Ortogonlni, Hermiteovi i Jcobijevi polinomi Sfet Penjić inforrt@gmil.com Nučno-istrživčki rd* koji je rzvijen ko prcijlno ispunjenje obvez prem izbornom predmetu Specijlne funkcije s postdiplomskog studij Odsjek z mtemtiku Univerzitet u Srjevu Ndgledno od: Prof. dr sc Mirjn Mlenic Prirodno-mtemtički fkultet Univerzitet u Srjevu (Dtum: 14 novembr 2012.) *Ovo je rd u rzvoju. Moguć je pojv štmprskih grešk. 1
(ov strnic je ostvljen przn) 2
Sdržj Sdržj 3 I Ortogonlni polinomi 1. Težinsk funkcij 5 2. Grm-Schmidt-ov proces ortonormlizcije 10 3. Ortogonlni polinomi koji odgovrju proizvoljnoj težinskoj funkciji 15 4. Rzvijnje proizvoljne funkcije u red 17 5. Povrtn (rekurentn) formul 19 6. Christoffel-Drboux-ov identitet 21 7. Simetrij 22 8. Nule 24 9. Osobine njmnjeg-kvdrt 24 10. Diferencijln jednčin 26 II Hermiteovi polinomi 11. Definicij pomoću izvod 31 12. Ortogonlnost i fktor ortonormlizcije 33 13. Hermiteovi i Grm-Chrlier-ovi redovi 34 14. Povrtn (rekurentn) formul; Diferencijln jednčin 36 15. Funkcij generirnj (genertris) 37 16. Tlsn jednčin linernog osciltor 40 III Jcobijevi polinomi 17. Definicij pomoću izvod 43 18. Ortogonlnost 44 19. Vodeći koeficijenti 46 20. Fktor normlizcije. Red Jcobi-jevih polinom 49 21. Povrtn (rekurentn) formul 50 22. Diferencijln jednčin 52 Litertur 53 3
(ov strnic je ostvljen przn) 4
1. Težinsk funkcij I Ortogonlni polinomi Posmtrjmo polinome H n (x) = () n e x2 dn dx n e x2 z n = 0, 1, 2,... i pokžimo d je ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = 0 z n m. Bez gubitk opštosti izrčunćemo integrl z m > n. Immo ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = () m+n Ako primjenimo prcijlnu integrciju, s smjenm dobićemo () m+n ˆ Sd primjetimo d je p immo u = e x2 du = d ( e x2, dx e x2 H n (x)h m (x)dx = e x2 dn dx n e x2 ˆ e x2 dn d m dx n e x2 dx m e x2, dv = dm d n ) dx n e x2 dx dx m e x2 dn d m dx n e x2 e x2 dxm dx, v = dm e x2 dxm ˆ d dx e x2 = e x2 ( 2x), d 2 dx 2 e x2 = e x2 ( 2x)( 2x) + e x2 ( 2) = e x2 (( 2x) 2 2), d 3 dx 3 e x2 ( d dx = e x2 ( 2x)(4x 2 2) + e x2 (8x) = e x2 (( 2x) 3 + 12x),... d n dx n e x2 = e x2 (( 2x) n +...) e x2 dn d m dx n e x2 e x2 dxm zto što z svki fiksirni k N vrijedi Prem tome () m+n ˆ dx. e x2 dn dx n e x2 = e x2 e x2 (( 2x) n +...)e x2 (( 2x) m +...) x k e x2 0 kd x. e x2 H n (x)h m (x)dx = 5 ˆ ( d dx e x2 dn dx n e x2 ) d m ) d m = 0 e x2dx. dxm e x2dx. dxm
Ako prcijlnu integrciju ponovimo još n 1 put dobićemo () m+n ˆ Sd primjetimo d je iz čeg slijedi e x2 H n (x)h m (x)dx = () n d n ( dx n e x2 dn dx n e x2 ) ˆ d n ( dx n e x2 dn dx n e x2 ) d m n = dn dx n (( 2x)n +...) = () n 2 n n!, e x2dx. dxm n () m+n ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = () n () n 2 n n! ˆ d m n ( ) d e x2dx = 2 n m n n! e x2 dxm n dxm n = 0. Možemo zključiti ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = 0, ko je m n. Ovu relciju možemo opisti tko što ćemo reći d su funkcije (e x2 ) 1/2 H n (x), (e x2 ) 1/2 H m (x) međusobno ortogonlne n intervlu (, ). Istu relciju možemo opisti i n drugi nčin, koji je mnogo vžniji z tekst koji slijedi, tko što ćemo reći d su polinomi H n (x), H m (x) međusobno ortogonlni n intervlu (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2. Koncept sistem ortogonlnih polinom u odnosu n težinsku funkciju će biti dominntn od sd p ndlje. Formlizujmo prethodno npisno: (1.01) Definicij (ortogonlnost u odnosu n težinsku funkciju) Z dvije funkcije f 1 (x) i f 2 (x) kžemo d su međusobno ortogonlne n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x) ko i smo ko ˆb ρ(x)f 1 (x)f 2 (x) dx = 0. (1.02) Problem Pokzti d su polinomi H n (x) = () n e x2 dn dx n e x2 međusobno ortogonlni n intervlu (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 n = 0, 1, 2,... z Sljedeće što želimo pokzti je d se funkcij cos mθ, z proizvoljno m N 0, može izrziti ko polinom C m stepen m po promjenjivoj cos θ, poslije tog želimo pokzti d z tkve polinome vrijedi sljedeć jednkost (1 x 2 ) /2 C m (x)c k (x)dx = 0. 6
Primjenom dicionih teorem n izrze cos ((n + 1)θ) i cos((n 1)θ) dobijmo cos ((n + 1)θ) = cos (nθ + θ) = cos nθ cos θ sin nθ sin θ, cos ((n 1)θ) = cos (nθ θ) = cos nθ cos θ + sin nθ sin θ. Sbirnjem zdnje dvije jednkosti i premještnjem element, immo cos ((n + 1)θ) = 2cos nθ cos θ cos ((n 1)θ). Ov jednkost će nm pomoći, d pomoću mtemtičke indukcije pokžemo sljedeću tvrdnju: Z svki fiksirni ne-negtivni cijeli broj n, postoje cijeli c ni, i = 0, 1, 2,..., n, tkvi d n cos nθ = c ni cos i (θ). i=0 BAZA INDUKCIJE Z n = 0 immo cos 0θ = 1 = 1 cos 0 (θ). Prem tome c 00 = 1. Z n = 1 immo cos 1θ = cos θ = 1 cos 1 (θ). Prem tome c 10 = 0, c 11 = 1. Jednkost je tčn z n = 0 i n = 1. KORAK INDUKCIJE Pretpostvimo d je jednkost tčn z sve k = 1, 2,..., n tj. pretpostvimo d z svki fiksirn cijeli k (1 k n) postoje cijeli brojevi c ki, i = 0, 1, 2,..., k, tkvi d k cos kθ = c ki cos i (θ), i=0 i n osnovu ove pretpostvke pokžimo d je jednkost tčn z n + 1. Immo: n osnovu pretpostvke cos ((n + 1)θ) = 2cos nθ cos θ cos ((n 1)θ) ==== ( n ) n = 2 c ni cos i (θ) cos θ c n,i cos i (θ) i=0 i=0 n n = 2c ni cos i+1 (θ) c n,i cos i (θ) i=0 i=0 iz čeg možemo vidjeti d postoje cijeli brojevi c n+1,i, i = 0, 1, 2,..., n + 1, tkvi d cos (n + 1)θ = n+1 i=0 c n+1,i cos i (θ). Možemo zključiti d je jednkost tčn z svki n N 0. Drugim riječim funkcij cos nθ, z proizvoljno n N 0, može izrziti ko polinom C n stepen n po promjenjivoj cos θ. Z m k izrčunjmo integrl π cos mθ cos kθ dθ: 0 ˆπ 0 cos mθ cos kθ dθ = = = 1 2 ˆπ 0 ˆπ 0 ( 1 2 cos(m k)θ + 1 ) 2 cos(m + k)θ dθ = cos(m k)θ dθ + 1 2 ˆπ 0 cos(m + k)θ dθ = 1 2(m k) sin(m k)θ π 0 + 1 2(m + k) sin(m + k)θ π 0 = 0. 7
U relciji ˆπ 0 cos mθ coskθ dθ = 0, m k nek je x = cosθ. Td je dx = sinθ = (1 x 2 ) 1/2 dθ tj. dθ = (1 x 2 ) /2 dx. Funkcij cos mθ se može izrziti ko polinom stemen m po promjenjivoj cosθ : i slično immo z cos kθ. Prem tome π 0 ˆ1 cos mθ = C m (cosθ) = C m (x), cos mθ cos kθ dθ = 0 postje (1 x 2 ) /2 C m (x) C k (x) dx = 0. Polinomi C m (x), m = 0, 1, 2,..., su međusobno ortogonlni n intervlu [, 1] u odnosu n težinsku funkciju (1 x 2 ) /2. Time smo dokzli Lemu 1.03 i riješili Problem 1.04. (1.03) Lem Funkcij cos mθ, z proizvoljno m N 0, se može izrziti ko polinom C m stepen m po promjenjivoj cos θ. (1.04) Problem Pokzti d su polinomi C m iz Leme 1.03 međusobno ortogonlni n intervlu (, 1) u odnosu n težinsku funkciju (1 x 2 ) /2. Skoro n isti nčin ko u tekstu iznd, se može pokzti sljedeće: Funkcij sin(m + 1)θ zdovoljv jednkost sin(m + 1)θ = sinθ S m (cosθ), gdje je S m polinom stepen m po promjenjivoj cosθ. Relcij je ekvivlentn s ˆπ 0 sin(m + 1)θ sin(k + 1)θ dθ = 0, m k, ˆ1 (1 x 2 ) 1/2 S m (x) S k (x) dx = 0. Polinomi S m (x) su međusobno ortogonlni n intervlu [, 1] u odnosu n težinsku funkciju (1 x 2 ) 1/2. N krju posmtrjmo polinome definisne s P 0 (x) = 1, P n (x) = 1 d n 2 n n! dx n (x2 1) n, n = 1, 2, 3,... Pokžimo d z ove polinome vrijedi P n (x)p m (x) dx = 0, z n m. 8
