Mtemtički fkultet Univerzitet u eogrdu Mster rd Trougo u nstvi mtemtike u osnovnoj i srednjoj školi Mentor: Student: Do. dr Srdjn Vukmirović Drgn Despotović 1048/2014 eogrd, 2015.
Sdržj Uvod 2 1 Osnovn škol 5 1.1 Prvi rzred.............................. 5 1.2 Treći rzred.............................. 6 1.3 Šesti rzred.............................. 7 1.3.1 Pojm, elementi i vrste................... 7 1.3.2 Unutršnji i spoljšnji uglovi................ 9 1.3.3 Podudrnost......................... 11 1.3.4 Uglovi i strnie....................... 15 1.3.5 Nejednkost trougl..................... 17 1.3.6 Konstrukije......................... 18 1.3.7 Znčjne tčke trougl.................... 23 1.3.8 Površin trougl....................... 26 1.4 Sedmi rzred............................. 28 1.4.1 Pitgorin teorem...................... 28 1.4.2 Primen Pitgorine teoreme................. 29 1.4.3 Sličnost trouglov...................... 33 1.5 Osmi rzred.............................. 35 2 Srednj škol 37 2.1 Prvi rzred.............................. 37 2.1.1 Dokz Pitgorine teoreme pomoću sličnosti........ 38 2.1.2 Trigonometrij prvouglog trougl............. 38 2.2 Drugi rzred............................. 40 2.3 Treći rzred.............................. 46 2.3.1 Heronov formul....................... 47 2.3.2 Površin trougl preko koordint............. 48 3 Zključk 50 1
Uvod Mtemtik ko nuk i prvi mtemtički pojmovi rzvijli su se i izgrdivli s opštim rzvojem ivilizije [14]. Prelskom iz primitivne ljudske zjednie n orgnizovne forme, s nomdskog nčin život n život u stlnim nseljim, pojvil se potre z izgrdnjom ojekt z život čovek, p smim tim i interes z geometriju. Ti su ojekti rdeni u oliku odredenih figur i z njihovu izgrdnju ilo je neophodno poznvti tkve figure i umeti meriti njihove elemente. Sve ovo io je početk z dlji rzvoj geometrije, poseno u vezi s merenjem dužin i površin. Prvi pisni trgovi, n osnovu kojih se pouzdno može govoriti o stepenu rzvoj geometrije u odredenom periodu, potiču iz vremen drevnih ivilizij Vvilon, Egipt i Kine iz vremen oko 2000. godine p.n.e. ili su pisni n glinenim tlim, ppirusim ili n korm od drvet. Iz njih sznjemo d su stre ivilizije imle rzvijene sisteme rčunnj i merenj s osnovom 60, d su poznvli mnoge elemente stronomije, prvili tlie množenj i deljenj, znli su d rešvju linerne i kvdrtne jednčine i njihove sisteme, d rčunju površine i zpremine mnogih geometrijskih figur, u njihovim glinenim tlim sreće se više primer Pitgorinih trojki rojev, što znči d su ili upoznti s osoinom prvouglih trouglov koj je ksnije sročen u Pitgorinoj teoremi. Sznnj o trouglovim usvršvn su vekovim i primenjivn u prksi. Trougo susrećemo kod prvih ivilizij. Zdi o trouglu se nlze u ppirusim iz Egipt, u indijskim knjigm, ko i drugim strim rukopisim. Egipćni su znli konstruisti prv ugo pomoću trougl čije su strnie sčinjene od užet, dužine 3, 4 i 5. Tj poso su ovljli geometri, koji su se zvli hrpendonpti, ztezči užet. Egipćni su smtrli d trougo s strnim dužine 3, 4 i 5 im tjnovitu moć, te su u hrmovim i pirmidm grdili prostorije tko d se njihov visin, širin i dužin odnose ko ti rojevi. Izrčunvli su površinu trougl ko polovinu proizvod osnovie i njene visine. Ovo prvilo je ilo poznto i Vvilonim. Sv sznnj o trouglovim koj potiču od egiptske i vvilonske ivilizije su u funkiji prktičnih i konkretnih zdtk. Učenj o trouglu pojvil su se u Jonskoj školi u 7. veku p.n.e. čiji je osnivč Tles, ztim kod Pitgore. Gri su se veom rno počeli znimti z svojstv trougl ko što su, n primer, jednkost uglov n osnovii jednkokrkog trougl, zir uglov u trouglu itd. Teorem o ziru uglov u trouglu dugo se smtrl jednom od njvžnijih teorem. On se pripisuje Pitgori, iko neki istoričri geometrije tvrde d je il poznt i Tlesu, koji je orveći u Egiptu upozno metode z premervnje zemljišt, usvršio ih i do im olik sistemtskog teorijskog znnj. Euklid je sistemtizovo znnj o trouglu. Od njeg potiče podel trouglov n jednkostrnične, jednkokrke i rznostrnične. Euklid deli trouglove 2
i prem vrsti uglov n prvougle i kosougle, kosougle n oštrougle i tupougle. Euklid je u Elementim izložio tri stv o podudrnosti trouglov, dok se četvrti stv pojvljuje tek u 18. veku kod mtemtičr Volf. U prvoj knjizi Element se po prvi put sistemtski izlžu zdi o osnovnim geometrijskim konstrukijm. Jedn od njpozntijih teorem u istoriji mtemtike je Pitgorin teorem. Smtr se d je prvi dokz ove teoreme do Pitgor. Prem legendi on je u znk zhvlnosti što je dokzo teoremu ogovim prineo stotinu volov. Do dns su poznti mnogi njeni dokzi. Pozntiji dokzi ove teoreme potiču od rpskih mtemtičr hskre i Omr Hjm. Interesntno je d jedn dokz ove teoreme potiče i od meričkog predsednik Jmes rm Grfild. Euklid prvu knjigu Element zvršv dokzom Pitgorine teoreme. Trougo zuzim znčjno mesto u izučvnju u školi. S trouglom se učenii prvi put upoznju n smom početku svog školovnj. Izučvnje trougl se n rzličitim nivoim nstvlj tokom elog školovnj. U rdu su metodički prikzni osnovni pojmovi i osoine trougl s posenim osvrtom n postojeće plnove i progrme nstve mtemtike u osnovnoj i srednjoj školi. Ztim sm te osoine povezl s drugim olstim ko što su trigonometrij, podudrnost i sličnost. Sv sdržj sm smestil u kontekst nstvnih plnov i progrm i istkl n kom se nivou koji sdržj može ordivti. U rdu se vim isključivo osoinm trougl, primerim iz život i škole, teoremm i njihovim dokzim. Prilikom pisnj, koristil sm se zvničnim plnovim Zvod z unpredivnje orzovnj i vspitnj, ko i udženiim izdvčkih kuć Klett, Nov škol, Služeni glsnik, Eduk, Zvod z udženike i pojedinim pristupčnim sjtovim koje sm nvel u literturi. Zpžm d je grdivo u udženiim z osnovnu školu više zirno n zdim i ilustrtivnim primerim, mnje n teoriji. Teorij se mnje jvlj i uglvnom je zstupljen u oliku definiij, ojšnjenj, itnih teorem, od kojih se smo pojedine dokzuju i to n nivou predvidenom z deu ovog uzrst. Z rzliku od osnovne škole, udženii z srednju školu su više zirni n teoriji. Teoreme koje se nvode se uglvnom dokzuju. Pojvljuje se i veliki roj, primer li s mnogo mnje ilustrij nego u osnovnoj školi. U rdu su ouhvćene osnovne teme predvidene plnom i progrmom, li im još puno znimljivih dodtnih tem veznih z trougo. One su dore z dodtnu nstvu, tkmičenj i speijlne srednje škole. U prvoj glvi Osnovn škol izlžem teoriju i primere n temu trougl koji se rdi u osnovnoj školi. Uvidom u progrme vidimo d se trougo izučv u prvom, trećem, šestom, sedmom i osmom rzredu, odgovrjuće grdivo je opisno u poglvljim ove glve. Nopominjem d se geometrij trougl njviše rdi u šestom rzredu. U drugoj glvi Srednj škol tkode izlžem teoriju i primere n temu trougl koji se rdi u srednjoj školi. Uvidom u progrme vidimo d se trougo 3
