gt3b.dvi

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "gt3b.dvi"

Транскрипт

1 r t. h en m le w.e w w

2 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su primjerice duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija, specifična gustoća... Nazivamo ih skalarnim veličinama. Medutim, - neke se veličine ne mogu opisati samo brojem. Za djelovanje sile važan je njezin iznos, ali i smjer djelovanja. I brzina je fizikalna veličina koja uz svoj iznos mora imati definiran i smjer. Isto će vrijediti i za ubrzanje, moment sile, električno ili magnetsko polje itd. Takve ćemo veličine nazivati vektorima Osnovni pojmovi o vektorima Definicija vektora Vektor 1 je usmjerena dužina AB u kojoj razlikujemo početnu točku (hvatište) A i završnu točku (kraj) B. Vektor crtamo poput obične dužine, s tim da je završna točka označena strelicom. Zato ćemo vektor označavati s AB, CD, kojeg je postavljena strelica: a, b itd. PQ ili samo malim slovom iznad S V 2 ćemo označavati skup svih vektora čija se početna i završna točka nalaze u jednoj ravnini. Kažemo da je V 2 skup svih vektora u ravnini. Opis vektora Vektor je odreden - ako poznajemo njegovu duljinu, smjer i orijentaciju. Duljina vektora a = AB udaljenost je izmedu - njegove početne i završne točke. To je, dakle, duljina dužine AB. Duljinu vektora označavamo s a, odnosno AB : a = AB = AB. 1 vector (lat.) nositelj 2

3 OSNOVNI POJMOVI O VEKTORIMA 7.1 Smjer vektora. Akopravacp prolazi točkama A i B vektora AB, onda kažemo da taj pravac sadrži vektor AB, ili da vektor AB leži na pravcu p.govorimo jošdajepravac p nositelj vektora AB. Smjer vektora odreden - je pravcem na kojem vektor leži. Vektori AB i CD imaju isti smjer, ali različitu duljinu. Vektori AD i BC nisu istog smjera, no imaju jednaku duljinu. Prikazane su silnice električnog polja paralelnih ploča. Usvakojtočki izmedu - ploča polje ima isti smjer i duljinu. Za sve vektore koji leže na paralelnim pravcima reći ćemo da imaju isti smjer. Za njih još kažemo da su kolinearni. Smjer i kolinearnost vektora Ako dva vektora leže na paralelnim pravcima, za njih kažemo da imaju isti smjer ili da sukolinearni. U suprotnom slučaju govorimo o nekolinearnim vektorima. Orijentacija vektora. Vektor nije potpuno odreden - ako mu poznajemo duljinu i pravac nositelj. Moramo mu poznavati još iorijentaciju. Nacrtajmo pravac p i izdvojimo na njemu tri točke. Neka su to (tim poretkom) A, B i C. Onda su vektori AB, AC i BC iste orijentacije. Takoder - su iste orijentacije i vektori CB, CA, BA. Medutim, - vektori BA i BC na slici suprotne su orijentacije. 3

4 7 VEKTORI Primjer 1. Orijentacija se na prirodan način prenosi i na vektore istog smjera. Tako su na slici, primjerice, vektori AB i RS istog smjera i iste orijentacije, a AB i QP su vektori istog smjera, ali suprotne orijentacije. Odredenost - i jednakost vektora Vektor je odre - den ako mu znamo duljinu, smjer i orijentaciju. Dva su vektora jednaka ako se podudaraju po duljini, smjeru i orijentaciji. Vektori AE i BD imaju istu duljinu, smjer i orijentaciju pa su jednaki. Vektori AC i ED imaju isti smjer, ali različite duljine, pa nisu jednaki. Vektori AE i CD imaju iste duljine, ali nemaju isti smjer pa nisu jednaki. Konačno, AB i DE imaju istu duljinu i smjer, ali suprotnu orijentaciju, pa takoder - nisu jednaki. Vektori čiji je nositelj isti jednaki su kad imaju istu duljinu i orijentaciju. Za vektore kojima se nositelji razlikuju imamo sljedeći kriterij. Kriterij za jednakost vektora Vektori AB i CD jednaki su onda i samo onda ako je četverokut ABDC paralelogram. Jedan je smjer u ovoj tvrdnji očit: ako je četverokut ABDC paralelogram, tada vrijedi AB = CD,pravci AB i CD su paralelni, a orijentacije vektora AB i CD su identične. 4

