Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja

Слични документи
3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Microsoft Word - predavanje8

Studij Ime i prezime Broj bodova MATEMATIKA 2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minut

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

My_ST_FTNIspiti_Free

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i prim

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16. lipnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisan

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

СТЕПЕН појам и особине

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Optimizacija

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

vjezbe-difrfv.dvi

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Gajo Vučinić

MatematikaRS_2.pdf

18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

Nastavno pismo 3

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

MARKOVLJEVI LANCI Prvi kolokvij 28. studenog Zadatak 1. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) i njegovo stanje i S neka T (n) i u stanje i.

Microsoft Word - 24ms221

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisa

Microsoft Word - vodic B - konacna

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Neodreeni integrali - Predavanje III

Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku KLASTER ANALIZA U STATISTIƒKOM ZAKLjUƒIVANjU Master rad Student: Katarina M

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Nata²a Galiot Algebarska struktura grupa Zavr²

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

MIKROEKONOMIJA Usmeni

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

Microsoft Word - EKSTREMNE VREDNOSTI I MONOTONOST FUNKCIJE.doc

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

Microsoft Word - Lekcija 11.doc

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.

Analiticka geometrija

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

OpenStax-CNX module: m Kriptografija * Jasmin Ahmeti This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution

My_P_Trigo_Zbir_Free

Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o

Zajedni ki sveu ili²ni poslijediplomski doktorski studij matematike Sveu ili²ta u Zagrebu, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku, Sveu ili²ta u Rij

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 12ms101

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Транскрипт:

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja semestra. Potrebno predznanje Ovaj seminar saºima sva do sada obražena svojstva realnih funkcija i nastavlja se na seminar 12. Obraživati emo ga do kraja semestra. Od novih stvari nuºno je poznavati sljede e: Posljedica predznaka derivacije na rast ili pad funkcije. Derivacija funkcije f u nekoj to ki odgovara nagibu tangente grafa u toj to ki: pozitivna derivacija (f(x) > 0, x I) odgovara rastu funkcije na intervalu I, a negativna derivacija (f(x) < 0) njenom padu. Kriti ne to ke od f su takve to ke x D(f) da je f neprekidna u x i jo² vrijedi jedno od sljede eg: f nije derivabilna u x, dakle x / D(f ), vrijedi f (x) = 0 (tada se x naziva stacionarna to ka). Lokalni ekstremi su lokalni minimumi i maksimumi: Lokalni maksimum M = f(x 0 ) je to ka takva da je f(x) < f(x 0 ) za svaki x x 0 iz neke ε-okoline oko x 0. Lokalni minimum m = f(x 0 ) je to ka takva da je f(x) > f(x 0 ) za svaki x x 0 iz neke ε-okoline oko x 0. Globalni maksimum M G = f(x 0 ) je to ka takva da x D(f) vrijedi M G f(x). Ujedno je to maksimum slike funkcije. Globalni minimum m G = f(x 0 ) je to ka takva da x D(f) vrijedi m G f(x).ujedno je to minimum slike funkcije. Nuºan uvjet za ekstrem. Ako je f neprekidna funkcija i x lokalni ekstrem funkcije tada je x kriti na to ka ili je x na rubu D(f). Prvi dovoljan uvjet za ekstrem. Neka je f derivabilna funkcija i neka f mijenja predznak u to ki x D(f), ali ne na rubu domene tada moºemo zaklju iti da je f(x) lokalni ekstrem. Ako je promjena predznaka od f iz pozitivnog u negativni, tada je rije o lokalnom maksimumu, a ako je promjena predznaka od f iz negativnog u pozitivni tada je rije o lokalnom minimumu. Drugi dovoljan uvjet za ekstrem. Neka je f derivabilna funkcija i x kriti na to ka i f (x) 0 tada f ima lokalni ekstrem u x. Pritom, ako f (x) > 0 tada je f(x) lokalni minimum, a ako je f (x) < 0 tada je f(x) lokalni maksimum. Konveksnost i konkavnost (nazivi su obrnuti u knjizi prof. Ugle²i a). Funkcija je konveksna ako svaka duºina koja spaja dvije to ke s grafa funkcije leºi itava iznad grafa te funkcije, a konkavna ako svaka spojnica dvije to ke s grafa leºi ispod istog grafa. Za dvaput derivabilnu funkciju vrijedi: f (x) 0 za x I = f je konveksna na intervalu I f (x) 0 za x I = f je konkavna na intervalu I Obrati²te ili ineksijska to ka je to ka na grafu funkcije u kojoj funkcija prelazi iz konkavne u konveksnu ili obrnuto. Ako funkcija f ima ineksiju u to ki x i ako postoji f (x), tada je nuºno da je f (x) = 0. Da bi funkcija imala ineksiju u to ki x dovoljno je da druga derivacija mijenja predznak prolaskom kroz x.

