Zdtk 44 (Ktri, mturtic) Dijelimo li bombo osmero djece tko d svko dijete dobije jedki broj bombo, ostt će epodijelje bombo Kd bismo toj djeci dijelili 5 bombo tko d svko dijete dobije jedki broj bombo, koliko bi jmje bombo ostlo epodijeljeo? Rješeje 44 A B C 5 D 7 + b b = + Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b Z cijeli broj kžemo d je djeljiv s cijelim brojem b (b 0) ko postoji cijeli broj q tko d vrijedi = q b Broj q zovemo kvocijetom brojev i b i pišemo q ili : b q b = = Z cijeli broj i prirodi broj b postoje jedistvei cijeli brojevi q i r tkvi d je = b q + r i 0 r < b, q je kvocijet, r je osttk Zko distribucije možej prem zbrjju ičic b + c = b + c, b + c = b + c Ako bombo dijelimo osmero djece tko d svko dijete dobije jedki broj bombo, ostt će epodijelje bombo Dijelimo li pet put više bombo tko d svko dijete dobije jedki broj bombo ostt će epodijeljeo 5 bombo 5 = 5 Od tih 5 bombo svkome od osmero djece dmo po jed p će ostti epodijeljeo 7 bombo Odgovor je pod D ičic 5 8 = 7 Nek je b broj bombo koji dobije svko od osmero djece kd dijelimo ukupo bombo Vrijedi: Odgovor je pod D = 8 b + 5 = 5 8 b + 5 = 5 8 b + 5 5 = 8 5 b + 8 + 7 ičic 5 = 8 5 b + + 7 5 = 8 5 b + + 7 Nek je b broj bombo koji dobije svko od osmero djece kd dijelimo ukupo bombo Vrijedi: = 8 b + 5 = 5 8 b + 5 = 40 b + 5 Tj broj podijelimo osmero djece tko d svko dijete dobije jedk broj bombo 40 b + 5 40 b + 8 + 7 40 b 8 7 40 b 8 7 7 7 = = + + = + + = 5 b + + = 5 b + + 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Svko bi dijete dobilo 5 b + bombo, ostlo bi epodijeljeo 7 bombo Odgovor je pod D + 5 +?
Vježb 44 Odmor! Rezultt: Zdtk 44 (Iv, mturtic) Npujeost bterije mobitel B(t) izrže je u postotcim, pr z bteriju pujeu do 60% je B(t) = 60 U tblici je prikz ovisost pujeosti bterije mobitel B(t) o vremeu pujej / pržjej t izržeome u miutm Npujeost potpuo prze bterije ko t miut pujej + B t 00, R t Npujeost bterije ko t miut pržjej ko je bterij u treutku početk pržjej puje P % = B t = P t Potpuo prz bterij pui se do % z 70 mi Ako se potpuo prz bterij puil 5 mi, z koliko će se vreme potpuo isprziti? Rješeje 44 m m m m 00 = 0, = b = b, =, = r m r m, b b = =, = c c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b Decimli broj dijelimo dekdskom jediicom (0, 00, 000, 0000, ) tko d mu decimlu točku pomkemo ulijevo z ooliko mjest koliko dekdsk jediic im ul Ako se potpuo prz bterij pui do % z 70 mi to zpisujemo Rčumo bzu B B ( 70) = t t = 70 70 ( t) = 00 ( ) = 00 ( ) B 70 = 70 70 70 = 00 /: 00 0 = = 0 70 70 70 70 00 0 0 / = = = = 0 5 5 5 5 = 0 = 0 / = 0 Ako se potpuo prz bterij puil 5 mi jezi pujeost izosit će: t = 5 5 = 00 ( 0) B t 5 t 5 B ( 5) = 00 ( 0) 5 5 5 B( 5) 00 0 5 B( 5) 00 0 = = 5 B( 5) = 0 0 0 7 Nek je t vrijeme z koje će se isprziti bterij koj se puil 5 mi Vrijedi:
B( 5) t = 0 t = B( 5) t = B ( 5) / 5 5 ( 5) 00 0 7 t = B 5 B = t = 00 0 7 džepo t = 6877 mi rčulo Vježb 44 Rezultt: Odmor! Zdtk 44 (Zvoimir, sredj škol) 5 Pokzti d je broj + + + + djeljiv brojem 7 Rješeje 44 Zko distribucije možej prem zbrjju m m =, : = b + c = b + c, b + c = b + c 4 5 6 7 8 0 4 5 + + + + + + + + + + + + + + = 4 5 6 7 8 0 4 = ( + + + + + + + + + + + + + + ) = (( ) ( 4 5 ) ( 6 7 8 ) ( 0 ) ( 4 )) (( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( )) 6 6 = ( + + ) ( + + + + ) = 7 ( + + + + ) = + + + + + + + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + + + = Broj 7 je jed od fktor p je umožk djeljiv s 7 Vježb 44 Pokzti d je broj 6 7 Rezultt: 0 + + + + djeljiv brojem 7 7 + + + + Dokz log Zdtk 444 (Krešo, gimzij) c + c c Zdi su pozitivi brojevi, b, c, d tkvi d je < Dokzti d je < < b d b b + d d Rješeje 444 < b, c > 0 c < b c, < b, c R + c < b + c < b i b < c < b < c Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice
= b b, 0, Preoblikujemo ejedkost < c dv či: b d c c < < / b d d < b c b d b d d < b c / + b ( + ) < ( + c) b + d < b + b c b + d < b + c b d b / b + c < b b + d c c < < / b d d < b c d < b c / + c d b d b d Vježb 444 Rezultt: ( + ) < ( b + d ) d + c d < b c + c d d + c < c b + d d c c / d Dlje slijedi: Odmor! Zdtk 445 (Iv, tehičk škol) + c c < b + d d + c < b b + d + c c < < + c c b b + d d < b + d d ( b + d ) ( b + d ) Aritmetičk sredi od 50 brojev izosi 8 Ako iz tog skup brojev izbcimo brojeve 45 i 55, od je ritmetičk sredi preostlih 48 brojev jedk: A 6 B 65 C 7 D 75 Rješeje 445 Nek je d skup pozitivih brojev { },,,, defiir izrzom,,,, Td je ritmetičk sredi A brojev + + + + A = + + + + 48 + 45 + 55 + + + + 48 + 45 + 55 = 8 = 8 / 50 50 50 + + + + 48 + 45 + 55 = 00 + + + + 48 = 00 45 55 Rčumo ritmetičku srediu 48 preostlih brojev Odgovor je pod D + + + + 48 = 800 + + + + 48 800 = = 75 48 48 4
Vježb 445 Aritmetičk sredi od 50 brojev izosi 8 Ako iz tog skup brojev izbcimo brojeve 40 i 60, od je ritmetičk sredi preostlih 48 brojev jedk: Rezultt: D Zdtk 446 (Iv, tehičk škol) Rješeje 446 A 6 B 65 C 7 D 75 + = Odredi brojeve i b z koje vrijedi b ( b) b + b = b, + b + b = + b + b = 0 = b = 0 + b = b + b = 4 6 b + b 4 + 6 b + = 0 4 + 4 + b + 6 b + = 0 ( ) ( b b ) ( ) ( b ) 4 + 4 + = 0 = + 6 + = 0 + + = 0 b + = 0 b = Vježb 446 + b = b 5 Odredi brojeve i b z koje vrijedi Rezultt: =, b = Zdtk 447 (Kristij, sredj škol) 5 7 8 4 8 Izrčujte 4 6 56 Rješeje 447 m m m m m b b = : =, m =, = Zko distribucije možej prem zbrjju, b + c = b + c, b + c = b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b ičic 5 7 4 8 5 7 8 ( ) ( ) 5 4 4 8 = = = 4 6 8 4 6 56 4 4 4 4 4 ( ) = = = = = = = 4 ičic 5
8 ( ) ( ) 5 7 4 8 5 7 8 5 4 4 8 = = = 4 6 4 6 56 5 4 5 4 5 4 = = = = = 8 4 = 4 Vježb 447 4 6 56 Izrčujte 5 7 8 4 8 Rezultt: 4 Zdtk 448 (Kristij, sredj škol) Rješeje 448 Nek su i b uzstopi prirodi brojevi i c jihov umožk Ako je A uvijek pr broj B uvijek epr broj C uvijek irciol broj D uvijek prost broj, 0 D = + b + c, D je: m m + b = + b + b, =, =, : = Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prosti brojevi (prim brojevi) su prirodi brojevi djeljivi bez osttk smo s brojem i smi s sobom, veći od broj Prethodik prirodog broj,, je prirod broj Sljedbeik prirodog broj je prirod broj + Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m pr zči d se može pisti u obliku Zbroj prih brojev je pr broj m = eki prirod broj, m = k, k N + m = + m = k,, m, k N Umožk dv susjed prirod broj (brojevi se rzlikuju z ) uvijek je pr broj (djeljiv s ) = k,, k N, + = k,, k N Ircioli brojevi su brojevi koje e možemo zpisti u obliku rzlomk Prem uvjetim zdtk je = b = + c = ( + ) Rčumo D D = + b + c D = + + + + D = + + + + ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 6
