Microsoft Word - 26ms441

Слични документи
Microsoft Word - 11ms201

Microsoft Word - 26ms281

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

PowerPoint Presentation

1. Realni brojevi

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - MNOGOUGAO.doc

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

I RAZRED x 1 1. Ako je f 2x 1 2x 2, x 1, naći: f x, 2 f x 2015 (što je, ustvari, f f x ) i f Rešiti u skupu Z: x y 15. Naći sva

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

RMT

Microsoft Word - 16ms321

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, ožujka razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DR

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

DM

1

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 28. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Auditorne vjezbe 6. - Jednadzbe diferencija

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Osječki matematički list 13 (2013), 1-13 O nultočkama polinoma oblika x n x 1 Luka Marohnić Bojan Kovačić Bojan Radišić Sažetak U članku se najprije z

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Microsoft Word - FINALNO.doc

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

Algebarski izrazi (4. dio)

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

Microsoft Word - 24ms221

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - VALJAK.doc

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

s2.dvi

Microsoft Word - CLANAKzacasopis[2].doc Sandra Kosic.doc

untitled

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

KORELISANOST REZULTATA MERENJA

Microsoft Word - 15ms261

12-7 Use of the Regression Model for Prediction

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

os07zup-rjes.dvi

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

Title

Matematika 1 - izborna

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

UNIVERZITET U ZENICI

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

Popoviciujeva nejednakost IZ NASTAVNE PRAKSE Popoviciujeva nejednakost Radomir Lončarević 1 Rumunjski matematičar Tiberie Popoviciu ( ) doka

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Microsoft Word - MATRICE.doc

BTE14_Bruno_KI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzitet u Nišu MASTER RAD Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne jednačine Mentor: Prof.

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA PROBNI ZAVRŠNI ISPIT školska

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Nastavno pismo 3

SREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

ПРИ ЛОГ 1 1. ЗАХ ТЕ ВИ Прет ход но упа ко ва ни про из во ди из чла на 3. овог пра вил ника про из во де се та ко да ис пу ња ва ју сле де ће зах те в

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft Word - predavanje8

Транскрипт:

Zdtk 44 (Ktri, mturtic) Dijelimo li bombo osmero djece tko d svko dijete dobije jedki broj bombo, ostt će epodijelje bombo Kd bismo toj djeci dijelili 5 bombo tko d svko dijete dobije jedki broj bombo, koliko bi jmje bombo ostlo epodijeljeo? Rješeje 44 A B C 5 D 7 + b b = + Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b Z cijeli broj kžemo d je djeljiv s cijelim brojem b (b 0) ko postoji cijeli broj q tko d vrijedi = q b Broj q zovemo kvocijetom brojev i b i pišemo q ili : b q b = = Z cijeli broj i prirodi broj b postoje jedistvei cijeli brojevi q i r tkvi d je = b q + r i 0 r < b, q je kvocijet, r je osttk Zko distribucije možej prem zbrjju ičic b + c = b + c, b + c = b + c Ako bombo dijelimo osmero djece tko d svko dijete dobije jedki broj bombo, ostt će epodijelje bombo Dijelimo li pet put više bombo tko d svko dijete dobije jedki broj bombo ostt će epodijeljeo 5 bombo 5 = 5 Od tih 5 bombo svkome od osmero djece dmo po jed p će ostti epodijeljeo 7 bombo Odgovor je pod D ičic 5 8 = 7 Nek je b broj bombo koji dobije svko od osmero djece kd dijelimo ukupo bombo Vrijedi: Odgovor je pod D = 8 b + 5 = 5 8 b + 5 = 5 8 b + 5 5 = 8 5 b + 8 + 7 ičic 5 = 8 5 b + + 7 5 = 8 5 b + + 7 Nek je b broj bombo koji dobije svko od osmero djece kd dijelimo ukupo bombo Vrijedi: = 8 b + 5 = 5 8 b + 5 = 40 b + 5 Tj broj podijelimo osmero djece tko d svko dijete dobije jedk broj bombo 40 b + 5 40 b + 8 + 7 40 b 8 7 40 b 8 7 7 7 = = + + = + + = 5 b + + = 5 b + + 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Svko bi dijete dobilo 5 b + bombo, ostlo bi epodijeljeo 7 bombo Odgovor je pod D + 5 +?

