Zdtk 1 U jednodimenzionlnoj kutiji, širine, nlzi se 1 neutron. U t, stnje svke čestice je ψ(x, ) Ax(x ). ) Normirjte vlnu funkciju ψ i ndite [ vrijednost konstnte A. b) Koliko čestic se nlzi u intervlu, ] u t? c) Koliko čestic im energiju E 5 u t? d) Koliko iznosi E u t? ) Vlnu funkciju ψ(x, ) ćemo normlizirti pomoću uvjet normlizcije 1 ψ(x, ) dx 1. Integrl n lijevoj strni uvjet normlizcije, ustvri, predstvlj vjerojtnost nlženj čestice (opisne vlnom funkcijom ψ) unutr intervl [, ] duž x-osi (grnice intervl se upisuju ko grnice integrirnj). Jer se nši neutroni nlze u kutiji širine, intervl im istu tu širinu. N desnoj strni se nlzi jedinic, jer vjerojtnost d ćemo nći neutron bilo gdje unutr kutije je 1%-tn, odnosno, iznosi 1. Pošto je nš vln funkcij reln, psolutn vrijednost pod integrlom nm ne mijenj ništ, te u njeg uvrštvmo kvdrt vlne funkcije A x (x ) dx 1. A se zove konstnt normlizcije. Odredivnjem njezine vrijednosti, te uvrštvnjem iste u vlnu funkciju, vln funkcij će biti normlizirn. Pošto je konstnt, A izbcujemo ispred integrl, dok podintegrlnu funkciju integrirmo n uobičjen nčin: A x (x ) dx A ( x 4 x 3 + x ) ( x dx A 5 Prem uvjetu normlizcije immo 5 x4 + x 3 3 ) ( ) A 5 5 5 + 5 3 }{{} 5 3 iz čeg z konstntu normlizcije A slijedi A 5 3 1, 3 A 5. Znči, normlizirn vln funkcij z nše neutrone izgled ovko: 3 ψ(x, ) x(x ). 5 Z vrijednost prmetr 1 1, nš vln funkcij bi izgledl ko n slici 1. širine. 1 Nime, postoji više nčin normlizirnj vlne funkcije; mi ćemo koristiti smo ovj, tj. tzv. normlizciju n kutiju odredene 1
Ψ x, x os Slik 1. [ b) D bismo izrčunli broj neutron unutr intervl, ], prvo trebmo izrčunti vjerojtnost nlženj jednog neutron unutr tog intervl. Koristeći se znnjem o toj vjerojtnosti iz ) dijel zdtk, immo d on iznosi P ψ(x, ) dx. U ovj integrl uvrštvmo sd već normlizirnu vlnu funkciju nših neutron, te koristimo rješenje integrl kojeg smo već izrčunli, tj. P 3 5 x (x ) dx 3 ( ) x 5 5 5 x4 + x 3 3 ( 5 3 5 ) 16 5 3 + 5 8 4 16.5. }{{} 5 3 15+ 48 5 8 48 Rezultt ove vjerojtnosti smo mogli i očekivti promtrjući sliku vlne funkcije (slik 1.). Nime, s slike se vidi d je nš vln funkcij potpuno simetričn obzirom n x. Iz tog bi se mogo izvesti dni zključk o vjerojtnosti. Ψ x, Slik. x os
No, to se može još bolje zključiti kd se pomoću vlne funkcije ncrt gustoć vjerojtnosti (to je on podintegrln funkcij iz uvjet normlizcije ): ψ(x, ) (slik.). Iz njezinog grf se, tkoder, može uočiti simetrij obzirom n sredinu jednodimenzionlne kutije, zključk postje još očitiji, jer gustoć vjerojtnosti govori o rspodjeli nših neutron unutr kutije širine. Ako su oni potpuno jednko (simetrično) rsporedeni u obje polovice kutije, logično je d će vjerojtnost nlženj neutron unutr jedne od polovic biti jednk onoj drugoj. Pošto njihov zbroj mor dti jedinicu, jedino moguće rješenje je.5. c) D bismo nšli koliko neutron im odredenu energiju E 5, prvo trebmo svojstvene funkcije Hmiltonijn, koji opisuje situciju u kojoj se nlze nši neutroni ( to je unutr kutije širine ). Te svojstvene funkcije izgledju ovko 3 ϕ n nπx sin. Kd se vln funkcij nših neutron rzvije u red po svojstvenim funkcijm ϕ n 4 ψ(x, ) b n ϕ n, td koficijenti rzvoj b n govore kolik je vjerojtnost d će se mjerenjem energije E dobiti vrijednost E n, kd se sistem nlzi u stnju ψ. Odnosno, n1 P (E n ) b n. Nm je specifično n 5, p tržimo vrijednost koefijent b 5. On se nlzi n 5. mjestu u rzvoju. Iz tog mjest g njlkše možemo izdvojiti koristeći svojstvo ortonormirnosti svojstvenih funkcij Hmiltonijn: ϕ k ϕ l δ k l. U nšem slučju nm njviše koriste činjenice (koje direktno slijede iz svojstv ortonormirnosti) ϕ 5 ϕ 5 1 i ϕ 5 ϕ l, l 5, jer td množeći slijev rzvoj funkcije ψ s ϕ 5, iz njeg izdvjmo smo onj čln u sumi koji je rzličit od nule, to je 5. čln. Njeg sd čini smo koeficijent b 5, što znči d immo b 5 ϕ 5 ψ, odnosno, zpisno u obliku integrl i uvrštvjući funkcije ϕ 5 i ψ 5πx 3 b 5 sin x(x ) dx. 5 Preostje nm, znči, smo riješiti integrl 6 b 5 6 x(x ) sin 5πx dx. Njeg ćemo riješiti rzdvjnjem n dv integrl, koji se ob rješvju prcijlnom integrcijom 5. Prvi je Integrl gustoće vjerojtnosti dje smu vjerojtnost. To vrijedi i općenito, ne smo z vjerojtnost. Sjetite se gustoće i mse ili gustoće nboj i količine nboj. 3 One se dobiju rješvnjem stcionrne Schrödingerove jedndžbe z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji s beskončno visokim (potencijlnim) zidovim, npr. vidi zdtk... 4 U Dircovoj notciji to izgled ovko: ψ(x, ) P n1 bn ϕn. 5 Integrli ovkvog tip se često susreću u zdcim iz kvntne mehnike. Stog ćemo ovdje izložiti postupk rješvnj tih integrl, dok ćemo se u nrednim zdcim smo pozivti n nvedeni postupk. 3
