Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Слични документи
1

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

Microsoft Word - 16ms321

Microsoft Word - VALJAK.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Microsoft Word - z4Ž2018a

gt1b.dvi

Microsoft Word - 26ms281

Natjecanje 2016.

os07zup-rjes.dvi

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

Microsoft Word - FINALNO.doc

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

Microsoft Word - 24ms221

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

Jednadžbe - ponavljanje

Microsoft Word - 24ms241

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

1. Realni brojevi

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Naziv studija

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Željka Ćaćić BARICENTRIČKE KOORDINATE 20 CENTARA TROKUTA Diplomski rad Vod

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

Microsoft Word - 12ms121

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

untitled

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

UDŽBENIK 2. dio

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

8. razred kriteriji pravi

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

gt3b.dvi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

trougao.dvi

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

Microsoft Word - 26ms441

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

m3b.dvi

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Matematički leksikon

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

atka 25 (2016./2017.) br. 98 Nastavak iz atke broj 97. U Nacrtaj i ti! Nikol Radović, Sisak prošlim brojevima atke upoznali smo neke metode vizualizac

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Mateja Šašo MALFATTIJEV PROBLEM Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc.

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad V

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

Транскрипт:

TEORIJA IZ SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA SUKLADNOST TROKUTA SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA PROPORCIONALNOST DUŽINA SLIČNOST TROKUTA

6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA 6.1.1 Sukldnost dužin 6.1.2 Sukldnost kutov 6.2. SUKLADNOST TROKUTA 6.2.1 Općenito o sukldnosti trokut 6.2.2 Prv konstrukcij S-S-S 6.2.3 Drug konstrukcij S-K-S 6.2.4 Treć konstrukcij K-S-K 6.2.5 Četvrt konstrukcij S-S-K 6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA 6.3.1 Simetrl dužine 6.3.1.1 Konstrukcij simetrle dužine 6.3.1.2 Okomic n zdni prvc iz zdne točke 6.3.2 Simetrl kut 6.3.2.1 Konstrukcij simetrle kut 6.3.3 Svojstv srednjice trokut 6.4. ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA 6.4.1 Središte opisne kružnice 6.4.2 Središte upisne kružnice 6.4.3 Ortocentr 6.4.4 Težište trokut 6.4.5 Heronov formul z površinu trokut

6.5. PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM 6.5.1 Omjeri i rzmjeri 6.5.2 Dijeljenje dužine u zdnom omjeru 6.5.3 Tlesov teorem 6.6. SLIČNOST TROKUTA 6.6.1 Općenito o sličnosti trokut 6.6.2 Kriterij z sličnost trokut 6.6.3 Opsezi i površine sličnih trokut 6.6.4 Euklidov poučk

6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA 6.1.1 Sukldnost dužin Dvije dužine i su sukldne ko su jednke duljine jednkostrničn trokut - sukldne sve strnice b b sukldne - suprotne strnice prlelogrm

c b b jednkokrčn trpez - sukldni krci 6.1.2 Sukldnost kutov Dv su kut sukldn ko imju istu mjeru. Mjer kut izržv se: stupnjevim rdijnim (mjer kut u rdijnim je duljin pripdjućeg luk jedinične kružnice s središtem u vrhu kut). uni kut se dijeli n 36 jednkih dijelov svki od tih dijelov iznosi 1 jedn stupnj. Stupnj se dijeli n minute 1 6 i sekunde 1 6. uni kut im mjeru 36, ispruženi kut 18 prvi kut. Puni kut im mjeru u rdijnim 2π, ispruženi kut π, prvi kut.

jednkostrničn trokut - sukldn dv kut uz osnovicu b b sukldni - suprotni kutovi u prlelogrmu

c b b jednkokrčn trpez - sukldni kutovi uz osnovicu 6.1.2.1 Kutovi s prlelnim krcim Kd su krci kutov prlelni kutovi su: sukldni ili suplementrni (zbroj mjer kutov jednk je 1 ) sukldni kutovi

suplementrni kutovi 6.1.2.2 Poučk o vršnim kutovim Dv prvc se sijeku i određuju dv pr međusobno sukldnih kutov. C B sukldni kutovi 1 V AVB i CVD D A BVC i DVA

6.1.2.3 Poučk o kutovim uz presječnicu (trnsverzlu) p i q su prlelni prvci, prvc t presječnic ili trnsverzl) ih siječe. Prvc t (trnsverzl) s prlelnim prvcim p i q određuje sukldne kutove. E B D q A C EAC EBD p t presječnic ili trnsverzl Možemo li sukldne kutove oznčiti CAB i DBE? 6.1.2.3 Kutovi s okomitim krcim Kutovi s okomitim krcim su: sukldni ili sumplementrni 1 1 z roj mjer kutov jednk je 18

sukldni kutovi suplementrni kutovi 6.2. SUKLADNOST TROKUTA 6.2.1 Izometrij rvnine Izometrij rvnine je preslikvnje koje čuv udljenost točk. Mor biti ispunjen uvjet d su i ilo koje dvije točke u rvnini i su slike tih točk, td je

Sukldnost likov Kd izometrij preslikv lik n lik td je lik L sukldn. Svk dv krug jednkog polumjer su sukldn. Svk dv kvdrt su sukldn Sukldnost složenih likov nije uvijek lko utvrditi. 6.2.1.1 Općenito o sukldnosti trokut Trokuti su sukldni ko su im odgovrjuće strnice sukldne i odgovrjući kutovi. Oznk z sukldnost. oučci ili teoremi o sukldnosti trokut su minimlno dovoljni z sukldnost trokut. 6.2.2 Prv konstrukcij S-S-S S-S-S teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne sve tri strnice. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine strnic, b i c? D i konstrukcij il moguć duljin njdulje strnice mor iti mnj od zbroj duljin preostlih dviju (nejednkost trokut).

