Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

Транскрипт

1 Slicnost trouglova Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a,, c su stranice trougla suprotne vrhovima A, B, C redom. -m a, m, m c su tezisnice iz vrhova A, B, C redom. -h a, h, h c su visine iz vrhova A, B, C redom. -ω a, ω, ω c su simetrale uglova iz vrhova A, B, C redom. -R, r su poluprecnici opisane i upisane kruznice redom. -s = a + + c 2 je poluoim trougla. -A = s(s a)(s )(s c) je povrsina trougla. Stav slicnosti: -Trouglovi ABC i A B C su slicni ( ABC A B C ) ako i samo ako je. A = A, B = B 2. a a = = c c 3. C = C, a a = Primjer :. Neka je G teziste trougla ABC i neka je D sredina stranice BC.Pokazati da je AG GD = 2

2 Neka su je E sredina stranice AC.Tada je DE srednja linija trougla ABC pa je DE AB.No tada je CDE ABC pa je DE AB = CD CB = 2 Kako je DE AB to imamo da je DEG AGB pa je AG GD = AB DE = 2 Primjer 2:. Neka je D BC podnozje simetrale ugla A.Pokazati da je BD CD = c Neka su P i Q podnozja normala iz B i C na pravu AD.Zog BP A = CQA = 90 i P AB = CAQ = A 2 je AP B ACQ. 2

3 Zog BP A = CQA = 90 i P DB = CDQ (unakrsni uglovi) je BP D CQD.Sada je Koristeci doijene dvije jednakosti je AP B ACQ c = BP CQ BP D CQD BP CQ = BD CD BD CD = c Primjer 3:. Neka u trouglu ABC vrijedi A = 2 B,pokazati da je a 2 = ( + c) Neka je D podnozje simetrale ugla A.Iz prethodnog primjera je BD CD = c BD CD + = c + a CD = + c CD = a + c Kako imamo da je DAC = ABC i DCA = BCA to vrijedi ADC ABC pa je Koristeci doijene dvije jednakosti je a = CD 3

4 a = a + c = a + c a2 = ( + c) Primjer 4:. Neka je p prava kroz G,teziste trougla ABC, i neka ona sijece stranice BC, CA, AB u tackama P, Q, R redom,tako da su Q i R sa iste strane tacke G.Pokazati da je = GQ + GR Neka je q prava kroz G paralelna sa BC,i neka ona sijece AB i CA u tackama M i N redom.neka su M i N tacke na pravoj q takve da je BM CN p.neka AG sijece stranicu BC u tacki D. Kako je G teziste to je BD = CD.Sada zog q BC imamo slicnosti ACD AGN GN CD = AG AD = 2 3 Gdje posljednja jednakost proizilazi iz primjera. Koristeci ove dvije jednakosti i BD = CD imamo da je MG = NG (0) i BC = 3 MN () 2 Kako su CN GD i P BM G i N CBM paralelogrami,to je CN = P G i BM = P G i N M = CB Zog paralelnosti je takodjer CN N NGQ CN GQ = NN NG 4

5 GQ = NN NG GQ = NN NG (2) BM M RGM BM GR = MM MG Sairajuci (2) i (3) imamo sljedece GR = MM MG GR = MM MG (3) GR + GQ = ( NN NG + MM MG ) = = ( GN NG + GM MG ) =(0) ( GN + GM MG = ( MN MG 2) = ( 2 MN MN 2) = = ( 2 BC MN 2) =() (3 2) = 2) = Primjer 5:. Neka je M tacka na stranici BC trougla ABC.Pokazati da vrijedi AM BC AB MC + AC MB Neka je D tacka na stranici AC takva da je MD AB.Sada je CMD ABC. Pa imamo Takodjer vrijedi MD AB = CM BC MD BC = AB MC () CA CB = CD CM CA CA CD = CB CB CM = AD BM 5

6 Sairanjem () i (2) imamo CA BM = CB AD (2) CB MD + CB AD = AB MC + CA BM CB(MD + AD) = AB MC + CA BM Iz nejednakosti trougla u trouglu AMD je MD + AD AM Pa imamo da je AB MC + CA BM CB AM Jednakost vrijedi ako i samo ako su A, D, M kolinearne tacke,tj: M B ili je M C. Zadaci za samostalan rad:.neka je dan trougao ABC.Pokazati da je a h a = h = c h c 2.Na dijagonali BD paralelograma ABCD uzeta je tacka K.Prava AK sijece prave BC i CD u tackama L i M.Pokazati da je AK 2 = LK KM 3.Neka je ABCD paralelogram.proizvoljna prava p kroz tacku A sijece prave BC, CD, BD u tackama P, Q, R redom.pokazati da je AR = AP + AQ 4.U trouglu ABC povucena je simetrala ugla A koja sijece stranicu BC u tacki D.Neka su M i N sredine stranica BC i AB,neka je K tacka presjeka pravih AD i MN.Pokazati da je 2A K = c 5.Neka je E presjek dijagonala roma ABCD,neka su F i G redom podnozja normala iz E i C na pravu AB,i neka je H srediste duzi CG.Pokazati da je DF normalna na AH. 6