x sin 5πx dx u x du xdx dv sin 5πx dx v 5π cos 5πx 5π x cos 5πx + 5π x cos 5πx dx. Zsebno ćemo sd riješiti integrl tip x cos 5πx dx u x du dx dv cos 5πx dx v 5π Sd immo Drugi je integrl tip x 5πx sin 5π + 5πx cos 5π. sin 5πx x 5πx sin 5π sin 5πx 5π dx }{{} x sin 5πx dx 5π x cos 5πx + ( ) x 5πx sin 5π 5π + 5πx cos 5π 5π x cos 5πx 5πx x sin 5π 5π + 5πx x sin 5π + 3 5πx cos 15π3 ) (x 5π cos 5πx x sin 5πx dx, 5πx 5π cos no tkvog smo već riješili u prethodnom postupku (smo što je podintegrln funkcij sdržvl kosinus, ne sinus), p z rezultt immo x sin 5πx 5πx dx x cos 5π + 5πx sin 5π. Uvrštvjući izrčunte integrle u b 5 immo [ 6 5πx b 5 6 x sin 5π 5π x cos 5πx + 3 5πx cos 15π3 + 5πx x cos 5π 3 5πx sin 5π [( ) 15 3 5π x 3 5π sin 5πx ( 3 + 15π 3 + 5π x ) 5π x cos 5πx ] [ ] 15 3 3 5π 3 5π 3 15π 3 3 15π 3 15 4 3 3 15π 3 8 15 15π 3. Z P (E 5 ) stog slijedi 64 15 P (E 5 ) 1565 π 6 6.4 1 5. Sd kd immo vjerojtnost mjerenj tržene energije, broj neutron s tom energijom dobijemo tko d vjerojtnost pomnožimo s sveukupnim brojem neutron, tj. ] 4
n P (E 5 ) N.64. Što bi znčio ovkv rezultt? Lički, d niti jedn cijeli neutron ne bi imo energiju E 5. Sttistički gledno, to znči d bi trebli imti 1 put više neutron (dkle, 1 njih) d bi brem 6 njih imlo tu energiju. d) Očekivnje energije je konstntno u vremenu 6. Zto vrijedi E t E t>. Očekivnje energije se rčun ko prosječn vrijednost opertor energije, tj. Hmiltonijn Ĥ7 : ( E t ψ (x, )Ĥψ(x, ) dx ψ (x, ) ) m x ψ(x, ) dx m Ax(x ) d (Ax A) } dx {{} A ( ) 3 x 3 m 5 3 x 3 m 5 5 m, dx A m ( ) 3 3 3 }{{} 3 3 3 6 3 6 x(x ) dx što je red veličine oko 1 ev, z širinu kutije od 5 1 1 m. Ndlje, dobili smo reln broj z očekivnje, što dodtno potvrduje dobiveni rezultt, jer je u kvntnoj mehnici nmetnuto prvilo d svojstvene vrijednosti (očekivnj) opertor, koji predstvlj neku fiziklnu observblu, morju biti relni brojevi. Ti opertori se zovu Hermitski opertori 8. QED Zdtk Elektron se gib u x smjeru s de Broglievom vlnom duljinom 1 8 cm. ) Kolik je energij elektron u ev-im? b) Kko izgled vremenski nezvisn vln funkcij elektron? c) Ndite gustoću vjerojtnosti i vjerojtnost d se elektron nlzi u nekom položju x? ) Energij se lko izrčun preko impuls dok z sm impuls immo E p m, 6 T činjenic slijedi iz zkon očuvnj energije, koji u kvntnoj mehnici vrijedi z prosječne vrijednosti veličin, tj. opertor, odnosno, observbli. 7 Z grnice integrl i u očekivnju stoje uvjeti fiziklne situcije u kojoj se nlze nši neutroni. 8 Ko što su npr. opertor energije, tj. Hmiltonijn Ĥ ili opertor impuls ˆp. Dokz d su oni Hermitski možete nći u Richrd L. Liboff, Introductory Quntum Mechnics, str. 16-17. 5
Iz tog slijedi p h λ π λ. E π λ m 7.6 1 19 J 4.75 ev. b) Vln funkcij elektron će biti 9 ϕ k Ae ikx, k π λ, λ konst. Nši elektroni se nlze u stnju s točno odredenim vlnim brojem k, odnosno, impulsom p k 1. c) Već smo u prethodnom zdtku vidjeli kko se dobije gustoć vjerojtnosti iz vlne funkcije. Prem tome, immo ϕ k ϕ kϕ k A e } ikx {{ e ikx } A konst. 1 To znči d je gustoć vjerojtnosti jednk z svki x 11. A to znči d je vjerojtnost nlženj elektron jednk u svkoj točki izmedu x i x. To znči mksimlnu neodredenost, što je u skldu s Heisenbergovim principom neodredenosti. U stnju ϕ k, poznto nm je s 1% sigurnošću d će mjerenje impuls dti rezultt k. Stog je, z to stnje, p, x. QED Zdtk 3 Koliko je očekivnje impuls ˆp z česticu u stnju: ψ(x, t) Ae x e iωt sin(kx)? U prethodnom smo zdtku već vidjeli kko se rčun očekivnje neke observble (smo što smo tmo imli opertor energije Ĥ). Prem tome, immo1 ˆp ψ ˆpψ dx, gdje je u kvntnoj mehnici ˆp i. Izrčunjmo prvo prcijlnu derivciju od ψ: x [ x ψ Ae iωt x ] ( x e sin kx + ke x cos kx Ae iωt e x k cos kx x ) sin kx. Z kompleksno konjugirnu vrijednost od ψ immo 9 Ov vln funkcij se dobije ko rješenje problem svojstvenih vrijednosti opertor energije i impuls z slobodnu česticu, ko što je nš. 1 Jer nm je zdn točno odreden vln duljin, k, odnosno, ˆp, su direktno povezni s njom. 11 Pošto je vln funkcij, funkcij od x, td je i gustoć vjerojtnosti, jer se rčun direktno iz vlne funkcije, tkoder, funkcij od x. 1 U zdtku nm nigdje nije zdn ili n neki nčin opisn situcij u kojoj se nlzi nš čestic. Zbog tog ko grnice integrl u očekivnju stoje beskončnosti. 6
