Univerzitet u Nišu Prirodno - mtemtički Fkultet Deprtmn z mtemtiku Višestruko osigurnje - Mster rd - Mentor: dr Mrij Milošević Niš, Mrt 213. Student: An Jnjić
2
Sdržj 1 Uvod 5 2 Osnovni pojmovi 7 2.1 Motivcioni primer............................ 7 2.2 Pojm osigurnj............................. 8 2.3 Klsično životno osigurnje....................... 9 3 Model višestrukog dekrement 11 3.1 Osnovni koncept............................. 11 3.2 Funkcije doživljenj............................ 12 3.2.1 Opšt funkcij doživljenj.................... 12 3.2.2 Grub funkcij doživljenj.................... 14 3.2.3 Neto funkcij doživljenj..................... 22 3.3 Neto premije............................... 25 3.3.1 Jednokrtn neto premij.................... 26 3.3.2 Izrčunvnje premije u slučju kd se premijske uplte vrše neprekidno ili periodično.............. 33 4 Model osigurnj više osob 49 4.1 Sttus zjedničkog doživljenj...................... 5 4.1.1 Jednokrtn neto premij z sttus zjedničkog doživljenj...................... 53 4.1.2 Zkoni Gompertz- i Mkehm- z sttus zjedničkog doživljenj...................... 57 4.2 Sttus poslednjeg preživelog....................... 59 4.2.1 Jednokrtn neto premij z sttus poslednjeg preživelog....................... 62 4.3 Osigurnje z koje je relevntn redosled nstupnj smrti osigurnik 65 4.4 Doživotn rent preživelog osigurnik................. 67 4.5 Model uslovne nezvisnosti preostlih životnih vekov osigurnik....................... 69 4.5.1 Model zjedničkog slučjnog šok................ 7 5 Zključk 73 Litertur 73 3
4 6 Biogrfij 77
1 Uvod Pojm osigurnj oznčv pružnje sigurnosti, bezbednosti i zšite od rizik. Osigurnje predstvlj udruživnje lic koj su potencijlno izložen neželjenim posledicm nekog rizičnog dogdjj. Svrh tog udruživnj je zjedničko podnošenje ekonomskih posledic štete z koju se pretpostvlj d će zdesiti br jednog osigurnik. Ugovorom o osigurnju, osigurvjuć kompnij se obvezuje d će snositi rizik finnsijskog gubitk koji nstje ko posledic osigurnog slučj, dok se osigurnik obvezuje d će plćti unpred dogovorene premije osigurnj. Tem ovog rd je višestruko osigurnje. Sm rd sstoji se iz tri temtske celine. Prv celin predstvlj uvodni deo posvećen osnovnim pojmovim iz oblsti klsičnog životnog osigurnj. Pojšnjen je osnovni koncept osigurnj, odnosno kko se udruživnjem ulgnj može uprvljti rizikom. U okviru ove glve nvedeni su pojmovi koji su neophodni z dlji rd. Model višestrukog dekrement koristi se pri modelirnju ugovor o osigurnju koji obuhvtju više rizičnih dogdjj. Pri tom, nknd n ime sume osigurnj zvisi od tog koji se od osigurnih dogdjj relizovo. Opisni model proučvn je u okviru druge temtske celine. Dobijeni rezultti ilustrovni su dekvtnim primerim. U trećem delu rzmtrne su polise osigurnj koje se istovremeno odnose n više osob. U tom slučju se koristi model osigurnj više osob. U okviru ovog del nlizirne su i neke specifične vrste ugovor o osigurnju. Nvedeni su dekvtni primeri. Posebno zhvljujem mentoru, prof. dr Mriji Milošević, n podršci i srdnji. 5
6
2 Osnovni pojmovi Ovj odeljk posvećen je osnovnim pojmovim iz oblsti klsičnog životnog osigurnj. Jednostvnim primerom će biti pojšnjeno kko se udruživnjem ulgnj može uprvljti rizikom. Ukrtko će biti objšnjen koncept osigurnj. Biće nvedeni tipovi životnog osigurnj, ko i pojmovi koji su neophodni z dlji rd. 2.1 Motivcioni primer Rzmtrnje će biti zpočeto jednostvnim primerom koji ilustruje kko udruživnje ulgnj umnjuje rizik pojedinc. Nek su X 1 i X 2 slučjne promenljive koje predstvljju buduće prihode dv investitor n ime odgovrjućih ulgnj. Nvedene slučjne promenljive mogu uzimti i negtivne vrednosti, p će u tom slučju predstvljti negtivn prihod. Pretpostvlj se d slučjne promenljive X 1 i X 2 imju istu rspodelu, rdi jednostvnosti se pretpostvlj i d su stohstički nezvisne. Td su očekivn vrednost i disperzije prihod m = E[X i ] i σ 2 = V r[x i ], i = 1, 2. Cilj svkog investitor je minimizirnje rizik kome su izložen njegov ulgnj, tj minimizirnje disperzije ko mere rizik. U tom smislu se posmtrni investitori udružuju. Td će prihod svkog od njih biti izržen ko Y = 1 2 (X 1 + X 2 ). Očekivn vrednost prihod pojedinc nkon udruživnj je E[Y ] = 1 2 ( ) E[X 1 ] + E[X 2 ] = 1 (m + m) = m, 2 odnosno jednk je očekivnoj vrednosti prihod pre udruživnj. Medjutim, disperzij prihod svkog investitor posle udruživnj je V r[y ] = 1 4 ( ) V r[x 1 ] + V r[x 2 ] = 1 4 (σ2 + σ 2 ) = 1 2 σ2, 7
8 što je dvostruko mnje nego pre udruživnj. Dkle, rizik ukupnih ulgnj je osto isti, li je udruživnjem dvostruko smnjen rizik s kojim su suočeni ulgči pojedinčno. Posmtr se slučj kd je udruženo n investitor čiji su prihodi opisni slučjnim pomenljivim X 1, X 2,..., X n. Ko i u prethodnom rzmtrnju pretpostvlj se d nvedene slučjne promenljive imju istu rspodelu i d su stohstički nezvisne. Nek je pri tom m = E[X i ], σ 2 = V r[x i ], i = 1, 2,..., n. Udruživnjem, prihod svkog od n investitor postje Y n = X 1 + X 2 +... + X n. n U ovom slučju je disperzij prihod svkog od n investitor nkon udruživnj V r[y n ] = 1 n 2 (σ2 + + σ 2 ) = nσ2 n 2 = σ2 n. Ssvim je jsno d će z veliki broj udruženih investitor disperzij prihod svkog od njih nkon udruživnj biti blizu nule. N osnovu zkon velikih brojev, Y n m s.i. n. Dkle, z veliki broj udruženih investitor rizik kojem je svki od njih izložen može se smtrti znemrljivo mlim. Postupk udruživnj koji je ovde opisn se nziv prerspodel rizik i predstvlj osnov osigurnj. Može se reći d osigurvjuće kompnije orgnizuju nvedenu prerspodelu rizik. 2.2 Pojm osigurnj Osigurnje je multidisciplinrn oblst u kojoj se prepliću elementi ekonomskog, prvnog i kturskog spekt, pri čemu svk od ovih nuk definiše osigurnje n sebi svojstven nčin. Iz ekonomskog ugl osigurnje se može definisti ko finnsijsk trnskcij koj se obvlj izmedju osigurvjuće kompnije i osigurnik u uslovim nstupnj osigurnog slučj. Prvni vid osigurnj se bvi proučvnjem prv i obvez ugovornih strn (osigurnik i osigurvč). S kturskog spekt osigurnje predstvlj proučvnje delovnj ekonomskih posledic ostvrenog rizik i nčin uprvljnj rizikom kko bi se umnjile ili sprečile neželjene posledice. Sm pojm osigurnj oznčv pružnje sigurnosti, bezbednosti i zšite od rizik. U osnovi osigurnj je rizični dogdjj, p je shodno tome osnovn svrh osigurnj pružnje sigurnosti i ekonomske zštite osigurnicim (prvnim i fizičkim licim) ukoliko se rizik ostvri, odnosno ko nstupi osigurni slučj. Osigurnje predstvlj udruživnje lic koj su potencijlno izložen neželjenim posledicm nekog rizičnog dogdjj. Svrh tog udruživnj je zjedničko podnošenje ekonomskih posledic štete z koju se pretpostvlj d će zdesiti br jednog osigurnik. Činjenic je d postoje rizični dogdjji rzličite prirode od kojih se lic mogu osigurti. Postoji više podel osigurnj od kojih je njvžnij podel n životno