5 OSNOVNI POJMOVI O VEKTORIMA 7.1 Primjer 2. Obratno, ako je AB = CD,tada su u četverokutu ABDC dvije nasuprotne stranice paralelne i jednake duljine, što je dovoljno da bi on bio paralelogram. Za svaki vektor možemo odrediti njemu jednak vektor koji ima početak u unaprijed zadanoj točki O. Odaberimo neki vektor AB i neka je dana točka O. Postoji (samo jedna) točka T takva da je OTBA paralelogram. Onda je OT = AB. Radijus-vektor. Temeljni stavak o vektorima Neka je O bilo koja točka ravnine (ili prostora) i AB zadani vektor. Tada postoji jedinstvena točka T u ravnini (ili prostoru) za koju je OT = AB. Vektor OT nazivamo radijus-vektor točke T. Vektori koji imaju istu duljinu i smjer ne moraju biti jednaki. razlikovati po orijentaciji. Suprotni vektori Oni se mogu Za dva vektora kažemo da su suprotna ako imaju istu duljinu i smjer, a suprotnu orijentaciju. Suprotan vektor vektoru a označavat ćemo s a. Vektori AB i ED imaju isti iznos (duljinu), smjer i orijentaciju pa su jednaki. Vektori BC i EF suprotni su. Jednako tako su suprotni vektori AC i DF. 5

6 7 VEKTORI 6 Zadatak 1. Zadatci 7.1. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF.NekajeS sjecište njegovih dijagonala. Ispiši sve vektore kojima su krajnje točke vrhovi šesterokuta i koji su jednaki vektoru AS ; 2) imaju isti smjer kao vektor BE ; 3) imaju jednaku orijentaciju kao i vektor SC. Vektor suprotan vektoru a je a, pa zato vrijedi ( a) = a. Vektor suprotan vektoru AB je BA, jer taj vektor ima isti iznos i smjer, a suprotnu orijentaciju. Zato je AB = BA. Nul-vektor 1. Koje su od sljedećih veličina vektorske, a koje skalarne: temperatura, obujam, brzina, masa, ubrzanje, sila, električni napon? 2. Dan je paralelogram ABCD. Točka O sjecište je njegovih dijagonala. Promatramo skup vektora kojima su početna i završna točka vrh paralelograma ili točka O. Ispiši sve vektore koji imaju jednak smjer kao ivektor AO.Ispiši sve vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor AO. 2) Ispiši sve vektore koji imaju jednak smjer kao Vektor kojem se podudaraju početna i završna točka nazivamo nul-vektor i označavamo s 0. Njegova je duljina 0, i to je jedini vektor duljine nula. Tako je 0 = AA, za bilo koju točku A. Jedino za nul-vektor nema smisla govoriti o smjeru niti o orijentaciji. Prema dogovoru uzimamo da je nul-vektor kolinearan sa svakim vektorom. ivektor BD. Ispiši sve vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor BD. 3. Koliko postoji vektora kojima su početna i završna točka neka dva vrha trokuta ABC? 4. Koliko postoji vektora kojima su početna i završna točka vrhovi četverokuta ABCD ako je taj četverokut paralelogram, a koliko ako nije paralelogram? 5. Ako je AB = CD, onda je AC = BD. Dokaži! 6. Nacrtaj pravilan šesterokut ABCDEF. Neka je S sjecište dijagonala tog šesterokuta. Ispiši sve vektore kojima su početna i završna točka neki vrh šesterokuta ili točka S,akojisu jednaki vektoru BC ; 2) suprotni vektoru SA.

7 ZBRAJANJE VEKTORA Zbrajanje vektora Zbrajanje vektora Ako čamac plovi preko rijeke brzinom 3 m/ s okomito na njezin tok, a brzina vode je 1 m/ s, kakva će biti njegova putanja? Na ovo su pitanje znali odgovoriti još starigrci: čamac će se gibati po pravcu koji je dijagonala pravokutnika koji čine pojedina gibanja. Krene li čamac iz točke A prema točki B iako cijelo vrijeme vozi okomito na tok vode, stići će na drugu obalu u točki C. Pred oko 400 godina nizozemski znanstvenik Simon Stevin rješavao je općenitiji problem gibanja tijela na koje djeluju različite sile. Mnogo prije nego što je pojam vektora ušao u matematiku, on je ispravno odgovorio na pitanje: može li se djelovanje dviju sila zamijeniti djelovanjem samo jedne sile koja će imati isti učinak? Djelovanje dviju sila predstavljenih vektorima F 1 i F 2 može se zamijeniti djelovanjem samo jedne sile predstavljene vektorom F. Pritom je F dijagonala paralelograma kojemu su F 1 i F 2 susjedne stranice. Time je opravdana sljedeća definicija zbrajanja vektora. Zbroj dvaju vektora pravilo paralelograma Zbroj dvaju vektora OA i OB s istim početkom O je vektor OC takav da je OC dijagonala paralelograma OACB. Pišemo OC = OA + C OB. B A O 7

