TEORIJA IZ SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA SUKLADNOST TROKUTA SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA PROPORCIONALNOST DUŽINA SLIČNOST TROKUTA
6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA 6.1.1 Sukldnost dužin 6.1.2 Sukldnost kutov 6.2. SUKLADNOST TROKUTA 6.2.1 Općenito o sukldnosti trokut 6.2.2 Prv konstrukcij S-S-S 6.2.3 Drug konstrukcij S-K-S 6.2.4 Treć konstrukcij K-S-K 6.2.5 Četvrt konstrukcij S-S-K 6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA 6.3.1 Simetrl dužine 6.3.1.1 Konstrukcij simetrle dužine 6.3.1.2 Okomic n zdni prvc iz zdne točke 6.3.2 Simetrl kut 6.3.2.1 Konstrukcij simetrle kut 6.3.3 Svojstv srednjice trokut 6.4. ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA 6.4.1 Središte opisne kružnice 6.4.2 Središte upisne kružnice 6.4.3 Ortocentr 6.4.4 Težište trokut 6.4.5 Heronov formul z površinu trokut
6.5. PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM 6.5.1 Omjeri i rzmjeri 6.5.2 Dijeljenje dužine u zdnom omjeru 6.5.3 Tlesov teorem 6.6. SLIČNOST TROKUTA 6.6.1 Općenito o sličnosti trokut 6.6.2 Kriterij z sličnost trokut 6.6.3 Opsezi i površine sličnih trokut 6.6.4 Euklidov poučk
6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA 6.1.1 Sukldnost dužin Dvije dužine i su sukldne ko su jednke duljine jednkostrničn trokut - sukldne sve strnice b b sukldne - suprotne strnice prlelogrm
c b b jednkokrčn trpez - sukldni krci 6.1.2 Sukldnost kutov Dv su kut sukldn ko imju istu mjeru. Mjer kut izržv se: stupnjevim rdijnim (mjer kut u rdijnim je duljin pripdjućeg luk jedinične kružnice s središtem u vrhu kut). uni kut se dijeli n 36 jednkih dijelov svki od tih dijelov iznosi 1 jedn stupnj. Stupnj se dijeli n minute 1 6 i sekunde 1 6. uni kut im mjeru 36, ispruženi kut 18 prvi kut. Puni kut im mjeru u rdijnim 2π, ispruženi kut π, prvi kut.
jednkostrničn trokut - sukldn dv kut uz osnovicu b b sukldni - suprotni kutovi u prlelogrmu
c b b jednkokrčn trpez - sukldni kutovi uz osnovicu 6.1.2.1 Kutovi s prlelnim krcim Kd su krci kutov prlelni kutovi su: sukldni ili suplementrni (zbroj mjer kutov jednk je 1 ) sukldni kutovi
suplementrni kutovi 6.1.2.2 Poučk o vršnim kutovim Dv prvc se sijeku i određuju dv pr međusobno sukldnih kutov. C B sukldni kutovi 1 V AVB i CVD D A BVC i DVA
6.1.2.3 Poučk o kutovim uz presječnicu (trnsverzlu) p i q su prlelni prvci, prvc t presječnic ili trnsverzl) ih siječe. Prvc t (trnsverzl) s prlelnim prvcim p i q određuje sukldne kutove. E B D q A C EAC EBD p t presječnic ili trnsverzl Možemo li sukldne kutove oznčiti CAB i DBE? 6.1.2.3 Kutovi s okomitim krcim Kutovi s okomitim krcim su: sukldni ili sumplementrni 1 1 z roj mjer kutov jednk je 18
sukldni kutovi suplementrni kutovi 6.2. SUKLADNOST TROKUTA 6.2.1 Izometrij rvnine Izometrij rvnine je preslikvnje koje čuv udljenost točk. Mor biti ispunjen uvjet d su i ilo koje dvije točke u rvnini i su slike tih točk, td je
Sukldnost likov Kd izometrij preslikv lik n lik td je lik L sukldn. Svk dv krug jednkog polumjer su sukldn. Svk dv kvdrt su sukldn Sukldnost složenih likov nije uvijek lko utvrditi. 6.2.1.1 Općenito o sukldnosti trokut Trokuti su sukldni ko su im odgovrjuće strnice sukldne i odgovrjući kutovi. Oznk z sukldnost. oučci ili teoremi o sukldnosti trokut su minimlno dovoljni z sukldnost trokut. 6.2.2 Prv konstrukcij S-S-S S-S-S teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne sve tri strnice. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine strnic, b i c? D i konstrukcij il moguć duljin njdulje strnice mor iti mnj od zbroj duljin preostlih dviju (nejednkost trokut).
1. Prenesimo šestrom duljinu odbrne strnice n prvc (proizvoljno ncrtn). 2. Iz ru nih točk konstruirne strnice zsijecimo kružni luk duljine i kružni luk duljine. 3. Sjecište kružnih lukov je vrh C. 6.2.3 Drug konstrukcij S-K-S S-K-S teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne dvije strnice i kut među njim. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine dviju strnic b, c i kut α među njim? 1. Prenesimo šestrom duljinu od rne strnice n prvc (proizvoljno ncrtn). 2. Uz vrh A konstruirjmo kut α. 3. N drugom krku konstruirnog kut nnosimo strnicu duljine b s i tko je određen vrh C.