i neživotno osigurnje. Neživotno osigurnje je osigurnje imovine i osigurnje od grdjnske odgovornosti, dok životno osigurnje podrzumev osigurnje život i posledic nesrećnog slučj. Kod ugovor o životnom osigurnju postoji neizvesnost smo u pogledu vremen relizcije rizičnog dogdjj, dok je iznos nknde, odnosno sum osigurnj precizirn ugovorom. Ugovorom o osigurnju prezicirn je i premij koju osigurnik plć osigurvču n ime preuzetog rizik. Ako je polisom osigurnj utvrdjen nknd b T ukoliko osigurni dogdjj nstupi u trenutku T, ond je očekivn sdšnj vrednost te nknde E[b T ϑ T ], gde je ϑ fktor diskontovnj. Ov vrednost predstvlj jednokrtnu neto premiju. Koristi se termin neto premij jer ne uključuje nikkve troškove. Ukoliko bi bili uključeni svi troškovi koji prte ugovor o osigurnju, govorilo bi se o bruto premiji. 9 2.3 Klsično životno osigurnje Kko bi se shvtio pojm višestrukog životnog osigurnj, njpre treb nvesti osnovne pojmove klsičnog životnog osigurnj. Pod klsičnim životnim osigurnjem podrzumevmo sledeće tipove osigurnj: 1) doživotno osigurnje koje podrzumev ispltu sume osigurnj neposredno nkon smrti osigurnik; 2) životno osigurnje s rokom od n godin koje podrzumev ispltu sume osigurnj ko smrt osigurnik nstupi u roku od n godin od trenutk zključenj ugovor o osigurnju; 3) osigurnje doživljenj nrednih n godin kod kog se isplt sume osigurnj vrši n krju n-te godine od trenutk sklpnj ugovor o osigurnju, li smo u slučju d je osigurnik doživeo krj n-te godine; 4) mešovito osigurnje s rokom od n godin kod kog se vrši isplt sume osigurnj ko smrt osigurnik nstupi u prvih n godin, inče se ispćuje sum osigurnj n krju n-te godine od trenutk zključenj ugovor o osigurnju 5) odloženo doživotno osigurnje s rokom odlgnj od m godin koje podrzumev ispltu sume osigurnj smo u slučju d smrt osigurnik nstupi nkon nvršenih m godin od trenutk sklpnj ugovor o osigurnju. S obzirom d nije unpred poznto koliko će nek osob živeti, ssvim je logično d se njen strost mtemtički opisuje nenegtivnom slučjnom promenljivom psolutno-neprekidnog tip X, koj je zdt funkcijom rspodele F X () = P [X ],. Nek je definisn slučjn promenljiv T () koj predstvlj preostli životni vek osobe strosti. Td T () + predstvlj dužinu život posmtrne osobe. Nek je slučjn promenljiv T () odredjen funkcijom rspodele G (t) = P [T () t], t. Funkcij G (t) predstvlj verovtnoću d će preostli životni vek osobe strosti godin biti mnji od t godin, z svko t. Pretpostvlj se d je funkcij G (t) neprekidn i diferencijbiln po t, te d postoji g(t) = G (t), t.
1 Td je P [t < T () t + dt] = G (t + dt) G (t) = t+dt t g(s)ds g(t)dt. Nek je S (t) = 1 G (t) = P [T () > t] funkcij doživljenj koj predstvlj verovtnoću d će osob strosti doživeti strost + t. Ustljene kturske oznke z funkciju rspodele preostlog životnog vek i funkciju doživljenj su, redom tq = G (t), tp = S (t), t. (2.1) Definicij 1 Hzrd stop ili stop neuspeh predstvlj verovtnoću d će smrt nstupiti u budućem vrlo krtkom periodu i definiše se ko h(t)dt = P [t < T () t + dt T () > t] = g(t)dt S (t) = S (t)dt S (t). (2.2) U kturstvu, sinonim z stopu neuspeh je intezitet smrtnosti i obeležv se s µ. Intenzitet smrtnosti z osobe strosti godin je Integrcijom poslednjeg izrz se dobij t odkle sledi d je µ (t) = S (t) S (t) = t [ln tp ], t. (2.3) µ (s)ds = ln t p + ln p = ln t p + ln (S()) = ln t p, (2.4) { tp = ep t } µ (s)ds. (2.5) Postvlj se pitje kko u prksi izrčunti verovtnoće t p i t q koje su definisne s (2.1). Posmtr se grup od l novorodjenih osob, odnosno osob strosti nul godin i pretpostvlj se d u toj grupi nem novih rdjnj. Vremenom se grup postepeno smnjuje.tblic mortlitet je reprezentcij smrtnosi tkve grupe, odnosno to je model doživljenj izržen pomoću očekivnog broj osob koje će doživeti odredjenu strost u odnosu n početni broj l. Tblice mortlitet se izrdjuju primenom sttističkih metod i sdrže podtke o tome kolik je verovtnoć doživljenj odredjene godine strosti z osobu u nekoj ktegoriji. Ktegorije se mogu formirti prem rzličitim kriterijumim: pol, rs, znimnje... U svkoj tblici je oznk z strost i obično je N. Veličin l predstvlj broj osob u odredjenoj ktegoriji koje će doživeti njmnje godin strosti. Vrednost l se odredjuje n osnovu podtk iz prkse, ztim se koristi z predvidjnje smnjenj populcije z koju se pretpostvlj d je izložen istim stopm smrtnosti ko on čijim je posmtrnjem dobijeno l. Td je tp = l +t l, tq = 1 l +t l.
3 Model višestrukog dekrement Model višestrukog dekrement koristi se z modelirnje ugovor o osigurnju koji obuhvtju više rizičnih dogdjj. Pri tom sum osigurnj zvisi od tog koji se od osigurnih dogdjj relizovo. Njpre će biti uvedeni osnovni pojmovi koji će se koristiti u dljoj nlizi. Ztim će predmet rzmtrnj biti odredjivnje neto premij, koje će biti ilustrovno dekvtnim primerim. Poslednji deo ove glve je posvećen dptciji teoreme Httendorff -, iz teorije klsičnog životnog osigurnj, u skldu s modelom višestrukog dekrement. 3.1 Osnovni koncept Pretpostvlj se d osigurnik želi d zključi ugovor o osigurnju koji će pokrivti slučj smrti, smrt usled nesreće, trjni invliditet i oboljenje od neke teže bolesti, pri tom nknd koj se isplćuje zvisi od osnov po kome je stečeno prvo n nkndu. U nvedenom slučju reč je o višestrukom osigurnju, model u okviru kojeg se rzmtrju tkvi slučjevi, nziv se model višestrukog dekrement. U opštem slučju, moguće je kreirti polisu po želji potencijlnog osigurnik. Medjutim, nstje problem odredjivnj premije, odnosno nknde koju osigurnik uplćuje osigurvču z preuzeti rizik. Nek se izrdjuje polis osigurnj z osobu strosti godin koj pokriv m osigurnih slučjev, pri tom sum osigurnj, koj će biti isplćen osigurniku ukoliko neki od osigurnih slučjev nstupi z vreme trjnj ugovor, zvisi uprvo od tog koji je osigurni slučj nstupio. Td se može reći d je osigurnik pripdnik m grup, pri čemu j-tu grupu čine osobe koje imju prvo n nkndu ukoliko se relizuje j-ti osigurni slučj, gde je j = 1, 2,..., m. U trenutku kd nstupi j-ti osigurni slučj, osigurnik npušt j-tu grupu, tj. j-t grup je izložen negtivnom prirštju - dekrementu. U tom smislu se kže d je nstupio dekrement po j-tom osnovu, z j = 1, 2,..., m. Zbog tog se model koji se koristi u slučju polis koje pokrivju više osigurnih slučjev nziv model višestrukog dekrement. Treb istknuti d nvedeni model opisuje dinmiku svke od m grup osigurnik posebno i n tj nčin omogućv uvid u intenzitet dekrement po svkom od m osnov. Bitno je nglsiti d dekrement ne oznčv nužno smrt osigurnik, već nstupnje nekog od osigurnih slučjev nkon čeg ugovor o osigurnju više ne 11
