Geometrija I–smer - deo 4: Krive u ravni
|
|
|
- Alois Srećković
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 4: Krive u ravni Tijana Xukilovi 3. decembar 2018
2 Konus Neka su i i s dve prave u prostoru koje se seku u taqki T. Kruni konus sa temenom T je povrx koja se dobija rotacijom prave i oko ose s. Rotirana prava i (u raznim poloajima) naziva se izvodnica konusa, a prava s se naziva osa konusa. i T s Slika 1: Kruni konus
3 Konusni presek Definicija 1.1 Konusni presek je presek konusa sa proizvo nom ravni α. Konusni preseci: krug; elipsa; hiperbola; parabola.
4 Konike Definicija 1.2 Konika je presek konusa sa ravni α koja NE sadri teme konusa. Teorema 1.1 U ravni α konike postoje prava d i taqka F takve da je odnos rastoja a MF d(m, d) = e = const proizvo ne taqke M konike od taqke F i prave d konstantan.
5 Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike,
6 Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F ia,
7 Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F ia, a prava d direktrisa konike.
8 Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F ia, a prava d direktrisa konike. Ekscentricitet odreuje tip konike: za e = 0 { krug; za 0 < e < 1 { elipsa; za e = 1 { parabola; za e > 1 { hiperbola.
9 Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema 1. Keplerov zakon: Tela Sunqevog sistema se kreu oko Sunca po konici, a Sunce se nalazi u ii te konike.
10 Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete?
11 Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)?
12 Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)? YouTube
13 Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)? Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemu imaju skoro paraboliqne puta e?
14 Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)? Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemu imaju skoro paraboliqne puta e? Odgovor: na primer, Halejeva komenta (e 0.995)
15 Primeri konika u prirodi Puta a kosog hica je parabola.
16 Primeri konika u prirodi Puta a kosog hica je parabola. Senka krunog predmeta na ravan zid je konika.
17 Primeri konika u prirodi Puta a kosog hica je parabola. Senka krunog predmeta na ravan zid je konika. Sunqeva senka vrha xtapa u toku dana je konika. Slika: Most Sunqani sat", Kalifornija
18 Krug y M(x, y) C(x 0, y 0) φ Slika 4: Krug sa centrom u taqki C(x 0, y 0 ) i polupreqnikom r x
19 Jednaqine kruga u ravni i prostoru y z O x y x 2 + y 2 = 1 x x 2 + y 2 = 1 Slika 5: Krug Slika 6: Cilindar
20 Jednaqine kruga u ravni i prostoru y z z = 0 O x y x 2 + y 2 = 1 x x 2 + y 2 = 1 Slika 5: Krug Slika 6: Cilindar krug
21 Implicitna i parametarska jednaqina kruga Implicitna jednaqina kruga: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2.
22 Implicitna i parametarska jednaqina kruga Implicitna jednaqina kruga: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. Parametarska jednaqina kruga: x = x 0 + r cos θ, y = y 0 + r sin θ, θ [0, 2π), θ je ugao izmeu vektora poloaja taqke i pozitivnog dela x-ose.
23 Brzina i ubrza e y α (t) = #«v (t) α(t) α (t) = #«a (t) Slika 7: Brzina i ubrza e r x α(t) = (r cos t, r sin t), t [0, 2π). Kruno kreta e konstantnom ugaonom brzinom: t { vreme; #«v = α (t) { brzina; #«a = α (t) { ubrza e; #«F = m #«a { centripetalna sila. Predava a profesora Voltera Levina sa MIT-a (YouTube)
24 Elipsa y b F2 a F1 x Slika 8: Elipsa Kanonska jednaqina elipse: x 2 a 2 + y2 = 1, a > b > 0. b2
25 Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse;
26 Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse;
27 Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise elipse; e
28 Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise elipse; e e = c { ekscentricitet elipse. a
29 Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse; d 1 : x = a e, d 2 : x = a e { direktrise elipse; e = c a { ekscentricitet elipse. za a = b elipsa je krug!
30 Fokusne osobine elipse Teorema 1.2 Zbir rastoja a proizvo ne taqke elipse od enih ia je konstantan: MF 1 + MF 2 = 2a. T2(b) A2 M A1 F2 O F1(c) T1(a) d2 d1 Slika 9: Zbir rastoja a taqke elipse od enih ia Fokusne osobine elipse
31 Primeri Primer 1 Ako je ekscentricitet Marsa e = i rastoja e izmeu ia 2c AJ (1AJ = km), odrediti najma e (perihel) i najvee (afel) rastoja e Marsa od Sunca. Kolike su ove vrednosti za Zem u? Za koju planetu Sunqevog sistema je razlika ove dve vrednosti maksimalna?