Zbog pogodnosti, pišemo (x 2 1) n = p n (x) tko d P n (x) x m dx = 1 p 2 n n (x) x m dx. n! Ovj integrl ćemo izrčunti z m < n pomoću rekurzije. Prvo primjetimo d P, prcijlnom integrcijom, s smjenm p (k) n (x) = 0 z x = ±1 i k = 0, 1, 2,..., n 1. u = x m dv = p (n) n (x) dx dobijmo du = mx m dx p n (x) x m dx = m v = p (n) n (x) p (n) n (x) x m dx. Ponvljjući prcijlnu integrciju još m 1 put dolzimo do Prem tome, () m m! p (n m) n (x) dx = () m m! [ p (n m) n (x) ] 1 = 0 Kko je P m polinom stepen m, slijedi d P n (x) x m dx = 0, z m < n. (m < n). P n (x)p m (x) dx = 0, z n m. Polinomi P n (x) su međusobno ortogonlni n intervlu [, 1] u odnosu n težinsku funkciju 1. U tekstu iznd smo pokzli rješenje Problem 1.05: (1.05) Problem Pokzti d su polinomi definisni s P 0 (x) = 1, P n (x) = 1 2 n n! d n dx n (x2 1) n, n = 1, 2, 3,... međusobno ortogonlni n intervlu (, 1) u odnosu n težinsku funkciju 1. Npomen: Polinomi H n (x) se zovu Hermitovi polinomi red n. Ksnije ćemo vidjeti d se ovi polinomi dobiju ko rješenj Hermit-ove diferencilne jednčine red n Prvih šest Hermitovih polinom je H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x, H 4 (x) = 16x 4 48x 2 + 12, y 2xy + 2ny = 0. 9
H 5 (x) = 32x 5 160x 3 + 120x. Polinomi C m (x) i S m (x) se zovu trigonometriski polinomi ili Chebichef-ovi polinomi prve i druge vrste red n. Ksnije ćemo pokzti d su ovi polinomi rješenj Chebichef-ove diferencijlne jednčine red n (1 x 2 )y xy + n 2 y = 0. Ime Chebichef-ovi polinomi se tkođer, mnogo opštije, primjenjuju u sistemim ortogonlnih polinom u odnosu n proizvoljnu težinsku funkciju. Čitv glv "Ortogonlni polinomi" je koncentrisn n osnove opšte teorije tkvih ortogonlnih sistem. Prvih šest Chebichef-ovi polinomi prve vrste izrženih preko stepen promjenjive x je: C 0 (x) = 1, C 1 (x) = x, C 2 (x) = 2x 2 1, C 3 (x) = 4x 3 3x, C 4 (x) = 8x 4 8x 2 + 1, C 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x. Polinomi P n (x) se zovu Legendre-ovi polinomi red n. Ksnije ćemo vidjeti d se ovi polinomi dobiju ko rješenj Legendre-ove diferencijlne jednčine red n Prvih šest Legendre-ovi polinom je P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 1 2 (3x2 1), P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x), P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3), P 5 (x) = 1 8 (63x5 70x 3 + 15x). (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1)y = 0. Chebichef-ovi i Legendre-ovi polinomi su u stvri specijlni slučj Jcobi-jevih polinom, jedn od vžnijih tipov polinom koje ćemo rzmtrti u jednoj od sljedećih glv. 2. Grm-Schmidt-ov proces ortonormlizcije Nek je φ 0 (x), φ 1 (x), φ 2 (x),... proizvoljn niz funkcij n intervlu (, b), tkv d su sve funkcije u nizu integrbilne i linerno nezvisne. Kroz tekst koji slijedi, intervl (, b) se može zmjeniti beskončnim intervlom (, ) ili s intervlom (, ), li pod uslovom d svi integrli koji se posmtrju postoje. Pretpostvićemo d je svk linern kombincij ψ = α 0 φ 0 +... + α m φ m, končnog broj φ-jev s konstntnim koeficijentim α 0,..., α m ne svi nul, rzličit od nule n skupu tčki koje su dovoljne d nprve određen integrl od ψ 2, nd posmtrnim intervlom, rzličit od nule. U tekstu koji slijedi simboli φ 0, G 1,..., G n predstvljju relne brojeve, ko i simboli φ i, g j, z i, j = 1, 2,...n. Nek je d 0 = φ 0 2 = [φ 0 (x)] 2 dx, 10
g 0 (x) = φ 0(x) d 1/2 0 = φ 0(x) φ 0, tko d je b [g 0(x)] 2 dx = 1. Nek je Td je c 10 = φ 1, g 0 = φ 1 (x)g 0 (x) dx, G 1 (x) = φ 1 (x) c 10 g 0 (x) = φ 1 (x) φ 1, g 0 g 0 (x), d 1 = G 1 2 = g 1 (x) = G 1(x) d 1/2 1 [G 1 (x)] 2 dx, = G 1(x) G 1. G 1 (x)g 0 (x) dx = g 1 (x)g 0 (x) dx = (φ 1 (x) φ 1, g 0 g 0 (x))g 0 (x) dx = 0, G 1 (x) G 1 g 0(x) dx = 1 G 1 [g 1 (x)] 2 dx = 1. G 1 (x)g 0 (x) dx = 0, U opštem slučju nek su funkcije g 2 (x), g 3 (x),... definisne uzstopno s relcijm c nk = φ n, g k = G n (x) = φ n (x) d n = G n 2 = g n (x) = G n(x) d 1/2 n n φ n (x)g k (x) dx, n c nk g k (x) = φ n (x) φ n, g k g k (x), [G n (x)] 2 dx, = G n(x) G n. Mtemtičkom indukcijom, nije teško pokzti d je svk od funkcij g n (x) ortogonln n g 0 (x),..., g n (x) g n (x)g m (x) dx = = 1 G n = 1 G n ( G n (x) G n g m(x) dx = 1 G n ) n φ n (x) φ n, g k g k (x) g m (x) dx = φ n (x)g m (x) dx 1 n φ n, g k G n = 1 G n φ n, g m 1 n φ n, g k G n G n (x)g m (x) dx = g k (x)g m (x) dx = g k (x)g m (x) dx, i d je svk od funkcij g 0 (x),..., g n (x) normlizovn, tj. imju vrjednost 1 ko integrl njihovih kvdrt nd intervlom (, b). Kko je relcij ortogonlnosti simetričn, isto tko možemo reći d su proizvoljne dvije funkcije g i, g j međusobno ortogonlne, z i j. Činjenic d su g-ovi oboje, i međusobno ortogonlne i normlizovne, se sumir u jednu riječ, koju zovemo ortonormirne funkcije. 11
Ako ko φ-ove uzmemo konkretno funkcije 1, x, x 2 i x 3, n intervlu (, 1) td ko 1 odgovrjuće g-ove ćemo dobiti 2, 3 x, 1 5 2 2 2 (3x2 1) i 1 7 2 2 (5x3 3x). Pokžimo ovo. d 0 = φ 0 2 = 1 2 = g 0 (x) = φ 0(x) d 1/2 0 = 1 2 tko d je 1 [g 0(x)] 2 dx = 1. Dlje c 10 = x, g 0 = 1 2 dx = 2 x 1 2 dx = 0, G 1 (x) = φ 1 (x) c 10 g 0 (x) = x 0 g 0 (x) = x, d 1 = x 2 = g 1 (x) = 3 2 x, x 2 dx = 2 3, tko d je 1 g 1(x)g 0 (x) dx = 0, 1 c 20 = x 2, g 0 = c 21 = x 2, g 1 = [g 1(x)] 2 dx = 1. Dlje x 2 1 2 dx = 2 3, 3 x 2 x dx = 0, 2 G 2 (x) = x 2 c 20 g 0 (x) c 21 g 1 (x) = x 2 1 3, d 2 = x 2 1 3 2 = g 2 (x) = 45 8 ) ( x 2 1 3 ( x 2 1 3) 2 dx = 8 45, = 1 2 5 2 (3x2 1), tko d je 1 g 2(x)g 0 (x) dx = 0, 1 g 2(x)g 1 (x) dx = 0, 1 [g 2(x)] 2 dx = 1. N krju c 30 = x 3, g 0 = c 31 = x 3, g 1 = c 32 = x 3, g 2 = x 3 1 2 dx = 0, 3 6 x 3 2 x dx = 5, x 3 1 2 5 2 (3x2 1) dx = 0, G 3 (x) = x 3 c 30 g 0 (x) c 31 g 1 (x) c 32 g 2 (x) = x 3 d 3 = x 3 3 ( 5 x 2 = x 3 3 ) 2 5 x dx = 8 175, 175 g 3 (x) = (x 3 3 ) 8 5 x = 1 7 ( 5x 3 3x ), 2 2 6 5 3 2 x = x3 3 5 x, tko d je 1 g 3(x)g 0 (x) dx = 0, 1 g 3(x)g 1 (x) dx = 0, 1 g 3(x)g 2 (x) dx = 0, 1 [g 3(x)] 2 1 dx = 1. Primjetimo d su dobijeni polinomi 2, 3 x, 1 2 2 7 2 (5x3 3x) u stvri prv 4 normirn Lgendre-ov polinom. 1 2 5 2 (3x2 1) i 12