6.2.4 Treć konstrukcij K-S-K K-S-K teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne jedn strnic i dv kut uz tu strnicu. Kko konstruirti trokut kojemu su zdn duljin strnice c i kutovi α i β uz tu strnicu? 1. Prenesimo šestrom duljinu strnice 2. Uz vrh A konstruirjmo kut α. 3. Uz vrh B konstruirjmo kut β. 4. U točki gdje se sijeku krkovi kutov α i β je vrh C.
6.2.5 Četvrt konstrukcij S-S-K S-S-K teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne dvije strnice i kut nsuprot većoj strnici. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine strnic i c te kut? 1. renesimo šestrom duljinu krče strnice 2. Uz vrh C konstruirjmo kut. 3. Iz vrh B nnosimo dulju strnicu. 4. U sjecištu krk kut i dulje strnice (nnijeli u vrh B) je vrh A.
6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA 6.3.1 Simetrl dužine Simetrl dužine je prvc okomit n dužinu i prolzi polovištem. Npomen: U softveru Sketchpd ne može se simetrl ncrtti ko točk-crt. simetrl dužine A P polovište B AP = BP možemo pisti AP = PB
Poučk ili teorem o simetrli dužine Svk točk simetrle dužine jednko je udljen od krjnjih točk dužine. N simetrli dužine uzeli smo ilo koju točku oznčili je s C i spojili točku C s krjevim dužine.
Grfički dokz d je točk C jednko udljen od krjnjih točk dužine. simetrl dužine C proizvoljno odbrn točk n simetrli-bilo koj točk rvnine A P B AC = BC AP = BP APC = BPC = 90 T dv kut su sukuti. Svki od njih iznosi 90. Obrt poučk o simetrli dužine Nek točk rvnine jednko je udljen od krjnjih točk zdne dužine, ond t točk uvijek pripd simetrli dužine.
6.3.1.1 Konstrukcij simetrle dužine je zdn dužin. Opisujemo kružnicu istog polumjer većeg od i. C i D su sjecišt tih kružnic. oko zdnih točk C i D leže n simetrli dužine, prvc CD je simetrl dužine 6.3.1.2 Okomic n zdni prvc iz zdne točke slik 1 slik 2
Zdn je prvc p i točk. Kko konstruirti prvc koji prolzi točkom P i okomit je n zdni? Iz točke P zsiječemo prvc p u točkm i (slik 1). N slici 2 točk je polovište dužine odnosno jedn od točk simetrle dužine koj leži n prvcu p. Iz g rnj h z jučuje d konstrukcij okomice n zdni prvc ne ovisi tome d li je točk n prvcu ili izvn njeg. Kd točk ne leži n prvcu (slik 1) ond smo spustili okomicu iz zdne točke. Kd je točk točki. n prvcu (slik 2) ond smo podigli okomicu u 6.3.2 Simetrl kut Prvc koji prolzi vrhom kut i dijeli kut u dv dijel nziv se simetrl kut. Poučk ili teorem o simetrli kut Svk točk leži n simetrli kut ko i smo ko je jednko udljen od njegovih krkov. Točk T leži n simetrli kut s vrhom u V. N 1 i N 2 su nožišt okomic koje su spuštene iz točke T.
Trokuti VN 1 C i VN 2 C su sukldni. dvju prvokutnih trokut. je zjedničk strnic tih CVN 1 CVN 2 to znči d je točk C n simetrli kut N2 C CVN1 CVN2= 90 V N1 CN1 = CN2 oznk z sukldnost Obrt poučk o simetrli dužine Nek točk rvnine jednko je udljen od krkov dnog kut, ond t točk pripd simetrli kut.
6.3.2.1 Konstrukcij simetrle kut PVK QVK VPK VQK VK simetrl kut V je vrh dnog kut. Oko vrh V opišemo ilo koju kružnicu koj sječe krkove dnog kut u točkm i Q. Oko točk i Q opišemo kružnicu istog polumjer većeg od. Točk K je jedno od sjecišt.
6.3.3 Svojstv srednjice trokut Srednjic je simetrl koj spj polovišt dviju strnic trokut. Poučk ili teorem o simetrli kut Srednjic trokut je dužin koj prolzi polovištem jedne strnice i prleln je s drugom strnicom. Dvostruko je krć od strnice s kojom je prleln odnosno njen duljin je jednk polovini duljini te strnice. A P je polovište strnice BC, MP je srednjic trokut presječn točk M N N je polovište strnice AC, MN srednjic trokut B P C oznk z prlelno AMN = MBP SUKLADNI TROKUTI - podudrju se u svim trim kutovim i jednoj strnici AM MB MNP = CPN SUKLADNI TROKUTI - podudrju se u svim trim kutovim MN = BP = PC MN = BP = 1 2 BC