Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 9. 8:00 Időtartam: 240 perc Pótlapok

Транскрипт

1 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 9. 8:00 Időtartam: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA írásbeli vizsga 1611

2 Важне информације 1. Време за решавање задатака је 240 минута, након његовог истека треба завршити са радом. 2. Редослед решавања задатака је произвољан. 3. У II делу од пет задатака треба решити само четири. Након завршетка рада упишите у доњи квадрат редни број задатка који не решавате! Ако наставник који исправља не може једносмислено да утврди за који задатак не желите да се бодује, онда по датом редоследу за последњи задатак нећете добити бодове. 4. Приликом решавања задатака могу се користити дигитрон (који не може да меморише и приказује текстуалне податке) и логаритамске таблице са четвороцифреним бројевима, коришћење других електронских или писаних средстава је забрањено! 5. У сваком случају запишите поступак који сте применили приликом решавања задатака, јер се за то даје значајан део бодова! 6. Трудите се да значајнији делови прорачуна могу да се прате и контролишу! 7. Приликом поступка решавања коришћење дигитрона без даљег математичког образложења се прихвата за извршавање следећих математичких операција: сабирање, одузимање, множење, дељење, степеновање, кореновање, n!, израчунавање n, коришћење података који се налазе у логаритамским таблицама (sin, cos, tg, log k и њихове инверзне функције), давање приближне вредности за бројеве π и e, одређивање корена једначине другог степена сређене на нулу. Без даљег математичког образложења је дозвољено коришћење дигитрона за израчунавање просека и расипања, али само у случају да се текстом задатка искључиво не захтева приказивање детаљних прорачуна у вези тога. У другим случајевима се прорачуни извршени дигитроном сматрају за кораке без образложења, па се за то не додељују бодови. 8. Међу теоремама које сте користили приликом решавања задатака, оне које сте већ учили у школи и имају свој назив (нпр. Питагорина теорема, теорема о висинама) није потребно тачно објаснити; довољно је споменути назив теореме, али примену треба кратко образложити. За позивање на друге теореме потпуна вредност се прихвата само ако тврдњу заједно са сваким условом тачно изложите (без доказивања), и образложите њихову примену на дати проблем írásbeli vizsga 2 / május 9.

3 9. Коначно решење задатка (одговор који се даје на постављено питање) наведите и у текстуалном облику! 10. Задатке пишите хемијском оловком, а скице можете цртати обичном (графитном) оловком. Деловe који су писани графитном оловком осим скица наставник који исправља неће оцењивати. Ако прецртате неко решење или део решења, тај део се неће вредновати. 11. Код сваког задатка се вреднује (оцењује) само једно решење. У случају да покушате са више решења, једносмислено означите за које решење сте се одлучили! 12. Молимо вас да у сиве правоугаонике ништа не уписујете! 1611 írásbeli vizsga 3 / május 9.

4 1. Решите следећe нeједначинe у скупу реалних бројева! a) lg x < 2 I. b) 4x 5 x 2 x 3 c) 0,5 0, 25 a) 3 бода b) 4 бода c) 5 бодова У.: 12 бодова 1611 írásbeli vizsga 4 / május 9.

5 1611 írásbeli vizsga 5 / május 9.

6 2. Наташин први испит на факултету се састоји из три дела: из једног пројекта, једног писменог задатка и једног усменог одговора. Резултати сва три дела се дају у процентима. Коначни резултат испита приказује само један број, тако што се израчуна пондерисана аритметичка средина резултата три дела датог у процентима: резултат пројекта се узима у обзир са фреквенцијом 2, резултат писменог испита са фреквенцијом 5, усмени одговор са фреквенцијом 3. Наташин пројектни задатак је 73%, а писмени испит је 64%. a) Са колико процената треба да уради усмени одговор, да би јој коначни резултат испита био барем 70%? Приликом сабирања података студената прве године се испоставило да просек резултата испита 75 девојака износи 70%, а да је просек резултата испита момака износи 62%. Просек резултата испита 40 студената који су у студентском дому је 71%, а просек оних који нису у студентском дому је 65%. b) Укупно колико њих са прве године су полагали испит? a) 4 бода b) 7 бодова У.: 11 бодова 1611 írásbeli vizsga 6 / május 9.