Opisn procedur z konstrukciju ortogonlnog sistem iz proizvoljnog dtog skup funkcij je poznt pod imenom Grm-Schmidt-ov proces ortogonlizcije. Formlizujmo prethodno npisni tekst: (2.01) Teorem (Grm-Schmidt-ov postupk ortogonlizcije) Nek je φ 0 (x), φ 1 (x), φ 2 (x),... φ n (x), proizvoljn niz funkcij n intervlu (, b), tkv d su sve funkcije iz niz integrbilne n (, b), i linerno nezvisne. Td je Grm-Schmidt-ov niz definisn s φ 0 (x) g 0 (x) = b [φ 0(x)] 2 dx, g k (x) = ortonormirn niz. ˆb φ k (x) φ k (x) k ˆb i=0 k ˆb i=0 φ k (x)g i (x)dx g i (x) 2 φ k (x)g i (x)dx g i (x) dx z k = 1, 2, 3,..., n (2.02) Vježb Primjenom Grm-Schmidtovog postupk ortogonlizcije konstruisti ortonormirn sistem polzeći od skup funkcij {1, x, x 2, x 3 }, koristeći intervl (, 1). Funkcij g n je u stvri linern kombincij od φ 0,..., φ n (pod frzom linern kombincij će se uvijek podrzumjevti linern kombincij s konstntnim koeficijentim) g 0 (x) = 1 d0 φ 0 (x), g 1 (x) = 1 d1 G 1 (x) = 1 d1 φ 1 (x) c 10 d1 g 0 (x), g 2 (x) = 1 G 2 (x) = 1 φ 2 (x) c 20 g 0 (x) c 21 g 1 (x),... d2 d2 d2 d2 g n (x) = 1 G n (x) = 1 φ n (x) c n0 g 0 (x) c n1 g 1 (x)... c n,n g n (x), dn dn dn dn dn i obrnuto, s obzirom d su koeficijenti uz φ n u izrzu z g n, u svim slučjim, rzličiti od nule, relcisk vez φ-ev s g-ovim se može uspješno riješiti, svki φ n je linern kombincij od g 0,..., g n. Pokžimo ovo zdnje. Već smo primjetili d je svki g n (x) linern kombincij od φ 0 (x), φ 1 (x),..., φ n (x). Drugim riječim z svki g n (x) postoje koeficijenti ni R, (i = 0, 1,..., n) tkvi d g n (x) = n0 φ 0 (x) + n1 φ 1 (x) +... + nn φ n (x), tj. ko posmtrmo funkcije g 0 (x), g 1 (x),..., g n (x) immo g 0 (x) = 00 φ 0 (x), g 1 (x) = 10 φ 0 (x) + 11 φ 1 (x), g 2 (x) = 20 φ 0 (x) + 21 φ 1 (x) + 22 φ 2 (x)... g n (x) = n0 φ 0 (x) + n1 φ 1 (x) +... + nn φ n (x). 13
Jednkosti iznd možemo npisti u mtričnom obliku g 0 (x) 00 0 0... 0 φ 0 (x) g 1 (x) 10 11 0... 0 φ 1 (x) g 2 (x) = 20 21 22... 0 φ 2 (x)....... g n (x) n0 n1 n2... nn φ n (x) }{{} =A Ako npisnu gornje-trougonu mtricu oznčimo s A, kko je ii rzličit od nule z svki i = 0, 1, 2,.., n, mtric A je nesingulrn, p dti sistem im jedinstveno rješenje. Mtric koj je inverzn gornje-trougonoj mtrici mor biti gornje-trougon. Prem tome svki φ n se može npisti ko linern kombincij od g 0, g 1,..., g n. Iz ovog slijedi d je g n ortogonln n svku linernu kombinciju od φ 0,..., φ n. Time smo dokzli sljedeće dvije leme: (2.03) Lem Nek su φ 0,..., φ n, g 0,..., g n, funkcije iz Teoreme 2.01. Td svk funkcij g k, k = 0, 1,..., n, se može npisti ko linern kombincij od φ 0,..., φ k, i obrnuto, svk funkcij φ k, k = 0, 1,..., n, se može npisti ko linern kombincij od g 0,..., g k. (2.04) Lem Nek su φ 0,..., φ n, g 0,..., g n, funkcije iz Teoreme 2.01. Td je funkcij g k, k = 0, 1,..., n, ortogonln n svku linernu kombinciju od φ 0,..., φ k. Ako je γ(x) nek linern kombincij od φ 0,..., φ n koj je ortogonln n svku od funkcij φ 0,..., φ n, on mor biti konstnt pomnožen s g n (x). Ovo možemo vidjeti iz proces konstrukcije g n (x) = G n (x)/d 1/2 n, gdje su c 10 i ostli koeficijenti niz c nk u funkcijm G n (x) jedinstveno određeni zbog zhtjev ortogonlnosti u svkom korku, koeficijenti uz φ n (x) su jedinice (G n (x) = φ n n c nk g k ). Iko osobin ortogonlnosti sm po sebi dozvoljv množenje čitvog izrz G n (x) s proizvoljnim konstntnim fktorom, d je γ(x) konstnt pomnožen s g n (x) možemo pokzti i n sljedeći nčin. Ako su n > 0 i n koeficijenti uz φ n u g n i γ-i redom g n (x) = n φ n (x) +... + 0 φ 0 (x), γ(x) = nφ n (x) +... + 0φ 0 (x), izrz γ n n g n ne sdrži φ n ; i on je linern kombincij od φ 0,..., φ n koji je ortogonln n svku od ovih funkcij (kko je γ ortogonln n svku od φ 0,..., φ n i kko je g n ortogonln n svku od φ 0,..., φ n slijedi d je i γ n n g n ortogonln n svku od φ 0,..., φ n ), p je ortogonln i n sebe, tj. integrl njezinog kvdrt nd posmtrnim intervlom je nul. Ovo znči d je γ n n g n = 0, p kko su φ-jevi linerno nezvisni svi koeficienti po kojim je ov funkcij izržen, preko člnov od φ 0,..., φ n, morju biti nul. Dlje, ko je posmtrn γ normlizovn i vrijedi d je y n 0, γ mor biti identički jednk s g n. Time smo dokzli Lemu 2.05: (2.05) Lem Ako je γ(x) linern kombincij od φ 0,..., φ n koj je ortogonln n svku od funkcij φ 0,..., φ n, td postoji konstnt α R tkv d γ(x) = αg n (x), z svko x. 14
3. Ortogonlni polinomi koji odgovrju proizvoljnoj težinskoj funkciji Nek je ρ(x) ne-negtivn funkcij koj je integrbiln nd (, b), i koj im osobinu d je vrijednost određenog integrl ρ(x) nd (, b) u stvri pozitivn. U većini vžnih primjen ρ(x) će biti neprekidn i pozitivn kroz čitv intervl, osim možd u krjnjim tčkm, gdje može nestti ili postti beskončn. U slučju beskončnog intervl obično se pretpostvi d je proizvod ρ(x) s proizvoljnim polinomom, integrbiln, nd posmtrnim intervlom. Nek je proizvod [ρ(x)] 1/2 x k, k = 0, 1, 2,... uzet ko funkcij iz Teoreme 2.01. Odgovrjuće funkcije g n (x), koje su u stvri linerne kombincije ovih (Lem 2.03), će biti oblik [ρ(x)] 1/2 p n (x), gdje su p n (x) polinomi stepen n. Izrčunjmo prvih nekoliko polinom. d 0 = φ 0 2 = [ρ(x)] 1/2 x 0 2 = g 0 (x) = [ρ(x)]1/2 x 0 d 1/2 0 gdje je p 0 (x) = 1 d0. Izrčunjmo g 1 (x) c 10 = φ 1, g 0 = ρ(x) dx, = 1 d0 [ρ(x)] 1/2 = [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 x 1 1 [ρ(x)] 1/2 dx, = 1 ρ(x)x dx, d0 d0 ( G 1 (x) = φ 1 (x) c 10 g 0 (x) = [ρ(x)] 1/2 x 1 1 c 10 [ρ(x)] 1/2 = [ρ(x)] 1/2 x c ) 10, d0 d0 d 1 = G 1 2 = g 1 (x) = G 1(x) d 1/2 1 [G 1 (x)] 2 dx, = [ρ(x)] 1/2 ( 1 d1 x c 10 d1 d 0 ) = [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), gdje je p 1 (x) = 1 d1 x c 10 d1 d 0. Izrčunjmo g 2 (x) c 20 = φ 2, g 0 = c 21 = φ 2, g 1 = [ρ(x)] 1/2 x 2 [ρ(x)] 1/2 p 0 (x) dx = [ρ(x)] 1/2 x 2 [ρ(x)] 1/2 p 1 (x) dx = ρ(x)x 2 p 0 (x) dx, ρ(x)x 2 p 1 (x) dx, G 2 (x) = φ 2 (x) c 20 g 0 (x) c 21 g 1 (x) = [ρ(x)] 1/2 x 2 c 20 [ρ(x)] 1/2 p 0 (x) c 21 [ρ(x)] 1/2 p 1 (x) = = [ρ(x)] ( 1/2 x 2 c 20 p 0 (x) c 21 p 1 (x) ) ( = [ρ(x)] 1/2 x 2 c 20 c 21 x c ) 21c 10, d0 d1 d1 d 0 d 2 = G 2 2 = g 2 (x) = G 2(x) d 1/2 2 [G 2 (x)] 2 dx, = [ρ(x)] 1/2 ( 1 d2 x 2 c 21 d2 d 1 x c 21c 10 d2 d 1 d 0 c 20 d2 d 0 ) = [ρ(x)] 1/2 p 2 (x), gdje je p 2 (x) = 1 d2 x 2 c 21 d2 d 1 x c 21c 10 d2 d 1 d 0 c 20 d2 d 0. Ako pretpostvimo d su g k (x) = [ρ(x)] 1/2 p k (x), k = 0, 1,..., n 1, funkcije dobijene Grm-Schmidtovim postupkom ortogonlizcije pomoću funkcij φ k (x) = [ρ(x)] 1/2 x k, k = 0, 1, 2,..., n 1, gdje je svki p k (x) polinomi stepen k, td z g n (x) immo c nk = φ n, g k = [ρ(x)] 1/2 x n [ρ(x)] 1/2 p k (x) dx = ρ(x)x n p k (x) dx, 15
