Microsoft Word - Metoda neodredjenih koeficijenata

Транскрипт

1 Metoda eodredjei oeficijeata Pisali ste am da vam ova metoda ije baš ajjasija, u smislu ao izabrati fuciju za artiularo rešeje. Poušaćemo u ovom fajlu da vam a eolio rimera objasimo to. Da se odsetimo: ``+a `+a = f () je eomogea diferecijala jedačia II reda sa ostatim oeficijetima. Najre tražimo rešeje omogee jedačie: ``+a `+a = Karaterističa jedačia je λ + aλ+ a = U zavisosti od rešeja araterističe jedačie razliujemo tri slučaja: ) λi λ su reala i različita, oda je : ()= + ) λi λ su reala i jedaa rešeja, oda je : ()= + 3) λi λ su ojugovao omlesi brojevi : λ =a+bi, λ =a-bi, oda je : ()=c e a cosb+c e a sib Sad rešeje zaisujemo : = + je rešeje omogee jedačie, a je rešeje oje tražimo metodom eodredjei oeficijeata u zavisosti od f(). Ao je f()= e a [P ()cosb+q ()sib] ) Ao a ±bi isu orei araterističe jedačie: = e a [S N ()cosb+t N ()sib] gde je N=ma(,) ) Ao su a ±bi orei araterističe jedačie: = m e a [S N ()cosb+t N ()sib], gde je m- reda a ±bi

2 Primer. Rešiti diferecijalu jedačiu `` e =. Homogea jedačia je `` =, a je araterističa jedačia: `` = = =, = λ λ λ = Ce + Ce Zamo da je = + i sledeći osao am je da adjemo Naša fucija je f() = e. a Po formuli je f ( ) = e [ P ( )cos b+ Q ( )si b], a će za ašu fuciju biti: ovo je a ovo je b ovo je b e = e [ cos( ) + si( ) ] e [ cos + si ] a= b= Sad isitujemo olio je a+ bi= + i=. Ovo uoredjujemo sa rešejima araterističe jedačie, a ao su oa - i, vidimo da isu ista, a am e treba ili isred. Zaljučujemo da je artiularo rešeje oblia: Ae = `= Ae ``= Ae = 4Ae gde je A broj oji ćemo tražiti. Ovo zamejujemo u zadatu jedačiu: `` = e 4Ae Ae = e 3Ae = e 3A= A= = e 3 3 Koačo rešeje je: = + = Ce + Ce + e 3

3 Primer. Rešiti diferecijalu jedačiu `` `=. Rešimo ajre omogeu : `` `= λ λ λ λ = =, = = Ce + Ce = C + Ce Naša fucija je f() =. a f ( ) = e [ P ( )cos b+ Q ( )si b] ( ) ( ) ( ) ( ) = [ cos + si ] [ cos + si ] =, = e e a b Oda je a+ bi= + i=. Kad ovo uoredimo sa rešejima araterističe jedačie, oja su i, vidimo da je jedo isto! E to am govori da moramo da stavimo jedo isred rešeja oje je u obliu olioma I steea: A+B, gde su A i B brojevi oje tražimo. Dale: = ( A+ B) = A + B `= A+ B ``= A Zameimo ovo u zadatu d.j. `` `= A ( A+ B) = A 4A B= 4A+ A B= sad vršimo uoredjivaje 4A= A B= A= B= 4 3

4 Dobili smo artiularo rešeje: = A + B = 4 4 Koačo rešeje je: C Ce 4 4 = + = + Primer 3. Rešiti diferecijalu jedačiu ``+ `+ = e. ``+ `+ = λ λ λ λ + + = = = = Ce + C e = Ce + C e Naša fucija je f() = e -. a f ( ) = e [ P ( )cos b+ Q ( )si b] ( ) ( ) ( ) ( ) = [ cos + si ] [ cos + si ] =, = = = e e e a b Oda je a+ bi= + i=. Evo situacije ad araterističa jedačia ima dvostruu ulu -, a to je taodje i reseje ašeg izraza a+bi. U tavoj situaciji moramo dodati. Ae = ` = ( ) A e e A broj oji ćemo tražiti,azite, mora izvod roizvoda `` = ( + ) = ( 4 + ) A e e e e A e e e Da bi am bilo laše, možemo sve omožiti: = Ae ` = Ae A e ``= Ae Ae Ae + A e 4

5 Mejamo u zadatu jedačiu: ``+ `+ = e Ae 4Ae + A e + ( Ae A e ) + A e = e Ae 4Ae + Ae + 4 Ae Ae Ae = e A= A= = e Koačo rešeje je oda : + Ae = e = + = Ce + Ce + e Primer 4. Rešiti diferecijalu jedačiu `` `= + si. Homogea: `` `= λ λ λ λ = =, = = Ce + Ce = C + Ce Kao ašu fuciju +si e možemo aisati u obliu oji zamo, uradićemo sledeće: Ošte rešeje ćemo tražiti ao: = + + gde su : artiularo rešeje jedačie `` `= artiularo rešeje jedačie `` `= si Dale, tražimo ajre rešeje za `` `= Taj zadata smo rešavali u rimeru. a ćemo isoristiti to rešeje: = 4 4 5

6 Sad rešavamo `` `= si Naša fucija je f() = si. a f ( ) = e [ P ( )cos b+ Q ( )si b] ( ) ( ) si = [ cos + si ] [ cos + si ] =, = e e a b Oda je a+ bi= + i= i. Vidimo da ovo rešeje ema veze sa rešejima araterističe jedačie, oja su i. Partiularo rešeje tražimo u obliu: = Asi + B cos Izvodi : `= A cos B si ``= 4A si 4B cos Vraćamo se a očetu jedačiu: `` `= si ( ) 4Asi 4B cos Acos Bsi = si 4Asi 4B cos 4Acos + 4B si = si ( 4A+ 4 B)si + ( 4A 4 B)cos = si uoredjujemo 4A+ 4B= 4A 4B= A= B= 8 8 = Asi + B cos = si + cos 8 8 Koačo rešeje je: = = C+ Ce si + cos 6