Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt

Транскрипт

1 Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна струја слика а Одредити јачину магнетног поља у функцији растојања од осе кабла и нацртати дијаграм H б Израчунати јачину струје ако је јачина магнетног поља на растојању од осе кабла H 788 A/ Познато је: 5 6 и 55 Слика Слика а Могуће je применити генералисани Амперов закон због постојања аксијалнe симетријe проблем се додатно поједностављује: H J Интеграција магнетног поља изводи се по затвореној кружној путањи Та контура је кружница полупречника која се поставља у све четири области од интереса слика Десна страна једначине је флукс густине тоталне струје у оквиру овог курса само кондукционе струје кроз површину произвољног облика која се ослања на ту контуру Разлика је у алгебарској суми струја које продиру ту површину Магнетно поље у свим областима се добија на следећи начин: - Вектори H и су колинеарни па је њихов скаларни производ једнак производу њихових интензитета: H H ; - интензитет вектора магнетног поља је исти у свим тачкама контуре па се као стална вредност може извући испред интеграла: H H H - Изабрана кружна контура лежи у равни па је најлакше на ту контуру ослонити равну површину у овом случају круг Вектор површине те површи је нормалан на њу и правац се поклапа са правцем вектора густине струје смер зависи од избора оријентације контуре Зато је десну страну могуће написати у облику: J J Ако је струја исте густине у свакој тачки ослоњене површине тада се може писати: J J J У супротном интензитет густине струје остаје под интегралом а диференцијал површине је

2 За магнетно поље у појединим областима добија се: J J J при чему је J Изједначавањем леве и десне стране генералисаног Амперовог закона добија се H а H H H Сума струја обухваћених контуром у овој области је па је из генералисаног Амперовог закона H H H H док је сума струја обухваћених контуром : J J os J J Изједначавањем леве и десне стране генералисаног Амперовог закона добија се: H Сума струја обухваћених контуром је H У општем случају не мора магнетно поље да буде једнако нули ако је алгебарска сума струја које продиру површину контуре једнака нули слика Међутим у овом примеру нема магнетног поља ван кабла тј не постоје линије магнетног поља у тој области До истог закључка се долази и на основу анализе Слика подинтегралне функције која има подједнак број супротних сингуларитета Зависност јачине магнетног поља од растојања приказана је на слици 3 где је H H а а и Слика 3 б Растојање од осе кабла у коме је јачина магнетног поља позната налази се у области Стављајући да је добија се једначина:

3 H одакле се за струју добија: Заменом бројних вредности струја је 5 A H Кроз неограничено дуг прав проводник у облику цеви полупречника унутрашњег зида и спољашњег а слика протиче једносмерна струја сталне густине Ј Проводник је начињен од бакра и налази се у вакууму а Одредити промену вектора магнетне индукције у функцији растојања од осе проводника 3а б Одредити интензитет вектора магнетне индукције на растојањима и 5а од осе проводника Слика Слика Слика Слика 3 Слика а У овом случају постоје три области слика у којима треба применити Амперов закон: J слика Десна страна једначине једнака је нули јер осим што не постоје линије поља не постоји ни струја која продире површину ослоњену на контуру полупречника Зато нема магнетног поља и магнетне индукције у тој области слика 3 J J J J Изједначавањем леве и десне стране Амперовог закона добија се слика J

4 J Изједначавањем леве и десне стране Амперовог закона добија се: б За добија се J док је за 5 J 3 Kроз неограничено дуг прав проводник у облику цеви полупречника унутрашњег зида и спољашњег слика 3 протиче стална струја јачине Проводник је начињен од бакра и налази се у вакууму Одредити интензитет вектора магнетне индукције на растојањима 6 и од осе проводника Познато је: A Слика 3 Ако се у претходном задатку густина струје замени са сви изрази добијени у том задатку тако да је Ј а ван проводника за За 6 добија се 5T Када је магнетна индукција је 6 T могу се искористити у области где постоји струја Кроз неограничено дуг прав проводник слика кружног попречног пресека полупречника протиче струја чија сe густина у попречном пресеку мења у функцији растојања од осе проводника по закону Ј J Проводник је начињен од бакра и налази се у ваздуху а Одредити промену интензитета вектора магнетне индукције у функцији растојања од осе проводника б Одредити растојање а од осе проводника на коме је магнетна индукција иста као на растојању 8 6 Познато је: J 8 A Слика Слика

5 а Амперов закон треба применити у две области слика : у проводнику кроз који протиче струја и ван њега У оба случаја лева страна једнакости J је J J J J Изједначавањем леве и десне стране Амперовог закона добија се J J 3 oдакле је а J J J J Из Амперовог закона следи J па је J б Из услова да је индукција на растојањима а и а иста тј J 3 J добија се Неограничено дуг прав проводник у облику цеви полупречника унутрашњег зида и спољашњег слика 5 начињен је од алуминијума Одредити подужну енергију магнетног поља у проводнику дужине Слика 5 Интензитет вектора јачине магнетног поља у функцији растојања од осе система одређује се из генералисаног Амперовог закона: H J У области : H па је H За алуминијум је па је запреминска густина енергије w H Заменом израза за јачину магнетног поља добија се w 8 Енергија локализована у простору je

6 3 8 w а по јединици дужине 3 L где је 3 L подужни унутрашњи коефицијент сопствене индуктивности самоиндукције Потражимо магнетну енергију локализовану и ван проводника За јачина магнетног поља је H па је запреминска густина енергије w а магнетна енергија у тој области R w R У случају када R тада и што нема физичког смисла јер само теоријски проводник може бити неограничен 6 Дат је неограничени праволинијски проводник кружног попречног пресека полупречника слика 6 Aкo je у проводнику успостављена струја чија се густина у функцији растојања од осе проводника мења по закону J J где је A J одредити: а Јачину магнетног поља на растојању 5 од осе проводника б Подужну енергију локализовану у проводнику Слика 6 а A H б 96

7 7 Кроз коаксијални вод са ваздушним диелектриком слика 7 полупречника унутрашњег проводника и полупречника спољашњег проводника спољашњи проводник је занемарљиве дебљине протиче једносмерна струја Струја је константне густине у попречном пресеку унутрашњег проводника Проводници су начињени од материјала чија је Одредити: а Зависност интензитета вектора магнетне индукције у функцији растојања од осе система б Полупречник цилиндричне површине која дели целокупан простор на два дела у којима су подужне магнетне енергије једнаке Нумерички подаци: A Слика 7 Слика 7 а Интензитет вектора магнетне индукције коаксијалног вода у функцији растојања од осе система одређује се применом Амперовог закона: Лева страна овог закона има облик J У области важи J J J Изједначавањем леве и десне стране израза добија се С обзиром да је у овој области J заменом у Амперов закон добија се У овој области је па је магнетна индукција једнака нули б Запреминска густина енергије се одређује из израза Енергија локализована у простору је w H w 6 Енергија локализована у простору :

8 w s С обзиром да је однос s то је s односно већа је количина енергије локализована у простору него у простору па се закључује да се полупречник налази у простору слика 7 Из услова задатка да цилиндрична површина полупречника подели простор на два дела са једнаким енергијама добија се: s Заменом одговарајућих израза добија се: одакле је: 5