EŠAVANJE SISTEMA JENAČINA ( METOA ETEMINANTI) U prethodni fjlovi so govorili kko se rešvju sistei upotrebo tric. U ovo fjlu ćeo pokušti d v objsnio kko se prienjuju deterinnte n rešvnje siste linernih jednčin. Vžno je npoenuti d ćeo ovde postrti so kvdrtne sistee S n n, to jest sistee koji iju jednk broj nepontih i jednčin. Profesori njčešće dju sistee S 3 3 ili S 4 4, p ćeo nji posvetiti pžnju. Govorili so već d siste ože biti hoogen i nehoogen. Pogledjo njpre nehoogen siste S 3 3 ( tri jednčine, tri neponte): + b+ c= t + b + c= t + b+ c= t 3 Odvde njpre foriro deterinntu siste uijući brojeve ispred nepontih: Zti člnove u enio slobodni člnovi ( s desne strne jednkosti): t b c = t b c t b c Člnove u enio slobodni člnovi: t c = t c t c Člnove u enio slobodni člnovi: b t = b t b t N ovj nčin so dobili četiri deterinnte : t b c t c b t = t b c = t c = b t t b c t c b t U svko dtku n je prvi poso d ndjeo vrednosti ove deterinnte.
lje rešenj tržio koristeći Krerovu teoreu: i) Ako je deterinnt siste rličit od nule, ond siste i jedinstveno rešenje koje tržio preko: = ; = ; = ii) Ako je deterinnt siste i = = = siste i beskončno nogo rešenj ( neodredjen je) ili se ože desiti d siste ne rešenj. iii) Ako je deterinnt siste i ( nči, br jedn od ove tri deterinnte d je rličit od nule) siste je neoguć, to jest ne rešenj. Pite, sve ovo vži nehoogen siste. Št ko io hoogen siste? Ako postro hoogen siste : + b+ c= + b + c= + b+ c= Jsno je d on uvek i trivijln rešenj (,, ) = (,,) Kvdrtni hoogen siste i netrivijln rešenj ko i so ko je Znči, d bi nš hoogen siste io netrivijln rešenj, or biti =
išljnje sistee S 4 4 ( 4 jednčine, 4 neponte) je potpuno nlogno s ovi, s ti d ns ovde ček nogo veći poso kod nlženj vrednosti deterinnt: Postrjo siste : + b+ c+ dt= u + b + c+ dt= u + b+ c+ dt= u 3 3 + b + c+ dt= u 4 4 4 4 4. Ovde tržio sledeće deterinnte: d u b c d u c d b u d u d u b c d u c d b u d u = = = = d u b c d u c d b u d u t 3 3 d u b c d u c d b u d u 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ešenj tržio: t = ; = ; = ; t=, nrvno sve po Krerovoj teorei... Ako je hoogen siste: + b+ c+ dt= + b+ c+ dt= + b+ c+ dt= 3 + b+ c+ dt= 4 4 4 4 njeg isto vži d i netrivijln rešenj ko je. ZAACI. ešiti siste jednčin: ešenje: + 5= 6 + + = 5 3+ 3 4= 8 Nrvno, ovj siste je nogo lkše rešiti Gusovo etodo ili neko drugo, li pošto proučvo deterinnte, ovo priliko ćeo ići teži pute: Irčunvo vrednosti sledećih deterinnti( i ćeo koristiti Srusovo prvilo s dopisivnje prve dve kolone vi ožete i rvijti deterinntu kko v je lkše ) 3
5 3 3 4 5 = 4 3+ 6 6 5= 5 5 3 3 4 3 3 Pošto je deterinnt siste rličit od nule, odh no d će siste iti jedinstveno rešenje. Ideo dlje: 6 5 = 5 8 3 4 6 5 6 5 5 = 4+ 3 75+ 4 36+ 4= 3 = 3 8 3 4 8 3 6 5 = 5 3 8 4 6 5 6 5 5= 36 8+ 48 6 75= 79 = 79 3 8 4 3 8 6 = 5 3 3 8 6 5 = 8 3+ 36 3 5+ 8= 5 = 5 3 3 8 3 3 Krerov teore n dje sledeće rešenje: 3 3 = = = 5 5 79 79 = = = 5 5 5 5 = = = 5 7 4
. U visnosti od pretr, diskutovti i rešiti siste: + + = + + = + + = ešenje: = + + = + 3 3 3 3 3 3 + = + = ( ) ( ) = ( )( + ) ( ) = ( )( + ) = = + = + ( )( )( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) Ovde nije dovoljno so nći vrednost deterinnte, već to rešenje oro spkovti u proivod. = 3 3 = + + = + + = ( ) + ( ) = + = + = + = + ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) = = + + = + = ( ) 3 3 = ( ) 5