12 vži. U klsičnom životnom osigurnju, vrlo je bitn pojm preostlog životnog vek osigurnik. U terminim model višestrukog dekrement, pojm preostlog životnog vek je zmenjen pojmom preostlo vreme do dekrement. U modelu višestrukog dekrement, tblice mortlitet tkodje predstvljju osnovu z rzn izrčunvnj i prilgodjene su smom modelu. 3.2 Funkcije doživljenj Predmet rzmtrnj će biti populcij koju čine osigurnici strosti godin, čije polise osigurnj pokrivju m osigurnih slučjev. Dt populcij se sstoji od m grup, pri čemu j-tu grupu čine on lic koj su se osigurl od j-tog osigurnog slučj, gde je j = 1, 2,..., m. Nek je T j nenegtivn slučjn promenljiv koj predstvlj preostlo vreme do dekrement po j-tom osnovu, tj. preostlo vreme do npuštnj j-te grupe. Kko postoje fktori koji utiču istovremeno n relizciju većeg broj osigurnih slučjev, to je prirodno pretpostviti d su slučjne promenljive T j, z j = 1, 2,..., m stohstički zvisne. U modelu višestrukog dekrement, funkcij doživljenj se definiše ko S(t 1,..., t m ) = P [T 1 > t 1,..., T m > t m ], t j, j = 1, 2,..., m (3.1) i predstvlj verovtnoću d će dekrement po j-tom osnovu nstupiti posle istek t j godin od trenutk sklpnj ugovor o osigurnju, z svko j = 1, 2,..., m. Pretpostvlj se d su slučjne promenljive T j, z j = 1, 2,..., m psolutno - neprekidnog tip s zjedničkom gustinom f(t 1, t 2,..., t m ). Td se funkcij doživljenj može predstviti u obliku S(t 1,..., t m ) = t 1... t m f(s 1,..., s m )ds m... ds 1. (3.2) Treb npomenuti d u nekim slučjevim ugovori o osigurnju mogu biti okončni tek n krju klendrske godine, p pretpostvk o psolutnoj neprekidnosti ond nije vlidn, li je dobr proksimcij. 3.2.1 Opšt funkcij doživljenj Pojm opšte funkcije doživljenj je u neposrednoj vezi s preostlim vremenom do dekrement po bilo kom osnovu. U tom smislu je od znčj slučjn promenljiv min(t 1, T 2,..., T m ) koj predstvlj njkrće vreme do dekrement bez obzir n to koji od m osigurnih slučjev g je prouzrokovo. Opšt funkcij doživljenj definiše se s S (τ) (t) = S(t,..., t) = P [min(t 1, T 2,..., T m ) > t], t. (3.3) Kd god opšt funkcij doživljenj postoji, mogu se definisti sledeće funkcije: = S (τ) ( ),, (3.4)
pri čemu l (τ) predstvlj broj osob strosti godin kod kojih nije nstupio dekrement ni po kom osnovu (od m mogućih), gde je minimln strost osigurnik koj je relevntn z odredjeni tip osigurnj; td (τ) = 13 +t, (3.5) gde je t d (τ) broj osob strosti kod kojih je do strosti od ( + t) godin nstupio dekrement po bilo kom osnovu (od m mogućih); tq (τ) = t d (τ), (3.6) l (τ) gde t q (τ) predstvlj verovtnoću d će kod osob strosti godin nstupiti dekrement po bilo kom osnovu do strosti od ( + t) godin; tp (τ) = l(τ) +t l (τ), (3.7) pri čemu t p (τ) predstvlj verovtnoću d kod osob strosti godin neće nstupiti dekrement po bilo kom osnovu do strosti od ( + t) godin; µ (τ) (t) = t ln(l(τ) +t), (3.8) gde je µ (τ) (t) intenzitet dekrement osobe strosti godin koji uključuje svih m osnov z dekrement; f (τ) (t) = t p (τ) µ (τ) (t), (3.9) pri čemu f (τ) (t) predstvlj gustinu rspodele preostlog vremen do dekrement po bilo kom osnovu, što će u nstvku biti pokzno. Uočv se d n osnovu (3.4) - (3.6) sledi d je tq (τ) = P [min(t 1, T 2,..., T m ) t], tj. d je t q (τ) funkcij rspodele preostlog vremen do dekremint po bilo kom osnovu. S obzirom d je intenzitet dekrement u ovom slučju definisn relcijom (3.8), nmeće se pitnje d li po nlogiji s osigurnjem koje pokriv jedn osigurni slučj vži relcij tp (τ) { = ep Iz definicij (3.7) i (3.8) direktno sledi µ (τ) (t) = t l(τ) +t +t = l(τ) +t ( (τ) l t +t t ) } µ (τ) (s)ds. (3.1) = 1 tp (τ) t t p (τ) = t ln tp (τ).
14 Intergcijom po t, dobij se t µ (τ) (s)ds = ln t p (τ) ln p (τ) = ln t p (τ) ln S (τ) () = ln t p (τ), odkle direktno sledi d vži jednkost (3.1). Dokžimo d vži sledeć jednkost t t q (τ) = f (τ) (t), (3.11) tj. d je funkcij f (τ) definisn s (3.9), gustin rspodele preostlog vremen do dekrement po bilo kom osnovu. N osnovu jednkosti (3.6) i (3.5) vži t t q (τ) = t (td (τ) ) = l (τ) t ( (τ) l +t ) = t (1 l(τ) +t l (τ) S druge strne, n osnovu jednkosti (3.8), vži d je odkle sledi d je µ (τ) (t) = t ln(l(τ) +t) = ) = ( (τ) ) l t t l(τ) +t +t +t, = 1 t l(τ) +t. (3.12) t l(τ) +t = +t µ (τ) (t). (3.13) Zmenom (3.13) u (3.12) i imjući u vidu (3.7) i (3.9), dobij se t t q (τ) = l(τ) +t l (τ) µ (τ) (t) = t p (τ) µ (τ) (t) = f (τ) (t), čime je dokzno d vži jednkost (3.11), odnosno f (τ) (t) je zist gustin rspodele preostlog vremen do dekrement po bilo kom osnovu. N osnovu (3.11) i (3.9) vži i sledeć jednkost: tq (τ) = t t f (τ) (s)ds = 3.2.2 Grub funkcij doživljenj Grub funkcij doživljenj se definiše ko tp (τ) µ (τ) (s)ds. S (j) (t) = P [min(t 1, T 2,..., T m ) > t, J = j], t, (3.14) gde je slučjn promenljiv J definisn s J = ji[min(t 1, T 2,..., T m ) = T j ]. (3.15)
Slučjn promenljiv J uzim vrednost j kd je I[min(T 1, T 2,..., T m ) = T j ] = 1, odnosno kd je min(t 1, T 2,..., T m ) = T j, što znči d je do dekrement došlo po j-tom osnovu od m pretpostvljenih. Dkle, grub funkcij doživljenj predstvlj verovtnoću d će do dekrement doći po j-tom osnovu i to posle istek t godin od trenutk sklpnj ugovor o osigurnju. Kko bismo bili sigurni d diskretn slučjn promenljiv J uzim vrednosti 1,..., m uvodimo pretpostvku d je P [T i = T j ] =, i j. Ako grub funkcij doživljenj postoji, mogu se definisti funkcije koje su nlogne funkcijm (3.4) - (3.9) iz prethodnog odeljk. Medjutim, funkcije koje će biti definisne rzlikuju se od tih funkcij po tome što se odnose smo n j-ti mogući osnov dekrement, dok funkcije (3.4) - (3.9) obuhvtju svih m pretpostvljenih osnov z dekrement. Tko, n primer, l (j) 15 = S (j) ( ),, (3.16) predstvlj broj osigurnik strosti godin koje nije zdesio j-ti osigurni slučj. Anlogno se interpretirju sledeće funkcije: td (j) tq (j) tp (j) µ (j) f (j) = l (j) l (j) +t, (3.17) = t d (j), (3.18) l (τ) = l(j) +t l (τ) t (t) = l(j) +t +t (t) = t p (τ) µ (j), (3.19), (3.2) (t). (3.21) Slično ko u prethodnom poglvlju, koristeći uprvo nvedene definicije, može se dokzti d vže relcije t t q (j) = f (j) (t), (3.22) t tq (j) = sp (τ) µ (j) (s)ds. (3.23) D bi nek funkcij bil gustin rspodele odredjenog slučjnog vektor, potrebno je d sve komponente tog vektor budu neprekidne slučjne promenljive. Medjutim, kod slučjnog vektor (T (), J), gde je s T () oznčen slučjn promenljiv min(t 1, T 2,..., T m ), slučjn promenljiv J je disktretnog tip. Funkcij f (j) (t) se smtr gustinom slučjnog vektor (T (), J) z fiksirno J = j. Z proizvoljn relni intervl B je P [T () B, J = j] = B f (j) (t)dt,