Vježb 44 Odmor! Rezultt: Zdtk 44 (Iv, mturtic) Npujeost bterije mobitel B(t) izrže je u postotcim, pr z bteriju pujeu do 60% je B(t) = 60 U tblici je prikz ovisost pujeosti bterije mobitel B(t) o vremeu pujej / pržjej t izržeome u miutm Npujeost potpuo prze bterije ko t miut pujej + B t 00, R t Npujeost bterije ko t miut pržjej ko je bterij u treutku početk pržjej puje P % = B t = P t Potpuo prz bterij pui se do % z 70 mi Ako se potpuo prz bterij puil 5 mi, z koliko će se vreme potpuo isprziti? Rješeje 44 m m m m 00 = 0, = b = b, =, = r m r m, b b = =, = c c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b Decimli broj dijelimo dekdskom jediicom (0, 00, 000, 0000, ) tko d mu decimlu točku pomkemo ulijevo z ooliko mjest koliko dekdsk jediic im ul Ako se potpuo prz bterij pui do % z 70 mi to zpisujemo Rčumo bzu B B ( 70) = t t = 70 70 ( t) = 00 ( ) = 00 ( ) B 70 = 70 70 70 = 00 /: 00 0 = = 0 70 70 70 70 00 0 0 / = = = = 0 5 5 5 5 = 0 = 0 / = 0 Ako se potpuo prz bterij puil 5 mi jezi pujeost izosit će: t = 5 5 = 00 ( 0) B t 5 t 5 B ( 5) = 00 ( 0) 5 5 5 B( 5) 00 0 5 B( 5) 00 0 = = 5 B( 5) = 0 0 0 7 Nek je t vrijeme z koje će se isprziti bterij koj se puil 5 mi Vrijedi:

B( 5) t = 0 t = B( 5) t = B ( 5) / 5 5 ( 5) 00 0 7 t = B 5 B = t = 00 0 7 džepo t = 6877 mi rčulo Vježb 44 Rezultt: Odmor! Zdtk 44 (Zvoimir, sredj škol) 5 Pokzti d je broj + + + + djeljiv brojem 7 Rješeje 44 Zko distribucije možej prem zbrjju m m =, : = b + c = b + c, b + c = b + c 4 5 6 7 8 0 4 5 + + + + + + + + + + + + + + = 4 5 6 7 8 0 4 = ( + + + + + + + + + + + + + + ) = (( ) ( 4 5 ) ( 6 7 8 ) ( 0 ) ( 4 )) (( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( )) 6 6 = ( + + ) ( + + + + ) = 7 ( + + + + ) = + + + + + + + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + + + = Broj 7 je jed od fktor p je umožk djeljiv s 7 Vježb 44 Pokzti d je broj 6 7 Rezultt: 0 + + + + djeljiv brojem 7 7 + + + + Dokz log Zdtk 444 (Krešo, gimzij) c + c c Zdi su pozitivi brojevi, b, c, d tkvi d je < Dokzti d je < < b d b b + d d Rješeje 444 < b, c > 0 c < b c, < b, c R + c < b + c < b i b < c < b < c Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice

= b b, 0, Preoblikujemo ejedkost < c dv či: b d c c < < / b d d < b c b d b d d < b c / + b ( + ) < ( + c) b + d < b + b c b + d < b + c b d b / b + c < b b + d c c < < / b d d < b c d < b c / + c d b d b d Vježb 444 Rezultt: ( + ) < ( b + d ) d + c d < b c + c d d + c < c b + d d c c / d Dlje slijedi: Odmor! Zdtk 445 (Iv, tehičk škol) + c c < b + d d + c < b b + d + c c < < + c c b b + d d < b + d d ( b + d ) ( b + d ) Aritmetičk sredi od 50 brojev izosi 8 Ako iz tog skup brojev izbcimo brojeve 45 i 55, od je ritmetičk sredi preostlih 48 brojev jedk: A 6 B 65 C 7 D 75 Rješeje 445 Nek je d skup pozitivih brojev { },,,, defiir izrzom,,,, Td je ritmetičk sredi A brojev + + + + A = + + + + 48 + 45 + 55 + + + + 48 + 45 + 55 = 8 = 8 / 50 50 50 + + + + 48 + 45 + 55 = 00 + + + + 48 = 00 45 55 Rčumo ritmetičku srediu 48 preostlih brojev Odgovor je pod D + + + + 48 = 800 + + + + 48 800 = = 75 48 48 4

Vježb 445 Aritmetičk sredi od 50 brojev izosi 8 Ako iz tog skup brojev izbcimo brojeve 40 i 60, od je ritmetičk sredi preostlih 48 brojev jedk: Rezultt: D Zdtk 446 (Iv, tehičk škol) Rješeje 446 A 6 B 65 C 7 D 75 + = Odredi brojeve i b z koje vrijedi b ( b) b + b = b, + b + b = + b + b = 0 = b = 0 + b = b + b = 4 6 b + b 4 + 6 b + = 0 4 + 4 + b + 6 b + = 0 ( ) ( b b ) ( ) ( b ) 4 + 4 + = 0 = + 6 + = 0 + + = 0 b + = 0 b = Vježb 446 + b = b 5 Odredi brojeve i b z koje vrijedi Rezultt: =, b = Zdtk 447 (Kristij, sredj škol) 5 7 8 4 8 Izrčujte 4 6 56 Rješeje 447 m m m m m b b = : =, m =, = Zko distribucije možej prem zbrjju, b + c = b + c, b + c = b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b ičic 5 7 4 8 5 7 8 ( ) ( ) 5 4 4 8 = = = 4 6 8 4 6 56 4 4 4 4 4 ( ) = = = = = = = 4 ičic 5

8 ( ) ( ) 5 7 4 8 5 7 8 5 4 4 8 = = = 4 6 4 6 56 5 4 5 4 5 4 = = = = = 8 4 = 4 Vježb 447 4 6 56 Izrčujte 5 7 8 4 8 Rezultt: 4 Zdtk 448 (Kristij, sredj škol) Rješeje 448 Nek su i b uzstopi prirodi brojevi i c jihov umožk Ako je A uvijek pr broj B uvijek epr broj C uvijek irciol broj D uvijek prost broj, 0 D = + b + c, D je: m m + b = + b + b, =, =, : = Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prosti brojevi (prim brojevi) su prirodi brojevi djeljivi bez osttk smo s brojem i smi s sobom, veći od broj Prethodik prirodog broj,, je prirod broj Sljedbeik prirodog broj je prirod broj + Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m pr zči d se može pisti u obliku Zbroj prih brojev je pr broj m = eki prirod broj, m = k, k N + m = + m = k,, m, k N Umožk dv susjed prirod broj (brojevi se rzlikuju z ) uvijek je pr broj (djeljiv s ) = k,, k N, + = k,, k N Ircioli brojevi su brojevi koje e možemo zpisti u obliku rzlomk Prem uvjetim zdtk je = b = + c = ( + ) Rčumo D D = + b + c D = + + + + D = + + + + ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 6

D = + + + + + D = + + + + ( ) ( ) D = + + + + D = + + D = + + / ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) D = + + D = + + ( ) Budući d je umožk ( + ) dv uzstop prirod broj i + uvijek pr broj, slijedi d je uvijek epr broj Odgovor je pod B Vježb 448 Rezultt: Odmor! Zdtk 44 (Josip, gimzij) s 0 Rješeje 44 D = + + Nek su A i B dv broj koji imju jedke zmeke Ako je A + B = 0 0, dokzti d je A djeljiv = b c = d + c = b + d Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m pr zči d se može pisti u obliku m = eki prirod broj, m = k, k N Z zpis broj koristimo zmeke 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 i Brojev vrijedost što je osi ek zmek određe je e smo vrijedošću te zmeke već i pozicijom te zmeke u zpisu broj Tkv zpis broj zovemo pozicijskim zpisom Općeito: Ako je N =, i 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8,, i = 0,,,, dekdski zpis prirodog broj N, od je jegov vrijedost pri čemu je { } N = 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 + Broj 0 zove se bz dekdskog brojevog sustv Prirodi je broj djeljiv s 0 ko mu je posljedj zmek 0 Iz uvjet: A + B =0 0 A i B imju jedke zmeke, slijedi d su A i B deseterozmeksti brojevi oblik A = 8, B = b b 8 b b b Z zbroj zmek jediic moguć su dv slučj: 0 + b 0 = 0 0 + b 0 = 0 U prvom slučju immo: 7

