Zdtk U jednodimenzionlnoj kutiji, širine, nlzi se 000 neutron. U t 0, stnje svke čestice je ψx, 0 Axx. Normirjte vlnu funkciju ψ i ndite [ vrijednost konstnte A. b Koliko čestic se nlzi u intervlu 0, ] u t 0? c Koliko čestic im energiju E 5 u t 0? d Koliko iznosi E u t 0? Vlnu funkciju ψx, 0 ćemo normlizirti pomoću uvjet normlizcije 0 ψx, 0 dx. Integrl n lijevoj strni uvjet normlizcije, ustvri, predstvlj vjerojtnost nlženj čestice opisne vlnom funkcijom ψ unutr intervl [0, ] duž x-osi grnice intervl se upisuju ko grnice integrirnj. Jer se nši neutroni nlze u kutiji širine, intervl im istu tu širinu. N desnoj strni se nlzi jedinic, jer vjerojtnost d ćemo nći neutron bilo gdje unutr kutije je 00%-tn, odnosno, iznosi. Pošto je nš vln funkcij reln, psolutn vrijednost pod integrlom nm ne mijenj ništ, te u njeg uvrštvmo kvdrt vlne funkcije 0 A x x dx. A se zove konstnt normlizcije. Odredivnjem njezine vrijednosti, te uvrštvnjem iste u vlnu funkciju, vln funkcij će biti normlizirn. Pošto je konstnt, A izbcujemo ispred integrl, dok podintegrlnu funkciju integrirmo n uobičjen nčin: A x x dx A x 4 x 3 + x x dx A 5 0 Prem uvjetu normlizcije immo 0 5 x4 + x 3 3 A 5 0 5 5 + 5 3 5 30 iz čeg z konstntu normlizcije A slijedi A 5 30, 30 A 5. Znči, normlizirn vln funkcij z nše neutrone izgled ovko: 30 ψx, 0 xx. 5 Z vrijednost prmetr 0 0, nš vln funkcij bi izgledl ko n slici. širine. Nime, postoji više nčin normlizirnj vlne funkcije; mi ćemo koristiti smo ovj, tj. tzv. normlizciju n kutiju odredene
Ψ x,0 x os Slik. [ b D bismo izrčunli broj neutron unutr intervl 0, ], prvo trebmo izrčunti vjerojtnost nlženj jednog neutron unutr tog intervl. Koristeći se znnjem o toj vjerojtnosti iz dijel zdtk, immo d on iznosi P 0 ψx, 0 dx. U ovj integrl uvrštvmo sd već normlizirnu vlnu funkciju nših neutron, te koristimo rješenje integrl kojeg smo već izrčunli, tj. P 0 30 5 x x dx 30 x 5 5 5 x4 + x 3 30 5 3 0 5 60 5 3 + 5 8 4 6 0.5. 5 3 5+0 480 5 8 480 Rezultt ove vjerojtnosti smo mogli i očekivti promtrjući sliku vlne funkcije slik.. Nime, s slike se vidi d je nš vln funkcij potpuno simetričn obzirom n x. Iz tog bi se mogo izvesti dni zključk o vjerojtnosti. Ψ x,0 Slik. x os
No, to se može još bolje zključiti kd se pomoću vlne funkcije ncrt gustoć vjerojtnosti to je on podintegrln funkcij iz uvjet normlizcije : ψx, 0 slik.. Iz njezinog grf se, tkoder, može uočiti simetrij obzirom n sredinu jednodimenzionlne kutije, zključk postje još očitiji, jer gustoć vjerojtnosti govori o rspodjeli nših neutron unutr kutije širine. Ako su oni potpuno jednko simetrično rsporedeni u obje polovice kutije, logično je d će vjerojtnost nlženj neutron unutr jedne od polovic biti jednk onoj drugoj. Pošto njihov zbroj mor dti jedinicu, jedino moguće rješenje je 0.5. c D bismo nšli koliko neutron im odredenu energiju E 5, prvo trebmo svojstvene funkcije Hmiltonijn, koji opisuje situciju u kojoj se nlze nši neutroni to je unutr kutije širine. Te svojstvene funkcije izgledju ovko 3 φ n nπx sin. Kd se vln funkcij nših neutron rzvije u red po svojstvenim funkcijm φ n 4 ψx, 0 b n φ n, td koficijenti rzvoj b n govore kolik je vjerojtnost d će se mjerenjem energije E dobiti vrijednost E n, kd se sistem nlzi u stnju ψ. Odnosno, n P E n b n. Nm je specifično n 5, p tržimo vrijednost koefijent b 5. On se nlzi n 5. mjestu u rzvoju. Iz tog mjest g njlkše možemo izdvojiti koristeći svojstvo ortonormirnosti svojstvenih funkcij Hmiltonijn: φ k φ l δ k l. U nšem slučju nm njviše koriste činjenice koje direktno slijede iz svojstv ortonormirnosti φ 5 φ 5 i φ 5 φ l 0, l 5, jer td množeći slijev rzvoj funkcije ψ s φ 5, iz njeg izdvjmo smo onj čln u sumi koji je rzličit od nule, to je 5. čln. Njeg sd čini smo koeficijent b 5, što znči d immo 0 b 5 φ 5 ψ, odnosno, zpisno u obliku integrl i uvrštvjući funkcije φ 5 i ψ 5πx 30 b 5 sin xx dx. 5 Preostje nm, znči, smo riješiti integrl 60 b 5 6 0 xx sin 5πx dx. Njeg ćemo riješiti rzdvjnjem n dv integrl, koji se ob rješvju prcijlnom integrcijom 5. Prvi je Integrl gustoće vjerojtnosti dje smu vjerojtnost. To vrijedi i općenito, ne smo z vjerojtnost. Sjetite se gustoće i mse ili gustoće nboj i količine nboj. 3 One se dobiju rješvnjem stcionrne Schrödingerove jedndžbe z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji s beskončno visokim potencijlnim zidovim, npr. vidi zdtk... 4 U Dircovoj notciji to izgled ovko: ψx, 0 n b n φ n. 5 Integrli ovkvog tip se često susreću u zdcim iz kvntne mehnike. Stog ćemo ovdje izložiti postupk rješvnj tih integrl, dok ćemo se u nrednim zdcim smo pozivti n nvedeni postupk. 3
x sin 5πx dx u x du xdx dv sin 5πx dx v 5π cos 5πx 5π x cos 5πx + 5π x cos 5πx dx. Zsebno ćemo sd riješiti integrl tip x cos 5πx dx u x du dx dv cos 5πx dx v 5π Sd immo Drugi je integrl tip x 5πx sin 5π + 5πx cos 5π. sin 5πx x 5πx sin 5π sin 5πx 5π dx x sin 5πx dx 5π x cos 5πx + x 5πx sin 5π 5π + 5πx cos 5π 5π x cos 5πx 5πx x sin 5π 5π + 5πx x sin 5π + 3 5πx cos 5π3 x 5π cos 5πx x sin 5πx dx, 5π cos 5πx no tkvog smo već riješili u prethodnom postupku smo što je podintegrln funkcij sdržvl kosinus, ne sinus, p z rezultt immo x sin 5πx 5πx dx x cos 5π + 5πx sin 5π. Uvrštvjući izrčunte integrle u b 5 immo [ 60 5πx b 5 6 x sin 5π 5π x cos 5πx + 3 5πx cos 5π3 + 5πx x cos 5π 3 5πx sin 5π [ 5 3 5π x 3 5π sin 5πx 3 + 5π 3 + 5π x 5π x cos 5πx ] 0 [ ] 5 3 3 5π 3 5π 3 5π 3 3 5π 3 5 4 3 3 5π 3 8 5 5π 3. Z P E 5 stog slijedi 64 5 P E 5 565 π 6 6.4 0 5. Sd kd immo vjerojtnost mjerenj tržene energije, broj neutron s tom energijom dobijemo tko d vjerojtnost pomnožimo s sveukupnim brojem neutron, tj. ] 0 4