8 7 VEKTORI Primjer 1. Kosi hitac. Tijelo je izbačeno pod nekim kutom početnom brzinom v p. Pod pretpostavkom odsustva trenja, ono će se nastaviti gibati u tom smjeru istom brzinom. Me - dutim, u svakom trenutku, zbog utjecaja gravitacijske sile, iznos komponente brzine v o prema tlu povećava se proporcionalno proteklom vremenu: v o = gt. Rezultantno gibanje odvija se po paraboli. Vektor brzine tijela dobiva se zbrajanjem jedne stalne komponente u smjeru početne brzine i druge kojoj se iznos mijenja proporcionalno proteklom vremenu. Rezultantna brzina bit će uvijek tangencijalna na putanju tijela. Kako ćemo zbrajati vektore a i b koji imaju početke u različitim točkama? Označimo početnu točku vektora a s O. Neka je A njegova završna točka. Izaberimo vektor OB jednak vektoru b. Zbrojimo vektore OA i OB. Njihov je zbroj vektor c = OC. Kako se vektori OB i b podudaraju, vrijedi c = OC = OA + OB = a + b. Zbrajanje vektora možemo opisati na još jedan način. Pogledajmo sliku. Neka su a i b bilo koja dva vektora. Označimo početnu točku vektora a s A,a završnu s B. 8

9 ZBRAJANJE VEKTORA 7.2 Primjer 2. Dakle, a = AB. Izaberimo vektor AD jednak vektoru b. Nacrtajmo paralelogram ABCD. Po pravilu paralelograma za zbrajanje dvaju vektora je a + b = AB + AD = AC. Medutim, - vektori AD i BC su jednaki, b = AD = BC.Toznači da se zbroj dvaju vektora može dobiti i na ovaj način: a + b = AC = AB + BC. Primijetimo da smo tu izabrali dva vektora, AB i BC tako da se završetak jednog podudara s početkom drugog vektora. Za takve vektore kažemo da su ulančani ili da se nadovezuju. Zbroj vektora pravilo trokuta Vektori a i b su ulančani ako se završetak prvog podudara s početkom drugog. Zbroj dvaju ulančanih vektora AB i BC je vektor AC koji spaja početnu točku prvog vektora sa završnom točkom drugog vektora. Neka je dan pravilni šesterokut ABCDEF inekajes njegovo središte. Odredimo sljedeće vektore: E D AB + CD ; 2) FS + ED ; 3) BC + ED ; 4) BC + EF. Promatrajmo sliku i pratimo redom sljedeće jednakosti: AB + CD = AB + BS = AS ; 2) FS + ED = FS + SC = FC ; 3) BC + ED = AS + SC = AC ; 4) BC + EF = BC + CB = BB = 0. F A S B C 9

10 7 VEKTORI Zadatak 1. Primjer 3. Nacrtaj kvadrat ABCD inekasu A 1, B 1, C 1 i D 1 polovišta njegovih stranica AB, BC, CD i AD. Točka S je središte kvadrata. Odredi vektore: A 1 B 1 + A 1 D 1 ; 2) AA 1 + BB 1 ; 4) AS + BS ; 5) AB1 + CD 1 ; 3) CC 1 + SA 1 ; 6) A 1 C + BA. Pravilo trokuta za zbrajanje vektora pogodno je zbog toga što se može lako poopćiti na zbroj više od dvaju vektora. Da bismo to pokazali, prije toga moramo naučiti osnovna svojstva operacije zbrajanja vektora. Svojstva operacije zbrajanja vektora Realne brojeve a i b možemo zbrajati u bilo kojem poretku, jer vrijedi a + b = b + a. Isto svojstvo ima i operacija zbrajanja vektora, jer se po pravilu paralelograma zbrojevi a + b i b + a računaju na isti način. Provjerimo svojstvo komutativnosti zbrajanja vektora. Neka su a i b bilo koja dva vektora. Odaberimo njima jednake vektore tako da budu ulančani. Neka je, dakle, a = AB i b = BC. Onda je a + b = AB + BC = AC. Odaberimo sad vektore jednake vektorima a i b, ali tako da budu ulančani u drugom poretku. Vrijedi b = AD i a = DC.Zatoje b + a = AD + DC = AC. Zaključujemo da vrijedi a + b = b + a, pa je zbrajanje vektora komutativno. 10

