DODATAK-A

Транскрипт

1 Dodatak - ačuae sa približim broevima. Osovi pomovi Približi bro, e bro koi se ezato razlikue od tače vredosti i koi zameue u račuau. ezultati merea su uvek približi broevi. Međurezultati i rezultati proračua u kome se umesto tačih podataka uzimau približi broevi, takođe će biti približi broevi. Graica apsolute greške približog broa e svaki pozitiva bro, koi ie mai od apsolute vredosti greške tog broa: () Naravo, poželo e da procea itervala u kome leži, ačešće epozata, tača vredost, + (a) bude što precizia, što zači da proceea graica greške, koa prema defiicii ema svou goru graicu, bude što maa. PIME : Jeda približa vredost iracioalog broa π., π e π.4. Odrediti graicu ee apsolute greške. Kako e π π < < 0. 00, možemo da usvoimo π elativa greška približe vredosti e odos egove greške - i same vredosti : δ () Graica apsolute relative greške, ili kraće, graica relative greške broa, e svaki pozitiva bro koi ie mai od apsolute vredosti relative greške tog broa. Kao graicu relative greške, možemo da usvoimo: ()

2 PIME : Odrediti graicu relative greške približe vredosti π.4 π π π.4 4 i možemo da usvoimo: % π ili, grublu proceu: 0.% π Neki bro se može prikazati u dva oblika: sa fiksiraom decimalom tačkom (fied poit umber) sa pokretom tačkom (floatig poit umber) U obliku sa fiksom decimalom tačkom, o izgleda: decimala tačka ±α α... α0 α α... α m 44 (4) 44 4 celobroi deo decimali deo gde su α i cifre broa. Na primer, ; Cifre su : α 4, α, α 0 4, α - 0, α - 7, α - Napisa u razvieom obliku bro (Jed. 4) e: 0 m i ( α 0 + α α 0 + α 0 + α α 0 ) ± α ± 0 0 m i m i Na primer, ( (5) U prikazu sa pokretom tačkom ili ekspoecialom obliku, bro predstavla proizvod edog broa u obliku sa fiksom tačkom, koi se zove predekspoeciali faktor i odgovaraućeg celobroog stepea broa 0. Ova prikaz ie edozača, već se decimala tačka može pomerati uz odgovarauću promeu ekspoeta koim se stepeue osova, 0. Na primer, Normalizovai oblik broa sa pokretom tačkom ili ormalizovai ekspoeciali oblik broa e defiisa kao: 0 E - ekspoet (ceo bro) M - predekspoeciali faktor - matisa za kou važi: ± E M (6)

3 Na primer, 0. M < (7) M 0.447, E. Začae i sigure cifre približog broa Začae cifre Začae cifre ekog broa su sve cifre u zapisu broa sa epokretom decimalom tačkom (Jed. 4), počev od prve cifre sleva, različite od ule. Tako, počete ili "leve" ule isu začae, ali su ule izmedu dve začae cifre, začae, kao i oe a krau broa - "dese" ule, ako smo ih apisali (iače ih e pišemo bez potrebe!). Na primer, broevi.84, i 0.00 imau po 5 začaih cifara. Začae cifre kod rezultata merea su oe cifre koe e meri istrumet u stau da registrue.na primer, ako smo a aalitičko vagi izmerili težiu g pisaćemo to:.0000 ili mg er e precizost vage 0-4 g, pa su "dese" ule u rezultatu merea začae! U ormalizovaom obliku broa sa pokretom tačkom (Jed. 6) sve cifre u decimalom delu matise su začae, t. iz broa su postupkom ''ormalizacie'' izbačee ''leve'' ule. Posmatramo a primer bro, ( zacae cifre Pri pisau celih broeva eophodo e ekad pisati ''dese'' ule, iako isu začae, da bi se očuvala iformacii o veličii broa. Da bi se aso ukazalo a začae cifre pogodo e takve cele broeve prevesti u decimale, prikazae u zapisu sa pokretom tačkom. Na primer, ako e u celom brou samo prva od četiri ule začaa, a ostale e, a to ćemo aso ukazati ako bro prikažemo u obliku: Sigure cifre Začau cifru α k broa u zapisu (4) smatramo i sigurom, ako e graica apsolute greške posmatraog broa aviše edaka polovii mese vredosti te cifre,

4 k { (8) mesa vredost (vredost cifarskog mesta) Jaso e da ako e eka cifra broa sigura, tada su sigure i sve cifre levo od e, er za ih siguro važi uslov (8). Bro u ormalizovaom ekspoecialom zapisu (Jed. 6) ima ukupo s sigurih cifara, ako važi: E s (9) pri čemu e s aveći ceo bro za koi važi (9). PIME Približa vredost broa π.4, za kou smo prethodo proceili da ima graicu apsolute greške 0. 00, ima sve cifre sigure, er i za eu posledu začau π cifru, koa e a mestu stotih delova (k -), važi da e polovia ee mese vredosti (0 - ) veća od graice apsolute greške : 0.00< pa e oa sigura, a time i sve prethode cifre. PIME 4 Odrediti bro sigurih cifara približe vredost broa π.4, pomoću kriteriuma (9). Pošto e, cifre. π E 0.00< sledi da e s, t. π ima sigure π PIME 5. Maometrom, koi meri pritisak sa graicom relative greške od %, očitaa e vredost pritiska p. bar. Odrediti bro sigurih cifara i prikazati rezultat merea pravilo, tako da sadrži samo sigure cifre. p bar p p p E p 0.0 < s Tako bi pravilo prikaza rezultat bio: p. bar Na osovu relacie (8) zaklučuemo: Graica apsolute greške broa, koi ima d sigurih decimala e: d (0) Približa bro dobie zaokruživaem od tačog, a m začaih cifara, po pravilima zaokruživaa, ima sve cifre sigure (m s). 4

5 Na osovu relacia (9) i () može se izvesti: Graica relative greške broa koi ima s sigurih cifara e: s () pri čemu e ta procea veća ili amae edaka oo dobieo formulom ().Važo e zapaziti iz relacia (0) i (): graica apsolute greške određea e broem tačih (sigurih) decimala, graica relative greške određea e broem tačih (sigurih) začaih cifara. PIME 6 Vredost uiverzale gase kostate e 8.49 ± J/(K mol). Koliko sigurih cifara ima vredost 8.4, koa se koristi u ižeerskim proračuima i kolika e graica ee relative greške? Pošto e: < bro cigurih cifara, s 4, posleda sigura cifra e cifra hiladitih delova, pa e Koristeći vezu () iz broa sigurih cifara možemo da proceimo graicu relative greške, % što e zato grubla procea od oe dobiee iz (): 0.0% 8.4 Neka e graica relative greške približog broa i treba proceiti bro egovih sigurih cifara s.u pitau e problem obrut prethodom i pokazaćemo da za egovo rešavae ie korekto koristiti ed. (.). U skladu sa defiiciom (.9), to e aveći ceo bro s za koga važi: E E s M odoso, 0.5 s 0 M Da e bi preceili bro sigurih cifara, eophodo e uzeti dou graicu kao vredost s epozatog broa 0.5/ M, koim se moži stepe 0 : s (.) Dakle, kao proceu broa sigurih cifara uzimamo aveći ceo bro s, koi zadovolava relaciu ( ). Očigledo e ed. ( ) može da precei bro sigurih cifara ( za veći od stvarog ). PIME 7 Neka e vredost 50 određea sa graicom apsolute greške 0.. Koristeći kriterium (.8), dobiamo da e s.graica relative greške približog broa e : 5

6 0./ 50 0 < i ako bi koristili edačiu (.) za proceu broa sigurih cifara, dobili bi ekorektu proceu s. Iz relacie (.) sledi korekta procea s.. Utica grešaka u polazim podacima a tačost rezultata Da bi smo proceili grešku u ekom rezultatu, koa potiče od greške u polazim podacima, račuski proces (proraču), koi polazeći od pozatih vredosti i, i,, kao rezultat dae vredost, formalo ćemo posmatrati kao fukciu : (,, K) Tako, potrebo e proceiti grešku u vredosti fukcie zbog zamee tačih vredosti argumeata i, i,, približim i, i,. (,, K ) ( gde maso slovo (bold) ozačava vektor :... ) Iiteresue as dakle graica apsolute greške, za kou, prema (), važi: < ( ) ( ) ko prirašta fukcie, kada se vredosti argumeata promee od približih ( ) do tačih vredosti ( ), aproksimiramo totalim diferecialom prvog reda: ( )( ) ( ) ( ) i imaući u vidu da e: ( )( ) ( ) za graicu greške, možemo da usvoimo liearu proceu: 6