n P E 5 N 0.064. Što bi znčio ovkv rezultt? Lički, d niti jedn cijeli neutron ne bi imo energiju E 5. Sttistički gledno, to znči d bi trebli imti 00 put više neutron dkle, 00000 njih d bi brem 6 njih imlo tu energiju. d Očekivnje energije je konstntno u vremenu 6. Zto vrijedi E t0 E t>0. Očekivnje energije se rčun ko prosječn vrijednost opertor energije, tj. Hmiltonijn Ĥ7 : E t0 ψ x, 0Ĥψx, 0 dx ψ x, 0 ħ m x ψx, 0 dx 0 ħ m 0 Axx d Ax A } dx {{} 0 A 30ħ x 3 m 5 3 x 30ħ 0 m 5 5ħ m, dx ħ A m 3 3 3 3 3 3 6 3 6 0 xx dx što je red veličine oko 00 ev, z širinu kutije od 5 0 0 m. Ndlje, dobili smo reln broj z očekivnje, što dodtno potvrduje dobiveni rezultt, jer je u kvntnoj mehnici nmetnuto prvilo d svojstvene vrijednosti očekivnj opertor, koji predstvlj neku fiziklnu observblu, morju biti relni brojevi. Ti opertori se zovu Hermitski opertori 8. Zdtk Elektron se gib u x smjeru s de Broglievom vlnom duljinom 0 8 cm. Kolik je energij elektron u ev-im? b Kko izgled vremenski nezvisn vln funkcij elektron? c Ndite gustoću vjerojtnosti i vjerojtnost d se elektron nlzi u nekom položju x? Energij se lko izrčun preko impuls dok z sm impuls immo E p m, 6 T činjenic slijedi iz zkon očuvnj energije, koji u kvntnoj mehnici vrijedi z prosječne vrijednosti veličin, tj. opertor, odnosno, observbli. 7 Z grnice integrl i u očekivnju stoje uvjeti fiziklne situcije u kojoj se nlze nši neutroni. 8 Ko što su npr. opertor energije, tj. Hmiltonijn Ĥ ili opertor impuls ˆp. Dokz d su oni Hermitski možete nći u Richrd L. Liboff, Introductory Quntum Mechnics, str. 06-07. 5
Iz tog slijedi p h λ πħ λ. E ħ π λ m 7.6 0 9 J 4.75 ev. b Vln funkcij elektron će biti 9 φ k Ae ikx, k π λ, λ konst. Nši elektroni se nlze u stnju s točno odredenim vlnim brojem k, odnosno, impulsom p ħk 0. c Već smo u prethodnom zdtku vidjeli kko se dobije gustoć vjerojtnosti iz vlne funkcije. Prem tome, immo φ k φ kφ k A e } ikx {{ e ikx } A konst. To znči d je gustoć vjerojtnosti jednk z svki x. A to znči d je vjerojtnost nlženj elektron jednk u svkoj točki izmedu x i x. To znči mksimlnu neodredenost, što je u skldu s Heisenbergovim principom neodredenosti. U stnju φ k, poznto nm je s 00% sigurnošću d će mjerenje impuls dti rezultt ħk. Stog je, z to stnje, p 0, x. Zdtk 3 Koliko je očekivnje impuls ˆp z česticu u stnju: ψx, t Ae x e iωt sinkx? U prethodnom smo zdtku već vidjeli kko se rčun očekivnje neke observble smo što smo tmo imli opertor energije Ĥ. Prem tome, immo ˆp ψ ˆpψ dx, gdje je u kvntnoj mehnici ˆp iħ. Izrčunjmo prvo prcijlnu derivciju od ψ: x [ x ψ Ae iωt x ] x e sin kx + ke x cos kx Ae iωt e x k cos kx x sin kx. Z kompleksno konjugirnu vrijednost od ψ immo 9 Ov vln funkcij se dobije ko rješenje problem svojstvenih vrijednosti opertor energije i impuls z slobodnu česticu, ko što je nš. 0 Jer nm je zdn točno odreden vln duljin, k, odnosno, ˆp, su direktno povezni s njom. Pošto je vln funkcij, funkcij od x, td je i gustoć vjerojtnosti, jer se rčun direktno iz vlne funkcije, tkoder, funkcij od x. U zdtku nm nigdje nije zdn ili n neki nčin opisn situcij u kojoj se nlzi nš čestic. Zbog tog ko grnice integrl u očekivnju stoje beskončnosti. 6
Uvrstimo sd to sve u očekivnje: ˆp iħ iħa ψ Ae x e iωt sin kx. Ae x e iωt sin kx Ae iωt e x e x Ovdje nm se sd jvljju dv integrl tip sin kx sin kx cos kx e x dx i k cos kx x sin kx k cos kx x dx. sin kx x sin kx e x dx. Oni su ob jednk nuli, jer su to integrli od ntisimetrčnih neprnih funkcij po simetričnom intervlu od do s obzirom n 0. U prvom integrlu su eksponencijln jer sdrži kvdrt od x i kosinus simetrične prne funkcije, dok je sinus ntisimetričn. U drugom integrlu su eksponencijln i kvdrt sinus simetrične, dok je x ntisimetričn. Umnožk simetrične i ntisimetrične funkcije je opet ntisimetrčn funkcij. Uzevši to u obzir, immo dx ˆp 0. Zdtk 4 Nek su svojstvene funkcije i vrijednosti opertor Â: {φ n} i { n }, tdj. Âφ n n φ n. Nek je funkcij fx dn s: fx b l x l. Pokžite d su svojstvene funkcije od fâ s svojstvenim vrijednostim f n, tj. l0 fâφ n f n φ n. Prem pretpostvci zdtk, z fâ immo nlogn izrz: fâ l b l  l. Zto kd fâ djeluje n φ n dobivmo fâφ n l l b l  l φ n l b l  l Âφ n n φ n b l nâl φ n l l b l l nφ n, b l n  l Âφ n n φ n prem pretpostvci zdtk je 7
Zto končno vrijedi b l l n f n. l fâφ n f n φ n. Zdtk 5 Promotrite opertor Ô φ ψ i proizvoljnu funkciju stnj fx. Opišite sljedeće izrze, ko su konstnte. f φ dx i ψ f dx f Ô b Ô f c f Ô f d f Ô ψ. f Ô f φ ψ C ψ br konst. b Ô f φ ψ f φ C ket konst. c f Ô f f φ ψ f C C konstnt konst. konst. d f Ô ψ f φ ψ ψ C konstnt konst. Zdtk 6 Promotrite funkcije definirne n intervlu [, ]. φ k e ikx Pokžite d su ove funkcije normlizirne n jedinicu i d zdržvju ovu normlizciju u limesu. b Pokžite d ove funkcije čine ortogonln skup u limesu. 8
Koristimo opet uvjet normlizcije unutr zdnog intervl. Dkle, φ k dx e ikx e ikx dx U zdnom limesu nše grnice teže u beskončnost, p immo φ k dx e ikx e ikx dx lim b Izmedu element ortogonlnog skup, φ k i φ k mor vrijediti 3 dx +. dx lim + lim. P provjerimo to i z nše funkcije 4 : φ k φ k 0. φ k φ k Time je trženo svojstvo dokzno. Zdtk 7 Promotrite funkciju e ikx e ik x dx gx xx e ikx. e ik kx dx } {{ } πδk k π δk k 0. 0, k k Izrčunjte koeficijente rzvoj, n, ove funkcije, gdje se rzvoj vrši po stcionrnim funkcijm čestice u potencijlnoj jmi, tj. po φ n nπx sin. Funkciju gx ćemo rzviti u red po φ n x. Tj rzvoj neće biti ništ drugo, nego diskretn Fourierov reprezentcij preko trigonometrijskog red φ n x. Zpišimo tj rzvoj preko sume: ili u Dircovoj notciji gx n φ n x n 3 To je smo jedn dio svojstv ortonormirnosti iz zdtk.c 4 Jednkost e ik kx dx πδk k slijedi ko jedn od osnovnih svojstv reprezentcij Dircove delt funkcije. Ko referencu vidi npr. Richrd L. Liboff, Introductory Quntum Mechnics, str. 857. 9
