PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzie u Nišu MASTER RAD Krmine prvilno promenljive funkcije i linerne diferencijlne jednčine Menor: Prof. dr Jelen Mnojlović Suden: Krin Kosdinov Niš, 2015.
Sdržj 1 Krmine sporo promenljive funkcije 4 1.1 Teorem o uniformnoj konvergenciji............... 4 1.2 Teorem o reprezenciji..................... 6 1.3 Primeri i svojsv sporo promenljivih funkcij......... 11 2 Krmine prvilno promenljive funkcije 18 2.1 Teorem o krkerizciji..................... 18 2.2 Teorem o reprezenciji prvilno promenljivih funkcij.............................. 21 2.3 Teorem o uniformnoj konvergenciji prvilno promenljivih funkcij....................... 22 2.4 Osobine prvilno promenljivih funkcij............. 24 2.5 Monoonos............................ 28 2.6 Zigmundov kls funkcij.................... 32 2.7 Krmin inegrln eorem (direkn smer)........ 34 2.8 Krmin inegrln eorem (supron smer)........ 37 2.9 Asimposki inverz i konjugcij................. 39 3 Linerne diferencijlne jednčine drugog red 43 3.1 Osnovn vrd enj i pojmovi o linernim DJ drugog red... 43 3.2 Šurmov eorij linernih DJ.................. 46 3.3 Egzisencij prvilno promenljivih rešenj........... 51 Lierur 67 1
Uvod Pojm prvilno promenljive funkcije je 1930. godine uveo jedn od njvećih srpskih memičr, Jovn Krm (1902-1967). Jovn Krm je 1925. godine zvršio sudije memike n Filozofskom fkuleu Univerzie u Beogrdu, smo ri mesec ksnije ise godine dokoriro kod Mihil Perovic Als. Bio je univerzieski profesor u Beogrdu od 1930. do 1950. godine, kd je po pozivu prešo n Ženevski univerzie, gde je oso do smri. Krm nije poklnjo mnogo pžnje formlnom školskom znnju, već je još ko suden ežio smoslnom isrživčkom rdu. Od Mihil Perović je primio veliku i iskrenu ljubv prem nuci, želju z čisim nučničkim rdom, ideje oslobod ene formlnih seg i prvce u kojim reb ržii rezule. Tko će Krm z obls svog rd izbri eoriju funkcij, jednu od oblsi u kojoj je Perović do znčjne rezule i koji su Perovićevo ime učinili poznim. Krjem dvdeseih i počekom rideseih godin Krm je proučvo jednu novu klsu funkcij - prvilno promenljive funkcije. Ov eorij, koj je u sušini deo memičke nlize, je nšl primenu u mnogim oblsim memike ko šo su eorij brojev, kompleksn nliz, eorij verovnoće, eorij igr i eorij diferencijlnih jednčin. Dlji rzvoj eorije prvilno promenljivih funkcij nsvili su pripdnici zv. Krmine škole (Avkumović, Aljnčić, Bšjski, Bojnić, Tomić, Mrić, Admović, Arnd elović), ko i Binghm, Goldie, Teugels, Sene, Geluk, de Hn i mnogi drugi. Čk i dns, Krm je jedn od njciirnijih srpskih memičr. Prvi rd koji povezuje prvilno promenljive funkcije i diferencijlne jednčine je uor V. G. Avkumović [1] iz 1947. godine. Tj rd, med uim, nije privuko previše pžnje - u o vreme eorij prvilno promenljivih funkcij nije primenjivn u eoriji diferencijlnih jednčin - sve do nekih ridese godin ksnije, kd su Mrić i Tomić u svojim rdovim nsvili i dlje rzvili isrživnje diferencijlnih jednčin koriseći prvilno promenljive funkcije. Posle pojvljivnj Mrićeve monogrfije [6], isrživnje nelinernih diferencijlnih jednčin koriseći prvilno promenljive funkcije je posebno inenzivirno i dns predsvlj vrlo kuelnu obls isrživnj. U prehodnih penes godin objvljen je veliki broj rdov u kojim su se uori bvili izučvnjem nelinernih diferencijlnih jednčin drugog red i višeg red, nelinernih sisem diferencijlnih jednčin, funkcionlnih diferencijlnih 2
jednčin, diferencnih prcijlnih jednčin. Rzvijeni su novi meodi i dobijeni vrlo znčjni rezuli. Mser rd se ssoji od ri glve. U prve dve glve biće izloženi njvžniji elemeni eorije prvilno promenljivih funkcij. Biće nveden i dokzn njvžnij svojsv sporo i prvilno promenljivih funkcij. U rećoj glvi biće dokzni njvžniji rezuli primene Krmine eorije n linerne diferencijlne jednčine drugog red. Biće odred eni porebni i dovoljni uslovi pod kojim fundmenlni sisem rešenj linerne diferencijlne jednčine drugog red čine Krmine prvilno promenljive funkcij. Zhvljujem se menoru, prof. dr Jeleni Mnojlović n ukznoj pomoći i srpljenju pri izrdi ovog rd. 3
1 Krmine sporo promenljive funkcije 1.1 Teorem o uniformnoj konvergenciji Definicij 1.1. Nek je poziivn merljiv 1 funkcij l definisn n skupu [X, + ). Funkcij l je sporo promenljiv funkcij (u Krminom smislu) ko z svko λ > 0 zdovoljv uslov l(λ) l() 1 ( + ). (1.1.1) Definiciju sporo promenljivih funkcij uvodi Krm 1930.godine, li se umeso uslov merljivosi zhevo uslov neprekidnosi de funkcije. Bez gubljenj opšosi može se preposvii d je funkcij l definisn n inervlu (0, + ), n j nčin šo ćemo dodefinisi funkciju l dodeljujući joj vrednos l() := l(x) n inervlu (0, X). Jedn od njvžnijih eorem ove oblsi je Teorem o uniformnoj konvergenciji sporo promenljivih funkcij koju je Krm dokzo uz preposvku d je l neprekidn funkcij, dok je Korevr 2 isu eoremu pokzo uz preposvku o merljivosi funkcije l. Definicij 1.2. Nek je funkcij f definisn n skupu X Y, funkcij φ definisn n skupu X i nek je + čk ngomilvnj skup Y. Funkcij f(, y) uniformno (rvnomerno) konvergir k funkciji φ() n skupu X (ili po X) kd y +, u oznci ko i smo ko f(, y) X φ() (y + ) ( ε > 0) ( y 0 > 0)( X)( y Y )(y y 0 f(, y) φ() < ε). Teorem 1.1 (Teorem o uniformnoj konvergenciji). Ako je l sporo promenljiv funkcij d l(λ) l() K 1 ( + ), gde je K proizvoljn kompkn podskup inervl (0, + ). 1 U nsvku, pod erminom merljiv podrzumevće se merljivos u odnosu n Lebegovu meru. 2 Jcob Korevr (1923 - ), holndski memičr 4
Dokz: Definišimo h() := ln l(e ). Zbog neprekidnosi logrimske funkcije uslov (2.1.1) ekvivlenn je uslovu ln l(λ) ln l() 0 ( + ), z svko λ > 0, šo je dlje, uz korišćenje znnj iz memičke nlize, ekvivlenno uslovu z svko u R. h( + u) h() 0 ( + ), (1.1.2) U skldu s novim oznkm, d bismo dokzli eoremu, dovoljno je d pokžemo uniformnu konvergenciju u izrzu (1.1.2) n proizvoljnom segmenu [0, A]. Posledic ovog biće uniformn konvergencij n svkom končnom segmenu, odle i n svkom kompku u R. Nek je ε (0, A). Z proizvoljno > 0, uvedimo sledeće oznke I := [, + 2A], E := { I : h() h() 12 ε, E := { [0, 2A] : h( + ) h() 12 ε. Zbog merljivosi funkcije l, skupovi E i E su merljivi, dok zbog njihovog nčin definisnj vži m(e ) = m(e ) 3. Koriseći (1.1.2) zključujemo d m(e ) 0 kd +. Odle posoji 0 > 0 ko d z svko 0, m(e ) < 1 2 ε. Nek je c [0, A]. Td z 0, n osnovu osobin Lebegove 4 mere, vži m(e E +c ) m(e ) + m(e +c ) = m(e ) + m(e +c) < ε < A. (1.1.3) Dlje, kko je I +c I = [ + c, + 2A], o je m(i +c I ) = 2A c A. (1.1.4) 3 m-lebegov mer 4 Henri Lebesgue (1875-1941), frncuski memičr 5
