gt1b.dvi

Транскрипт

1 r t.h en el em

2 6 SUKLDNOST I SLI NOST Pripremi se za gradivo koje slijedi, rijes i pripremne zadatke koji se nalaze u elektronic kom dijelu udz benika. el em en t.h r Sukladnost je rijec koju c esto susrec emo u svakodnevnom z ivotu. Kad za neka dva objekta kaz emo da su sukladna, z elimo rec i da se podudaraju i po obliku i po velic ini. Jedan zgodan primjer je poznata igrica Otkrij razliku. Na dvije predoc ene naoko sukladne slike valja pronac i skrivene razlike. Na tom je tragu sljedec i zanimljiv primjer. Povodom obiljez avanja 300. obljetnice Descartesove knjige Rasprava o metodi, u Francuskoj je godine tiskana prigodna pos tanska marka. No, ubrzo je na marki uoc ena gres ka pa je tiskana nova. Na te dvije marke uistinu je tes ko uoc ljiva razlika, ali ona ipak postoji marke nisu sukladne. Jedno zanimljivo podruc je u kojem se primjenjuje provjera sukladnosti usporedivanjem likova jest daktiloskopija. Osmislio ga je Hrvat s Hvara Ivan Vuc etic koji se u drugoj polovini 19. stoljec a otisnuo u rgentinu gdje se zaposlio u tamos njoj policiji. Shvativs i kako nema dviju osoba s jednakim otiscima prstiju, on je razvio postupak identifikacije usporedbom otiska prsta. U sljedec em c emo poglavlju obraditi matematic ki temu sukladnosti Sukladnost duz ina i kutova Sukladnost likova vaz an je matematic ki pojam. Ispitivanje sukladnosti likova u ravnini najc es c e se provodi provjerom sukladnosti nekih elemenata tih likova. Kad je rijec o sukladnim trokutima ili mnogokutima, provjerava se sukladnost njihovih stranica i kutova. 2

3 SUKLDNOST DUŽIN I KUTOV 6.1 Sukladnost dužina Sve su tri stranice jednakostraničnog trokuta sukladne. Sukladne su i suprotne stranice paralelograma, a sukladni su i kraci jednakokračnog trapeza. Zadatak 1. Sukladnost dužina Dvije dužine i D su sukladne ako su jednake duljine, ako je = D. Koja je dužina dulja? Dužina ili dužina D? 1) 2) 3) D D 3

4 6 SUKLDNOST I SLIČNOST Sukladnost kutova Dva su kuta uz osnovicu jednakokračnog trokuta sukladna. Sukladni su i suprotni kutovi u paralelogramu. Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trapeza su sukladni. Primjer 1. Sukladnost kutova Dva su kuta sukladna ako imaju istu mjeru. O sukladnosti kutova govori više poučaka koje ste učili u osnovnoj školi. Te poučke često ćemo primjenjivati pri provjeri sukladnosti i sličnosti trokuta pa ih ukratko ponovimo. Kutovi s paralelnim kracima ko su kutovima i kraci paralelni, ti su kutovi ili sukladni (slika lijevo) ili suplementarni, a zajedno čine ispruženi kut (slika desno). Dokažimo poučak o zbroju kutova u trokutu. Položimo vrhom trokuta pravac paralelno stranici trokuta. Tada je <)MN = te <)N =. Tu se radi o jednakosti kutova s paralelnim kracima. M N I sada vidimo da je + + = 180. S iste slike možemo zaključiti da je vanjski kut trokuta uz kut, kut <)M zbroj dvaju nesusjednih unutarnjih kutova i trokuta. Time je dokazan i poučak o vanjskom kutu trokuta. 4

5 SUKLDNOST DUŽIN I KUTOV 6.1 Zadatak 2. Pravac paralelan stranici trokuta od trokuta odsijeca manji trokut čiji su kutovi sukladni kutovima trokuta. Dokaži! Zadatak 3. Izravna posljedica jednakosti kutova s paralelnim kracima jesu sljedeća dva važna poučka. Poučak o vršnim kutovima Dva pravca koji se sijeku odreduju - dva para medusobno - sukladnih kutova. Sukladni su kutovi <)V i <)VD te <)V i <)DV. Poučak o kutovima uz presječnicu (transverzalu) Neka su p i q paralelni pravci. Tada pravac t koji ih siječe odreduje - s njima sukladne kutove. Na slici su sukladni kutovi <)E i <)ED. Dijagonala trapeza zatvara s osnovicama trapeza sukladne kutove. Dokaži! Kutovi s okomitim kracima ko su kutovima i kraci okomiti, ti su kutovi ili sukladni (slika lijevo) ili suplementarni (slika desno). ZROJ VNJSKIH KUTOV TROKUT γ β + + = 360 α 5

6 6 SUKLDNOST I SLIČNOST Primjer 2. U pravokutnom trokutu je D točka u kojoj visina na hipotenuzu siječe hipotenuzu. Dokažimo: <)D = <)D. Zadatak 4. Zadatak 5. Kutovi <)D i <)D su šiljasti kutovi s okomitim kracima. Naime, i D. Zbog toga su ta dva kuta jednaka. Primijetimo da su jednaki i kutovi <) i <)D. D Dan je trokut ipovučene su visine 1 i 1 (slika dolje lijevo). Dokaži: <) 1 = <) U paralelogramu D položene su visine DD 1 i DD 2 na stranicu, odnosno (slika gore desno). Dokaži: <)DD 1 = <)D 2 D. ZROJ KUTOV U ZVIJEZDI =

