Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0

Транскрипт

1 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

2 Definicija Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija na segmentu [a, b] R. Svaki kompleksni broj ξ, koji je rješenje jednadžbe nazivamo nultočkom funkcije f. f (x) = 0, Ograničimo se na realne nul-točke ξ R : f (ξ) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

3 Definicija Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija na segmentu [a, b] R. Svaki kompleksni broj ξ, koji je rješenje jednadžbe nazivamo nultočkom funkcije f. f (x) = 0, Ograničimo se na realne nul-točke ξ R : f (ξ) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

4 Definicija Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija na segmentu [a, b] R. Svaki kompleksni broj ξ, koji je rješenje jednadžbe nazivamo nultočkom funkcije f. f (x) = 0, Ograničimo se na realne nul-točke ξ R : f (ξ) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

5 Teorem 1 Neka je funkcija f neprekidna na intervalu I = [a, b] te neka na rubovima intervala prima suprotne vrijednosti (tj. neka je f (a) f (b) < 0), onda postoji barem jedna točka ξ I, za koju vrijedi f (ξ) = 0. Nadalje ako je, prva derivacija f stalnog predznaka na intervalu I, onda je to i jedina nultočka funkcije f na intervalu I. D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

6 Postupak traženja realne nul točke: 1 Separirati interval I = [a, b], u kome funkcija f ima nultočku: f (a)f (b) < 0; 2 Nekom iterativnom metodom odrediti aproksimaciju nultočke ξ s unaprijed zadanom točnošću Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

7 Postupak traženja realne nul točke: 1 Separirati interval I = [a, b], u kome funkcija f ima nultočku: f (a)f (b) < 0; 2 Nekom iterativnom metodom odrediti aproksimaciju nultočke ξ s unaprijed zadanom točnošću Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

8 Postupak traženja realne nul točke: 1 Separirati interval I = [a, b], u kome funkcija f ima nultočku: f (a)f (b) < 0; 2 Nekom iterativnom metodom odrediti aproksimaciju nultočke ξ s unaprijed zadanom točnošću Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

9 Neka je I = [a, b] interval u kome se nalazi jedinstvena nultočka neprekidne i dovoljno glatke funkcije f za koju je f (x) 0, x I. Izaberimo početnu aproksimaciju x 0 I i razvijmo funkciju f u Taylorov red u okolini točke x 0 i zadržimo se na linearnom članu: f 1 (x) := f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) Jednadžba tangente na graf funkcije u točki (x 0, f (x 0 )) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

10 Neka je I = [a, b] interval u kome se nalazi jedinstvena nultočka neprekidne i dovoljno glatke funkcije f za koju je f (x) 0, x I. Izaberimo početnu aproksimaciju x 0 I i razvijmo funkciju f u Taylorov red u okolini točke x 0 i zadržimo se na linearnom članu: f 1 (x) := f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) Jednadžba tangente na graf funkcije u točki (x 0, f (x 0 )) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

11 Neka je I = [a, b] interval u kome se nalazi jedinstvena nultočka neprekidne i dovoljno glatke funkcije f za koju je f (x) 0, x I. Izaberimo početnu aproksimaciju x 0 I i razvijmo funkciju f u Taylorov red u okolini točke x 0 i zadržimo se na linearnom članu: f 1 (x) := f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) Jednadžba tangente na graf funkcije u točki (x 0, f (x 0 )) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

12 x f (x) x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

13 x f (x) x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

14 x f (x) x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

15 x f (x) x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

16 x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,..., (x n ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

17 Teorem 2 Neka funkcija f : I R ima neprekidnu drugu derivaciju na intervalu I = [a, b]. Neka je nadalje, f (a) f (b) < 0, a prva (f ) i druga (f ) derivacija funkcije f na intervalu I imaju stalan predznak. Tada, ako je x 0 I izabran tako da bude f (x 0 ) f (x 0 ) > 0, niz definiran s x n+1 = x n f (xn) f konvergira prema jedinstvenom rješenju ξ jednadžbe f (x) = 0. (xn) Pri tome vrijedi ocjena pogreške aproksimacije ξ x n M 2 2m 1 (x n x n 1 ) 2, gdje je m 1 = min x I f (x), M 2 = max x I f (x), a metoda ima kvadratnu brzinu konvergencije, tj. vrijedi ξ x n+1 M 2 2m 1 (ξ x n) 2. Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

18 R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000 D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, R. Plato, Concise Numerical Mathematics, American Mathematical Society, Providence, Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

19 R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000 D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, R. Plato, Concise Numerical Mathematics, American Mathematical Society, Providence, Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

20 Primjer 1. S točnošću ɛ = (4 signifikantne decimale) treba odrediti pozitivnu nultočku funkcije f (x) = e x + x x e x + x 2 2 x e x x 2 x Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

21 Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

22 Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

23 Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

24 Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

25 Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

26 Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

27 n x n g 0 f (x n ) Tablica 1 Tijek iterativnog procesa Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0

28 D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, R. Plato, Concise Numerical Mathematics, American Mathematical Society, Providence, R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0