rdi u prvom, drugom i trećem rzredu, grdivo koje se orduje je opisno u poglvljim ove glve. Zpžm d je geometrij trougl mnogo mnje zstupljen u srednjoj školi nego u osnovnoj školi. Njmnje se jvlj u trećem rzredu, gde se smo spominje, dok je njviše zstupljen u prvom rzredu. U glvi Zključk prikzn su iskustv utor iz perspektive nstvnik u osnovnoj školi, ko i mišljenj drugih koleg. Ovim rdom želim izrziti veliku zhvlnost ljudim koji su omogućili d se on ostvri. Ogromnu zhvlnost dugujem svojim roditeljim n stlnoj podrši, kko finnsijskoj, tko i psihološkoj tokom izrde ovog rd. Zhvljujem se mentoru prof. dr Srdnu Vukmiroviću n predloženoj temi, n strpljenju i pomoći tokom njegove izrde. Zhvljujem se i člnovim komisije prof. dr Miroslvi ntić i prof. dr Tijni Šukilović n korisnim svetim i sugestijm. U pripremi tekst koristil sm softwre L TEX i WinGL z izrdu rtež. 4
1 Osnovn škol 1.1 Prvi rzred Progrm prvog rzred ouhvt predmete u prostoru i odnose medu njim, geometrijske olike, prirodne rojeve do 100, merenje i mere. Olst geometrijski olii se odnosi n upoznvnje učenik s osnovnim geometrijskim oliim u rvni medu koje spd i trougo. Učenii tre d znju d imenuju geometrijske olike u rvni i uočvju odnose dv geometrijsk olik. U ovoj olsti tre insistirti i n preiznosti i dorom definisnju pojmov, ne u smislu učenj definiij npmet nego kompletnom rzumevnju osnovnih pojmov, d i se lkše usvojili pojmovi, koji se proučvju u sledećim rzredim. Postoje rzličite metode pomoću kojih se dei ovog uzrst može n vrlo interesntn nčin priližiti pojm geometrijskih olik. Istrživnj su pokzl d učenii ovog uzrst njolje uče d rspoznju geometrijske olike kroz učenje pesmi o odredenom geometrijskom oliku, rtnje, ojenje, formirnje olik od drvenih štpić, i tome slično. Uglvnom, sve to zvisi od smog nstvnik, njegove kretivnosti i domišljenosti. Sledeće pesmie koriste pojedini nstvnii u prksi kko i učenii uspeli d prepoznju geometrijski olik trougl [12]. Svki trougo im strnie tri, im strnie tri, im strnie tri, Tu je jedn, drug, treć, zist je tko, prepoznti trougo meni š je lko. Trougo, trougo, im strnie tri, d je toliko i uglov to znju š svi. ko neko ne veruje, može sm d roji, trougo se ne kotrlj, uvek mirno stoji. Pored učenj i zjedničkog ponvljnj pesmi, osmišljeno je i nekoliko interesntnih igri koje su korisne u proesu usvjnj pojm trougl kod dee. Grup od troje dee se postvi d stoje tko d predstvljju temen trougl. Prvom detetu se d klupko, dok drži krj knp, im z zdtk d zkotrlj klupko do drugog detet, drugo do trećeg, treće d vrti klupko n mesto odkle je igr počel. Kd je klupko u rukm prvog detet, predočeno im je d su formirli trougo. Neki nstvnii koriste i druge metode. Osnovni geometrijski ojekti (trougo, krug, prvougonik i kvdrt) nprvljeni od krton rznih oj stve se u kutiju i od dee se trži d prondu trougo. Ovo je veom koristn nčin kko d učenii rzlikuju trougo od ostlih geometrijskih figur. 5
Nkon izučvnj geometrijskih figur u ovom uzrstu od učenik se očekuje d znju d prepoznju geometrijsku figuru, d znju skoro definiiju te figure, prepoznju druge ojekte iste ktegorije i prepoznju krkeristike ktegorij ovih ojekt. 1.2 Treći rzred Progrm trećeg rzred ouhvt rojeve do 1000, mere i merenje i geometriju. Trougo se u trećem rzredu izučv u okviru geometrije. U vezi trougl pžnj se posvećuje vrstim trouglov, rtnju trouglov i oimu. Priču tre početi podsećnjem učenik n trouglove, što se može lko urditi kroz jednostvn zdtk koji se zdje d smostlno rde. Zdtk 1. Dte su tri tčke u rvni, i. Nrtj duži koje odreduju te tčke. Kko se nziv nrtn figur? Rešenje. Učenii tre d dodu do zključk d kd spoje tčke, i dužim doiće trougo. Ovj zdtk može d ude jko koristn prilikom uvodenj novih pojmov veznih z trougo. Tre nglsiti d se tčke nvedene u prethodnom zdtku nzivju temen trougl, duži strnie trougl. Osnovni ilj je d se svldju svojstv geometrijske figure trougo i nuče št su elementi trougl jer će im to treti ko osnov z usvjnje novih pojmov. Veom je itno osposoiti učenike d prvilno rtju trougo koristeći lenjir i šestr, d se pri tome rzvije preiznost, tčnost i urednost u rtnju. rtnje trougl čije su strnie poznte može d ude dor primer d se uvedu vrste trouglov u zvisnosti od strni (rznostrnični, jednkokrki i jednkostrnični). Ono što je znimljivo u udženiim z treći rzred je zmen termin rznostrnični trougo terminom nejednkostrnični trougo. Nstvnik tre d ukže učeniim n o termin jer se dešv d rzličiti izdvči koriste rzličite nzive z ove vrste 6
trouglov. U vezi trouglov rdi se i njihov oim. Njpre tre ojsniti št predstvlj oim neke geometrijske figure. Dovoljno je reći d se oim trougl rčun tko što se seru dužine sve tri strnie. Lko je zključiti d je orz z izrčunvnje oim rznostrničnog trougl O = + +, jednkokrkog O = ++ i jednkostrničnog O = ++. Posle usvjnj grdiv o trouglovim može se stviti nekoliko primer koji ouhvtju proveru znnj stečenog u vezi trouglov. Sledeći primer je nmenjen d utvrdi u kojoj meri su učenii svldli elokupno grdivo vezno z trouglove, i on se može zdti n krju čs. Zdtk 2. Nrtj trougo čije su strnie 3m, 2m, 4m. Št su temen i strnie ovog trougl? Izrčunj oim ovog trougl. Rešenje. D i se izvršil konstrukij potreno je d učenii kod see imju šestr i lenjir. Koristeći se priorom, njpre tre nrtti jednu duž, npr. = 3m. Postoje dve mogućnosti z izor temen jedn od njih je u preseku kružni s entrom u tčki i poluprečnik 2m i s entrom u tčki i poluprečnik 4m. Temen ovog trougl su tčke, i. Strnie ovo trougl su duži,,. Oim se doij kd se seru dužine sve tri strnie tj. O = 3m+2m+4m = 9m. Interesntno je nkon ovog zdtk dei dti d nrtju trougo čije su strnie 6m, 2m, 3m. Nrvno, pošto nejednkost trougl ne vži, to je nemoguće, što tre prodiskutovti s učeniim. 1.3 Šesti rzred Progrm šestog rzred ouhvt ele rojeve, trougo, rionlne rojeve, četvorougo i površinu trougl i četvorougl. Njveći roj novih pojmov o trouglu se uvodi u šestom rzredu osnovne škole. Vezno z trougo rdi se pojm, elementi i vrste trougl, unutršnji i spoljšnji uglovi, podudrnost, uglovi i strnie, nejednkost trougl, konstrukije, znčjne tčke trougl i površin. 1.3.1 Pojm, elementi i vrste Ovdesevrlolkouočvkolikojevžnodsuučeniidorosvldligrdivo petog rzred. Ono što ih istkl vezno z ovj deo grdiv jeste doro upoznvnje s pojmom, elementim i vrstm proučvnih trouglov i njihovih imen koji su delom rdili u nižim rzredim, jer se dešv d učenii u osmom rzredu to ne znju, rzlog tome je što su ovj deo njverovtnije prerzo prešli i tu, po meni, suštinu nisu doro svldli. kent tre stviti n primene onog što je njitnije, p u zvisnosti od sposonosti učenik ponoso 7