16 dok je z prozvoljn relni intervl B i proizvoljn podskup K skup celih brojev P [T () B, J K] = f (j) (t)dt. j K B Uočv se d n osnovu (3.16) i (3.18) sledi d je Kko je t q (τ) tq (τ) tq (j) = P [T () t, J = j]. = P [T () t] funkcij rspodele slučjne promenljive T (), to je = m P [T () t, J = j], odkle direktno sledi d je tq (τ) = tq (j). (3.24) Diferencirnjem poslednje jednkosti po t i uzimjući u obzir relcije (3.11) i (3.22) dobij se f (τ) (t) = f (j) (t). (3.25) N osnovu relcije (3.9) je dok je n osnovu jednkosti (3.21) Rnije je dokzno d vži tp (τ) µ (τ) µ (j) (t) = f (τ) (t), tp (τ) (t) = f (j) { = ep t tp (τ) p se n prirodn nčin nmeće pitnje d li vži tp (j) { = ep t (t). (3.26) } µ (τ) (s)ds, } µ (j) (s)ds. (3.27) Prvo, ov jednkost ne mor biti vlidn jer imenilc u (3.26) predstvlj verovtnoću d do dekrement neće doći u nrednih t godin ni po kom osnovu, ne smo po j-tom. Drugo, ko t p (τ), kd t ond i t p (j), kd t i to z svko j = 1, 2,..., m. U tom slučju integrli t µ(j) (s)ds, divergirju z svko j = 1, 2,..., m. Medjutim, d bi vžilo t p (τ), kd t dovoljno je zhtevti d t (s)ds divergir smo z neke j = 1, 2,..., m. Ovj zhtev im vrlo logično µ(j)
objšnjenje. Nime, dekrement će nstupiti i ko se br jedn od ponudjenih m osnov dekrement ispuni. Uzevši u obzir d vži (3.25) direktno sledi d je µ (τ) (t) = 17 µ (j) (t). (3.28) Dobijeni rezultti u (3.24), (3.25) i (3.28) se mogu proširiti n veću klsu funkcij. U tom smislu, nek je s g( ) obeležen nek od funkcij S ( ) (t), l ( ), t d ( ), t q ( ), t p ( ), µ ( ) (t), f ( ) (t). Lko se uočv d vži ditivnost, odnosno d je g(τ) = g(1) + + g(m). Nvedeno svojstvo vži bez obzir d li su pretpostvljeni mogući uzroci dekrement stohstički nezvisni ili to nisu. Aditivnost vži jer je { m } P [J = j] =, što znči d su mogući uzroci dekrement skoro izvesno medjusobno isključivi. N osnovu definicije uslovne verovtnoće, vži P [J = j t < T () t + dt] = P [t < T () t + dt, J = j] P [t < T () t + dt] = t+dt t t+dt odkle se primenom jednkosti (3.21) dobij t f (j) (s)ds f (τ) (s)ds = f (j) (t) f (τ) (t), Kko je P [J = j t < T () t + dt] = µ (j) (t) t p (τ) P [J = j t < T () t + dt] = 1 f (τ) (t). (3.29) ko sum svih mogućih slučjev, to se n osnovu (3.29), koristeći (3.28), dobij f (τ) (t) tp (τ) = µ (j) (t). U krjnjem je P [J = j t < T () t + dt] = µ (j) (t) m µ(j) (t) = µ (j) (t) µ (τ) (t). (3.3)
18 Uslovn rspodel slučjne promenljive T () pod uslovom J = j je P [T () t J = j] = P [T () t, J = j] P [J = j] = t q (j) P [J = j]. (3.31) Nvedimo još d se funkcij rspodele slučjne promenljive J može dobiti ko P [J = j] = f (j) (t)dt. (3.32) U nstvku će biti nveden primer koji će ilustrovti prethodn izvodjenj. Primer 1 Nek su poznt dv moguć uzrok dekrement z osobe strosti godin i nek vži d je µ (1) (t) = 2t i µ (2) (t) = 3t 2. Npomenimo d je izbor konstnt povezn s izborom vremenske jedinice, p će z odredjene vremenske jedinice, rezultti koji će biti dobijeni biti relni, z neke to neće biti slučj. Cilj ovog primer je d demonstrir kko se može odrediti rspodel slučjnog vektor (T (), J), odgovrjuće mrginlne i uslovne rspodele, ko i očekivno preostlo vreme do dekrement E(T ()). N osnovu jednkosti (3.28), intenzitet dekrement bez obzir n uzrok koji je do njeg doveo, biće µ (τ) (t) = 2t + 3t 2. Uočv se d izbrne funkcije µ (t), µ (1) (t) i µ (2) (t) ne zvise od. Imjući u vidu (3.3) i (3.1), opšt funkcij doživljenj je { t } { t } S (τ) (t)= t p (τ) =P [T ()>t]=ep µ (τ) (s)ds =ep (2s+3s 2 )ds = ep( t 2 t 3 ), t. N osnovu uvedene definicije (3.21) sledi d je f (1) (t) = 2t ep( t 2 t 3 ), f (2) (t) = 3t 2 ep( t 2 t 3 ). Imjući u vidu jednkost (3.25), gustin rspodele preostlog vremen do dekrement, bez obzir n uzrok koji je do njeg doveo, je f (τ) (t) = (2t + 3t 2 ) ep( t 2 t 3 ). Mrginln rspodel slučjne promenljive J se dobij n osnovu (3.32). Tko je P [J = 1] = f (1) (t)dt = 2t ep( t 2 t 3 )dt. Korišćenjem progrm z izrčunvnje vrednosti integrl dobij se d je P [J = 1].527, p je P [J = 2] = 1 P [J = 1].483. N osnovu (3.3), uslovn rspodel slučjne promenljive J, pod uslovom T () = t je P [J = 1 t < T () t + dt] = µ(1) (t) µ (τ) (t) = 2t 2t + 3t, 2 P [J = 2 t < T () t + dt] = µ(2) (t) µ (τ) (t) = 3t2 2t + 3t. 2
19 Očekivno preostlo vreme do dekrement se dobij ko E[T ()] = tf (τ) (t)dt = t(2t + 3t 2 ) ep{ t 2 t 3 }dt.669. Imjući u vidu (3.31), uslovn gustin rspodele slučjne promenljive T (), pod uslovom J = j, je t P [T () < t J = j] = P [T () < t, J = j] t P [J = j] = f (j) (t) P [J = j]. Dkle, očekivno preostlo vreme do dekrement izzvnog prvim uzrokom je E[T () J =1]= t f (1) (t) P [J =1] dt= 1 P [J =1] 2t 2 ep( t 2 t 3 )dt.315.527.598, dok se E[T () J = 2] može nći nlognim postupkom, li je lkše iskoristiti sledeću relciju: E[T ()] = E[T () J = 1]P [J = 1] + E[T () J = 2]P [J = 2]. Kko je u poslednjoj jednkosti jedino nepoznto E[T () J = 2], jednostvnim izrčunvnjem dobijmo d je E[T () J = 2].733. U slučju kd je z vremensku jedinicu izbrn jedn godin dobijeni rezultti nisu relni. Medjutim, pod pretpostvkom d je odbrn vremensk jedinic period od 1 godin i d je = 1, rezultti E[T ()] = 66.9, E[T () J = 1] = 59.8 i E[T () J = 2] = 73.2 godin su prilično relni. U nstvku će biti nveden lem koj predstvlj vžn rezultt u teoriji višestrukog dekrement i odnosi se n reprezentciju grube funkcije doživljenj. Lem 1 Ako je funkcij doživljenj S(t 1,..., t m ), definisn s (3.1), diferencijbiln po t j >, z j = 1,..., m, td se grub funkcij doživljenj može predstviti u obliku gde je Dokz. N osnovu (3.34) sledi t j 1 t j+1 S (j) (t) = t S j (r,..., r)dr, (3.33) S j (r,..., r) = S(t 1,..., t m ) tk =r, k. (3.34) t j S j (r,..., r) = S(t 1,..., t m ) tk =r, k t j =... f(s 1,..., s j 1, s j, s j+1,..., s m )ds 1... ds j 1 ds j ds j+1... ds m t j t 1 t m =...... f(s 1,..., s j 1, t j, s j+1,..., s m )ds 1... ds j 1 ds j+1... ds m t 1 t m tk =r, k tk =r, k.