Priprema Primjer osnovne elementarne funkcije koja ima lokalni ekstrem (minimum), a ujedno i globalni ekstrem (minimum) je kvadratna funkcija. Taj ekstrem se postiºe u nuli. 1. Nacrtati graf kvadratne funkcije i zaokruºiti to ku na grafu koja odgovara tom ekstremu. Provjeriti da je nula kriti na to ka kvadratne funkcije (f (0) = 0). Provjeriti da nula zadovoljava nuºan uvjet za ekstrem, zatim prvi dovoljan uvjet za ekstrem i drugi dovoljan uvjet za ekstrem. Primjer osnovne elementarne funkcije koja nema lokalni ekstrem u kriti noj to ki x = 0 je kubna funkcija f(x) = x 3. 2. Nacrtati graf kubne funkcije i zaokruºiti to ku na grafu koja odgovara spomenutoj kriti noj to ki. Provjeriti da je nula kriti na to ka kubne funkcije (f (0) = 0). Provjeriti da nula zadovoljava nuºan uvjet za ekstrem, ali ne zadovoljava prvi, a niti drugi dovoljan uvjet za ekstrem. Primjeri konveksnih funkcija su: exponencijalna funkcija sa bazama 2 i e, te kvadratna funkcija, a primjeri konkavnih funkcija su prirodni logaritam i logaritam s bazom 2, te drugi korijen. 3. Za spomenute funkcije nacrtati graf funkcije za svaku posebno. Na svakom nacrtanom grafu odabrati dvije to ke sa grafa i spojiti ih duºinom. Provjeriti da nacrtane spojnice leºe iznad grafa za svaku spomenutu konveksnu funkciju, a ispod grafa za svaku spomenutu konkavnu funkciju. 4. Odrediti drugu derivaciju za svaku od ²est gore spomenutih funkcija i provjeriti da za spomenute konveksne funkcije vrijedi f (x) 0 na cijeloj domeni funkcije, a za spomenute konkavne f (x) 0 na cijeloj domeni funkcije.

Glavni dio seminara Odreživanje toka funkcije f implicitno zadane odreženim algebarskim izrazom podrazumijeva crtanje skice grafa funkcije na temelju odreživanja sljede eg: (1) domena: D(f), (2) asimptote: ispituju se na rubovima domene ili u to kama prekida, (3) globalna svojstva omeženost: zaklju ak izvodimo iz asimptota, parnost i neparnost: usporežujemo f( x) sa f(x) i f(x), periodi nost: na osnovi periodi nosti trigonometrijskih funkcija. (4) sjeci²ta sa koordinatnim osima: horizontalnom ( za koji parametar x vrijedi f(x) = 0) i vertikalnom (koliko iznosi f(0)), (5) prva i druga derivacija: f i f, (6) kriti ne to ke: nalaze se na D(f) tamo gdje f (x) nije denirana ili je f (x) = 0, (7) monotonost: funkcija raste tamo gdje je f (x) > 0, a pada gdje je f (x) < 0, (8) lokalni ekstremi koji mogu biti: kriti ne to ke u kojima se rast mijenja u pad ili obratno: na osnovu ispitivanja monotonosti (prvi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem), a moºe se jo² jednom provjeriti i pomo u druge derivacije (drugi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem) i to ke na rubu domene, (9) globalni ekstremi: globalni minimum je najmanji od lokalnih minimuma ili ne postoji ako je funkcija neograni ena odozdo, a globalni maksimum najve i od lokalnih maksimuma ili ne postoji ako je funkcija neomežena odozgo, (10) rije²iti f (x) = 0, a na temelju toga odrediti konveksnost (gdje je f 0), konkavnost (f 0) i to ke ineksije (gdje f mijenja predznak ). Vaºno! Ukoliko se nekoliko pokazatelja na osnovi kojih se crta graf ne uklapa zajedno, sigurno je do²lo do pogre²ke u odreživanju tih pokazatelja pa treba provjeriti odreživanje onih svojstava koja su mežusobno kontradiktorna. Ponekad dio navedenih svojstava zbog kompleksnosti izraza ne moºemo odrediti. Tada ne preostaje drugo ve poku²ati napraviti skicu grafa samo na osnovi onog dijela pokazatelja koji su uspje²no izra unati. Primjer 1. Odrediti tok funkcije f(x) = x x 1. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf

Ponekad neko svojstvo na temelju kojeg odrežujemo tok funkcije ne moºemo odrediti jer je izraz koji treba rije²iti za nas prekompliciran, ali kada iz podataka koje moºemo izra unati nacrtamo skicu grafa, taj graf nam pokaºe svojstvo koje nismo znali izra unati akgebarski. U sljede em primjeru ne znamo odmah izra unati nulto ke funkcije, ali na osnovi grafa na kraju nam posatje jasno da funkcija nema nulto aka. ( ) e Primjer 2. Odrediti tok funkcije f(x) = arctan e x 1 2x 2 ln e 2x. + 1

15 + 8x + x2 Primjer 3. Odrediti tok funkcije f(x) = 9 x 2.. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf Primjer 4. Odrediti tok funkcije f(x) = x3 2 x2 4 3x 4 + 2. Graf ove funkcije nalazi se na prvoj strani seminara 12.

Primjer 5. Odrediti tok funkcije f(x) = x2 + 1 x 2 1.. Vidi sli no na http://lavica.fesb.hr/mat1/vjezbe/node107.html Primjer 6. Odrediti tok funkcije f(x) = 2x + x 2 + x.. Vidi sli no na http://lavica.fesb.hr/mat1/vjezbe/node108.html

Primjer 7. Odrediti tok funkcije f(x) = 4 + x 4 x. Primjer 8. Odrediti tok funkcije f(x) = 2 1 x ln x. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf

Primjer 9. Odrediti tok funkcije f(x) = 1 cos 2 (3x). Primjer 10. Odrediti tok funkcije f(x) = e x tan x.. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090922.pdf

Primjer 11. Odrediti tok funkcije f(x) = x e 1 x 2 1. Vidi http://lavica.fesb.hr/mat1/vjezbe/node109.html Primjer 12. Odrediti tok funkcije f(x) = ex x. Vidi http://personal.unizd.hr/~makosor/mat1_20090907.pdf Ako ostane vremena odreživati emo tok funkcija koje su bile zadane na pismenim ispitima u toku protekle godine...