11 ZBRAJANJE VEKTORA 7.2 Komutativnost zbrajanja vektora Zbrajanje vektora je komutativno, tj. za bilo koja dva vektora a i b vrijedi a + b = b + a. Da bismo zbrojili više od dva broja, moramo odabrati poredak zbrajanja. Tako, primjerice, tri broja a, b i c možemo zbrojiti na način (a + b) +c,ukojem se zbroju prvih dvaju brojeva dodaje treći,aliinanačin a +(b + c),ukojem smo najprije zbrojili posljednja dva broja i taj zbroj dodali prvom broju. Kako je zbrajanje realnih brojeva asocijativno, u oba ćemo postupka dobiti isti rezultat. Pokažimo da isto svojstvo ima i zbrajanje vektora. Uvjerimo se u istinitost ovog svojstva koristeći pravilo trokuta za zbrajanje vektora. Izaberimo vektore a, b i c tako da budu ulančani. Neka je a = AB, b = BC i c = CD. Onda vrijedi: ( a + b)+ c =( AB + BC )+ CD = AC + CD = AD. Zbrajajući u drugom poretku dobit ćemo a +( b + c) = AB +( BC + CD) = AB + BD = AD. Dakle, vrijedi ( a + b)+ c = a +( b + c). Asocijativnost zbrajanja vektora Zbrajanje vektora je asocijativno, tj. za bilo koja tri vektora a, b i c vrijedi ( a + b)+ c = a +( b + c). 11

12 7 VEKTORI Primjer 4. Zadatak 2. Neka je ABC bilo koji trokut. Odredimo zbroj vektora AB + BC + CA. To su vektori stranica ovog trokuta koji su odabrani tako da budu ulančani. Prema pravilu za zbrajanje, rezultat je vektor kojemu je početna točka početak prvog, a završna točka završetak trećeg vektora: AB + BC + CA = AA = 0. Dakle, zbroj vektora stranica trokuta (koji su ulančani) jednak je nul- -vektoru. Neka je dan mnogokut A 1 A 2...A n. Tada vrijedi: Obrazloži! A 1 A 2 + A 2 A A n 1 A n + A n A 1 = 0. Vektori AB i BA suprotni su jer imaju istog nositelja i suprotnu orijentaciju. Za zbroj ovih dvaju vektora vrijedi: AB + BA = AA = 0. Dakle, zbroj suprotnih vektora jednak je nul-vektoru. Tačinjenica opravdava oznaku BA = AB. Suprotan vektor bilo kojeg vektora a označavali smo s a. Dakle, vrijedi a +( a) =( a)+ a = 0. Nul-vektor možemo napisati na način 0 = AA, gdje je A bilo koja točka. Ako je a = AB neki vektor, onda je 0 + a = AA + AB = AB = a. Isto tako je a + 0 = a. To pokazuje da nul-vektor ima slična svojstva koja ima i broj nula za operaciju zbrajanja brojeva. 12

13 ZBRAJANJE VEKTORA 7.2 Primjer 5. Djelovanje električnih sila nekoliko točkastih naboja. Uvrhovimajednakostraničnog trokuta postavljeni su točkasti naboji iznosa +2q, +q i q. Nacrtano je djelovanje električnih sila na svaki od tih naboja kao i rezultantne sile F 1, F 2 i F 3 u svakom od naboja. Primijetimo da je zbroj tih sila F 1 + F 2 + F 3 jednak nul-vektoru, što je jasno jer se njihove komponente me - dusobno poništavaju. To znači da bi učvršćeni sustav ovakvih naboja bio u ravnoteži. Oduzimanje vektora F3 +2q F1 F2 +q -q djelovanje električne sile točkastog naboja Oduzimanje je operacija izvedena iz zbrajanja. Prisjetimo se operacije oduzimanja realnih brojeva. Razliku a b brojeva a i b možemo izračunati tako da broju a pribrojimo broj b suprotan broju b : a b = a +( b). Na isti se način definira i oduzimanje vektora. Oduzimanje vektora Razlika vektora definira se kao zbroj sa suprotnim vektorom: a b = a +( b). Opišimo kako se geometrijski odreduje - razlika a b dvaju vektora. Izaberimo vektore jednake početnima tako da imaju zajednički početak. Neka je a = AB, b = AC. Onda je CA = b,paje a +( b) = ( b)+ a = CA + AB = CB. 13