Uvrstimo sd to sve u očekivnje: ˆp i i A ψ Ae x e iωt sin kx. ( Ae x e iωt sin kx Ae iωt e x e x Ovdje nm se sd jvljju dv integrl tip ( sin kx sin kx cos kx e x dx i k cos kx x sin kx k cos kx x ) dx. ) sin kx x sin kx e x dx. Oni su ob jednk nuli, jer su to integrli od ntisimetrčnih (neprnih) funkcij po simetričnom intervlu (od do s obzirom n ). U prvom integrlu su eksponencijln (jer sdrži kvdrt od x) i kosinus simetrične (prne) funkcije, dok je sinus ntisimetričn. U drugom integrlu su eksponencijln i kvdrt sinus simetrične, dok je x ntisimetričn. Umnožk simetrične i ntisimetrične funkcije je opet ntisimetrčn funkcij. Uzevši to u obzir, immo dx QED ˆp. Zdtk 4 Nek su svojstvene funkcije i vrijednosti opertor Â: {ϕ n} i { n }, tdj. Âϕ n n ϕ n. Nek je funkcij f(x) dn s: f(x) b l x l. Pokžite d su svojstvene funkcije od f(â) s svojstvenim vrijednostim f( n), tj. l f(â)ϕ n f( n )ϕ n. Prem pretpostvci zdtk, z f(â) immo nlogn izrz: f(â) l b l  l. Zto kd f(â) djeluje n ϕ n dobivmo f(â)ϕ n l l b l  l ϕ n l b l  l 1 Âϕ }{{} n nϕ n b l nâl ϕ n... l l b l l nϕ n, b l n  l Âϕ n }{{} nϕ n prem pretpostvci zdtk je 7
Zto končno vrijedi QED b l l n f( n ). l f(â)ϕ n f( n )ϕ n. Zdtk 5 Promotrite opertor Ô ϕ ψ i proizvoljnu funkciju stnj f(x). Opišite sljedeće izrze, ko su konstnte. f ϕ dx i ψ f dx ) f Ô b) Ô f c) f Ô f d) f Ô ψ. ) f Ô f ϕ ψ C ψ }{{} br konst. b) Ô f ϕ ψ f ϕ C }{{} ket konst. c) f Ô f f ϕ ψ f C C }{{}}{{} konstnt konst. konst. d) f Ô ψ f ϕ ψ ψ C }{{}}{{} konstnt QED konst. 1 Zdtk 6 Promotrite funkcije definirne n intervlu [, ]. ϕ k 1 e ikx ) Pokžite d su ove funkcije normlizirne n jedinicu i d zdržvju ovu normlizciju u limesu. b) Pokžite d ove funkcije čine ortogonln skup u limesu. 8
) Koristimo opet uvjet normlizcije unutr zdnog intervl. Dkle, ϕ k dx 1 e ikx 1 e ikx dx 1 U zdnom limesu nše grnice teže u beskončnost, p immo ϕ k dx 1 e ikx 1 e ikx 1 dx lim b) Izmedu element ortogonlnog skup, ϕ k i ϕ k mor vrijediti 13 dx 1 ( + ) 1. }{{} ( 1 dx lim ) + }{{} lim 1 1. P provjerimo to i z nše funkcije 14 : ϕ k ϕ k. ϕ k ϕ k Time je trženo svojstvo dokzno. QED Zdtk 7 Promotrite funkciju 1 e ikx 1 e ik x dx 1 g(x) x(x )e ikx. e i(k k)x dx } {{ } πδ(k k) π δ(k k). }{{}, k k Izrčunjte koeficijente rzvoj, n, ove funkcije, gdje se rzvoj vrši po stcionrnim funkcijm čestice u potencijlnoj jmi, tj. po ϕ n nπx sin. Funkciju g(x) ćemo rzviti u red po ϕ n (x). Tj rzvoj neće biti ništ drugo, nego diskretn Fourierov reprezentcij preko trigonometrijskog red ϕ n (x). Zpišimo tj rzvoj preko sume: ili u Dircovoj notciji g(x) n ϕ n (x) n1 13 To je smoz jedn dio svojstv ortonormirnosti iz zdtk 1.c) 14 Jednkost e i(k k)x dx πδ(k k) slijedi ko jedn od osnovnih svojstv (reprezentcij) Dircove delt funkcije. Ko referencu vidi npr. Richrd L. Liboff, Introductory Quntum Mechnics, str. 857. 9
g n n ϕ n 15 n n ϕ n. Množeći rzvoj slijev s ϕ n dobivmo koeficijente rzvoj ϕ n g ϕ n n n ϕ n 16 n ϕ n n ϕ n n n ϕ n ϕ n 17 n n δ n,n n. Znči, nši koeficijenti rzvoj su dni s integrlom ϕ n g. Uvrštvjući zdne funkcije g i ϕ u tj integrl immo 18 n sin n πx x(x )e ikx dx ( x e ikx sin n πx dx { xe ikx sin n πx ) dx 19 1 [ k n π ( k sin(k) ( n π cos(n π) + ( k n π ) sin(n π) ) + cos(k) ( n π( k n π ) cos(n π) + ( k + n π ) sin(n π) ))] + 1 [ ( k n π ) 3 i 3( sin(k) ( n π ( 4 k 4 n π + n 4 π 4 k (3 + n π )) cos(n π) + ( 4 k 4 n 4 π 4 ) sin(n π) ) + k cos(k) ( 4n π( k n π ) cos(n π) + ( k 4 k 4 + (3 + k )n π n 4 π 4 ) sin(n π) ))]} QED Zdtk 8 ) Pokžite d je (  b ˆB )  + b ˆB. b) Pokžite d je (  ˆB ) ˆB Â. c) Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od, R? d) Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od ˆD, ˆD x? e) Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od (  ˆB ˆBÂ)? f) Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od (  ˆB + ˆBÂ)? g) Čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od i(  ˆB ˆBÂ)? h) Čemu je jednko (  )? i) Čemu je jednko (   )? ) Prvo pogledjmo kko se definir Hermitski djungirn vrijednost npr. nekog opertor: Ako z opertor  vrijedi 15 Jer ćemo pretpostviti d su koeficijenti rzvoj, n, konstnte. 16 Jer integrl i sum komutirju. 17 Prem svojstvu ortonormirnosti svojstvenih funkcij Hmiltonijn z česticu u potencijlnoj jmi. 18 U zdtkuse opet ne govori ništ o fiziklnoj situciji, p su z grnice integrl uzete dimenzije končne potencijne jme širine. 19 Vrijednosti ovih dvju integrl su izrčunte pomoću progrmskog pket Mthemtic. 1
 ψ l ψ n ψ l Âψ n, ond se  zove Hermitski djungirn vrijednost opertor Â. Ndlje, pretpostvimo d su Â, ˆB, i b Hermitski djungirne vrijednosti od Â, ˆB, i b 19, tj. d z njih vrijedi prethodn relcij. Dkle, ψ l (  + b ˆB ) ψ n ψ l ( Âψ n + b ˆBψ n ) ψ l Âψ n + ψ l b ˆBψ n ψ l Âψ n + b ψ l ˆBψ n  ψ l ψ n + b ˆB ψ l ψ n  ψ l ψ n + b ˆB ψ l ψ n (  + b ˆB ) ψ l ψ n Time je dokzno d je (  b ˆB )  + b ˆB. b) Opet krenimo iz definicije ψ l  ˆBψ n ψ l Â( ) ˆBψn  ψ l ˆBψ n ˆB (  ) ψ l ψn ˆB  ψ l ψ n. Time je dokzno ( ˆB) ˆB Â. c) Ako je R. Pošto je z brojeve općenito, td vrijedi. d) Prvo ćemo pokzti čemu je jednk Hermitski djungirn vrijednost od ˆD, ond ćemo tj rezultt iskoristiti z ˆD. Dkle, ψ l ˆDψ n ψ l ψ n x dx u ψl du ψ l x dx dv ψn x dx v ψ n (ψl ψ n ) }{{} ˆDψ l ψ n. ψ l x ψ n dx Čln u v u supstituciji prcijlnog integrirnj je jednk nuli, jer su ψ l i ψ n elementi od h 1. Stog je ˆD ˆD. 19 Ovu pretpostvku ćemo zdržti kroz cijeli zdtk. i b su općenito kompleksni brojevi. Hermitski djungirn vrijednost kompleksnog broj je njegov kompleksno konjugirn vrijednost, odnosno,, C. 1 h je primjer Hilbertovog prostor, odreden s skupom kvdrtno-integrbilnih funkcij, definirnih n cijelom x intervlu od do (uočite grnice integrl), s končnom normom, tj. z koje vrijedi 11
