Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja semestra. Potrebno predznanje Ovaj seminar saºima sva do sada obražena svojstva realnih funkcija i nastavlja se na seminar 12. Obraživati emo ga do kraja semestra. Od novih stvari nuºno je poznavati sljede e: Posljedica predznaka derivacije na rast ili pad funkcije. Derivacija funkcije f u nekoj to ki odgovara nagibu tangente grafa u toj to ki: pozitivna derivacija (f(x) > 0, x I) odgovara rastu funkcije na intervalu I, a negativna derivacija (f(x) < 0) njenom padu. Kriti ne to ke od f su takve to ke x D(f) da je f neprekidna u x i jo² vrijedi jedno od sljede eg: f nije derivabilna u x, dakle x / D(f ), vrijedi f (x) = 0 (tada se x naziva stacionarna to ka). Lokalni ekstremi su lokalni minimumi i maksimumi: Lokalni maksimum M = f(x 0 ) je to ka takva da je f(x) < f(x 0 ) za svaki x x 0 iz neke ε-okoline oko x 0. Lokalni minimum m = f(x 0 ) je to ka takva da je f(x) > f(x 0 ) za svaki x x 0 iz neke ε-okoline oko x 0. Globalni maksimum M G = f(x 0 ) je to ka takva da x D(f) vrijedi M G f(x). Ujedno je to maksimum slike funkcije. Globalni minimum m G = f(x 0 ) je to ka takva da x D(f) vrijedi m G f(x).ujedno je to minimum slike funkcije. Nuºan uvjet za ekstrem. Ako je f neprekidna funkcija i x lokalni ekstrem funkcije tada je x kriti na to ka ili je x na rubu D(f). Prvi dovoljan uvjet za ekstrem. Neka je f derivabilna funkcija i neka f mijenja predznak u to ki x D(f), ali ne na rubu domene tada moºemo zaklju iti da je f(x) lokalni ekstrem. Ako je promjena predznaka od f iz pozitivnog u negativni, tada je rije o lokalnom maksimumu, a ako je promjena predznaka od f iz negativnog u pozitivni tada je rije o lokalnom minimumu. Drugi dovoljan uvjet za ekstrem. Neka je f derivabilna funkcija i x kriti na to ka i f (x) 0 tada f ima lokalni ekstrem u x. Pritom, ako f (x) > 0 tada je f(x) lokalni minimum, a ako je f (x) < 0 tada je f(x) lokalni maksimum. Konveksnost i konkavnost (nazivi su obrnuti u knjizi prof. Ugle²i a). Funkcija je konveksna ako svaka duºina koja spaja dvije to ke s grafa funkcije leºi itava iznad grafa te funkcije, a konkavna ako svaka spojnica dvije to ke s grafa leºi ispod istog grafa. Za dvaput derivabilnu funkciju vrijedi: f (x) 0 za x I = f je konveksna na intervalu I f (x) 0 za x I = f je konkavna na intervalu I Obrati²te ili ineksijska to ka je to ka na grafu funkcije u kojoj funkcija prelazi iz konkavne u konveksnu ili obrnuto. Ako funkcija f ima ineksiju u to ki x i ako postoji f (x), tada je nuºno da je f (x) = 0. Da bi funkcija imala ineksiju u to ki x dovoljno je da druga derivacija mijenja predznak prolaskom kroz x.
Priprema Primjer osnovne elementarne funkcije koja ima lokalni ekstrem (minimum), a ujedno i globalni ekstrem (minimum) je kvadratna funkcija. Taj ekstrem se postiºe u nuli. 1. Nacrtati graf kvadratne funkcije i zaokruºiti to ku na grafu koja odgovara tom ekstremu. Provjeriti da je nula kriti na to ka kvadratne funkcije (f (0) = 0). Provjeriti da nula zadovoljava nuºan uvjet za ekstrem, zatim prvi dovoljan uvjet za ekstrem i drugi dovoljan uvjet za ekstrem. Primjer osnovne elementarne funkcije koja nema lokalni ekstrem u kriti noj to ki x = 0 je kubna funkcija f(x) = x 3. 2. Nacrtati graf kubne funkcije i zaokruºiti to ku na grafu koja odgovara spomenutoj kriti noj to ki. Provjeriti da je nula kriti na to ka kubne funkcije (f (0) = 0). Provjeriti da nula zadovoljava nuºan uvjet za ekstrem, ali ne zadovoljava prvi, a niti drugi dovoljan uvjet za ekstrem. Primjeri konveksnih funkcija su: exponencijalna funkcija sa bazama 2 i e, te kvadratna funkcija, a primjeri konkavnih funkcija su prirodni logaritam i logaritam s bazom 2, te drugi korijen. 3. Za spomenute funkcije nacrtati graf funkcije za svaku posebno. Na svakom nacrtanom grafu odabrati dvije to ke sa grafa i spojiti ih duºinom. Provjeriti da nacrtane spojnice leºe iznad grafa za svaku spomenutu konveksnu funkciju, a ispod grafa za svaku spomenutu konkavnu funkciju. 4. Odrediti drugu derivaciju za svaku od ²est gore spomenutih funkcija i provjeriti da za spomenute konveksne funkcije vrijedi f (x) 0 na cijeloj domeni funkcije, a za spomenute konkavne f (x) 0 na cijeloj domeni funkcije.