Iz (1.1.3) i (1.1.4) končno zključujemo d je z proizvoljno c [0, A] i 0 skup (I +c I ) \ (E E +c ) poziivne mere, j. neprzn skup. Nek je proizvoljn čk og skup. Td h() h() < 1 2 ε, h() h( + c) < 1 2 ε. Dkle, z proizvoljno ε > 0 posoji 0 > 0 ko d z svko 0, i svko c [0, A], vži h( + c) h() < ε, šo po definiciji dokzuje rženu uniformnu konvergenciju n proizvoljnom segmenu [0, A], kd +. Dkle, z sporo promenljivu funkciju l i 0 < < b < + sup l(λ) l() 1 0 ( + ). λ [,b] 1.2 Teorem o reprezenciji Definicij 1.3. Funkcij f je loklno ogrničen n skupu A ko i smo ko je ogrničen n svkom kompknom podskupu skup A. Definicij 1.4. Funkcij f je loklno inegrbiln n skupu A ko i smo ko je inegrbiln n svkom kompknom podskupu skup A. Lem 1.1 (Sene 5 ). Nek je l poziivn merljiv funkcij definisn n skupu [, + ) i kv d vži (1.1.1) z svko λ > 0. Td posoji X > 0 kv d je l loklno ogrničen n skupu [X, + ). Ako je h() = ln l(e ), iso vrd enje vži i z funkciju h. Dokz: Konvergencij u (1.1.2) je uniformn po u kd + n svkom kompknom skupu u R, p ko i n segmenu [0, 1]. Uzimjući ε = 1 zključujemo d posoji dovoljno veliko X ko d z svko X i svko u [0, 1] vži h( + u) h() h( + u) h() < 1. 5 Eugene Sene (1941 - ), ukrjinski memičr 6
Odvde je h( + u) < 1 + h() z svko X i u [0, 1]. Specijlno, uzimjući := X dobijmo d je odnosno h(x + u) 1 + h(x), z svko u [0, 1], h() 1 + h(x), z svko [X, X + 1]. Meodom memičke indukcije lko se pokzuje d je h() n + h(x) z [X, X + n], gde je n prirodn broj. Kko se proizvoljn kompkn podskup skup [X, + ) može smesii u segmen oblik [X, X + n], odvde sledi zključk vrd enj z funkciju h koji je reblo pokzi. S obzirom d je l() = ep { h(ln ), is osobin vži i z funkciju l. Npomen 1.1. Funkcij l je merljiv i loklno ogrničen n skupu [X, + ) (X je reln broj koji se dobij n nčin opisn u prehodnoj lemi), e je ko kv i loklno inegrbiln n [X, + ). Npomenimo d su inegrli u nsvku Lebegovi inegrli. Vrlo česo će se nilzii n problem kd inegrl i grničn vrednos mogu d zmene mes. Iz og rzlog, podseimo se Lebegove eoreme o dominnnoj konvergenciji. Teorem 1.2 (Lebegov eorem o dominnnoj konvergenciji). Nek je (f n ) n niz merljivih funkcij n X, s svojsvim (i) lim n + f n () = f() m skoro svud n X. (ii) Posoji funkcij g L 1 (X, m) 6, ko d z svko n N vži nejednkos f n () g() m skoro svud n X. Td je f, f n L 1 (X, m) z svko n N, i vži lim f n f dm = 0, lim f n dm = lim fdm. n + X n + X n + X Nredn eorem nm dje odgovor n pinje kog oblik su sporo promenljive funkcije. On ih u popunosi krkeriše u smislu d dje porebn i dovoljn uslov d funkcij bude sporo promenljiv i vrlo česo se korisi ko definicij sporo promenljivih funkcij. 6 L 1 (X, m) je skup svih merljivih funkcij f definisnih n X z koje je f dm <. X 7
Teorem 1.3 (Teorem o reprezenciji). Funkcij l je sporo promenljiv funkcij ko i smo ko može bii predsvljen u obliku { ε(u) l() = c() ep u du ( ) (1.2.1) z neko > 0, gde su c i ε merljive funkcije kve d c() c (0, + ), ε() 0, kd +. Dokz: Z poček, izrz (1.2.1) može bii zpisn u obliku { ε(u) l() = ep c 1 () + u du ( ) (1.2.2) gde su c 1 () := ln c() i ε() ogrničene i merljive funkcije, c 1 () d R, ε() 0, kd +. Ko u prehodnoj eoremi, uvedimo oznku h() := ln l(e ). Izrzimo sd uslov (1.2.2) u funkciji od h. Iz og rzlog, posmrjmo { e l(e ) = ep c 1 (e ε(u) ) + u du. (1.2.3) Nkon logrimovnj jednkosi (1.2.3), poom uvod enj smene ln u = v u gore nvedeni inegrl i uvod enj oznk d() := c 1 (e ), µ() := ε(e ), dolzimo do ekvivlen jednkosi (1.2.3) izrženog u funkciji od h gde je b := ln. h() = d() + b µ(v)dv ( b), (1.2.4) Dkle, ekvivlen polznog vrd enj je: funkcij l je sporo promenljiv funkcij ko i smo ko funkcij h() = ln l(e ) može bii predsvljen u obliku (1.2.4), z neko b R, gde su funkcije d i µ merljive i kve d d() d R, µ() 0, kd +. ( :) Nek je l sporo promenljiv funkcij. Dokžimo d se d funkcij h može predsvii u obliku (1.2.4). N osnovu Npomene 1.1, posoji poziivn broj X kv d je h je inegrbiln, ogrničen i merljiv n segmenim sdržnim u [X, + ). Sog, z dovoljno veliko X, možemo pisi h() = X+1 X h()d + +1 (h() h())d + 8 X (h( + 1) h())d (1.2.5)
z svko X. Posmrjmo prvi sbirk desne srne jednkosi. Ko odred eni inegrl, on je konsn; oznčimo g s d. Dlje, nkon uvod enj smene u =, drugi sbirk posje +1 (h() h())d = 1 0 (h() h( + u))du. Podinegrln funkcij, primenom Teoreme o uniformnoj konvergenciji, uniformno konvergir nuli n segmenu [0, 1], e se jednosvno proverv d su ispunjeni uslovi Lebegove eoreme o dominnoj konverenciji. Odle zključujemo d ovj sbirk konvergir nuli kd +. Zo, ko oznčimo d() := d + 1 0 (h() h( + u))du, d d() d kd +, d je merljiv funkcij, (1.2.5) im oblik h() = d() + X (h( + 1) h()) d. (1.2.6) Končno, posmrjmo poslednji sbirk desne srne jednkosi (1.2.5). Uvedimo oznku µ() := h( + 1) h(). µ je merljiv funkcij, kko vži preposvk d je l sporo promenljiv funkcij, n osnovu (1.1.2) µ() 0 kd +. N ovj nčin, funkciju h predsvili smo u formi (1.2.4), šo je i bilo porebno pokzi. ( :) Sd preposvimo d je l() predsvljen u obliku (1.2.1) pri čemu funkcije c i ε ispunjvju de uslove. Td je l(λ) l() = c(λ) { λ c() ep ε(u) u du. (1.2.7) Izberimo proizvoljn segmen [, b] ko d je 0 < < b < +. Td, kko c() c, o i c(λ) c kd +, z λ [, b]. Odle, z proizvoljno ε (0, 1) je 1 ε < c(λ) < 1 + ε, (1.2.8) c() z dovoljno veliko. 9
Tkod e, kko ε() 0 kd +, o će z dovoljno veliko bii ε < ε() < ε, dok odle sledi d je ε ln λ < λ ε(u) du < ε ln λ. (1.2.9) u Kombincijom nejednkosi (1.2.8) i (1.2.9) dolzimo do zključk d je izrz n desnoj srni jednkosi (1.2.7) z 0 i svko λ [, b] ogrničen vrednosim (1 ± ε) ep{±ε m{ ln, ln b, odkle zbog proizvoljnosi broj ε sledi dokz vrd enj. Med uim, odvde neće smo sledii d je l sporo promenljiv funkcij, već će sledii i Teorem o uniformnoj konvergenciji. Nredno vrd enje pokzuje d se u Teoremi o reprezenciji z funkciju ε može preposvii d je neprekidn. To će nm omogućii d u nrednom poglvlju pokžemo nek vžn svojsv sporo promenljivih funkcij. Lem 1.2. Nek je l sporo promenljiv loklno ogrničen funkcij n [X, + ). Td posoji X X ko d z funkciju h() = ln l(e ) vži h() = c () + X µ ()d ( X ), (1.2.10) gde su c i µ merljive funkcije kve d c () c, µ () 0 kd +, pri čemu je µ neprekidn funkcij. Dokz: Koriseći (1.2.6) immo h() = d() + X (h( + 1) h())d = d() + h () ( X). (1.2.11) Primeimo d je funkcij h neprekidn. Z proizvoljno µ > 0 je h ( + µ) h () = +µ (h( + 1) h())d = Kko prem Teoremi o uniformnoj konvergenciji µ 0 (h(s + + 1) h(s + ))ds. (1.2.12) h(s++1) h(s+) = h(s++1) h() (h(s+) h()) [0,µ] 0 ( + ), 10