32 Parametarska jednaqina elipse Parametarska jednaqina elipse: x = a cos θ, y = b sin θ, θ [0, 2π), a, b su poluose elipse, ali θ NIJE ugao izmeu vektora poloaja taqke i pozitivnog dela x-ose.
33 Hiperbola d 2 y d 1 F 2 a b F 1 x Slika 10: Hiperbola Kanonska jednaqina hiperbole: x 2 a 2 y2 b 2 = 1.
34 Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole;
35 Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole;
36 Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise hiperbole; e
37 Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise hiperbole; e e = c { ekscentricitet hiperbole; a
38 Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole; d 1 : x = a e, d 2 : x = a e { direktrise hiperbole; e = c a { ekscentricitet hiperbole; a 1 : y = b a x, a 2 : y = b x { asimptote hiperbole. a
39 Fokusne osobine hiperbole Teorema 1.3 Apsolutna vrednost razlike rastoja a proizvo ne taqke hiperbole od enih ia je konstantan: MF 1 MF 2 = 2a. Fokusne osobine hiperbole
40 Parametrizacija hiperbole y x Slika 11: Parametrizacija hiperbole x = +a cosh φ, y = b sinh φ, φ R x = a cosh φ, y = b sinh φ, φ R
41 Parabola Posledica 1.1 Svaka taqka M parabole je jednako uda ena od ie i od direktrise parabole. d y p 2 p 2 F x Slika 12: Parabola y 2 = 2px, p > 0 Definicija parabole
42 Elementi parabole y 2 = 2px, p > 0 p { parametar parabole; ( ) p F 2, 0 { ia parabole; d : x = p 2 { direktrisa parabole; o { osa parabole (ovde: x-osa); T { teme parabole (ovde: O).
43 Parametrizacija parabole Standardna parametrizacija: x = t2, y = t, t R, 2p Jednaqina kosog hica Primer 2 Pokazati da su svake dve parabole meusobno sliqne.
44 Jednaqina kosog hica y α (0) #«g A h φ 0 α (t) α(t) α (t) Slika 13: Kosi hitac x x(t) = (v 0 cos φ 0 )t, t 0 y(t) = g 2 t2 + (v 0 sin φ 0 )t + h, t 0, v 0 { poqetna brzina; h { visina; φ 0 { ugao (u odnosu na tlo); g { gravitaciono ubrza e.
45 Kosi hitac Za koji ugao φ 0 se dostie najvea da ina/visina? Xta se dexava kada je v 0 = 0? y φ0 = 5π, ymax = 4.67m 12 φ0 = π, ymax = 3.75m 3 φ0 = π, ymax = 2.50m 4 φ0 = π, ymax = 1.25m 6 φ0 = π, ymax = 0.33m m Slika 14: Kosi hici sa poqetnom brzinom v 0 = 10 m s, 8.66m 10.0m za uglove φ 0 = kπ 12, k = 1,..., 5 x
46 Primeri kosog hica Sport: Projectile motion in sport MIT eksperiment: Monkey and a gun Fontane: The Mathematical Tourist
47 Primeri Primer 3 Koxarkax visine 1.85m treba da ubaci loptu u kox sa sa linije slobodnog baca a (4.5m). Obruq je na visini 3.05m. Pod kojim poqetnim uglom treba izbaciti loptu da bi se postigao pogodak? Za poqetnu brzinu izbaqaja lopte uzeti 7m/s. Koliko se me a potrebna poqetna brzina izbaqaja ako se izvodi skok-xut sa iste uda enosti pod tim uglom? Pretpostavimo da je odraz 1m. Uzeti da je gravitaciono ubrza e g 10m/s 2.
48 Zakon odbija a svetlosti Svetlost se odbija od glatke povrxine tako da je upadni ugao zraka svetlosti jednak odbojnom uglu. ogledalo zrak svetlosti φ φ Slika 15: Zakon odbija a svetlosti
49 Optiqka osobina elipse Teorema 1.4 Svetlosni zrak koji izvire iz ie elipse i odbija se od elipse, prolazi kroz drugu iu elipse. t T N M F 2 t F1 F2 F1 F2 Slika 16: Optiqka osobina elipse Eliptiqki bilijar
50 Optiqka osobina hiperbole Teorema 1.5 Svetlosni zrak koji izvire iz ie hiperbole i odbija se od hiperbole, kolinearan je sa drugom iom hiperbole. y F 2 T F 1 x Slika 17: Optiqka osobina hiperbole
51 Optiqka osobina parabole Teorema 1.6 Svetlosni zrak koji izvire iz ie parabole odbija se od parabole paralelno enoj osi. d y t M R Q O F x Slika 18: Optiqka osobina parabole
52 Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Primer paraboliqke antene Slika: Svemirska stanica Venera I, Muzej kosmonautike, Moskva
53 Krive drugog reda Definicija 1.4 Kriva drugog reda je skup taqaka ravni qije koordinate (x, y) zadovo avaju jednaqinu drugog stepena: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0.
