: Neka točka T0 = ( x0, y0) ilo koja točka zadane paraole. Prema Tvrdnji 1., tada je i T1 = x0, y0 a točka te paraole. Jednadža pravca T0T 1 je očito p... y = y0, dok x0 + x0 y0 y0 je polovište dužine T0T 1 točka P a + =, =, y0. Os simetrije je a pravac kroz točku P okomit na pravac p. Njegova je jednadža očito x =, što smo i a htjeli pokazati. Vratimo se na rješavanje zadatka. Graf funkcije Z je paraola. Odredimo njezino tjeme: ( 8) ( 6480) T,, 40, = = = = ( 8) 4 ( 8) = (40,630). Ako je x 0 traženi roj, onda primjenom Tvrdnje 1. zaključujemo da mora vrijediti 640 jednakost x =, odnosno jednakost x = 80. Odatle je x 0 = 15. Dakle, 8 traženi je roj jednak ) 630. Traženi iznos (iskazan u kn) jednak je drugoj koordinati tjemena paraole koja je graf funkcije Z. U podzadatku.) smo izračunali da je to tjeme točka T = (40,630). Zog toga tražena zarada iznosi 630 kn. Pripremio: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9