iz (1.2.12) zključujemo d h ( + µ) h () 0 kd + z svko µ > 0. Trivijlno, ovo vži i z µ = 0, dok nlogno možemo pokzi d vži i z µ < 0. Zo prem Teoremi o reprezenciji z funkciju h posoji X X ko d vži h () = d () + X µ ()d ( X ), (1.2.13) gde d () d i µ () = h ( + 1) h () 0 kd +, pri čemu je µ neprekidn funkcij. Iz (1.2.11) i (1.2.13) dobij se končno h() = c () + X µ ()d ( X ), gde je c () := d() + d () d + d = c R, čime je vrd enje dokzno. Ponvljjući posupk iz prehodne Leme odgovrjući broj pu možemo dobii reprezenciju (1.2.10) gde je µ funkcij koj im neprekidn izvod proizvoljnog red n [X, + ) z dovoljno veliko X. 1.3 Primeri i svojsv sporo promenljivih funkcij Neke od osnovnih svojsv sporo promenljivih funkcij jednosvnije je pokzi primenom Teoreme o reprezenciji negoli primenom definicije. U nsvku su dokzn nek od ih svojsv. Teorem 1.4. (i) Ako je l sporo promenljiv funkcij, d ln l() ln 0 ( + ). (ii) Ako je l sporo promenljiv funkcij, d je i l α sporo promenljiv, z svko α R. (iii) Ako su l 1, l 2 sporo promenljive funkcije, d su i l 1 l 2, l 1 + l 2 sporo promenljive. Ako uz o vži l 2 () + kd +, ond je l 1 l 2 kod e sporo promenljiv. (iv) Ako su l 1, l 2,..., l k sporo promenljive funkcije i r( 1,..., k ) rcionln funkcij s poziivnim koeficijenim, d je r(l 1 (),..., l k ()) sporo promenljiv. 11
(v) Ako je l sporo promenljiv funkcij i α > 0, Dokz: α l() +, α l() 0 ( + ). (i) Sporo promenljivu funkciju l predsvimo u obliku (1.2.1). Td vži: ln l() lim + ln ln(c() ep{ = lim + ln = lim + = lim + ln c() + ln ε(u) u du. ln ε(u) u ε(u) du) u Kko ε(u) 0 kd +, o z proizvoljno ε > 0 posoji u 0 > 0 ko d z svko u u 0 vži d je ε(u) < ε. Bez gubljenj opšosi možemo preposvii d je u 0. Td vži ocen odle je ε ε = 1 u du < ε(u) u du < ε du 1 du ( ) u ε ln lim + ln lim ln l() + ln lim ε ln + ln = ε. Zbog proizvoljnosi poziivnog broj ε sledi dokz vrd enj. (ii) N osnovu ekvivlen Teoreme o reprezenciji funkcij l je sporo promenljiv ko i smo ko se može predsvii u obliku { ε(u) l() = ep c 1 () + u du, z, > 0, gde su c 1 i ε merljive funkcije kve d c 1 () c R, ε() 0, kd +. Td je { (l()) α αε(u) = ep αc 1 () + u du, z, p n osnovu Teoreme o reprezenciji sledi zključk d je i funkcij (l()) α sporo promenljiv. 12
(iii) Nek je { l i () = ep c i () + i ε i (u) u du ( i ) gde je i > 0, c i () c i, ε i () 0 kd +, i = 1, 2. Uvedimo oznke = m{ 1, 2, 0 = min{ 1, 2 i c = 0 ε(u) u du, gde je Td l 1 ()l 2 () = ep ε(u) = { ε 1 (u), ko je 1 2 ε 2 (u), ko je 2 < 1. { c 1 () + c 2 () + c + ε 1 (u) + ε 2 (u) du, u z, p kko su funkcije c 1 () + c 2 () + c i ε 1 () + ε 2 () merljive i kve d vži c 1 () + c 2 () + c c 1 + c 2 + c > 0, ε 1 (u) + ε 2 (u) 0 kd +, funkcij l 1 ()l 2 () je sporo promenljiv. D bismo pokzli d je l 1 ()+l 2 () sporo promenljiv, pokzćemo njpre d je funkcij 1 + l() sporo promenljiv, kd je l s kvom osobinom. Dokz će sledii po definiciji. Posmrjmo ( 1 + l(λ) lim + 1 + l() = lim 1 + + l(λ) l() 1 1 + 1 l() ) = 1. l(λ) Korisili smo d je lim + = 1, ko i osobinu d je l poziivn l() funkcij, p je 1/ (1 + 1/l()) ogrničen funkcij. Dlje, kko su l 1 i l 2 sporo promenljive funkcije, o će i funkcij l 2() l 1 () bii s isom osobinom (ko posledic vrd enj (ii) i (iii)). Odle se jednosvno, ( primenom ) dokznih osobin, vidi d je l 1 () + l 2 () = l 1 () 1 + l 2() l 1 sporo promenljiv funkcij, šo je i reblo pokzi. () Osje d pokžemo d je l 1 (l 2 ()) sporo promenljiv funkcij kd su l 1 i l 2 s kvom osobinom i l 2 () + kd +. Z 13
proizvoljno li fiksirno λ > 0 i proizvoljno ε (0, 1) posoji 0 ko d z svko 0 m := 1 ε l 2(λ) l 2 () 1 + ε =: M, e sog vži ( ) l 1 (l 2 (λ)) l 1 (l 2 ()) 1 = l 1 l 2 () l 2(λ) l 2 () 1 l 1 (l 2 ()) sup µ [m,m] l 1 (µl 2 ()) l 1 (l 2 ()) 1. N osnovu Teoreme o uniformnoj konvergenciji kd + funkcij n desnoj srni nejednkosi konvergir nuli. Odle sledi dokz vrd enj. (iv) Kombincij (ii) i (iii). (v) Ponovo, korišćenjem Teoreme o reprezenciji vži { α ε(u) l() = c() ep α ln + u du, z, > 0. Kko ε(u) 0 kd +, posoji dovoljno veliko X ko d je ε(u) < α, z svko u X. Sog vži ocen 2 ε(u) α ln + u du α ln α 1 2 X u du + d = α 2 ln + α ln X + d, 2 gde je d = X ε(u) du, e je odle u ( α lim + α l() lim c() + 2 ln + α ) 2 ln X + d = +. Slično se pokzuje d je lim + α l() = 0. Vrlo česo u primenm (npr. u odred ivnju brzine rs funkcij, ko i u simposkoj nlizi diferencijlnih jednčin) sporo promenljive funkcije su od ineres u klsi simposki ekvivlennih funkcij. 14
Definicij 1.5. Funkcije f i g su simposki ekvivlenne, u oznci f() g() ( + ), ko i smo ko Kko je ( l() = c() ep f() lim + g() = 1. ) ( ε(u) ) u du ε(u) c ep u du ( + ), bez gubik opšosi mogu se rzmri sporo promenljive funkcije u čijoj reprezenciji je funkcij c() c > 0. Definicij 1.6. Sporo promenljiv funkcij ( ) ε(u) l() = c ep u du, gde je c poziivn konsn, se nziv normlizovn sporo promenljiv funkcij. Z normlizovne, diferencijbilne sporo promenljive funkcije vži Vži i obrnuo vrd enje. l () l() = ε() 0 ( + ). (1.3.1) Teorem 1.5. Ako je l poziivn, neprekidno diferencijbiln funkcij n [, + ), > 0, z koju posoji grničn vrednos () lim + l l() = 0, d je l normlizovn sporo promenljiv funkcij. Dokz: Nek je ε() = l () l(). 15
Td je odnosno ε(u) u du = l (u) l() du = ln l(u) l(), ( ) ε(u) l() = l() ep u du. (1.3.2) Kko ε() 0, kd + iz (1.3.2) n osnovu Teoreme o reprezenciji dolzimo do zključk eoreme. Teorem 1.6. Ako je l sporo promenljiv funkcij, ond posoji sporo promenljiv funkcij l 0 C kv d je l() l 0 () ( + ). Dokz: Posledic Leme 1.2 je d se sporo promenljiv funkcij l može predsvii u obliku { ε(u) l() = c() ep u du, z dovoljno veliko > 0 i merljive funkcije c i ε kve d c() c, ε() 0, kd + i funkcij ε im neprekidn izvod proizvoljnog red n [, + ). Odvde je očigledno { ε(u) l() c ep u du =: l 0 (), i funkcij l 0 C. Nvedimo nekoliko primer sporo promenljivih funkcij. Primer 1.1. Poziivn merljiv funkcij s poziivnom grničnom vrednošću u beskončnosi je sporo promenljiv funkcij. To se jednosvno primećuje iz Teoreme o reprezenciji uzimjući d je c() l() i ε() 0. Tkv funkcij nziv se rivijln sporo promenljiv funkcij. Primer 1.2. Njjednosvniji primer nerivijlne sporo promenljive funkcije je l() = ln, šo se jednosvno proverv uz korišćenje definicije. Sd se primenom osobine (iii) Teoreme 1.4 o kompoziciji sporo promenljivih 16