7 SUKLDNOST TROKUT Sukladnost trokuta Preslikavanje koje točkama ravnine pridružuje točke iste ravnine zovemo preslikavanje ravnine. Neka je f preslikavanje ravnine koje čuva udaljenost točaka. Drugim riječima, mora biti ispunjen sljedeći uvjet: ako su i bilo koje dvije točke i ako su i slike tih dviju točaka, tada je =. Takvo se preslikavanje ravnine zove izometrija ravnine. Translacija, rotacija i osna (zrcalna) simetrija primjeri su izometrija. Ponekad se još izdvaja rotacija ravnine za 180 i ona se zove centralna simetrija. Na sljedećim trima sličicama prikazano je djelovanje tih triju izometrija; translacije (lijevo), rotacije (u sredini) i zrcalne simetrije (desno). Uzastopno djelovanje nekih dviju izometrija tako - der je izometrija. Sukladnost likova Lik L sukladan je liku L ako postoji izometrija koja lik L preslikava na lik L. 7

8 6 SUKLDNOST I SLIČNOST Svaka dva kruga jednakog polumjera su sukladna. ko su S 1 i S 2 njihova središta, tada se translacijom za vektor S 1 S 2 jedankrugmože preslikati na drugi. I svaka dva kvadrata sa stranicama jednakih duljina su sukladna. Translacijom se do poklapanja mogu dovesti njihova središta, a potom rotacijom poklopiti i sami kvadrati. No sukladnost složenijih likova nije uvijek jednostavno utvrditi. Jedan od temeljnih geometrijskih likova je trokut. U nastavku ćemo proučavati sukladnost trokuta. ko su trokuti i sukladni, onda trokut možemo premjestiti (po potrebi i prevrnuti ) tako da se on poklopi s trokutom. ko su trokuti i sukladni, onda pišemo =. Trokuti na slici su sukladni. Osnovni elementi trokuta su njegove stranice i kutovi. Što možemo reći o stranicama i kutovima sukladnih trokuta? Sukladnost trokuta Trokuti su sukladni ako i samo ako imaju sukladne odgovarajuće stranice i sukladne odgovarajuće kutove. Što su to odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi? Kad provjeravamo sukladnost dvaju trokuta, najvažnije je odrediti koji vrh jednog trokuta odgovara pojedinom vrhu drugog trokuta. Tada su kutovi uz te vrhove i stranice nasuprot tim vrhovima odgovarajući elementi trokuta. 8

9 SUKLDNOST TROKUT 6.2 ko u trokutima na slici vrijedi <) = <)M i <) = <)P, onda vrhovima, i trokuta odgovaraju vrhovi M, P, N trokuta MNP (tim redom). Taj odnos zapisujemo ovako: M, P, N. Odgovarajući su kutovi uz odgovarajuće vrhove: Odgovarajuće su stranice: <)M, <)P, <)N. a m, b p, c n. Da su trokuti i MNP sukladni, pišemo ovako: = MPN, pazeći na poredak odgovarajućih vrhova! Kad provjeravamo sukladnost dvaju trokuta, nije uvijek nužno provjeriti da se oni podudaraju u svih šest osnovnih elemenata (trima stranicama i trima kutovima). Pokazat ćemo da je u nekim slučajevima dovoljno da se oni podudaraju u trima odgovarajućim osnovnim elementima, iz čega će onda slijediti i sukladnost ostalih. 1. poučak o sukladnosti trokuta: S-S-S Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u svim trima stranicama. Neka su i dva trokuta čijesu stranicesukladne: ' a' ' a = a, b = b, c = c. a Stranica sukladna je stranici, pa trokut mo- b' b c' žemo preslikati (pomaknuti, zarotirati i po potrebi zrcaliti) tako da se te dvije stranice c ' poklope, a vrh padne u neku točku u poluravnini (odredenoj - pravcem ) u kojoj se nalazi i vrh.sadaje =. 9

10 6 SUKLDNOST I SLIČNOST b b' '' a c a' Gdje se može nalaziti točka? udući da je a = a, ona mora ležati na kružnom luku sa središtem u točki i polumjerom a (taj luk prolazi točkom ). Takoder, - zbog b = b,točka mora ležati i na kružnom luku sa središtem u točki i polumjerom b (i taj luk prolazi točkom ). No ta se dva luka u ovoj poluravnini sijeku samo u točki,paje =.Sada je = = i poučak je dokazan. Posljedica ovog poučka je: ako se dva trokuta podudaraju u svim trima stranicama, onda se oni podudaraju i u svim trima kutovima. 1. konstrukcija trokuta: S-S-S. Konstruirajmo trokut kojem su zadane duljine stranica a, b i c. a b c a c b naliza. Prije početka konstrukcije skicirat ćemo trokut (koji veličinom i oblikom ne mora odgovarati zadanom) i na njemu označiti zadane elemente. Konstrukcija. Odaberemo bilo koju od ovih triju stranica (recimo, duljine c ) i konstruiramo je (prenesemo šestarom njezinu duljinu na odabrani pravac). Iz rubnih točaka te stranice zasijecimo kružni luk duljine a, te drugi duljine b. Tamo gdje se ti lukovi sijeku, nalazi se treći vrh trokuta,. Rasprava. Da bi konstrukcija bila moguća(da bisedvakružna luka sjekla), duljina najdulje stranice mora biti manja od zbroja duljina preostalih dviju (nejednakost trokuta). Ti se lukovi sijeku u dvjema točkama pa postoje dva rješenja. Medutim, - trokuti i su sukladni, jedan se iz drugog može dobiti preklapanjem (zrcaljenjem) preko stranice. Zatokažemo da je trima zadanim stranicama trokut jednoznačno odreden. - Vidimo zapravo da je on odreden - do na sukladnost,jersu svi trokuti s danim duljinama stranica medusobno - sukladni. c ' 10