zhtevti i odredene sitnie. Ne sme se dozvoliti d učenik ne svld detlje koji i mu treli u dljem životu. Judit ofmnje [6] je uoči prilz temi o uvodenju pojm trougl često zdvl učeniim ko zdtk d joj ojsne št podrzumevju pod trouglom. D i individuln mišljenj svih učenik u rzredu došl do izržj, odgovore n postvljeni zdtk i dvli pismeno, d jedni druge ne ometju svojim mišljenjim. Nkon tog učenii i pročitli svoje odgovore, gde i usledil detljn diskusij. N tj nčin i učenii postepeno stvrli utisk o tome št se podrzumev pod mtemtičkom definiijom. Ovo je dor primer pristup temi trougl posle čeg i trelo zhtevti d učenii dju preiznu definiiju. Definiij 1 Trougon linij je ztvoren izlomljen linij odreden s tri nekolinerne tčke. Trougo je geometrijski ojekt kog čine trougon linij i njen unutršnjost. Pojm unutršnjosti, koj je već pomenut u definiiji trougl je prilično jsn i oično se ne definiše. Strogo uvodenje ovog pojm je preteško z osnovnu školu. Ov definiij stvr detljnu sliku o pojmu trougl, što olkšv uvodenje osnovnih element trougl. D ismo dokzli nredne teoreme, tre uvesti sledeće pojmove u vezi trougl: - Temen; - Strnie; - Uglove; - Težišnu duž; - Težišnu liniju; - Visinu; - Opisnu kružniu; - Upisnu kružniu. Ono što je itno pomenuti je to d su neki od ovihpojmov u prvomitrećem rzredu osnovne škole ili korišćeni n intuitivnom nivou u nekoj meri, sd će iti strogo definisnisni. Nek je dt trougo. 8
Trougo koji odreduju nekolinerne tčke, i oeležvmo s. Tčke, i su temen trougl. Duži,, su strnie. Uglovi su,,. Ove uglove često nzivmo unutršnji uglovi trougl. Medijn (težišn duž) trougl je duž koj spj vrh s sredinom suprotne strnie trougl. Prv koj sdrži medijnu nziv se težišn linij trougl. Visin trougl je duž čij je jedn krjnj tčk teme tog trougl, drug podnožje normle iz tog temen n prvu n kojoj se nlzi nsprmn strni. Opisn kružni oko trougl je kružni kojoj pripdju sv tri temen trougl. Upisn kružni je kružni koj dodiruje sve tri strnie trougl. Od učenik se ne očekuje d prethodne definiije uče npmet. Dovoljno je d udu u stnju d kžu definiiju, pokzujući n slii, št je št i ojšnjvjući. O oznčvnju trougl, ivi i uglov, posen kent tre stviti n vrste trouglov u zvisnosti od jednkosti strni (jednkokrki, jednkostrnični i rznostrnični)iveličineuglov(oštrougli,tupougliiprvougli). Čestosedešv d veliki roj učenik osmog rzred pogreši u prepoznvnju vrst trouglov. To i trelo d se stlno pominje učeniim kko i što olje svldli ovj deo grdiv. 1.3.2 Unutršnji i spoljšnji uglovi Smu činjeniu d je zir unutršnjih uglovutrouglu 180 i zir spoljšnjih uglov u trouglu 360 učenii jko rzo usvoje, p po mom mišljenju ne tre insistirti n dokzu, nrvno tre dti krtk dokz li ne tre zhtevti od učenik d g znju. Ovezno tre ponoviti pojm opruženog ugl i n osnovu njeg lko izvoditi formule z zir unutršnjih i spoljšnjih uglov trougl. Dokzi teorem u poglvlju z šesti rzred mogu se nći u [3, 13]. Teorem 1 Zir unutršnjih uglov ilo kog trougl jednk je 180. Dokz. Nek je proizvoljn trougo. Postoji jedinstven prv p koj sdrži tčku i prleln je s prvom odredenom tčkm i. Oznčimo 9
s P i Q proizvoljne tčke prve p tkve d vži rspored P Q ( je izmedu P i Q). Td je P = α i Q = β, jer je p. Kko je P+ + Q = 180, zključujemo d je α+β +γ = 180. α P α β γ β Mnogo je itno istći dve jednostvne, li znčjne, posledie teoreme o ziru uglov u trouglu. Tvrdenje 1. Trougo može imti njviše jedn prv ugo. Dokz. ko i trougo imo dv prv ugl, ond i zir njegovih uglov io većiod 180, štoje nemoguće. N potpuno isti nčinse dolzi do istog zključk u sledećem tvrdenju. Tvrdenje 2. Trougo može imti njviše jedn tup ugo. Dokz. Dkle, ko i trougo imo dv tup ugl, ond i zir njegovih uglov io veći od 180, što je nemoguće. D ismo dokzli nrednu teoremu, mormo njpre dti definiiju, n koju ćemo se pozivti prilikom dokz. Tkode, d i definiij il upotpunosti rzumljiv, tre onoviti uporedne uglove, koje su učenii rdili u petom rzredu. Q 10
Definiij 2 Spoljšnji ugo trougl je ugo uporedn s nekim od uglov tog trougl. Teorem 2 Spoljšnji ugo trougl jednk je ziru dv njemu nesusedn unutršnj ugl tog trougl. Dokz. Pošto svkom uglu trougl odgovrju dv uporedn ugl, irmo jedn od njih. N slii s α 1, β 1, γ 1 redom su oznčeni spoljšnji uglovi koji su uporedni uglovim α, β, γ ovog trougl. γ 1 γ α β β 1 α 1 Kko je α + α 1 = 180, β + β 1 = 180, γ + γ 1 = 180, α + β + γ = 180, zključujemo d su tčne i sledeće jednkosti: α 1 = 180 α = β + γ, β 1 = 180 β = α+γ, γ 1 = 180 γ = α+β. Teorem 3 Zir sv tri spoljšnj ugl u proizvoljnom trouglu jednk je 360. Dokz. Dokz je vrlo jednostvn i poziv se n prethodne dve teoreme. ko su α, β, γ unutršnji i α 1, β 1, γ 1 spoljšnji uglovi, td iz činjenie d je spoljšnji ugo jednk ziru dv njemu nesusedn ugl i d je zir uglov u trouglu jednk 180, zključujemo d vži: α 1 +β 1 +γ 1 = (β +γ)+(γ +α)+(α+β) = 2(α+β +γ) = 2 180 = 360. 1.3.3 Podudrnost U okviru podudrnosti trouglov rde se stvovi podudrnosti. Ovj deo geometrije gledno iz ugl učenik i nstvnik je vrlo težk učeniim z rzumevnje, p mu tre posvetiti više pžnje. Iskustvo s učeniim je pokzlo d se prolem jvlj kod primene stvov podudrnosti, kd koji stv tre koristiti. Zog tog tre rditi n tome d se prvenstveno doro rzumeju stvovi podudrnosti i kroz što više primer rzvije osećj kd koji stv tre primeniti. 11