funkcij lko dokzuje d je l() = ln ln, u oznci ln 2, sporo promenljiv funkcij. Anlogno, sve funkcije oblik ln k, gde je k prirodn broj, ko i rcionlne funkcije s poziivnim koeficijenim dobijene ko linern kombincij funkcij ln k su sporo promenljive. Primer 1.3. Primeri nelogrimskih sporo promenljivih funkcij su: l() = ep {(ln ) α 1 (ln 2 ) α2 (ln k ) α k (0 < α i < 1); l() = ep {ln / ln 2. Primer 1.4. Prehodni primeri ns nvode n zključk d je sporo promenljiv funkcij srogo monoon z velike vrednosi, li o u opšem slučju nije čno. Primer kve funkcije je { l() = ep (ln ) 1 1 3 cos((ln ) 3 ), z koju vži lim inf l() = 0, + lim sup l() = +. + 17
2 Krmine prvilno promenljive funkcije 2.1 Teorem o krkerizciji Preposvimo d je f poziivn funkcij definisn n inervlu [X, + ) z neko X > 0. Domen funkcije f se može proširii n inervl (0, + ) ko se funkcij f dodefiniše n inervlu (0, X), f() := f(x), (0, X). Teorem 2.1. Nek je S skup svih λ > 0 kvih d f(λ) f() g(λ) (0, + ) ( + ). (2.1.1) Algebrsk srukur (S, ) je grup. Dokz: Proverimo d li je skup S zvoren u odnosu n operciju množenj. Nek su λ, µ S. Td f(λµ) f() = f(λµ) f(µ) f(µ) f() g(λ)g(µ) ( + ), p zključujemo d u om slučju i λµ S, i vži j. funkcij g je muliplikivn. g(λµ) = g(λ)g(µ) (λ, µ S), (2.1.2) Dlje, socijivnos vži zbog socijivnosi opercije množenj. Tkod e, jednosvno je primeii d 1 S, sog je 1 neurlni elemen srukure (S, ). Preosje još d ispimo d li svki elemen skup S im inverz u isom skupu. Ovj uslov je ispunjen, jer n osnovu sečenog znnj iz memičke nlize vži f(λ) lim + f() = lim f ( λ ( 1 )) λ + f( 1 ) = lim + λ f() f ( 1 ) = 1 g ( ), 1 λ λ p odvde zključujemo d ko je λ S, d je i 1 λ dokznih osobin, srukur (S, ) grup. S. N osnovu svih 18
U nsvku korisićemo oznke h() := ln f(e ), k() := ln g(e ), T := {ln λ : λ S. Td vži h( + u) h() = k(u) R ( + ), (2.1.3) z svko u T R. Posledic Teoreme 2.1, u skldu s novim oznkm, je d je (T, +) je podgrup diivne grupe R, i vži j. funkcij k je diivn. k(u + v) = k(u) + k(v) (u, v T ), (2.1.4) Z dokze nrednih svov videi [2]. Sv 2.1. Ako je S muliplikivn podgrup grupe R + i S sdrži skup poziivne mere, d je S = R +. Ako je T diivn podgrup grupe R, i T sdrži skup poziivne mere, d je T = R. Sv 2.2. Ako je k diivn 7 i merljiv funkcij, d posoji reln broj c ko d je k() = c. Sv 2.3. Ako je g muliplikivn 8 i merljiv funkcij, d je posoji reln broj c ko d g(λ) = λ c, z svko λ > 0. Nredn eorem dje vezu izmed u sporo promenljivih i prvilno promenljivih funkcij. Teorem 2.2 (Teorem o krkerizciji). Ako je f poziivn merljiv funkcij i ko vži (2.1.1) z svko λ > 0, λ S, gde je S skup poziivne mere, d (i) (2.1.1) vži z svko λ > 0; (ii) posoji reln broj ρ kv d je g(λ) = λ ρ, z svko λ > 0; (iii) f() = ρ l(), gde je l slbo promenljiv funkcij. Dokz: 7 k( + y) = k() + k(y),, y D f (k) 8 g(y) = g()g(y),, y D f (g) 19
(i) Kko je S muliplikivn podgrup muliplikivne grupe R + sdrži skup poziivne mere, n osnovu Sv 2.1, S = R +. koj (ii) Funkcij g je ko grničn vrednos niz merljivih funkcij kod e merljiv. Kko je g merljiv i muliplikivn funkcij, primenom Sv 2.3, posoji ρ R ko d je g(λ) = λ ρ, z svko λ > 0. (iii) Nek je l() := f(). Zbog osobin funkcije f vži ρ l(λ) l() 1 ( + ), z svko λ > 0, šo je i reblo pokzi. Definicij 2.1. Poziivn merljiv funkcij f definisn n inervlu [X, + ), z neko X > 0, koj z svko λ > 0 zdovoljv uslov f(λ) f() λρ ( + ), (2.1.5) nziv se prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ, u zpisu f R ρ. Skup svih prvilno promenljivih funkcij oznčvmo s R = ρ R R ρ. Specijlno, sporo promenljiv funkcij je prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi nul, j. R 0 je skup svih sporo promenljivih funkcij. Posledic 2.1. Ako je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ 0, ond { + ko ρ > 0 f() 0 ko ρ < 0, kd +. Dokz: Direkn posledic del (v) Teoreme 1.4 i del (iii) Teoreme o krkerizciji. Posledic 2.2. Ako je f R d posoji X > 0 kv d su f i 1/f loklno ogrničene i loklno inegrbilne n [X, + ). 20
Dokz: N osnovu del (iii) Teoreme o krkerizciji, posoji reln broj ρ kv d je f() = ρ l(), gde je l sporo promenljiv funkcij. Primenom Leme Sene, posoji X > 0 ko d je funkcij l loklno ogrničen n inervlu [X, + ). Iz og rzlog će i funkcij ρ l() bii ogrničen n svkom kompknom podskupu skup [X, + ), odle i funkcij 1/f im isu osobinu. Pomenue funkcije su merljive, e su sog i loklno inegrbilne n [X, + ). 2.2 Teorem o reprezenciji prvilno promenljivih funkcij Teorem 2.3 (Teorem o reprezenciji). Funkcij f je prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ ko i smo ko može bii predsvljen u obliku { f() = c() ep ρ + ε(u) du u ( ), (2.2.1) z neko > 0, gde su funkcije c i ε merljive i kve d c() c (0, + ) ε() 0 kd +. Dokz: ( :) N osnovu Teoreme o krkerizciji prvilno promenljivih funkcij i Teoreme o reprezenciji slbo promenljivih, z prvilno promenljivu funkciju f indeks regulrnosi ρ vži { f() = ρ l() = ρ c ε(u)du ()ep ( ), (2.2.2) u z neko > 0, gde c () c Uporebivši d je { ρ = ep funkciju f možemo predsvii u obliku (0, + ), ε() 0, kd +. ρ du + ρ ln, u { f() = c ρ () ep {ρ ln ep u du + ε(u) u du (2.2.3) { ρ + ε(u) = c() ep du, (2.2.4) u gde funkcije c() = ρ c () i ε() zdovoljvju ržene uslove. 21
( :) Preposvimo d je funkcij f oblik (2.2.1). Td je f() = ρ l(), gde je { l() = c() ρ ε(u) ep u du sporo promenljiv funkcij prem Teoremi o reprezenciji sporo promenljivih funkcij. N osnovu Teoreme o krkerizciji, f prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ. Iz Teoreme 2.3 sledi d se funkcij h() := ln f(e ) može predsvii u obliku h() = d() + gde je d() := ln(c(e )), µ() := ε(e ) i b := ln. b (ρ + µ(u)) du ( b), (2.2.5) 2.3 Teorem o uniformnoj konvergenciji prvilno promenljivih funkcij Teorem 2.4 (Teorem o uniformnoj konvergenciji). Ako je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ (u slučju kd je ρ > 0 preposvljjući d je f ogrničen n svkom inervlu (0, X]), d f(λ) f() λρ ( + ) uniformno po λ n svkom [, b] (0 < b < + ) ko je ρ = 0, n svkom (0, b] (0 < b < + ) ko je ρ > 0, n svkom [, + ) (0 < < + ) ko je ρ < 0. Dokz: Slučj ρ = 0 je Teorem o unifomnoj konvergenciji slbo promenljivih funkcij. Dokzćemo smo slučj ρ > 0. Pokzćemo d d odgovrjuć funkcij uniformno konvergir po λ n inervlu (0, 1] kd +. Slučj ρ < 0 se dokzuje nlogno. Izberimo ε (0, L) proizvoljno, gde je L = min{1, 2 1 3ρ. Λ = ( ε 2 ) 1 ρ. Td, z svko 0 < λ Λ vži Nek je 0 < λ ρ ε 2, 0 < 4λρ+1 < ε 2. (2.3.1) 22
