SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Vlentin Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rd Voditelj rd: doc. dr. sc. Mj Resmn Zgreb, studeni 217.

Ovj diplomski rd obrnjen je dn u sstvu: pred ispitnim povjerenstvom 1., predsjednik 2., čln 3., čln Povjerenstvo je rd ocijenilo ocjenom. Potpisi člnov povjerenstv: 1. 2. 3.

Sdržj Sdržj iii Uvod 1 1 Stieltjesov integrl 2 1.1 Svojstv Stieltjesovog integrl....................... 16 1.2 Neprvi Stieltjesov integrl......................... 23 2 Lplceov trnsformcij 25 2.1 Definicij Lplceove trnsformcije i područje konvergencije...... 25 2.2 Osnovni primjeri.............................. 38 2.3 Svojstv Lplceove trnsformcije..................... 45 3 Inverzn Lplceov trnsformcij 53 4 Jedn primjen Lplceove trnsformcije: rješvnje običnih diferencijlnih jedndžbi 56 Bibliogrfij 6 iii

Uvod Lplceov trnsformcij jedn je od pozntijih integrlnih trnsformcij koj svoju primjenu nlzi u brojnim znnstvenim područjim, medu kojim se njviše ističu mtemtik i fizik. Stog je cilj ovog rd detljnije proučiti Lplceovu trnsformciju. Svoje ime dobil je prem pozntom mtemtičru Pierre-Simon Lplceu koji je svojim rdom nstvio Eulerov istrživnj o integrlim ko rješenjim diferencijlnih jedndžbi. Lplce n tj nčin produbljuje Eulerove rezultte te uvodi Lplceovu trnsformciju u modernom smisu u svrhu rješvnj prcijlnih diferencijlnih jedndžbi. Vžnost Lplceove trnsformcije njbolje se očituje u rješvnju diferencijlnih jedndžbi koje n tj nčin trnsformirmo u lgebrske jedndžbe, čime je njihovo rješvnje znntno olkšno. No, d bi se od rješenj lgebrske jedndžbe dobilo rješenje početne diferencijlne jedndžbe trebmo odrediti inverz Lplceove trnsformcije. Ovj rd bvi se prvenstveno Lplceovom trnsformcijom, njezinim svojstvim, inverzom te u končnici primjenom u rješvnju linernih diferencijlnih jedndžbi s konstntnim koeficijentim. Lplceov trnsformcij je linerni opertor n odgovrjućim prostorim funkcij. Pri tome domenu čine sve one funkcije čiji Lplceovi trnsformti postoje, kodomenu čine uprvo njihovi Lplceovi trnsformti. Lplceov trnsformt može se promtrti ko specijlni slučj neprvog Riemnn-Stieltjesovog integrl. Stog se u rdu prvo uvodi pojm Riemnn-Stieltjesovog integrl i odreduju se dovoljni uvjeti njegovog postojnj. Početk drugog poglvlj donosi teoreme koji govore o području konvergencije i nlitičnosti Lplce-Stieltjesovog integrl te definiciju Lplceovog trnsformt. Nkon tog, prelzi se n rčunnje Lplceovih trnsformt osnovnih funkcij i prikz vžnih svojstv Lplceove trnsformcije. Treće poglvlje posvećeno je inverznoj Lplceovoj trnsformciji pri čemu se, osim definicije, prikzuje primjer odredivnj inverzne Lplceove trnsformcije z rcionlne funkcije. N krju rd kroz nekoliko primjer ilustrir se primjen Lplceove trnsformcije u rješvnju linernih diferencijlnih jedndžbi s konstntnim koeficijentim. 1

Poglvlje 1 Stieltjesov integrl Prvo poglvlje posvećeno je Stieltjesovom integrlu, počevši od njegove definicije, preko teorem o nužnim i dovoljnim uvjetim z njegovo postojnje p u končnici do korisnih svojstv. Kroz sve spomenuto cilj je demonstrirti uvjete u kojim postoji Lplceov trnsformcij, kojom ćemo se bviti u nrednim poglvljim. D bismo definirli Stieltjesov integrl potrebno je njprije uvesti relne funkcije f i g, relne vrijble x, pri čemu x [, b]. Ndlje, definirmo prticiju P dnog segment odredenu točkm x, x 1,..., x n, pri čemu je = x < x 1 <... < x n = b. Oznčimo := mx x i+1 x i, z i =, 1,..., n 1, što nzivmo normom prticije P. Definicij 1..1. ([9]) Kžemo d postoji limes integrlnih sum lim f (α i ) [ g(x i+1 ) g(x i ) ], te d je on jednk I ko z svki ɛ > postoji tkv d z svki < < i svku prticiju P norme te svki izbor točk α P i [ x P i, xp i+1], i =, 1,..., n 1, vrijedi: f (αi P ) [ g(x P i+1 ) g(xp i ) ] I < ɛ. Td Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g definirmo ko f (x)dg(x) = lim f (α i ) [ g(x i+1 ) g(x i ) ]. 2

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 3 S obzirom n to d tko definirni integrl postje Riemnnov ukoliko je g(x) = x uobičjeno je zvti g i Riemnn-Stieltjesovim integrlom. Pritom z funkciju f kžemo d je Riemnn-Stieltjes integrbiln u odnosu n funkciju g. Pri definirnju Stieltjesovog integrl, izborom funkcij f i g ogrničili smo se n relne funkcije relne vrijble x p se prirodno jvlj problem definirnj Stieltjesovog integrl z kompleksne funkcije. U tu svrhu uvodimo kompleksne funkcije f i g relne vrijble x tkve d je f (x) = f 1 (x) + i f 2 (x) g(x) = g 1 (x) + ig 2 (x) pri čemu su funkcije f 1, f 2, g 1, g 2 relne funkcije relne vrijble x. Td se Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g definir ko: f (x)dg(x) := = = + i [ f 1 (x) + i f 2 (x)]d[g 1 (x) + ig 2 (x)] [ f 1 (x)dg 1 (x) + f 1 (x)idg 2 (x) + i f 2 (x)dg 1 (x) + i 2 f 2 (x)dg 2 (x)] f 1 (x)dg 1 (x) f 2 (x)dg 1 (x), f 2 (x)dg 2 (x) + i f 1 (x)dg 2 (x) uz uvjet d integrli s desne strne jednkosti postoje. Time je definicij Stieltjesovog integrl proširen n nčin d uključuje kompleksne funkcije relne vrijble x. Prije prelsk n uvjete postojnj Stieltjesovog integrl i bitn svojstv potrebno je uvesti oznke z gornju i donju Stieltjesovu sumu. Oznčimo s M i supremum funkcije f n segmentu [x i, x i+1 ], s m i infimum funkcije f n segmentu [x i, x i+1 ], pod pretpostvkom d supremum i infimum postoje. Sume S P = M i [g(x i+1 ) g(x i )] s P = m i [g(x i+1 ) g(x i )].

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 4 nzivmo redom gornj i donj Stieltjesov sum funkcije f u odnosu n funkciju g, obzirom n prticiju P. Teorem 1..2. ([9]) Nek su funkcije f i g relne i omedene n segmentu [, b] te nek je uz to funkcij g neopdjuć 1. Td Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g postoji ko i smo ko vrijedi lim (S P s P ) =, neovisno o izboru prticije P. Dokz. Pretpostvimo d Stieltjesov integrl postoji te d je f (x)dg(x) = I. Nek je ɛ > te nek je P proizvoljn prticij. Td, z svki i =, 1,..., n 1 možemo nći α ɛ i [x i, x i+1 ] tko d vrijedi nejednkost M i ɛ < f (α ɛ i ), (1.1) pri čemu je M i = sup xi x x i+1 f (x) čije postojnje grntir činjenic d je funkcij f omeden. Uočimo d, kko je funckij g neopdjuć, vrijedi odnosno f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] M i [g(x i+1 ) g(x i )], f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] S P (1.2) jer je S P = n 1 M i [g(x i+1 ) g(x i )]. Osim tog, iz (1.1) slijedi odnosno M i [g(x i+1 ) g(x i )] M i < f (α ɛ i ) + ɛ, f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] + [g(x i+1 ) g(x i )] ɛ. 1 Funkcij g je neopdjuć n segmentu [, b] ko z svki x, y [, b], x < y, vrijedi g(x) g(y). Često ih zovemo rstućim (ne nužno strogo rstućim) funkcijm.