g n n φ n 5 n n φ n. Množeći rzvoj slijev s φ n dobivmo koeficijente rzvoj φ n g φ n n n φ n 6 n φ n n φ n n n φ n φ n 7 n n δ n,n n. Znči, nši koeficijenti rzvoj su dni s integrlom φ n g. Uvrštvjući zdne funkcije g i φ u tj integrl immo 8 n sin n πx xx e ikx dx x e ikx sin n πx dx { xe ikx sin n πx dx 9 [ k n π k sink n π cosn π + k n π sinn π + cosk n π k n π cosn π + k + n π sinn π ] + [ k n π 3 i 3 sink n π 4 k 4 n π + n 4 π 4 k 3 + n π cosn π + 4 k 4 n 4 π 4 sinn π + k cosk 4n π k n π cosn π + k 4 k 4 + 3 + k n π n 4 π 4 sinn π ]} Zdtk 8 Pokžite d je  b ˆB  + b ˆB. b Pokžite d je  ˆB ˆB Â. c Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od, R? d Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od ˆD, ˆD x? e Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od  ˆB ˆBÂ? f Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od  ˆB + ˆBÂ? g Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od i  ˆB ˆBÂ? h Čemu je jednko Â? i Čemu je jednko  Â? Prvo pogledjmo kko se definir Hermitski djungirn vrijednost npr. nekog opertor: Ako z opertor  vrijedi 5 Jer ćemo pretpostviti d su koeficijenti rzvoj, n, konstnte. 6 Jer integrl i sum komutirju. 7 Prem svojstvu ortonormirnosti svojstvenih funkcij Hmiltonijn z česticu u potencijlnoj jmi. 8 U zdtkuse opet ne govori ništ o fiziklnoj situciji, p su z grnice integrl uzete dimenzije končne potencijne jme širine. 9 Vrijednosti ovih dvju integrl su izrčunte pomoću progrmskog pket Mthemtic. 0
 ψ l ψ n ψ l Âψ n, ond se  zove Hermitski djungirn vrijednost opertor Â. Ndlje, pretpostvimo d su Â, ˆB, i b Hermitski djungirne vrijednosti od Â, ˆB, i b 9, tj. d z njih vrijedi prethodn relcij 0. Dkle, ψ l  + b ˆB ψ n ψ l Âψ n + b ˆBψ n ψ l Âψ n + ψ l b ˆBψ n ψ l Âψ n + b ψ l ˆBψ n  ψ l ψ n + b ˆB ψ l ψ n  ψ l ψ n + b ˆB ψ l ψ n  + b ˆB ψ l ψ n Time je dokzno d je  b ˆB  + b ˆB. b Opet krenimo iz definicije ψ l  ˆBψ n ψ l  ˆBψn  ψ l ˆBψ n ˆB  ψ l ψn ˆB  ψ l ψ n. Time je dokzno  ˆB ˆB Â. c Ako je R. Pošto je z brojeve općenito, td vrijedi. d Prvo ćemo pokzti čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od ˆD, ond ćemo tj rezultt iskoristiti z ˆD. Dkle, ψ l ˆDψ n ψ l ψ n x dx u ψl du ψ l x dx dv ψn x dx v ψ n ψl ψ n 0 ˆDψ l ψ n. ψ l x ψ n dx Čln u v u supstituciji prcijlnog integrirnj je jednk nuli, jer su ψ l i ψ n elementi od h. Stog je ˆD ˆD. 9 Ovu pretpostvku ćemo zdržti kroz cijeli zdtk. 0 i b su općenito kompleksni brojevi. Hermitski djungirn vrijednost kompleksnog broj je njegov kompleksno konjugirn vrijednost, odnosno,, C. h je primjer Hilbertovog prostor, odreden s skupom kvdrtno-integrbilnih funkcij, definirnih n cijelom x intervlu od do uočite grnice integrl, s končnom normom, tj. z koje vrijedi
Tj rezultt iskoristimo sd z ˆD : ψ l ˆD ψ n ψ l ˆD ˆDψn ˆDψ l ˆDψ n ˆDψ l ˆDψ n ˆD ˆDψl ψn ˆD ψ l ψ n. Iz tog slijedi ˆD ˆD. e Krenimo od definicije ψ l  ˆB ˆB ψ n ψ l  ˆBψ n ˆBÂψ n ψ l  ˆBψn ψl ˆB Âψ n  ψ l ˆBψ n ˆB ψ l Âψ n ˆB  ψ l ψn  ˆB ψ l ψn ˆB   ˆB ψ l ψ n Iz tog slijedi  ˆB ˆB ˆB   ˆB. f Dokz nećemo provoditi, jer je potpuno nlogn onome iz e dijel zdtk. N krju se dobije  ˆB + ˆB ˆB  +  ˆB. g Ovj dokz je nlogn onim iz i e dijelov zdtk. S dijelom zdtk im sličnost zbog imginrne jedinice, n mjestu koje je u dijelu zdtk stjo neki kompleksn broj, dok je s e dijelom zdtk sličnost u pojvljivnju istog izrz  ˆB ˆBÂ. Pošto je i i, z rezultt slijedi i  ˆB ˆB i ˆB   ˆB. Kd bi derivirli ovu nejednkost, dobili bismo Iz tog slijedi d u h vrijedi 0 < ψ ψ ψ dx <. 0 < ψ ψ < 0. ψ l ψn 0. Zšto su uopće nše funkcije iz Hilbertovog prostor? Hilbertov prostor je prostor funkcij. On im svrhu d pruži odredenu geometrijsku kvlitetu nekim pstrktnim konceptim kvntne mehnike. Nime, on jko sliči n npr. 3-dimenzionlni vektorski prostor, tj. im gotovo ist svojstv ko što su linernost, unutrnji produkt, norm i potpunost. Pošto su njegovi elementi funkcije, zbog te sličnosti omogućv nm odredenu zornost.
h Prvo pretpostvimo d  i  imju svoje Hermitski djungirne vrijednosti, tj. d vrijede relcije  ψ l ψ n ψ l Âψ n, Td immo  ψl ψ n ψ l  ψ n.  ψl ψ n ψ l  ψ n  ψ n ψ l 3 ψ n Âψ l Âψ l ψ n. Usporedivjući prvi i posljednji čln u izrzu, dobivmo d je  Â. i Služeći se dokzim b i h dijelov zdtk, immo      Â.  Zdtk 9 Ako su  i ˆB Hermitski opertori, koji su od sljedećih opertor, tkoder, Hermitski: i  ˆB ˆB b  ˆB  ˆB ˆB + ˆB c d Ako  nije Hermitski, d li je   Hermitski? Prvo spomenimo definiciju: Hermitski opertor je opertor kojemu je Hermitski djungirn vrijednost jednk njemu smome, tj. vrijedi  Â. U ovom slučju iz g dijel zdtk 8. vidimo d i  ˆB ˆB  i ˆB ˆBÂ. Stog, i  ˆB ˆB nije Hermitski. b Prem rješenju e dijel zdtk 8. slijedi d  ˆB ˆB općenito nije Hermitski. 4  ˆB + ˆB c Prem f dijelu zdtk 8., je Hermitski. / ne mijenj ništ, jer je reln broj 5, p se Jer je  Hermitski konjugirn vrijednost od Â. 3 Jer je  Hermitski konjugirn vrijednost od Â. 4 Osim u slučju kd opertori  i ˆB komutirju, jer td je  ˆB ˆBÂ, iz tog slijedi ˆB  ˆB  ˆB ˆBÂ. 5 A svki reln broj je Hermitski opertor: 3
on 6 smo prebci iz ket vektor u br vektor. d Prem i dijelu zdtk 8., vidimo d je Hermitski djungirn vrijednost opertor   jednk njemu smome. T jednkost, očito vrijedi bez obzir d li je  Hermitski ili ne. Dkle,   je Hermitski. Zdtk 0 Koristeći izrze z svojstvene funkcije opertor ˆp, φ k π e ikx, te rzvoj funkcije stnj sistem u trenutku t 0 po njim, pokžite d vrijedi implikcij: ψx, 0 bkφ k dk, ψ ψ bk dk π. U lijevu strnu uvjet normlizcije uvrstimo rzvoj funkcij ψ po φ k 7, sme izrze z φ k, te n krju izjednčimo s : ψ ψ b kφ k bkφ k dk Iz posljednje jednkosti, množenjem s π, slijedi tržen relcij: bk e ikx e ikx dk bk dk. π π π bk dk π. Zdtk Puls dužine m sdrži 000 α čestic. U t 0, svk se α čestic nlzi u stnju: ψx, 0 { 0 eik 0x, x 0.5 m, k 0 π 50 0, inče. U t 0, koliko će α čestic imti impuls u intervlu 0 < ħk < ħk 0? ψ l ψ n ψ l ψ n, R. 6 Vidi dio zdtk 8. što se tiče situcije s brojevim unutr br i ket. 7 Ovj rzvoj nije zpisn preko sume, već preko integrl, jer stnj φ k čine kontinuum ne ko npr. svojstven stnj opertor energije, koj čine diskretni spektr. U rzvoju, koeficijenti bk oznčvju projekcije stnj ψx, 0 n svojstven stnj φ k. Njihov kvdrt put diferencijl po k: bk dk, dje vjerojtnost d će mjerenje impuls dti vrijednost p ħk, u intervlu [ħk, ħk + dk]. 4
