(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Слични документи
Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - VALJAK.doc

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - 26ms281

Microsoft Word - IZVODI _3. deo_.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci iii deo.doc

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Microsoft Word - Analiticka - formule.doc

Microsoft Word - PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

9. : , ( )

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Microsoft Word - MNOGOUGAO.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Zad.RGS.2012za sajt [Compatibility Mode]

1. Realni brojevi

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Microsoft Word - MATRICE.doc

untitled

Microsoft Word - 26ms441

untitled

Analiticka geometrija

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Microsoft Word - 11ms201

Slide 1

Matematika 2

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

trougao.dvi

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

Analiticka geometrija

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Microsoft Word - 15ms261

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

1

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

My_ST_FTNIspiti_Free

Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt

RG_V_05_Transformacije 3D

Испитни задаци - Задатак 1 Задатак 1 (23. септембар 2012.) а) Статичком методом конструисати утицајне линије за силе у штаповима V b и D 4. б) Одредит

PowerPoint Presentation

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Rucka.dft

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft Word - Drugi dio teorije iz matematike 2

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - 16ms321

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Транскрипт:

VIŠESTRUKI INTEGRALI - ZAACI ( I EO) vostruki integrli-odredjivnje grnic integrcije Prv stvr s kojom se susrećemo kod dvojnih integrl je odredjivnje grnice integrcije. Z skoro svki zdtk mormo crtti sliku p je njbolje d se njpre podsetite kko izgledju grfici osnovnih funkcij. ( imte fjl n sjtu) Immo dv osnovn tip područj integrcij: ) Ako je područje integrcije omedjeno s leve i desne strne prvm = i = b ( recimo < b) s donje i gornje strne neprekidnim funkcijm ( ) i ( ) gde je ( ) ( ), ond immo: b ( ) ( ) p je: z (, ) dd= b d ( ) ( ) z(, ) d Pogledjmo sliku: ( ) ( ) ( ) ( ) b b Ovo je češć situcij, kd rešvmo njpre integrl po d, gde ćemo tretirti ko konstntu, ztim rešvmo običn integrl po - su.

) U ovoj drugoj situciji, područje integrcije je omedjeno odozdo i odozgo s prvm = c i = d, gde je c<d, s leve i desne strne su funkcije izržene preko - s : ( ) i ( ) gde je ( ) ( ). Pogledjmo sliku: d c d ( ) ( ) c ( ) ( ) Znči: Ako je oblst odreñen nejednkostim: ( ) ( ) c d ond je : z (, ) dd= d c d ( ) ( ) z(, ) d Ovde se prvo rdi integrl po d ztim integrl po d. Koji ćete tip koristiti zvisi od konkretne situcije. Ncrtte sliku, ndjete preseke p krenete u rd...

Primer. Odrediti grnice integrcije dvojnog integrl z(, ) dd z ob moguć poretk integrcije ko je oblst trougo s temenim O(,); A(,) i B (,) Njpre ćemo ncrtti sliku: = B(,) O(,) A(,) Prvu kroz tčke O i B smo nšli ko jednčinu prve kroz dve dte tčke ( ko neznmo npmet d je odredimo) : = ( ) P immo: = ( ) = Ajmo d odrdimo grnice z prvi poredk, pogledjmo sliku: = ide = je - os gledmo odozdo ngore

Z grnice po su gledmo s lev udesno. Prvo nilzimo n nulu, p n. kle :. Kd gledmo po, njpre nilzimo n osu, znmo d je to =. S gornje strne je prv =, p je Oblst je: Ovde bi zdti integrl rešvli po grnicm : b ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d ( ) Z drugi poredk integrcije immo: gledmo s lev n desno ide od = = Sd ide od do gledjući odozdo ngore, p je. Z grnice gledmo s lev udesno. Njpre nilzimo n prvu = ztim n prvu =, p je Oblst je sd: Zdni integrl bi rešvli po grnicm: d ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d c ( ) Primer. Odrediti grnice integrcije dvojnog integrl z(, ) dd z ob moguć poretk integrcije ko je oblst prlelogrm s temenim A(,); B(,); C(,7) i (,5) Crtmo sliku:

7 C(,7) 6 5 (,5) B(,) A(,) Trebju nm jednčine prvih kroz AB i kroz C. Koristimo ko mlopre = ( ) i dobijmo d je: AB: = C: = + Sd možemo rzmišljti o prvom poretku integrcije: 7 6 C(,7) =+ 5 (,5) A(,) B(,) = ide od do + ide od do Oblst je + integrl bi rešvli ko: b ( ) + z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d ( ) I ovo bi bio lkši nčin z rešvnje 5