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 5 Sredivnjem tog izrz dobivmo sljedeće točnije M i [g(x i+1 ) g(x i )] S P Sd iz (1.2) i (1.3) dobivmo nejednkost f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] S P f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] + ɛ[g(b) g()], f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] + ɛ[g(b) g()]. (1.3) f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] + ɛ[g(b) g()]. (1.4) Zbog Stieltjes integrbilnosti funkcije f u odnosu n funkciju g slijedi d je p puštnjem lim n (1.4) dobivmo lim f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] = I, I lim S P I + ɛ[g(b) g()] iz čeg puštnjem lim ɛ slijedi Stog, možemo zključiti d je I lim S P I. lim S P = I. Anlogno, uočimo d z proizvoljnu prticiju P i ɛ > možemo nći α ɛ i [x i, x i+1 ] tko d vrijedi m i + ɛ > f (α ɛ i ), (1.5) pri čemu je m i infimum funkcije f n segmentu [x i, x i+1 ]. Tkoder, očito je d z donju sumu s p vrijedi sljedeće kko iz (1.5) slijedi f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] s P, (1.6) m i > f (α ɛ i ) ɛ,

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 6 immo m i [g(x i+1 ) g(x i )] Sredivnjem tog izrz dobivmo sljedeće točnije m i [g(x i+1 ) g(x i )] s P Sd iz (1.6) i (1.7) slijedi f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] [g(x i+1 ) g(x i )] ɛ. f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] ɛ[g(b) g()], f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] ɛ[g(b) g()]. (1.7) f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] ɛ[g(b) g()] s P Zbog Stieltjes integrbilnosti funkcije f u odnosu n funkciju g vrijedi p puštnjem lim n (1.8) dobivmo lim f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] = I, I ɛ[g(b) g()] lim s P I iz čeg puštnjem lim ɛ slijedi I lim s P I. Stog, možemo zključiti d je lim s P = I. Končno, primjenom svojstv o limesu rzlike dobivmo lim (S P s P ) = lim S P lim s P = I I = čime smo dokzli nužn uvjet z postojnje Stieltjesovog integrl. Pretpostvimo sd d vrijedi f (α ɛ i )[g(x i+1) g(x i )] (1.8) lim (S P s P ) =, (1.9)

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 7 pri čemu su S P i s P redom gornj i donj sum pridružene prticiji P. Nek je σ P = f (α i )[g(x i+1 ) g(x i )], jedn integrln sum pridružen prticiji P, z α i [x i, x i+1 ]. S obzirom n to d je funkcij g neopdjuć vrijedi s P σ P S P. (1.1) D bismo dokzli postojnje Stieltjesovog integrl, zbog (1.9) dovoljno je pokzti d postoji lim S P. Td postoji i lim s P te primjenom teorem o sendviču n (1.1) zključujemo d postoji lim σ P, što je ekvivlentno postojnju Stieltjesovog integrl. Fiksirjmo ɛ >. Pokžimo d z tj ɛ postoji tkv d z gornje sume pridružene proizvoljnim prticijm P 1 i P 2, normi 1 i 2 tkvih d je 1, 2 < vrijedi S P1 S P2 < ɛ. S obzirom n to d vrijedi lim (S P s P ) = možemo nći tko d < i svku prticiju P norme mnje od vrijedi S P s P < ɛ 2. (1.11) Uzmimo sd dvije prticije P 1 i P 2 normi 1 i 2 tkvih d vrijedi 1, 2 <. Nek je P 3 prticij segment [, b] tkv d uključuje točke sdržne u prticijm P 1 i P 2. To znči d je prticij P 3 nstl iz prticije P 1 dodvnjem končno mnogo točk iz P 2, li je nstl i iz P 2 dodvnjem končno mnogo točk iz prticije P 1. To znči d z gornje sume vrijedi S P3 S P1 te S P3 S P2, donje sume zdovoljvju nejednkosti Iz čeg dobivmo Td zbog (1.11) i (1.12) vrijedi s P1 s P3 i s P2 s P3. s P1 S P3 S P1 i s P2 S P3 S P2. (1.12) (S P1 S P3 ) < ɛ 2 i (S P2 S P3 ) < ɛ 2. Sredivnjem, dolzimo do S S P1 P2 < ɛ što smo trebli pokzti te sd možemo zključiti d postoji lim S P, time i lim s P. Zbog teorem o sendviču slijedi d postoji lim σ P, odnosno d je funkcij f Stieltjes integrbiln u odnosu n funkciju g.

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 8 U dljnjem proučvnju Stieltjesovog integrl trebt će nm pojm neopdjuće funkcije i funkcije ogrničene vrijcije, p ćemo kroz definicije i teoreme koji slijede proći osnovn svojstv tkvih funkcij. Definicij 1..3. ([9]) Nek je funkcij g neopdjuć n segmentu [, b]. Točku x i [, b] nzivmo točkom nepromjenjivosti funkcije g ko postoji dvostrn (ili jednostrn u slučju x = ili x = b) okolin te točke u kojoj je funkcij g konstnt. Definicij 1..4. ([9]) Ako je dn neopdjuć funkcij, točkom rst funkcije nzivmo onu točku koj nije točk nepromjenjivosti. Primjer 1..5. N slici je prikzn grf funkcije g definirne s 2x + 1, x [, 3 g(x) = 7, x [3, 5]. x + 2, x 5, 8] Slik 1.1: Grfički prikz funkcije g Uočimo d je funkcij g neopdjuć n segmentu [, 8], pri čemu je n intervlim [, 3 i 5, 8] strogo rstuć, n segmentu [3, 5] je konstntn. Z svku točku iz segment [, 3] i [5, 8] kžemo d je točk rst jer ne postoji niti jedn dvostrn okolin svke od

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 9 tih točk u kojoj je funkcij konstntn. S druge strne, točke iz intervl 3, 5 su točke nepromjenjivosti jer oko svke od njih postoji okolin u kojoj je funkcij konstntn. Teorem 1..6. ([9]) Nek je dn neopdjuć funkcij n segmentu koj im končn broj točk rst. Td on nije neprekidn u točkm rst te je konstntn izmedu njih. To je po dijelovim konstntn (step) funkcij. Dokz. Pretpostvimo d je funkcij f neopdjuć n segmentu s končnim brojem točk rst. Pretpostvimo suprotno, tj. d je funkcij f neprekidn u točkm rst. Nek je bilo koj od (končno mnogo) točk rst i nek je funckij f neprekidn u. Td je točk izolirn točk rst, točnije postoji okolin te točke ɛ, + ɛ, z dovoljno mli ɛ >, u kojoj su sve ostle točke točke nepromjenjivosti (u protivnom, imli bismo kontrdikciju s končnosti broj točk rst). Zbog nepromjenjivosti, očito je funkcij f konstntn n intervlim ɛ, i, + ɛ. Pošto je f neprekidn u, konstnte slijev i zdesn su jednke te je njihov vrijednost jednk f (). No td je tkoder točk nepromjenjivosti funkcije f, što je kontrdikcij s pretpostvkom. Stog f im prekid u točki, tj. konstnte slijev i zdesn se rzlikuju. Anlogno zključujemo z sve točke rst, p slijedi je funkcij f po dijelovim konstntn (step) funkcij. Definicij 1..7. ([1, 5]) Z funkciju g kžemo d je funkcij ogrničene vrijcije n segmentu [, b] ko postoji reln broj M > tkv d z svku prticiju P segment [, b] vrijedi g(x i+1 ) g(x i ) M. Potpun vrijcij funkcije g ogrničene vrijcije je funkcij od x [, b], koju definirmo ko V[g] x = sup P g(x i+1 ) g(x i ), x [, b]. Kžemo d je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b] ko vrijedi V[g] b <. Ndlje, objsnit ćemo odnos omedene funkcije n segmentu i funkcije ogrničene vrijcije n segmentu. Teorem 1..8. ([1]) Nek je funkcij g neopdjuć i omeden n segmentu [, b]. Td je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b] te vrijedi V [ g ] b = g(b) g().