b Koje vrijednosti impuls neće imti niti jedn α čestic u t 0? D bismo dobili broj α čestic s impulsom unutr zdnog intervl, trebmo prvo nći vjerojtnost nlženj jedne čestice unutr tog intervl. U prethodnom zdtku smo vidjeli d je t vjerojtnost dn s koeficijentim rzvoj stnj čestic ψx, 0 po svojstvenim stnjim opertor impuls φ k : ψx, 0 bkφ k dk. Iz ovog rzvoj treb izrziti koeficijente rzvoj bk. Z to, prvo prepišimo rzvoj u obliku ψx, 0 Množeći ovu relciju slijev s φ k, dobivmo koeficijente: φ k ψx, 0 φ k bkφ k dk bkφ k dk. bk φ k φ k dk bkδk k dk bk. Izrčunjmo sd nše koeficijente slik uvrštvjući funkcije ψ i φ eksplicitno u integrl: bk φ kxψx, 0 dx ψx, 0e ikx dx 8 π 0 π 0.5 0 e ik k0x dx 9 π 0.5 0 π ik k 0 [e 0 i k k0 e i k k0x] π ik k 0 }{{ } 5 πk k 0 sin Sd možemo izrčunti vjerojtnost: P ħk0 0 bk dk ħk0 5 π 0 k k0 i sin k k0. k k 0 t; k 0 t k 0 π 00 dk dt; 00π 0.000. π 00 π 00 sin k k 0 dk k k0 50π k ħk 0 t k 0ħ π 00 sin t t dt 3 ħk0 0 ħ π 00 Broj α čestic, koje će imti impuls unutr zdnog intervl je 0.5 0.5 e ik k 0x e ik0x e ikx dx sin k k 0 4 k k 0 dk 00π ħk0 0 sin k k 0 dk k k0 9 Grnice integrirnj su se promjenile, jer je funkcij ψ rzličit od 0 smo n dnom segmentu [ 0.5, 0.5]. 30 Integrl se vrlo lko izrčun jednostvnom supstitucijom ik k 0 x t. 3 Ovj integrl je rijšen pomoću progrmskog pket Mthemtic, i to tko d je rzvijen u red oko 0 do n čln red potencije 0 7. 5
0.04 b k 0.03 0.0 0.0 8Π 6Π 4Π Π Π 4Π 6Π 8Π k Slik. Koeficijenti rzvoj bk. n P N 0.000 000 0.. b Niti jedn nš čestic neće imti one vrijednosti impuls, z koje je vjerojtnost mjerenj jednk nuli. Pošto se vjerojtnost rčun iz gustoće vjerojtnosti, promtrt ćemo bk slik. Iz dijel zdtk možemo vidjeti d je gustoć vjerojtnosti proporcionln s k sin k0. Slik. Koeficijenti rzvoj bk. 6
To znči d će on biti jednk nuli, kko Z impuls p ħk iz tog slijedi k k 0 nπ k k 0 + nπ. p ħk 0 + nħπ, n Z. Te vrijednosti impuls neće biti zstupljene kod nijedne α čestice. Zdtk U t 0, 000 neutron se nlzi u jednodimenzionlnoj kutiji širine 0 5 cm. 00 neutron im energiju 4E, 900 neutron im energiju 5E. Konstruirjte funkciju stnj koj im ov svojstv. b Iskoristite dobivenu funkciju stnj d izrčunte gustoću, ρx, neutron po jediničnoj dužini. c Koliko se neutron nlzi u lijevoj polovici kutije? Znmo d energiju, općenito, n-tog pobudenog nivo čestice u jednodimenzionlnoj kutiji možemo izrziti preko energije. nivo: E n n E. U zdtku immo zdne dvije energije koje ond pripdju nivoim E 4E E E, E 5E 5 E E 5. Dkle, N 00 čestic se nlzi u stnju s glvnim kvntnim brojem n, kojem pripd vln funkcij slik πx φ sin, dok je N 900 čestic je u stnju s glvnim kvntnim brojem n 5, kojem pripd vln funkcij slik 5πx φ 5 sin. Vln funkcij, koj opisuje stnje svih ovih čestic, može se npisti ko superpozicij svojstvenih funkcij Hmiltonijn, koji opisuje situciju čestic u jednodimenzionlnoj kutiji: ψx, 0 b φ + b φ 5. Treb još smo nći koeficijente rzvoj b i b. Vjerojtnosti nlženj čestic u stnju s energijom E, odnosno, E je lko nći: Pošto znmo d je P N N 00 000 0, P N N 900 000 9 0. 7
φ x 0 x Slik. Vln funkcij stnj n. P E n b n, td nm, iz izrčuntih vjerojtnosti, z koeficijente slijedi P b b 0, P b b 9 0. Uvrštvjući ih, zjedno s svojstvenim funkcijm φ i φ 5, u rzvoj funkcije stnj, z istu dobivmo slik πx 9 ψx, 0 sin 5 + 5πx sin. 5 b Gustoću čestic po jedinici duljine možemo izrčunti prem Dkle, immo ρx N ψ. ρx 000 5 000 5 00 sin πx πx 9 sin + 5πx sin 5 sin πx + 3 sin 5πx + 3 sin 5πx. c D bismo izrčunli broj čestic u lijevoj polovici kutije, trebmo prvo vjerojtnost nlženj čestice u 8
φ 5 x 0 x Slik. Vln funkcij stnj n 5. toj polovici: P 0 < x < ψ dx 30 0.503457. 0 Znči, u lijevoj polovici kutije se nlzi n N P 0 < x < 503.457 čestic. Vidimo d se ovj rezultt rzlikuje od onog iz b dijel zdtk. No, t rzlik je logičn, ko se pogled gustoć vjerojtnosti slik. Vidimo d u ovom slučju gustoć vjerojtnosti nije simetričn s obzirom obzirom n središte kutije u. Zbog tog se može, smo gledjući sliku, zključiti d vjerojtnost nlženj čestice u lijevoj polovici neće biti jednk onoj u desnoj polovici. Zdtk 3 Ako su  i ˆB Hermitski opertori, pokžite d je  ˆB, tkoder, Hermitski, ko vrijedi [Â, ˆB] 0. Ako  i ˆB komutirju, odnosno, ko vrijedi td slijedi d je [Â, ˆB] 0,  ˆB ˆBÂ. Uzimjući Hermitski djungirnu vrijednost ove relcije, immo ˆB   ˆB. Ndlje, slijedi 30 Vrijednost integrl je izrčunt pomoću progrmskog pket Mthemtic. 9
Ψ x,0 0 x Slik. Vln funkcij stnj čestic ko superpozicij svojstvenih funkcij φ i φ 5.  ˆB 3 ˆB  3  ˆB 33  ˆB. Usporedujući prvi i posljednji izrz u jednkosti, vidimo d je  ˆB Hermitski opertor. Zdtk 4 Ako su ˆx i ˆp u Hilbertovom prostoru i ko vrijedi [ˆx, ˆp] iħ, pokžite d, ko je ˆx x, tj. opertor ˆx predstvlj množenje s x, td ˆp im reprezentciju gdje je fx proizvoljn funkcij. ˆp iħ x + fx, Trženu činjenicu ćemo njlkše dokzti tko d dnu reprezentciju uvrstimo u komutcijsku relciju izmedu opertor položj i impuls. Ako dn reprezentcij zdovoljv komutcijsku relciju, td je cinjenic dokzn. Dkle, ˆxˆp ˆpˆx x iħ x + f iħ x + f x iħx x 0 +x f + iħ x x f x iħ. 3 Prem dokzu iz b dijel zdtk 8. 3 Jer  i ˆB komutirju 33 Jer su  i ˆB Hermitski. 0
Ψ x 0 Slik. Gustoć vjerojtnosti nlženj čestice. x Zdtk 5 Promotrite tri observble Â, ˆB i Ĉ. Ako je poznto d vrijedi [ ˆB, Ĉ ] Â, pokžite d vrijedi [Â, Ĉ ] ˆB, AB C A + B. Pretpostvimo d dvije observble ne komutirju: Td vrijedi [Â, ˆB] Ĉ. Â ˆB Ĉ. Ovo poopćenje princip noedredenosti se ponekd nziv Robertson - Schrödingerov relcij. Z nše opertore vrijedi [Â, ˆB] Â [ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB Â + ˆB. Â ˆB Td, prem Robertson - Schrödingerovoj relciji, slijedi d vrijedi 34 Jer je očekivnje sume kvdrt observbli uvijek pozitivno. ˆ AB Ĉ Â + ˆB 34 Â + ˆB.