Tre npomenuti d postoje četiri osnovn stv podudrnosti koj oznčvmo s SSS, SUS, USU, SSU. Stv (SSS) Dv trougl su podudrn ko i smo ko su strnie jednog trougl jednke strnim drugog. Stv (SUS) Dv trougl su podudrn ko i smo ko su dve strnie jednog trougl i ugo koje one orzuju jednke odgovrjućim strnim i uglu drugog trougl. Stv (USU) Dv trougl su podudrn ko i smo ko imju jednku po jednu strniu i o ugl nlegl n tu strniu. Stv(SSU) Dvtrouglsupodudrnkoismokoimjujednkedvestrnie i jednke uglove nsprm jedne od njih, uglovi nsprm drugog pr strni morju iti o oštr ili o prv ili o tup. Vžno je istći d je uslov z pr uglov nsprm drugog pr strni u stvu (SSU) neophodn. O tome nm govori sledeći primer. Zdtk 3. Nek je dt trougo tkv d je = i nek je P proizvoljn tčk strnie. Proveriti d li su trouglovi P i P podudrni. Rešenje. Kko je u zdtku dto d je =, dti trougo je jednkokrk, p su mu uglovi kod temen i podudrni. Trouglovi P i P ispunjvju uslov d imju jednke dve strnie = i P = P i = li ne ispunjvju uslov d su uglovi nsprm pr strni i o oštr ili o prv ili o tup, p trouglovi P i P nisu podudrni. Stvovi podudrnosti trouglov nm omogućvju ne smo d utvrdujemo podudrnosti nekih trouglov, već i d dokzujemo nov geometrijsk tvrdenj. Svko mtemtičko tvrdenje drugčije se nziv teorem. Nrvno, svk teorem zhtev i dokz. Nvedimo primer teoreme u čijem dokzu se koristi jedn od stvov podudrnosti. Teorem 4 ko jedn pr prlelnih prvih i seče drugi pr prlelnih prvih i d u tčkm,, i D: = {}, = {}, d = {D}, d = {}, ond je = D i = D. Dokz. 12
D d Posmtrmo D i D. S slike se vidi d vži: D = D (zjedničk strni), D = D (uglovi n trnsvezli), D = D (uglovi n trnsvezli). Iz prethodne tri jednkosti n osnovu stv (USU) D = D. Iz podudrnosti ov dv trougl sledi d je = D i D =. Pre dokz nredne teoreme tre uvesti pojm srednje linije trougl. Srednj linij trougl je duž koj spj središt dve strnie trougl. Osoine srednje linije trougl su veom itne i tre insistirti d ih učenii trjno zpmte. O tome nm govori sledeć teorem koju tre ispričti učeniim, ko su pojedini zinteresovni, nstvnik može ispričti sledeći dokz koji je jednostvn i rzumljiv z učenike tog uzrst. Teorem 5 Srednj linij trougl je prleln s nsprmnom strniom i dv put je krć od nje. Dokz. Nek je dt proizvoljn trougo i nek je 1 središte strnie. Kroz tčku 1 konstruišemo prve p i q koje su prlelne s strnim i. 13
p q 1 1 1 Primetimod prem prethodnojteoremi vžejednkosti 1 1 = 1 i 1 1 = 1, jer je 1 1 1 i 1 1 1. S slike se vidi d vže sledeće jednkosti: 1 = 1 ( 1 je središte duži ), 1 1 = 1 1 (uglovi n trnsvezli), 1 1 = 1 1 (uglovi n trnsvezli). Iz prethodne tri jednkosti n osnovu stv podudrnosti (USU) zključujemo d su trouglovi 1 1 = 1 1 iz njihove podudrnosti sledi d je 1 = 1 1 i 1 1 = 1. Iz jednkosti 1 1 = 1 i 1 1 = 1 sledi d je tčk 1 središte duži. Tkode iz jednkosti 1 1 = 1 i 1 1 = 1 sledi d je tčk 1 središte duži. Dkle, duži 1 1 i 1 1 su srednje linije dtog trougl i vže jednkosti 1 1 = 1 2 i 1 1 = 1 2. Jedn od posledi teoreme o srednjoj liniji je sledeć teorem o prvouglom trouglu. Teorem 6 Simetrle ktet ilo kog prvouglog trougl seku se u središtu hipotenuze. Dokz. Nek je proizvoljn prvougli trougo i nek je 1 središte hipotenuze. 14
q p 1 Prem teoremi o srednjoj liniji trougl, prv p koj sdrži središte hipotenuze i prleln je kteti mor d sdrži središte ktete. S druge strne, prv p je i norml n, jer je prleln s, = 90. Dkle, prv p je simetrl ktete. Slično se dokzuje d je prv q, koj sdrži središte hipotenuze i prleln je kteti, simetrl ktete. Dkle, oe simetrle ktet sdrže središte hipotenuze i teorem je dokzn. Z poslediu immo d je kod prvouglog trougl središte hipotenuze entr opisnog krug. 1.3.4 Uglovi i strnie U šestom rzredu se jvlj veliki roj teorem. Neke se dokzuju u udženiim, neke ne. Po mom mišljenju, učeniim tre dti dokze teorem koje se odnose n zir unutršnjih i spoljšnjih uglov u trouglu, teoreme koje govore o odnosu uglov i strni u trouglu i teoremu o nejednkosti trougl. Ove teoreme su veom itne u prktičnoj primeni n zdtke. Njihovi dokzi su lepi i pristupčni učeniim ovog uzrst. Teoreme koje govore o jedinstvenosti znčjnih tčk trougl tre smo formulisti, dokzi se mogu ispisti nprednijim učeniim. Teorem 7 Nsprm jednkih strni trougl nlze se jednki uglovi, i ornuto, nsprm jednkih uglov su jednke strnie. Dokz. Dt je. Vidi sliku. 15
Nek je =. Td je i =, p kko je = to iz stv podudrnosti (SSS) sledi =. Dkle =. Ornuto, ko je =, td prem stvu (USU) sledi podudrnost trouglov i otud i jednkost strni i. S pojmom jednkokrkog trougl učenii su se već upoznli. Ono što je itnodznjuoovojvrstitrougljedimdvejednkestrniekojesenzivju kri, treć strni je osnovi. N osnovu prethodne teoreme jednkokrki trougo im jednke uglove n osnovii. Kod jednkostrničnog trougl, prem istoj teoremi, sv tri unutršnj ugl su jednk. Teorem 8 Težišn linij koj odgovr osnovii jednkokrkog trougl istovremeno predstvlj visinu n osnoviu i simetrlu ugl pri vrhu. Dokz. Nek je D težišnlinij jednkokrkogtrougl, gde je = ko n slii. Po pretpostvi D = D svkko je D = D, p su trouglovi D i D podudrni po stvu (SSS). Otud je D = D, p je prv D simetrl ugl. Kko je D = D i njihov zir iznosi 180, to znči d su oni prvi, p je D visin. D Teorem 9 Nsprm veće strnie trougl nlzi se veći ugo i ornuto, nsprm većeg ugl trougl nlzi se već strni. Dokz. Nek je >, ko n slii ispod. Odredimo n strnii tčku D, tko d je D =. Trougo D je jednkokrk, p su uglovi D i D jednki, reimo uglu φ. Tčk D je izmedu i, p je krk D ugl D u uglu α, te je α > φ. Medutim, u trouglu D ugo φ je spoljšnji, p je φ > β. Iz tog α > β. Ornuto, nek je α > β. Td ne može iti =, jer i prem prethodnoj teoremi morlo iti α = β, ne može iti ni <, jer i prem prethodnom dokzu morlo iti β > α, što je suprotno s pretpostvkom. Dkle jedino moguće je >. 16
φ β φ D Primenjen n prvougli trougo, ov teorem kže d je njveć strni nsprm prvog ugl. On se nziv hipotenuz. Ostle dve strnie, koje su medusono normlne, nzivju se ktete prvouglog trougl. 1.3.5 Nejednkost trougl Teorem 10 (O nejednkosti trougl) ilo koj strni trougl mnj je od zir druge dve. Rzlik dve strnie trougl uvek je mnj od treće. Dokz. Dt je trougo. Vidi sliku. Tčk D je n produžetku prve, s strne i D = =. Td je D = +. Trougo D je jednkokrk, p je D = D, reimo φ. Uglovi u temenu su susedni te je D > φ, p u trouglu D immo D > D, i n osnovu prethodne teoreme sledi D >, tj. + >. Slično se dokzuje d je + > i + >. Dlje, nek je, n primer,. Td iz dokznih nejednkosti z zir strni, iz + > sledi > i >, iz + > sledi >. Direktn posledi ove teoreme je d je duž njkrće rstojnje izmedu tčk i. ko i il tčk koj ne pripd prvoj, td i ilo + >, tj. put koji vodi preko tčke je uvek duži od sme duži. φ φ D 17
1.3.6 Konstrukije Pričokonstrukijmuudženiku z šestirzredpočinje pitnjem:,,št je potreno d znmo o nekom trouglu d i on io potpuno odreden? Odgovor n postvljeno pitnje dju stvovi podudrnosti trouglov. Dkle, d ismo konstruisli neki trougo, dovoljni su podi o kojim govori neki od stvov podudrnosti. Rešvnje složenih konstruktivnih zdtk njolje je podeliti n sledeće etpe: 1. nliz zdtk - trženje nčin z rešvnje zdtk, ispituju se veze izmedu tržene i dte figure. 2. Konstrukij - n temelju nlize konstruišemo rešenje pomoću lenjir i šestr. 3. Dokz - pokzuje se d doijen figur zdovoljv sve uslove zdtk i d je svki kork u konstrukiji moguć. 4. Diskusij - ispituje se roj rzličitih (nepodudrnih) rešenj. Sd ćemo dti prikz osnovnih geometrijskih konstrukij trougl koje su predvidenedserdesučeniimovoguzrst[8]. Potrenoje nsmompočetku zhtevti od učenik d onove osnovne geometrijske konstrukije, prenošenje duži i prenošenje ugl, koji su rnije rdili i koje su neophodne d i se izvršil konstrukij trougl. Konstrukij trougl (SSS). Dte su tri duži, i. Tre konstruisti trougo čije su dužine strni jednke dužinm dtih duži. Ovde je itno nprviti prlelu s zdtkom 2 z treći rzred. Pored sme konstrukije koj se izvodi već u trećem rzredu, ono o čemu se sd mor dodtno voditi rčun je d ude ispunjen nejednkost trougl: < +, < + i < +. Ukoliko su zdovoljeni prethodni uslovi, ond možemo d konstruišemo trougo n sledeći nčin: 1. Konstruišemo duž podudrnu dtoj duži i oznčimo je s. 2. Konstruišemo kružnie K(,) i K(,) i jedn njihov presek oznčimo s. 3. Konstruisni trougo je trženi trougo. Z rzliku od trećegrzred u šestom rzredu se i dodtno rdi dokz i diskusij o postojnju roj rešenj. Kko tčk pripd kružnii K(,) on se nlzi n rstojnju od tčke, kko pripd kružnii K(,) nlzi se n rstojnju od tčke, tj. = i =. Prem konstrukiji je =. 18
Kd se konstruisne kružnie seku u dve tčke z rešenje uzimmo jednu od njih, ukoliko je presek przn skup td zdte duži ne zdovoljvju nejednkost trougl p td rešenje ne postoji. ko je presek jedn tčk, td je + =, p trougo ne postoji. Nrvno, konstrukij je mogl d počne od ilo koje duži. Konstrukij trougl (SUS). Potreno je konstruisti trougo ko su zdte dve njegove strnie i ugo koji one zklpju. Nek su, n primer, dte strnie i i ugo koje one zklpju α. Konstrukij se sstoji od dve konstrukije prenošenj duži i jedne konstrukije prenošenj ugl i izgled ovko: 1. Konstruišemo duž podudrnu duži i oznčimo je s. 2. Konstruišese ugoα s temenom u tčki, čiji je jedn krkprv odreden tčkm i. 3. Konstruiše se duž podudrnu s tko d pripd drugom krku ugl kog smo konstruisli u prethodnom korku. 19
Konstruisni trougo je trženi trougo. Zist = prem konstrukiji, = prem konstrukiji, tčk pripd krku ugl koji s zklp ugo jednk α, dkle = α. α α Konstrukij trougl (USU). Konstruisti trougo ko su dt strni i dv n njoj nlegl ugl. Nek je n primer dt strni i n njoj nlegli uglovi α i β. Konstrukij se sstoji od jedne konstrukije prenošenj duži i dve konstrukije prenošenj ugl: 1. Konstruišemo duž podudrnu duži. 2. Konstruisemo ugo s temenom i krkom koji je podudrn uglu α i njegov drugi krk oznčimo s p. 3. Konstruišemo ugo s temenom i krkom koji je podudrn dtom uglu β i njegov drugi krk oznčimo s q. 4. Presečnu tčku poluprvih p i q oznčimo s. Doijeni trougo je trženi trougo. Zist, = (prem konstrukiji), 20
tčk je tkv d je = α i = β (prem konstrukiji). Ono što je itno kod ove konstrukije je d uglovi α i β morju d ispunjvju uslov d je α + β < 180 d i se poluprve p i q sekle, odnosno, d i se mogo konstruisti. α α q β Konstrukij trougl (SSU). Konstruisti trougo ko su dte dve strnie i i ugo nsprm veće strnie φ. Pre nego što počnemo konstrukiju potreno je prodiskutovti do kkvih situij može doći u zdtku. Ovde je potren nešto detljnij diskusij. 1. > 2. > ) Z φ < 90 i > K, gde je K podnožje visine iz, postoje dv rešenj i. ) Z φ < 90 i = K postoji smo jedno rešenje - prvougli trougo K. ) Z < K nem rešenj. 3. =. Z φ < 90 i > K postoji tčno jedno rešenje, jednkokrki trougo. Drugim rečim: p β Nek je φ < 90. Z i > K postoji rešenje. 21
Nek je φ > 90. Z > postoji tčno jedno rešenje. Uzmimo slučj kd je i opišimo konstrukiju: 1. Konstruišemo duž koj je podudrn s. 2. Konstruišemo ugo s temenom i krkom koji je podudrn dtom uglu φ i njegov drugi krk oznčimo s p. 3. Konstruišemo kružniu K(,) i njen presek s krkom p oznčimo s. Doijeni je trženi trougo. Zist = (prem konstrukiji), tčk je n krku ugl φ, p je = φ, je tkode n kružnii K(,), što znči d je n rstojnju od tčke ( = ). φ K Z rešenje se uzim jedn od trouglov ili. p φ 22
1.3.7 Znčjne tčke trougl Pored temen, postoje još četiri znčjne tčke trougl koje tre definisti učeniim: - entr upisnog krug trougl; - entr opisnog krug trougl; - Ortoentr; - Težište. entr upisnog krug trougl nlzi se u preseku simetrl uglov. entr opisnog krug trougl nlzi se u preseku simetrl strni. Ortoentr je presek visin. Težište je tčk u kojoj se seku težišne duži. Težište deli težišnu duž u odnosu 2:1 počev od vrh. U teoremm koje slede dokzujemo d ove četiri tčke postoje i d su jedinstvene. Teorem 11 (O entru upisnog krug) Simetrle uglov trougl seku se u jednoj tčki. Dokz. Nek je O presečn tčk simetrl O i O uglov α i β trougl. Ztim, nek su OM, ON, OP normle iz O n strnie,,. Prvougli trouglovi MO i PO su podudrni jer imju zjedničku hipotenuzu i po jedn oštr ugo α/2. Zto je OP = OM. Isto tko iz podudrnosti trouglov MO i NO sledi OM = ON. Iz OP = OM, OM = ON sledi OP = ON. Dkle, podudrni su i trouglovi NO i PO, jer imju zjedničku hipotenuzu O. Otud su jednki uglovi O i O, što znči d je prv O simetrl ugl γ i tčk O je zjedničk tčk simetrl sv tri ugl. S β P M S γ O M Td krug s entrom O i poluprečnikom OM osim tčk M, N i P nem drugih zjedničkih tčk s dtim trouglom jer ko pretpostvimo d ovj krug im, n primer, s strniom zjedničku tčku M, rzličitu od M, td i trougoomm io prvouglis hipotenuzom OM. Dkle, ilo i OM > OM, N S α 23
p i tčk M il vn krug. Nzivmo g upisnim krugom trougl. Teorem 12 (O entru opisnog krug) Simetrle strni trougl seku se u jednoj tčki. Dokz. S S Simetrle S, S, strni i trougl seku se u tčki S. Lko je dokzti d je S = S, jer su trouglovi S 1 i S 1 podudrni, pri čemu je s 1 oznčeno središte strnie. Dlje iz S s sledi S = S, p i S = S. Dkle trougo S je jednkokrki p tčk S pripd simetrli duži tj. s. Td krug s entrom u S i poluprečnikom S sdrži i temen i i nzivmo g opisnim krugom trougl. Teorem 13 (O ortoentru) Prve koje sdrže visine trougl imju jednu zjedničku tčku. Dokz. U temenim, i trougl konstruišemo prve prlelne s suprotnim strnim, i. Te prve se seku i odreduju trougo 1 1 1. Svki od spoljšnjih trouglov 1, 1 i 1 je podudrn s trouglom, jer imju po jednu zjedničku strniu i jednke uglove s prlelnim krim. Zto je 1 = 1 =, p je tčk središte duži 1 1, visin h iz temen trougl pripd simetrli strnie 1 1 trougl 1 1 1. Sličnosedokzujeizostlevisinetrougl dpripdju, redom, simetrlm strni 1 1 i 1 1 trougl 1 1 1. Prem prethodnoj teoremi, one se seku u jednoj tčki, oznčenoj s H, koju nzivmo ortoentr trougl. S S 24
1 1 h 1 Teorem 14 (O težištu) Težišne duži (medijne) trougl seku se u jednoj tčki, težištu trougl. Dužin del težišne duži od težišt do temen dv put je već od dužine del duži od težišt do središt nsprmne strnie. Dokz. 2 1 T H 1 2 1 Nek je proizvoljn trougo. Oznčimo s 1 sredite strnie, s 1 središte strnie i s T presek težišnih duži 1 i 1. Nek je 2 tčk n prvoj odredenoj tčkm i 1, tkv d je T 1 = 1 2. Nek je 2 tčk n prvoj odredenoj tčkm i 1, tkv d je T 1 = 1 2. Uočimo d je u trouglu duž 1 1 srednj linij koj odgovr osnovii. Zto je njen dužin jednk polovini dužine strnie, i on je prleln s. Uočimo d je duž 1 1 srednj linij i u trouglu T 2 2. Zto je njen dužin jednk polovini duzi 2 2, i on je prleln s 2 2. 25
Posmtrjmo trouglove T i 2 2 T. Strnie i 2 2 su podudrne i prlelne (n osnovu prethodn dv kork), iz njihove prlelnosti sledi jednkost uglov T i 2 2 T, ko i uglov T i 2 2 T, jer su to uglovi s prlelnim krim. Dkle, ovi trouglovi su podudrni. Iz podudrnosti ovih trouglov sledi d je duž T podudrn duži T 2. Kko je T 1 jednk polovini duzi T 2, sledi d je T1 jednk polovini duži T. Potpuno slično se izvodi d je duž T 1 jednk polovini duži T. Dkle, tčk T deli duži 1 i 1 u odnosu 2:1, to jest deo težišnih duži 1 i 1 od temen do tčke T duplo veći od del iste duži od T do središt nsprmne strnie. N isti nčin ismo dokzli i d tčk koj je presek težišne duži 1 i težišne duži koj odgovr temenu deli 1 u odnosu 2:1, p t tčk mor d se poklp s tčkom koj već deli 1 u tom odnosu, tj. tčkom T. Ovim je teorem dokzn, jer se ond sve tri težišne duži seku u tčki T. t 1 1 Nek je T zjedničk tčk težišnih linij 1 i 1 trougl, ko n prethodnoj slii. Tre dokzti d težišn linij 1 prolzi kroz T. Pretpostvimo suprotno d se 1 i 1 seku u tčki S, rzličitoj od T. Td je S = 2S 1, p je S = 2 3 1. Isto tko je T = 2T 1, p je T = 2 3 1. Što znči d je T = S. To je nemouće, jer su oe tčke S i T izmedu tčk i 1. Mnogo je itno pomenuti d se kod jednokrkog trougl sve četiri znčjne tčke nlze n simetrli osnovie, odnosno simetrli ugl pri vrhu. Kod jednkostrničnog trougl sve četiri znčjne tčke se poklpju. Drugim rečim, jedn tčk, tkozvni entr jednkostrničnog trougl, predstvlj i entr opisne i upisne kružnie i ortoentr i težiste. 1.3.8 Površin trougl Površin trougl u šestom rzredu se izvodi iz površine prlelogrm. Površinu prlelorm doijmo tko što odsenjem jednog trougl i njegovim premeštnjem doijmo od prlelogrm prvougonik, čij površin je intuitivno jsn. Dopunjvnjem trougl do prlelogrm učenii mogu d nslute nčin kko se rčun površin trougl. Kko se prlelogrm može podeliti T t S t 1 26
n dv podudrn trougl, tre d zključe d je površin trougl jednk polovini površine prlelogrm. Sledeću teoremu tre zhtevti od učenik dnučesrzumevnjemidznjudjeprimenenilokojizdtkuprksi. Teorem 15 Površin trougl jednk je polovini proizvod dužine jedne njegove strnie i visine koj joj odgovr P = 1 2 h = 1 2 h = 1 2 h. h h N osnovu ove teoreme lko se izvodi površin ilo kog trougl. Pošto je svk ktet prvouglog trougl ujedno i visin koj odgovr drugoj kteti tog trougl, površin prvouglog trougl jednk je polovini proizvod njegovih ktet. Teorem 16 ko su i ktete, hipotenuz i h visin n hipotenuzu prvouglog trougl ond je P = 1 2 = 1 2 h. h N smom krju, ko prover znnj stečenog o površini trougl, smim tim i o vrstm trougl, može se dti učeniim ko zdtk d ndu formulu z izrčunvnje površine jednkokrkog i jednkostrničnog trougl. Njpre tre zhtevti d nrtju ove dve vrste trougl i uoče njihove elemente, strnie i visine, ztim n osnovu prethodnih teorem d dodu do zključk kko se rčunju njihove površine. Ovj nčin učenj putem otkrivnj može d ude veom koristn. Tkode im se može dti d izrčunju površinu trpez koristeći površinu trougl. h 27
1.4 Sedmi rzred Progrm sedmog rzred ouhvt relne rojeve, Pitgorinu teoremu, ele i rionlne lgerske izrze, mnogougo, zvisne veličine i njihovo grfičko predstvljnje, krug i sličnost trouglov. U vezi trougl u sedmom rzredu se rdi Pitgorin teorem i sličnost trouglov. 1.4.1 Pitgorin teorem Pitgorin teorem je veom znčjn z upoznvnje učenik s istorijom mtemtike, tj. sm prič o Pitgori može d ude od velikog znčj d što pre prihvte teoremu. Ne tre učenike zunjivti s previše informij. Može se ispričti d je teorem doil nziv po grčkom filozofu i mtemtičru Pitgori koji je roden n ostrvu Smos, jedn deo svog život je proveo putujući Egiptom i Persijom, d i se, po povrtku n rodni Smos, susreo s tirnskom vldvinom Polikrt, što je io rzlog d se preseli u Kroton gde je osnovo čuvenu Pitgorejsku školu. Iko je teorem il poznt još indijskim, grčkim, kineskim i vvilonskim mtemtičrim mnogo pre nego što je Pitgor živeo, prvi poznti dokz Pitgorine teoreme može se nći u Euklidovim elementim. Tre npomenuti dokze Pitgorine teoreme koji nisu previše komplikovni učeniim tog uzrst z rzumevnje, mogu d udu veom znimljivi. Nrvno, ne tre insistirti n tome d učenii nuče dokz, li svkko uz lgnu priču i rtnje slike dokz i to što preiznije, moguće je, ne smo zinteresovti učenike, nego im i ispričti priču koju će d rzumeju. Teorem 17 Pitgorin teorem: Površin kvdrt nd hipotenuzom prvouglog trougl jednk je ziru površin kvdrt nd ktetm tog trougl. Izuzetno znimljiv je i Pitgorin teorem u oliku pesmie: Pitgorinu teoremu, to zn svko dete, kvdrt nd hipotenuzom jednk je ziru kvdrt nd oe ktete. Dokz pomoću rzložive jednkosti [7]: ko je trougo s prvim uglom kod temen, možemo pretpostviti d je. ko su ztim, KL, MN i PQ kvdrti koji se redom nlze s onih strn prvih, i s kojih su, redom, tčke, K i, td, ko s L oeležimo podnožje uprvne iz tčke L n prvoj N, s U i V tčke u kojim se seku provi prvih KL i N, PQ i, iće trouglovi L L i MK, LL U i QV, VP i U N K, medusono trnsltorno podudrni. Odtle sledi d je kvdrtn površ KL-rzloživo jednk uniji kvdrtnih površi P Q i M N. 28