Glavni dio seminara Odreživanje toka funkcije f implicitno zadane odreženim algebarskim izrazom podrazumijeva crtanje skice grafa funkcije na temelju odreživanja sljede eg: (1) domena: D(f), (2) asimptote: ispituju se na rubovima domene ili u to kama prekida, (3) globalna svojstva omeženost: zaklju ak izvodimo iz asimptota, parnost i neparnost: usporežujemo f( x) sa f(x) i f(x), periodi nost: na osnovi periodi nosti trigonometrijskih funkcija. (4) sjeci²ta sa koordinatnim osima: horizontalnom ( za koji parametar x vrijedi f(x) = 0) i vertikalnom (koliko iznosi f(0)), (5) prva i druga derivacija: f i f, (6) kriti ne to ke: nalaze se na D(f) tamo gdje f (x) nije denirana ili je f (x) = 0, (7) monotonost: funkcija raste tamo gdje je f (x) > 0, a pada gdje je f (x) < 0, (8) lokalni ekstremi koji mogu biti: kriti ne to ke u kojima se rast mijenja u pad ili obratno: na osnovu ispitivanja monotonosti (prvi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem), a moºe se jo² jednom provjeriti i pomo u druge derivacije (drugi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem) i to ke na rubu domene, (9) globalni ekstremi: globalni minimum je najmanji od lokalnih minimuma ili ne postoji ako je funkcija neograni ena odozdo, a globalni maksimum najve i od lokalnih maksimuma ili ne postoji ako je funkcija neomežena odozgo, (10) rije²iti f (x) = 0, a na temelju toga odrediti konveksnost (gdje je f 0), konkavnost (f 0) i to ke ineksije (gdje f mijenja predznak ). Vaºno! Ukoliko se nekoliko pokazatelja na osnovi kojih se crta graf ne uklapa zajedno, sigurno je do²lo do pogre²ke u odreživanju tih pokazatelja pa treba provjeriti odreživanje onih svojstava koja su mežusobno kontradiktorna. Ponekad dio navedenih svojstava zbog kompleksnosti izraza ne moºemo odrediti. Tada ne preostaje drugo ve poku²ati napraviti skicu grafa samo na osnovi onog dijela pokazatelja koji su uspje²no izra unati. Primjer 1. Odrediti tok funkcije f(x) = x x 1. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf
Ponekad neko svojstvo na temelju kojeg odrežujemo tok funkcije ne moºemo odrediti jer je izraz koji treba rije²iti za nas prekompliciran, ali kada iz podataka koje moºemo izra unati nacrtamo skicu grafa, taj graf nam pokaºe svojstvo koje nismo znali izra unati akgebarski. U sljede em primjeru ne znamo odmah izra unati nulto ke funkcije, ali na osnovi grafa na kraju nam posatje jasno da funkcija nema nulto aka. ( ) e Primjer 2. Odrediti tok funkcije f(x) = arctan e x 1 2x 2 ln e 2x. + 1
15 + 8x + x2 Primjer 3. Odrediti tok funkcije f(x) = 9 x 2.. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf Primjer 4. Odrediti tok funkcije f(x) = x3 2 x2 4 3x 4 + 2. Graf ove funkcije nalazi se na prvoj strani seminara 12.
Primjer 5. Odrediti tok funkcije f(x) = x2 + 1 x 2 1.. Vidi sli no na http://lavica.fesb.hr/mat1/vjezbe/node107.html Primjer 6. Odrediti tok funkcije f(x) = 2x + x 2 + x.. Vidi sli no na http://lavica.fesb.hr/mat1/vjezbe/node108.html
Primjer 7. Odrediti tok funkcije f(x) = 4 + x 4 x. Primjer 8. Odrediti tok funkcije f(x) = 2 1 x ln x. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf
Primjer 9. Odrediti tok funkcije f(x) = 1 cos 2 (3x). Primjer 10. Odrediti tok funkcije f(x) = e x tan x.. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf
Primjer 11. Odrediti tok funkcije f(x) = x e 1 x 2 1. Vidi http://lavica.fesb.hr/mat1/vjezbe/node109.html Primjer 12. Odrediti tok funkcije f(x) = ex x. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090907.pdf Ako ostane vremena odreživati emo tok funkcija koje su bile zadane na pismenim ispitima u toku protekle godine...