Slide 1

Величина: px

Почињати приказ од странице:

Download "Slide 1"

Cvetana Logar
пре 4 година
Прикази:

1 Statistička analiza u hidrologiji Uvod Statistička analiza se primenjuje na podatke osmatranja hidroloških veličina (najčešće: protoka i kiša) Cilj: opisivanje veze između veličine i verovatnoće njene pojave veličina verovatnoća pojave P Statistička analiza u hidrologiji Veza između veličine i verovatnoće raspodela verovatnoće raspodela verovatnoće veličina verovatnoća pojave P

2 Statistička analiza u hidrologiji Cilj statističke analize: pronaći raspodelu verovatnoće ( model ) koja dovoljno dobro opisuje vezu -P u osmotrenom nizu podataka uz pomoć odabrane raspodele, odrediti: verovatnoću pojave zadatog ekstrema, P() veličinu ekstrema zadate verovatnoće pojave, (P) raspodela verovatnoće veličina ekstrema verovatnoća pojave P Statistička analiza u hidrologiji Rezultati statističke analize koriste se za: projektovanje objekata i sistema za zaštitu od poplava analiza maksimalnih protoka, kiša (analiza velikih voda) analizu raspoloživih količina vode za potrebe svih vidova korišćenja voda (vososnabdevanje, hidroenergetika, navodnjavanje) analiza srednjih godišnjih protoka (analiza srednjih voda) analizu dugotrajnih sušnih perioda za potrebe vodosnabdevanja ili poljoprivrede analiza minimalnih protoka, maksimalnih beskišnih perioda (analiza malih voda) analize kvaliteta voda i garantovanih ekoloških protoka analiza minimalnih protoka (analiza malih voda)

3 Osnovni pojmovi iz verovatnoće Slučajna promenljiva veličina koja se ponaša po nekom zakonu verovatnoće, tj. uzima određene vrednosti sa nekom verovatnoćom Ishodi ili realizacije vrednosti koje uzima slučajna promenljiva Skup svih mogućih ishoda oblast definisanosti slučajne promenljive Slučajni događaj podskup skupa svih mogućih ishoda Osnovni pojmovi Primer: Visina kiše kao slučajna promenljiva Skup svih mogućih ishoda: < Skup svih mogućih ishoda 4 5 6

4 Osnovni pojmovi Primer: Visina kiše kao slučajna promenljiva Skup svih mogućih ishoda: < Ishodi ili realizacije (osmatranja): 5 mm Jedan ishod Osnovni pojmovi Primer: Visina kiše kao slučajna promenljiva Skup svih mogućih ishoda: < Ishodi ili realizacije (osmatranja): 5 mm Slučajni događaj: > mm Doga đaj > 4 5 6

5 Osnovni pojmovi Primer: Visina kiše kao slučajna promenljiva Skup svih mogućih ishoda: < Ishodi ili realizacije (osmatranja): 5 mm Slučajni događaj: > mm, mm Doga đaj < Osnovni pojmovi Primer: Visina kiše kao slučajna promenljiva Skup svih mogućih ishoda: < Ishodi ili realizacije (osmatranja): 5 mm Slučajni događaj: > mm, mm, 6 mm Događaj < <

6 Osnovni pojmovi Slučajne promenljive: prekidne ili diskretne: skup svih mogućih ishoda skup celih brojeva broj dana u godini sa kišom većom od mm broj dana u godini sa temperaturom ispod o C broj talasa velikih voda u godini sa maksimalnim protokom većim od neke vrednosti neprekidne ili kontinualne: skup svih mogućih ishoda skup realnih brojeva protok visina kiše nivo vode zapremine talasa velikih voda nivo podzemnih voda Zakon raspodele verovatnoće Ishodi ili realizacije i događaji se dešavaju sa određenom verovatnoćom, prema RASPODELI VEROVATOĆE

7 diskretna slučajna promenljiva } { : i i i i p p p p P p p p p K K diskretna slučajna promenljiva Primer: bacanje novčića bacanje kocke ocena na ispitu.5.5 : G P 6 / 6 6 / 5 6 / 4 6 / 6 / 6 / : :

8 diskretna slučajna promenljiva Grafički prikaz ocena na ispitu verovatnoća ocena na ispitu diskretna slučajna promenljiva Primeri događaja ocena na ispitu verovatnoća da se padne ispit: 5}. verovatnoća da se položi ispit: >5} 6} 6 ili 7 ili 8 ili 9 ili } 6} + 7} + 8} + 9} + } ili 5} 5}..7 verovatnoća za odličnu ocenu:.5 9} 9} + } verovatnoća ocena na ispitu