Q V L N L U Dokz pomoću dopunske jednkosti [7]: Nek je D kvdrt čije ivie su jednke ziru ktet i prvouglog trougl kojem je hipotenuz,,,, D redom, tčke ivi,, D, D tkve d je D kvdrt ivie. Kvdrtn površ D je unij kvdrtne površi D i četiri trougone površi kojim su ivie,,. Medutim, površ D je unij dveju kvdrtnih površi ivi i koje pripdju duži i dveju prvougonih površi kojim su dijgonle i D. Kko su te dve prvougone površi unij četiri trougone površi kojim su ivie,,, kvdrtn površ D ivie dopunski je jednk uniji kvdrtnih površi kojim su ivie i. D D K P M 1.4.2 Primen Pitgorine teoreme Poznt je primen Pitgorine teoreme n izrčunvnje svih element kod rznih vrst trouglov, i ostlih geometrijskih figur: Kvdrt, prvougonik, rom, trpez tko što uočimo prvougli trougo u njim. To pojednostvljuje rčunnje oim i površine tih figur. Sledeće primene mogu se nći u [4]. Primen n prvugonik 29
Svki prvugonik je dijgonlm podeljen n dv prvougl trougl, p nm Pitgorin teorem dje vezu izmedu strni i dijgonle ilo kog prvougonik. ko je d dijgonl prvougonik čije su strnie i, ond je: d 2 = 2 + 2. D d Primen n kvdrt Posmtrjmo kvdrt D strnie. Trougo je jednkokrko-prvougli, p po Pitgorinoj teoremi d 2 = 2 + 2, to jest d 2 = 2 2. Odvde sledi d je: d = 2 2 = 2 2 = 2, jer je > 0. D d Primen n jednkokrki trougo Visin koj odgovr osnovii jednkokrkog trougl deli tj trougo n dv podudrn prvougl trougl. Pitgorin teorem nm dje vezu izmedu dužine osnovie, krk i visine h koj odgovr osnovii: ( ) 2 2 = +h 2. 2 30
/2 D Primen n jednkostrnični trougo Nek je D podnožje visine iz temen n strniu jednkostrničnog trougl. Primenom Pitgorine teoreme n prvougli trougo D, doijmo: ( ) 2 2 = +h 2. 2 Iz ove formule može se doiti formul z izrčunvnje visine jednkostrničnog trougl ko je poznt njegov strni. ( 2 Iz h 2 = 2 = 2) 2 2 4 = 32 3 2 sledi d je h = 4 4, to jest h = 3. 2 ko je poznt strni jednkostrničnog trougl, ond je visin potpuno odreden, p se i površin tog trougl može lko odrediti. Nime ko je strni jednkostrničnog trougl, td je: P = 1 2 h = 1 2 1 2 3 = 2 3. 4 /2 D Primen n rom S ozirom n to d se dijgonle rom polove i seku pod prvim uglom, Pitgorinu teoremu možemo primeniti n trougo O, pri čemu je O presek h h 31
dijonl rom D. Tko se doij zvisnost strnie rom i njegovih dijgonl: ( ) 2 ( ) 2 2 d1 d2 = +. 2 2 D O d 12 d 22 Primen n jednkokrki trpez Visin iz jednog temen krće osnovie s susednim krkom i delom duže osnovie orzuju prvougli trougo. Tko, ko je h visin jednkokrkog trpez, d dijgonl jednkokrkog trpez čije su osnovie i i krk, primenom Pitgorine teoreme doijmo: ( ) 2 2 = +h 2. 2 Pitgorin teorem povezuje dijonlu jednkokrkog trpez s njegovom osnoviom i visinom: ( ) 2 + d 2 = +h 2. 2 2 D E h Primen n prvougli trpez Nek je D prvougli trpez s prvim uglovim u temenim i D. ko d + 2 32
su i, >, osnovie tog trpez, njegov duži krk i h visin i istovremeno krći krk, ond je: 2 = ( ) 2 +h 2. D 1.4.3 Sličnost trouglov h E Sličnost je z učenike veom zhtevn olst, koju teško svldju, i kd je svldju, veom rzo je zorve, p iz tog rzlog im tre dvti što više pozntih primer d što olje upmte osoine sličnosti. Sd ću dti definiiju sličnosti koj je prihvtljiv z učenike ovog uzrst i pr jednostvnih primer iz iskustv koji pomžu učeniim d što olje svldju ovu olst, d su njim liski. Slični primeri se mogu nći u [4]. Pre uvodnj definiije sličnosti potreno je upoznti učenike s pojmom proporionlnosti duži. Definiij 3 ko su rzmere dv pr duži jednke, ond kžemo d je jedn pr duži proporionln drugom pru. Definiij 4 Trouglovi su slični ko imju jednke uglove i proporionlne odgovrjuće strnie. Učenii se ztim, ez dokz, upoznju s sledećim stvom i njegovom poslediom. Stv. ko su uglovi dv trougl jednki, ond su provi odgovrjućih strni medusono proporionlni. Tvrdenje. ko dv trougl imju jednke uglove, ond su ti trouglovi slični. Zdtk 4. Štp dužine 1, 5m, vertiklno postvljen u odnosu n tlo, senku dužine 0, 8m. Istovremeno, senk drvet dugčk je 2, 4m. Odrediti visinu drvet. Rešenje. Koristeći se činjeniom d sunčevi zri pdju prlelno n zemlju, to je ugo koji svki zrk orzuje s tlom konstntn. Nek je φ mer tog ugl u trenutku kd su izmerene senke štp i drvet. Tko, štp i drvo s svojim senkm orzuju dv prvougl trougl koji imju iste oštre uglove. Dkle, ovi 33
prvougli trouglovi su slični, p su im odgovrjuće strnie proporionlne. x 2,4m φ 1,5m φ 0,8m Iz jednkosti: 1,5 0,8 = x 2,4 nlzimo d je x = 4,5, odnosno d je visin drvet 4,5m. Zdtk 5. N osnovu podtk n dtom rtežu, odrediti dužine duži i. (Uglovi kod temen 1 i su prvi). 3m 1 1 4m Rešenje: Trougo 1 1 jeprvougli,pnosnovupitgorineteorememožemo odrediti strniu 1 : 2 1 = 2 1 + 1 2 1, 6m 34
2 1 = 2 1 1 2 1, 2 1 = 16 9, 2 1 = 7, 1 = 7m. Trouglovi 1 1 i su slični, p su im odgovrjuće strnie proporionlne: 1 1 : = 1 : = 1 :, 1.5 Osmi rzred 3 : 6 = 4 : = 7 :, = 8m, = 2 7m. Progrm osmog rzred ouhvt sličnost trouglov, linerne jednčine i nejednčine s jednom nepozntom, tčk, prv i rvn, prizm, linern funkij, grfičko predstvljnje podtk, pirmid, sistemi linernih jednčin s dve nepoznte, vljk, kup i lopt. Trougo se u osmom rzredu jedino jvlj u olsti sličnost trouglov koj se ndovezuje n grdivo iz sedmog rzred. N smom početku rdi se Tlesov teorem. Prič o Tlesu, koj tre d ude sžet i znimljiv može d ude korisn kko i privukl pžnju učenik. Dovoljno je reći d je teorem doil nziv po grčkom filozofu i mtemtičru Tlesu, koji je roden u Miletu, u grčkoj koloniji n oli Mle zije. O znčju Tles z Grčku, p time i z svetsku kulturu govori činjeni d je svrstn u,,sedm mudr - sedm utemeljivč grčke ivilizije zog čeg g mnogi smtrju oem grčke mtemtike. Teorem 18 Tlesov teorem: ko prlelne prve i, preseju prvu p u tčkm i, prvu q u tčkm 1 i 1, i ko je S zjedničk tčk prvih p i q, td vži: 1 = S 1 S = S 1. S 1 Sledeći primer se odnosi n primenu Tlesove teoreme n trougo i može se koristiti ko prover koliko su učenii rzumeli teoremu. Primer je preuzet iz [5]. Zdtk 6. Nek je dt trougo tkv d je = 8m, = 6m i = 5m. N strnii dt je tčk P tkv d je P = 3m. Kroz ovu tčku konstruisn je prv prleln s strniom. Tčk Q je presek ove prve s. Odrediti dužine duži Q i PQ. Rešenje. Njpre ćemo d vidimo št nm je dto od podtk, št tre d ndemo. Posmtrjmo sledeću sliku. 35