n G n (x) = φ n (x) c nk g k (x) = [ρ(x)] 1/2 x n d n = G n 2 = g n (x) = G n(x) d 1/2 n [G n (x)] 2 dx, = [ρ(x)] 1/2 ( 1 dn x n 1 n dn n [ρ(x)] 1/2 p k (x) = [ρ(x)] 1/2 (x n p k (x) Prem tome mtemtičkom indukcijom sd nije teško pokzti Teoremu 3.01. (3.01) Teorem Nek je dt skup funkcij { [ρ(x)] 1/2, [ρ(x)] 1/2 x, [ρ(x)] 1/2 x 2,..., [ρ(x)] 1/2 x n,... } ). n p k (x) ) i nek je ρ(x) ne-negtivn funkcij tkv d integrl proizvod proizvoljnog polinom s ρ(x) nd intervlom (, b) uvijek postoji. Td Grm-Schmidtovim postupkom iz dtog skup funkcij možemo konstruisti ortonormirn sistem { [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), [ρ(x)] 1/2 p 2 (x),..., [ρ(x)] 1/2 p n (x),... } gdje su p k (x), k = 0, 1, 2,..., n,..., polinomi stepen k. Polinomi p n (x) su normirni ortogonlni ili ortonormirni polinomi s ρ(x) ko težinskom funkcijom. Oni zdovoljvju uslove ρ(x)p m (x)p n (x) dx = 0, m n, ρ(x)[p n (x)] 2 dx = 1. Svki od polinom je stepen prikzn ko njegov subskript, i koeficijent uz čln x n je pozitivn. Ove osobine potpuno određuju sistem polinom p n (x). Pokžimo d je proizvoljn ortogonln sistem funkcij {f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)} linerno nezvisn. Pretpostvimo d je sum n k=1 α k f k (x) = 0 z neke α 1,..., α k. Td ˆb ˆb ( n n n ) ˆb n 0 = 0 α k f k (x) dx = α i f i (x) α k f k (x) dx = α k 2 [f k (x)] 2 dx. k=1 k=1 i=1 k=1 Ovo povlči d je α k = 0 z svki k = 1, 2,..., n. prem tome {f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)} je linerno nezvisn skup. Time je dokzn Teroem 3.02. (3.02) Teorem Ortogonlni sistemi su linerno nezvisni. Prem tome možemo zključiti d je sistem { [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), [ρ(x)] 1/2 p 2 (x),..., [ρ(x)] 1/2 p n (x) } linerno nezvisn, p je i skup polinom {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x)} 16
linerno nezvisn. Ili drugim riječim, svki polinom n-tog stepen se može izrziti ko linern kombincij od p 0 (x),..., p n (x). Svki p n (x) je ortogonln n svki polinom nižeg stepen u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), tj. ko je q(x) bilo koji tkv polinom, ˆb ρ(x)p n (x)q(x) dx = 0. Ove činjenice su direktne posljedice opštih rezultt dobijenih u Lemm 2.03 i 2.04. U tekstu iznd smo pokzli sljedeće dvije tvrdnje: (3.03) Propozicij Nek su p k (x), k = 0, 1,..., n, polinomi iz Teoreme 3.01. Td se svki polinom n-tog stepen može npisti ko linern kombincij od p 0 (x),..., p n (x). (3.04) Posljedic Nek su p k (x), k = 0, 1,..., n, polinomi iz Teoreme 3.01. Td je svki p k (x) ortogonln n proizvoljn polinom nižeg stepen, u odnosu n težinsku funkciju ρ(x). 4. Rzvijnje proizvoljne funkcije u red Polinomi p n (x) iz Teoreme 3.01 se mogu koristiti z formlno rzlgnje proizvoljne funkcije u red. Formule su komplikovnije zbog prisustv težinske funkcije, li su u drugu ruku, jednostvnije zbog činjenice d su p-ovi normlizovni. Želimo znti kd se proizvoljn funkcij f(x) može npisti u obliku red f(x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... = c n p n (x) n=0 tj. kd se funkcij f(x) može rzviti u red po ortogonlnim polinomim p n (x). Pretpostvimo d se f(x) može rzviti u ovkv red i d su sljedeće opercije oprvdne. Množenjem s ρ(x)p k (x) i integrirnjem u grnicm od do b dobijemo ˆ b ρ(x)f(x)p k (x) dx = c n ρ(x)p k (x)p n (x) dx. n=0 Zbog ortonormirnih osobin polinom p k (x), svi integrli n desnoj strni jednki su nuli, osim kd je k = n, i u tom slučju b ρ(x)p k(x)p k (x) dx = 1. Prem tome c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx. Koeficijenti c n (x) se nzivju Furijerovi koeficijeni koeficijenti funkcije f(x) u odnosu n ortonorirne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x). Red n=0 c n p n (x), gdje su c n Furijeovi koeficijenti funkcije f(x) nziv se Furijeov red funkcije f(x). Furijeovi koeficijenti postoje z svku funkciju f(x) koj je kvdrtno sumbiln n (, b) s težinskom funkcijom ρ(x). N osnovu nejednkosi Cuchy-Bunjkovskog ( ) 1/2 ( ) 1/2 f 1 (x)f 2 (x) dx [f 1 (x)] 2 dx [f 2 (x)] 2 dx integrl b ρ(x)f(x)p k(x) dx konvergir z ovkve funkcije. Dlke, z svku ovkvu funkciju f(x) možemo npisti njen Fourierov red, li bez dljeg ispitivnj ne znmo d li je red konvergir i ko konvergir d li mu je sum f(x). 17
Ako je pišemo n=0 c n p n (x) Furierov red funkcije f(x) (tj. ko su c n = b ρ(x)f(x)p n(x) dx) ond f(x) c n p n (x). n=0 Prethodni tekst možemo sumirti sljedećom teoremom: (4.01) Teorem (Furierovo rzlgnje u odnosu n ortogonlne polinome) Nek je { [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), [ρ(x)] 1/2 p 2 (x),..., [ρ(x)] 1/2 p n (x),... } ortonormirni sistem iz Teoreme 3.01. Td se svk kvdrtno sumbiln funkcij f(x) n (, b) može npisti u obliku c n p n (x). n=0 Ovo zovemo Furijerovo rzlgnje funkcije f(x) n intervlu (, b) u odnosu n ortogonlne polinome i pišemo f(x) c n p n (x). Sklre c n = n=0 ρ(x)f(x)p n (x) dx, zovemo Furierovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu n ortogonlne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x). Nek s n (x) oznčvju prcijlnu sumu red c k p k (x) sve do čln n-tog stepen: s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... + c n p n (x). Ako umjesto x uzmemo vrijblu t u formuli z Furijerove koeficijenet c k = b ρ(t)f(t)p k(t) dx, i dobijeni izrz zmjenimo umjesto c-ov u prethodnu jednkost, dobićemo s n (x) = p 0 (x) gdje je s n (x) = ρ(t)f(t)p 0 (t) dx + p 1 (x)ρ(t)f(t)p 1 (t) dx +... + p n (x) ρ(t)f(t) [p 0 (x)p 0 (t) + p 1 (x)p 1 (t) +... + p n (x)p n (t)] dx, s n (x) = ρ(t)f(t)k n (x, t) dt, n K n (x, t) = K n (t, x) = p k (t)p k (x). ρ(t)f(t)p n (t) dx, U stvri, ko je f(x) polinom n-tog ili nižeg stepen, f(x) = π n (x), iz prethodnog dijel je poznto d postoji reprezentcij oblik f(x) = c n p n (x) gdje je desn strn končn sum umjesto beskončnog red. Procedur z određivnje koeficijent td se primjenjuje n=0 18