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 1 Dokz. Nek je dn funkcij g neopdjuć i omeden n segmentu [, b]. Nek je P proizvoljn prticij segment [, b] tkv d je = x < x 1 <... < x n = b. D bismo dokzli d je funkcij g ogrničene vrijcije trebmo pokzti d z potpunu vrijciju vrijedi V[g] b <. S obzirom n to d je funkcij g rstuć immo g(x i+1 ) g(x i ) = (g(x i+1 ) g(x i )) = g(b) g(). Td z potpunu vrijciju funkcije g vrijedi V [ g ] b = sup g(x i+1 ) g(x i ) = g(b) g() < P p zključujemo d je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Pitmo se je li svk omeden funkcij n segmentu bez pretpostvke rst ujedno i funkcij ogrničene vrijcije. Sljedećim kontrprimjerom pokzt ćemo d to ne mor vrijediti. Primjer 1..9. ([8]) Nek je funkcij g : [, 1] R definirn ko x cos π, x, 1] 2x g(x) =, x =. Tko definirn funkcij g je omeden, što se može zključiti iz grfičkog prikz funkcije: Slik 1.2: Grf funkcije g

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 11 Pokžimo d funkcij g nije ogrničene vrijcije n segmentu [, 1]. Uzmimo prticiju P segment [, 1] odredenu točkm < 1 2n < 1 2n 1 <... < 1 4 < 1 3 < 1 2 < 1. Funkcij g je ogrničene vrijcije n [, 1] ko z potpunu vrijciju vrijedi V[g] 1 <. Stog rčunmo V[g] 1 = sup g(x i+1 ) g(x i ), P p krenimo od dne sume. Immo g(x i+1 ) g(x i ) = g(x 1 ) g(x ) + g(x 2 ) g(x 1 ) + g(x 3 ) g(x 2 ) +... Dkle, dobili smo iz čeg slijedi d je V[g] 1 = sup n N + g(x n 1 ) g(x n 2 ) + g(x n ) g(x n 1 ) = = 1 cos nπ 2n + 1 (2n 1)π cos 1 cos nπ 2n 1 2 2n +... + 1 2 cos π 1 3 cos 3π 2 + cos π 2 1 2 cos π = = 1 2n + 1 2n + 1 2n 2 + 1 2n 2 +... + 1 4 + 1 4 + 1 2 + 1 2 = 1 n + 1 n 1 +... + 1 2 + 1 g(x i+1 ) g(x i ) = 1 n + 1 n 1 +... + 1 2 + 1, ( 1 g(x i+1 ) g(x i ) = sup n N n + 1 n 1 +... + 1 ) 2 + 1 što očito teži u kd n pošto hrmonijski red divergir. Stog zključujemo d funkcij g nije ogrničene vrijcije. Teorem 1..1. ([1]) Ako je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b] td je on omeden n segmentu [, b].

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 12 Dokz. Nek je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b] te nek je prticij P segment [, b] odreden točkm = x x 1 x 2 = b. Td je 1 g(x i+1 ) g(x i ) = g(x 1 ) g() + g(b) g(x 1 ) iz čeg, zbog V[g] b = sup P n 1 g(x i+1 ) g(x i ) slijedi Osim tog, očito je g(x 1 ) g() + g(b) g(x 1 ) V[g] b. g(x 1 ) g() + g(b) g(x 1 ) g(x 1 ) g(), p immo g(x 1 ) g() g(x 1 ) g() + g(b) g(x 1 ) V[g] b iz čeg zključujemo d je funkcij g omeden n segmentu [, b]. Primijetimo d je zključk vljn zbog proizvoljnosti izbor točke x 1 jer činjenic d je funkcij g ogrničene vrijcije ne ovisi o izboru prticije segment [, b]. Sljedeći teorem pokzuje d funkciju ogrničene vrijcije možemo prikzti ko rzliku dviju neopdjućih funkcij. Teorem 1..11. ([1]) Nek je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Td n segmentu [, b] postoje neopdjuće funkcije g 1 i g 2 tkve d vrijedi te g(x) = g 1 (x) g 2 (x) (1.13) V[g] x = g 1 (x) + g 2 (x), x [, b]. (1.14) Dokz. Nek je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Definirjmo funkcije g 1 i g 2 n segmentu [, b] s g 1 (x) = 1 ( V[g] x 2 + g(x) ), g 2 (x) = 1 ( V[g] x 2 g(x) ), x [, b]. Funkcije smo definirli n tj nčin kko bi one zdovoljvle jednkosti (1.13) i (1.14), što možemo provjeriti: g 1 (x) g 2 (x) = 1 2 V[g]x + 1 2 g(x) 1 2 V[g]x + 1 g(x) = g(x), te 2 g 1 (x) + g 2 (x) = 1 2 V[g]x + 1 2 g(x) + 1 2 V[g]x 1 2 g(x) = V[g]x.

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 13 Preostje provjeriti jesu li funkcije g 1 i g 2 neopdjuće. Provjerimo prvo je li funkcij g 1 neopdjuć. Nek su x, y [, b] tkvi d x < y. Trebmo dokzti d vrijedi g 1 (y) g 1 (x). Immo g 1 (y) g 1 (x) = 1 ( V[g] y 2 + g(y) ) 1 ( V[g] x 2 + g(x) ) = 1 ( V[g] y 2 V[g] ) x 1 + (g(y) g(x)) 2 = 1 [ V[g] y 2 x + (g(y) g(x)) ]. Budući d je funkcij g ogrničene vrijcije vrijedi V[g] y x g(y) g(x) p slijedi d je odnosno 1 [ V[g] y 2 x + (g(y) g(x)) ], g 1 (y) g 1 (x) što znči d je funkcij g 1 neopdjuć. Anlogno se pokže d je funkcij g 2 tkoder neopdjuć. Kroz dv teorem prikzt ćemo dovoljne uvjete z postojnje Stieltjesovog integrl tkvih funkcij. Teorem 1..12. ([9]) Nek je funkcij f neprekidn, g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Td postoji Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g. Dokz. Bez smnjenj općenitosti možemo pretpostviti d su funkcije f i g relne, s obzirom n to d kompleksne funkcije relne vrijble prikzujemo pomoću relnih funkcij, koristeći pritom svojstv Stieltjesovog integrl (1.2) i (1.21). Nek je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Prem Teoremu 1..1 slijedi d je funkcij g omeden n segmentu [, b]. Ndlje, prem Teoremu 1..11 funkciju g možemo zpisti ko rzliku dviju neopdjućih funkcij. To znči d možemo primijeniti Teorem 1..2 o nužnom i dovoljnom uvjetu z postojnje Stieltjesovog integrl. Budući d je funkcij f neprekidn n segmentu [, b], on je ujedno i uniformno neprekidn n tom segmentu p možemo pretpostviti d z proizvoljn ɛ > postoji norm tkv d z svku subdiviziju P norme z koju je <, vrijedi M i m i < ɛ. (1.15)

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 14 Pritom su M i i m i supremum i infimum funkcije f n [x i, x i+1 ], z i =, 1,..., n 1. Stog, z proizvoljnu prticiju P tkvu d je < iz (1.15) slijedi M i [g(x i+1 ) g(x i )] m i [g(x i+1 ) g(x i )] [g(x i+1 ) g(x i )] ɛ, odnosno, nkon sredivnj dobivmo Puštnjem lim n (1.16) dolzimo do S P s P ɛ [ g(b) g() ]. (1.16) lim (S P s P ) lim ɛ [ g(b) g() ], što je jednko lim(s P s P ) ɛ [ g(b) g() ]. Končno, pustimo lim ɛ i dolzimo do lim (S P s P ), što znči d je lim (S P s P ) =. Iz tog, zbog Teorem 1..2 slijedi d Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g postoji, što je i treblo dokzti. Promotrimo specijlni slučj kd je funkcij g(x) = x, funkcij f neprekidn n segmentu [, b]. Funkcij g(x) = x je ogrničene vrijcije. Nime, uzmimo proizvoljnu prticiju P segment [, b] odredenu točkm = x < x 1 <... < x n = b. S obzirom n to d je g(x) = x neopdjuć funkcij, immo g(x i+1 ) g(x i ) = (x i+1 x i ) = x 1 x + x 2 x 1 +... + x n x n 1 = x n x = b, iz čeg slijedi d je V[g] b = sup P n 1 g(x i+1 ) g(x i ) = b < p zključujemo d je funkcij g ogrničene vrijcije. Prem Teoremu 1..12 funkcij f je Riemnn-Stieltjes integrbiln u odnosu n funkciju g. U tom slučju je Riemnn-Stieltjesov integrl zprvo Riemnnov integrl funkcije f.