14 7 VEKTORI Primjer 6. Zadatak 3. Razlika vektora Razlika a b vektora a i b odre - duje se tako da se izaberu vektori jednaki početnima, a da imaju zajednički početak. Tada je razlika vektor koji spaja završetak drugog sa završetkom prvog vektora. Na slici je dan paralelogram ABCD. Točke M, N, P i Q polovišta su njegovih stranica. Obrazložimo sljedeće jednakosti: AM AQ = QM ; 2) AQ NP = MB ; 3) QD MN = PD ; 4) AB PC = AM. AM AQ = AM +( AQ )= AM + QA = QA + AM = QM ; 2) AQ NP = AQ +( NP) = AQ + PN = AQ + QM = AM ; 3) QD MN = QD + NM = QD + PQ = PQ + QD = PD ; 4) AB PC = AB + CP = AB + BM = AM. Nacrtaj sliku kao u prethodnom primjeru. Neka je sa S označeno sjecište dijagonala paralelograma. Odredi vektore: PN AQ ; 2) AS BC ; 3) BS AD ; 4) CD DA. 14 A Q D M P B N C

15 ZBRAJANJE VEKTORA 7.2 Zadatci Dan je paralelogram ABCD. Neka je točka S sjecište njegovih dijagonala. Izračunaj: AD + CD ; 2) AS + BS ; 3) AD + CB ; 4) AB + SD ; 5) AB + BS ; 6) BS + CS. 2. Točka S sjecište je dijagonala paralelograma ABCD.Izračunaj: AS + BS + CS ; 2) AB + CS + BD ; 3) AB + AC + AD ; 4) SA+ SB + SC + SD. 3. Neka je ABCDEF pravilni šesterokut i neka je S sjecište njegovih dijagonala. Izračunaj: AB + EF ; 2) AB + SD ; 3) BC + ES ; 4) CS + EF ; 5) DE + SC ; 6) CF + AS. 4. Točka S sjecište je dijagonala pravilnog šesterokuta ABCDEF.Izračunaj: AB + SD + SF ; 2) AB + CD + EF ; 3) AB + AS + AF ; 4) SB+ SD + SF. 5. Dan je trapez ABCD. Konstruiraj vektore: AB + DC ; 2) AB + CD ; 3) AD + CB ; 4) AD + BC. 6. Odredi zbroj vektora: AC + DB + CD + BA ; 2) AB + CD + BC + DE. 3) 5) AB + BC + CA ; 4) AB + BC + DA ; AB + BD + BC + DB. 7. Može li zbroj vektora biti vektor manje duljine nego što je duljina svakog pojedinog pribrojnika? Može li razlika vektora biti manje duljine od njihova zbroja? 8. Ako točke O, A i B nisu kolinearne i ako je OC = OA OB, onda je OC = AB.Dokaži! 9. Dan je paralelogram ABCD itočka O. Dokaži da je OA + OC = OB + OD. 10. Dan je trokut MPQ. Konstruiraj vektore: MP PQ ; 2) MP QM ;3) PQ MP. 11. Nacrtaj paralelogram ABCD i odredi njegovo središte S.Izračunaj: BC DC ; 2) AB BC ; 3) AS BS ; 4) BS SD ; 5) AC SC ; 6) AS SD. 12. Neka su A, B, C, D, E, F vrhovi pravilnog šesterokuta. Provjeri jednakosti: AB DC = BC ; 2) BC ED = AF ; 3) CD FE = BA ; 4) AF DE = BC. 13. Nacrtaj neka tri vektora a, b i c te konstruiraj sljedeće vektore: a + b c ; 2) a b + c ; 3) a b c. 14. Točka T težište je trokuta ABC. Odredi zbroj vektora TA + TB + TC. 15. Dana je pravokutna mreža kao na slici. Odredi: 3) 5) O P R S K L M N E F G H A B C D AB + KP ; 2) AH + SP ; 4) CF + RN ; 6) GH + MR ; EG + DN ; LS + NC. 16. Promatraj pravokutnu mrežu iz prethodnog zadatka i izračunaj: EH KB ; 2) AC EF ; 3) NR MO ; 4) OF GD ; 5) RO NC ; 6) AH MR. 15

m3b.dvi

m3b.dvi 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su, na primjer, duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija, specifična gustoća:::