9 kontinualna slučajna promenljiva Raspodela verovatnoće za kontinualnu slučajnu promenljivu funkcija gustine verovatnoće f() f() F() } f ( u) du funkcija raspodele verovatnoće F() F ( ) } f ( u) du F () F () kontinualna slučajna promenljiva Verovatnoće događaja } F() f() } F() F () F ()

10 kontinualna slučajna promenljiva Verovatnoće događaja > } } F() f() > } F() F () - F ( ) F () kontinualna slučajna promenljiva Verovatnoće događaja < < } < } > } > } < } < } < } F( ) F( ) f() < < } F( ) F( ) F () F ( ) F ( ) - F ( ) F ( )

11 kontinualna slučajna promenljiva Primeri događaja: eksponencijalna raspodela:. f ( ) e F( ) } } F() e, > } F() + e u u e du e < < } F() F() e < < } F() F() e e + e.5 e } + < < } + < < } + > } F ( ) f ( ) Populacija i uzorak uzorak je deo populacije raspodela populacije može biti poznata ili nepoznata (u hidrologiji: nepoznata) na osnovu osobina uzorka zaključujemo o populaciji

12 Populacija i uzorak Populacija verovatnoća Uzorak učestalost (frekvencija), empirijska verovatnoća apsolutna frekvencija: broj podataka u klasi f a < b} F(b) F(a) funkcija raspodele: } F() relativna frekvencija: broj podataka u klasi u odnosu na ukupan broj podataka f* f/ kumulativna relativna frekvencija: broj podataka u odnosu na ukupan broj podataka F* Σ f* empirijska funkcija raspodele (a) Relativne frekvencije f* ( i ) Uzorak Populacija (c) Funkcija gustine raspodele f () D Δ i (b) Kumulativne relativne frekvencije F* ( i ) (d) Funkcija raspodele F () F* ( i ) F* ( i-) f* ( i ) F ( i ) i- i i

13 Empirijska raspodela verovatnoće, F e () Pandan funkciji raspodele F() tj. verovatnoći } koji se određuje na osnovu uzorka kao kumulativna relativna frekvencija: F ( e k ) } k k broj podataka k broj podataka u nizu k k-ti podatak u nizu uređenom u rastući redosled primer ( 5): 5 ) } 6} 5 F e ( k k Empirijska raspodela Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela 4 k k k / min /4 /4 ma } / /4 5/ / /4 4 4 ma 4/4 > ma } ma} sigurno će biti manje od ma tj. nemoguće da bude veće od? ma

14 Empirijska raspodela Korekcija kumulativne relativne frekvencije kao empirijska raspodela 4 k k (k )/ min /4 /4 min } / /4 4/ / /4 4 4 ma 9/4 > min } min} nemoguće je da bude manje od min tj. sigurno će biti veće od? min Empirijska raspodela Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela. F ().9.8 k } k k k } nešto nešto između kompromisna verovatnoća

15 Empirijska raspodela Kompromisna verovatnoća po Hejzenu kao empirijska raspodela 4 k k (k.5) / min.5/4 k.5 k }.5/4.5/ /4 4.5/ / /4 4 4 ma 9.5/4.5.5 min }.5 4 > ma ma 9.5 } } }.5 ma Empirijska raspodela Kompromisna verovatnoća po Vejbulu kao empirijska raspodela 4 k k k / ( + ) min /4 k k } + /4 / /4 5/ / /4 4 4 ma 4/4 min } > ma ma 4 } } }.44 ma

16 Osobine raspodela verovatnoće Momenti raspodele momenti oko koordinatnog početka ' r r f ( ) d momenti oko sredine r r ( ) f ( ) d Osobine raspodela verovatnoće Mere centralne tendencije srednja vrednost težište gustine raspodele: ' f ( ) d f () iz uzorka: i medijana: Me i F( Me) f ( ) d f ( ) d.5 Me f ().5.5 Me

17 Osobine raspodela verovatnoće Mere odstupanja od srednje vrednosti disperzija (varijansa): σ ( ) f ( ) d iz uzorka: S ( i ) i standardna devijacija: S ( i ) i koeficijent varijacije: σ C v S c v f () malo σ veliko σ Osobine raspodela verovatnoće Asimetrija raspodele treći momenat: ( ) f ( ) d koeficijent asimetrije: C s σ f () pozitivna asimetrija C s > negativna asimetrija C s < iz uzorka: cs ( )( ) S i ( ) i

Слични документи

Osnovni pojmovi teorije verovatnoce

Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13 Verovatnoća i statistika: