MLADI NADARENI MATEMATIČARI Mri Getldic Uvod u ejedkosti..05. Nejedkosti su područje koje je u velikoj mjeri zstupljeo mtemtičkim tjecjim, li se u sredjoškolskom grdivu jedv spomije. Tkvi zdtci mogu stvrti probleme oim koji se e bve mtemtikom izv redove stve, pojvljuju se podjedko tjecjim z sve rzrede, p ih je zto vrlo vžo zti. Metode kojim se rješvju kreću se od oih jjedostvijih x 0) p do korištej vrlo komplicirih ejedkosti z koje se od učeik koji ih primjejuju e očekuje d ih zju dokzti. Svođeje kvdrt Prv metod rješvj ovih zdtk u teoriji je vrlo jedostv, li primjeri će pokzti d se korištejem te ejedkosti mogu riješiti i kompliciriji zdci. Primjeom ejedkosti x 0 rzličite izrze može se riješiti izeđujuće mogo zdtk. Kroz sljedećih ekoliko primjer i zdtk proći ćete osove ideje koje bi treble biti dovolje z rješvje većie zdtk ovog tip. Rješej zdtk prilože su krju dokumet, li svkko se preporuč d ih prije gledj u rješej pokušte smostlo riješiti. Zdci koji su u ktegoriji Zdci z smostl rd emju rješej, jer se od vs očekuje d ih smostlo riješite. Primjer. Dokžite d z rele brojeve, b vrijedi: b b Kod zdtk ovog tip uvijek je koriso prvo ejedkost zpisti u ekvivletom obliku koji s dese stre ejedkosti im 0. D ejedkost ekvivlet je s b b 0. Primjeom formule z kvdrt biom d ejedkost poprim oblik b) 0. Budući d je x 0 z svki x, p od i z x = b, dobive je ejedkost toč, kko je o ekvivlet početoj, zključujemo d je b b. Primjer. Dokžite d z rele brojeve, b, c vrijedi: b c b bc c Poovo zpišimo ejedkost u ekvivletom obliku koji s dese stre ejedkosti im 0. Kod ovog primjer tkođer ćemo se zbog lkšeg rčuj riješiti zivik možejem cijelog izrz s. Tko dolzimo do b c b bc c 0. Potrebo je još jedio primijeiti formulu z kvdrt triom te dolzimo do ejedkosti koj je ekvivlet početoj, oblik je x 0, odoso b c) 0. Primjer. b b) bc b c) c c ) 6bc Ko i u prv dv primjer, du ejedkost pokušt ćemo svesti ejedkost x 0, kko bismo to postigli, prvi je kork rješvje zgrd iz zdtk. Tko dobivmo ejedkost ekvivletu početoj: b b b c bc c c 6bc 0. Treb uočiti d je 6bc = bc bc bc. Tkv m je rstv korisiji jer se izlučivjem iz drugog i petog čl dobiv b c ) bc = b bc c ). Sd treb iskoristiti uvjet zdtk, to je d su, b, c > 0, p iz tog slijedi d je b c) 0. Postupimo li logo i s ostlim človim, dobivmo ejedkost koj je ekvivlet početoj: b c) b c ) c b) 0. Preostje još zključiti kko je dobive ejedkost toč jer zbrjjem izrz većih od 0 dobivmo izrz koji je tkođer veći od 0.
