vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr
Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f (x, y)dx dy Općenito, višestruki (n-terostruki) integral je integral funkcije više (n) varijabli. 2 / 18
vostruki integral pozitivne funkcije vostruki integral pozitivne funkcije f (x, y) predstavlja volumen izmedu grafa funkcije f i xy-ravnine. Npr. polukugla polumjera r može se shvatiti kao dio prostora izmedu plohe zadane funkcijom f (x, y) = r 2 x 2 y 2 i xy-ravnine. 3 / 18
Računanje dvostrukog integrala Prisjetimo se odredenog integrala pozitivne funkcije jedne varijable f (x). On predstavlja površinu ispod grafa (krivulje). io te površine računamo kao P(x) f (x) x, tj. dp(x) = f (x)dx. 4 / 18
Računanje dvostrukog integrala Kod funkcije dvije varijable f (x, y) dio volumena ispod grafa (plohe) definiramo kao volumen iznad pravokutnika sa stranicama x i y. Površina takvog pravokutnika je x y pa je volumen iznad njega približno jednak volumenu kvadra V (x, y) f (x, y) x y, tj. dv (x, y) = f (x, y)dx dy. Stoga je V = f (x, y)dx dy, gdje je područje po kojem integriramo. možemo shvatiti kao zbroj beskonačno mnogo malih pravokutnika sa stranicama x i y. 5 / 18
Područje integracije Najjednostavniji primjer za područje integracije je pravokutnik odreden sa a x b i c y d. Tada dvostruki integral funkcije f (x, y) po možemo zapisati kao d ( b ) f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy = c d c dy a b a f (x, y)dx. 6 / 18
Područje integracije U općenitijem slučaju dvostruki integral možemo zapisati kao f (x, y)dxdy = b a dx f2 (x) f 1 (x) f (x, y)dy ili f (x, y)dxdy = d c dy g2 (y) g 1 (y) f (x, y)dx. 7 / 18
Metoda računanja Za računanje dvostrukog integrala koristimo metodu uzastopnog integriranja. vostruki integral zapišemo kao dva uzastopna jednostruka integrala f (x, y)dxdy = b Prvo rješavamo unutarnji integral, f2 (x) f 1 (x) a dx f (x, y)dy. f2 (x) f 1 (x) f (x, y)dy. To je integral po varijabli y pa pri rješavanju x smatramo konstantom. Rješenje ovog integrala je funkcija h(x) koja ovisi samo o x. 8 / 18
Metoda računanja Uvrštavanjem rješenja za integral po y natrag u polazni integral dobijemo b f (x, y)dxdy = h(x)dx, što je jednostruki integral po x. Njegovo rješenje (i ujedno rješenje dvostrukog integrala) je broj. Primjer 1 Odredite granice integracije u integralu f (x, y)dxdy ako je područje omedeno parabolom y = 2x 2 i pravcem y = 8. Riješite taj integral za f (x, y) = 2x + y. a 9 / 18
Metoda računanja Integral je mogao biti zadan i u obrnutom poretku f (x, y)dxdy = d c dy g2 (y) g 1 (y) f (x, y)dx. Tada prvo rješavamo integral po x, a potom integral po y. Primjer 2 Riješite integral 1 0 dy i skicirajte područje integracije. 2y y xy 2 dx 10 / 18
Primjer 3 - Poredak integracije Promijenite poredak integracije u integralima (i) (ii) (iii) 2 0 1 1 1 0 dx dy dx 3x 0 1 f (x, y)dy, y 2 f (x, y)dx, 1 x x 2 1 f (x, y)dy. Riješite integral pod (i) u oba poretka ako je f (x, y) = x(3x + y). 11 / 18
vostruki integral u polarnim koordinatama Ponekad je područje integracije bolje prikazati u polarnim koordinatama. Kartezijeve (pravokutne) koordinate T (x, y) Polarne koordinate T (r, φ) 12 / 18
Veza pravokutnih i polarnim koordinata Iz sinusuovog poučka slijedi: x sin( π 2 φ) = y sin φ = r sin( π 2 ) r sin( π 2 ) y = r sin φ, x cos φ = r sin( π 2 ) x = r cos φ. 13 / 18
Primjer 4 Neki primjeri zapisa u polarnim koordinatama Kružni isječak φ 1 φ φ 2, r 1 r r 2 Krug sa središtem u ishodištu radijusa R 0 φ 2π, 0 r R Prvi kvadrant 0 φ π 2, 0 r 14 / 18
Računanje dvostrukog integrala u polarnim koordinatama io područja po kojem intergiramo odreden je dijelom kružnog isječka. Općenito, površina kružnog isječka je P = 1 2 r 2 φ. 15 / 18
Računanje dvostrukog integrala u polarnim koordinatama Mi imamo P = 1 2 (r + r)2 φ 1 2 r 2 φ = r r φ + 1 2 ( r)2 φ r r φ. Onda je dio volumena V iznad P dan sa V f (r cos φ, r sin φ)r r φ. Iz toga dobijemo dv = f (r sin φ, r cos φ)r dr dφ, V = φ2 φ 1 dφ r2 (φ) r 1 (φ) f (r cos φ, r sin φ)r dr. 16 / 18
Primjer 5 Izračunajte (x 2 + y 2 )dxdy ako je krug sa središtem u ishodištu i radijusom 2. 2π 0 dφ 2 0 r 2 rdr = = 8π 17 / 18
Zadatci 1. Izračunajte (x + y) 2 dxdy ako je područje zadano sa 1 x 1, 0 y 3. 2. Zapišite 1 u polarnim koordinatama. 0 dx 1 0 f (x, y)dy 3. Koristeći polarne koordinate izračunajte dxdy ako je područje zadano sa 5π 6 φ 5π 3, 1 r 4. Geometrijski predočite područje integracije. 18 / 18