+ b = 0 + b = zbrojimo + b = ( ) ( ) 0 jedkosti + + + + + b + b + b + + b = + + b = ( ) ( b b b b ) + + + + + + + + + = brojevi A i B imju jedke zmeke ( + ) b b b b + + + + + + + = + + = + + Ov jedkost ije moguć jer je lijevoj stri pr broj, desoj epr Promotrimo drugi slučj = 0 + b = 0, b { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, } b = 0 Time je dokzo d je broj djeljiv s 0 Vježb 44 s 0 Rezultt: A = 8 0 Nek su A i B dv broj koji imju jedke zmeke Ako je A + B = 0 0, dokzti d je B djeljiv Dokz log Zdtk 450 (Josip, gimzij) mji od Rješeje 450 + + < + +, kd su, b i c reli brojevi koji isu Pokži d je b c c ( b ) =, 0, =, b = b, > 0 > 0, ( + b + c) = + b + c + b + c + b c b + b = ( b) Možeje zgrd ( + b) ( c + d ) = c + d + b c + b d Zko distribucije možej prem zbrjju ( b + c) = b + c b + c = ( b + c) Preoblikujemo ejedkost ( b ) + b + c < c + +, zmje = x, = x + b = y, b = y + c = z, c = z + x + y + z < z + x + y + + + 8

x + y + z < z + x y + x + y + + + x + y + z < z + x y + x + y + + / + + < + + + + + ( x y z) ( z ) ( x y x y ) x + y + z + x y + x z + y z < z + x y + x + y + + x + y + z + x y + x z + y z < < x y z + x z + y z + z + x y + x + y + + x + y + z + x y + x z + y z < < x y z + x z + y z + z + x y + x + y + z + x y + x z + y z < x y z + x z + y z + z + x y + 0 < x y z + x z + y z + z + x y + z x y x z y z 0 < x y z + x z + y z + z + x y + x y x z y z 0 < x y z + x y x y + + y z y z + + x z x z + + z 0 < x y z + x y x y + + y z y z + + x z x z + + z Ovo je uvijek toč ejedkost Vježb 450 0 < x y z + x y + y z + x z + z Pokži d je + b + c < c b + c +, kd su, b i c reli brojevi koji isu mji od Rezultt: Dokz log Zdtk 45 (Iv, gimzij) Ako je + =, koliko je +? Rješeje 45 = =, =, + b = + b b + b m m =, : =, =, 0 Zko distribucije možej prem zbrjju Iz + = slijedi: b + c = b + c, b + c = b + c

Sd je: + = + = + = / + = ± + = + = + + + = + = ( ) + = + = + = 0 + = ( ) ( + + + = + = ) + = + + = + + = 0 Vježb 45 Odmor! Rezultt: Zdtk 45 (Tok, gimzij) Umožk prvih prirodih brojev je 7 put veći od umošk prvih prirodih brojev x + 4 Odredite koeficijet uz x 5 u rzvoju biom Rješeje 45 m m =, = + Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Kko zpisti d je broj b put veći od broj? b =, b b =, = Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b Biomi poučk Z svki, b R, N vrijedi ( + b) = + b + + b + b Biomi koeficijet Nek je prirod broj, k prirod broj ili 0 i k Biomi koeficijet ozčvmo simbolom k i defiirmo 0