2 N drugoj strni je S (j) (t) = P [min(t 1, T 2,..., T m ) > t, J = j] = P [T 1 > t, T 2 > t,..., T m > t, T j < T k, k] = P [(T k > t, T j < T k ) k] = P [T j > t, (T k > T j, k j)] { } =... f(t 1,..., t m )dt 1 dt 2... dt j 1 dt j+1... dt m dt j t t j t j { = } S(t 1,..., t m ) tk =t t j, k dt j, j t čime je tvrdjenje dokzno. Rzmotr se slučj kd je slučjn promenljiv J stohstički nezvisn u odnosu n slučjnu promenljivu T () = min(t 1, T 2,..., T m ). Td je S (j) (s) = P [T () > s, J = j] = P [T () > s] P [J = j]. (3.35) U prethodnoj jednkosti je verovtnoć presek dogdjj jednk proizvodu verovnoć pojedinčnih dogdjj uprvo zbog pretpostvljenje stohstičke nezvisnosti. N osnovu jednkosti (3.18) i (3.17) sledi d je q (j) = d (j) l (τ) = l(j) l (j) Kko l (j) predstvlj broj osob beskončne strosti kod kojih nije nstupio dekrement po j-tom osnovu, jsno je d je tj broj nul. Uzevši u obzir i definiciju (3.16), dobij se q (j) = l(j) l (τ) = l(τ) S (j) (). = S (j) (). (3.36) Dlje, n osnovu definicije (3.14) grube funkcije doživljenj u tčki nul, vži q (j) = S (j) () = P [T () >, J = j]. Zbog pretpostvljene stohstičke nezvisnosti slučjnih promenljivih T () i J, vži d je = P [T () > ] P [J = j]. q (j) Medjutim, S (τ) () = P [T () > ] = 1, jer su po pretpostvci slučjne promenljive T i, i = 1,..., m psolutno-neprekidnog tip i nenegtivne, p je njihov minimum pozitivn s verovtnoćom 1. Dkle, dobij se q (j) = P [J = j]. Kko je P [T () > s] = S (τ) (s), to se n osnovu definicije opšte funkcije doživljenj (3.3), jednkost (3.35) evivlentno može zpisti ko S (j) (s) = S (τ) (s) q (j).
21 Sličnim postupkom se dobij sq (j) = s d (j) l (τ) = l(j) l (j) +s = l(τ) S (j) () l (τ) S (j) (s) = S (j) () S (j) (s). (3.37) Anlogno, n osnovu relcij (3.18), (3.17) i (3.16), koje se odnose n opštu funkciju doživljenj, biće sq (τ) = s d (τ) = l(τ) +s = l(τ) S (τ) () S (τ) (s) = S (τ) () S (τ) (s) = 1 S (τ) (s). (3.38) N osnovu dobijenih rezultt u (3.36) i (3.38) je sq (τ) q (j) = (1 S (τ) (s))s (j) () = S (j) () S (τ) (s)s (j) () = S (j) () S (τ) (s). Vrćjuće se n rezultt iz (3.37), uočv se d je, pod pretpostvkom o stohstičkoj nezvisnosti slučjnih promenljivih T () i J, sq (j) = s q (τ) q (j), što je ekvivlentno s (3.35). Diferencirnjem po s, leve i desne strne poslednje jednkosti, dobij se s s q (j) = q (j) s s q (τ). S obzirom d vži relcije (3.11) i (3.22), biće f (j) (s) = f (τ) (s) q (j). N osnovu relcij (3.9) i (3.21), prethodn jednkost vži ko i smo ko vži odnosno sp (τ) µ (j) µ (j) (s) = s p (τ) µ (τ) (s) q (j), (s) = µ (τ) (s) q (j). Prethodno rzmtrnje se može, specijlno z s = + t, formulisti u vidu sledećeg tvrdjenj: Lem 2 Slučjne promenljive J i T () su stohstički nezvisne ko i smo ko vži bilo koj od sledećih relcij: S (j) (t) = S (τ) (t) q (j) f (j) µ (j) = t q (τ) (t) = f (τ) tq (j) z svko, t, j = 1, 2,..., m. (t) = µ (τ), q (j), (t) q (j), (t) q (j),
22 3.2.3 Neto funkcij doživljenj Neto funkcij doživljenj definiše se ko S (j) (t) = P [T j > t], t, j = 1, 2,..., m, (3.39) gde je T j preostlo vreme do dekrement po j-tom osnovu. Dkle, neto funkcij doživljenj u tčki t predstvlj verovtnoću d do dekrement neće doći po j-tom osnovu do trenutk t. Uporedivši definicije (3.14) i (3.39), može se uvideti d se izrzom (3.39) ne precizir d li se do trenutk t dogodio dekrement po osnovu i j. Ako neto funkcij doživljenj postoji, po ugledu n prethodno izlgnje, mogu se definisti sledeće funkcije: l (j) = l (j) S (j) ( ),, (3.4) td (j) = l (j) l (j) +t, (3.41) = t d (j), (3.42) tq (j) l (j) tp (j) = l (j) +t l (j) µ (j) (t) = (j) t +t l (j) +t f (j) (t) = t p (j) µ (j), (3.43), (3.44) (t). (3.45) Koristeći nvedene definicije, po ugledu n prethodne odeljke, može se pokzti d vže sledeći identiteti: t t q (j) tq (j) = = f (j) t sp (j) (t), µ (j) (s)ds. N dlje će biti rzmtrn slučj kd su slučjne promenljive T 1,..., T m nezvisne. Propozicij 1 Ako su slučjne promenljive T 1,..., T m stohstički nezvisne td je (i) (ii) µ (j) (t) = µ (j) (t), (3.46) m tp (j). (3.47) tp (τ) = Dokz. (i)nek je s > proizvoljn fiksirn vrednost. Koristeći jednkosti (3.22), (3.18), (3.17) i (3.16) koje su nvedene u poglvlju o gruboj funkciji doživljenj,
dobij se f (j) (s)= s s q (j) = sd (j) = ( (j) l s l (τ) s ) = ( S (j) () S (j) (s) s N osnovu Leme 1, vži Dkle, l (j) +s ) = s = s S(j) (s). s S(j) (s) = S(t 1,..., t m ) t j f (j) (s) = S(t 1,..., t m ) t j ( l (τ) t i=s, i t i=s, i, gde je, zbog nezvisnosti slučjnih promenljivih T 1, T 2,..., T m, Td je S (j) () ) S (j) (s) S(t 1, t 2,..., t m ) = P [T 1 > t 1, T 2 > t 2,..., T m > t m ] = P [T 1 > t 1 ] P [T m > t m ] m = S (i) (t i ) (3.48) i=1 f (j) (s) = t j 23 m S (i) (t i ) t i=s, i = S (i) (s) (j) s S (s). (3.49) i j i=1 Koristeći definicije koje su uvedene u ovom poglvlju i identitete koji vže, dobij se sledeći rezultt: (j) s S (s) = ( ) 1 s q (j) = s s s q (j) = f (j) (s) = s p (j) µ (j) (s) = (1 s q (j) Zmenom (3.5) u (3.49) se dobij f (j) )µ (j) (s) = S (j) (s)µ (j) (s). (3.5) (s) = µ (j) (s) m S (i) (s). Zbog pretpostvljene stohstičke nezvisnosti slučjnih promenljivih T 1, T 2,..., T m, poslednj jednkost se n ekvivlentn nčin može predstviti ko f (j) i=1 (s) = µ (j) (s)s (τ) (s). Kko je S (τ) (s) = s p (τ) i f (j) (s) = s p (τ) µ (j) (s), to je n osnovu poslednje jednkosti µ (j) (t) = µ (j) (t), z svko t >.