Kko z funkcije u (2.2.1) vži c() c, ε() 0 kd +, o posoji X 1 > 0 ko d su zdovoljeni uslovi c 2 c() 2c ε() 1 ( X 1). (2.3.2) Kko je 0 < λ Λ i Λ < 1, vži d je X 1 /λ X 1. Sog, (2.3.2) vži i z i z λ, z svko X 1 /λ, odkle { f(λ) λ ρ ρ λ c(λ)ep ε(u)/udu = { f() ρ c()ep ε(u)/udu { λ 4λ ρ 1 ep u du = 4λ ρ+1, šo u kombinciji s (2.3.1) dje f(λ) f() λρ < ε (0 < λ Λ, X 1/λ). (2.3.3) Prem preposvci eoreme, funkcij f je ogrničen n svkom inervlu oblik [0, X), X R e možemo posmri M := sup f() < +. 0< X 1 Tkod e, kko f() + kd +, n osnovu Posledice 2.1, o posoji reln broj X 2 kv d je M < ε z svko X f() 2 2. Odle, ponovo koriseći (2.3.2) dobijmo f(λ) f() λρ M f() + λρ < ε (0 < λ Λ, X 2 X 1 /λ). (2.3.4) Končno, iz (2.3.3) i (2.3.4) zključujemo f(λ) f() λρ < ε (0 < λ Λ, X 2). (2.3.5) Pozno nm je d sporo promenljive funkcije uniformno konvergirju po λ kd + n svkom kompknom skupu u R. Zo posoji X 3 ko d l(λ) l() 1 < ε (Λ λ 1, X 3). 23
Td f(λ) f() λρ = l(λ) λρ l() 1 < ε (Λ λ 1, X 3). (2.3.6) Kombinujući (2.3.5) i (2.3.6) končno dobijmo f(λ) f() λρ < ε (0 < λ 1, m{x 2, X 3 ), šo dokzuje rženu uniformnu konvergenciju. U slučju prozivoljnog inervl (0, b], 0 < b < +, definišemo funkciju R() := f(b). Kko je R(λ) lim + R() = lim f(λb) + f(b) = λρ, (2.3.7) n ovj nčin definisn funkcij je prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ. N osnovu pokznog, konvergencij u (2.3.7) je uniformn n (0, 1] kd +. Odvde će sledii uniformn konvergencij odgovrjuće funkcije n (0, b]. Dkle, z prvilno promenljivu funkciju f indeks regulrnosi ρ 0 immo f(λ) f() λρ 0 ( + ), (2.3.8) sup λ K gde je K = (0, b], 0 < b < + z ρ > 0 i K = [, + ), 0 < < + z ρ < 0. 2.4 Osobine prvilno promenljivih funkcij Sv 2.4. Nek je f poziivn, merljiv funkcij i g prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ. Ako su funkcije f i g simposki ekvivlenne, ond je i funkcij f prvilno promenljiv indeks ρ. Dokz: Dokz će sledii po definiciji. Z svko λ > 0 vžiće f(λ) lim + f() = lim + f(λ) g() g(λ) g(λ) f() g() = zbog nvedenih osobin funkcij f i g. 24 lim g(λ) + g() = λρ,
Definicij 2.2. Prvilno promenljiv funkcij f() = ρ l(), gde je l normlizovn sporo promenljiv funkcij, nziv se normlizovn prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. Primeimo d z diferencijbilnu, normlizovnu prvilno promenljivu funkciju f indeks regulrnosi ρ, f() = ρ l(), vži ( ) () lim + f f() = lim ρ + l () = ρ, (2.4.1) + l() primenom (1.3.1). Teorem 2.5. Nek je f poziivn, neprekidno diferencijbiln funkcij n [, + ) z koju posoji končn grničn vrednos () lim + f f() = ρ. Td, ko je ρ = 0 funkcij f je normlizovn sporo promenljiv, z ρ R\{0 funkcij f je normlizovn prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. Dokz: Nek je Td je δ(u) u du = δ() = f () f(). f (u) f() du = ln f(u) f(), odnosno { δ(u) f() = f() ep u du. (2.4.2) Kko δ() ρ, iz (2.4.2) n osnovu Teoreme o reprezenciji dolzimo do zključk eoreme. Teorem 2.6. Nek poziivne funkcije f i g definisne n skupu [, + ) zdovoljvju uslove f() +, g() +, f() g() ( + ). Td ko F R ρ, ρ 0 vži F (f()) F (g()) 25 ( + ).
Dokz: Kko F R ρ, o posoji sporo promenljiv funkcij l ko d je F () = ρ l(). Td vži ( ) ( ) α F (f()) f() l f() g() lim + F (g()) = lim g() lim = 1, + g() + l(g()) jer kko je 1 ε f()/g() 1 + ε z dovoljno veliko, prem Teoremi o uniformnoj konvergenciji je ( ) l f() g() g() lim = 1. + l(g()) Teorem 2.7. (i) Ako je f R ρ, ond je f α R αρ. (ii) Ako f i R ρi, (i = 1, 2) pri čemu vži d f 2 () + kd +, ond f 1 f 2 R ρ1 ρ 2. (iii) Ako f i R ρi, (i = 1, 2) ond f 1 f 2 R ρ1 +ρ 2 ρ = m{ρ 1, ρ 2. i f 1 + f 2 R ρ, gde je (iv) Ako f i R ρi, (i = 1, 2,.., k) i r( 1,..., k ) rcionln funkcij s poziivnim koeficijenim, d r(f 1 (),..., f k ()) R. Dokz: (i) Kko je f R ρ, posoji sporo promenljiv funkcij l ko d je f() = ρ l(). Td je (f()) α = αρ (l()) α, p s obzirom d je l α sporo promenljiv funkcij, n osnovu Teoreme o krkerizciji zključujemo d je f α prvilno promenljiv indeks regulrnosi αρ. (ii) Nek su funkcije f 1 i f 2 s rženim osobinm i nek je f i () = ρ i l i (), i = 1, 2. Td je f 1 (f 2 ()) = (f 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()) = ρ 1ρ 2 (l 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()), p je z dokz vrd enj dovoljno d pokžemo d je (l 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()) sporo promenljiv funkcij. 26
Z proizvoljno, li fiksirno λ > 0 vži f 2(λ) f 2 () proizvoljno ε (0, λ ρ 2 ) vži λ ρ 2, e odle z m := λ ρ 2 ε < f 2(λ) f 2 () < λρ 2 + ε =: M, z svko 0. Td je ( ) l 1 f 2 () f 2(λ) f 2 () 1 l 1 (f 2 ()) sup µ [m,m] l 1 (µf 2 ()) l 1 (f 2 ()) 1. Kko izrz n desnoj srni nejednkosi konvergir nuli kd +, zključujemo d je funkcij l 1 (f 2 ()) sporo promenljiv, odle i (l 2 ()) ρ 1 l 1 (f 2 ()). (iii) Nek je f i () = ρ i l i (), i = 1, 2. Td je f 1 ()f 2 () = ρ 1+ρ 2 l 1 ()l 2 (), kko je l 1 l 2 sporo promenljiv funkcij, f R ρ1 +ρ 2. D pokžemo drugi deo vd enj, preposvimo d je ρ 2 < ρ 1. Vži d je ( ) f 1 () + f 2 () = ρ 1 l 1 () + ρ 2 l 2 () = ρ 1 l 1 () 1 + ρ 2 ρ 1 l 2 (). l 1 () Kko je ρ 2 ρ 1 < 0, n osnovu Teoreme 1.4. (v) je lim (f 1() + f 2 ()) = lim + + ρ 1 l 1 (), odnosno dolzimo do zključk d su funkcije f 1 () + f 2 () i ρ 1 l 1 (), koj je prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ 1, simposki ekvivlene. Primenom Sv 2.4. sledi dokz vrd enj. (iv) Kombincijom dokznih osobin. 27
2.5 Monoonos Prvilno promenljiv funkcij u opšem slučju nije monoon, li nm nredn eorem dje vrlo korisno svojsvo d je prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ 0 uvek simposki ekvivlenn s monoonom funkcijom. Teorem 2.8. Nek je f R ρ, i nek je reln broj > 0 kv d je f loklno ogrničen n [, + ). Ako je ρ > 0 d 1) f() := sup{f() : f() ( + ), 2) f() := inf{f() : f() ( + ). Ako je ρ < 0 ond 1) f() := sup{f() : f() ( + ), 2) f() := inf{f() : f() ( + ). Dokz: Sledi dokz vrd enj z ρ > 0. Slučj ρ < 0 dokzuje se nlogno. Dodefinišimo funkciju f n inervlu (0, ), f() := f(), (0, ). Funkcij f je po preposvci eoreme ogrničen n svkom inervlu oblik (0, X], X > 0, p primenom Teoreme o uniformnoj konvergenciji immo f(λ) sup λ (0,1] f() sup λ ρ = 1 ( + ). λ (0,1] Odvde je sup f(λ) = sup{f() : 0 < = f() f() λ (0,1] ( + ), šo je i reblo pokzi. Dlje, funkcij g() := 1/f() je prvilno promenljiv indeks regulrnosi ρ, p je konvergencij f() f(λ) λ ρ uniformn n skupu [1, + ). Odle, sup λ [1,+ ) f() f(λ) ( + ) sup λ ρ = 1 λ [1,+ ) 28 ( + ),