D = + + + + + D = + + + + ( ) ( ) D = + + + + D = + + D = + + / ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) D = + + D = + + ( ) Budući d je umožk ( + ) dv uzstop prirod broj i + uvijek pr broj, slijedi d je uvijek epr broj Odgovor je pod B Vježb 448 Rezultt: Odmor! Zdtk 44 (Josip, gimzij) s 0 Rješeje 44 D = + + Nek su A i B dv broj koji imju jedke zmeke Ako je A + B = 0 0, dokzti d je A djeljiv = b c = d + c = b + d Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m pr zči d se može pisti u obliku m = eki prirod broj, m = k, k N Z zpis broj koristimo zmeke 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 i Brojev vrijedost što je osi ek zmek određe je e smo vrijedošću te zmeke već i pozicijom te zmeke u zpisu broj Tkv zpis broj zovemo pozicijskim zpisom Općeito: Ako je N =, i 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8,, i = 0,,,, dekdski zpis prirodog broj N, od je jegov vrijedost pri čemu je { } N = 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 + Broj 0 zove se bz dekdskog brojevog sustv Prirodi je broj djeljiv s 0 ko mu je posljedj zmek 0 Iz uvjet: A + B =0 0 A i B imju jedke zmeke, slijedi d su A i B deseterozmeksti brojevi oblik A = 8, B = b b 8 b b b Z zbroj zmek jediic moguć su dv slučj: 0 + b 0 = 0 0 + b 0 = 0 U prvom slučju immo: 7
+ b = 0 + b = zbrojimo + b = ( ) ( ) 0 jedkosti + + + + + b + b + b + + b = + + b = ( ) ( b b b b ) + + + + + + + + + = brojevi A i B imju jedke zmeke ( + ) b b b b + + + + + + + = + + = + + Ov jedkost ije moguć jer je lijevoj stri pr broj, desoj epr Promotrimo drugi slučj = 0 + b = 0, b { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, } b = 0 Time je dokzo d je broj djeljiv s 0 Vježb 44 s 0 Rezultt: A = 8 0 Nek su A i B dv broj koji imju jedke zmeke Ako je A + B = 0 0, dokzti d je B djeljiv Dokz log Zdtk 450 (Josip, gimzij) mji od Rješeje 450 + + < + +, kd su, b i c reli brojevi koji isu Pokži d je b c c ( b ) =, 0, =, b = b, > 0 > 0, ( + b + c) = + b + c + b + c + b c b + b = ( b) Možeje zgrd ( + b) ( c + d ) = c + d + b c + b d Zko distribucije možej prem zbrjju ( b + c) = b + c b + c = ( b + c) Preoblikujemo ejedkost ( b ) + b + c < c + +, zmje = x, = x + b = y, b = y + c = z, c = z + x + y + z < z + x + y + + + 8
x + y + z < z + x y + x + y + + + x + y + z < z + x y + x + y + + / + + < + + + + + ( x y z) ( z ) ( x y x y ) x + y + z + x y + x z + y z < z + x y + x + y + + x + y + z + x y + x z + y z < < x y z + x z + y z + z + x y + x + y + + x + y + z + x y + x z + y z < < x y z + x z + y z + z + x y + x + y + z + x y + x z + y z < x y z + x z + y z + z + x y + 0 < x y z + x z + y z + z + x y + z x y x z y z 0 < x y z + x z + y z + z + x y + x y x z y z 0 < x y z + x y x y + + y z y z + + x z x z + + z 0 < x y z + x y x y + + y z y z + + x z x z + + z Ovo je uvijek toč ejedkost Vježb 450 0 < x y z + x y + y z + x z + z Pokži d je + b + c < c b + c +, kd su, b i c reli brojevi koji isu mji od Rezultt: Dokz log Zdtk 45 (Iv, gimzij) Ako je + =, koliko je +? Rješeje 45 = =, =, + b = + b b + b m m =, : =, =, 0 Zko distribucije možej prem zbrjju Iz + = slijedi: b + c = b + c, b + c = b + c