24 (ii) N osnovu rnije uvedenih definicij i relcije (3.48) sledi tp (τ) = l(τ) +t l (τ) m = što je i treblo pokzti. = l(τ) S (τ) ( + t ) l (τ) S (τ) ( ) l (j) S (j) ( + t ) l (j) S (j) ( ) = = m m l (j) +t l (j) S (j) ( + t ) S (j) ( ) m = tp (j), N osnovu rnije pokznih relcij d je (3.1) i (3.28), vži tp (τ) { = ep p je n osnovu nvedenog { t tp (τ) =ep i=1 t } µ (τ) (s)ds } { µ (j) (s)ds =ep i=1 t i µ (τ) (s) = } µ (j) (s)ds = i=1 m i=1 µ (j) (s), { ep t } µ (j) (s)ds. N osnovu (3.47) je m tp (j) = m i=1 { ep t } µ (j) (s)ds, odnosno tp (j) { = ep t U rnijem izlgnju je nvedeno d jednkost { t = ep tp (j) } µ (j) (s)ds. (3.51) } µ (j) (s)ds ne vži u opštem slučju i dt su potrebn objšnjenj n osnovu kojih je tj stv oprvdn. Dlj nliz, uz pretpostvljenu stohstičku nezvisnost slučjnih promenljivih T 1, T 2,..., T m, pomoću dokzne leme, dovel ns je do zključk (3.51). Koristeći predjšnje rezultte može se formulisti sledeće tvrdjenje: Posledic 1 Nek su slučjne promenljive T 1, T 2,..., T m stohstički nezvisne i nek slučjn promenljiv J ne zvisi od slučjne promenljive min(t 1, T 2,..., T m ). Td vži jednkost ( tp (j) = tp (τ) ) q (j)
25 Dokz. Uz pretpostvku o nezvisnosti, n osnovu Leme 2 vži µ (j) (t) = µ (τ) odkle sledi d se (3.51) može izrziti u obliku Kko je tp (j) { = ep { = ep direktno sledi d je t q (j) što je i treblo dokzti. µ (τ) tp (τ) 3.3 Neto premije t (s) q (j) } ds (t) q (j), } ( { µ (τ) (s)ds = ep { = ep ( tp (j) = t tp (τ) } µ (τ) (s)ds, ) q (j), t }) q (j) µ (τ) (s)ds. Premij osigurnj je novčni iznos koji osigurnik plć osigurvču z preuzeti rizik prilikom sklpnj ugovor o osigurnju. Neto premij služi z ispunjenje obvez koje su odredjene ugovorom o osigurnju, ko što su podmirenje štet i isplt ugovorenih iznos osigurnj, li i troškov utvrdjivnj obvez nvedenih u ugovoru (procen štete, sudski troškovi, troškovi veštčenj i sl). Svkom polisom osigurnj odredjen je nknd, odnosno sum osigurnj koju osigurvč plć osigurniku (u vidu jednokrtne isplte ili ko niz isplt), li i premij koju osigurnik uplćuje osigurvču. Uplćivnje premije je moguće vršiti n jedn od sledećih nčin: (1) plćnjem jednokrtne premije, (2) plćnjem periodičnih premij konstntnog iznos, (3) plćnjem periodičnih premij promenljivog iznos. U slučju d se premije uplćuju periodično, ugovorom o osigurnju se mor jsno precizirti učestlost i trjnje premijskih uplt. Njčesće se uplte premij vrše n početku godine ili nekog drugog period konverzije. U odnosu n polisu osigurnj, definiše se ukupni gubitk osigurvč L ko rzlik izmedju sdšnje vrednosti nknd koje plć i sdšnje vrednosti premijskih uplt. Prihvtljiv izbor premij, s spekt osigurvč, je onj z koji L uzim kko pozitivne, tko i negtivne vrednosti, pri čemu je, u srednjem, n nuli. Premij se nziv neto premijom ko zdovoljv princip ekvivlentnosti, odnosno z koju je E[L] =. Kko nisu poznte kmtne stope koje će se primenjivti u budućnosti, postvlj se pitnje zšto ih ne modelirti pomoću slučjnih proces.
26 (1) Z životno osigurnje potrebno je modelirti kmtne stope n duži vremenski period, ne postoji ni jedn opšte prihvćeni stohstički model koji se bvi tko dugoročnim predvidjnjim. (2) Ssvim je logičn pretpostvk o nezvisnosti slučjnih promenljivih koje opisuju preostlo vreme do dekrement. Uz pretpostvku o determinističkoj kmtnoj stopi gubici osigurvč n ime rzličitih polis osigurnj postju tkodje nezvisne slučjne promenljive. N osnovu uvedenih pretpostvki, rspodel verovtnoć ukupnog gubitk osigurvč jednostvno se može odrediti jer je reč o sumi nezvisnih slučjnih promenljivih. Ztim, disperzij ukupnog gubitk osigurvč jednk je sumi disperzij gubitk n ime pojedinčnih polis. Medjutim, stohstičk nezvisnost gubitk pojedinčnih polis bi nestl ko bi dekvtne kmtne stope bile stohstičke. U tom slučju bi svk promen kmtne stope uticl n sve polise istovremeno. Shodno nvedenom, u većini model pretpostvlj se d su kmtne stope determinističke. 3.3.1 Jednokrtn neto premij Potreb z primenom model višestrukog dekrement jvlj se kd sum osigurnj zvisi od tog po kom je osnovu nstupio dekrement. U ovom poglvlju, cilj je odredjivnje očekivne sdšnje vrednosti budućih isplt n ime sume osigurnj u modelu višestrukog dekrement, i to kd se isplt vrši u trenutku nstupnj dekrement ili n krju godine u kojoj je nstupio dekrement po nekom osnovu. Bez obzir kd se vrši isplt sume osigurnj, pretpostvk je d se premij uplćuje jednokrtno, u trenutku sklpnj ugovor. Tkv premij se nziv jednokrtn neto premij, i u skldu s principom ekvivlentnosti, on je jednk očekivnoj sdšnoj vrednosti budućih isplt n ime sume osigurnj. U slučju isplte u trenutku nstupnj dekrement, koristiće se pristup preko zjedničke rspodele slučjnijh promenljivih T () i J, gde slučjn promenljiv T (), ko i do sd, predstvlj preostlo vreme do nstupnj dekrement osobe strosti godin. Medjutim, ko je ugovorom o osigurnju predvidjen isplt sume osigurnj n krju godine, u kojoj je po nekom osnovu nstupio dekrement, pristup će biti drugčiji. Z osobe strosti godin, definiše se diskretn slučjn promenljiv K (), koj predstvlj broj preostlih celih godin do nstupnj dekrement po nekom od ugovorom precizirnih, i to n sledeći nčin: gde je ceo deo broj. U tom smislu je K () = T (), (3.52) P [K () = k] = P [ T () = k] = P [k T () < k + 1] = P [T () < k + 1] P [T () < k] = k+1 q (τ) k q (τ). (3.53) Pri tom, rzlik izmedju preostlog vremen do dekrement po bilo kom osnovu i preostlog celobrojnog vremen do dekrement po bilo kom osnovu, nziv se preostli nepotpuni broj godin do dekrement po bilo kom osnovu.
N osnovu uvedene slučjne promenljive K (), moguće je nći očekivnu sdšnju vrednost sume osigurnj koj se isplćuje n krju godine kd je po nekom osnovu nstupio dekrement, i to koristeći zjedničku rspodelu slučjnih promenljivih J i K (). Pretpostvk je d je referentn kmtn stop determinističk i d je konstntn sve vreme trjnj ugovor. U prksi je čest slučj kmtne stope koj je promenljiv. Medjutim, pretpostvk d je kmnt stop konstntn ne umnjuje u znčjnoj meri opštost model. Uz pretpostvku o determinističkoj prirodi kmtne stope, koj je promenljiv tokom trjnj ugovor o osigurnju, sdšnj vrednost sume osigurnj jednostvno se izrčunv, primenjujući vžeće kmtne stope u rzličitim vremenskim intervlim tokom trjnj ugovor o osigurnju. U nstvku će biti nvedene očekivne sdšnje vrednosti sum osigurnj z rzličite tipove ugovor o osigurnju, u slučju kd je ugovorom o osigurnju precizirno d se osigurn sum isplćuje neposredno nkon nstupnj dekrement. 1. Nek je ugovorom o doživotnom osigurnju odredjeno m mogućih osnov dekrement i nek sum osigurnj zvisi od osnov po kojem je nstupio dekrement. Dlje, nek je s B (j) +t obeležen sum osigurnj osobe strosti + t godin ko je dekrement nstupio po j-tom osnovu. U slučju kd je polisom osigurnj precizirno d se sum osigurnj isplćuje u momentu nstupnj dekrement, očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj, u oznci Ã, je dt s: à = E[B (J) +T () ϑt () ] = E[E(B (J) +T () ϑt () J)], gde je ϑ = 1 1+i fktor diskontovnj koji odgovr godišnjoj efektivnoj kmtnoj stopi i. Kko je E[E(B (J) +T () ϑt () J)] = to je z odredjivnje à neophodno odrediti E[B (j) +T () ϑt () J = j]p [J = j], E[B (j) +T () ϑt () J = j], j = 1, 2,..., m. Imjući u vidu (3.31), uslovn gustin rspodele slučjne promenljive T (), pod uslovom J = j je f (j) (t j) = ( tq (j) ) = f (j) (t) t P [J = j] P [J = j], što zjedno s rnije dokznom jednkošću f (j) f (j) N osnovu poslednjeg izrz sledi d je E[B (j) +T () ϑt () J = j]= (t j) = t p (τ) µ (j) (t) = t p (τ) µ (j) (t), implicir 27 (t) P [J = j]. (3.54) B (j) +tϑ t f (j) (t j)dt = B +tϑ (j) t tp (τ) µ (j) (t) P [J = j] dt.