ez pitnj konvergencije, i koeficijenti su dti s c k = b ρ(x)f(x)p k(x) dx. U ovom slučju s n (x) je isti ko π n (x), i π n (x) je identički proizveden pomoću formule π n (x) = ρ(t)π n (t)k n (x, t) dt. N primjer, posmtrjmo ortonormirne Lgendreove polinome koje smo dobili u Vježbi 2.02 P 0 (x) = 1 2, P 1 (x) = 3 x, 2 5 P 2 (x) = 1 2 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 7 2 2 (5x3 3x). Ako rzvijmo polinom p(x) = x 3 1 preko P 0, P 1, P 2 i P 3 immo c 0 = 1 (x3 1)P 0 (x) dx = 2, c 1 = 1 (x3 1)P 1 (x) dx = 6 5, c 2 = 1 (x3 1)P 2 (x) dx = 0, c 3 = 1 (x3 1)P 2 (x) dx = 2 14 35. Prem tome x 3 1 = 6 2P 0 (x) + 5 P 1(x) + 0P 2 (x) + 2 14 35 P 3(x). Time smo riješili sljedeći zdtk. (4.02) Zdtk Plinom p(x) = x 3 1 npisti ko linernu kombincju Lgendreove ortonormirnih polinom P 0 (x) = 1 2, P 1 (x) = 3 x, P 2 2(x) = 1 5 2 2 (3x2 1) i P 3 (x) = 1 7 2 2 (5x3 3x). 5. Povrtn (rekurentn) formul Prem Teoremi 4.01 proizvod xp n (x), ko polinom (n + 1)-og stepen, se može izrziti u obliku s c nk = xp n (x) = n+1 c nk p k (x), ρ(x)xp n (x)p k (x) dx. Ako je k < n 1, xp k (x) je polinom stepen k + 1 < n, i kko je p n (x) ortogonln n svki tkv polinom u odnosu n težinsku funkciju ρ(x) (Posljedic 3.04) svi koeficijenti c nk s osobinom k < n 1 nestju, p formul xp n (x) = n+1 c nk p k (x), postje xp n (x) = c n,n p n (x) + c nn p n (x) + c n,n+1 p n+1 (x). Nek kk oznčvju koeficijent uz x k u polinomu p k (x) z svku vrijednost k, p k (x) = kk x k + k,k x k +... + k1 x + k0. 19
Izjednčvnje s koeficijentim uz x n+1 u nm dje tj. xp n (x) = c n,n p n (x) + c nn p n (x) + c n,n+1 p n+1 (x) nn = c n,n+1 n+1,n+1 c n,n+1 = nn n+1,n+1. Kko je dlje c nk = c kn z sve vrijednosti n i k, prem c nk = b ρ(x)xp n(x)p k (x) dx, immo c n,n = c n,n = n,n nn. Prem tome xp n (x) = n+1 c nk p k (x) se svodi n sljedeću formulu povrtk koj povezuje proizvoljn tri p-: xp n (x) = n,n nn p n (x) + c nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x). Ako zbog ljepšeg zpis uvedemo simbol p (x) i definišemo g tko d je identički jednk 0, s, = 0, prethodn jednkost se može posmtrti d vrijedi z n = 0 isto tko ko i z pozitivne vrijednosti od n. Time smo dokzli Teorem 5.01. (5.01) Teorem (rekurentn formul z ortogonlne polinome) Nek je dt proizvoljn niz p 0 (x), p 1 (x),..., p n (x),... ortonormirnih polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkcijeu ρ(x). Td ovj niz zdovoljv tročlnu povrtnu formulu xp k (x) = k,k kk p k (x) + c kk p k (x) + kk k+1,k+1 p k+1 (x), z k = 0, 1, 2,..., n,... gdje su kk koeficijenti uz x k u p k (x), c kk su Furier-ov koeficijenti od xp k (x) u odnosu n ortogonlne polinome p k (x) s težinskom funkcijom ρ(x), p (x) 0 i, = 0. Detljno rspisn tročln povrtn (rekurentn) formul izgled xp 0 (x) = c 00 p 0 (x) + 00 11 p 1 (x), xp 1 (x) = 00 11 p 0 (x) + c 11 p 1 (x) + 11 22 p 2 (x), xp 2 (x) = 11 22 p 1 (x) + c 22 p 2 (x) + 22 33 p 3 (x),... xp n (x) = n,n nn p n (x) + c nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x). Ako k,k oznčv koeficijent od x k u p k (x), tko d p k (x) = kk x k + k,k x k +... + k0 z svki k, td možemo odrediti c kk tko što ćemo porediti koeficijente od x k u tročlnoj povrtnoj formuli d bi dobili xp k (x) = k,k kk p k (x) + c kk p k (x) + kk k+1,k+1 p k+1 (x), x( kk x k + k,k x k +...) = k,k kk ( k,k x k + k,k 2 x k 2 +...)+ +c kk ( kk x k + k,k x k +...) + kk k+1,k+1 ( k+1,k+1 x k+1 + k+1,k x k +...), k,k x k = c kk kk x k + 20 kk k+1,k+1 k+1,k x k,
Prem tome vrijedi Teorem 5.02. (5.02) Teorem Nek je c kk = k,k kk k+1,k k+1,k+1. {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), oblik p k (x) = kk x k + k,k x k +... + k0 (k = 0, 1, 2,...) z koji vrijedi gdje su c nk = xp n (x) = n+1 n=0 c nk p k (x). ρ(x)xp n (x)p k (x) dx Furierovi koeficijenti polinom xp n (x) u odnosu n ortogonlne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x). Td koeficijente c nn možemo izrčunti po formuli c nn = n,n nn n+1,n n+1,n+1. 6. Christoffel-Drboux-ov identitet Izrz Pomnožimo s p n (t): xp n (x) = n,n nn p n (x) + c nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x). xp n (x)p n (t) = n,n nn p n (x)p n (t) + c nn p n (x)p n (t) + nn n+1,n+1 p n+1 (x)p n (t). Ako ovo oduzmemo od sljedeće jednkosti (u kojoj smo, z rzliku od prethodne, zmjenili mjest od t i x) tp n (t)p n (x) = n,n nn p n (t)p n (x) + c nn p n (t)p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (t)p n (x) člnovi c nn p n (t)p n (x) će se poništiti, i ko rezultt ćemo dobiti sljedeći oblik (t x)p n (t)p n (x) = nn [p n+1 (t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] n,n [p n (t)p n (x) p n (t)p n (x)] n+1,n+1 nn Npišimo ovu jednkost tko što ćemo n uzstopno zmjeniti s n 1, n 2,..., 1, 0: (t x)p n (t)p n (x) = n,n [p n (t)p n (x) p n (t)p n (x)] n,n n 2,n 2 n,n [p n (t)p n 2 (x) p n 2 (t)p n (x)] (t x)p n 2 (t)p n 2 (x) = n 2,n 2 n,n [p n (t)p n 2 (x) p n 2 (t)p n (x)] 21
... n 3,n 3 n 2,n 2 [p n 2 (t)p n 3 (x) p n 3 (t)p n 2 (x)] (t x)p 1 (t)p 1 (x) = 11 2,2 [p 2 (t)p 1 (x) p 1 (t)p 2 (x)] 00 11 [p 1 (t)p 0 (x) p 0 (t)p 1 (x)] (t x)p 0 (t)p 0 (x) = 00 11 [p 1 (t)p 0 (x) p 0 (t)p 1 (x)] 0 Ako sberemo svih n + 1 npisnu jednkost dobićemo n (t x) p k (t)p k (x) = k=1 ili ko uvedemo oznku K n (x, t) = n k=1 p k (t)p k (x) nn n+1,n+1 [p n+1 (t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] K n (x, t) = nn [p n+1(t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] n+1,n+1 t x. Sve npisno možemo objediniti u sljedeću teoremu: (6.01) Teorem (Christoffel-Drboux-ov jednkost) Nek je dt proizvoljn niz p 0 (x), p 1 (x),..., p n (x),... ortonormirnih polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x). Td ovj niz zdovoljv Christoffel-Drboux-ovu jednkost K n (x, t) = nn [p n+1(t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] n+1,n+1 t x, gdje je K n (x, t) = n k=1 p k (t)p k (x), nn koeficijent koji stoji uz x n u p k (x): p n (x) = nn x n + n,n x n +... + n0. Ov jednkost, koj je u slučju Lgendre-ovih polinom vrlo bitn, je od Christoffel-, i poopšten je od Drboux- z sistem ortogonlnih polinom s proizvoljnom težinskom funkcijom. 7. Simetrij Ko posebn slučj od nekog interes, je ko pretpostvimo d je intervl ortogonlnosti ( c, c) (ili (, )), simetričn u odnosu n koordintni početk. Z ovj slučj pretpostvimo d je ρ(x) prn funkcij i nek q(x) oznčv proizvoljn polinom stepen mnjeg od n. Ako je q(x) polinom, q( x) je polinom istog stepen. Posmtrjmo integrl Ako uvedemo smjenu t = x, td I = ˆ c c I = ˆ c c ρ( t)p n (t)q( t) dx = ρ(x)p n ( x)q(x) dx. ˆ c c ρ(t)p n (t)q( t) dx = 0, 22