54 Krive drugog reda Definicija 1.4 Kriva drugog reda je skup taqaka ravni qije koordinate (x, y) zadovo avaju jednaqinu drugog stepena: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. Koliko god prethodna jednaqina izgledala komplikovano, moe se pokazati da ona geometrijski opisuje elipsu, hiperbolu, parabolu ili neku jednostavnu degenerisanu" krivu.
55 Svoe e krive na kanonski oblik Teorema 1.7 Za svaku krivu drugog reda, datu u ortonormiranom reperu Oe, postoji novi ortonormirani reper Qf, iste orijentacije, u kom ona ima taqno jednu od sledeih jednaqina: (E) (H) x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 b + y 2 2 = 1, (elipsa) b 2 = 1, (hiperbola) (P ) y 2 = 2px, (parabola)
56 Svoe e krive na kanonski oblik Teorema 1.7 (D1) (D2) (D3) x 2 a 2 x 2 + y 2 2 = 1, (prazan skup ili imaginarna elipsa) b + y 2 2 = 0, (taqka) b a 2 x 2 a 2 y 2 b 2 = 0, (dve prave koje se seku) (D4) x 2 = a 2, (dve paralelne prave) (D5) x 2 = 0, ( dvostruka" prava) (D6) x 2 = a 2 (prazan skup). gde je p > 0, a, b > 0 i a b za (E), (D1), (D2) i (D3).
57 Svoe e krive na kanonski oblik y x y y O φ x x Slika 20: Svoe e elipse na kanonski oblik Q translacija rotacija
58 Svoe e krive na kanonski oblik translacijom y y F (0, p) 0 x d : y = p F (x 0, y 0 + p) d : y = y 0 p (x 0, y 0) x Slika 21: Translacija parabole x = x + x 0, y = y + y 0
59 Svoe e krive na kanonski oblik rotacijom x = cos φ x sin φ y, y = sin φ x + cos φ y cos 2φ cot 2φ = sin 2φ = a 11 a 22, φ 2a 12 cot 2φ cos 2φ = cot 2 2φ cos φ = + [ 0, π ) cos 2φ, sin φ = cos 2φ 2
60 Primer: Rotacija hiperbole y y x O φ x Slika 22: Hiperbola xy = 1
61 Krive drugog reda u projektivnoj ravni Jednaqina krive drugog reda u homogenim koordinatama: Γ : a 11 x a 22 x a 33 x a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 = 0. Vektorski zapis: gde je X = x 1 x 2 x 3, G = X t GX = 0, a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 = G t.
62 Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x x 2 2 x 2 3 = 0. u Γ Slika 23: Elipsa Γ u = { }
63 Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x x 2 2 x 2 3 = 0. P Q Γ u Slika 23: Hiperbola Γ u = {P, Q } P, Q { pravci asimptota hiperbole
64 Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x x 2 2 x 2 3 = 0. S Γ u Slika 23: Parabola Γ u = {S } S { pravac ose parabole
65 Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x x x 2 3 = 0. u Γ Slika 23: Nula kriva Γ u = { }
66 Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x x x 2 3 = 0. Taqka x x 2 2 = 0.
67 Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x x x 2 3 = 0. Taqka x x 2 2 = 0. Dve prave x 2 1 x 2 2 = 0.
68 Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x x x 2 3 = 0. Taqka x x 2 2 = 0. Dve prave x 2 1 x 2 2 = 0. Dvostruka" prava x2 1 = 0.