28 Td je à = E[B (j) +T () ϑt () J = j]p [J = j]. (3.55) Sum u poslednjem izrzu sugeriše d je jednokrtn neto premij doživotnog osigurnj, u modelu višestrukog dekrement, jednk težinskoj sumi jednokrtnih neto premij doživotnih osigurnj, od kojih se svko odnosi n jedn uzrok dekrement. Pri tom, težinski koeficijenti su verovtnoće relizcij dekrement po konkretnom osnovu. Dlje je, à = B +tϑ (j) t tp (τ) µ (j) (t)dt. (3.56) U opštem slučju, nije lko izrčunti dobijeni integrl, li se uz neke pretpostvke on može pojednostviti. Njčešće korišćen pretpostvk je pretpostvk o uniformnoj rspodeli preostlih nepotpunih godin do dekrement. Posmtr se populcij čiji se broj opisuje funkcijom l (τ),. Pretpostvlj se d z tu populciju vži d preostli nepotpuni broj godin do dekrement po bilo kom osnovu U() im uniformnu rpodelu n intervlu (, 1) i d su U() i K () stohstički nezvisne slučjne promenljive. Td z s (, 1) vži P [U() < s K () = k] = s. (3.57) N drugoj strni, uzevši u obzir definiciju broj potpunih godin do nstupnj dekrement po bilo kom osnovu (3.52), ko i relciju (3.53), biće P [U()<s K ()=k]= P [U()<s, K ()=k] P [K ()=k] = P [U()+K ()<k + s, K ()=k] P [K ()=k] = P [k T ()<k + s] P [k T ()<k + 1] = k+s q (τ) N osnovu jednkosti (3.7), vži odkle direktno sledi d je k+sp (τ) kp (τ) k q (τ) k+1q (τ) k q (τ) = +k+s +k k+sp (τ) = P [T ()<k+s, k T ()<k + s] P [k T ()<k + 1] = k p (τ) kp (τ) = l(τ) +k+s +k Primenom poslednje jednkosti u (3.58), dobij se P [U() < s K () = k] = k p (τ) k+s p (τ) k+1 p (τ) = s p (τ) +k,. (3.58) = k p (τ) sp (τ) +k. (3.59) kp (τ) k p (τ) sp (τ) +k k p (τ) p (τ) +k = 1 sp (τ) +k, (3.6) 1 p (τ) +k
gde je p (τ) +k = 1p (τ) +k i (3.6) se dobij ustljen ktursk oznk. Izjednčvnjem jednkosti (3.57) 1 s p (τ) +k 1 p (τ) +k = s. Primenom relcije (3.7), poslednj jednkost ekvivlentn je s 29 1 l(τ) +k+s +k 1 l(τ) +k+1 +k ( ) = s +k l(τ) +k+s = s +k l(τ) +k+1 ( ) +k+s = l(τ) +k + s +k+1 l(τ) +k. (3.61) Dkle, pretpostvk d slučjn promenljiv U() im U(, 1) rspodelu i d je stohstički nezvisn u odnosu n slučjnu promenljivu K () ekvivlentn je pretpostvci d se broj člnov posmtrne populcije u trenutku + k + s, s (, 1) može dobiti linernom interpolcijom n osnovu broj člnov populcije u celobrojnim trenucim, tj. n osnovu +k i l(τ) +k+1. Sd se pretpostvlj d broj preostlih nepotpunih godin do dekrement po j-tom osnovu, u populcijm čiji se broj člnov opisuje funkcijom l (j), z svku strost i svki osnov dekrement j = 1, 2,..., m, im U(, 1) rspodelu i d ne zvisi od celobrojnog preostlog vremen do dekrement po j-tom osnovu. Anlogno prethodnom nčinu zključivnj, dobij se ( ) l (j) +k+s = l(j) +k + s l (j) +k+1 l(j) +k. Td z t = k + s, intenzitet dekrement po j-tom osnovu, uzevši u obzir definiciju (3.2) i poslednju jednkost, postje ) µ (j) (t) = t l(j) +t +t = t l(j) +k + (t k) ( +t l (j) +k+1 l(j) +k = l(j) +k l(j) Prem poslednjoj jednkosti i relcijm (3.7), (3.17) i (3.18), vži µ (j) (t) s p (τ) +k = µ(j) (k + s) s p (τ) = l(j) +k l(j) +k+1 +k +k = l(j) +k l(j) +k+1 +k+s = d(j) +k +k +k+s +k+s +k +k+1 = q (j) +k. (3.62) Dkle, integrl iz jednkosti (3.56), n osnovu relcij (3.59) i (3.62) postje B +tϑ (j) t tp (τ) µ (j) (t)dt = 1 B (j) +k+s ϑk+s k+sp (τ) µ (j) k= (k + s)ds.
3 = = 1 B (j) +k+s ϑk+s kp (τ) sp (τ) +k µ(j) k= 1 k= ϑ k+1 kp (τ) q (j) +k (k+s)ds = B (j) +k+s (1+i)1 s ds kp (τ) k= k= 1 B (j) +k+s ϑk+s q (j) +k ds ϑ k+1/2 kp (τ) q (j) +k B(j) +k+1/2, gde je poslednji kork dobijen n osnovu teoreme o srednjoj vrednosti z integrle. Aproksimtivn očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj, u slučju doživotnog osigurnj, je à k= ϑ k+1/2 kp (τ) q (j) +k B(j) +k+1/2. 2. Predmet rzmotrnj je očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj u slučju osigurnj s rokom od n godin. Odredjenosti rdi, posmtr se slučj osobe strosti godin u trenutku zključenj ugovor o osigurnju. Td je očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj, u oznci Ã:n, dt s à :n = E[B (J) +T () ϑt () I [T () n]] = n B +tϑ (j) t tp (τ) µ (j) (t)dt. (3.63) Ko što je već pomenuto u kontekstu prethodnog tip osigurnj, izrze oblik (3.63) nije lko izrčunti u opštem slučju. Medjutim, situcij se znčjno pojednostvljuje ko uz pretpostvku o uniformnoj rspodeli preostlih nepotpunih godin do dekrement po j-tom osnovu U() i nezvisnosti U() od celobrojnog preostlog vremen do dekrement po j-tom osnovu K (), vži d sum osigurnj ne zvisi od vremen. Tkv situcij je ilustrovn sledećim primerom. Primer 2 Posmtr se ugovor o osigurnju koji obezbedjuje udvostručenu sumu osigurnj ukoliko smrt osigurnik nstupi usled nesrećnog slučj. Nek je J = 1 u slučju d smrt osigurnik nstupi n bilo koji nčin izuzev usled nesreće i J = 2 u slučju d smrt osigurnik nstupi usled nesrećnog slučj, pri čemu su odgovrjuće osigurne sume B (1) +t = 1 i B (2) +t = 2, respektivno. Odrediti jednokrtnu neto premiju osirurnj s rokom od n godin. N osnovu jednkosti (3.63), biće à :n = n ϑ t tp (τ) µ (1) (t)dt + 2 n ϑ t tp (τ) µ (2) (t)dt. Ako se uvede pretpostvk o uniformnoj rspodeli preostlih nepotpunih godin do dekrement po bilo kom osnovu, prvi integrl u prethodnoj jednkosti se svodi n n n 1 ϑ t tp (τ) µ (1) (t)dt = ϑ k kp (τ) k= 1 ϑ s sp (τ) +k µ(1) (k + s)ds.