7 ( ) () PIME 7. Proceiti grešku u izračuato vredosti izraza: + sa podacima :.5,.4,., čie su graice apsolutih grešaka: 0. 0; ; < <.8. + ( ) ( ) Usvaamo: < Polazeći od opšteg izraza (), mogu se izvesti sledeća pravila za proceivae grešaka : Graica apsolute greške algebarskog zbira više broeva edaka e zbiru graica apsolutih grešaka tih broeva. Tako e graica apsolute greške zbira ili razlike dva broa edaka zbiru graica ihovih apsolutih grešaka. Graica relative greške proizvoda (količika) dva broa edaka e zbiru graica relativih grešaka broeva, Graica relative greške izraza, proporcioalog proizvodu stepea broeva: a a a k, gde su faktor k i stepei a i tači broevi, edaka e zbiru : a + a + + a (4) Jaso e da iz (4) eposredo sledi prethodo pravilo. 7

8 PIME 8 Sa koliko sigurih cifara e moguće izračuati gustiu etilea: p M ρ z T sa sledećim podacima : - p 56 bar, 0.%, T 95 K, K p T Faktor stišlivosti, z 0.75, određe e sa 4 sigure cifre, s 4 - M 8.05 g/mol, 8,4 J/(molK) (M i smatrati tačim er su ihove relative greške mogo mae od grešaka ostalih podataka) T z T z T < E s 0 4 z < 7 0 z z Prema pravilu (4), , 0 ρ ρ p T Z M M < ρ P M z T ρ ρ ρ 0 s Prema (9): s kg / m 0 Statistička procea greške U statistici se izvodi sledeća formula za proceu graice relative greške fukcie i (5) i i i a bazi pretpostavke o Gausovo (ormalo) raspodeli slučaih grešaka u podacima. Formula (5) dae, realie (iže) procee od oe dobiee primeom Jed. (). Nie 8

9 teško izvesti da u specialom slučau fukcie oblika procea greške (5), dobia oblik : a a k a, statistička a (6) i i i PIME 9 ešiti prethodi problem primeom statističke procee greške. 0.5 ( + + ) < ρ p T z Dobiea e iža - realia procea relative greške gustie, ego edačiom (4). Bro sigurih cifara u vredosti gustie, međutim, ostae isti, s..4 Utica grešaka zaokruživaa. Proceivae tačosti kraeg rezultata aliza uticaa zaokruživaa medurezultata e slože problem i predmet e matematičke disciplie, umerička aaliza. U praksi se koriste sledeća empiriska pravila za približo proceivae tačosti dobieog rezultata i zaokruživae medurezultata u ekom složeom proračuu sa kalkulatorom:. Krai rezultat ima ooliko sigurih cifara, koliko i amae tača polazi podatak, ili edu cifru mae. Medurezultate proračua e dovolo račuati sa edom začaom cifrom više ego što e proceei bro sigurih cifara rezultata. Pri tom, ako e tražea tačost rezultata k sigurih cifara, podatke treba uzeti sa k+ sigurom cifrom. ako amae tači podaci imau s sigurih cifara, ostale podatke treba uzeti sa s + (aviše s + ) sigurih cifara i primeivati pravila zaokruživaa. Treba aglasiti da avedea pravila važe samo za stabile račuske procese, koi isu praćei akumulaciom efekata grešaka zaokruživaa, t. gubitkom sigurih cifara u toku račuskog procesa. U prethodom primeru, amae tača podatak e oa za pritisak i ima samo dve sigure cifre 0 p < 0.< s p p Toliki e i proceei bro sigurih cifara u izračuato gustii. PIME 0 Jeda od podataka u ekom proračuu koi se realizue u SI sistemu edica e podatak za toploti kapacitet petaa a t 5 C. c p 0.56 kcal / kg K i potrebo e prethodo izvršiti egovu koverziu (koverzioi faktor kj/kcal). 9