Kod rješvj sličih zdtk često ćemo početu ejedkost trsformirti do eke druge z koju će tvrdj vrijediti. Prilikom tkvih trsformcij užo je u svkom korku provjeriti i glsiti d je ov ejedkost ekvivlet ozk ) početoj, jer u suprotom iz kočog izrz z koji ustovimo d vrijedi e mor slijediti tvrdj zdtk. Zimljivo se tkođer pitti kd vrijedi zk jedkosti. Poekd se u zdcim glsi d je potrebo i to odrediti, li čk i kd to u zdtku ije glšeo, preporuč se d pišete jer se zbog tog zju skidti bodovi. Tko u Primjeru jedkost vrijedi z = b, u Primjeru jedkost vrijedi z = b c, u Primjeru jedkost vrijedi z = b = c. Zdtci Zdtk. Nek su, b, c, d reli brojevi tkvi d je d = b c. Dokžite d vrijedi: b) c d) c) b d) d ) b c) 0 Zdtk. Zdtk. Dokžite d z rele brojeve, b, c vrijedi: b) c) b b c) b ) c c ) c b) 4 b c b bc c Zdtk 4. b c) b c ) c b) b c ) Zdtk 5. bc b b c ) c b c Zdtci z smostl rd Zdtk 6. Nek su, b, c reli brojevi tkvi d je b bc c =. Dokžite d vrijedi: b c Zdtk 7. Nek su, b, c reli brojevi tkvi d je bc =. Dokžite d vrijedi: Zdtk 8. Dokžite d z rele brojeve, b, c vrijedi: ) b ) b b ) c ) c c ) ) 4 b ) 4 b 4) b )
Nejedkosti među sredim Nejedkosti među sredim su možd i jvžije ejedkosti s kojim ćete se susresti. Zdtci sredjoškolskim tjecjim uvijek se mogu riješiti jihovim korištejem, dok pozvje ekih komplicirijih ejedkosti može biti koriso, li ije i užo. Dokzi ovih ejedkosti su dost kompliciri te ih u ovom treutku e vodimo. Nek je prirod broj veći od te ek su x, x,..., x pozitivi reli brojevi. Td je jihov: hrmoijsk sredi geometrijsk sredi ritmetičk sredi kvdrt sredi H = x x..., x G = x x... x, A = x x... x, x x... x K =. Nejedkosti među sredim odose se čijeicu d z ovko defiire sredie vrijedi K A G H, jčešće se koristi A G. Jedkost se postiže z x = x =... = x. Primjer 4. Dokžite d z rele brojeve, b vrijedi: b b Prvo je potrebo uočiti d se A G ejedkost može primijeiti x =, x = b z 0, b 0, jer su td x, x pozitivi reli brojevi. Z = 0, d se ejedkost svodi b 0, što vrijedi, z b = 0 dobije se logo. Sd možemo primijeiti A G ejedkost iz koje dobivmo b b = b. Možejem dobivee ejedkosti s dobivmo tvrdju zdtk: b b. Jedkost vrijedi z = b, odoso, budući d su, b pozitivi reli brojevi, z = b. Primjer 5. Nek su, b, c pozitivi reli brojevi tkvi d je b c =. Dokžite d vrijedi: b c 9 Budući d su, b, c pozitivi reli brojevi, možemo primjejivti ejedkosti među sredim. Zbog uvjet bc zdtk jprirodije je primijeiti A H ejedkost.. Primjeom uvjet zdtk i može- b c jem dobivee ejedkosti s dolzimo do tržee ejedkosti: b c 9. Jedkost vrijedi z = b = c. Primjer 6. b c b c c b Idej u rješvju ovog zdtk je prvo trsformirti du ejedkost u oblik koji će se jedostvije primijeiti ejedkosti među sredim. Kko bismo mogli efikso primijeiti A H ejedkost, dodt ćemo lijevoj i desoj stri ejedkosti. Tko dobivmo b c b c c b 9