1. Prenesimo šestrom duljinu odbrne strnice n prvc (proizvoljno ncrtn). 2. Iz ru nih točk konstruirne strnice zsijecimo kružni luk duljine i kružni luk duljine. 3. Sjecište kružnih lukov je vrh C. 6.2.3 Drug konstrukcij S-K-S S-K-S teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne dvije strnice i kut među njim. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine dviju strnic b, c i kut α među njim? 1. Prenesimo šestrom duljinu od rne strnice n prvc (proizvoljno ncrtn). 2. Uz vrh A konstruirjmo kut α. 3. N drugom krku konstruirnog kut nnosimo strnicu duljine b s i tko je određen vrh C.

6.2.4 Treć konstrukcij K-S-K K-S-K teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne jedn strnic i dv kut uz tu strnicu. Kko konstruirti trokut kojemu su zdn duljin strnice c i kutovi α i β uz tu strnicu? 1. Prenesimo šestrom duljinu strnice 2. Uz vrh A konstruirjmo kut α. 3. Uz vrh B konstruirjmo kut β. 4. U točki gdje se sijeku krkovi kutov α i β je vrh C.

6.2.5 Četvrt konstrukcij S-S-K S-S-K teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne dvije strnice i kut nsuprot većoj strnici. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine strnic i c te kut? 1. renesimo šestrom duljinu krče strnice 2. Uz vrh C konstruirjmo kut. 3. Iz vrh B nnosimo dulju strnicu. 4. U sjecištu krk kut i dulje strnice (nnijeli u vrh B) je vrh A.

6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA 6.3.1 Simetrl dužine Simetrl dužine je prvc okomit n dužinu i prolzi polovištem. Npomen: U softveru Sketchpd ne može se simetrl ncrtti ko točk-crt. simetrl dužine A P polovište B AP = BP možemo pisti AP = PB

Poučk ili teorem o simetrli dužine Svk točk simetrle dužine jednko je udljen od krjnjih točk dužine. N simetrli dužine uzeli smo ilo koju točku oznčili je s C i spojili točku C s krjevim dužine.

Grfički dokz d je točk C jednko udljen od krjnjih točk dužine. simetrl dužine C proizvoljno odbrn točk n simetrli-bilo koj točk rvnine A P B AC = BC AP = BP APC = BPC = 90 T dv kut su sukuti. Svki od njih iznosi 90. Obrt poučk o simetrli dužine Nek točk rvnine jednko je udljen od krjnjih točk zdne dužine, ond t točk uvijek pripd simetrli dužine.

6.3.1.1 Konstrukcij simetrle dužine je zdn dužin. Opisujemo kružnicu istog polumjer većeg od i. C i D su sjecišt tih kružnic. oko zdnih točk C i D leže n simetrli dužine, prvc CD je simetrl dužine 6.3.1.2 Okomic n zdni prvc iz zdne točke slik 1 slik 2

Zdn je prvc p i točk. Kko konstruirti prvc koji prolzi točkom P i okomit je n zdni? Iz točke P zsiječemo prvc p u točkm i (slik 1). N slici 2 točk je polovište dužine odnosno jedn od točk simetrle dužine koj leži n prvcu p. Iz g rnj h z jučuje d konstrukcij okomice n zdni prvc ne ovisi tome d li je točk n prvcu ili izvn njeg. Kd točk ne leži n prvcu (slik 1) ond smo spustili okomicu iz zdne točke. Kd je točk točki. n prvcu (slik 2) ond smo podigli okomicu u 6.3.2 Simetrl kut Prvc koji prolzi vrhom kut i dijeli kut u dv dijel nziv se simetrl kut. Poučk ili teorem o simetrli kut Svk točk leži n simetrli kut ko i smo ko je jednko udljen od njegovih krkov. Točk T leži n simetrli kut s vrhom u V. N 1 i N 2 su nožišt okomic koje su spuštene iz točke T.

Trokuti VN 1 C i VN 2 C su sukldni. dvju prvokutnih trokut. je zjedničk strnic tih CVN 1 CVN 2 to znči d je točk C n simetrli kut N2 C CVN1 CVN2= 90 V N1 CN1 = CN2 oznk z sukldnost Obrt poučk o simetrli dužine Nek točk rvnine jednko je udljen od krkov dnog kut, ond t točk pripd simetrli kut.

6.3.2.1 Konstrukcij simetrle kut PVK QVK VPK VQK VK simetrl kut V je vrh dnog kut. Oko vrh V opišemo ilo koju kružnicu koj sječe krkove dnog kut u točkm i Q. Oko točk i Q opišemo kružnicu istog polumjer većeg od. Točk K je jedno od sjecišt.

6.3.3 Svojstv srednjice trokut Srednjic je simetrl koj spj polovišt dviju strnic trokut. Poučk ili teorem o simetrli kut Srednjic trokut je dužin koj prolzi polovištem jedne strnice i prleln je s drugom strnicom. Dvostruko je krć od strnice s kojom je prleln odnosno njen duljin je jednk polovini duljini te strnice. A P je polovište strnice BC, MP je srednjic trokut presječn točk M N N je polovište strnice AC, MN srednjic trokut B P C oznk z prlelno AMN = MBP SUKLADNI TROKUTI - podudrju se u svim trim kutovim i jednoj strnici AM MB MNP = CPN SUKLADNI TROKUTI - podudrju se u svim trim kutovim MN = BP = PC MN = BP = 1 2 BC