Zdtk 6 Ako je gx proizvoljn funkcij, pokžite d vrijedi [ˆp x, g] iħ g x. Jer je u kvntnoj mehnici impuls u x-smjeru opertor oblik ˆp x iħ x, odmh iz definicije komuttor immo [ˆp x, g] ˆp x g gˆp x iħ g x + iħg x 0 iħ g x. Zdtk 7 Ako je [Â, ˆB] i Ĉ, te ko su  i ˆB ob Hermitsk, dokžite d je Ĉ, tkoder, Hermitski. Ĉ će biti Hermitski, ko je on sm jednk svojoj Hermitski djungirnoj vrijednosti Ĉ. Krenimo od pretpostvke zdtk [Â, ˆB]  ˆB ˆB iĉ, Hermitskim djungirnjem cijele jedndžbe, koristeći se rješenjim e z lijevu strnu i z desnu strnu dijel zdtk 8, dobivmo ˆB   ˆB iĉ. Pošto su, prem pretpostvci zdtk,  i ˆB Hermitski opertori, td z lijevu strnu jednkosti immo odnosno ˆB  ˆB iĉ,  ˆB ˆB iĉ. Usporedujući dobivenu jednkost s početnom pretpostvkom zdtk, n krju dobivmo što znči d je Ĉ Hermitski opertor. Ĉ Ĉ,
Zdtk 8 Dokžite d ko su  i ˆB Hermitski, td je [Â, ˆB] Hermitski, kko je [Â, ˆB] 0. Ekvivlenciju ćemo dokzti tko dd ćemoprvo dokzti implikciju udesnu strnu, ztim u lijevu strnu. Znči, iskoristimo prvo pretpostvku d je [ Â, ˆB ] Hermitski. [Â, ˆB] 35 ˆB   ˆB 36 ˆB  ˆB. S druge strne, pošto je [ Â, ˆB ] Hermitski, td je [Â, ˆB] [Â, ˆB]  ˆB ˆBÂ. Izjednčvjući končne dijelove prethodnih dviju jednkosti, dobivmo ˆB  ˆB  ˆB ˆB ˆB  ˆB ˆB  ˆB  ˆB [Â, ˆB 0 ˆB] 0. Sd krenimo od pretpostvke d je [ Â, ˆB ] 0. Td je Ndlje immo  ˆB ˆBÂ. [Â, ˆB] 37 ˆB  ˆB  ˆB ˆB [ Â, ˆB ]. Dkle, [ Â, ˆB ] je Hermitski opertor. Time je ekvivlencij dokzn. Zdtk 9 Pokžite d z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji, u proizvoljnom stnju ψx, 0, vrijedi b Pod kojim uvjetim vrijedi znk jednkosti? H E. E predstvlj energiju stnj s osnovnim kvntnim brojem n. Očekivn energij se dobije tko d se rčun očekivnje Hmiltonijn 35 Prem rješenju e dijel zdtk 8. 36 Prem pretpostvci d su  i ˆB Hermitski. 37 Ko što smo pokzli u prvom dijelu zdtk. H ψ H ψ. 3
Krenimo od jedndžbe svojstvenih vrijednosti z Hmiltonijn H φ n E n φ n, gdje su φ n svojstvene funkcije, E n svojstvene vrijednosti opertor energije Hmiltonijn. Djelujući n tu jedndžbu slijev s φ k dobivmo φ k H φ n E n φ k φ n 38 E n δ nk. Sd rzvijmo ket, odnosno br, funkcije proizvoljnog stnj u red preko ketov, odnosno brov, svojstvenih funkcij Hmiltonijn: ψ α α ψ α α c α φ α φ α c α φ α φ α ψ 39 c α φ α ψ φ α φ α. T dv rzvoj uvrstimo u uvjet normirnosti svojstvenih funkcij Hmiltonijn ψ ψ. ψ ψ ψ φ α φ α φ β φ β ψ 40 αβ ψ φ α δ αβ φ β ψ 4 αβ α α α ψ φ α φ α ψ φ α ψ φ α ψ φ α ψ. Koristeći dobivenu jednkost, z očekivnje Hmiltonijn dobivmo ψ H ψ ψ φ α φ α H φ β φ β ψ αβ ψ φ α E α δ αβ φ β ψ αβ α α E α ψ φ α φ α ψ E α φ α ψ. 38 Jer su svojstvene funkcije Hmiltonijn ortonormirne. 39 Koeficijente rzvoj dobijemo n nčin ko što smo već prije pokzli u zdtku 7. 40 Indekse sumcije u rzvoju ketov mormo nužno oznčiti s drugim simbolom β, jer člnovi tog red općenito nemju iste vrijednosti, odnosno indekse. 4 Vidi footnotu 38. 4
Ndlje, znmo d vrijedi Što znči d mor vrijediti E α E, α N 0 4. ψ H ψ E φ α ψ α E φ α ψ α } {{ } E. Time je trženi iskz dokzn. b Jednkost očito vrijedi u slučju kd su sve svojstvene vrijednosti n-terostruko degenerirne. Zdtk 0 Koliko iznose očekivnje x i kvdrtni korijen vrijnce x z sljedeće gustoće vjerojtnosti: P x A[ 4 + x x 0 4 ]. b P x Ax e x. c P x A sin x x 0 Zdtk 8π e x x 0. Čestic mse m gib se u jednoj dimenziji x. Poznt je moment čestice p x ħk 0, gdje je k 0 poznt konstnt. Kko izgled vremenski-nezvisn nenormlizirn vln funkcij ove čestice, ψ x? b Čestic intergir s sistemom. Nkon interkcije poznto je d je vjerojtnost mjerenj moment /5 z p x ħk 0, odnosno 4/5 z p x 8ħk 0. Kko izgled vremenski-nezvisn nenormlizirn vln funkcij ove čestice, ψ b x? Zdtk Pokžite d vrijedi [A, B] 0 [B, A ] 0. b Pokžite d vrijedi [B, C] 0 [B, C] 0. c Dokžite Jcobijevu relciju: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] 0. Dokzujemo prvi smjer: [A, B] 43 0 4 Vidjeti npr. sliku 4.3 u Richrd L. Liboff, Introductory Quntum Mechnics, str. 93. 5
B / AB BA 0 A / AB BA } A {{ A } B A BA I B A BA /A BA A B AA }{{ } I BA A B B } {{ B } A B A B I A B A B /B A B B A BB }{{ } I B A A B 0 [B, A ] 0 Drugi smjer: rčun se nlogno b Dokzujemo prvi smjer: [B, C] 0 B C CB 0 B/ B C CB C BCB /B CB BC CB BC 0 [B, C] 0 Drugi smjer: rčun se nlogno Zdtk 3 Ndite ψx, t i P E n u trenutku t > 0, koji se odnose n česticu u jednodimenzionlnoj kutiji s zidovim u 0, u početnom stnju: 3πx πx ψx, 0 A sin cos. b Ako mjerenje od E dje E 4E u trenutku t 6 s, kko izgled ψx, t u trenutcim t > 6 s z početno stnje iz dijel zdtk? 43 Rdi krtkoće pisnj izostvljeni su znkovi opertor, no mormo ih imti n umu pri izvodu 6
Uočvmo d nm zdn funkcij nije u obliku ψx nπx i φ i x, pri čemu je φ n x sin. Primjenom trigonometrijske formule sinxcosx i sinx + y + sinx y prilgodit ćemo zdni oblik u rspis po svojstvenim funkcijm: sin 3πx cosπx sin4πx + sinπx Početn funkcij td poprim oblik: ψx, 0 A sin 4πx + A sin πx }{{ } b 4 n4 b n Iz čeg potom možemo izrčunti ψx, t Preostje još P E n : ψx, 0 A ψx, t A ω 4 E 4 ħ 6E ħ sin 4πx e iω4t sin 4πx, ω 4E ħ + sinπx + e iωt sin πx, E ħ π m P E n b n t, b n t e iω nt b n ; P E 4 e iω4t A 4 A A ; 6 8 P E A 8 b E 4E n ψx, t > 6 A e iω t sin πx Zdtk 4 Slobodn čestic mse m gib se u jednoj dimenziji, te je poznto d se nlzi u početnom stnju: ψx, 0 sink 0 x. Kko izgled ψx, t? 7
b Koje vrijednosti impuls p mogu dti mjerenj u trenutku t, te s kojim vjerojtnostim se te vrijednosti pojvljuju? c Pretpostvimo d u trenutku t 3 s, mjerenje impuls p dje vrijednost ħk 0. Kko izgled ψx, t u trenutcim t > 3 s? ψx, 0 + bk e ikx dk π bk + ψx, 0 e ikx dx? π Prem definiciji znmo d vln funkcij u bilo kojem trenutku t > 0 glsi ψx, t e i ħ Ĥt ψx, 0 e iωnt ψx, 0 ψx, t e iωt + bk e ikx dk π + π e ikx ωt dk b c φ k π e ikx p k ħk... P k b k t 3s... p ħk 0 ψx, t 3 π e ikox Zdtk 5 Čestic se gib u jednoj dimenziji, te im vlnu funkciju: ψx, t Ae ix bt, gdje su i b konstnte. Kko izgled potencijl V x u kojem se gib čestic? b Ako se vrši mjerenje impuls, koj će se vrijednost izrženo preko i b? c Ako se mjeri energij, koj će se vrijednost dobiti? 8