odoso b c b c b c c b c b Izlučivjem b c i možejem s dobivmo ejedkost ekvivletu početoj: b c) b c c ) 9 b Uočite d sd tvrdj zdtk slijedi izrvo primjeom A H ejedkosti x = b, x = bc, x = c, jer je dobive ejedkost ekvivlet s b) b c) c ) Jedkost vrijedi z b = b c = c, odoso z = b = c. 9 b bc c Ko što se vidi iz Primjer, odoso Primjer 4, moge je ejedkosti moguće riješiti više či. Tko se i Primjer 5 može riješiti primjeom A G ejedkosti. Zbog uvjet zdtk vrijedi: b c = b c) b ) = c b b ) b c c ) c b ) c Primjeom A G ejedkosti svku od zgrd dolzimo do ejedkosti b c) = 9. Nejedkost iz Primjer 6 ziv se Nesbittov ejedkost i postoji mogo rzličitih dokz ove ejedkosti. Zdtci Zdtk 9. ) bc b b c ) c c ) b 0 Zdtk 0. Nek su, b, c pozitivi reli brojevi tkvi d je bc =. Dokžite d vrijedi: b b c c 0 Zdtk. Dokžite d z duljie stric trokut, b, c vrijedi: b c b c c b b c Zdtk. Nek su,,..., reli brojevi i prirod broj, > tkvi d je = =.. = = =. Dokžite d vrijedi:... Zdtk. Nek su,,..., reli brojevi i prirod broj, > tkvi d je... = s. Dokžite d vrijedi: s s... s 4
Zdtci z smostl rd Zdtk 4. Nek su, b, c pozitivi reli brojevi tkvi d je b c =. Dokžite d vrijedi: b bc c Zdtk 5. Nek su,,..., reli brojevi i prirod broj, > tkvi d je... =. Dokžite d vrijedi:... Zdtk 6. Nek su,,..., reli brojevi i prirod broj tkvi d je... =. Dokžite d vrijedi: ) )... ) ) Mlo teži zdtci Zdtk 7. Nek su 0 <, b, c < tkvi d je b c =. Dokžite d vrijedi: b bc c c b bc b c Zdtk 8. Nek su, b, c pozitivi reli brojevi tkvi d je bc. Dokžite d vrijedi: Rješej zdtk Rješeje zdtk. Vrijedi Jedkost vrijedi z = b. Rješeje zdtk. Vrijedi b b c c b c b) c d) c) b d) d ) b c) 0 c bd d bc 0 d b) c b) 0 korištejem uvjet zdtk) b) 0. b) c) b b c) b ) c c ) c b) 4 4 b c) 4b c ) 4c b) b) b c) c ) b c b b c c c b 6bc z stvk vidi Primjer.) 5
Rješeje zdtk. Vrijedi b c b bc c b c b bc c b b b bc c c c 0 b) b c) c ) 0. Jedkost vrijedi z = b = c. Rješeje zdtk 4. Vrijedi b c) b c ) c b) b c ) b c b c b b c c c b 0 b) c) b b c) b b ) c c ) c c b) 0 b) b ) b c) b c ) c ) c ) 0 b) b) b c) b c) c ) c ) 0 što vrijedi zbog uvjet zdtk. Jedkost vrijedi z = b = c. Rješeje zdtk 5. Budući d je bc b b c c ) b c bcb c)c ) c ) b) b)b c)) b c) b)b c)c ) ko izmžj i fktorizirj dobivmo b c) b bc c) b c ) b bc c b) c b) c c b bc) 0 što vrijedi zbog uvjet zdtk. Jedkost vrijedi z = b = c. Rješeje zdtk 9. Zbog A G ejedkosi vrijedi b b c c b b b bc bc b c c c c bc) bb c) cc b) b c ) bb c ) cc b ) Budući d je ejedkost ekvivlet s tvrdj slijedi po Zdtku Rješeje zdtk 0. Zbog A G ejedkosti vrijedi b c ) bb c ) cc b ) 0 b c b bc c b b c c 0 )b ) b )c ) c ) ) 0 b bc c b c b c. Nejedkost u ovom obliku je dost ezgod z primjeu ejedkosti među sredim, budući d su eki od člov egtivi. Zto ćemo je trsformirti u sljedeći oblik: b bc c ) b ) c ) b c 6. 6
Sd možemo odvojeo promtrti dvije ejedkosti koje u sumi dju tržeu. ) b ) c ) 0 b bc c b c 6 6 b bc c b c Zbog uvjet zdtk, slijedi b bc c b c 6. Jedkost vrijedi z = b = c =. Rješeje zdtk. Uvjet d su, b, c strice trokut zči d je < b c, b < c, c < b, odoso d je b c > 0, b c > 0, c b > 0. Vrijedi b c b c c b = b c b c b c c b c b b c. Primjeom A K ejedkosti svki od izrz, dobivmo b c b c b c) b c ) = b b c c b b c ) c b) = c c b b c c c) b c) =. Jedkost vrijedi z b c = b c = c b, odoso = b = c. Rješeje zdtk. Vrijedi...... Sd možemo primijeiti A G ejedkost svki od člov, tvrdj zdtk slijedi izrvo iz jihove sumcije i primjee uvjet zdtk. Rješeje zdtk. Vrijedi Iz A H ejedkosti dobivmo s s... s =. s s s s... s s. s s s s... s s s s...s s = =. 7