Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16. lipnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisan

Транскрипт

1 Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16 lipnja 2018 Napomene Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6 Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1(10) Odredite op e rje²enje diferencijalne jednadºbe y 2y + 5y = e 2x + 1 2(15) Rije²ite zada u { x 2 y y 2 = 5xy + 4x 2 3(10 = 5 + 5) Izra unajte limese: ( ) lim e n + e n e n 2 lim n 4(15) Ispitajte konvergenciju redova: y(1) = (5n + 101) (6n 1) ( 1 1 n) n

2 5(20) Odredite jednadºbu krivulje y = f(x) u ravnini za koju je za svaku njezinu to ku povr²ina trokuta kojeg tvore tangenta u toj to ki, radij-vektor te to ke i os apscisa uvijek jednaka 100 cm 2 te ako krivulja prolazi kroz to ku (1, 1) Skicirajte tu krivulju! 6(10) Funkcija je zadana s f(x) = { 0, x = 0 x 1, 0 < x 2 3 x, 2 < x 4 Ta je funkcija prvo pro²irena do neparne funkcije na segmentu [ 4, 4], a zatim po periodi nosti pro²irena na cijeli skup R Skicirajte graf te funkcije i odredite njenu najbolju aproksimaciju s 4 lana Fourierovog razvoja

3 Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16 lipnja 2018 Napomene Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6 Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1(10) Odredite op e rje²enje diferencijalne jednadºbe y + 4y + 5y = 2 e x 2(15) Rije²ite zada u { x 2 y 3xy = y 2 + x 2 y(1) = 2 3(10 = 5 + 5) Izra unajte limese: 1 lim n lim ( 4n 2 n n) 4(15) Ispitajte konvergenciju redova: n n (5n 1) ( n)

4 5(20) Padobranac mase 77 kg ska e iz aviona Dok ne otvori padobran, otpor zraka je u svakom trenutku proporcionalan trenutnoj brzini s konstantom proporcionalnosti 7 kg/s, a nakon otvaranja padobrana otpor zraka postaje proporcionalan kvadratu trenutne brzine s konstantom proporcionalnosti iznosa 30 kg/m Konstantu g moºete, jednostavnijeg ra una radi, procijeniti s 10 m/s 2 Ako je padobranac isko io iz aviona na visini 500 m iznad tla (po etna brzina neka mu je 0 m/s), te ako je padobran otvorio 3 s nakon skoka, s kojom brzinom e padobranac dotaknuti tlo? Hint 1 a 2 b 2 x 2 = 1 2a ( 1 a + bx + 1 a bx ) 6(10) Odredite polinom 3 stupnja koji oko to ke c = 0 najbolje aproksimira funkciju f(x) = (2x 2 + 3x)e x Ako emo u taj polinom uvr²tavati samo x-eve ve e od 0, odredite najve i d tako da za x [0, d gre²ka procjene f(x) tim polinomom ne bude ve a od 10 3

5 Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16 lipnja 2018 Napomene Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6 Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1(10) Odredite op e rje²enje diferencijalne jednadºbe y 6y + 10y = e 2x 3 2(15) Rije²ite zada u { x 2 y y 2 = 4x 2 3xy 3(10 = 5 + 5) Izra unajte limese: ( lim e n ) e 2n + e n + 1 lim n 4(15) Ispitajte konvergenciju redova: y(1) = ( n) (4n 3) ( 1 3 n) n

6 5(20) Odredite jednadºbu krivulje y = f(x) u ravnini koja prolazi kroz to ku (3, 1), ako je poznato da je za svaku njezinu to ku duljina suptangente jednaka zbroju koordinata te to ke Pritom se suptangenta denira kao duºina kojoj je jedan kraj sjeci²te tangente i osi apscisa, a drugi kraj je projekcija dirali²ta tangente na os apscisa 6(10) f(x) = { x 1, 0 x 2 3 x, 2 < x 4 Ta je funkcija prvo pro²irena do parne funkcije na segmentu [ 4, 4], a zatim po periodi nosti pro²irena na cijeli skup R Skicirajte graf te funkcije i odredite njenu najbolju aproksimaciju s 4 lana Fourierovog razvoja

7 Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16 lipnja 2018 Napomene Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom Rje²enja zadataka 1 4 predajte odvojeno od rje²enja zadataka 5 6 Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1(10) Odredite op e rje²enje diferencijalne jednadºbe y + 6y + 10y = 4 + e x 2(15) Rije²ite zada u { x 2 y + xy = x 2 + y 2 y(1) = 0 3(10 = 5 + 5) Izra unajte limese: 1 lim n ( lim 2 n 2 2 n + 2 n (15) Ispitajte konvergenciju redova: ) n 3 5 n (5n 2) (3n + 101)

8 5(20) U cisterni se na po etku nalazi 800 L vode u kojoj je otopljeno 2 dkg neke tvari X U cisternu se brzinom od 4 L/h ulijeva vodena otopina konstantne masene koncentracije tvari X iznosa 5 dkg/l Iz cisterne se teku ina isprva izlijeva istom brzinom od 4 L/h U trenutku kad masa tvari X u cisterni dosegne 500 dkg prestaje se dolijevati otopina Od tog trena nadalje ulijeva se ista voda brzinom 3 L/h, a istjecanje se ubrzava na 5 L/h Pretpostavljamo da je otopina u svakom trenutku homogena Nakon koliko vremena e masa tvari X u cisterni biti 200 dkg? 6(10) Odredite polinom 4 stupnja koji oko to ke c = 1 najbolje aproksimira funkciju f(x) = x 2 ln x Ako emo u taj polinom uvr²tavati samo x-eve ve e od 1, odredite najve i d tako da za x [1, d gre²ka procjene f(x) tim polinomom ne bude ve a od 10 3

9 Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16 lipnja 2018 Instructions You can use a calculator, a typeset or hand-written formulae sheet (booklets and logarithmic tables are not allowed), and writing utensils The graders will ignore any illegible parts of the test Please write your solution to Problems 14 and your solution to Problems 56 on separate sheets of paper Please write your rst name, surname, and identication code of the form K17*** on each sheet of paper that you turn in 1(10) Find the general solution of the dierential equation y 2y + 5y = e 2x + 1 2(15) Solve the problem { x 2 y y 2 = 5xy + 4x 2 y(1) = 1 3(10 = 5 + 5) Compute the following limits: ( ) lim e n + e n e n 2 lim n 4(15) Determine whether each of the following series converges or diverges: (5n + 101) (6n 1) ( 1 1 n) n

10 5(20) Find the equation of the curve y = f(x) in the plane if the following holds: for every point T of the curve, the area of the triangle whose sides lie on the tangent line at T, on the radius vector of T, and on the x-axis (respectively) is 100cm 2, and the curve passes through the point (1, 1) Sketch that curve! 6(10) A function f is dened by the formula f(x) = { 0, x = 0 x 1, 0 < x 2 3 x, 2 < x 4 This function is rst extended to an odd function on the segment [ 4, 4], and then extended by periodicity to the whole set R Sketch the graph of that function and nd its best approximation by 4 terms of Fourier series