Postupkom, nlognim onim koji je korišćen u slučju doživotnog osigurnj, dobij se n n 1 ϑ t tp (τ) µ (1) (t)dt = ϑ k+1 kp (τ) q (1) +k = k= i n 1 ln(1 + i) k= 1 (1 + i) 1 s ds ϑ k+1 kp (τ) q (1) +k = i n 1 δ k= ϑ k+1 kp (τ) q (1) +k, gde je δ intenzitet kmte ekvivlentn efektivnoj kmtnoj stopi u smislu d vži 1 + i = e δ. Sličnim postupkom se dobij i drugi integrl, p očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj, n osnovu (3.24), iznosi à :n = i δ = i δ [ n 1 k= n 1 k= ( ) ] ϑ k+1 kp (τ) q (1) +k + 2q(2) +k ϑ k+1 kp (τ) q (2) +k + i n 1 δ k= ϑ k+1 kp (τ) q (τ) +k = Ã1(2) :n + Ã1 :n, gde je Ã1(2) :n očekivn sdšnj vrednost jedinične sume osigurnj u slučju d do smrti osigurnik dodje usled nesreće, dok je Ã1 :n očekivn sdšnj vrednost jedinične sume osigurnj u slučju d smrt osigurnik nstupi po bilo kom osnovu. Jsno je d zdovoljen uslov dvostruke osigurne sume ko je smrt osigurnik nstupil usled nesrećnog slučj. 3. U slučju osigurnj doživljenj nrednih n godin, sum osigurnj se isplćuje u trenutku n, ko je osigurnik doživeo strost od n godin. Anlogno se može kreirti polis osigurnj u skldu s kojom će osigurniku biti isplćen sum B (j) +n u trenutku n, pod uslovom d se do tog trenutk n nije relizovo dekrement po j-tom osnovu. Td je očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj, z osobu strosti godin u trenutku sklpnj ugovor, dt s à n = E[B (J) +nϑ n I [T ()>n]] = = B +nϑ (j) n n tp (τ) µ (j) B (j) +nϑ n P [T () > n, J = j] (t)dt. 4. Ugovor o mešovitom osigurnju s rokom od n godin podrzumev ispltu sume osigurnj ko smrt osigurnik nstupi u prvih n godin od sklpnj ugovor, inče se sum osigurnj isplćuje n krju n-te godine od trenutk sklpnj ugovor. Anlogno se može kreirti ugovor o osigurnju koji će grntovti ispltu osigurne sume B (j) +T (), ukoliko dekrement po j-tom osnovu nstupi u toku prvih n godin od zključenj ugovor, inče podrzumev ispltu sume B (j) +n, n krju 31
32 n-te godine od trenutk sklpnj ugovor. Očekivn sdšnj vrednost sume opisnog osigurnj, z osobu strosti godin u trenutku sklpnj ugovor, je nã = Ã:n + Ãn = E[B (J) +T () ϑt () I [T () n]] + E[B (J) n = B +tϑ (j) t tp (τ) µ (j) (t)dt + B +nϑ (j) n n +nϑ n I [T ()>n]] tp (τ) µ (j) (t)dt. Pokzno je kko je moguće nći očekivnu sdšnju vrednost sume osigurnj u modelu višestrukog dekrement kd se isplt vrši u trenutku nstupnj dekrement. Postvlj se pitnje kko izrčunti očekivnu sdšnju vrednost sume osigurnj u modelu višestrukog dekrement u slučju d je ugovorom odredjeno d se sum osigurnj isplćuje n krju klendrske godine u kojoj je nstupio dekrement. Kko sum osigurnj zvisi od osnov dekrement, to će se koristiti zjedničk rspodel slučjnih promenljivih K () i J, odredjen izrzom p(k, j) = P [K () = k, J = j], z k =, 1,..., j = 1,..., m. (3.64) 1. U slučju doživotnog osigurnj osobe strosti godin, očekivn diskontovn vrednost sume osigurnj izržen je s Ä = E[B (J) +K ()+1 ϑk ()+1 ]. Sličnim postupkom, koji je korišćen z izrčunvnje sdšnje vrednosti sume doživotnog osigurnj, kod kog se isplt vrši neposredno nkon dekrement, dobij se E[B (J) +K ()+1 ϑk ()+1 ] = E[E(B (J) = = = k= +K ()+1 ϑk ()+1 J)] E[B (j) +K ()+1 ϑk ()+1 J = j]p [J = j] k= Uzevši u obzir jednkost (3.64), vži B (j) +k+1 ϑk+1 P [K () = k J = j]p [J = j] B (j) +k+1 ϑk+1 P [K () = k, J = j]. Ä = k= ϑ k+1 B (j) +k+1p(k, j). Anlognim postupkom se izrčunvju sdšnje vrednosti sum osigurnj i z druge tipove osigurnj, u slučju d se isplt vrši n krju godine u kojoj je nstupio dekrement. Tko je:
2. u slučju osigurnj s rokom od n godin osobe strosti godin u trenutku zključenj ugovor o osigurnju, očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj 33 Ä :n = n 1 ϑ k+1 B (j) +k+1p(k, j); k= 3. u slučju osigurnj doživljenj nrednih n godin osobe strosti godin u trenutku zključenj ugovor o osigurnju Ä n = ϑ n B (j) +n p(k, j); k=n 4. u slučju mešovitog osigurnj s rokom n godin osobe strosti godin u trenutku zključenj ugovor o osigurnju nä = Ä:n + Än = n 1 m ϑ k+1 B (j) +k+1 p(k, j) + ϑ n B (j) +n k= p(k, j). k=n 3.3.2 Izrčunvnje premije u slučju kd se premijske uplte vrše neprekidno ili periodično U ovom poglvlju će biti rzmtrn slučj kd se premijske uplte vrše neprekidno ili periodično u toku nekog period, počev od trenutk sklpnj ugovor o osigurnju. Očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj u modelu višestrukog dekrement, koj je rzmtrn u prethodnom odeljku, je jedn od dve komponente potrebne z izrčunvnje premije. Drug komponent koj je neophodn z izrčunvnje premije je očekivn sdšnj vrednost premijskih uplt od strne osigurnik. Medjutim, kko premijske uplte ne zvise od tog po kom će osnovu nstupiti dekrement, to izrčunvnje očekivnih diskontovnih premijskih uplt ostje isto ko i u slučju kd ugovor pokriv smo jedn osigurni slučj. Pretpostvk je d se premije uplćuju neprekidno sve do trenutk nstupnj dekrement po bilo kom osnovu. Rdi jednostvnosti, pretpostvlj se d je reč o jediničnim upltm. Td je očekivn sdšnj vrednost opisnih uplt dt s ã = ϑ t tp (τ) dt. (3.65) Treb npomenuti d je u slučju kd su uplte konstntne i iznose P, očekivn sdšnj vrednost premijskih uplt, pod uslovom d se uplćuju n prethodno opisn nčin, jednk P ã. N dlje se pretpostvlj d su premijske uplte jedinične. Ako se premije uplćuju neprekidno tokom n godin, ili do trenutk nstupnj dekrement po bilo kom osnovu u toku n godin, očekivn sdšnj vrednost tkvih uplt se dobij ko ã :n = n ϑ t tp (τ) dt. (3.66)
34 Ako se premije uplćuju do trenutk nstupnj dekrement po bilo kom osnovu, li u diskretim vremenskim trenucim, očekivn sdšnj vrednost tkvih uplt biće ä = k= ϑ k kp (τ). Očekivn diskontovn vrednost premijskih uplt koje trju n godin, odnosno do nstupnj dekrement po m kom osnovu od nvedenih u ugovoru o osigurnju, koje se uplćuju u diskretnim vremenskim trenucim je n 1 ä :n = ϑ k kp (τ). k= Kko je iz rnijeg izlgnj poznto d se verovtnoć t p (τ) može odrediti n osnovu tblic mortlitet, to se mogu odrediti očekivne sdšnje vrednosti premijskih uplt kko u neprekidnom tko i u diskretnom slučju. Pod pretpostvkom d su premijske uplte konstntne, premije se izrčunvju, n osnovu princip ekvivlencije, n sledeći nčin: Premij = Očekivn sdšnj vrednost sume osigurnj Očekivn sdšnj vrednost jediničnih premijskih uplt. Primer 3 Nek je model višestrukog dekrement, s dv osnov dekrement, zdt s: µ (1) (t) = BC +t, µ (2) (t) = A, t, A, B, C 1. (3.67) Pri tom, nek vži A =.8, B =.11, C = 1.95, δ =.5, gde je δ intenzitet kmte. Pretpostvk je d se sum osigurnj isplćuje neposredno nkon nstupnj dekrement; i to 1 jedinic, ukoliko dekrement nstupi n osnovu prvog uzrok i 2 jedinic, ukoliko dekrement nstupi n osnovu drugog uzrok dekrement. (i) Nći sdšnju vrednost sume doživotnog osigurnj z osobu 3, 4, 5 i 6 godin strosti u trenutku sklpnj ugovor o osigurnju. (ii) Izrčunti iznos premije, koj će biti uplćivn u obliku neprekidne, doživotne rente z osobu 3, 4, 5 i 6 godin strosti prilikom sklpnj ugovor o doživotnom osigurnju. Rstviti ukupnu premiju n deo koji odgovr prvom i deo koji odgovovr drugom uzroku dekrement. (iii) Nći iznos premije, koj će biti uplćivn u obliku n-to godišnje, neprekidne rente z doživotno osigurnje osobe strosti 3 godin, gde je n = 1, 2,..., 1. (iv) Izrčunti iznos premije osigurnj s rokom od n godin, koj će biti uplćivn u vidu n-to godišnje, neprekidne rente, z osobu strosti 3 godin, gde je n = 1, 2,..., 1. Rstviti ukupnu premiju n deo koji odgovr prvom i deo koji odgovovr drugom uzroku dekrement.