s obzirom d je polinom p n (t) ortogonln n svki polinom nižeg stepen, u odnosu n težinsku funkciju. Nestjnje integrl c ρ(x)p c n( x)q(x) dx znči d p n ( x) im iste osobine ortogonlnosti ko i p n ( x). Štviše, p n ( x) je normlizovn ˆ c c ρ(x)[p n ( x)] 2 dx = ˆ c c ρ( x)[p n ( x)] 2 dx = ˆ c c ρ(t)[p n (t)] 2 dx = 1. Sd primjetimo d obe funkcije p n (x) i () n p n (x) imju isti koeficijent uz x n, obe zdovoljvju iste osobine ortogonlnosti i obe su normlizovne. Možemo zključiti d je () n p n (x) identički jednk s p n (x). Št ovo znči? Posmtrjmo p n (x) = nn x n + n,n x n +... + n1 x + n0, p n ( x) = nn ( x) n + n,n ( x) n +... + n1 ( x) + n0 = = () n nn x n + () n n,n x n +... + () n1 (x) + n0, () n p n ( x) = () 2n nn x n + () 2n n,n x n +... + () 2n (n) n1 (x) + n0. Ako je () n p n (x) = p n (x) z svki x, td p n (x) sdrži smo prne stepene od x ili smo neprne stepene od x, u zvisnosti d li je n prn ili neprn. Ovim smo dokzli Teoremu 7.01. (7.01) Teorem Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirni sistem polinom n intervlu ( c, c), u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), nek je ρ(x) prn funkcij i nek su polinomi p k (x) oblik p k (x) = kk x k + k,k x k +... + k0 (k = 0, 1, 2,...). Td p n (x) sdrži smo prne stepene od x ili smo neprne stepene od x, u zvisnosti d li je n prn ili neprn. Ovo u stvri znči d su koeficijenti koje smo u Teoremi 7.01 oznčili s k,k nul z svku vrijednost k, u slučju simetričnosti o kojoj diskutujemo, p prem tome, ko posljedicu Teorem 5.01 i 5.02, immo: (7.02) Posljedic Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu ( c, c) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), nek je ρ(x) prn funkcij i nek su polinomi p n (x) oblik p n (x) = nn x n + n,n x n +... + n0 (n = 0, 1, 2,...). Td su Furier-ovi koeficijenti c nn = ˆ c c ρ(x)xp n (x)p n (x) dx polinom xp n (x) u odnosu n ortogonlne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x) jednki nuli, p immo xp n (x) = n,n nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x), z n = 0, 1, 2, 3,... gdje je po dogovoru p (x) 0 i, = 0. 23
8. Nule Sljedeće što želimo pokzti je d su svi korijeni jednčine p n (x) = 0 relni i rzličiti i nlze se u unutršnjosti intervl (, b). Ako je posmtrni intervl (, ), zključk je sveden smo n to d su korijeni relni i rzličiti. Posmtrjmo sljedeću tvrdnju: Polinom p n (x) je polinom n-tog stepen kko p n (x) mijenj znk n put u unutršnjosti intervl. Immo d, kko je p n (x) ortogonln n polinom nultog stepen u odnosu n težinsku funkciju, ko je n > 1, ρ(x)p n (x) dx = 0. Ovo sigurno ne bi bilo tčno ko p n (x) nikko ne mjenj znk n posmtrnom intervlu. Pretpostvim d p n (x) mjenj znk između i b u tčno m tčki x 1, x 2,..., x m (m < n). Nek je π(x) = (x x 1 )(x x 2 )...(x x m ), polinom m-tog stepen. Td proizvod p n (x)π(x) neće mijenjti znk n posmtrnom intervlu. Zšto? Kko su x 1, x 2,..., x m nule polinom p n (x), to ovj polinom možemo npisti u obliku p n (x) = π(x)q(x) z neki polinom q(x) stepen n m. P immo ρ(x)p n (x)π(x) dx = ρ(x)q(x)[π(x)] 2 dx 0, s obzirom d su ρ(x) i [π(x)] 2 ne-negtivne funkcije. Prem tome, ko je m < n vrijednost prethodnog integrl je u kontrdikciji s osobinom ortogonlnosti polinom p n (x). Zključujemo d mor biti m = n, i time smo dokzli sljedeću teoremu: (8.01) Teorem Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x) i nek je ρ(x) nenegtivn funkcij. Td su svi korijeni jednčine p n (x) = 0 relni i rzličiti i nlze se u unutršnjosti intervl (, b). 9. Osobine njmnjeg-kvdrt Nek je f(x) proizvoljn funkcij, koj zdovoljv osobinu integrbilnosti n (, b), i nek su c k i s n (x) definisni, ko i rnije, s c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx. s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... + c n p n (x). Nek je r n (x) = f(x) s n (x). Ko direktn posjedic definicije, ρ(x)s n (x)p k (x) dx = ρ(x)r n (x)p k (x) dx = ρ(x)[c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... + c n p n (x)]p k (x) dx = c k, ρ(x)[f(x) s n (x)]p k (x) dx = 0, k = 0, 1,..., n. 24
Nek je π n (x) polinom njviše n-tog stepen. Nek je n π n (x) s n (x) = δ n (x) = d k p k (x), tko d se π n (x) svodi n s n (x) ko su svi d-ovi nul, i immo f(x) π n (x) = [r n (x) + s n (x)] [δ n (x) + s n (x)] = r n (x) δ n (x). Ako sd polinom π n (x) tumčimo ko proksimcij funkcije f(x), td integrl kvdrt greške od π n (x) s težinskom funkcijom ρ(x) od jedne do druge tčke n posmtrnom intervlu je = ρ(x)[f(x) π n (x)] 2 dx = ρ(x)[r n (x)] 2 dx 2 ρ(x)[r n (x) δ n (x)] 2 dx = ρ(x)r n (x)δ n (x) dx + ρ(x)[δ n (x)] 2 dx. Ali s obzirom d je b ρ(x)r n(x)p k (x) dx = 0 z k = 0, 1,..., n i δ n (x) = n d k p k (x) immo [ n ] ρ(x)r n (x)δ n (x) dx = ρ(x)r n (x) d k p k (x) dx = 0, [ ρ(x)[δ n (x)] 2 n 2 n dx = ρ(x) d k p k (x)] dx = d 2 k. Prem tome ρ(x)[f(x) π n (x)] 2 dx ρ(x)[r n (x)] 2 dx gdje jednkost vrijedi kko su svi d-ovi nul. Prem tome, između svih polinom stepen mnjeg ili jednkog n, polinom s n (x) se može okrkteristi, ko onj čiji je integrl greške n kvdrt s težinom njmnji. Time smo dokzli Teoremu 9.01. (9.01) Teorem Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), i nek su c k i s n (x) definisni s c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx, s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... + c n p n (x). Td, z svki polinom π n (x) (π n (x) s n (x)) stepen mnjeg ili jednkog jednkog n, vrijedi ρ(x)[f(x) s n (x)] 2 dx < ρ(x)[f(x) π n (x)] 2 dx. Ko konkretn primjer, nek je f(x) funkcij x n, i nek su c-ovi koeficijenti pomoću kojih se polinom x n može izrziti preko p-ov: x n = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... + c n p n (x). 25
Primjenimo zključk Teoreme 9.01 n proksimciju od x n polinomom stepen njviše n 1. Polinom z njbolju proksimciju u smislu kriterij posljednjeg-kvdrt je Ali s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... + c n p n (x). x n s n (x) = c n p n (x). Polinom p n (x) je određen do konstntnog fktor tko što ćemo polinom stepen njviše n 1 oduzeti od x n, i to polinom koji će nprviti integrl težine kvdrt rzlike njmnjim mogućim. (9.02) Posljedic Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), i nek su c k i s n (x) definisni s c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx, s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... + c n p n (x). Td p n (x) možemo odrediti do konstntnog fktor pomoću formule i grešk r n (x) = x n s n (x) u smislu p n (x) = x n s n (x), ρ(x)[r n (x)] 2 dx je njmnje moguć z proksimciju od x n polinomom (n 1)-og stepen. 10. Diferencijln jednčin Pretpostvimo sd d funkcij ρ(x) zdovoljv sljedeću diferencijlnu jednčinu ρ (x) ρ(x) = D + Ex A + Bx + Cx 2 (ili drgčije npisno (A + Bx + Cx 2 )ρ (x) = (D + Ex)ρ(x)) gdje su A, B, C, D i E konstnte, i pretpostvimo d (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) nestje n krjevim posmtrnog intervl. Nrvno ovo su skroz jke pretpostvke, li težinske funkcije koje zdovoljvju ove uslove, su one od velike teoriske i prktične vžnosti. Npisn diferencijln jednčin je poznt pod imenom Person-ov diferencijln jednčin. Npomenimo i to d ko je posmtrni intervl beskončn, potrebno je pretpostviti i dodtnu hipotezu, ko nije poznt drugčije, to je d se proizvod ρ(x) s proizvoljnim polinomom približv nuli kko x postje beskončn n intervlu. Pod nvedenim uslovim, sljdeće što ćemo pokzti je d p n (x) zdovoljv diferencijlnu jednčinu oblik α(x)p n(x) + β(x)p n(x) + γ n p n (x) = 0, u kojoj je α(x) polinom drugog red, u ovom slučju to će biti A + Bx + Cx 2, β(x) je polinom prvog red nezvisn od n, i γ n zvisi od n li je nezvisn od x. 26