69 Bezijerove krive Definicija 2.1 Neka su P 0, P 1... P n, n 2 taqke ravni. Bezijerova kriva stepena n je: ( ) n n n α n (t) = t i (1 t) n i P i = Bi n (t)p i, t [0, 1]. i i=0 Taqke P i nazivaju se kontrolne taqke, a polinomi B i (t) Bernxtajnovi polinomi ili bazne funkcije. Poligonska linija P 0 P 1... P n se zove kontrolna poligonska linija. i=0
70 Bezijerove krive na prozivo nom intervalu t [0, 1]: α n (t) = n i=0 ( ) n t i (1 t) n i P i = i n Bi n (t)p i. i=0
71 Bezijerove krive na prozivo nom intervalu t [0, 1]: u [a, b]: α n (t) = α n (u) = n i=0 ( ) n t i (1 t) n i P i = i n i=0 ( n i ) (u a b a n Bi n (t)p i. i=0 ) i ( ) b u n i P i. b a
72 Bezijerove krive 2. i 3. stepena P 1 P 2 P 1 P 2 P 3 P 0 P 0 Slika 23: Bezijerove krive stepena 2 i 3 Kriva 2. stepena odreena je sa tri kontrolne taqke: α 2 (t) = (1 t) 2 P 0 + 2t(1 t)p 1 + t 2 P 2, t [0, 1];
73 Bezijerove krive 2. i 3. stepena P 1 P 2 P 1 P 2 P 3 P 0 P 0 Slika 23: Bezijerove krive stepena 2 i 3 Kriva 2. stepena odreena je sa tri kontrolne taqke: α 2 (t) = (1 t) 2 P 0 + 2t(1 t)p 1 + t 2 P 2, t [0, 1]; Kriva 3. stepena odreena je sa qetiri kontrolne taqke: α 3 (t) = (1 t) 3 P 0 + 3t(1 t) 2 P 1 + 3t 2 (1 t)p 2 + t 3 P 3, t [0, 1].
74 Matriqna reprezentacija Bezijerove krive α 2 (t) = (1, t, t 2) P 0 P 1 P 2. Primer 4 Izvesti formule matriqne reprezentacije kubne Bezijerove krive.
75 Osobine deg α n = n.
76 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n.
77 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n.
78 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v.
79 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti.
80 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa.
81 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa. Osobina ma e varijacije.
82 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa. Osobina ma e varijacije. Afina invarijantnost.
83 Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa. Osobina ma e varijacije. Afina invarijantnost. Teorema 2.1 Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
84 De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n
85 De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1
86 De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1.
87 De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1. 3 P ki = (1 t)p k 1i + tp k 1i+1, i = 0,..., n k
88 De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1. 3 P ki = (1 t)p k 1i + tp k 1i+1, i = 0,..., n k 4 P n0 = (1 t)p n tp n 1 1
89 De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1. 3 P ki = (1 t)p k 1i + tp k 1i+1, i = 0,..., n k 4 P n0 = (1 t)p n tp n 1 1 P n 1 0 P n 1 1 { tangenta na krivu u taqki t
90 De-Kaste au algoritam Primer 5 Pokazati da je de-kaste au algoritam korektan. P02 P12 P11 P21 P40 P31 P22 P41 P03 P01 P30 P50 P32 P13 P20 P23 P04 P10 P14 P00 Slika 24: De-Kaste au algoritam za krivu 5. stepena i t = 0.4 P05 Crta e krive 5. stepena
91 Podela krive na dva dela Krivu α delimo na dve krive α 1 i α 2 : α 1 : P 0 = P 00, P 10, P 20,... P n0 = α(t), α 2 : α(t) = P n0, P n 11, P n 22,..., P 0n = P n. P40 P30 P50 P41 P20 α1(t) α2(t) P32 P10 P23 P14 P00 P05 Slika 25: Podela krive na dva dela
92 Glatko spaja e krivih P 2 1 P 1 n 1 P 1 n P 2 0 Slika 26: Glatko spaja e krivih
93 Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive
94 Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive
95 Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive
96 Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive
97 Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive
98 Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive
99 Primeri Primer 6 a) Odrediti Bezijerovu krivu α 2 (t) qije su kontrolne taqke P 0 (1, 1), P 1 ( 1, 0), P 2 (1, 1). b) Odrediti jednaqinu tangente na krivu α 2 (t) u taqki t 0 = 0.5 i pokazati da je tangenta paralelna sa pravom P 0 P 2. v) Poveati stepen krive za 1. g) Odrediti jednaqinu tangente na krivu ᾱ 3 (t) u taqki t 0 = 0.5. Da li je tangenta paralelna sa pravom P 0 P3?
100 Racionalne Bezijerove (RB) krive Racionalna Bezijerova kriva stepena n sa kontrolnim taqkama P 0,..., P n i teinama ω 0,..., ω n > 0 je data parametrizacijom: r n (t) = ni=0 ω i B i,n (t)p i ni=0, t [0, 1], ω i B i,n (t) gde su B i,n (t) Bernxtajnovi polinomi.