Tj rezultt iskoristimo sd z ˆD : ψ l ˆD ψ n ψ l ˆD ( ) ˆDψn ˆDψ l ˆDψ n ˆDψ l ˆDψ n ˆD ( ) ˆDψl ψn ˆD ψ l ψ n. Iz tog slijedi ( ˆD ) ˆD. e) Krenimo od definicije ψ l (  ˆB ˆBÂ) ψ n ψ l (  ˆBψ n ˆBÂψ n) ψ l Â( ) ˆBψn ψl ˆB ( ) Âψ n  ψ l ˆBψ n ˆB ψ l Âψ n ˆB (  ) ψ l ψn  ( ) ˆB ψ l ψn ( ˆB  )  ˆB ψ l ψ n Iz tog slijedi ( ˆB ˆB ) ˆB   ˆB. f) Dokz nećemo provoditi, jer je potpuno nlogn onome iz e) dijel zdtk. N krju se dobije ( ˆB + ˆB ) ˆB  +  ˆB. g) Ovj dokz je nlogn onim iz ) i e) dijelov zdtk. S ) dijelom zdtk im sličnost zbog imginrne jedinice, n mjestu koje je u ) dijelu zdtk stjo neki kompleksn broj, dok je s e) dijelom zdtk sličnost u pojvljivnju istog izrz (  ˆB ˆBÂ). Pošto je i i, z rezultt slijedi ( i (  ˆB ˆBÂ)) i ( ˆB   ˆB ). Kd bi derivirli ovu nejednkost, dobili bismo Iz tog slijedi d u h vrijedi Z < ψ ψ ψ dx <. < ψ ψ <. (ψ l ψn). Zšto su uopće nše funkcije iz Hilbertovog prostor? Hilbertov prostor je prostor funkcij. On im svrhu d pruži odredenu geometrijsku kvlitetu nekim pstrktnim konceptim kvntne mehnike. Nime, on jko sliči n npr. 3-dimenzionlni vektorski prostor, tj. im gotovo ist svojstv (ko što su linernost, unutrnji produkt, norm i potpunost). Pošto su njegovi elementi funkcije, zbog te sličnosti omogućv nm odredenu zornost. 1
h) Prvo pretpostvimo d  i  imju svoje Hermitski djungirne vrijednosti, tj. d vrijede relcije  ψ l ψ n ψ l Âψ n, Td immo (  ) ψl ψ n ψ l  ψ n. (  ) ψl ψ n ψ l  ψ n  ψ n ψ l 3 ψ n Âψ l Âψ l ψ n. Usporedivjući prvi i posljednji čln u izrzu, dobivmo d je ( ) Â. i) Služeći se dokzim b) i h) dijelov zdtk, immo QED (  )  (  ) }{{}   Â. Zdtk 9 Ako su  i ˆB Hermitski opertori, koji su od sljedećih opertor, tkoder, Hermitski: ) i (  ˆB ˆBÂ) b) (  ˆB ( ˆBÂ) ) ˆB + ˆB c) d) Ako  nije Hermitski, d li je   Hermitski? ) Prvo spomenimo definiciju: Hermitski opertor je opertor kojemu je Hermitski djungirn vrijednost jednk njemu smome, tj. vrijedi  ( Â. U ovom slučju iz g) dijel zdtk 8. vidimo d i (  ˆB ˆBÂ)) ( i ˆB ˆB ). Stog, i (  ˆB ˆBÂ) nije Hermitski. b) Prem rješenju e) dijel zdtk 8. slijedi d (  ˆB ˆBÂ) općenito nije Hermitski. 4 ) ( ˆB + ˆB c) Prem f) dijelu zdtk 8., je Hermitski. 1/ ne mijenj ništ, jer je reln broj 5, p se Jer je ( ) Hermitski konjugirn vrijednost od Â. 3 Jer je  Hermitski konjugirn vrijednost od Â. 4 Osim u slučju kd opertori  i ˆB komutirju, jer td je  ˆB ˆBÂ, iz tog slijedi ˆB  ˆB  ˆB ˆBÂ. 5 A svki reln broj je Hermitski opertor: 13
on 6 smo prebci iz ket vektor u br vektor. d) Prem i) dijelu zdtk 8., vidimo d je Hermitski djungirn vrijednost opertor   jednk njemu smome. T jednkost, očito vrijedi bez obzir d li je  Hermitski ili ne. Dkle,   je Hermitski. QED Zdtk 1 Koristeći izrze z svojstvene funkcije opertor ˆp, ϕ k 1 π e ikx, te rzvoj funkcije stnj sistem u trenutku t po njim, pokžite d vrijedi implikcij: ψ(x, ) b(k)ϕ k dk, ψ ψ 1 b(k) dk π. U lijevu strnu uvjet normlizcije uvrstimo rzvoj funkcij ψ po ϕ k 7, sme izrze z ϕ k, te n krju izjednčimo s 1: ψ ψ b (k)ϕ k b(k)ϕ k dk Iz posljednje jednkosti, množenjem s π, slijedi tržen relcij: b(k) 1 e ikx 1 e ikx dk 1 b(k) dk 1. π π π QED b(k) dk π. Zdtk 11 Puls dužine 1 m sdrži 1 α čestic. U t, svk se α čestic nlzi u stnju: ψ(x, ) { 1 1 eik x, x.5 m, k π 5, inče. ) U t, koliko će α čestic imti impuls u intervlu < k < k? ψ l ψ n ψ l ψ n, R. 6 Vidi ) dio zdtk 8. što se tiče situcije s brojevim unutr br i ket. 7 Ovj rzvoj nije zpisn preko sume, već preko integrl, jer stnj ϕ k čine kontinuum ( ne ko npr. svojstven stnj opertor energije, koj čine diskretni spektr). U rzvoju, koeficijenti b(k) oznčvju projekcije stnj ψ(x, ) n svojstven stnj ϕ k. Njihov kvdrt put diferencijl po k: b(k) dk, dje vjerojtnost d će mjerenje impuls dti vrijednost p k, u intervlu [ k, (k + dk)]. 14