V? ψx, t Ae ix bt ħ m x + V ψ iħ t ψ ħ m A e ix bt + V Ae ix bt iħ ibae ix bt ħ m + V bħ V bħ ħ m Zdtk 6 Â Dokžite d ko je [Ĥ, Â] 0 i t 0, td je A konstnt u vremenu. Treb dokzti d vrijedi A const, tj. t A 0 Krenimo od izrz z A: Pogledjmo svki čln u zgrdi zsebno: t A i ħ A A A A A A A A A t A t A A A t A A A t A A t Hψ A ψ ψ A H ψ + ħ i ψ A t [H,A ] A A t A A t t A 0 i ħ [Ĥ,Â]0 0 0 ψ t A 0 i ħ [H, A ] i ħ [A, H] i A [A, H] [A, H] A ħ [H,A]0 [H,A]0 9
Uvrstimo dobive rezultte u polzni izrz: t A 0 + 0 0 Zdtk 7 Pokžite d u stcionrnom stnju vrijedi ko je  t 0, koristeći komuttorsku relciju d A dt d A 0, dt i  [Ĥ, Â] +. ħ t d dt A i ħ φ n [H, A] + A φ n } t {{} 0 i ħ φ n HA AH φ n i Hφ n Aφ ħ n φ n AH φ n E n φ n i E n φ n A φ n φ n AE n φ n ħ E n φ n A φ n i ħ E n φ n A φ n φ n A φ n 0 Zdtk 8 Pokžite d z vlni pket, koji se širi u jednoj dimenziji, vrijedi: m d x dt xp + px. 30
m d x dt m i [H, x ] ħ m i p [ ħ m, x ] m i p[p, x ] + [p, x ]p m ħ i p x [x, p] + [x, p] x x [x, p] + [x, p] x ħ iħ i ħ iħpx + iħxp xp + px xp + px iħ iħ iħ Zdtk 9 Čestic, koj se gib u jednoj dimenziji, intergir s potencijlom V x. Pokžite d z stcionrno stnje ovog sistem vrijedi: gdje je T p m kinetičk energij čestice. x V T, x Promtrmo stcionrno stnje sistem: d dt xp i ħ x[h, p] + [H, x]p x [V, p] x V iħ Pogledjmo posebno čln [ p m, x]p : [ p m, x]p m [p, x]p m x 0 [H, xp] H p m +V x 0 [p,p]0 0 + [T, x] p 0 [V,x]0 iħx V x + [ p m, x] p p [p, x] + [p, x] iħ iħ 0 p p p iħp iħpp iħ m m iħt 3
Vrtimo se sd polznoj jednkosti: x V iħ x 0 iħx V x + [ p m, x] p 0 iħx V x iħt 0 iħ x V x T 0 x x V T Zdtk 30 Hrmonički osciltor se sstoji od mse g n opruzi. Frekvencij mu je Hz, ms prolzi kroz rvnotežni položj brzinom od 0 cm/s. Koji je red veličine kvntnog broj pridruženog energiji sistem? Energij klsičnog hrmonijskog osciltor dn je izrzom: E E p + E k kx + mv Budući d promtrmo hrmonički osciltor koji prolzi kroz rvnotežni položni položj, Preostje nm kinetičk energij, koj je mksimln E p 0 E E kmx mv mx 0, 00 0, 5 0 6 Kko bismo dobili željeni red veličine kvntnog broj, pridruženog energiji sustv, izjednčit ćemo energiju klsičnog hrmoijskog osciltor s energijom kvntnog hrmonijskog osciltor: E kls E qm ħω 0 n + ħπνn + n E kmx ħπν 5 0 6 6.66 0 34 π n 0, 0 8 n 0 7 Red veličine kvntnog broj, pridruženog energiji sustv, iznosi 7, iz čeg zključujemo kko nije poželjno opisivti klsični sustv kvntnomehničkim veličinm. Zdtk 3 3
Koristeći osnovnu komutcijsku relciju [ˆx, ˆp] iħ, pokžite d vrijedi: [â, â ]. Opertor â nziv se opertor stvrnj, dok se opertor â nziv opertor poništvnj. Rdi krtkoće pisnj izostvit ćemo znk opertor iznd pripdjućeg znk, npr. â ćemo pisti smo ko. Opertori stvrnje i poništvnj definirju se n slijedeći nčin: Koristeći te definicije rspisujemo zdni izrz: β x + ip mω β x ip mω [, ] β x + ip mω β x ip mω β x ip mω β x + ip mω β x i mω xp + β [ i mω xp px iħ β ħ mω β mω ħ i mω px + mω x β x + i xp px ] mω } {{ } iħ mω ħ ħ mω i mω xp i mω px + mω x Zdtk 3 Općenit formul z konstntu normlizcije funkcij φ n je A n Pokžite d t formul dje isprvnu normlizciju z φ 4. Funkcij φ n općenito izgled ovko: n n! π. φ n A n H n ξe ξ gdje H n ξ oznčv Hermite-ove polinome. Z n 4 immo slijedeće izrze: A 4 8 6 π 33
H 4 ξ 6ξ 4 48ξ + Treb dokzti d vrijedi Uvrštvmo redom: φ 4 A 4 H 4 ξe ξ φ 4 dξ φ 4 dξ A 4 0 A 4H 4 ξe ξ4 4 dξ 6ξ 4 48ξ + e ξ4 4 dξ 0 numeričkom integrcijom 35.649 9 π 35.649 Zdtk 33 Pokžite d iz oblik z φ n dnog s φ n A n ξ n e ξ direktno slijedi ξ ˆPφ n n φ n, gdje je ˆP opertor pritet. Opertor pritet definir se n slijedeći nčin: Djelujmo sd opertorom ˆP n φ n : ˆPfx f x ˆPφ n A n ξ n e ξ ξ ξ ξ A n n ξ ξ e ξ n φ n 34
Zdtk 34 Pokžite d je n-to svojstveno stnje φ n generirno iz normlizirnog osnovnog stnj φ 0 preko φ n n! â n φ0. b Pokžite d dio zdtk povlči slijedeće relcije: âφ n nφ n, â φ n n + φ n+, gdje su funkcije φ n i φ n+ normlizirne. Normlizirno osnovno stnje im oblik: φ 0 A 0 e ξ, gdje A 0 oznčv konstntu normlizcije. Formul koj povezuje φ n i φ n+ putem opertor poništvnj izgled ovko: n n + n + Djelujmo sd redom opertorom poništvnj n svojstven stnj / 0 A e 0 0 A e 3 0 3 3. n 0 3 4 n n n! n n 0 n! Zdtk 35 Hrmonički osciltor se nlzi u početnom stnju ψx, 0 φ n x, tj. u svojstvenom stju od Ĥ. Kko izgled ψ nx, t? 35
Opće rješenje vlne funkcije, izrženo pomoću početne vlne funkcije, glsi: Uvrstimo sd u tj izrz zdne vrijednosti: ψx, t e i ħ Ĥt ψx, 0 ψx, t e i ħ }{{ Ĥt } φ n x i ħ Ĥt! ħ Ĥ t +... e i ħ E nt φ n Uvrstimo izrz z energiju hrm.osc. E n ħω 0 n + ψx, t e i ħ ħω0n+ t φ n e iω 0n+ t φ n A n H n xe x e iω 0 n+ t Zdtk 36 Pokžite d z hrmonički osciltor u superponirnom stnju ψx, t [ ψ0 x, t + ψ x, t ] vrijedi x C cosω 0 t. U gornjoj notciji je ψ n x, t φ n xe i ħ E nt. Izrčunjmo njprije ψ 0 x, t i ψ x, t 36
ψ 0 φ 0 e i ħ E 0t φ 0 e i ħ ħω 0 t φ 0 e i ω0t Potom rčunmo očekivnje: Pogledjmo prvi čln u zgrdi: ˆx ψ φ e 3i ω 0t β ψ n + ψ n β ψ n ψ n + ψ n ψ n ψ n ψ n ψ n φ 0 e i ω 0t + φ e 3i ω 0t e i ω0t φ 0 + e 3i ω0t φ e i ω 0t 0 + e 3i ω 0t φ 0 ; ψ n ψ n ψ n e 3i ω 0t φ 0 φ 0 e i ω0t + φ e 3i ω0t e 3i ω0t φ 0 e i ω0t φ 0 e 3i ω0t φ 0 + e 3i ω0t φ e 3i e iω0t φ 0 φ 0 e iω 0t +e 3iω0t φ φ 0 0 ω0t φ 0 Anlognim postupkom dobijemo z drugi čln: Uvrstimo dobivene rezultte u početni izrz: ˆx ψ n ψ n e iω0t β e iω 0t + e iω 0t β C e iω 0t 37
Očekivnje ne smije biti imginrno, stog je početni izrz dokzn. Zdtk 37 Ndite x z hrmonički osciltor u superponirnom stnju ψx, t [ ψ0 x, t + ψ 3 x, t ]. Hrmonički osciltor im prirodnu frekvenciju ω 0. Zdtk 38 Pokžite d, ko postoji stnje, koje je istovremeno svojstveno stnje od ˆL x i ˆL y, d td to stnje im svojstvene vrijednosti L x L y L z 0. Zdtk 39 Dokžite d su ˆL x i ˆL Hermitski opertori. Zdtk 40 Ako je [ Â, ˆL x ] [Â, ˆLy ] [Â, ˆLz ] 0, koliko je [Â, ˆL ]? [Â, ˆL ] [Â, ˆL x + ˆL y + ˆL z] [Â, ˆL x] + [Â, ˆL y] + [Â, ˆL z]; [Â, ˆL x] [ÂÂ, ˆL x] A[A, ˆL x] + [A, ˆL x]a; [A, ˆL x] [A, ˆL x ˆLx ] ˆL x [ˆL x, A] [ˆL x, A] ˆL x 0 0 0 [Â, ˆL x] 0 & [Â, ˆL y] 0, [Â, ˆL z] 0 [Â, ˆL ] 0 Zdtk 4 Pokžite d ˆP ntikomutir s opertorom impuls ˆp. 38