3m 5m Q P 8m Prem Tlesovoj teoremi je P = Q = PQ. N osnovu dtih podtk immo d je 3 8 = Q 5 = PQ 6, odnosno Q 5 = 3 8 i PQ 6 = 3. Iz poslednje dve 8 jednkosti nlzimo nepoznte dužine Q = 1,875m i PQ = 2,25m. Rde se i stvovisličnostikoji učeniimmogu d udu jko konfuzni i teško prihvtljivi. Zog tog je njolje ilustrovti stvove kroz primere koji mogu iti veom korisni prilikom rzumevnj ovog del grdiv. Stvovi sličnosti koji se rzmtrju odgovrju stvovim podudrnosti SUS i SSS, p se zto često zovu stvovi sličnosti. Stv sličnosti SUS. ko su dve strnie jednog trougl proporionlne dvem strnim drugog trougl i ugo koji zhvtju ove dve strnie u prvom trouglu jednk uglu koji zhvtju odgovrjuće strnie u drugom, td su ti trouglovi slični. Drugim rečim, iz pretpostvke = 1 i d je = 1, = 1 i 1 1 = k. 1 6m 1 1 1 1 = 1 1 = k, zključujemo 36
Stv sličnosti SSS. ko su strnie jednog trougl proporionlne strnim drugog trougl td su ti trouglovi slični. 1 1 1 Drugim rečim, iz = = sledi d su trouglovi i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 slični. Sledeći primer zhtev primenu jednog od stvov sličnosti i može se dti učeniim n krju čs ko prover koliko su rzumeli prethodne stvove. Primer je preuzet iz [5]. Zdtk 7. Dokzti d trougo čije su strnie 5m, 6m i 7m i trougo čije su strnie 5,25m, 4,5m, 3,75m imju jednke uglove. Rešenje. Dovoljno je dokzti d su ovi trouglovi slični. Kko su nm dte sve strnie, ispitćemo njihovu proporionlnost. Trouglovi će iti slični ukoliko je rzmer njduže strnie jednog i njduže strnie drugog trougl jednk rzmeri strni trouglov koje su srednje po veličini i oe ove rzmere jednke rzmeri njkrćih strni. Tko se doij d je: 7 5,25 = 4 3 i 6 4,5 = 4 3 i 5 3,75 = 4 3. Kko su strnie ov dv trougl proporionlne, n osnovu stv SSS sličnosti, ov dv trougl su sličn, p su im i odgovrjući uglovi jednki. Ugo nsprm strnie od 7m jednk je uglu nsprm strnie od 5,25m i tko dlje. 2 Srednj škol 2.1 Prvi rzred Progrm prvog rzred ouhvt logiku i skupove, relne rojeve, proporionlnost, uvod u geometriju, podudrnost, rionlne lgerske izrze, sličnost i trigonometriju prvouglog trougl. 37
Trougo se orduje u okviru tem podudrnost, sličnost i trigonometrije prvouglog trougl. Ord sdržj iz podudrnosti tre d ude nstvk onog što se učilo u osnovnoj školi. Oslnjjući se n prethodn znnj učenik tj pojm tre dorditi do nivo neophodnog z efiksnu primenu. 2.1.1 Dokz Pitgorine teoreme pomoću sličnosti U okviru teme sličnosti pored produljenog usvjnj Tlesove teoreme (s primenm) veom je znčjn primen sličnosti u dokzivnju Pitgorine teoreme. Dokz. Ovj dokz se izvodi n osnovu proporionlnosti strni, odnosno n osnovu definiije sličnosti: Preslikvnje kojim se jedn figur F preslikv u drugu figuru F 1 nziv se sličnost ko je rzmer proizvoljnih duži čij temen pripdju domenu i njihove slike isti roj. Nek su ktete prvouglog trougl oeležene s i, hipotenuz s prvouglog trougl. Iz uslov d je ugo kod temen trougl prv, sledi d je 2 + 2 = 2. S D ćemo oeležiti podnožje visine iz temen n prvu. Trougo je sličn trouglu D, sličn je i trouglu D, tko d su zdovoljene sledeće relije: : = D : i : = D :, iz kojih sledi d je 2 = D i 2 = D. N osnovu prethodne dve jednkosti vži sledeć jednkost: 2 + 2 = D + D = (D+D) = 2. 2.1.2 Trigonometrij prvouglog trougl D Kod trigonometrije prvouglog trougl rdi se odnos izmedu strni i uglov prvouglog trougl (definiije trigonometrijskih funkij oštrog ugl), njihove posledie i primene. D i prič il mlo znimljivij, može se početi s krtkom istorijom. Dkle, trigonometrij je grn mtemtike koj proučv odnose izmedu strni i uglov trougl. Trigonometrij se deli n tri olsti: 38
Geometrijsku, lersku i funkionlnu, li ovde je predvideno d se rdi smo geometrijski deo. Stri Egipćni se nisu mnogo vili trigonometrijom. Gri, su se oko 180. g.p.n. vili tetivm krug i nlognim trigonometrijskim merenjim. Iz tog period, od helenističkih mtemtičr su nm poznti dnšnji trigonometrijski indentiteti. Znčjn rzvoj trigonometrije je zeležen od indijskih mtemtičr 4. i 5. vek nove ere. Veruje se d su prve tlie sinus i kosinus urdili Indiji. Ztim su trigonometriju od 9. do 14. vek rzvili Kinezi, od 14. do 18. vek Evropljni. Trigonometrij im ogromnu primenu u rzličitim disiplinm: Geodeziji, stronomiji, nvigiji, eronutii i inženjerstvu uopšte. Osnovne trigonometrijske funkije definišemo n prvouglom trouglu [9]. β Sinus ugl u prvouglom trouglu jeste količnik nsprmne ktete i hipotenuze: sinα =. Kosinus ugl u prvouglom trouglu jeste količnik nlegle ktete i hipotenuze: osα =. Tngens ugl u prvouglom trouglu jeste količnik nsprmne i nlegle ktete: tnα =. Kotngens ugl u prvouglom trouglu jeste količnik nlegle i nsprmne ktete: tgα =. Posle uvodenj osnovnih trigonometrijskih funkij, rde se i vrednosti trigonometrijskih funkij z uglove od 30, 45 i 60 ko i osnovni trigonometrijski α 39
identiteti. Oni su vrlo itni jer se provlče u mnogim zdim u strijim rzredim i potreno je d ih učenii sd trjno zpmte. Osnovni trigonometrijski indetiteti: 1) sin 2 α+os 2 α = 1 2) tgα = sinα osα 3) tgα = osα sinα 4) tgα tgα = 1. D ismo dokzli nredne identitete koristimo prethodne definiije trigonometrijskih funkij i Pitgorinu teoremu [9]: 1) 2) 3) 4) 2.2 Drugi rzred sin 2 α+os 2 α = 2 2 + 2 2 = 2 + 2 2 = 2 2 = 1. sinα osα = osα sinα = = = = tgα. = = = tgα. tnα tgα = = 1. Progrm drugog rzred ouhvt stepenovnje i korenovnje, kvdrtnu jednčinu i kvdrtnu funkiju, eksponenijlnu i logritmsku funkiju, trigonometrijske funkije. Trougo se pojvljuje u okviru teme trigonometrijske funkije gde se rdi sinusn i kosinusn teorem. Uvodenjem sinusne i kosinusne teoreme učenii tre d shvte d proširuju mogućnosti primene trigonometrije n rešvnje m kojeg trougl. Klsičn primen trigonometrije sstoji se u izrčunvnju element trougl. On u mnogome počiv n sinusnoj teoremi koj opisuje odnose izmedu strni i uglov trougl. Dokzi teorem u poglvlju z drugi rzred mogu se nći u [10]. 40
Teorem 19 Sinusn teorem: Nek je proizvoljni trougo. Oznčimo s, i dužine njegovih strni s α, β, γ njim odgovrjuće uglove trougl. Td vži: sinα = sinβ = sinγ. Dokz. Oznčimo s D projekiju tčke n prvu. Moguć su tri rspored tčk D, D i D. D α γ D h β h D γ α β α β D N osnovu definiije sinus u prvouglom trouglu, s prve slike iz D, odnosno D sledi d je: h = sinβ i h = sinα. N osnovu prethodne dve jednkosti vži: odkle sledi: sinβ = sinα, sinα =,α 0,β 0. sinβ Prem drugoj slii iz D, odnosno D doijmo: Iz prethodne dve jednkosti doijmo: h = sin(π α) = sinα, h = sinβ. γ h sinα = sinβ. (1) Isto tko, prem trećoj slii iz D, odnosno D doijmo sledeće jednkosti: h = sinα, 41