T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Слични документи
IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Microsoft Word - VALJAK.doc

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

untitled

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

trougao.dvi

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

Microsoft Word - MATRICE.doc

Microsoft Word - 26ms281

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

1. Realni brojevi

Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

PowerPoint Presentation

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Microsoft Word - FINALNO.doc

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Microsoft Word - IZVODI _3. deo_.doc

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

1

Microsoft Word - Analiticka - formule.doc

ПОЉОПРИВРЕДНИ ФАКУЛТЕТ

Konacne grupe, dizajni i kodovi

PLB146 Manual

Microsoft Word - 26ms441

Microsoft Word - 11ms201

Microsoft Word - 16ms321

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Integrali vi deo

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

Slide 1

Maksimalni protok kroz mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Dragoš M. Cvetković Slobodan K. Simić ODABRANA POGLAVLJA IZ DISKRETNE MATEMATIKE Treće izdanje AKADEMSKA MISAO Beograd, 2012.

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Microsoft Word - Nastavni plan i program 2004

TEORIJA SIGNALA I INFORMACIJA

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Mihael Maltar MATRICE UDALJENOSTI U GRAFOVIMA Diplomski rad Voditelj rada:

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Algoritmi

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

Operation manuals

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Diskretna matematika Sveučilište u Rijeci ODJEL ZA INFORMATIKU Radmile Matejčić 2, Rijeka Akademska 2017./2018.godina DISKRETNA MATEMATIKA Studij: Pre

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Одлука о изменама и допуни Одлуке о општим правилима за извршавање инстант трансфера одобрења 1. У Одлуци о општим правилима за извршавање инстант тра

Microsoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc

Projektovanje tehnoloških procesa

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA PROBNI ZAVRŠNI ISPIT školska

11. јануар године СЛУЖБЕНИ ГЛАСНИК ОПШТИНЕ АРИЉЕ Број 3 Ариље, 11. јануар године Година MMXIX Број 3 САДРЖАЈ 1. Оглас за

28. фебруар године СЛУЖБЕНИ ГЛАСНИК ОПШТИНЕ АРИЉЕ Број 6 Ариље, 28. фебруар године Година MMXIX Број 6 САДРЖАЈ 1. Одлука

Microsoft PowerPoint - Ekoloska (city) logistika 8.3

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]

Microsoft Word - MNOGOUGAO.doc

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

12. јул године СЛУЖБЕНИ ГЛАСНИК ОПШТИНЕ АРИЉЕ Број 22 Ариље, 12. јул године Година MMXIX Број 22 САДРЖАЈ 1. Одлука о рас

RMT

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Univerzitet u Nišu MASTER RAD Karamatine pravilno promenljive funkcije i linearne diferencijalne jednačine Mentor: Prof.

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 9. 8:00 Időtartam: 240 perc Pótlapok

СЛУЖБЕНИ ЛИСТ ОПШТИНЕ ТРСТЕНИК ГОДИНА XXIII Број 4. ТРСТЕНИК, год. ТИРАЖ:100 ПРИМЕРАКА ИЗЛАЗИ ПО ПОТРЕБИ

Slide 1

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

Београд, МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА ЗАДАТАК 1 За носач приказан на слици: а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач

Problemi zadovoljavanja ogranicenja.

REPUBLIKA HRVATSKA BJELOVARSKO-BILOGORSKA ŽUPANIJA GRAD BJELOVAR GRADONAČELNIK KLASA: /18-01/05 URBROJ: 2103/ Bjelovar, 7. prosinca 20

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 4_19 [Compatibility Mode]

Slide 1

Транскрипт:

T E O R I J A G R A F O V A Do sd smo koristili grfove z predstvljnje relij. Međutim, teorij grfov je smostlni i vžn deo mtemtike. Grfovi su poseno znimljivi jer pomoću njih možemo modelovti složene proleme veom jednostvno, ko što je postvljnje sorćjni, postvljnje električnih mrež, rčunrskih mrež i sl. Njrzličitije diskretne strukture koje se pojvljuju u rčunrstvu pogodno se opisuju grfovim. Prvi prolem i njegovo rešenje izneseni n nčin koji je drugčiji u odnosu n prethodne i može se smtrti pretečom teorije grfov jeste rd Leonrd Ojler pod nzivom Sedm mostov Kenigserg, ojvljen 1736. godine. Frensis Gutri je 1852. godine godine je izložio prolem četiri oje, koji postvlj pitnje d li je moguće oojiti zemlje n geogrfskoj krti s smo četiri oje, d se ne pojve dve susedne zemlje oojene istom ojom. Ovj prolem su rešili tek 1976. godine Kenet Apel i Volfgng Heken, li se postvljnje ovog prolem smtr rođenjem teorije grfov. Tokom pokušj rešvnj ovog prolem otkrivene su mnoge teoreme i postvljeni mnogi teoretski pojmovi i konepti. Osnovni pojmovi Grf je pstrktni mtemtički ojekt. Neformlno govoreći, grfovi su sstvljeni od tčk, odnosno čvorov (vrhov) i linij među njim, odnosno grn. d Skup čvorov uuduće ćemo oeležvti s V, skup grn s E. 1

Grf je zdt ko su poznt dv skup, skup čvorov V i skup grn E. Definiij: Grf G V, E V E 2. je uređeni pr koji se sstoji od skup čvorov V i skup grn Primer Čvorovi mogu iti grdovi, grne putevi između njih. Čvorovi mogu iti rčunri, nčini komunikij između njih grne. ) Dt je skup V, i E,. ) Dt je skup V,, i E,,,. ) Dt je skup V,,, d i E,,,,, d,, d. d Grfovi su relione strukture. Međutim jednostvnije ih je predstviti rtežim. Grf s slike može d se npiže ko relij: 2

,,,,,,,,, G d d. Dve grne su susedne ko imju isti čvor. Čvorovi jedne grne nzivju se krjevi. Grn koj spj čvor s smim soom nziv se petljom. Grf koji nem nijednu petlju nzivju se prostim grfom. G V, E je uređem skup prov čvorov i grn gde je Neorijentisni grf V E V. Znči on može imti i petlje. 2 Npomen: Prost grf je ustvri neprijentisni put ez petlji. Orijentisni grf ili digrf G V, E E V V. Znči on im orijentiju, grn v,. je uređem skup prov čvorov i grn gde je Digrf koji sdrži skup V,, i skup E,,,,,,, im početni čvor u i krjnji u Digrf koji sdrži skup V,,, d i skup E,,,,,,, d, d,,, d, d,. 3

Multigrf je grf kod kog između dv čvor i postoji više od jedne grne, koje polze iz, i zvršvju u. Kompletn ili potpun grf je onj grf kod kog su svk dv čvor povezn grnom. Put je niz grn koje su međusono povezne. Elementrni put je put koji kroz svki čvor grf prolzi njviše jednput. Ciklus je grf koji se doij od put, dodvnjem grne koj spj krjeve put. Ciklus se često nziv i konturom. Przn grf je grf s čvorovim koji ne sdrži ni jednu grnu. Stepen grf je roj grn grf koji imju krj u jednom čvoru. Čvor stepen 1 nziv se izolovni čvor ili list. Primer 4

U grfu n slii čvorovi i su susedni, ko i grne, d i. Čvorovi i f nisu susedni, ko ni grne i f. Čvorovi,, d su stepen 2, čvorovi i f stepen 3. Grf je regulrn ko su svi čvorovi istog stepen. Primer. Regulrn grf (svi čvorovi su stepen 2). Teorem: Sum stepen u svih čvorov, u neorijentisnom grfu, uvek je prn roj. Dokz: Ako su d1, d2,, dn stepeni čvorov x1, x2,, xn u grfu koj im n grn. Ako seremo sve stepene čvorov doijmo dvostruki roj grn., jer svk grn im ko krjnje tčke 2 čvor. Dkle d1 d2 d 2m. n Teorem 2: Broj čvorov neprnog stepen u proizvoljnom grfu ez petlji, je prn. 5

Poslednj teorem zove se u literturi i Lem o rukovnju. U svkom društvu roj oso koje su se rukovle neprn roj put je prn. Ovde roj oso koje su se rukovle predstvljju čvorove grf. Grf koji im končn roj čvorov se zove končn grf. Anlogno, grf s eskončnim rojem čvorov se zove eskončn grf. Grf G'=(V',E') je podgrf grf G=(V, E) ko je skup njegovih čvorov (V') podskup skup čvorov grf G (V), skup njegovih grn (E') je podskup skup grn G (E). 6