Sd je: + = + = + = / + = ± + = + = + + + = + = ( ) + = + = + = 0 + = ( ) ( + + + = + = ) + = + + = + + = 0 Vježb 45 Odmor! Rezultt: Zdtk 45 (Tok, gimzij) Umožk prvih prirodih brojev je 7 put veći od umošk prvih prirodih brojev x + 4 Odredite koeficijet uz x 5 u rzvoju biom Rješeje 45 m m =, = + Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Kko zpisti d je broj b put veći od broj? b =, b b =, = Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b Biomi poučk Z svki, b R, N vrijedi ( + b) = + b + + b + b Biomi koeficijet Nek je prirod broj, k prirod broj ili 0 i k Biomi koeficijet ozčvmo simbolom k i defiirmo 0
Prvi čl u rzvoju biom im oblik ( ) ( ) ( ) k + = k k k k b, drugi b,, k tičl glsi b k Budući d je umožk prvih prirodih brojev 7 put veći od umošk prvih prirodih brojev, slijedi: = 7 ( ) ( ) = 7 ( ) / ( ) 7 = 0 ( ) = 7 = 7 7 = 0 =, b =, c = 7 =, b =, c = 7 ( ) ± ( ) 4 ( 7) b ± b 4 c, =, = + 088 08 = ± + ± ±, =, =, = = 4 4 = = = 7 = 7 = 6 ije prirod broj = = Dkle, riječ je o biomu 7 7 7 7 7 7 7 6 5 x + 4 = x + x 4 + x 4 + + x 4 6 + 4 7 6 7 Koeficijet uz x 5 glsi: Vježb 45 7 7 6 7 6 4 = 6 = 6 = 7 8 6 = 76 Umožk prvih prirodih brojev je 7 put mji od umošk prvih prirodih brojev x + 4 Odredite koeficijet uz x 6 u rzvoju biom Rezultt: 68 Zdtk 45 (Brimir, gimzij) Rješeje 45 Nđi jveći prirodi broj koji pri dijeljeju s dje količik Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo Cijeli brojevi jesu brojevi: { } N =,,, 4, 5,,,, +,, 5, 4,,,, 0,,,, 4, 5,
Oi čie skup cijelih brojev koji ozčvmo slovom Z, zpisujemo ko { } Z { } Z =,,,, 0,,,, ili = 0,,,,,,, Z cijeli broj kžemo d je djeljiv s cijelim brojem b (b 0) ko postoji cijeli broj q tko d vrijedi = q b Broj q zovemo količikom brojev i b i pišemo q b = ili : b q Teorem o dijeljeju Z cijeli broj i prirodi broj b postoje jedistvei cijeli brojevi q i r tkvi d je = b q + r i 0 r < b, q je količik, r je ostt k Pretpostvimo d je tržei broj Td je: = + r Z osttk r vrijedi: Broj je jveći z r = i izosi: Vježb 45 r { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8,, 0,, } = + = 5 Nđi jveći prirodi broj koji pri dijeljeju s 7 dje količik Rezultt: 407 Zdtk 454 (Brimir, gimzij) Rješeje 454 Ako cijeli broj ije djeljiv s od je jegov kvdrt umje z djeljiv s Dokžite! Zko distribucije možej prem zbrjju b = b + b b + c = b + c, b + c = b + c Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Cijeli brojevi jesu brojevi:, 5, 4,,,, 0,,,, 4, 5, Oi čie skup cijelih brojev koji ozčvmo slovom Z, zpisujemo ko { } Z { } Z =,,,, 0,,,, ili = 0,,,,,,, Z cijeli broj kžemo d je djeljiv s cijelim brojem b (b 0) ko postoji cijeli broj q tko d vrijedi = q b Broj q zovemo količikom brojev i b i pišemo q b = ili : b q Teorem Svki se cijeli broj z eki prirodi broj b može prikzti u jedom od oblik:
= b q, = b q +, = b q +, = b q +, ( ) = b q + b Dkle, skup Z dijeli se podskupove u kojim su brojevi što pri dijeljeju s b redom dju osttke: 0,,,,, b Primijetimo d se svi cijeli brojevi koji isu djeljivi s mogu prikzti u jedom od oblik: = q +, q Z = q +, q Z Ako je = q +, slijedi: = q + = q + q + + = q + q + = q q + = = q ( q + ) Zključk: djeljiv je s Ako je = q +, slijedi: = q + = q + q + + = q + q + = q + q + = Zključk: Time smo tvrdju dokzli Vježb 454 Rezultt: Odmor! = ( q + ) ( q + ) Zdtk 455 (Blek, sredj škol) 5 Izrčuti: ( ( )) Rješeje 455 djeljiv je s ( ) = Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m epr zči d se može pisti u obliku m = eki prirod broj, m = k, k N 5 5 5 5 ( ( )) = ( ( )) = ( ( + ) ) = ( ) =