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 15 Teorem 1..13. ([1]) Nek su dne funkcije f i g tkve d je f funkcij ogrničene vrijcije, funkcij g neprekidn n segmentu [, b]. Td postoji Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g te vrijedi: f (x)dg(x) = f (b)g(b) f ()g() g(x)d f (x). (1.17) Dokz. Nek je P proizvoljn prticij dnog segment [, b], te nek je funkcij f ogrničene vrijcije, funkcij g neprekidn n zdnom segmentu. Nek je n σ P = f (α i )[g(x i ) g(x i 1 )], pri čemu α i [x i 1, x i ], proizvoljn integrln sum z prticiju P. Sumu σ P možemo zpisti u obliku n f (α i )[g(x i ) g(x i 1 )] = i=1 i=1 i=1 f (α i )[g(x i ) g(x i 1 )] + f (α n )g(x n ) f (α n )g(x n 1 ) = [ f (α i ) f (α i+1 )]g(x i ) + f (α i+1 )g(x i ) f (α i )g(x i 1 ) + f (α n )g(x n ) f (α n )g(x n 1 ) i=1 i=1 = [ f (α i ) f (α i+1 )]g(x i ) + f (α n )g(x n 1 ) f (α 1 )g(x ) + f (α n )g(x n ) f (α n )g(x n 1 ) = [ f (α i ) f (α i+1 )]g(x i ) + f (α n )g(x n ) f (α 1 )g(x ). Definirmo li α = te α n+1 = b, dodvnjem i oduzimnjem izrz g(x ) f (α ) = g() f () i g(x n ) f (α n+1 ) = g(b) f (b) desnoj strni jednkosti, dobit ćemo n n f (α i )[g(x i ) g(x i 1 )] = g(x i )[ f (α i ) f (α i+1 )] + g(b) f (b) g() f (). (1.18) i=1 S obzirom n to d je funkcij g neprekidn, f ogrničene vrijcije, prem Teoremu 1..12 postoji Stieltjesov integrl funkcije g u odnosu n funkciju f. To znči d postoji lim n g(x i )[ f (α i ) f (α i+1 )]. Uočimo d kd norm = mx x i x i+1 teži u nulu, jednko će biti i s mx α i α i+1 jer je točkm α i [x i, x i+1 ] odreden prticij ugniježden s prticijom odredenom točkm x i segment [, b]. Stog zključujemo d postoji lim σ P. To znči d puštnjem lim n jednkost (1.18) dobivmo lim n i=1 f (α i )[g(x i ) g(x i 1 )] = lim n i=1 g(x i )[ f (α i ) f (α i+1 )]+lim [ g(b) f (b) ] lim [ g() f () ],

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 16 iz čeg slijedi f (x)dg(x) = f (b)g(b) f ()g() g(x)d f (x). Formul (1.17) nziv se formulom prcijlne integrcije z Riemnn-Stieltjesov integrl. Primijetimo, ko stvimo g(x) = x, on prelzi u formulu prcijlne integrcije z Riemnnov integrl n koju smo nvikli. 1.1 Svojstv Stieltjesovog integrl Teoremim koji slijede u nstvku prikzt ćemo svojstv Stieltjesovog integrl. Pritom podrzumijevmo d su f i g kompleksne funkcije relne vrijble, ukoliko u iskzu teorem ne definirmo drugčije. Z početk primijetimo d, ukoliko je funkcij g konstnt, vrijedi f (x)dg(x) =. Tkoder, vrijedi dg(x) = g(b) g(). Teorem 1.1.1. ([9], [1]) Nek je funkcij f neprekidn, g funkcij ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Td vrijede sljedeć svojstv Stieltjesovog integrl: 1. k f (x)dg(x) = k f (x)dg(x), k je konstnt (1.19) 2. [ f 1 (x) + f 2 (x)]dg(x) = f 1 (x)dg(x) + f 2 (x)dg(x) (1.2) 3. f (x)d[g 1 (x) + g 2 (x)] = f (x)dg 1 (x) + f (x)dg 2 (x) (1.21)

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 17 4. 5. f (x)dg(x) = c f 1 (x) f 2 (x) f (x)dg(x) + c f 1 (x)dg(x) f (x)dg(x), c, b (1.22) f 2 (x)dg(x) (1.23) 6. f (x)dg(x) f (x) dv[g], x x [, b] (1.24) Dokz. Svojstv (1.19), (1.2) i (1.21) slijede iz definicije Stieltjesovog integrl te primjenom svojstv sume. Pokžimo sd (1.22). Odberimo prticiju P segment [, b] koj sdrži točku c, što je moguće nprviti jer po definiciji Stieltjesov integrl postoji neovisno o izboru prticije. Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g postoji prem Teoremu 1..12. Točkom c možemo podijeliti segment [, b] n podsegmente [, c] i [c, b]. Kko smo ustnovili d je funkcij f Stieltjes integrbiln n segmentu [, b], bit će Stieltjes integrbiln i n podsegmentim [, c] i [c, b]. Nek je P 1 prticij segment [, c] odreden točkm = x < x 1 <... < x m = c, P 2 prticij segment [c, b] odreden točkm c = x m < x m+1 <... < x n = b te nek je P = P 1 P 2 pripdn prticij segment [, b]. Z integrlne sume pridružene tim prticijm vrijedi: σ P1 + σ P2 = σ P. Kko je funkcij f Stieltjes integrbiln n segmentim [, c], [c, b] i [, b], limes integrlnih sum Stieltjes integrbilnih funkcij ne ovisi o izboru prticije, puštnjem lim dobivmo: m 1 lim j= iz čeg slijedi f (α j )[g(x j+1 ) g(x j )]+lim j=m c f (x)dg(x) + f (α j )[g(x j+1 ) g(x j )] = lim f (α j )[g(x j+1 ) g(x j )], c f (x)dg(x) = f (x)dg(x). Ndlje, dokžimo svojstvo (1.23). Kko je f 1 (x) f 2 (x), z svki x [, b], nejednkost će vrijediti i z svku točku α i [x i, x i+1 ], i =, 1,..., n 1, iz čeg slijedi f 1 (α i )[g(x i+1 ) g(x i )] f 2 (α i )[g(x i+1 ) g(x i )].

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 18 Kko su funkcije f 1 i f 2 Stieltjes integrbilne, postoje lim, p je lim f 1 (α i )[g(x i+1 ) g(x i )] lim f 2 (α i )[g(x i+1 ) g(x i )], tj. f 1 (x)dg(x) f 2 (x)dg(x). Uočimo kko postojnje integrl n desnoj strni jednkosti (1.22) smo po sebi ne grntir postojnje integrl n lijevoj strni jednkosti što ćemo pokzti primjerom preuzetim iz ([9]). Nek su funkcije f i g definirne s: 1, x [, 1] f (x) =, x 1, 2] Primijetimo d integrli 1 f (x)dg(x) i 2 1, x [, 1 g(x) =, x [1, 2]. 1 f (x)dg(x) zist postoje jer je 1 f (x)dg(x) = 1 dg(x) = g(x) 1 = g(1) g() = 1 = 1, te 2 f (x)dg(x) =. 1 No, kko funkcije f i g imju zjedničku točku prekid, x = 1, integrl 2 f (x)dg(x) ne postoji. Promtrmo limes po subdivizijm sve mnjeg kork tko d točk prekid x = 1 uvijek leži unutr nekog intervl subdivizije. Kd kork, tj intervl oko x = 1 postje sve uži. Kd bi Stieltjesov integrl postojo, postojo bi limes integrlnih sum kd kork, n : f (α i )[g(x i+1 ) g(x i )]. No, s lijeve i desne strne točke x = 1 je funkcij g konstnt, p u čitvoj sumi, bez obzir n kork subdivizije, preživljv smo čln f (α i )( 1), pri čemu je α i proizvoljno izbrn iz intervl subdivizije oko x = 1. Kko tj α i možemo odbrti iz intervl oko x = 1

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 19 s lijeve ili desne strne točke x = 1 (gdje f poprim vrijednost 1, odnosno ), tj čln je jednk -1 ili. Zbog tog je i limes po opdjućim subdivizijm koje sdrže x = 1 unutr nekog intervl jednl -1, odnosno. To je kontrdikcij s definicijom postojnj Stieltjesovog integrl, p Stieltjesov integrl ne postoji. Teorem 1.1.2. ([9]) Nek su funkcije f 1 i f 2 neprekidne, g 1 i g 2 funkcije ogrničene vrijcije te k 1, k 2, l 1, l 2 konstnte. Td vrijedi [k 1 f 1 (x) + k 2 f 2 (x)]d[l 1 g 1 (x) + l 2 g 2 (x)] = 2 i=1 2 k i l j j=1 f i (x)dg j (x). Dokz teorem slijedi direktnom primjenom svojstv (1.19), (1.2) i (1.21) Stieltjesovog integrl. Lem 1.1.3. ([5]) Nek je funkcij g klse C 1 [, b]. Td je funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Dokz. S obzirom n to d je funkcij g klse C 1 [, b] znmo d postoji njen derivcij g te d su g i g neprekidne n segmentu [, b]. Tkoder, funkcije g i g omedene su n segmentu [, b]. D bi funkcij g bil ogrničene vrijcije trebmo pokzti d vrijedi V[g] b <, odnosno sup P g(x i+1 ) g(x i ) <. Primijenimo Lgrngeov teorem srednje vrijednosti prem kojem postoje točke η i [x i, x i+1 ] tkve d g(x i+1 ) g(x i ) = g (η i )(x i+1 x i ), z i =, 1,..., n 1. Odnosno, to znči d vrijedi g(x i+1 ) g(x i ) = g (η i ) x i+1 x i. (1.25) Ndlje, kko je funkcij g omeden, slijedi d postoji M tkv d z svki η i [x i, x i+1 ] vrijedi g (η i ) M, z svki i =, i,..., n 1, što primjenimo n (1.25) te dobivmo g(x i+1 ) g(x i ) = g (η i ) x i+1 x i M(b ).