odnosno inf f(λ) = inf{f() : = f() f() λ [1,+ ) ( + ). Teorem 2.9. Poziivn merljiv funkcij l je sporo promenljiv ko i smo ko z svko α > 0 posoje neopdjuć funkcij ϕ i nersuć funkcij ψ kve d vži α l() ϕ(), α l() ψ() ( + ). (2.5.1) Dokz: ( :) Preposvimo d je l sporo promenljiv funkcij i nek je α > 0. Td, n osnovu Teoreme 2.8, funkcij α l() je simposki ekvivlenn neopdjućoj funkciji, dok je α l() simposki ekvivlenn nersućoj funkciji, šo je i reblo pokzi. ( :) Sd, preposvimo d z svko α > 0 posoje funkcije ϕ i ψ koje zdovoljvju (2.5.1). Td posoje funkcije c 1 (), c 2 () 1, kd + kve d vži l() = c 1 () α ϕ() = c 2 () α ψ(). Z λ > 1, Nek + : c 1 (λ) c 1 () λ α = l(λ) l() ϕ() ϕ(λ) l(λ) l() l(λ) l() ψ() ψ(λ) = c 2(λ) c 2 () λα. λ α lim inf + l(λ) l() lim sup + l(λ) l() λα. Kd α 0+ dolzimo do zključk d l(λ)/l() 1 kd + šo pokzuje d je l sporo promenljiv funkcij. 29
Definicij 2.3. Funkcij f definisn n inervlu [, + ) je skoro rsuć funkcij ko posoji konsn A > 1 ko z svko 1, 2 [, + ) vži 1 < 2 f( 1 ) Af( 2 ). Funkcij f je skoro opdjuć ko posoji konsn A > 1 ko z svko 1, 2 [, + ) vži 1 < 2 Af( 1 ) f( 2 ). Posledic 2.3. Svk prvilno promenljiv funkcij f R ρ, ρ > 0 (ρ < 0) je skoro rsuć (skoro opdjuć) funkcij. Nredni rezul odnosi se n globlne grnice z f(y)/f(), gde je f prvilno promenljiv funkcij. Teorem 2.10 (Poerov eorem). 1) Ako je l slbo promenljiv funkcij, d z proizvoljno odbrne konsne A > 1, δ > 0 posoji X = X(A, δ) ko d l(y)/l() A m{(y/) δ, (y/) δ ( X, y X). 2) Ako je l loklno ogrničen n skupu (0, + ) ond z svko δ > 0 posoji A = A (δ) > 1 ko d l(y)/l() A m{(y/) δ, (y/) δ ( > 0, y > 0). 3) Ako je f prvilno promenljiv funkcij s indeksom ρ d z proizvoljne A > 1, δ > 0 posoji X = X(A, δ) ko d f(y)/f() A m{(y/) ρ+δ, (y/) ρ δ ( X, y X). Dokz: 1) Fiksirjmo A > 1, δ > 0 i definišimo funkciju f, f() := δ l(). Prem Teoremi 2.8 posoji X 1 > 0 ko d z svko X 1 vži f() f() 1 < A 1. 30
Ako je y, zbog nčin definisnj funkcije f je f(y) f(), p z svko y X 1 > 0 vži l(y) l() = f(y) ( y ) δ f() ( y δ ( y ) δ < A. (2.5.2) f() f() ) U slučju kd je y, posmrjmo funkciju g() = δ l(). Prem Teoremi 2.8 posoji X 2 > 0 ko d z svko X 2 vži g() g() 1 < A 1. Ako je y, zbog nčin definisnj funkcije g je g(y) g(), p z svko y X 2 > 0 vži l(y) l() = g(y) ( y ) δ g() ( y δ ( y ) δ < A. (2.5.3) g() g() ) Končno, iz (2.5.2) i (2.5.3) sledi dokz vrd enj, gde je X = m{x 1, X 2. 2) Nek je X = X(A, δ) kvo d vži l(y)/l() A m{(y/) δ, (y/) δ ( X, y X). Zbog loklne ogrničenosi funkcije l n skupu (0, + ), posoji A 1 ko d je l(y) l() A (0 X, 0 y X). Td z 0 < X y, l(y) l() = l(y) l(x) ( y ) δa ( y ) δ, l(x) l() A AA X i slično z 0 < y X, l(y) y ) δ ( A( l() A AA y ) δ. X Odvde, ko oznčimo A := AA sledi dokz vrd enj. 3) Sledi direkno iz (1). 31
2.6 Zigmundov kls funkcij Definicij 2.4. Funkcij f definisn n skupu [, + ) je evenulno rsuć (opdjuć) ko posoji X ko d je f rsuć (opdjuć) n skupu [X, + ). Definicij 2.5. Poziivn merljiv funkcij f pripd Zigmundovoj 9 klsi Z ko je z svko α > 0 funkcij α f() evenulno rsuć i α f() evenulno opdjuć. Nvedimo još neke pojmove i vrd enj iz oblsi mere i inegrcije, vezn z diferencijbilnos Lebegovog inegrl ko funkcije gornje grnice, koje ćemo korisii u nsvku. Z dokze nrednih eorem videi [7]. Definicij 2.6. Merljiv funkcij f, definisn n segmenu [, b], je psoluno neprekidn n segmenu [, b] ko z svko ε > 0 posoji δ > 0 ko d z svku disjunknu fmiliju inervl iz [, b] vži implikcij (α 1, β 1 ),..., (α n, β n ) n (β i α i ) < δ i=1 n f(β i ) f(α i ) < ε. i=1 Prosor psoluno neprekidnih funkcij segmen [, b] oznčv se s AC([, b]). Teorem 2.11. Nek je funkcij f definisn n segmenu [, b]. Ako je f AC([, b]), d posoji f () m - skoro svud n [, b] i f L 1 ([, b], m). Teorem 2.12. Nek je g L 1 ([, b], m) i nek je f() = pri čemu je C konsn. Td je gdm + C, [, b], (1) f AC[, b]; (2) f () = g() z m skoro svko [, b]. 9 Anoni Zygmund (1900-1992), poljski memičr 32
Oud sledi d se prosor AC([, b]) poklp s prosorom primiivnih funkcij od L 1 ([, b], m) funkcij, j. f AC([, b]) f() = c + φ()d, b φ() d < +. Teorem 2.13 (Bojnić 10, Krm). Kls Zigmundovih funkcij se podudr s klsom normlizovnih sporo promenljivih funkcij. Dokz: ( :) Nek f pripd Zigmundovoj klsi funkcij. Z svko α > 0 nek je X α kv d je α f() rsuć funkcij n [X α, + ) i α f() opdjuć n [X α, + ). Oznčimo h() := ln f(e ) i T α := ln X α. Td je h() + α rsuć i h() α opdjuć funkcij n [T α, + ). Odle, z α = 1 i y > T 1 immo (y ) < h(y) h() < (y ), e n osnovu gore nvedene definicije primećujemo d je h psoluno neprekidn funkcij n [T 1, + ). N osnovu Teoreme 2.11 i 2.12 h() = h(t 1 ) + T 1 µ()d (T 1 < + ), gde je µ merljiv funkcij i µ = h skoro svud n [T 1, + ). Funkciju µ možemo dodefinisi u čkm u kojim ne posoji izvod funkcije h. Nek je vrednos funkcije µ u im čkm 0. Nčin definisnj konsne T α povlči d je α h () α z svko T α z koje posoji h (), p zključujemo d µ() 0 kd +. Kko je { f(e ) = f(x 1 )ep µ()d, T 1 uvod enjem smene u odred enom inegrlu, koji se jvlj u gore nvedenom izrzu, končno dolzimo do oblik { µ(ln u) f() = f(x 1 ) ep du ( X 1 ), X 1 u gde µ(ln ) 0 kd +. Po definiciji, f je normlizovn sporo promenljiv funkcij. 10 Rnko Bojnić, srpski memičr 33
( :) Nek je l normlizovn sporo promenljiv funkcij oblik { ε(u) l() = c ep u du ( ), gde je > 0, ε merljiv funkcij kv d ε() 0 kd +. Td je { α l() = c α α + ε(u) ep du ( ), u gde je α > 0. Nek je b > 0 kv d je α + ε(u) > 0 z svko u b. Funkcij α l() je monoono rsuć n [m{, b, + ). Anlogno se pokzuje slučj kd je α < 0. Odle, funkcij l pripd Zigmundovoj klsi funkcij. 2.7 Krmin inegrln eorem (direkn smer) Asimposko ponšnje inegrl prvilno promenljivih funkcij biće od velike vžnosi ksnije. Sv 2.5. Nek je l sporo promenljiv funkcij loklno ogrničen n skupu [X, + ) i α > 1. Td vži X α l()d α+1 α + 1 l() ( + ). Dokz: Nek je δ (0, α + 1) proizvoljno. Prem Poerovoj eoremi posoji X(2, δ) ko d { l(y) (y δ ( y ) δ l() ) 2 m,, z svko, y X(2, δ). Oznčimo s X = m{x, X(2, δ). Td je X α l() α+1 l() d = 1 0 l(u) l() I [X /,1](u)u α du, nkon uvod enj smene u = / u prvom inegrlu. Z podinegrlnu funkciju u inegrlu n desnoj srni prehodne jednkosi vži: (1) l(u) l() I [X /,1](u)u α u α ( + ) (2) l(u) l() I [X /,1](u)u α < 2u α δ, n osnovu Poerove eoreme. 34