Nek je q m (x) proizvoljni polinom stepen m < n. Nzivnik A + Bx + Cx 2 oznčimo krće s G(x). N integrl I = q m (x) d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] dx primjenimo prcijlnu integrciju s smjenm u = q m (x), du = q m(x)dx, dv = d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] dx, v = G(x)ρ(x)p n(x). Funkcij uv, sdrži proizvod G(x)ρ(x) s polinomom, p nestje n krjevim intervl, čime dobijmo I = G(x)ρ(x)p n(x)q m(x) dx. Primjenimo ponovo prcijlnu integrciju s smjenm u = G(x)ρ(x)q m(x), dv = p n(x) dx, du = d dx [G(x)ρ(x)q m(x)]dx, v = p n (x). Ponovo uv nestje n krjevim intervl čime dobijmo Ali, I = p n (x) d dx [G(x)ρ(x)q m(x)]dx. d dx [G(x)ρ(x)q m(x)] = d dx [(A + Bx + Cx2 )ρ(x)q m(x)] = = (B + 2Cx)ρ(x)q m(x) + G(x)ρ (x)q m(x) + G(x)ρ(x)q m(x) = = (B + 2Cx)ρ(x)q m(x) + (D + Ex)ρ(x)q m(x) + G(x)ρ(x)q m(x) = = ρ(x)[(b + 2Cx)q m(x) + (D + Ex)q m(x) + G(x)q m(x)], s obzirom d je prem pretpostvci G(x)ρ (x) = (D + Ex)ρ(x); i izrz u zdnjoj uglstoj zgrdi je neki polinom r m (x) stepen njviše m. P je I = ρ(x)p n (x)r m (x)dx = 0, Zbog osobine ortogonlnosti polinom p n (x). Primjetimo d smo dobili I = q m (x) d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] dx = U orginlnom izrzu z integrl I immo ρ(x)p n (x)r m (x)dx = 0. = d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] = d dx [(A + Bx + Cx2 )ρ(x)p n(x)] = = (B + 2Cx)ρ(x)p n(x) + G(x)ρ (x)p n(x) + G(x)ρ(x)p n(x) = = ρ(x)[(b + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x)], što im oblik ρ(x)π n (x), gdje je polinom π n (x) stepen njviše n, π n (x) = [(B + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x)]. Prem tome, z proizvoljn polinom q m (x) stepen m < n, ρ(x)π n (x)q m (x) dx = 0. 27
Drugim riječim, π n (x) im osobinu ortogonlnosti koju z dto n posjeduje smo konstnt pomnožen s p n (x). Prem tome, mor postojti konstnt K n tkv d π n (x) = K n p n (x). Polinom π n (x) možemo npisti u "ljepšem" oliku π n (x) = (B + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x) = (A + Bx + Cx 2 )p n(x) + [(B + D) + (2C + E)x]p n(x). Upoređivnjem koeficijent uz x n, gdje ćemo vodeći koeficijent u p n (x) oznčiti, ko i rnije, s nn ( nn 0), dobićemo Cn(n 1) nn + (2C + E)n nn = K n nn, Končno iz slijedi K n = Cn(n + 1) + En. (B + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x) = K n p n (x) (A + Bx + Cx 2 )p n(x) + [(B + D) + (2C + E)x]p n(x) [Cn(n + 1) + En]p n (x) = 0. Time smo dokzli Teoremu 10.01. (10.01) Teorem (diferencijln jednčin z ortogonlne polinome) Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), nek ρ(x) zdovoljv diferencijlnu jednčinu ρ (x) ρ(x) = D + Ex A + Bx + Cx 2 gdje su A, B, C, D i E konstnte, i pretpostvimo d (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) nestje n krjevim intervl (, b) (ko je posmtrni intervl beskončn, potrebno je pretpostviti i d se proizvod ρ(x) s proizvoljnim polinomom približv nuli kko x postje beskončno). Td p n (x) zdovoljvju sljedeću diferencijlnu jednčinu (A + Bx + Cx 2 )p n(x) + [(B + D) + (2C + E)x]p n(x) [Cn(n + 1) + En]p n (x) = 0. U slučju Legendre-ovih polinom, ρ(x) = 1 i posmtrni intervl je [, 1]. Pretpostvke Teoreme 10.01 uključuju uslov d (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) morju nestti n krju intervl, i to će biti zdovoljeno kko korijeni jednčine A + Bx + Cx 2 = 0 su x = 1 i x =. Iz čeg slijedi A + Bx + Cx 2 = 1 x 2. Diferencijlnu jednčinu ρ (x) = D+Ex sd možemo ρ(x) A+Bx+Cx 2 npisti u obliku ρ (x)/ρ(x) = 0/(1 x 2 ), iz čeg možemo zključiti d je B = D = E = 0, A = 1, C =. Ako ove konstnte uvrstimo u diferencijlnu jednčinu iz Teoreme 10.01, dobićemo pozntu Legendreovu diferencijlnu jednčinu (1 x 2 )p n(x) 2xp n(x) + n(n + 1)p n (x) = 0. 28
U slučju Hermiteovih polinom, z ρ(x) možemo uzeti ρ(x) = e x2, gdje je posmtrni intervl (, ). Pretpostvke Teoreme 10.01 uključuju uslov (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) morju težiti nuli kd x teži beskončno, iz čeg slijedi d z koeficijent B i C možemo uzeti nule. Kko je ρ (x)/ρ(x) = 2x i ρ (x) ρ(x) = D+Ex A+Bx+Cx 2 immo B = C = D = 0, A = 1, E = 2. Ako ove konstnte uvrstimo u diferencijlnu jednčinu iz Teoreme 10.01, dobićemo Hermiteovu diferencijlnu jednčinu p n(x) 2xp n(x) + 2np n (x) = 0. Ako z ρ(x) uzmemo polinom ρ(x) = (1 x 2 ) /2 i posmtrmo intervl [, 1], td d bi zdovoljili pretpostvke Teoreme 10.01 nije teško vidjeti d bi dobili A + Bx + Cx 2 = 1 x 2, ρ (x) ρ(x) = x 1 x 2 tj. B = D = 0, A = 1, C = 1, E = 1. Uvrštvnjem ovih konstnti u diferencijlnu jednčinu iz Teoreme 10.01, dobićemo Chebichef-ovu diferencijlnu jednčinu (1 x 2 )p n(x) xp n(x) + n 2 p n (x) = 0. Prethodni tekst je u stvri rješenje Vježbe 10.02. (10.02) Vježb Diskutovti vrijednosti koeficijent A, B, C, D i E koji zdovoljvju sve uslove iz Teoreme 10.01 ko z težinku funkciju posmtrmo ρ(x) = 1, ρ(x) = e x2 i ρ(x) = (1 x 2 ) /2 redom n intervlim [, 1], (, ) i [, 1]. Personov diferencijln jednčin esencijlno im tri tip rješenj koj, poslije množenj s polinomom proizvoljnog stepen, dju končne integrle nd pridruženim rngom. Posmtrni intervl je u jednom slučju končn, u drugom slučju beskončn u ob smijer, i u trećem slučju beskončn u jednom smijeru i ogrničen u drugom. Više o ovome možete pročitti u [2] strn 142-149. 29
(ov strnic je ostvljen przn) 30