b) Koje vrijednosti impuls neće imti niti jedn α čestic u t? ) D bismo dobili broj α čestic s impulsom unutr zdnog intervl, trebmo prvo nći vjerojtnost nlženj jedne čestice unutr tog intervl. U prethodnom zdtku smo vidjeli d je t vjerojtnost dn s koeficijentim rzvoj stnj čestic ψ(x, ) po svojstvenim stnjim opertor impuls ϕ k : ψ(x, ) b(k)ϕ k dk. Iz ovog rzvoj treb izrziti koeficijente rzvoj b(k). Z to, prvo prepišimo rzvoj u obliku ψ(x, ) Množeći ovu relciju slijev s ϕ k, dobivmo koeficijente: ϕ k ψ(x, ) ϕ k b(k)ϕ k dk b(k)ϕ k dk. b(k) ϕ k ϕ k dk b(k)δ(k k) dk b(k ). Izrčunjmo sd nše koeficijente (slik ) uvrštvjući funkcije ψ i ϕ eksplicitno u integrl: b(k) ϕ k(x)ψ(x, ) dx 1 ψ(x, )e ikx dx 8 1 π 1 π 1.5 ( ) 1 e i(k k)x dx 9 1 π.5 1 π 1 i(k k ) 1 [e ] 1 i (k k) e i (k k )x π i(k k ) }{{} ) 1 5 π(k k ) sin Sd možemo izrčunti vjerojtnost: P k b(k) dk 1 k 5 π ( k k i sin ( k k ). k k t; k t k π 1 dk dt; π.. π 1 π 1 sin ( ) k k ( ) dk 1 k k 5π k k t k ( 1) π 1 sin t t dt 31 k ( 1) π }{{} 1 1 Broj α čestic, koje će imti impuls unutr zdnog intervl je.5.5 e i(k k )x 1 e ik x e ikx dx 1 sin ( ) k k 4 ( ) k k dk 1 π k sin ( ) k k ) dk ( k k 9 Grnice integrirnj su se promjenile, jer je funkcij ψ rzličit od smo n dnom segmentu [.5,.5]. 3 Integrl se vrlo lko izrčun jednostvnom supstitucijom i(k k )x t. 31 Ovj integrl je rijšen pomoću progrmskog pket Mthemtic, i to tko d je rzvijen u red oko do n čln red potencije 1 7. 15
.4 b k.3..1 8Π 6Π 4Π Π Π 4Π 6Π 8Π k Slik. Koeficijenti rzvoj b(k). n P N. 1.. b) Niti jedn nš čestic neće imti one vrijednosti impuls, z koje je vjerojtnost mjerenj jednk nuli. Pošto se vjerojtnost rčun iz gustoće vjerojtnosti, promtrt ćemo b(k) (slik ). Iz ) dijel zdtk možemo vidjeti d je gustoć vjerojtnosti proporcionln s ( ) k sin k. Slik. Koeficijenti rzvoj b(k). 16
To znči d će on biti jednk nuli, kko Z impuls p k iz tog slijedi k k nπ k k + nπ. p k + n π, n Z. Te vrijednosti impuls neće biti zstupljene kod nijedne α čestice. QED Zdtk 1 U t, 1 neutron se nlzi u jednodimenzionlnoj kutiji širine 1 5 cm. 1 neutron im energiju 4E 1, 9 neutron im energiju 5E 1. ) Konstruirjte funkciju stnj koj im ov svojstv. b) Iskoristite dobivenu funkciju stnj d izrčunte gustoću, ρ(x), neutron po jediničnoj dužini. c) Koliko se neutron nlzi u lijevoj polovici kutije? ) Znmo d energiju, općenito, n-tog pobudenog nivo čestice u jednodimenzionlnoj kutiji možemo izrziti preko energije 1. nivo: E n n E 1. U zdtku immo zdne dvije energije koje ond pripdju nivoim E 4E 1 E 1 E, E 5E 1 15 E 1 E 15. Dkle, N 1 čestic se nlzi u stnju s glvnim kvntnim brojem n, kojem pripd vln funkcij (slik ) πx ϕ sin, dok je N 9 čestic je u stnju s glvnim kvntnim brojem n 15, kojem pripd vln funkcij (slik ) 15πx ϕ 15 sin. Vln funkcij, koj opisuje stnje svih ovih čestic, može se npisti ko superpozicij svojstvenih funkcij Hmiltonijn, koji opisuje situciju čestic u jednodimenzionlnoj kutiji: ψ(x, ) b ϕ + b ϕ 15. Treb još smo nći koeficijente rzvoj b i b. Vjerojtnosti nlženj čestic u stnju s energijom E, odnosno, E je lko nći: Pošto znmo d je P N N 1 1 1 1, P N N 9 1 9 1. 17
φ x x Slik. Vln funkcij stnj n. P (E n ) b n, td nm, iz izrčuntih vjerojtnosti, z koeficijente slijedi P b b 1 1, P b b 9 1. Uvrštvjući ih, zjedno s svojstvenim funkcijm ϕ i ϕ 15, u rzvoj funkcije stnj, z istu dobivmo (slik ) 1 πx 9 ψ(x, ) sin 5 + 15πx sin. 5 b) Gustoću čestic po jedinici duljine možemo izrčunti prem Dkle, immo ρ(x) N ψ. ( 1 ρ(x) 1 5 1 1 5 ( sin πx πx 9 sin + 15πx sin 5 ( sin πx + 3 sin 15πx + 3 sin 15πx ). ) ) c) D bismo izrčunli broj čestic u lijevoj polovici kutije, trebmo prvo vjerojtnost nlženj čestice u 18
φ 15 x x Slik. Vln funkcij stnj n 15. toj polovici: ( P < x < ) ψ dx 3.53457. ( ) Znči, u lijevoj polovici kutije se nlzi n N P < x < 53.457 čestic. Vidimo d se ovj rezultt rzlikuje od onog iz b) dijel zdtk 1. No, t rzlik je logičn, ko se pogled gustoć vjerojtnosti (slik ). Vidimo d u ovom slučju gustoć vjerojtnosti nije simetričn s obzirom obzirom n središte kutije u. Zbog tog se može, smo gledjući sliku, zključiti d vjerojtnost nlženj čestice u lijevoj polovici neće biti jednk onoj u desnoj polovici. Zdtk 13 Ako su  i ˆB Hermitski opertori, pokžite d je  ˆB, tkoder, Hermitski, ko vrijedi [Â, ˆB]. Ako  i ˆB komutirju, odnosno, ko vrijedi td slijedi d je [Â, ˆB],  ˆB ˆBÂ. Uzimjući Hermitski djungirnu vrijednost ove relcije, immo ˆB   ˆB. Ndlje, slijedi 3 Vrijednost integrl je izrčunt pomoću progrmskog pket Mthemtic. 19
Ψ x, x Slik. Vln funkcij stnj čestic ko superpozicij svojstvenih funkcij ϕ i ϕ 15. ( ˆB) 31 ˆB  3  ˆB 33  ˆB. Usporedujući prvi i posljednji izrz u jednkosti, vidimo d je  ˆB Hermitski opertor. QED Zdtk 14 Ako su ˆx i ˆp u Hilbertovom prostoru i ko vrijedi [ˆx, ˆp] i, pokžite d, ko je ˆx x, tj. opertor ˆx predstvlj množenje s x, td ˆp im reprezentciju gdje je f(x) proizvoljn funkcij. ˆp i x + f(x), Trženu činjenicu ćemo njlkše dokzti tko d dnu reprezentciju uvrstimo u komutcijsku relciju izmedu opertor položj i impuls. Ako dn reprezentcij zdovoljv komutcijsku relciju, td je cinjenic dokzn. Dkle, QED ( ˆxˆp ˆpˆx x i ) ( x + f i ) x + f x i x x }{{} +x f + i x x }{{} 1 f x i. 31 Prem dokzu iz b) dijel zdtk 8. 3 Jer  i ˆB komutirju 33 Jer su  i ˆB Hermitski.
Ψ x Slik. Gustoć vjerojtnosti nlženj čestice. x Zdtk 15 Promotrite tri observble Â, ˆB i Ĉ. Ako je poznto d vrijedi [ ˆB, Ĉ ] [Â, Â, Ĉ ] ˆB, pokžite d vrijedi (AB) C 1 A + B. Pretpostvimo d dvije observble ne komutirju: [Â, ˆB] Ĉ. Td vrijedi  ˆB 1 Ĉ. Ovo poopćenje princip noedredenosti se ponekd nziv Robertson - Schrödingerov relcij. Z nše opertore vrijedi [Â, ˆB]  [ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] }{{}}{{} ˆB  + ˆB.  ˆB Td, prem Robertson - Schrödingerovoj relciji, slijedi d vrijedi 34 Jer je očekivnje sume kvdrt observbli uvijek pozitivno. ˆ AB Ĉ 1  + ˆB 34 1  + ˆB. 1
QED Zdtk 16 Ako je g(x) proizvoljn funkcij, pokžite d vrijedi [ˆp x, g] i g x. Jer je u kvntnoj mehnici impuls u x-smjeru opertor oblik ˆp x i x, odmh iz definicije komuttor immo QED [ˆp x, g] ˆp x g gˆp x i g x + i g x }{{} i g x. Zdtk 17 Ako je [Â, ˆB] i Ĉ, te ko su  i ˆB ob Hermitsk, dokžite d je Ĉ, tkoder, Hermitski. Ĉ će biti Hermitski, ko je on sm jednk svojoj Hermitski djungirnoj vrijednosti Ĉ. Krenimo od pretpostvke zdtk [Â, ˆB]  ˆB ˆB iĉ, Hermitskim djungirnjem cijele jedndžbe, koristeći se rješenjim e) (z lijevu strnu) i ) (z desnu strnu) dijel zdtk 8, dobivmo ˆB   ˆB iĉ. Pošto su, prem pretpostvci zdtk,  i ˆB Hermitski opertori, td z lijevu strnu jednkosti immo odnosno ˆB  ˆB iĉ,  ˆB ˆB iĉ. Usporedujući dobivenu jednkost s početnom pretpostvkom zdtk, n krju dobivmo što znči d je Ĉ Hermitski opertor. QED Ĉ Ĉ,
Zdtk 18 Dokžite d ko su  i ˆB Hermitski, td je [Â, ˆB] Hermitski, kko je [Â, ˆB]. Ekvivlenciju ćemo dokzti tko dd ćemoprvo dokzti implikciju udesnu strnu, ztim u lijevu strnu. Znči, iskoristimo prvo pretpostvku d je [ Â, ˆB ] Hermitski. [Â, ˆB] 35 ˆB   ˆB 36 ˆB  ˆB. S druge strne, pošto je [ Â, ˆB ] Hermitski, td je [Â, ˆB] [Â, ˆB]  ˆB ˆBÂ. Izjednčvjući končne dijelove prethodnih dviju jednkosti, dobivmo ˆB  ˆB  ˆB ˆB ˆB  ˆB ˆB  ˆB  ˆB [Â, ˆB ˆB]. Sd krenimo od pretpostvke d je [ Â, ˆB ]. Td je Ndlje immo  ˆB ˆBÂ. [Â, ˆB] 37 ˆB  ˆB  ˆB ˆB [ Â, ˆB ]. Dkle, [ Â, ˆB ] je Hermitski opertor. Time je ekvivlencij dokzn. QED Zdtk 19 ) Pokžite d z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji, u proizvoljnom stnju ψ(x, ), vrijedi b) Pod kojim uvjetim vrijedi znk jednkosti? H E 1. ) E 1 predstvlj energiju stnj s osnovnim kvntnim brojem n 1. Očekivn energij se dobije tko d se rčun očekivnje Hmiltonijn 35 Prem rješenju e) dijel zdtk 8. 36 Prem pretpostvci d su  i ˆB Hermitski. 37 Ko što smo pokzli u prvom dijelu zdtk. H ψ H ψ. 3
Krenimo od jedndžbe svojstvenih vrijednosti z Hmiltonijn H ϕ n E n ϕ n, gdje su ϕ n svojstvene funkcije, E n svojstvene vrijednosti opertor energije (Hmiltonijn). Djelujući n tu jedndžbu slijev s ϕ k dobivmo ϕ k H ϕ n E n ϕ k ϕ n 38 E n δ nk. Sd rzvijmo ket, odnosno br, funkcije proizvoljnog stnj u red preko ketov, odnosno brov, svojstvenih funkcij Hmiltonijn: ψ α α ψ α α c α ϕ α ϕ α c α ϕ α ϕ α ψ 39 c α ϕ α ψ ϕ α ϕ α. T dv rzvoj uvrstimo u uvjet normirnosti svojstvenih funkcij Hmiltonijn ψ ψ 1. ψ ψ ψ ϕ α ϕ α ϕ β ϕ β ψ 4 αβ ψ ϕ α δ αβ ϕ β ψ 41 αβ α α α ψ ϕ α ϕ α ψ ϕ α ψ ϕ α ψ ϕ α ψ. Koristeći dobivenu jednkost, z očekivnje Hmiltonijn dobivmo ψ H ψ ψ ϕ α ϕ α H ϕ β ϕ β ψ αβ ψ ϕ α E α δ αβ ϕ β ψ αβ α α E α ψ ϕ α ϕ α ψ E α ϕ α ψ. 38 Jer su svojstvene funkcije Hmiltonijn ortonormirne. 39 Koeficijente rzvoj dobijemo n nčin ko što smo već prije pokzli u zdtku 7. 4 Indekse sumcije u rzvoju ketov mormo nužno oznčiti s drugim simbolom β, jer člnovi tog red općenito nemju iste vrijednosti, odnosno indekse. 41 Vidi footnotu 38. 4