Sd možemo primenii Teoremu o dominnnoj konvergenciji, odkle zključujemo d inegrl n desnoj srni konvergir k 1 0 uα du = 1/(1 + α), e končno: α l()d α+1 l() ( + ). X (α + 1) Kko izrz n desnoj srni konvergir beskončnosi, o se niš neće promenii ukoliko levoj srni dodmo konsnu X α l()d, j. umeso X pišemo X X. Npomen 2.1. Primeimo d prehodni sv kod e pokzuje d pod nvedenim uslovim inegrl + X α l()d divergir. Z α = 1 vži slično vrd enje. Sv 2.6. Nek je l sporo promenljiv funkcij i X > 0 kvo d je l loklno ogrničen funkcij n skupu [X, + ). Td je l() d sporo promenljiv X funkcij i vži 1 l() d +. (2.7.1) l() X Dokz: Nek je c (0, 1) proizvoljno. Z dovoljno veliko vži l() := X l() d c l() d = 1 c l() d l() 1 c 1 d ( + ), n osnovu Teoreme o uniformnoj konvergenciji sporo promenljivih funkcij. Odle ( ) l() 1 lim inf + l() ln, c kko c možemo uzei proizvoljno mlo, o sledi d l() l() +, +. Osje d pokžemo d je funkcij l() sporo promenljiv. Kko je merljiv funkcij l()/ loklno inegrbiln n [X, + ), n osnovu Teoreme 2.12, funkcij l je psoluno neprekidn n svkom segmenu sdržnom u [X, + ) i vži l () = l() z m skoro svko [X, + ). (2.7.2) Oznčimo s ε() := l()/ l(); d ε() 0 kd +. U skldu s novim oznkm, iz (2.7.2) je l ()/ l() = ε()/ z m skoro svko [X, + ). (2.7.3) 35
Funkcij l je kod e loklno ogrničen n [X, + ), p se jednkos (2.7.3) može inegrlii, odkle se dobij l() = l(x) { ep X ε() d. N osnovu Teoreme o reprezenciji dolzimo do rženog zključk. Kd je l sporo promenljiv funkcij, inegrl + l() d može, li i ne mor konvergiri. U slučju konvergencije, l() d je rivijln sporo X promenljiv funkcij (ko poziivn, merljiv funkcij s končnom grničnom vrednošću u beskončnosi). Nešo ineresnniji je sledeći slučj. Sv 2.7. Ako je l sporo promenljiv funkcij i + l() d < +, d je + l() d sporo promenljiv funkcij i vži: 1 + l() l() d + Posmrjmo slučj kd je α < 1. ( + ). Sv 2.8. Ako je l sporo promenljiv funkcij i α < 1 d je inegrl + α l()d konvergenn i vži: α+1 l() + α l()d (α + 1) ( + ). Dokz: Nek je ρ := 1 2 (α + 1). Td f() := 1 2 (α+1) l() R ρ. Sd, + α l()d α+1 l() + 1 α + 1 = + 1 ( ) f(u) f() uρ u ρ 1 du 1 (uvesi smenu = u u inegrlu i predsvii ko + u α du). Z podinegrlnu funkciju nvedenog inegrl α+1 1 vži (1) ( f(u) f() uρ ) u ρ 1 0 ( + ); (2) ( f(u) f() uρ ) u ρ 1 < u ρ 1, z dovoljno veliko. Funkcij u ρ 1 je inegrbiln n inervlu (1, + ). 36
Zbog nvedenih uslov, primenom Lebegove eoreme o dominnnoj konvergenciji n odgovrjući inegrl dolzimo do rženog zključk. Teorem 2.14 (Krmin inegrln eorem - direkn smer). Nek je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ, i nek je on loklno ogrničen n [X, + ). Td (i) z svko σ (ρ + 1), / σ+1 f() α f()d σ + ρ + 1 X ( + ); (ii) z svko σ < (ρ+1) (i z σ = (ρ+1) ko + (ρ+1) f()d < + ) / + σ+1 f() α f()d (σ + ρ + 1) ( + ). 2.8 Krmin inegrln eorem (supron smer) U direknom smeru Krmine inegrlne eoreme pokzno je kko se prvilno promenljive funkcije ponšju prilikom inegrcije. Prilikom inegrcije prvilno promenljivih funkcij, sporo promenljivu funkciju možemo ignorisi i inegrlii smo odgovrjuću sepenu funkciju. Ono šo je posebno znimljivo i vrlo znčjno je d se n kvo ponšnje nilzi smo u slučju prvilno promenljivih funkcij. Teorem 2.15. Nek je f poziivn i loklno inegrbiln funkcij n inervlu [X, + ). (i) Ako z neko σ > (ρ + 1), / σ+1 f() σ f()d σ + ρ + 1 X ( + ), d je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. (ii) Ako z neko σ < (ρ + 1), / + σ+1 f() σ f()d (σ + ρ + 1) ( + ), d je ponovo f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. 37
Dokz: (i) Oznčimo Nek je Y > X, d Y / g() := σ+1 f() σ f()d. (2.8.1) g() d = ln { 1 C X X σ f()d ( > Y ) (2.8.2) (nkon uvod enj smene u = X yσ f(y)dy), gde je C := Y X σ f()d. Obe srne jednkosi su psoluno neprekidne, s jednkim izvodim. Td f() = σ 1 g() σ f()d (primenom (2.8.1)) X { = C σ 1 g() g() ep d (primenom (2.8.2)) Y { = CY σ 1 [g() σ 1] g() ep d Prem preposvci eoreme je g() σ 1 ρ, +, i kko je c() := CY σ 1 g() CY σ 1 (σ + ρ + 1) > 0 Y ( + ), n osnovu Teoreme o reprezenciji sledi d je f prvilno promenljiv funkcij indeks regulrnosi ρ. / (ii) Dokz sledi slično. Definišimo G() := σ+1 + f() σ f()d. Z > X vži { G() + / + d = ln σ f()d σ f()d, X odkle slično ko u dokzu (i) dolzimo do + { f() = X σ 1 σ f()dg() ep kko G() + σ + 1 ρ i kko je X X X [G() + σ + 1] d, + + c() := X σ 1 σ f()dg() (σ+ρ+1)x σ 1 σ f()d > 0 X kd +, sledi dokz vrd enj. 38 X
2.9 Asimposki inverz i konjugcij Nek je f definisn i loklno ogrničen funkcij n skupu [X, + ) koj eži beskončnosi kd +. Uopšeni inverz f () := inf{y [X, + ) : f(y) > je definisn n skupu [f(x), + ) i monoono ezi k beskončnosi. Teorem 2.16. Ako je f R ρ, ρ > 0, ond posoji ϕ R 1 ρ ko d vži f(ϕ()) ϕ(f()) ( + ). (2.9.1) Funkcij ϕ, simposki inverz funkcije f, je jedinsveno odred en do n simposku ekvivlenciju. Uopšeni inverz funkcije f je jedn od simposkih inverz funkcije f. Dokz: Nek je { f() = c() ep b ρ + ε(u) du, u gde c() c > 0, ε() 0 kd +, dok je b izbrno dovoljno veliko ko d je ε je neprekidn i ρ + ε() > 0 z b. Definišimo { ρ + ε(u) g() := ep du. u b Td je funkcij g poziivn, neprekidno diferencijbiln i srogo monoono rsuć funkcij n [b, + ), p posoji inverzn funkcij g 1 n [b, + ) koj je neprekidno diferencijbiln i srogo monoono rsuć. Kko je immo odle g () = g() ρ + ε() (g 1 ) () = (g 1 ) (g())g() g 1 (g()) > 0 ( b) 1 g (g 1 ()), = g() g () = 1 ρ + ε(). 39
Smenom = g 1 () dobij se (g 1 ) () g 1 () = 1 ρ + ε 1 (), gde ε 1 () 0 kd +. Dkle, (g 1 ) () lim + g 1 () odkle prem Teoremi 2.5 je g 1 R 1/ρ. = 1 ρ, Ako definišemo ϕ() = kg 1 (), gde je k ρ c = 1, biće ϕ R 1/ρ. Kko je f() = c()g() cg(), g() +, g 1 () + kd + i dobij se g(λ) λ ρ g(), g 1 (λ) λ 1/ρ g 1 () ( + ) f(ϕ()) cg(kg 1 ()) ck ρ g(g 1 ()) = ( + ) i koriseći Teoremu 2.6 ϕ(f()) = kg 1 (f()) kg 1 (cg()) kc 1/ρ g 1 (g()) = ( + ). Pokžimo d je simposki inverz jedinsveno odred en do n simposku ekvivlenciju. Preposvimo d posoji još jedn funkcij ϕ 0 R 1/ρ kv d je f(ϕ 0 ()) kd +. Td, kko je ϕ(f()), + immo ϕ(f(ϕ 0 ())) ϕ 0 () ( + ). (2.9.2) Pored og, kko je f(ϕ 0 ()), + prem Teoremi 2.6 je ϕ(f(ϕ 0 ())) ϕ() ( + ). (2.9.3) Iz (2.9.2) i (2.9.3) je ϕ() ϕ 0 (), +. Osje d pokžemo d f zdovoljv uslove funkcije ϕ. Izberimo λ > 1, A > 1 i δ (0, + ). N osnovu Poerove eoreme posoji u 0 ko d vži: A 1 m{λ ρ+δ, λ ρ δ 1 f(v) f(u) A m{λ ρ+δ, λ ρ δ f(v), z svko v [λ 1 u, λu], u, v u 0. 40