Vježb 455 7 Izrčuti: ( ( )) Rezultt: Zdtk 456 (Pscl, gimzij) Dokžite sljedeće ejedkosti z > 0 i b > 0: ) b + b + b ) + b ) + b b 4) + b b 5) + b + b Rješeje 456 c d + b c,, b d = + = =, ( ) = b d b d c b c, b, c > c b c d b = b, b + b = ( b), 0, R, = ( + b) + b + b, b > 0 b, m m =, = b b Zko distribucije možej prem zbrjju ) ) b + c = b + c, b + c = b + c b ( b ) b b b b b + + b + b + b b ( b ) + b b / + b b b + b 0 + b b ( ) b ( b ) ( b ) + 0 0 4
) 4) + b + b + b b + b b / ( + b) b + + b + b + b b + b 4 b + b + b 4 b + b + b 4 b 0 b + b 0 b 0 5 + b + b b b / + b b b + b 0 ( ) b ( b ) ( b ) + 0 0 + b + b + b b b / ( b ) + b + b b b / + b b b + b 0 ( b) 0 5) + b + b + b + b / + b + b + b ( + b) + b + b + b + b + b + b 4 4 / 4 + b + b + b + b + b + b + b b b 0 b + b 0 b 0 Zk jedkosti vrijedi z = b Vježb 456 Odmor! Rezultt: Zdtk 457 (Lucy, gimzij) Rješeje 457 Odredi tri uzstop prirod broj čiji je zbroj 84 Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prethodik prirodog broj,, je prirod broj Sljedbeik prirodog broj je prirod broj + Zko distribucije možej prem zbrjju b + c = b + c, b + c = b + c
Brojevi su: Brojevi su: ičic + + + + = 84 + + + + = 84 + + = 84 ičic ičic = 8 = 8 /: = 7 [ = 7 ], +, + 7, 7 +, 7 + 7, 8, + + + = 84 + + + = 84 + + + = 84 + + = 84 = 84 = 84 /: = 8 [ = 8 ],, + 8, 8, 8 + 7, 8, Budući d je epr broj tržeih uzstopih prirodih brojev (tri su broj), sredji broj glsi: 84 : = 8 Brojevi su: 7, 8, Vježb 457 Odredi tri uzstop prirod broj čiji je zbroj 6 Rezultt:,, Zdtk 458 (Lucy, gimzij) Rješeje 458 Odredi tri uzstop pr prirod broj čiji je zbroj 7 Skup prirodih brojev ozčvmo slovom N, zpisujemo { } N =,,, 4, 5,,,, +, Prirodi brojevi dijele se pre i epre brojeve Pri brojevi su oi brojevi koji su djeljivi s, epri su oi koji isu djeljivi s D je eki prirod broj m pr zči d se može pisti u obliku Dv susjed pr broj rzlikuju se z Zko distribucije možej prem zbrjju ičic m = eki prirod broj, m = k, k N b + c = b + c, b + c = b + c + + + + 4 = 7 + + + + 4 = 7 + + = 7 4 Brojevi su: ičic 6 = 66 6 = 66 /: 6 = [ = ], +, + 4, +, + 4, 4, 6 + + + = 7 + + + = 7 + + + = 7 + + = 7 6 = 7 6 = 7 /: 6 = Brojevi su:,, + =,, +, 4, 6 ičic [ ] Budući d je epr broj tržeih uzstopih prih prirodih brojev (tri su broj), sredji broj glsi: 7 : = 4 6
Brojevi su:, 4, 6 Vježb 458 Odredi tri uzstop pr prirod broj čiji je zbroj 6 Rezultt: 0,, 4 Zdtk 45 (Đurđic, sredj škol) Izrčuj Rješeje 45 + b ko je = b + b = Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice = b b, 0, Preoblikujemo zdu jedkost = = / + b = + b + b + b = b = b b = Sd je: + b + = [ b = ] = = = = = b Vježb 45 b Izrčuj ko je = + b + b Rezultt: Zdtk 460 (Đurđic, sredj škol) + b Izrčuj vrijedost brojevog izrz : z =, b = b b Rješeje 460 c d b c c c c d d =, =, : = = b d b d b d b d b d b c b c Skrtiti rzlomk zči brojik i zivik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od ule i jediice =, 0, b b ičic + b = + 5 5 6 6 : = : : : b b b = = = = = = = = 6 6 6 6 6 5 6 5 5 5 ičic + b b + b b b b b b b = : = : = = = = = = b b b b b + b b + b + b + b b = 7
Vježb 460 Izrčuj vrijedost brojevog izrz Rezultt: 5 = = + 5 + b : z =, b = b b 8