Z drugi poredk integrcije bi situcij bil mlo tež. Nrvno, njpre ćemo jednčine prvih AB i C izrziti preko -s. AB: = = C: = + = Pogledjmo sd slike: ide od do 7 6 5 (,5) C(,7) B(,) = ide od do 5 7 6 5 (,5) C(,7) B(,) ide od 5 do 7 7 6 5 C(,7) = = (,5) B(,) A(,) A(,) A(,) ide od do / ide od do slik. slik. slik. Morli bi oblst integrcije d podelimo n tri del: : Zdti integrl bi rešvli: 5 : 5 7 : d ( ) 5 7 z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d+ d z(, ) d+ d z(, ) d c ( ) 5 6

Primer. Odrediti grnice integrcije dvojnog integrl z(, ) dd z ob moguć poretk integrcije ko je Oblst ogrničen linijm = i = Kriv = jeste kružnic li je prvo mormo srediti... =... / () = ( ) + = + = + + = odmh ndjemo i preseke...njih uvek dobijmo rešvjući sistem jednčin: = = =...() = = ( ) = = = = = = = Crtmo sliku: = ( ) + = 7

Prvi poredk integrcije će biti: = = po ide od do : integrl bi rešvli: b ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d ( ) Z drugi poredk integrcije, ko i u prethodnim primerim, immo mlo više posl... izrzimo njpre iz = : = = + = Ovo sd rešvmo ko kvdrtnu jednčinu: + =,, b± b c ± 6 ± = = = = ± nm treb = Sd slik: ide od do po = = : integrl je : d ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d c ( ) 8

Primer. Promeniti poredk integrcije u integrlu: d z(, ) d Iz dtog integrl d z(, ) d odmh vidimo d se rdi o drugom tipu z poredk integrcije i d je: : Iz = = iz = = Slik: = = ide od do Odlst je sd : integrl : d z(, ) d= d z(, ) d Primer 5. Promeniti poredk integrcije u integrlu: d z(, ) d Sredimo kružnicu i ncrtmo sliku: 9

=...() = ( ) + = + + = + = Slik: ide od do = ( ) + = ceo krug = ide od krug do prve = Iz kružnice sd mormo izrziti : =...() = + = b± b c ± ±, = = = = ± = Mormo oblst podeliti n dv del: ide od - do - ide od = do = i idu od do oblst oblst

P bi integrl rešvli: d z(, ) d= d z(, ) d+ d z(, ) d Primer 6. Promeniti poredk integrcije u integrlu: d z(, ) d, > Ncrtjmo njpre sliku ( nrvno, prvo sredite jednčine kružnice i prbole): =+ = =+ = = Ofrbn oblst je nš oblst integrcije bi promenili poredk integrcije mormo uočiti tri oblsti: = = + po = po = ide od do ide od do : : +

Treći deo bi bio: ide od do po = = : Sd bi smo ovo zpisli Primer 7. U dvojnom integrlu z(, ) dd preći n polrne koordinte ko je oblst krug + se podsetimo njpre kko se prelzi n polrne koordinte ( J je jkobijn): = r cosϕ = r sin ϕ ond je : J = r z (, ) dd = z( r cosϕ, r sinϕ) J drdϕ = dϕ z( r cosϕ, r sinϕ) rdr ` ϕ ϕ r Ncrtjmo sliku i predjimo n polrne koordinte:

- - = r cosϕ J = r = r sinϕ Ovo zmenimo u + ( možete pisti i = umesto, nrvno ko dje profesor vš...) + = ( r cos ϕ) + ( r sin ϕ) = r = r= r (cos ϕ+ sin ϕ) = znmo d je cos ϕ+ sin ϕ = kle r ide od d. Pošto nm ovde treb ceo krug, jsno je d ϕ π Immo dkle d je `= r ϕ π p je : z (, ) dd = z( r cosϕ, r sinϕ) J drdϕ = Primer 8. ` π dϕ z( r cos ϕ, r sin ϕ) rdr U dvojnom integrlu z(, ) dd preći n polrne koordinte ko je oblst krug + spkujemo kružnicu njpre, p ćemo ncrtti sliku: + = + = + + = ( ) + =

/ π / π -/ = r cosϕ J = r = r sinϕ + = ( cos ) ( sin ) cos r ϕ + r ϕ = r ϕ r (cos ϕ+ sin ϕ) = r cosϕ r = r cosϕ r= kle: r cosϕ cosϕ Mormo pziti što se tiče ugl, jer sd nm ne treb ceo krug već ( pogledj sliku): π π ϕ r cosϕ kle immo: `= π π ϕ p je: z (, ) dd = z( r cosϕ, r sinϕ) J drdϕ = ` π π cosϕ dϕ z( r cos ϕ, r sin ϕ) rdr