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 2 Iz tog slijedi V[g] b = sup P g(x i+1 ) g(x i ) M(b ) < p je funkcij g ogrničene vrijcije. Teorem 1.1.4. ([9]) Nek je funkcij f neprekidn, te nek je funkcij ϕ psolutno integrbiln 2 n segmentu [, b]. Ako je funkcij g definirn s g(x) = pri čemu c b, vrijedi sljedeće f (x)dg(x) = x c ϕ(t)dt, x [, b], (1.26) f (x)ϕ(x)dx = f (x)g (x)dx. (1.27) Dokz. Kko je funkcij ϕ psolutno integrbiln n segmentu [, b] vrijedi ϕ(x) dx <. Može se pokzti d je funkcij g definirn s (1.26) ogrničene vrijcije n segmentu [, b] (vidjeti ([9]), Teorem 5c). To znči d Stieltjesov teorem funkcije f u odnosu n funkciju g postoji, prem Teoremu 1..12. Nek je P proizvoljn prticij segment [, b], norme. Stvimo Kko je g(x) = x c iz čeg oduzimnjem ϕ(t)dt slijedi σ P σ P := σ P = f (x i )[g(x i+1 ) g(x i )]. xi+1 f (x i ) ϕ(t)dt, x i f (t)ϕ(t)dt s obje strne jednkosti dobivmo xi+1 f (t)ϕ(t)dt = ( f (x i ) f (t)) ϕ(t)dt x i 2 Funkcij ϕ je psolutno integrbiln n segmentu [, b] ko ϕ(x) dx <.

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 21 σ P f (t)ϕ(t)dt = xi+1 x i [ f (xi ) f (t) ] ϕ(t)dt. Ndlje, promotrimo li psolutne vrijednosti dobivenih izrz slijedi d je σ P f (t)ϕ(t)dt mx f (x i) f (t) t [x i,x i+1 ] xi+1 x i ϕ(t) dt. Ako mx t [xi,x i+1 ] f (x i ) f (t), z i =, 1,..., n 1, oznčimo s M P, dobivmo σ b P f (t)ϕ(t)dt M P ϕ(t) dt. Uočimo kko vrijednost M P teži u nulu kko norm prticije P teži u nulu, zbog uniformne neprekidnosti. Stog, lim σ P = f (t)ϕ(t)dt. S druge strne, kko je funkcij f Stieltjes integrbiln u odnosu n funkciju g, iz definicije Stieltjesovog integrl vrijedi i lim σ P = f (x)dg(x). Time dobivmo: f (x)dg(x) = f (x)ϕ(x)dx. Korolr 1.1.5. ([1]) Nek je funkcij f neprekidn, g klse C 1 n segmentu [, b]. Td z Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g vrijedi f (x)dg(x) = f (x)g (x)dx. Dokz. Nek je ϕ := g n segmentu [, b]. Td je funkcij ϕ neprekidn, p i psolutno integrbiln n segmentu [, b]. Stog tvrdnj direktno slijedi iz Teorem 1.1.4. Teorem 1.1.6. ([9]) Nek su funkcije f i ϕ neprekidne, funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Ako je funkcij β definirn s β(x) = x c ϕ(t)dg(t), x [, b], c [, b], td je i funkcij β ogrničene vrijcije n [, b] te vrijedi f (x)dβ(x) = f (x)ϕ(x)dg(x).

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 22 Primijetimo d je teorem, u slučju pretpostvke d je funkcij g klse C 1 n [, b], direktn posljedic Teorem 1.1.4. Vžnost ovog teorem, čiji se dokz može nći u [9] jest u tome d vrijedi i uz slbiju pretpostvku n funkciju g, to je d je funkcij ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Jsno je d je svojstvo C 1 n segmentu [, b] jče od svojstv ogrničene vrijcije funkcije jer Lem 1.1.3 grntir d je funkcij koj je klse C 1 ujedno i ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Definicij 1.1.7. ([9]) Funkciju g : [, b] R definirnu s g(x) = i, x [x i, x i+1 pri čemu i R, z i =, 1,..., n 1, nzivmo step-funkcijom. Primjer 1.1.8. ([9]) Odredimo Stieltjesov integrl neprekidne funkcije f : [, b] R u odnosu n step-funkciju g : [, b] R, definirnu s pri čemu i R, z i =, 1,..., n 1. g(x) = i, x [x i, x i+1 Jedn prticij segment [, b] odreden je točkm skok step-funkcije = x < x 1 <... < x n = b. Promtrjmo sv moguć profinjenj te prticije s normom koj teži u. Td je Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n step-funkciju (z koji znmo d postoji jer je f neprekidn, g ogrničene vrijcije) jednk f (x)dg(x) = lim f (x i )[g(x i+1 ) g(x i )] = f (x i )[ i+1 i ], pri čemu su x i, i =,..., n 1, točke skok step-funkcije. Primijetimo d, bez obzir koliko profinili prticiju, u sumi ostje smo nvedenih n člnov, jer ostli iščezvju zbog tog što je izmedu točk skok g konstnt. Teorem 1.1.9. ([9]) Nek je funkcij f neprekidn, funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, b]. Uz to nek funkcij g poprim vrijednost c n gustom skupu točk iz segment [, b] koji uključuje i krjnje točke segment. Td vrijedi f (x)dg(x) =.

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 23 Dokz. Dokz teorem slijedi direktno iz definicije Stieltjesovog integrl. Nime, znmo d je funkcij f Stieltjes integrbiln u odnosu n funkciju g, p je f (x)dg(x) = lim f (α i )[g(x i+1 ) g(x i )]. (1.28) Td, zbog činjenice d funkcij g poprim vrijednost c n gustom skupu točk iz segment [, b] koji uključuje i krjnje točke segment, prticiju možemo birti uprvo iz tog gustog skup točk. Iz tog, sredivnjem izrz (1.28), dobivmo d zist vrijedi f (x)dg(x) =. 1.2 Neprvi Stieltjesov integrl Nek je funkcij f neprekidn n intervlu [, te funkcij g ogrničene vrijcije n segmentu [, R], z svki R >. Definicij 1.2.1. ([9]) Integrl definirn s R f (x)dg(x) = lim f (x)dg(x), R ko limes postoji, nzivmo neprvim Stieltjesovim integrlom funkcije f u odnosu n funkciju g. Primijetimo d integrl R f (x)dg(x), z R >, postoji prem Teoremu 1..12. N sličn nčin, ukoliko je funkcij f neprekidn n intervlu, ], neprvi Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g definirmo s f (x)dg(x) = lim f (x)dg(x). R R Ukoliko je pk funkcij f neprekidn n intervlu,, neprvi Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g definirmo n sljedeći nčin f (x)dg(x) = f (x)dg(x) + f (x)dg(x). Z neprvi Stieltjesov integrl kžemo d konvergir kd definirni limes postoji. U suprotnome, kžemo d integrl divergir. ([9])

POGLAVLJE 1. STIELTJESOV INTEGRAL 24 Definicij 1.2.2. ([9]) Kžemo d neprvi Stieltjesov integrl konvergir psolutno ko i smo sljedeći Stieltjesov integrl konvergir pri čemu V[g] x potpun vrijcij funkcije g. f (x) dv[g] x <, Po Teoremu 1..11, postoje neopdjuće funkcije g 1 i g 2 tkve d je V[g] x = g 1 (x) + g 2 (x) p integrl R f (x) dv g(x) = R f (x) d[g 1(x) + g 2 (x)] postoji z svki R >.