Ndlje, znmo d vrijedi Što znči d mor vrijediti E α E 1, α N 4. ψ H ψ E 1 ϕ α ψ α E 1 ϕ α ψ α } {{ } 1 E 1. Time je trženi iskz dokzn. b) Jednkost očito vrijedi u slučju kd su sve svojstvene vrijednosti n-terostruko degenerirne. Zdtk Koliko iznose očekivnje x i kvdrtni korijen vrijnce x z sljedeće gustoće vjerojtnosti: ) P (x) A[ 4 + (x x ) 4 ] 1. b) P (x) Ax e x. ( c) P (x) A sin x x Zdtk 1 ) 8π e x x. ) Čestic mse m gib se u jednoj dimenziji (x). Poznt je moment čestice p x k, gdje je k poznt konstnt. Kko izgled vremenski-nezvisn (nenormlizirn) vln funkcij ove čestice, ψ (x)? b) Čestic intergir s sistemom. Nkon interkcije poznto je d je vjerojtnost mjerenj moment 1/5 z p x k, odnosno 4/5 z p x 8 k. Kko izgled vremenski-nezvisn (nenormlizirn) vln funkcij ove čestice, ψ b (x)? Zdtk ) Pokžite d vrijedi [A, B] [B 1, A 1 ]. b) Pokžite d vrijedi [B 1, C] [B, C]. c) Dokžite Jcobijevu relciju: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]]. Zdtk 3 ) Ndite ψ(x, t) i P (E n ) u trenutku t >, koji se odnose n česticu u jednodimenzionlnoj kutiji s zidovim u (, ) u početnom stnju: ( ) ( ) 3πx πx ψ(x, ) A 1 sin cos. b) Ako mjerenje od E dje E 4E 1 u trenutku t 6 s, kko izgled ψ(x, t) u trenutcim t > 6 s z početno stnje iz ) dijel zdtk? 4 Vidjeti npr. sliku 4.3 ) u Richrd L. Liboff, Introductory Quntum Mechnics, str. 93. 5
Zdtk 4 Slobodn čestic mse m gib se u jednoj dimenziji, te je poznto d se nlzi u početnom stnju: ψ(x, ) sin(k )x. ) Kko izgled ψ(x, t)? b) Ako je vrijednosti impuls p mogu dti mjerenj u trenutku t, te s kojim vjerojtnostim se te vrijednosti pojvljuju? c) Pretpostvimo d u trenutku t 3 s, mjerenje impuls p dje vrijednost k. Kko izgled ψ(x, t) u trenutcim t > 3 s? Zdtk 5 Čestic se gib u jednoj dimenziji, te im vlnu funkciju: ψ(x, t) Ae i(x bt), gdje su i b konstnte. ) Kko izgled potencijl V (x) u kojem se gib čestic? b) Ako se vrši mjerenje impuls, koj će se vrijednost (izrženo preko i b)? c) Ako se mjeri energij, koj će se vrijednost dobiti? Zdtk 6 Dokžite d ko je Zdtk 7 [Ĥ, Â] i  t Pokžite d u stcionrnom stnju vrijedi ko je  t Zdtk 8, koristeći komuttorsku relciju d A dt, td je A konstnt u vremenu. d A, dt i  [Ĥ, Â] +. t Pokžite d z vlni pket, koji se širi u jednoj dimenziji, vrijedi: m d x dt xp + px. Zdtk 9 Čestic, koj se gib u jednoj dimenziji, intergir s potencijlom V (x). Pokžite d z stcionrno stnje ovog sistem vrijedi: 6
1 x V T, x gdje je T p m Zdtk 3 kinetičk energij čestice. Hrmonički osciltor se sstoji od mse 1 g n opruzi. Frekvencij mu je 1 Hz, ms prolzi kroz rvnotežni položj brzinom od 1 cm/s. Koji je red veličine kvntnog broj pridruženog energiji sistem? Zdtk 31 Koristeći osnovnu komutcijsku relciju [ˆx, ˆp] i, pokžite d vrijedi: [â, â ] 1. Zdtk 3 Općenit formul z konstntu normlizcije funkcij ϕ n je A n 1 n n! π. Pokžite d t formul dje isprvnu normlizciju z ϕ 4. Zdtk 33 ( Pokžite d iz oblik z ϕ n dnog s ϕ n A n ξ ) n e ξ direktno slijedi ξ ˆPϕ n ( 1) n ϕ n, gdje je ˆP opertor pritet. Zdtk 34 ) Pokžite d je n-to svojstveno stnje ϕ n generirno iz normlizirnog osnovnog stnj ϕ preko ϕ n 1 n! (â ) n ϕ. b) Pokžite d ) dio zdtk povlči slijedeće relcije: âϕ n nϕ n 1, â ϕ n n + 1ϕ n+1, gdje su funkcije ϕ n 1 i ϕ n+1 normlizirne. 7
Zdtk 35 Hrmonički osciltor se nlzi u početnom stnju ψ(x, ) ϕ n (x), tj. u svojstvenom stju od Ĥ. Kko izgled ψ n(x, t)? Zdtk 36 Pokžite d z hrmonički osciltor u superponirnom stnju ψ(x, t) 1 [ ψ (x, t) + ψ 1 (x, t) ] vrijedi x C cos(ω t). U gornjoj notciji je ψ n (x, t) ϕ n (x)e i E nt. Zdtk 37 Ndite x z hrmonički osciltor u superponirnom stnju ψ(x, t) 1 [ ψ (x, t) + ψ 3 (x, t) ]. Hrmonički osciltor im prirodnu frekvenciju ω. Zdtk 38 Pokžite d, ko postoji stnje, koje je istovremeno svojstveno stnje od ˆL x i ˆL y, d td to stnje im svojstvene vrijednosti L x L y L z. Zdtk 39 Dokžite d su ˆL x i ˆL Hermitski opertori. Zdtk 4 Ako je [ Â, ˆL x ] [Â, ˆLy ] [Â, ˆLz ], koliko je [Â, ˆL ]? Zdtk 41 ) Pokžite d ˆP ntikomutir s opertorom impuls ˆp. 8
b) Iskoristite odgovor iz ) dijel zdtk d pokžete d ˆP komutir s opertorom kinetičke energije ˆT ˆp m. Zdtk 4 ) Ako je f(x) bilo koj funkcij, pokžite d je f + f f(x) + f( x) prn funkcij f(x) f( x) neprn funkcij b) Pokžite d je tkv d vrijedi ˆP + Î + ˆP, ˆP + f(x) f + (x). c) Pokžite d je ˆP Î ˆP, tkv d vrijedi ˆP f(x) f (x). Opertor ˆP + projektir f n f +, dok ˆP projektir f n f. d) Dokžite d opertori projekcij ˆP + i ˆP, imju slijedeć svojstv: ˆP ± ˆP ± [ˆP+, ˆP ] ˆP + + ˆP Î. Zdtk 43 Koliko iznosi P z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji s zidovim n [, ], koj je u početnom stnju: ψ(x, ) 1 9 (3 ϕ + 3 ϕ 4 + ϕ 3 ). Zdtk 44 9