Prvi čl u rzvoju biom im oblik ( ) ( ) ( ) k + = k k k k b, drugi b,, k tičl glsi b k Budući d je umožk prvih prirodih brojev 7 put veći od umošk prvih prirodih brojev, slijedi: = 7 ( ) ( ) = 7 ( ) / ( ) 7 = 0 ( ) = 7 = 7 7 = 0 =, b =, c = 7 =, b =, c = 7 ( ) ± ( ) 4 ( 7) b ± b 4 c, =, = + 088 08 = ± + ± ±, =, =, = = 4 4 = = = 7 = 7 = 6 ije prirod broj = = Dkle, riječ je o biomu 7 7 7 7 7 7 7 6 5 x + 4 = x + x 4 + x 4 + + x 4 6 + 4 7 6 7 Koeficijet uz x 5 glsi: Vježb 45 7 7 6 7 6 4 = 6 = 6 = 7 8 6 = 76 Umožk prvih prirodih brojev je 7 put mji od umošk prvih prirodih brojev x + 4 Odredite koeficijet uz x 6 u rzvoju biom Rezultt: 68 Zdtk 45 (Brimir, gimzij) Rješeje 45 Nđi jveći prirodi broj koji pri dijeljeju s dje količik Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo Cijeli brojevi jesu brojevi: { } N =,,, 4, 5,,,, +,, 5, 4,,,, 0,,,, 4, 5,

Oi čie skup cijelih brojev koji ozčvmo slovom Z, zpisujemo ko { } Z { } Z =,,,, 0,,,, ili = 0,,,,,,, Z cijeli broj kžemo d je djeljiv s cijelim brojem b (b 0) ko postoji cijeli broj q tko d vrijedi = q b Broj q zovemo količikom brojev i b i pišemo q b = ili : b q Teorem o dijeljeju Z cijeli broj i prirodi broj b postoje jedistvei cijeli brojevi q i r tkvi d je = b q + r i 0 r < b, q je količik, r je ostt k Pretpostvimo d je tržei broj Td je: = + r Z osttk r vrijedi: Broj je jveći z r = i izosi: Vježb 45 r { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8,, 0,, } = + = 5 Nđi jveći prirodi broj koji pri dijeljeju s 7 dje količik Rezultt: 407 Zdtk 454 (Brimir, gimzij) Rješeje 454 Ako cijeli broj ije djeljiv s od je jegov kvdrt umje z djeljiv s Dokžite! Zko distribucije možej prem zbrjju b = b + b b + c = b + c, b + c = b + c Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Cijeli brojevi jesu brojevi:, 5, 4,,,, 0,,,, 4, 5, Oi čie skup cijelih brojev koji ozčvmo slovom Z, zpisujemo ko { } Z { } Z =,,,, 0,,,, ili = 0,,,,,,, Z cijeli broj kžemo d je djeljiv s cijelim brojem b (b 0) ko postoji cijeli broj q tko d vrijedi = q b Broj q zovemo količikom brojev i b i pišemo q b = ili : b q Teorem Svki se cijeli broj z eki prirodi broj b može prikzti u jedom od oblik:

= b q, = b q +, = b q +, = b q +, ( ) = b q + b Dkle, skup Z dijeli se podskupove u kojim su brojevi što pri dijeljeju s b redom dju osttke: 0,,,,, b Primijetimo d se svi cijeli brojevi koji isu djeljivi s mogu prikzti u jedom od oblik: = q +, q Z = q +, q Z Ako je = q +, slijedi: = q + = q + q + + = q + q + = q q + = = q ( q + ) Zključk: djeljiv je s Ako je = q +, slijedi: = q + = q + q + + = q + q + = q + q + = Zključk: Time smo tvrdju dokzli Vježb 454 Rezultt: Odmor! = ( q + ) ( q + ) Zdtk 455 (Blek, sredj škol) 5 Izrčuti: ( ( )) Rješeje 455 djeljiv je s ( ) = Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m epr zči d se može pisti u obliku m = eki prirod broj, m = k, k N 5 5 5 5 ( ( )) = ( ( )) = ( ( + ) ) = ( ) =