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija 1.0 1 Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) euklidske geometrije ravnine i prostora koristeći algebarske

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

os07zup-rjes.dvi

os07zup-rjes.dvi RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr 1 2 3 4 5 Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij - 24. studenog 2017. Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme rje²avanja je 120 minuta. Odmah

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je 1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh Slicnost trouglova Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a,, c su stranice trougla suprotne vrhovima A, B, C redom. -m a, m, m c su tezisnice iz vrhova A, B, C redom. -h a, h, h c su

Више

0255_Uvod.p65

0255_Uvod.p65 1Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva U košari ima 12 jaja. U drugoj košari nedostaju tri jabuke da bi bila puna, a treća je prazna. Pozitivni,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.

Више

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi

Више

gt1b.dvi

gt1b.dvi r t.h en el em 6 SUKLDNOST I SLI NOST Pripremi se za gradivo koje slijedi, rijes i pripremne zadatke koji se nalaze u elektronic kom dijelu udz benika. el em en t.h r Sukladnost je rijec koju c esto susrec

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979

Више

knjiga.dvi

knjiga.dvi 1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7

Више

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela

Више

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x

Више

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino

Више

DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 31.oţujka-2.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UĈENIK IM

DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 31.oţujka-2.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UĈENIK IM DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 1oţujka-travnja 011 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UĈENIK IMA DRUGAĈIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ĈLAN POVJERENSTVA DUŢAN JE

Више

f1.dvi

f1.dvi r t.h en m.e le w w w m en.e le w w w t.h r 2 1. GIBANJE Ključni pojmovi vremenski interval gibanje referentni sustav skalar vektor put položaj pomak brzina akceleracija Napomena Iz jedinice za duljinu

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je

Више

untitled

untitled ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka 019. Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom.

Више

ALIP1_udzb_2019.indb

ALIP1_udzb_2019.indb Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti

Више

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja

Више

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1 Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka

Више

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA

Више

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod Ako su dvije veličine x i y povezane relacijom

Више

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom

Више

4.1 The Concepts of Force and Mass

4.1 The Concepts of Force and Mass UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne

Више

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja) . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka) . D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,

Више

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći

Више

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16 7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.

Више

PRAVAC

PRAVAC Nives Baranović nives@ffst.hr Odsjek za učiteljski studij Filozofski fakultet u Splitu Razvoj geometrijskog mišljenja kroz tangram aktivnosti Radionica za učitelje i nastavnike matematike VII. simpozijum

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. ( MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija

Више

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu ODLIČAN (5) navodi primjer kuta kao dijela ravnine omeđenog polupravcima analizira i uspoređuje vrh i krakove kuta analizira

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

Matematički leksikon

Matematički leksikon OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON Radoboj, 2012. OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON PROJEKT Predmet : Matematika Mentor: Ivica Švaljek Radoboj, 2012. godina Matematički leksikon OŠ

Више

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima

Више

Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 58.ŠKOLSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA PISANA PROVJERA ZNANJA - 5. razred Za

Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 58.ŠKOLSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA PISANA PROVJERA ZNANJA - 5. razred Za Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 58.ŠKOLSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA 206. PISANA PROVJERA ZNANJA - 5. razred Zaporka učenika: (peteroznamenkasti broj i riječ) Ukupan

Више

atka 25 (2016./2017.) br. 98 Nastavak iz atke broj 97. U Nacrtaj i ti! Nikol Radović, Sisak prošlim brojevima atke upoznali smo neke metode vizualizac

atka 25 (2016./2017.) br. 98 Nastavak iz atke broj 97. U Nacrtaj i ti! Nikol Radović, Sisak prošlim brojevima atke upoznali smo neke metode vizualizac Nastavak iz atke broj 97. U Nacrtaj i ti! Nikol Radović, Sisak prošlim brojevima atke upoznali smo neke metode vizualizacije trodimenzijskih geometrijskih figura u dvodimenzijskome okruženju. Prije nego

Више

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a) z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)

Више

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan 1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:

Више

Jednadžbe - ponavljanje

Jednadžbe - ponavljanje PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili

Више

Slide 1

Slide 1 OSNOVNI POJMOVI Naredba je uputa računalu za obavljanje određene radnje. Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Pisanje programa zovemo programiranje. Programski jezik

Више

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23 i polja Mate Kosor 9.12.2010. 1 / 23 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23 Danas

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji

Више

Ravno kretanje krutog tela

Ravno kretanje krutog tela Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela

Више