b Iskoristite odgovor iz dijel zdtk d pokžete d ˆP komutir s opertorom kinetičke energije ˆT ˆp m. Treb dokzti relciju: Rdi krtkoće pisnj izostvljmo znk opertor [ˆP, ˆp] + ˆPˆp ˆpˆP 0 [P, p] + fx Pp + pp + fx iħp x iħ P x iħp fx x [ iħ P fx }{{ x } f x x fx x [ fx iħ x 0 b U ovom dijelu zdtk treb dokzti [P, T ] 0 fx iħ x } Pfx {{} f x fx x + f x x ] ] [P, T ]f [P, p m ]f m [P, m ħ m p ħ x ]f ħ P x [ P fx } x {{ } f x x ħ f x m x 0 x P + ħ x Pfx f x x f ] f x x Zdtk 4 39
Ako je fx bilo koj funkcij, pokžite d je f + f fx + f x prn funkcij fx f x neprn funkcij b Pokžite d je tkv d vrijedi ˆP + Î + ˆP, ˆP + fx f + x. c Pokžite d je ˆP Î ˆP, tkv d vrijedi ˆP fx f x. Opertor ˆP + projektir f n f +, dok ˆP projektir f n f. d Dokžite d opertori projekcij ˆP + i ˆP, imju slijedeć svojstv: ˆP ± ˆP ± [ˆP+, ˆP ] 0 ˆP + + ˆP Î. Prnost/neprnost provjervmo uvrštvnjem vrijednosti x n mjesto vrijednosti x: b c f + x f x f x + fx f + x f x fx fx f x f x I P Ifx + Pfx fx + f x P + fx fx f + x P fx Ifx Pfx fx f x f x 40
d Prvo svojstvo P +fx P + P + fx P + Ifx + Pfx P + fx + f x [P +fx + P + f x] + Pfx [Ifx + + f x [fx fx + f x P + fx + If x + Pf x ] f x + fx ] Drugo svojstvo Treće svojstvo [P +, P ]fx P + P P P + fx P + P fx P P + fx P + fx f x P fx + f x [P +fx P + f x] [P fx + P f x] + f x [fx 0 f x + fx ] f x [fx + P + + P fx P + fx + P fx fx + f x fx f x + Ifx P + + P I f x fx ] Zdtk 43 Koliko iznosi P z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji s zidovim n [, ], koj je u početnom stnju: ψx, 0 9 3 φ + 3 φ 4 + φ 3. 4
Svojstvene funkcije φ n i φ n su oblik: φ n sinnπx, n, 4, 6,... φ n cosnπx, n, 3, 5,... Npomen: P const t Opertor P djeluje n funkcije n slijedeći nčin: Iskoristimo to u prethodnom izrzu: P t0 ψx, 0 P ψx, 0 ; Pψx, 0 P [ 3 φ + 4 φ 4 + φ 3 ] 9 9 3P φ + 4P φ 4 + Pφ 3 Pφ n φ n, Pφ n φ n Pψx, 0 9 3 φ 4 φ 4 + φ 3 ; P 9 3 φ + 4 φ 4 + φ 3 3 φ 4 φ 4 + φ 3 9 9 φ φ 6 φ 4 φ 4 9 +4 φ 3 φ 3 Zdtk 44 Z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji z zidovim n [, ] je poznto d se nlzi u stnju s vjerojtnostim energij: P E 3, P E 3, P E 3 3. P E n 0, n,, 3. Mjeren je i pritet stnj, te je dobiven vrijednost. Ako se u nekom ksnijem trenutku mjeri E, koj će se vrijednost dobiti? Kolik bi bil t vrijednost d je početno mjerenje pritet dlo rezultt +? Pψ αψ, α 4
Pψx, 0 ψx, 0 Ono što želimo izrčunti: E t>0?. Z to nm je potrebno odrediti ψx, 0, te ψx, t. ψx, 0 3 φ + 3 φ + 3 φ 3 neprn funkcij, jer φ sin ψx, 0 3 e iω t φ + 3 e iω t φ + 3 e iω 3t φ 3 ; ω i E i ħ, i,, 3... E t>0 ψx, t Ĥ ψx, t e iω t φ + e iω t φ + e iω 3t φ 3 3 Ĥ e iω t φ + e iω t φ + e iω 3t φ 3 e iω t φ 3 Ĥ e iω t φ + e iω t φ Ĥ e iω t φ +... ; H e iωt φ e iωt E φ E t>0 E φ φ + E e iω ω t φ φ + + E φ φ + + E 3 φ 3 φ 3 3 0 E + E + E 3 3 E + 4E + 9E 3 4 3 E U slučju d je α + td E t>0 ostje nepromijenjen i iznosi tkoder 4 3 E Zdtk 45 Z slobodnu česticu, koj se gib u jednoj dimenziji, podijelite skup opertor n podskupove komutirjućih opertor. {ˆP, ˆx, Ĥ, ˆp} Pogledjmo redom sve podskupove: [P, x]fx Px xpfx Pxfx xpfx xfx xfx xfx 0 ; [P, p]fx P iħ fx + iħ x x fx iħ x f x fx x +iħ x f x iħ x iħ x 0 ; fx x 43
Podskupovi komutirjućih opertor su: [P, H] [P, T ] 0 ; z slob. česticu [x, H] x p m p m x x ħ m x [x, p] iħ 0 ; 0 [H, p] [ p m, p] 0 ; {H, p}, {x, H}, {P, H} +ħ x x 0 ; 0 Zdtk 46 Slobodn čestic, koj se gib u jednoj dimenziji, se nlzi u početnom stnju ψx, 0. Dokžite direktnim rčunnjem, tj. bez korištenj komuttorskog teorem koji se tiče konstntni gibnj, d je p konstntno u vremenu. bk, t bke iωt bk p, ħ k m + ψx, 0e ikx dx ; π + + ħ ħk bk, t dk ħk bk e } iωt {{ e iωt } dk + const. t k bk dk ħω ω ħk m 44
Zdtk 47 U tri dimenzije, ˆP je definirn s: ˆPψx, y, z ψ x, y, z. Kko izgled ov definicij, ko je ψ mjeren u sfernim koordintm, tj. ψ ψρ, ϑ, φ? b Kko izgled ov definicij, ko je ψ mjeren u cilindičnim koordintm, tj. ψ ψρ, z, φ? Z prijelz u sferne koordinte vrijedi: Iz čeg potom dobivmo inverz: x r sin ϑ cos φ y r sin ϑ sin φ z r cos ϑ r x + y + z x + y ϑ rcsin x + y + z x φ rccos x + y + z Td funkcij ψx, y, z poprim oblik: x ψr, ϑ, φ ψ x + y + z + y, rcsin x + y + z, rccos x x + y Pψr, ϑ, φ x + y ψ x + y + z, rcsin x + y + z, rccos x x + y x ψ x + y + z + y, rcsin x + y + z, rccos x x + y ψr, ϑ, φ b Pri prijelzu u cilindrične koordinte vrijedi: ρ x + y z z x φ rccos x + y Td funkcij ψx, y, z poprim oblik: ψρ, z, φ ψ x + y x, z, rccos x + y 45
Pψρ, z, φ ψ x + y x, z, rccos x + y ϕ x + y x, z, rccos x + y ψρ, z, φ Zdtk 48 Pokžite d u bezdimenzionlnoj notciji vrijedi jednkost: â â ξ ξ. Zpišimo opertore i u bezdimenzionlnoj notciji, uzevši u obzir d vrijedi ξ β x, β mω 0 ħ : Pogledjmo njihov umnožk: â â â β x + ip mω 0 β x + β β ξ + β β ξ ξ + ; ξ ħ mω 0 x â β x ip ξ mω 0 ξ β ξ β + ħ mω 0 β ξ β ξ ξ + ξ + ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Zdtk 49 Kko izgled simptotsko rješenje φ n Schrödingerove jedndžbe u području φ ξξ + n + ξ φ 0 46
ξ + n n? Zdtk 50 Nek je zdn proizvoljn funkcij φp. Pokžite d uz ˆp p i ˆx iħ p, vrijedi [ˆx, ˆp]φp iħφp. [ˆx, ˆp] φp ˆxˆp ˆp ˆxφ iħ p φ p iħ φ p p iħφ + p φ p p φ iħ φp p φ+p φ p Zdtk 5 Kko izgled svojstven funkcij opertor ˆx, u impulsnoj reprezentciji, koj odgovr svojstvenoj vrijednosti x? Tj. ndite rješenje jedndžbe ˆxφp xφ x p. Zdtk 5 Nek x oznčv svojstveni vektor opertor položj ˆx s svojstvenom vrijednošću x, te nek k oznčv svojstveni vektor opertor impuls ˆp s svojstvenom vrijednošću ħk. Pokžite d vrijedi: k k δk k b x x δx x c x k π e ikx. Zdtk 53 Pokžite d se gustoć struje j može zpisti ko gdje je ˆp opertor impuls. j m [ψ ˆpψ + ψ ˆpψ ], 47