Nek je dovoljno veliko ko d je f () u 0. Td, n osnovu definicije uopšenog inverz, posoji y [f (), λf ()] kvo d je f(y) > i posoji y [λ 1 f (), f ()] kvo d je f(y ). Uzimjući f () umeso u, y umeso v, poom y umeso v, dobijmo: A 1 m{λ ρ+δ, λ ρ δ 1 f(y) f(f ()) A m{λ ρ+δ, λ ρ δ f(y ). Dkle, A 1 m{λ ρ+δ, λ ρ δ 1 lim inf + lim sup + f(f ()) f(f ()) A m{λ ρ+δ, λ ρ δ. Uzmimjući d A, λ 1, dobijmo f(f ())/ 1, kd +. Teorem 2.17 (de Bruijn 11 ). Ako je l sporo promenljiv funkcij, posoji sporo promenljiv funkcij l #, simposki jedinsven, s osobinom d l ## l. l()l # (l()) 1, l # ()l(l # ()) 1 ( + ); (2.9.4) Dokz: Dokz će sledii direkno iz prehodne eoreme, primenjene n prvilno promenljivu funkciju indeks regulrnosi α = 1. Nek je f() = l(). Z du funkciju posoji simposki inverz g R 1, nek je g() = l # (). Td, kko je f(g()), kd + o g()l(g()) = l # ()l(l # ()) ( + ) i kko je g(f()), kd + f()l # (f()) = l()l # (l()) ( + ), odkle sledi relcij (2.9.4). Sporo promenljiv funkcij l # se nziv de Bruijn-ov konjug; (l, l # ) je konjugovni pr sporo promenljivih funkcij. Ovkvi provi imju primenu u eoriji simposkih inverz. Njisknuije oblsi primene ovih prov su u simposkim problemim u vezi s Lplsovim rnsformcijm. 11 Nicols Gover de Bruijn (1918-2012), holndski memičr 41
Sv 2.9. Ako je (l, l # ) pr konjugovnih sporo promenljivih funkcij, A, B, α > 0, sledeći provi imju isu osobinu: ( l(a), l # (B) ), ( Al(), A 1 l # () ) ( ) i (l( α )) 1 α, (l # ( α )) 1 α. U eoremi de Bruijn smo videli d je konjugovn vez izmed u l i l # zprvo vez izmed u simposkih inverz funkcij skup R 1. Sledeći sv dje slično vrd enje z proizvoljn poziivn indeks. Sv 2.10. Nek su, b > 0 i nek vži f() ( b l( b )) gde je l sporo promenljiv funkcij, i nek je g simposki inverz funkcije f. Td vži: g() 1/b ( l #) 1/b ( 1/ ) ( + ). Dokz: Ukoliko funkcij F im simposki inverz G, ond funkcij F ( b ) im simposki inverz (G 1/b ( 1/ )). Uzimjući F () l(), G() l # (), dolzimo do rženog zključk. 42
3 Linerne diferencijlne jednčine drugog red N počeku npomenimo d su u ovom poglvlju inegrli Rimnovi. Nvedimo eoreme koje dju uslove pod kojim su Rimnov i Lebegov inegrl jednki, kko bi vrd enj iz prehodnih poglvlj vžil i z Rimnove inegrle. Teorem 3.1. Nek je f : [, b] R. Ako je f inegrbiln u Rimnovom smislu n [, b], ond je f inegrbiln u Lebegovom smislu n [, b] i ov dv inegrl su jednk. Teorem 3.2. Nek je funkcij f definisn n inervlu [, + ) i nek posoji nesvojsveni Rimnov inegrl + f() d < +. Td je funkcij f Lebeg inegrbiln n [, + ) i vži + f()d = + fdm. 3.1 Osnovn vrd enj i pojmovi o linernim DJ drugog red Nvešćemo neke od njosnovnijih pojmov i vrd enj, bez dokz, iz oblsi linernih diferencijlnih jednčin koj će nm bii neophodn u nsvku. Z dokze nrednih vrd enj videi [3]. Definicij 3.1. Jednčin u kojoj se nepozn funkcij i njeni izvodi do red n jvljju u linernoj vezi, nziv se linern diferencijln jednčin red n. Prem ome, linern DJ je oblik 0 ()y (n) + 1 ()y (n 1) + + n ()y = g(), gde su 0, 1,..., n, g de funkcije, definisne n inervlu (, b). Tčk 0 (, b) je singulrn čk ko je 0 ( 0 ) = 0. U supronom, 0 je regulrn čk. Ako se inervl (, b) ssoji smo od regulrnih čk, jednčin se može izrzii u knonskom obliku y (n) + p 1 ()y (n 1) + + p n ()y = f(), (3.1.1) 43
gde je p i () = i() 0, i = 1, 2,..., n, f() = g() () jednčine je D = (, b) R n. Ako je f() 0, odgovrjuć homogen linern DJ je 0. Obls definisnosi ove () y (n) + p 1 ()y (n 1) + + p n ()y = 0. (3.1.2) Teorem 3.3 (Teorem egzisencije i jedinsvenosi rešenj). Ako su funckije p 1, p 2,..., p n, f C(, b), d z svko 0 (, b) i proizvoljne končne vrednosi y 0, y 0,..., y (n 1) 0 posoji jedinsveno rešenje y = φ() DJ (3.1.1), definisno n inervlu (, b) koje zdovoljv počene uslove φ( 0 ) = y 0, φ ( 0 ) = y 0,..., φ (n 1) ( 0 ) = y (n 1) 0. Definicij 3.2. Z funkcije φ 1, φ 2,..., φ n C (n 1) (, b), deerminn φ 1 φ 2 φ n φ 1 φ 2 φ n W () = W (φ 1, φ 2,..., φ n ) =. φ (n 1) 1 φ (n 1) 2 φ (n 1) n se nziv funkcionln deerminn ili Vronskijn 12 funkcij φ 1, φ 2,..., φ n. Teorem 3.4. Rešenj φ 1 (), φ 2 (),..., φ n () C (n) (, b) DJ (3.1.2) su linerno nezvisn n inervlu (, b) ko i smo ko je W () 0 z svko (, b). Teorem 3.5 (Formul Osrogrdskog 13 -Liuvil 14 ). Z DJ (3.1.2) Vronskijn rešenj φ 1, φ 2,... φ n C (n) (, b) jednk je { W () = W ( 0 ) ep p 1 (s)ds, (, b), 0 gde je 0 (, b) proizvoljn čk. Teorem 3.6. Ako je W ( 0 ) = 0 z neko 0 (, b), d je W () = 0 z svko (, b); ko je W ( 0 ) 0 z neko 0 (, b), d je W () 0 z svko (, b). 12 Hoene Wronski (1778-1853), poljski memičr 13 Mikhil Osrogrdsky (1801-1862), ruski memičr 14 Joseph Liouville (1809-1882), frncuski memičr 44
Teorem 3.7. Nek su φ 1, φ 2,..., φ n C (n) (, b) linerno nezvisn rešenj linerne DJ (3.1.2) i nek je φ C (n) (, b) proizvoljno nerivijlno rešenje ove jednčine. Td posoje konsne c 1, c 2,..., c n ko d je φ() = c 1 φ 1 () + c 2 φ 2 () +... + c n φ n (). Definicij 3.3. Skup od n linerno nezvisnih rešenj jednčine (3.1.2), definisnih n inervlu (, b), nziv se fundmenln sisem rešenj. Posmrjmo homogenu linernu DJ drugog red y + p 1 ()y + p 2 ()y = 0, (3.1.3) gde su p 1, p 2 C(, b). Ako je pozno prikulrno rešenje y = φ 1 () DJ (3.1.3) s osobinom φ 1 () 0 z svko (, b), drugo prikulrno rešenje je odred eno Abelovom 15 formulom { ep p1 ()d φ 2 () = φ 1 () d. φ 2 1() Funkcije y = φ 1 () i y = φ 2 () čine fundmenln sisem rešenj. Ako su funkcije p 1 C (1) (, b), p 2 C(, b), smenom { y() = z() ep 1 p 1 (s)ds 2 0 DJ (3.1.3) se može rnsformisi u DJ bez prvog izvod gde je z () + q()z() = 0, (3.1.4) q() = p 2 () p 1() 2 p 1() 4 2. Tkod e, DJ (3.1.3) može bii predsvljen i u obliku 15 Nils Henrik Abel (1802-1829), norveški memičr (p()y ) + q()y = 0, (3.1.5) 45
gde je { { p() = ep p 1 (s)ds, q() = b() ep p 1 (s)ds. 0 0 Ako je pozno prikulrno rešenje y = φ 1 () DJ (3.1.5), gde je p C (1) [, + ) i q C[, + ), drugo linerno nezvisno rešenje je do formulom φ 2 () = φ 1 () 0 u zvisnosi od og d li je ds + ili φ p(s)φ 1 (s) 2 2 () = φ 1 () ds p(s)φ 1 (s) 2 (3.1.6) + ds p(s)φ 1 (s) 2 = + ili + ds p(s)φ 1 (s) 2 < +. 3.2 Šurmov eorij linernih DJ Smrćemo d je DJ (3.1.3) pomoću invrijne rnsformisn u DJ gde je q C(, b). y + q()y = 0, (3.2.1) U kvliivnoj nlizi linernih DJ od posebnog ineres je ispii d li rešenje im končno ili prebrojivo beskončno nul. Od ineres je ispii njihov broj i rsojnje med u njim. Trivijlno rešenje im neprebrojivo mnogo nul, p se izuzim iz rzmrnj. Definicij 3.4. Nerivijlno rešenje DJ (3.2.1) je oscilorno n inervlu (, b) ko im beskončno mnogo nul n om inervlu. U supronom, rešenje je neoscilorno. Sv 3.1. Svko nerivijlno rešenje DJ (3.2.1) n proizvoljnom segmenu [α, β] (, b) može imi smo končno mnogo nul. Dokz: Preposvimo suprono, d prozivoljno rešenje y = φ() DJ (3.2.1), n segmenu [α, β] im prebrojivo mnogo nul 1, 2,... Kko je niz ( n ) n ogrničen, o mor d posoji br jedn čk ngomilvnj ovog niz [α, β]. Nek je ( nk ) k podniz niz ( n ) n kv d je lim k + nk =. 46