Vježb 455 7 Izrčuti: ( ( )) Rezultt: Zdtk 456 (Pscl, gimzij) Dokžite sljedeće ejedkosti z > 0 i b > 0: ) b + b + b ) + b ) + b b 4) + b b 5) + b + b Rješeje 456 c d + b c,, b d = + = =, ( ) = b d b d c b c, b, c > c b c d b = b, b + b = ( b), 0, R, = ( + b) + b + b, b > 0 b, m m =, = b b Zko distribucije možej prem zbrjju ) ) b + c = b + c, b + c = b + c b ( b ) b b b b b + + b + b + b b ( b ) + b b / + b b b + b 0 + b b ( ) b ( b ) ( b ) + 0 0 4

) 4) + b + b + b b + b b / ( + b) b + + b + b + b b + b 4 b + b + b 4 b + b + b 4 b 0 b + b 0 b 0 5 + b + b b b / + b b b + b 0 ( ) b ( b ) ( b ) + 0 0 + b + b + b b b / ( b ) + b + b b b / + b b b + b 0 ( b) 0 5) + b + b + b + b / + b + b + b ( + b) + b + b + b + b + b + b 4 4 / 4 + b + b + b + b + b + b + b b b 0 b + b 0 b 0 Zk jedkosti vrijedi z = b Vježb 456 Odmor! Rezultt: Zdtk 457 (Lucy, gimzij) Rješeje 457 Odredi tri uzstop prirod broj čiji je zbroj 84 Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prethodik prirodog broj,, je prirod broj Sljedbeik prirodog broj je prirod broj + Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c

Brojevi su: Brojevi su: ičic + + + + = 84 + + + + = 84 + + = 84 ičic ičic = 8 = 8 /: = 7 [ = 7 ], +, + 7, 7 +, 7 + 7, 8, + + + = 84 + + + = 84 + + + = 84 + + = 84 = 84 = 84 /: = 8 [ = 8 ],, + 8, 8, 8 + 7, 8, Budući d je epr broj tržeih uzstopih prirodih brojev (tri su broj), sredji broj glsi: 84 : = 8 Brojevi su: 7, 8, Vježb 457 Odredi tri uzstop prirod broj čiji je zbroj 6 Rezultt:,, Zdtk 458 (Lucy, gimzij) Rješeje 458 Odredi tri uzstop pr prirod broj čiji je zbroj 7 Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m pr zči d se može pisti u obliku Dv susjed pr broj rzlikuju se z Zko distribucije možej prem zbrjju ičic m = eki prirod broj, m = k, k N b + c = b + c, b + c = b + c + + + + 4 = 7 + + + + 4 = 7 + + = 7 4 Brojevi su: ičic 6 = 66 6 = 66 /: 6 = [ = ], +, + 4, +, + 4, 4, 6 + + + = 7 + + + = 7 + + + = 7 + + = 7 6 = 7 6 = 7 /: 6 = Brojevi su:,, + =,, +, 4, 6 ičic [ ] Budući d je epr broj tržeih uzstopih prih prirodih brojev (tri su broj), sredji broj glsi: 7 : = 4 6

Brojevi su:, 4, 6 Vježb 458 Odredi tri uzstop pr prirod broj čiji je zbroj 6 Rezultt: 0,, 4 Zdtk 45 (Đurđic, sredj škol) Izrčuj Rješeje 45 + b ko je = b + b = Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice = b b, 0, Preoblikujemo zdu jedkost = = / + b = + b + b + b = b = b b = Sd je: + b + = [ b = ] = = = = = b Vježb 45 b Izrčuj ko je = + b + b Rezultt: Zdtk 460 (Đurđic, sredj škol) + b Izrčuj vrijedost brojevog izrz : z =, b = b b Rješeje 460 c d b c c c c d d =, =, : = = b d b d b d b d b d b c b c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b ičic + b = + 5 5 6 6 : = : : : b b b = = = = = = = = 6 6 6 6 6 5 6 5 5 5 ičic + b b + b b b b b b b = : = : = = = = = = b b b b b + b b + b + b + b b = 7

Vježb 460 Izrčuj vrijedost brojevog izrz Rezultt: 5 = = + 5 + b : z =, b = b b 8