11. Definicij pomoću izvod II Hermiteovi polinomi U rješenju Problem 1.02 (strn 6) smo pokzli d je ˆ e x2 () n dn x2 e dx n e x2 () m e x2 z m n. Ako uvedemo smjenu x = t 2 imćemo d je x 2 = t 2 /2, dx = dt/ 2, dm dx m e x2 d dx e x2 = 2xe x2 = 2 t 2 e t2 /2 = 2te t2 /2 = 2 d /2 dt e t2 dx = 0, d 2 dx 2 e x2 = 2e x2 ( + 2x 2 ) = 2e t2 /2 ( + t 2 ) = ( 2) 2 d2 dt 2 e t2 /2... d n dx n e x2 = ( 2) n dn dt n e t2 /2 p će prethodni integrl postti ˆ 1 2 ili drugčije npisno e t2 /2 () n e t2 /2 ( 2) n dn dt n e t2 /2 () m e t2 /2 ( 2) m dm dt m e t2 /2 dt = 0, ( 2) n+m ˆ e t2 /2 () n e t2 /2 dn dt n e t2 /2 () m e t2 /2 dm dt m e t2 /2 dt = 0, iz čeg slijedi ˆ e t2 /2 () n e t2 /2 dn dt n e t2 /2 () m e t2 /2 dm dt m e t2 /2 dt = 0. Polinome H n (x), stepen n, definisni s H n (x) = () n e x2 /2 dn dx n φ(x) gdje je φ(x) := e x2 /2, nzivmo Hermiteovi polinomi (Chrles Hermmite (1822-1901)) stepen n. Ovi polinomi su ortogonlni nd intervlom (, ) u odnosu n težinsku funkciju 1 e x2 /2 (vidi zdnje npisni integrl iznd). Posmtrjmo funkciju φ(x) = e x2 /2. Direktnim diferencirnjem dobijemo φ (x) = xe x2 /2, φ (x) = (x 2 1)e x2 /2, φ (x) = ( x 3 + 3x)e x2 /2, 1 Postoje neke rznovrsnosti u upotrebi oznk kod Hermiteovih polinom. Nekd se ko težinsk funkcij uzim e x2 umjesto e x2 /2, ko što smo i mi urdili u prvom dijelu ovog rd. U ovom dijelu ko težinsku funkciju uzimmo e x2 /2 zbog pogodnosti ove funkcije u nekim ksnijim rezulttim. 31
.... Posmtrjući ovj niz, mtemtičkom indukcijom nije teško i formlno pokzti, d će izvod bilo kojeg red ko rezultt biti proizvod funkcije e x2 /2 s polinomom po promjenjivoj x. Posmtrjmo sd Hermiteove polinome H n (x) = () n e x2 /2 dn dx n φ(x). Td, direktno iz npisne formule slijedi d je φ (n) (x) = () n e x2 /2 H n (x), i diferencirnjem ove jednkosti immo φ (n+1) (x) = () n [ xh n (x) + H n(x)]e x2 /2, dok s druge strne (direktno iz definicije od H n+1 (x)) immo φ (n+1) (x) = () n+1 e x2 /2 H n+1 (x), tko d Kko je H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x 1 0 = x H 2 (x) = x x 1 = x 2 1 H 3 (x) = x (x 2 1) 2x = x 3 3x... H n+1 (x) = x H n (x) H n(x). to mtemtičkom indukcijom nije teško pokzti d je H n (x) polinom n-tog stepen čiji su koeficijenti uz x n jednki jedinici. Ako poredimo zdnje npisne polinome s polinomim s strne 9, primjetićemo d nisu isti, i d su ovi polinomi npisi u puno "ljepšem" obliku. Ovkv rezultt immo zbog izbor težinske funkcije. Prethodno npisni tekst možemo zbiti u Lemu 11.01, Definiciju 11.02 i u dokz Teoreme 11.03. (11.01) Lem Funkcij H n (x), definisn s je polinom n-tog stepen. H n (x) = () n e x2 /2 dn dx n e x2 /2 (11.02) Definicij (Hermiteovi polinomi) Polinome H n (x) iz Leme 11.01, nzivmo Hermiteovi polinomi. (11.03) Teorem Nek su H n (x) Hermiteovi polinomi. Td su ovi polinomi ortogonlni nd intervlom (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2, mogu se odrediti pomoću formule H n+1 (x) = x H n (x) H n(x), n = 0, 1, 2,..., i H n (x) je polinom n-tog stepen čiji je koeficijent uz x n jednk jedinici. 32
12. Ortogonlnost i fktor ortonormlizcije U prethodnom dijelu smo pokzli ortogonlnost Hermiteovih polinom tko što smo iskoristili rezultt dobijen u Problemu 1.02. Pokžimo ovu ortogonlnost n mnogo elegntntniji nčin. Nek su m i n proizvoljni ne-negtivni cijeli, i ko nisu jednki nek je n veće od m : m < n. Nek je H n (x) = () n e x2 /2 dn /2 dx n e x2 = () n e x2 /2 dn dx φ(x), n i posmtrjmo integrl Immo I = ˆ Z prcijlnu integrciju, nek je I = ˆ e x2 /2 H m (x)h n (x) dx. ˆ e x2 /2 H m (x) () n e x2 /2 dn φ(x) dx = ()n H dxn m (x) φ (n) (x) dx. u = H m (x), dv = φ (n) (x) dx, du = H m(x) dx, v = φ (n) (x). Td proizvod uv (zto što je ovo proizvod od e x2 /2 s polinomom) nestje z x = ±, p ˆ I = () n+1 H m(x) φ (n) (x) dx. Ponvljjući ovj proces nkon m kork dobićemo I = () n+m ˆ H m (m) (x) φ (n m) (x) dx. Ako je n m > 0, primjenom još jedne prcijlne integrcije, u kojoj je H m (m+1) (x) 0, zto što je H m (x) polinom m-tog stepen (ili direktnom integrcijom funkcije φ (n m) (x) s konstntnim koeficijentom H m (m) (x)) dobijmo I = 0. Ovo znči d su polinomi H m (x) i H n (x) ortogonlni nd intervlom (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2. Z m = n, posljednji integrl postje I = () n+n ˆ zto što je H (n) n I = H (n) n (x) φ (n n) (x) dx = ˆ (x) = n! (vidi Teoremu 11.03), p immo ˆ e x2 /2 H n (x)h n (x) dx = ˆ ˆ H n (n) (x) φ (0) (x) dx = n! e x2 /2 dx, e x2 /2 [H n (x)] 2 dx = n! Vrijednost integrl e x2 /2 dx možemo izrčunti n dv nčin: Prvi nčin: Pomoću dvostrukog integrl. C 2 = C C = ˆ C = ˆ ˆ e x2 /2 dx e x2 /2 dx, e y2 /2 dy = 33 ˆ ˆ ˆ e x2 /2 dx. e (x2 +y 2 )/2 dxdy =
Prem tome uvedimo polrne koordinte x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dx dy = r dr dϕ ˆ2π ˆ = 0 0 2π e r2 /2 ˆ2π e r2 /2 r dr dϕ = C = 2π. 0 = 2π. 0 ˆ dϕ 0 e r2 /2 d( r 2 /2) = Drugi nčin: Pomoću "integrl vjerovtnoće". Prisjetimo se: Z svko relno α > 0, funkciju definisnu s Γ(α) = ˆ 0 x α e x dx nzivmo Gm funkcijom. Primjetimo d je Γ(1) = e x dx = e x d( x) = 1. 0 0 Funkciju definisnu s B(α, β) = 0 x α (1 x) β dx z svko α > 0 i β > 0 zovemo Bet funkcij. Između Bet i Gm funkcije postoji vez dt relcijom B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). (vidi [1], strn 46). Primjetimo d je B ( 1 Sd možemo izrčunti trženi integrl: π = Prem tome dx 1 x 2 = = 0 ˆ 2, 1 2 uvedimo smjenu x = 2t 1, dx = 2 dt ) = Γ( 1 2 )Γ( 1 2 ) Γ(1). = 0 ˆ 2 dt 1 1 (2t 1) = 2 0 ( 1 t /2 (1 t) /2 = B 2, 1 = 2) Γ( 1)Γ( 1) 2 2 = Γ(1) ˆ e x2 /2 dx = 2 e x2 /2 dx = 0 = 2 ˆ 0 ˆ uvedimo smjenu x = 2t, dx = 2 2 t dt t /2 e t dt = 2Γ( 1 2 ). e x2 /2 dx = 2π [ Γ( 1 2 ) ] 2, = (nrvno, postoje i drugi nčini z izrčunvnje vrijednosti ovog integrl). 2 dt 4t(1 t) = Time smo dobili ˆ ˆ e x2 /2 [H n (x)] 2 dx = n! e x2 /2 dx = n! 2π. Ortonormirni Hermiteovi polinomi su dti s H n(x) n!. 2π 34
Bez obzir n ovo, sv diskusij u osttku ovog rd će biti nstvljen u smislu orginlnih polinom H n (x). Prethodno npisni tekst je u stvri dokz Teoreme 12.01. (12.01) Teorem Funkcije h n (x), definisne s h n (x) = H n(x) n! 2π = ()n n! e x2 /2 dn /2 2π dx n e x2 formirju ortonormirn sistem n intervlu (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2 (dte funkcije su poznti pod imenom normirni Hermiteovi polinomi). 13. Hermiteovi i Grm-Chrlier-ovi redovi Kko je H 0 (x) 0!, 2π H 1 (x) 1!, 2π H 2 (x) 2!,..., 2π H n (x) n! 2π,... ortonormirn sistem funkcij u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2, prem Teoremi 4.01, proizvoljn kvdrtno integrbiln funkcij f(x) n intervlu (, ) se može npisti u obliku red pomoću Hermiteovih polinom f(x) c k H k (x), c k = 1 n! 2π ˆ e x2 /2 f(x)h k (x) dx. Hermiteovi polinomi se koriste u sttističkoj teoriji z predstvljnje funkcij frekvencij nd intervlom (, ); li z ovu upotrebu red nprvljen od člnov oblik c k e x2 /2 H k (x) je mnogo korisniji neko sm red polinom. Nek je F (x) dt funkcij, i nek je f(x) = e x2 /2 F (x). Td zdnje dvije formule će imti oblik F (x) c k e x2 /2 H k (x), c k = 1 n! 2π ˆ F (x)h k (x) dx. Red u ovom obliku zovemo Grm-Chrlier-ov red. 35