PRIMENE SLIČNOSTI N PRVOUGLI TROUGO Nrjmo jedn prvougli rougo s sndrdnim oeležvnjim:, su kee je ipoenuz je ipoenuzin visin p i su odseči n ipoenuzi koje prvi visin β α α D p β Hipoenuzin visin D deli rougo n dv prvougl rougl : D i D. Možemo uočii d sv ri prvougl 0 rougl imju ise uglove α, β i γ = 90, p su medjusono slični. Iz njiove sličnosi proizilzi proporionlnos odgovrjući srni koj može d se formuliše ko : i) Hipoenuzin visin je geomerijsk sredin odsečk koje sm odse n ipoenuzi, o jes = p ii) Ke je geomerijsk sredin ipoenuze i ližeg odsečk ipoenuze, o jes = p i = ( ovo je Euklidov sv) iii) Trougo je prvougli ko i smo ko je + = ( ovo je Pigorin eorem) Dkle, sd z prvougli rougo znmo sledeće formule: + = p+ = = p = p = p = p = = + p = + = O= + + oim P= ili P= površin = ipoenuzin visin R= = poluprečnik opisne kružnie koji se nlzi n sredini ipoenuze + r= poluprečnik upisne kružnie
Primer. Odredii nepozne elemene skup {,,, p,, } ko je pozno: i) ii) p= 6m = 9m = 30m = 3m i) p= 6m = 9m Korisimo formulie ko šo prvo prondjemo onu gde nm se jvljju di elemeni: + = p+ = = p = p = + p = + = p= 6m = 9m p+ = = 6+ 9 = 5m = p = 6 9 = 3 = m = p = 5 6= 5 = 0m = = 5 9 = 5 3 = 5m ii) = 30m = 3m + = = 30 + 3 = 6900+ 973 = = 338m 6900 338 = p p= = p= 50m p+ = = p = 338 50 = 88m = p = 50 8 = 00 = 0m
Primer. Dokzi d u prvouglom rouglu vži jednkos: = + Krenućemo od desne srne jednkosi i doći do leve: + + = u rojiou immo + = p o zmenimo + + = = preimo rojil ispod imenio( osoin dvojnog rzlomk) + + = = = = znmo d je = ipoenuzin visin + + = = = = = ovim je dokz zvršen. Primer 3. U jednkokrkom rpezu osnovi 6m i 9m upisn je kružni. Izrčuni poluprečnik kružnie. D njpre nrmo sliku i posvimo prolem: D =9m =6m - Pošo se rdi o ngennom čevorouglu, znmo d zir nsprmni srni mor ii jednk. To ćemo iskorisii d ndjemo dužinu krk. 3
+ = 6+ 9= 5 = 5 = m Sd primenimo Pigorinu eoremu d nñemo dužinu visine: 5 7 65 9 + = = = 576 = = = m Znmo d je poluprečnik upisne kružnie jednk polovini visine: r= r= r= 6m i evo rešenj. Primer. Dokzi d u svkom prvouglom rouglu z ežišne duži vži jednkos: + = 5 Nrjmo njpre sliku : Idej je d dv pu primenimo Pigorinu eoremu. Prvo primenjujemo n oeleženi rougo: = +
Sd n drugu srnu: = + Serimo ove dve jednkosi: = + seremo i... = + + = + + + + = + + + + + + + = 5 + 5 + = 5( + ) + = U rojiou zmenimo + 5 + = Ovde mlo prepkujemo: + = 5 Znmo d je + = 5 = s iz Pigorine eoreme... 5
Primer 5. ko su i osnovie, i d kri, d i d dijgonle rpez, d vži: d + d = + d +. Dokzi. Ko i uvek, nrmo sliku i ržimo ideju: D d d d I ovde ćemo uporeii Pigorinu eoremu. Izrzimo visinu rpez s iz žuog i iz rvenog rougl, p o uporedimo: D D d d d d D m n = d = d = d = + d = + ( + )( ) d = + ( + ) ( ) d = + ( ) = d m = d n d n = d m d = d + n m d = d + ( n+ m)( n m) d = d + ( n+ m) ( n m) d = d + ( n m) Sd ćemo sri ove dve jednkosi: d = + ( ) seremo i... d = d + ( n m) d + d = + d + ( ) + ( n m) d + d = + d + ( ) + ( n m) ispred zgrde... d + d = + d + ( + n m) preummo ovo u zgrdi... d + d = + d + ( m+ n ) d + d = + d + ( m + n ) pogledjmo sliku: ovi uokvireni dju d + d = + d + ( + ) d + d = + d + 6
Evo pr primer konsrukij rženi duži. Primer. De su duži i. Konsruisi geomerijsku sredinu i duži, o jes konsruisi Njpre ćemo nri dve proizvoljne duži: Nji zim spojimo ( posvimo jednu do druge), šo je prikzno n slii. slik. slik. slik 3. Ndjemo sredinu duži + i opišemo polukrug ( slik.). Iz mes presek duži podignemo normlu (slik 3.) T norml je rešenje, o jes on je geomerijsk sredin di duži. Zšo? P znmo d se enr opisne kružnie kod prvouglog rougl nlzi n sredini ipoenuze d je visin geomerijsk sredin odsečk... 7
Primer. Konsruisi duž čij dužin u odnosu n du jediničnu duž ( vi kd veže uzmie jediničnu duž m) iznosi: ) 5 ) 7 ) 5 Idej kod ovog ip zdk je d se podkoreni roj npiše ko proizvod dv roj ( ilo koj) i d se primeni znnje o konsrukiji geomerijske sredine: 5= 5 3 Dkle, uzmemo duži od 5m i 3 m, nrmo i jednu do druge, ndjemo sredinu( n m) i opišemo polukrug. Iz mes presek ove dve duži izdignemo normlu do presek s polukrugom i njen vrednos je 5. 5 3= 5 5m 3m ) 7 Slično: 7 = 7 7 = 7 7m m 8
Primer 3. De su duži čije su dužine i. Konsruisi duž dužine: ) ) = + = ) = + ko kvdrirmo ovu jednkos, doijmo: = + = + Odvde zključujemo d je ržen duž usvri ipoenuz prvouglog rougl čije su kee i. slik. slik. slik 3. Uzmemo proizvoljne duži i. Prenesemo duž i konsruišemo prv ugo ( slik.) N oj poluprvi nnesemo dužinu (slik.) I kd o spojimo eo ržene duži.( slik 3.) ) = Kvdrirmo i doijemo: = = Ovde je dkle ržen duž ke prvouglog rougl s ipoenuzom i keom. slik. slik. slik 3. N duž konsruišemo prv ugo u emenu. Iz emen presečemo u poluprvu dužinom. Doili smo rougo, gde je ke rešenje nšeg zdk. 9
Primer. De su proizvoljne duži, i. Konsruisi duž: i) = + ii) = Ovi zdi su usvri kominij preodni, o jes korisi se i geomerijsk sredin i konsrukij prvouglog rougl. Du jednkos prvo mlo preprvimo = + = + kvdrirmo = ( ) + Prvo ćemo konsruisi, zim prvougli rougo s kem i. Hipoenuz og rougl je ržen duž. slik. slik. slik 3. ii) = = = = ( ) kvdrirmo Njpre konsruišemo zim prvougli rougo s keom i ipoenuzom dužine. Sd je ržen duž ke og rougl. N N slik. M slik. M slik 3. 0