Poglvlje 2 Lplceov trnformcij Lplceov trnsformcij poznt je mtemtičk metod koj se koristi z rješvnje problem iz područj mtemtičke nlize. Posebno je pogodn z rješvnje diferencijlnih jedndžbi. Stog ćemo u ovom poglvlju krenuti od formlne definicije Lplceove trnsformcije kko bismo ksnije mogli prikzti osnovn svojstv te primjenu u rješvnju diferencijlnih jedndžbi. 2.1 Definicij Lplceove trnsformcije i područje konvergencije Prije formlne definicije Lplceove trnsformcije uspostvit ćemo vezu s Stieltjesovim integrlom. Utemeljeno n ([9]), nek je g kompleksn funkcij relne vrijble t n intervlu [, te ogrničene vrijcije n segmentu [, R], z svki R >, tkv d g(t) = g 1 (t) + ig 2 (t). Nek je dn kompleksn funkcij jedne relne vrijble f (t) = e st, pri čemu je s kompleksn vrijbl, s = x + iy. Td prem Teoremu 1..12 postoji Stieltjesov integrl funkcije f u odnosu n funkciju g n segmentu [, R] te je on jednk 25

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 26 R e st dg(t) = = = = + R R R R e (x+iy)t d[g 1 (t) + ig 2 (t)] e xt iyt dg 1 (t) + i R e xt iyt dg 2 (t) e xt [ cos(yt) i sin(yt) ] dg 1 (t) + i e xt cos(yt)dg 1 (t) i R R R e xt sin(yt)dg 2 (t). e xt sin(yt)dg 1 (t) + i e xt [ cos(yt) i sin(yt) ] dg 2 (t) R e xt cos(yt)dg 2 (t) Ndlje, prem definiciji 1.2.1 neprvi Stieltjesov integrl funkcije f = e st u odnosu n funkciju g definirmo ko e st dg(t) = lim R R e st dg(t). (2.1) Z s C z koje limes postoji, neprvi Stieltjesov integrl konvergir dok z ostle divergir. Neprvi Stieltjesov integrl funkcije f (t) = e st u odnosu n funkciju g, definirn u (2.1), nzivmo Lplce-Stieltjesovim integrlom. Njime je zdn jedn funkcij kompleksne vrijble s C, n domeni konvergencije neprvog integrl. Područje konvergencije i nlitičnost Lplce-Stieltjesovog integrl Sljedeći teoremi govore o području konvergencije Lplce-Stieltjesovog integrl. U svim teoremim u ovom poglvlju pretpostvljmo d je funkcij g ogrničene vrijcije n svkom segmentu [, R], R >. Teorem 2.1.1. ([9]) Nek je g kompleksn ili reln funkcij ogrničene vrijcije n svkom segmentu [, R], R >. Nek je s C te nek je sup u u< e st dg(t) = M, pri čemu M <. Td integrl e st dg(t) = lim R R e st dg(t)

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 27 konvergir z svki s C tkv d je Re(s) > Re(s ). Ndlje, z s C tkve d je Re(s) > Re(s ) tj integrl jednk je gdje je e st dg(t) = (s s ) h(u) := u e (s s )t h(t)dt e s t dg(t), u. Pritom, integrl n desnoj strni konvergir psolutno z Re(s) > Re(s ). Dokz. Nek je g funkcij ogrničene vrijcije n segmentu [, R]. Prem Teoremu 1.1.6 z funkciju h definirnu s h(u) := u e s t dg(t) vrijedi odnosno R e (s s )t dh(t) = R R e st dg(t) = e st+s t e s t dg(t) = R R e (s s )t dh(t). e st dg(t), Prcijlnom integrcijom Stieltjesovog integrl, po Teoremu 1..13, dobivmo R S obzirom n to d je e st dg(t) = e (s s )t h(t) R R (s s )e (s s)t h(t)dt = e (s s )R h(r) e (s s ) h() + (s s ) = e (s s )R h(r) + (s s ) e st dg(t) = lim R R R R e (s s )t h(t)dt. e st dg(t) e (s s )t h(t)dt trebmo odrediti vrijednost tog limes. To znči d puštnjem lim R n desnu strnu jednkosti R e st dg(t) = e (s s )R h(r) + (s s ) R e (s s )t h(t)dt

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 28 dobivmo sljedeće [ e st dg(t) = lim e (s s)r h(r) + (s s ) R = lim R [ e (s s )R h(r) ] + lim R R [ (s s ) ] e (s s)t h(t)dt R R R = lim R [ e (s s )R h(r) ] + (s s ) lim ] e (s s)t h(t)dt e (s s )t h(t)dt. Iz pretpostvke sup u u< e st dg(t) = M, pri čemu M <, zključujemo d je funkcij h omeden. Td vrijedi ( lim e (s s )R h(r) ) lim e (s s )R h(r) = lim e (s s )R h(r) R R R M lim e (s s )R R Stog, zključujemo d je e st dg(t) = (s s ) lim = (s s ) R R = M lim R e (Re(s) Re(s ))R =. e (s s )t h(t)dt e (s s )t h(t)dt odnosno d dni neprvi integrl konvergir z svki s z koji je Re(s) > Re(s ). Preostje još provjeriti konvergir li integrl e (s s)t h(t)dt psolutno. Budući d je funkcij h omeden, z Re(s) > Re(s ) slijedi e (s s)t h(t) dt = e (s s )t h(t) dt = M = M e (Re(s) Re(s ))t Mdt e (Re(s) Re(s ))t dt 1 Re(s) Re(s ) < iz čeg zključujemo d z Re(s) > Re(s ) integrl konvergir psolutno.

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 29 Korolr 2.1.2. [9] Ako integrl e st dg(t) konvergir z neki s = x + iy td konvergir i z svki s = x + iy z koji vrijedi x > x. Dokz. Pretpostvimo d e st dg(t) konvergir z neki s. Td postoji sup u u< e st dg(t) p tvrdnj slijedi direktno iz Teorem 2.1.1 Ko posljedicu ovog korolr možemo zključiti d ko integrl e st dg(t) (2.2) divergir z neki s C, ond divergir u svkoj točki s C z koju je Re(s) Re(s ). Stog, zbog Korolr 2.1.2 i komentr o divergenciji, prem ([9]) rzlikujemo tri slučj vezn uz područje konvergencije neprvog Lplce-Stieltjesovog integrl: 1. integrl konvergir z svki s C, 2. integrl ne konvergir ni z koji s C, 3. postoji β R tkv d z svki s C tkv d Re(s) > β integrl konvergir, z s C tkv d Re(s) < β integrl divergir. U trećem slučju, iz očitih rzlog,točku β R nzivmo pscisom konvergencije, prvc Re(s) = β nzivmo os konvergencije. Sljedeći teoremi govore o području konvergencije Lplce-Stieltjesovog integrl u slučju eksponencijlne omedenosti funkcije g. Teorem 2.1.3. ([9]) Nek je g(t) = O(e γt ) 1 z neki reln broj γ te nek je g ogrničene vrijcije n [, R], z svki R >. Td integrl konvegir z svki s C tkv d je Re(s) > γ. e st dg(t) 1 Nek su dne dvije funkcije f i g. Kžemo d je g(x) = O( f (x)) ko postoje konstnte C > i x > tkve d z svki x x vrijedi g(x) C f (x).

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 3 Dokz. Nek je g(t) = O(e γt ). To znči d postoje C > i t > tko d z svki t t vrijedi g(t) Ce γt. Iz tog slijedi e st g(t) Ce Re(s)t e γt, t [t, e st g(t) dt Ce (Re(s) γ)t dt e st g(t) dt C e (Re(s) γ)t dt e st g(t) 1 dt C Re(s) γ, z s C tkv d Re(s) > γ. Nime, rspisivnjem integrl s lijeve strne nejednkosti dobivmo e st g(t) R [ ] dt lim Ce (Re(s) γ)t limr e (Re(s) γ)r 1 dt = C +. R Re(s) γ Re(s) γ lim R e st dg(t) = lim R Z Re(s) > γ je lim R e (Re(s) γ)r =, odnosno neprvi integrl konvergir. S druge strne, z Re(s) < γ neprvi integrl divergir. Dkle, zključujemo d integrl e st g(t)dt konvergir psolutno z svki s C z koji vrijedi Re(s) > γ, time konvergir i obično. Ndlje, trebmo provjeriti konvergir li integrl e st dg(t) z tkve s C z koje je Re(s) > γ. Prcijlnim integrirnjem dobivmo R [ g(t)e st ] R se st g(t)dt R = lim R [ g(r)e sr g()e s] + s lim = g() + s lim R R e st g(t)dt R R e st g(t)dt Primijetimo d je lim R g(r)e sr = zbog tog što je g(t) = O(e γt ). Kko smo već pokzli d e st g(t)dt konvergir psolutno z s C z koje je Re(s) > γ, konvergir i obično što znči d postoji limes n desnoj strni jednkosti, p postoji i limes n lijevoj strni jednkosti te končno dobivmo e st dg(t) = s e st g(t)dt g(). Zključujemo d integrl e st dg(t) konvergir z svki s C, Re(s) > γ.