j ħ mi ψ ψ ψ ψ ; ˆp iħ i ħ ˆp ħ mi ψ ħ ˆpψ ψ i ħ ˆpψ ħ [ ψ i m i ħ ˆpψ + i ħ ψ ˆpψ ] [ ψ ˆpψ + ψ ˆpψ ] m Zdtk 54 Pokžite d z jednodimenzionlnu vlnu funkciju oblik gdje je φx, t reln vrijedi φx, t Ae iφx,t j ħ φ A m x. Krenimo od izrz z gustoću struje j: Uvrstimo potom ψ i ψ : j j ħ ψ ψ mi x ψ ψ x ψx, t Ae iφx,t, ψ x, t Ae iφx,t ħ mi ħ m i ħ m A φ φx ħ φ A m φx [ Ae iφ iφ φ iae [ ia φ φx + ia φ φx φx Aeiφ iae ] iφ φ x ] 48
Zdtk 55 Pokžite d kompleksn potencijln funkcij, V x V x, ne zdovoljv jedndžbu kontinuitet. Jedndžb kontinuitet u jednoj dimenziji im oblik Redom uvrštvmo ρ t + j x 0, pri čemu je j ħ ψ ψ mi x ψ ψ, ρ ψ ψ ψ x ψ t i ħ Hψ, H p m + V, ψ t i ħ H ψ H p m + V u jedndžbu kontinuitet kko bismo provjerili vljnost izrz. Prije tog treb srediti izrz. Slijedi ψ ψ t ψ ψ t [ + x ħ m ψ ψ t + ψ ψ ψ i i t ħ Hψ + ψ ħ H ψ i ħ ψ p m + V ψ + i p ħ ψ m + V ψ sups. ˆp ħ ˆ p ħ x i ħ ψ ħ m x + V ψ + i ħ ψ ħ m x + V ψ iħ m ψ ψ xx i ħ V ψ ψ iħ m ψψ xx + i ħ V ψψ iħ ψ ψ xx + i ψv ψ ψ V ψ m ħ ψ ψ x ψ ψ ] + i ψv x ħ ψ ψ V ψ ρ t + j x 0 Zdtk 56 Dokžite d, ko je ψx, t reln, vrijedi j 0, x. 49
Ako je ψx, t reln funkcij, td vrijedi ψ x ψ x. Uvrstimo uvjete zdtk u izrz jedndžbe kontinuitet: ħ j ψ ψ mi x ψ ψ x ħ ψ ψ mi x ψ ψ x 0 Zdtk 57 Pokžite d vrijedi T + R, z sve jednodimenzionlne probleme s potencijlnim brijerm. Z proizvoljnu početnu vlnu funkciju ψ ψx, 0 vrijedi dobivmo No, + Iskoristivši prethodno dobiveni rezultt dobivmo: ρ t 0. Uvrstimo li to u jedndžbu kontinitet j x x 0 /dx / j x x dx j + j 0 j + j j j inc j reff j + j trns j trns j inc j reff j trns + j reff j inc / : j inc j trns + j reff j inc j inc T + R 50
Zdtk 58 Pokžite d su koeficijenti refleksije z dv slučj s slike jednki. Trebmo dokzti d vrijedi: Pogledjmo R : R R R B A k k + k k Ztim R : U području gdje je potencijl V 0 0 sustv je opisn vlnim funkcijm A e +ikx i B e ikx, dok je područje gdje je potencijl V 0 0 sustv opisn s C e +ik x Ztim Dobivmo dvije jedndžbe s dvije nepoznnice ψ I A e ik x + B e ik x ψ II C e ik x ψ I 0 ψ II 0 A + B C ψ I0 ψ II0 ik A ik B ik C + B A C A B A k k C A 5
Uvrstimo prvu jedndžbu u drugu: B k + B A k A k k + k k B A + k k B A k k B k k A + k Sd možemo rspisti R : R B k k A + k k V E E V E E E V + E E V E V E E V + E V + E + V + E E V E V E E V E E V E 4 E V + E E V E V EE V + E E V [ [E V EE V ] E V ] [ EE V EE V E V E V E V E E E V k E V E V ] N isti nčin rspišimo ponovno R : V R E + V E E V E E V + E E E V R E + E V Zdtk 59 Jedndžb A + B C A B k k C, koj se pojvljuje u rčunu problem potencijlne brijere s E > V, može se npisti u mtričnom obliku 5
k k B A C A Oznčvjući mtricu red s D, lijevi jednostupčni vektor s V, desni jednostupčni vektor s U, t se jedndžb može jednostvno zpisti ko Ov nehomogen mtričn jedndžb im rješenje DV U. V D U. Ndite D, te konstruirjte V nvedenom tehnikom. Provjerite svoj rezultt s. C A + k, k B A k k + k k. b Nprvite to isto s jedndžbom + B A C A B A i κ k C A, koj se pojvljuje u rčunu problem potencijlne brijere s E < V, i provjerite s C A + i κ, k B A κ k + κ k. D? D [ ] 0 k Pribrojimo drugi red prvom k 0 [ ] 0 + k k k k k Prvi red pomnožimo s i pribrojimo drugome k 0 + k k [ ] 0 + k k 0 k k +k k Ztim podijelimo prvi red s + k k +k k [ ] k 0 k k +k k +k 0 k k Zmijenimo mjest prvom i drugom redu k +k k +k [ ] 0 k k k +k k +k 0 k k +k k k +k Odvde iščitvmo D : D k k +k k k +k k k k +k k +k 53
Kd smo pronšli D vrlo lgno možemo izrčunti V V D U k k +k k k k +k k k +k k +k k k k +k k k +k Vljnost izrz provjerite smi z vježbu! bponvljmo postupk ko u dijelu zdtk [ ] 0 D i κ Pribrojimo prvi red drugom k 0 [ ] 0 0 + i κ Pomnožimo drugi red s k + i κ k [ ] 0 0 Pomnožimo drugi red s i pribrojimo prvom +i κ k +i κ k [ ] 0 k k +iκ k k +iκ k 0 k Pomnožimo prvi red s k +iκ k +iκ [ ] 0 iκ k k +iκ k +iκ 0 k k +iκ k k +iκ Iščitmo ztim D, i uvrstimo u početni izrz iκ k +iκ k k +iκ k k +iκ k k +iκ V D U iκ k +iκ k k +iκ k iκ k +iκ k k +iκ k k +iκ k k +iκ Vljnost izrz provjerite smi z vježbu! Zdtk 60 Pomoću novih vrijbli α ± k ± k k k, β k F A T e iφ T, 54 B Re iφ R, A
jedndžb [ F A e ik cosk i B A i F A k + k k k k k k k sink sink ] se može zpisti u jednostvnijem obliku Iskoristite ove izrze d bi dokzli: T + R. Krenimo od prvog izrz: T e iφ T e ik cos β iα + sin β Re iφ R iα T e iφ T sin β. T e iφ T T e iφ T T T e ik cos β iα + sin β e ik cos β iα + sin β cos β + α + sin β /, / Ztim pogledjmo drugi: Re iφ R iα T e iφ T sin β /, / R iα sin β T e iφ T α sin β cos β+α + sin β R Zbrojimo li te izrze, dobivmo slijedeću vrijednost T + R. α sin β cos β + α + sin β + α sin β + cos β + α+ sin β k k k k sin β cos β + k +k k k sin β 4k k + k 4 k k + k 4 sin β 4k k cos β + k 4 + k k + k4 sin β 4k k cos β + k 4 + k k + k 4 sin β 4k k cos β + k 4 + k k + k4 sin β 55
Zdtk 6 Snop elektron prolzi kroz potencijlnu brijeru dužine 4.5 Å. Koeficijent trnsmisije pokzuje 3. mksimum n energiji E 00 ev. Kolik je visin brijere? Koeficijent trnsmisije je izržen putem slijedeće formule T + 4 EE V sin k V gdje je k me V ħ Tmo gdje funkcije T im mksimum, funkcij /T im minimum i to u točkm: Trženi uvjet zdtk je zdovoljen kd vrijedi: sin k 0 k π k π k π Kd smo odredili k, vrtimo se n početk zdtk i odredimo V : me V ħ π E V π ħ m V E π ħ } m {{ } 7,475eV V 9, 6 ev Zdtk 6 Snop elektron upd n brijeru visine 0 ev. T 3.37 0 3. Kolik je širin brijere? N energiji E 0 ev, koeficijent trnsmisije iznosi Zdtk 63 Iskoristite Bohrov princip korespondencije s T + V 4 EV E sinh κ, E < V, 56
d bi dokzli d je T 0 z E < V, z klsični slučj snop čestic energije E, koji upd n potencijlnu brijeru visine V. Zdtk 64 Udrni presjek z rspršenje elektron n tomim rijetkog plin kripton im minimum n niskoj energiji od E 0.9 ev. Pretpostvljjući d elektroni vide potencijlni bunr tom širine Bohr, izrčunjte njegovu dubinu. Koeficijent trnsmisije i refleksije su povezni formulom R + T. Koeficijent trnsmisije glsi T + 4 EE + V sinh k. V Kd R postiže minimlnu vrijednost T, što znči Uvjet je zdovoljen u slučj:.. 4 EE + V sinh k 0 V V E + E + V 0 V 0 sinh k 0 k 0, nϵz k nπ, k me + V ħ n π 4 E + V nħπ 8m V E nħπ 8m V... V 58.8 0 9 J me V me + V ħ ħ 57