8 3. У следећој табели су приказане телесне тежине једног друштва од 8 пријатеља. име Алберт Борка Чеда Дејан Емил Филип Гордана Хана тежина (кг) a) Одредите медијану, просек и дисперзију за ових 8 података! Ових 8 особа желе лифтом да стигну на највиши спрат једне зграде, где се одржава пријем који је организовало ово друштво. На вратима малог лифта је натпис: Максимално 3 особе или 230 кг (односно лифтом не може да се вози више од 3 особе, а и укупна тежина оних који се возе лифтом не може бити више од 230 кг). b) Докажите да је довољно да лифт иде три пута да би (придржавајући се прописа) свако од 8 особа могао да стигне на место где се одржава пријем! Приликом реновирања лифта су повећали дозвољену укупну тежину путника на 300 кг, али ограничење у вези броја особа у лифту је остало (лифтом могу да се возе највише 3 особе). c) Узимајући у обзир нови пропис, на колико начина може друштво од 8 чланова да иде горе лифтом, ако би приликом сваке вожње барем две особе ишле заједно? (Два успињања сматрамо различитим ако састав једне групе није идентичан приликом две вожње лифтом, или су групе стигле на највиши спрат у различитом редоследу.) a) 4 бода b) 3 бода c) 7 бодова У.: 14 бодова 1611 írásbeli vizsga 8 / május 9.

10 4. a) Колика је површина геометријске слике коју затварају парабола једначине 2 y x x 6 и права чија је једначина x y + 2 = 0? 2 Парабола једначине y x x 6 пресеца осу x у тачкама A и B. b) Израчунајте нагиб тангенте на параболу у тачки B, ако знамо да је прва координата тачке B позитивна! a) 8 бодова b) 6 бодова У.: 14 бодова 1611 írásbeli vizsga 10 / május 9.

12 II. Међу задацима 5 9. треба решити четири по слободном избору. Редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 2.! 5. У години се на интернету појавила интересантна вест, да су математичари открили нови начин покривања површине (постављања паркета) без празнине, од подударних петоуглова. (На две слике је приказан један део постављеног паркета, односно неколико података за један комад петоугле паркет-плочице: EA = AB = CD = 1, BC = 2, EAB = 90º, ABC = 150º, BCD = 60º.) a) Докажите да две дијагонале повучене из темена B петоугла који се види на слици, међусобно заклапају угао од 75! b) Докажите (на пример коришћењем адиционих теорема, одн. формула), да је 6 2 cos c) Докажите да тачна вредност дужине странице DE датог петоугла износи 2 3. d) Докажите да је a) 5 бодова b) 3 бода c) 5 бодова d) 3 бода У.: 16 бодова 1611 írásbeli vizsga 12 / május 9.

14 Међу задацима 5 9. треба решити четири по слободном избору. Редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 2.! 6. a) Логичка вредност исказа A и C је тачно, а логичка вредност исказа B је нетачно. Одредите логичке вредности следећих тврдњи! (Овде није потребно да образложите своје одговоре.) (1) A B (2) (A B) C (3) B A (4) A B (5) A (B C) Скуп H је скуп простих графова са десет чворова. Следећа тврдња се односи на елементе скупа H: Ако један (прост граф са десет чворова) има највише 8 грана, онда он не садржи круг. b) Одредите да ли је тврдња тачна или нетачна! Образложите свој одговор! c) Дефинишите обрнуту тврдњу која се односи на елементе скупа H, и одлучите да ли је обрнута тврдња тачна или нетачна! Образложите свој одговор! У једном комплетном графу од десет чворова, од његових грана ћемо случајно изабрати три различите. (Комплетан граф: такав прост граф код којег било која два чвора повезује грана.) d) Одредите вероватноћу да три изабране гране образују један круг! a) 3 бода b) 3 бода c) 4 бода d) 6 бодова У.: 16 бодова 1611 írásbeli vizsga 14 / május 9.