10 ko koverzioi faktor, u skladu sa tačošću podataka za c p uzmemo zaokružeog a (+) začau cifru: c p 0.56 kcal / kg K 4.87 kj/kcal.44 kj/kg K Pošto podatak u SI sistemu e može da bude tačii od polazog, treba zadržati samo tri sigure cifre pa e: c p.4 kj / kg K ko se proraču izvodi a račuaru, svaki delimiča rezultat u proračuu zaokružue se a fiksa bro začaih cifara, odrede kapacitetom agažovaih memoriskih lokacia. Na primer, to e 7 začaih cifara, ako se proraču izvodi uz pomoć BSIC ili FOTN programa (sigle precisio), čemu odgovara greška zaokruživaa maa od 0.000% (Jed. ). ko se pak koristi Mathcad, bro začaih cifara svih međurezultata e čak 5, što utica grešaka zaokruživaa međurezultata a koača rezultat stabilog račuskog procesa čii zaemarlivim. Nestabili račuski procesi ko male ili umeree greške u podacima kao posledicu imau greške istog reda u rezultatima, kažemo da e posmatrai račuski proces stabila ili dobro uslovle (well coditioed). ko pak male greške podataka izazivau začae greške rezultata, tada e račuski proces estabila ili loše uslovle (ill coditioed). Zači, da estabile račuske procese karakteriše uvećavae (propagacia) ili agomilavae grešaka u toku račuskog postupka. Oduzimae bliskih broeva e estabila operacia, praćea velikim uvećaem relative greške. Naime, pri oduzimau bliskih broeva dolazi do gubitka sigurih cifara, koi e utoliko veći ukoliko su broevi bliži po veličii i u skladu sa formulom () rezultat e mogo mae tača od polazih podataka. Tako, ako su operadi iste tačosti, a gubitak sigurih cifara edak s, prema formuli, relativa greška rezultata e 0 s puta veća od relative greške operaada. PIME Neka e potrebo izračuati vredost izraza.0 ( ) uz zaokruživae međurezultata a 4 sigure cifre : ezultat: ( ),.44 ( ) , 0

11 e dobie sa samo edom začaom cifrom koa e i sigura er e egova apsoluta greška : <, Dakle, u operacii oduzimaa e došlo do gubitka sigure cifre, što zači da e relativa greška rezultata za tri reda veličie veća od greške operaada, dakle reda veličie 0 -. Zaista, <.6 0, < ko se pri oduzimau približih broeva i gubi prvih s sigurih cifara, a rezultat se želi dobiti sa k sigurih cifara, eophodo e uzeti broeve sa tačošću od k + s sigurih cifara. Tako, ako bismo izraz iz prethodog primera želeli da dobiemo sa tačošću od 4 sigure cifre u oduzimae bi trebalo da uđu vredosti korea sa 7 sigurih cifara. To bi se moglo realizovati u ekom od programskih ezika u običo tačosti (7 sigurih cifara). Međutim, da bi dobili rezultat sa 7 sigurih cifara, eophode su vredosti korea sa 0 sigurih cifara, pa bi u programskom eziku bilo eophodo koristiti opciu duple precizosti (double precisio) ili proraču izvesti u Mathcad-u. Možemo da zaklučimo da su račuski procesi koi sadrže kritiču operaciu oduzimaa bliskih broeva, potecialo estabili skloi agomilavau grešaka u toku procesa. PIME Sistem edačia: ima rešee:, ko bi samo ezato promeili vredosti dva koeficieta u drugo edačii: rešea bi se začao promeila: 6, 00 Izvedei račuski eksperimet ukazue da e rešavae posmatraog sistema edačia eda estabila proces: ezati poremećai podataka (koeficieti u edačiama) izazivau ogrome promee rezultata Primetimo da se radi o sistemu edačia veoma bliskom eodređeom, t. dve edačie su gotovo idetiče. Geometriski, treba aći presek dve prave, koe se gotovo preklapau, što e emoguće uraditi sa zadovolavaućom tačošću. Uzrok estabilosti e kritiča operacia oduzimaa bliskih broeva u okviru račuskog

12 postupka, što ostavlamo čitaocu da pokaže, koristeći metod determiaata za rešavae datog sistema edačia.