Z česticu u jednodimenzionlnoj kutiji z zidovim n [, ] je poznto d se nlzi u stnju s vjerojtnostim energij: P (E 1 ) 1 3, P (E ) 1 3, P (E 3) 1 3. P (E n), n 1,, 3. Mjeren je i pritet stnj, te je dobiven vrijednost 1. Ako se u nekom ksnijem trenutku mjeri E, koj će se vrijednost dobiti? Kolik bi bil t vrijednost d je početno mjerenje pritet dlo rezultt +1? Zdtk 45 Z slobodnu česticu, koj se gib u jednoj dimenziji, podijelite skup opertor n podskupove komutirjućih opertor. {ˆP, ˆx, Ĥ, ˆp} Zdtk 46 Slobodn čestic, koj se gib u jednoj dimenziji, se nlzi u početnom stnju ψ(x, ). Dokžite direktnim rčunnjem, tj. bez korištenj komuttorskog teorem (koji se tiče konstntni gibnj), d je p konstntno u vremenu. Zdtk 47 U tri dimenzije, ˆP je definirn s: ˆPψ(x, y, z) ψ( x, y, z). ) Kko izgled ov definicij, ko je ψ mjeren u sfernim koordintm, tj. ψ ψ(ρ, ϑ, ϕ)? b) Kko izgled ov definicij, ko je ψ mjeren u cilindičnim koordintm, tj. ψ ψ(ρ, z, ϕ)? Zdtk 48 Pokžite d u bezdimenzionlnoj notciji vrijedi jednkost: â â 1 ) (ξ ξ 1. Zdtk 49 Kko izgled simptotsko rješenje ϕ n Schrödingerove jedndžbe u području ϕ ξξ + (n + 1 ξ )ϕ ξ 1 + n n? Zdtk 5 3
Nek je zdn proizvoljn funkcij ϕ(p). Pokžite d uz ˆp p i ˆx i p, vrijedi [ˆx, ˆp]ϕ(p) i ϕ(p). Zdtk 51 Kko izgled svojstven funkcij opertor ˆx, u impulsnoj reprezentciji, koj odgovr svojstvenoj vrijednosti x? Tj. ndite rješenje jedndžbe ˆxϕ(p) xϕ x (p). Zdtk 5 Nek x oznčv svojstveni vektor opertor položj ˆx s svojstvenom vrijednošću x, te nek k oznčv svojstveni vektor opertor impuls ˆp s svojstvenom vrijednošću k. Pokžite d vrijedi: ) k k δ(k k ) b) x x δ(x x ) c) x k 1 π e ikx. Zdtk 53 Pokžite d se gustoć struje j može zpisti ko gdje je ˆp opertor impuls. j 1 m [ψ ˆpψ + (ψ ˆpψ) ], Zdtk 54 Pokžite d z jednodimenzionlnu vlnu funkciju oblik (gdje je ϕ(x, t) reln) vrijedi ϕ(x, t) Ae iϕ(x,t) j ϕ A m x. Zdtk 55 Pokžite d kompleksn potencijln funkcij, V (x) V (x), ne zdovoljv jedndžbu kontinuitet. Zdtk 56 Dokžite d, ko je ψ(x, t) reln, vrijedi 31
j, x. Zdtk 57 Pokžite d vrijedi T + R 1, z sve jednodimenzionlne probleme s potencijlnim brijerm. Zdtk 58 Pokžite d su koeficijenti refleksije z dv slučj s slike jednki. Zdtk 59 Jedndžb A + B C A B k k 1 C, koj se pojvljuje u rčunu problem potencijlne brijere s E > V, može se npisti u mtričnom obliku ( ) ( 1 1 B ) ( ) A 1 1 C. 1 A k k 1 Oznčvjući mtricu red s D, lijevi jednostupčni vektor s V, desni jednostupčni vektor s U, t se jedndžb može jednostvno zpisti ko Ov nehomogen mtričn jedndžb im rješenje DV U. 3
V D 1 U. ) Ndite D 1, te konstruirjte V nvedenom tehnikom. Provjerite svoj rezultt s C A 1 + k, k 1 B A 1 k k 1 1 + k k 1. b) Nprvite to isto s jedndžbom 1 + B A C A 1 B A i κ k 1 C A, koj se pojvljuje u rčunu problem potencijlne brijere s E < V, i provjerite s C A 1 + i κ, k 1 B A 1 κ k 1 1 + κ k 1. Zdtk 6 Pomoću novih vrijbli jedndžb se može zpisti u jednostvnijem obliku α ± k 1 ± k k 1 k, β k F A T e iϕ T, [ ( F A e ik 1 cos(k ) i ( ) ( B A Iskoristite ove izrze d bi dokzli: T + R 1. Zdtk 61 i F A B Re iϕ R, A k 1 + k k 1 k ) ) k 1 k k 1 k sin(k ) T e iϕ T e ik 1 cos β iα + sin β Re iϕ R iα T e iϕ T sin β. sin(k ) Snop elektron prolzi kroz potencijlnu brijeru dužine 4.5 Å. Koeficijent trnsmisije pokzuje 3. mksimum n energiji E 1 ev. Kolik je visin brijere? Zdtk 6 ] 1 33
Snop elektron upd n brijeru visine 1 ev. T 3.37 1 3. Kolik je širin brijere? N energiji E 1 ev, koeficijent trnsmisije iznosi Zdtk 63 Iskoristite Bohrov princip korespondencije s 1 T 1 + 1 V 4 E(V E) sinh (κ), E < V, d bi dokzli d je T z E < V, z klsični slučj snop čestic energije E, koji upd n potencijlnu brijeru visine V. Zdtk 64 Udrni presjek z rspršenje elektron n tomim rijetkog plin kripton im minimum n niskoj energiji od E.9 ev. Pretpostvljjući d elektroni vide potencijlni bunr tom širine 1 Bohr, izrčunjte njegovu dubinu. 34