16 Међу задацима 5 9. треба решити четири по слободном избору. Редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 2.! 7. a) Колико има таквих различитих оштроуглих троуглова, чији углови су (мерено у степенима) различити цели бројеви, а углови су и узастопни чланови једног растућег аритметичког низа? (За два троугла сматрамо да су разликују ако нису слични.) b) Докажите да не постоји такав правилан n угао, чији унутрашњи углови су n степени! c) За један правилан n угао знамо да су му унутрашњи углови, мерени у степенима, цели бројеви. Колико може бити вредност n? a) 4 бода b) 4 бода c) 8 бодова У.: 16 бодова 1611 írásbeli vizsga 16 / május 9.

18 Међу задацима 5 9. треба решити четири по слободном избору. Редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 2.! 8. У периоду епидемије 0,2% становништва једног великог града се заразило вирусом који је изазвао епидемију. У том периоду, 80 становника тог града путује у истом аутобусу. a) Колика је вероватноћа да од 80 путника у аутобусу има барем један заражен? Одговор дајте заокружен на две децимале! Према прогнозама у вези ширења епидемије, број заражених у великом граду се сваки дан повећава на 105% у односу на вредност од претходног дана. b) Ако би се динамика пораста формирала према прогнозама, за колико дана ће се број укупно заражених повећати са 0,2% становништва на 1% укупног становништва града? Један брзи тест који се може купити у слободној продаји гарантује корисницима да тест приказује зараженост вирусом. У опису производа је наведено следеће: Тест са вероватноћом од 99% приказује зараженост код особа које су заражене вирусом. У случају особа које нису заражене вирусом, тест понекад означава зараженост, али вероватноћа овог погрешног означавања је свега 4%. c) Знамо да је 0,2% становништва града заражено вирусом који је изазва епидемију. Прикажите, ако брзи тест једног случајно изабраног становника града показује зараженост, да ли је вероватноћа мања за 0,05 од вероватноће да се онај који се подвргао тесту заиста заразио (дакле, брзи тест није подобан за поуздано приказивање резултата)! a) 4 бода b) 5 бодова c) 7 бодова У.: 16 бодова 1611 írásbeli vizsga 18 / május 9.

20 Међу задацима 5 9. треба решити четири по слободном избору. Редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 2.! 9. Жељезницом би желели да транспортујемо 350 тона робе у више пута. У понуди једног транспортног предузећа цена превоза се састоји из два дела. Једним делом треба платити износ пропорционалан квадратној вредности масе транспортоване робе, а другим делом независно од масе робе зарачунавају и основну цену: ако 2 t наручујемо један транспорт t тона робе, за то треба да платимо 205 евра. 10 a) Докажите да ако би у два дела (два пута) транспортовали 350 тона робе, жељезнички трошкови би били најмањи у случају да робу поделимо на два једнака дела! У интересу смањења трошкова жељезничког транспорта, робу тежине 350 тона ћемо поделити на n једнаких делова, и планирамо да сваком приликом жељезницом транспортујемо по један део. (n N + ) b) Докажите да би понуда транспортног предузећа за жељезнички транспорт робе у n пута (прилика) укупно износила 205n евра! n Осим трошкова жељезничког транспорта треба да узмемо у обзир и то да, ако желимо 350 тона робе да расподелимо на n делова једнаке тежине, за извршење посла треба да платимо ( n 1) 400 евра. (n N + ) c) На колико делова једнаке тежине треба да расподелимо робу да би транспорт 350 тона робе био најјефтинији? a) 4 бода b) 3 бода c) 9 бодова У.: 16 бодова 1611 írásbeli vizsga 20 / május 9.

24 I део II део редни број број бодова задатака максималан постигнут максималан постигнут задатак који се не решава Број бодова писменог дела испита 115 датум наставник који исправља I. rész II. rész pontszáma egész számra kerekítve programba elért beírt dátum dátum javító tanár jegyző 1611 írásbeli vizsga 24 / május 9.