= = + + = + = ( ) = ( ) ( + ) 4 4 = ( ) ( + ) Zvršili so tehnički deo posl, nšli rešenj i spkovli ih. Nš svet je d ih sd prepišete, jer sledi diskusij: + ( ) ( ) = + = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( + ) Krer kže d siste i jedinstveno rešenje ko je. U ovo slučju or biti: ( ) ( + ) Ako je siste i jedinstveno rešenje: ( ) ( + ) + + = = = = ( ) ( + ) + + = = ( ) = = ( + ) + + ( ) = = ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = = + + Ali ovde poso nije gotov, jer oro ispitti št se dešv ko je =, p ko je =. 6
= ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) Po Kreru ovde siste i beskončno nogo rešenj, vrćo se u početni siste i enjujeo =. + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = = + + = Siste je neodredjen rešenj opisujeo s (,, ) = (,, ), Npoen: Neki profesori htevju d se uvede neko novo slovo(slov) kod opisivnj rešenj, recio: ( p, q, p q) p,q Nš svet je ko i uvek isti: rdite kko htev vš profesor ne tlsjte = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = = ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 Ne oro enjti dlje, po Kreru, ovde je siste neoguć. 3. U visnosti od pretr, diskutovti i rešiti siste: + + = + 4+ = 6 + ( + ) + = ešenje: Njpre uočio d je siste hoogen, to jest d uvek i trivijlno rešenje (,,). 7
bi ovj siste io i netrivijln rešenj deterinnt siste or biti bš jednk nul. 4 6 + 4 4 = 8+ 6 + ( + ) ( + ) 4= 4+ + 4= 6 + 6 + ± 49 ± 7 = = = = 4; = 3, Sd oro ispitti ob rešenj št se dešv. Vrćo ove vrednosti u početni siste : = 4 + + = 4+ 4+ = 6 + (4+ ) + = + + = 4+ 4+ = 6+ 6+ =.../ : + + = 4+ 4+ = 3+ 3+ = II III + = = + + = = ešenj su: (,, ) = (,,) = 3 + + = 3+ 4+ = 6 + ( 3+ ) + = + + = 3+ 4+ = 6 + = 3 III+ I 7+ 3= = 7 3 3 4 + + = + + = = + = 7 7 7 3 4 ešenj su: (,, ) = (,, ) 7 7 8
4. U visnosti od pretr, diskutovti i rešiti siste: + + + t= t= + + 5+ 3t = + 5+ + 8t = ešenje: 5 3 5 8 Osobine deterinnte ( pogledj istoieni fjl i III godine) će n pooći d ovu deterinntu lkše rešio. Neojte juriti i odh pokušti d prvite nule rdeći s vrst, nekd je lkše rditi s kolon + IIkolon+ Ikolon IIkolon IIIkolon+ Ikolon IIIkolon 5 3 + + 5 + 3 IVkolon+ Ikolon IVkolon 5 8 6 9 + + + + vijo po drugoj vrsti: = + + 5 + 3 + + 5 + 3 6 9 6 9 + + + + 5 + 3 = + + 5 + 3 = 6 9 6 9 + + + + + + + = + + + + + + + + + 5 3 5 8( 5) 6( )( 3) 4( ) 9( ) 4( 3) ( 5) 6 9 6 8 9 6( 4 3) 4 = + + + + + + 4 9( + + ) 4 7 6 = 8 + 9+ 6 + 4+ 8+ 4 9 8 9 7 6 = + 3 9 + = 3 9.../ : ( 3) 4 + 3= = 3; = 9
= 3 + + 3+ t= t= 3+ + 5+ 3t = + 5+ + 8t = (,, t, ) = (,,,) = + + + t= t= + + 5+ 3t = + 5+ + 8t = (,, t, ) = (,,, ) I d ne bude nekih inendjenj, evo jednog prier i s sisteo dve jednčine, dve neponte. 5. U visnosti od pretr n i, diskutovti i rešiti siste: = + n= n ešenje: = + n= n = n+ n = = n+ n= n n n = = n n n+ n n n = = = n+ n+ n n n+ n+ = = = n= = n= = n = Ako je vrednost bš nul, siste će iti beskončno nogo rešenj, ko je rličito od nule siste je neoguć.
= n= Vrtio ove vrednosti u siste: = + n= n = + = Odvde ključujeo d or biti jednk nul, je proivoljn broj. ešenj pisujeo: (, ) = (, ) www.tetirnje.in.rs