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 31 Teorem 2.1.4. ([9]) Obrtno, nek je funkcij g ogrničene vrijcije n [, R], z svki R >. Nek integrl e st dg(t) konvergir z neki s = γ + iδ, γ >. Td vrijedi kd t. g(t) = o(e γt ) 2, Dokz. Nek je s = γ + iδ C, γ >, ko u teoremu. Definirjmo funkciju z t,. Td je prem Teoremu 1.1.6 t β(t) := t e su dβ(u) = = e su dg(u), t t e su e su dg(u) dg(u) = g(t) g(). Prcijlnim integrirnjem integrl t esu dβ(u) dobivmo g(t) g() = β(u)e su t t = β(t)e st β() s = β(t)e st s t se su β(u)du t e su β(u)du e su β(u)du jer iz integrlne definicije funkcije β slijedi β() =. Pomnožimo li obje strne jednkosti s e st te pustimo lim t, dobivmo t ] lim [g(t) t g()]e st = lim [β(t) se st e su β(u)du t t ) = β( ) lim (se st e su β(u)du. t 2 Pišemo g(x) = o( f (x)), x, ko f (x) g(x) kd x.

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 32 Uočimo d je β( ) < po pretpostvci konvergencije u iskzu teorem, p končno dobivmo t ) lim [g(t) t g()]e st = lim (se st e su [β( ) β(u)]du. t Z s C tkv d je Re(s) = γ >, limes n desnoj strni jednkosti jednk je, p je lim [g(t) t g()]e st =, što ustvri znči d je kd t teži u. Zbog γ > immo g(t) = o(e γt ), kd t. g(t) g() = o(e γt ) Sljedeć dv teorem govore o nlitičnosti Lplce-Stieltjesovog integrl n domeni konvergencijie integrl. Teorem 2.1.5. ([9]) Nek je b. Nek je funkcij g ogrničene vrijcije n [, b]. Td je funkcij f (s) := nlitičk n C, te z njene derivcije vrijedi Dokz. Fiksirmo proizvoljn s C. Zpišimo e st u obliku sume, odnosno Td slijedi e st dg(t) f (k) (s) = ( 1) k e st t k dg(t), k N. f (s) = e st = ( st) n. n! n= e st dg(t) = ( st) n dg(t). n! Z fiksn s eksponencijlni red ko red funkcij vrijble t uniformno konvergir. Nime, oznčimo s S n (t) := n ( s) k t k k= prcijlne sume dnog red z fiksn s. k! n=

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 33 One su funkcije vrijble t definirne n segmentu [, b]. Štoviše, znmo d S n (t) uniformno konvergir po t [, b] funkciji sume S (t) = ( s) k t k k=. Td po Teoremu 6.19 iz k! ([4]) vrijedi S n(t)dt S (t)dt, n. Zbog tog, u nšem slučju vrijedi ( st) n ( s) n dg(t) = t n dg(t). n! n! Primijetimo d je n= t n dg(t) n= t n dv(g) t dt mx( n, b n )(V(g) b V(g) ) = mx( n, b n )V(g) b što slijedi iz svojstv (1.24) Stieltjesovog integrl, p je red u vrijbli s dominirn eksponencijlnim redom te konvergir uniformno n kompktim u C. Po Weierstrssovom M-testu (vidjeti u ([6])) funkcij f je nlitičk n C. Kko niz nlitičkih funkcij uniformno konvergir n kompktim, po istom teoremu smijemo derivirti čln po čln te z derivcije funkcije f dobivmo: odnosno f (k) (s) = f (k) (s) = n=k s n k (n k)! ( t) n dg(t), e st ( t) k dg(t) = ( 1) k e st t k dg(t). Teorem 2.1.6. ([9]) Nek je g ogrničene vrijcije n [, R], z svki R >. Nek integrl e st dg(t) konvergir z svki s C tkv d je Re(s) > β <. Td je funkcij f (s) = e st dg(t) nlitičk n C z Re(s) > β te vrijedi Dokz. Pretpostvimo d integrl f (k) (s) = e st ( t) k dg(t). e st dg(t) (2.3)

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 34 konvergir z svki s C tkv d je Re(s) > β <. Nek je s proizvoljn točk iz polurvnine u kojoj integrl (2.3) konvergir. Postoji ztvoren krug K koji se nlzi u polurvnini konvergencije integrl (2.3), točk s pripd krugu K. Može se pokzti (vidjeti Teorem 4.3 u ([9])) d integrl (2.3) konvergir uniformno po s u krugu K. Funkciju f možemo zpisti u obliku red: n+1 f (s) = e st dg(t), n= n koji po prethodnom konvergir uniformno n K. Ndlje, prem Teoremu 2.1.5 svki čln red je nlitičk funkcij n C, on konvergir uniformno n kompktnim krugovim K u polurvnini konvergencije, p možemo primijeniti Weierstrssov M-test te zključiti d je funkcij f nlitičk n C z Re(s) > β. Po istom teoremu smijemo derivirti čln po čln te z derivcije funkcije f dobivmo: Lplceov trnsformcij f (k) (s) = e st ( t) k dg(t). Z s C z koje integrl e st dg(t) konvergir, definir funkciju F vrijble s koju nzivmo Lplce-Stieltjesovim trnsformtom funkcije g. Ako je z funkciju f : [, + C, funkcij F definirn ko F(s) := e st f (t)dt nzivmo je Lplceovim trnsformtom funkcije f. Funkcije f i g nzivt ćemo originlom. U dljnjem tekstu bvit ćemo se Lplceovom trnsformcijom, dok Lplce-Stieltjesov trnsformcij im mnog sličn svojstv. Sm vez Lplceove i Lplce-Stieltjesove trnsformcije dn u Teoremu 1.1.4. U prethodnim teoremim pokzli smo područje konvergencije Lplce-Stieltjesove trnsformcije neke funkcije. Definicij 2.1.7. ([7]) Nek je f kompleksn funkcij relne vrijble t, t >, te nek je s C. Lplceov trnsformt funkcije f, u oznci L f (s), definirmo ko funkciju kompleksne vrijble s dnu s L f (s) = z s C z koje limes postoji. T e st f (t)dt = lim e st f (t)dt, (2.4)

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 35 Npomen 2.1.8. Primijetimo d je u definiciji funkcij f općenito kompleksn funkcij relne vrijble, f : [, + C. Medutim, stvljnjem f (t) = f 1 (t) + i f 2 (t) u (2.4) i rstvljnjem integrl n dv integrl, u nstvku ćemo bez smnjenj općenitosti pretpostviti d je f : [, + R reln funkcij jedne relne vrijble. Iz definicije možemo zključiti d je Lplceov trnsformt funkcije definirn z one vrijednosti s C z koje neprvi integrl konvergir. U suprotnome, z s C z koje neprvi integrl divergir, Lplceov trnsformt nije definirn. Prisjetimo se, kžemo d neprvi integrl e st f (t)dt konvergir psolutno ko postoji limes T lim e st f (t) dt. Apsolutn konvergencij povlči običnu konvergenciju jer z T > T vrijedi T T e st T f (t)dt e st f (t)dt što teži u nulu kd T p prem Cuchy-evom kriteriju zključujemo d integrl konvergir obično. D bismo osigurli konvergenciju integrl, smim time i postojnje Lplceovog trnsformt dne funkcije, potrebno je usmjeriti pžnju n odbir domene kojoj pripd s C. U teoremim ispod nvodimo dovoljne uvjete, vezne uz eksponencijlni rst originl, z postojnje Lplceovog trnsformt. Prije tog nvodimo neke osnovne definicije potrebne u iskzu teorem. T Definicij 2.1.9. ([7]) Kžemo d funkcij f : R R im skok u točki t = t ko u R postoje lijevi i desni limes funkcije f u točki t R te ko su oni rzličiti, točnije, ko z lim t t f (t) := f (t ), vrijedi f (t ) f (t+ ). lim t t + f (t) := f (t + ) Definicij 2.1.1. ([7]) Kžemo d je funkcij f : [, + R po dijelovim neprekidn n intervlu [, ko:

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 36 1. postoji desni limes u točki t = u skupu relnih brojev koji oznčvmo s f ( + ) ili lim t + f (t) 2. funkcij f je neprekidn n svkom segmentu [, b], b >, osim u končno mnogo točk x 1, x 2,..., x n segment, u kojim funkcij im skok. Iz drugog uvjet po dijelovim neprekidne funkcije slijedi d je dn funkcij f omeden n svkom od intervl, x i, x 1, x 2,..., x n 1, x n. Specijlno f (t) M, t, x 1. Definicij 2.1.11. ([7]) Kžemo d je funkcij f : [, R eksponencijlnog rst ko postoje konstnte M > i α R tkve d z neki t vrijedi f (t) Me αt, t t. Infimum skup svih konstnti α koje zdovoljvju nejednkost, ukoliko je rzličit od, nzivmo eksponentom rst funkcije f te oznčvmo s α. Teorem 2.1.12. ([7]) Nek je funkcij f : [, R po dijelovim neprekidn s eksponentom rst α R. Td, z s C tkve d je Re(s) > α, Lplceov trnsformt L f (s) funkcije f postoji. Štoviše, z tkve s C integrl konvergir psolutno. e st f (t)dt Dokz. Nek je s C tkv d Re(s) > α. Td postoji konstnt α tkv d je Re(s) > α > α. Osim tog, postoji t > i konstnt M tkv d vrijedi f (t) Me αt, t t. (2.5) Td immo e st f (t) dt = e st f (t) dt

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 37 iz čeg zbog (2.5) slijedi e st f (t) dt e Re(s)t Me αt dt = = M Dkle, z Re(s) > α > α vrijedi e (Re(s) α)t dt = M lim e (Re(s) α)t Mdt R R R 1 = M lim R Re(s) α e (Re(s) α)t [ ( ) 1 = M lim R Re(s) α e (Re(s) α)r M = Re(s) α. e st f (t) dt M Re(s) α <, e (Re(s) α)t dt ( lim R )] 1 Re(s) α e iz čeg zključujemo d integrl e st f (t)dt konvergir psolutno, p konvergir i obično. Stog je Lplceov trnsformt definirn z s C z koje vrijedi Re(s) > α. Tkoder, z funkciju koj zdovoljv uvjete Teorem 2.1.12, Lplceov integrl konvergir uniformno z s C z koje Re(s) > α. Pokžimo to. Uzmimo funkciju f po dijelovim neprekidnu n intervlu [, s eksponentom rst α ko u Teoremu 2.1.12. Uzmimo s C tkv d Re(s) > α. Td postoji α tkv d Re(s) > α > α. Td prem definiciji eksponent rst postoje M > i R > tko d vrijedi f (t) Me αt, t R. Immo R e st f (t)dt R R e Re(s)t f (t) dt e Re(s)t Me αt dt = M e (Re(s) α)t dt R [ 1 = M Re(s) α e (Re(s) α)t = Me (Re(s) α)r Re(s) α. R ]

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 38 Ndlje, nek je x tkv d Re(s) x > α. Td je Me (Re(s) α)r Re(s) α Me (x α)r x α. (2.6) Zto z svki ɛ > postoji R tkv d z sve vrijednosti s C z koje je Re(s) x > α vrijedi e st f (t)dt < ɛ. Time je zdovoljen uvjet uniformne konvergencije. R 2.2 Osnovni primjeri Nkon što smo definirli Lplceov trnsformt i nveli dovoljne uvjete njegovog postojnj, nrednim primjerim prikzt ćemo postupk odredivnj Lplceovog trnsformt osnovnih funkcij koje ćemo koristiti pri rješvnju diferencijlnih jedndžbi u ksnijem poglvlju. U rčunim odmh odredujemo i područje definicije trnsformt, ko područje postojnj pripdnog neprvog integrl. Kko je z definiciju Lplceove trnsformcije bitn smo intervl [, +, možemo pretpostviti d su sve nše funkcije identički jednke z t <. Definicij 2.2.1. ([2]) Hevisideov step funkcij 3 ili skrćeno jediničn step funkcij definir se ko, t < H(t) = 1, t Primijetimo d je Hevisideov funkcij zprvo jediničn funkcij kd stvimo f (t) =, z t <. 3 Funkcij je dobil ime prem Oliveru Hevisideu (185.-1925.)

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 39 Primjer 2.2.2. Odredimo Lplceov trnsformt Hevisideove funkcije. Rčunmo po definiciji: L f (s) = = e st 1dt e st dt T = lim e st dt. Pokzujemo d z s C, s, vrijedi: e st dt = e st s + C, C C. (2.7) Koristeći definiciju kompleksne eksponencijlne funkcije: e x+iy = e x (cosy + isiny), dobivmo: e st dt = e xt e iyt dt = e xt [ cos(yt) i sin(yt) ] dt = e xt cos(yt)dt i e xt sin(yt)dt [ = e xt y sin(yt) x cos(yt) ] [ ] + i e xt x sin(yt) y cos(yt) x 2 + y 2 x 2 + y 2 = e xt [ [ ]] y sin(yt) x cos(yt) + i x sin(yt) y cos(yt). x 2 + y 2 S druge strne, e st s Time smo dokzli = e (x+iy)t e xt x + iy = e iyt [ x + iy = e xt cos(yt) i sin(yt) ] x iy [ x + iy x iy = e xt cos(yt) i sin(yt) ] (x iy) x 2 + y 2 = = e xt [ ] ( cos(yt) + i sin(yt)) (x iy) x 2 + y 2 e xt x 2 + y 2 [ y sin(yt) x cos(yt) + i [ x sin(yt) y cos(yt) ]]. e st dt = e st s.

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 4 Končno odredimo Lplceov trnsformt funkcije f : T L f (s) = lim e st dt = lim e st T s = lim ( e st s ( e st = lim = 1 s, s + 1 s ) ) 1 + lim s z Re(s) > jer lim e st = lim e Re(s)T =. Z Re(s) < integrl divergir jer lim e st = +. Končno, z Re(s) = je s = iy, y R, p rčunmo T lim T T e iyt dt = lim cos(yt)dt + i lim sin(yt)dt, što se vidi d divergir z svki y R. Dkle, z f (t) = 1, t > je L f (s) = 1, s C, Re(s) >. s Primjer 2.2.3. Odredimo Lplceov trnsformt funkcije identitete f (t) = t, t. Prcijlnim integrirnjem dolzimo do L f (s) = lim e st t dt = lim [ 1s T T ( te st 1 ) ] e st dt s = lim [ Ts e st 1s T] 2 e st = lim ( Ts e st 1s 2 e st + 1s ). 2 T Z Re(s) > prv dv čln teže u nulu te ostje 1 s 2. Z Re(s) < te z Re(s) =, tj. s = iy, y R, izrz divergir. Stog je L(id)(s) = 1, s C, Re(s) >. s2

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 41 Prethodni rezultt možemo generlizirti u obliku korolr. Korolr 2.2.4. ([2]) Lplceov trnsformt funkcije f (t) = t n, n >, jednk je s C tkv d Re(s) >. L(t n )(s) = n! s n+1, Dokz. Kko bismo dokzli tvrdnju primijenit ćemo mtemtičku indukciju. Zpišimo rekurzivnu formulu z odredivnje Lplceovog trnsformt funkcije f (t) = t n, n N. Primjenom definicije prcijlne integrcije dobivmo: L(t n )(s) = t n e st dt = lim [ tns T e st + = lim ( T ) n s e st T nt n 1 + n s lim s ( T ] e st dt ) t n 1 e st dt Dkle, L(t n )(s) = n s L(tn 1 )(s), (2.8) z Re(s) >, dok se z Re(s) može, slično ko i prije, pokzti divergencij integrl. Već smo prije pokzli d z n = vrijedi: Prem (2.8), z n = 1 vrijedi: s C, tkv d Re(s) >. Pretpostvimo sd d vrijedi L(1)(s) = 1, s C, Re(s) >. s L(t)(s) = 1 s L(1)(s) = 1 s 1 s = 1 s 2, Td po (2.8) slijedi: L(t n )(s) = n!, s C, Re(s) >. sn+1 L(t n+1 )(s) = n + 1 L(t n )(s), s C, Re(s) >, s

POGLAVLJE 2. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 42 odnosno L(t n+1 )(s) = n + 1 n! s s n+1 (n + 1)! =, s C, Re(s) >. s n+2 Primjer 2.2.5. Odredimo Lplceov trnsformt funkcije f (t) = e αt, t, α R, α. Rčunmo: T L(e αt )(s) = lim e αt e st dt T = lim e (s α)t dt = lim e (s α)t T s α = lim ( e (s α)t ( e (s α)t = lim = 1 s α, ) s α + e (s α) s α ) + 1 s α s α z s C z koji je Re(s) > α. U suprotnome integrl divergir te Lplceov trnsformt nije definirn. Primjer 2.2.6. Odredimo Lplceov trnsformt funkcije f (t) = e iωt, ω R, ω. Rčunmo po definiciji: L(e iωt )(s) = e (s iω)t dt ( T ) = lim e (s iω)t dt = lim e (s iω)t T s iω ) = lim ( e (s iω)t s iω + 1 s iω ) = lim ( e (s iω)t 1 + s iω s iω.