101 Deo kruga kao RB-kriva Primer 7 y ω 0 = ω 1 = 1, ω 2 = 2 P 2(0, 1) P 1(1, 1) O P 0(1, 0) [ Slika 28: Qetvrtina kruga: x = cos θ, y = sin θ, θ 0, π ] 2 kao RB-kriva: x = 1 t2 1 + t 2, y = 2t, t [0, 1]. 1 + t2 x
102 Fraktali Fraktal = geometrijski lik koji se moe razloiti na ma e delove tako da je svaki od ih, makar priblino, uma ena kopija celine. Slika: Pequj, 2011
103 Fraktali Fraktal = geometrijski lik koji se moe razloiti na ma e delove tako da je svaki od ih, makar priblino, uma ena kopija celine. Podela fraktala: geometrijski; algebarski; stohastiqki.
104 Geometrijski fraktali Geometrijski fraktal = samosliqna figura qiji se opxti oblik zadaje generatorom. Slika 29: Prve qetiri iteracije Kohove krive
105 Peanova kriva Slika 30: Prve tri iteracije Peanove krive
106 Hilbertova kriva (1, 1) (1, 1) 2 3 (0, 0) (0, 0) Slika 31: Prve tri iteracije Hilbertove krive
107 Primena geometrisjkih fraktala Primena: kada je potrebno linearizovati vixedimenzione podatke jer predstav aju optimalan naqin da se vixedimenzioni skupovi preslikaju na jednodimenzione nizove. Slika 32: Prve dve iteracije trodimenzione Hilbertove krive
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p
{ Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te
Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
8. ( )
8. Кинематика тачке (криволиниjско кретање) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити 1. Криволиниjско кретање Преглед
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr
Prvi razred A kategorija 1. Za prirodan broj n oznaqimo sa x n broj koji se dobije uzastopnim zapisivanjem svih prirodnih brojeva od 1 do n jedan iza drugog (npr. x 14 = 1234567891011121314). Neka je funkcija
Ravno kretanje krutog tela
Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
![СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто](/thumbs/102/155791469.jpg "СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто")
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
Microsoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee
PRVI KOLOKVIJUM 1992. 1. Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t 1. 3. Rexiti sistem
Microsoft PowerPoint - fizika2-kinematika2012
ФИЗИКА 1. Понедељак, 8. октобар, 1. Кинематика тачке у једној димензији Кинематикакретањаудведимензије 1 Кинематика кретање свејеустањукретања кретање промена положаја тела (уодносу на друга тела) три
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
![VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E](/thumbs/102/155964078.jpg "VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E")
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i
GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i B 1 C 1 paralelne i vai B 1 C 1 = 1 2 BC. 2. Ako su
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankov
Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankovi Student: Duxan Mijajlovi broj indeksa 156 Nix, 2018.
24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g
4. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka,. april 07. ZADACI PRVI RAZRED. Dat je razlomak a7, gdje su a i b cifre za koje je b a =. Ako se 7b egovom brojiocu
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
homotetija_ddj.dvi
Homotetija verzija.0: 16.10.016. uxan uki efinicija. Homotetija H O,k sa centrom O i koeficijentom k je preslikavanje ravni koje slika svaku taqku X u taqku X takvu da je OX = k OX. Homotetiju zovemo pozitivnom
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
Mate_Izvodi [Compatibility Mode]
![Mate_Izvodi [Compatibility Mode]](/thumbs/102/155170958.jpg "Mate_Izvodi [Compatibility Mode]")
ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ Нека тачке Мо и М чине једну тетиву функције. Нека се тачка М почне приближавати тачки Мо, тј. нека Тачка М постаје тачка Мо, а тетива постаје тангента функције у тачки
rjeshenja.dvi
16. REPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Banja Luka, 11.04.2009. ZADACI PRVI RAZRED 1. Neka su a, b, c pozitivni brojevi. Dokazati da iz a 2 + b 2 = c 2 slijedi a 2
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.
Prvi razred A kategorija Za brojeve a, b, c, x, y i z vaжi {a, b, c} = {x, y, z} = {15, 3, 2014}. Da li broj a bc + x yz mora biti sloжen? (Za m, n, k N je sa m nk oznaqen broj m (nk).) Neka su a, b i
Динамика крутог тела
Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап.
PowerPoint Presentation
Nedjelja 6 - Lekcija Projiciranje Postupci projiciranja Projiciranje je postupak prikazivanja oblika nekog, u opštem slučaju trodimenzionalnog, predmeta dvodimenzionalnim crtežom. Postupci projiciranja
Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]](/thumbs/99/142687321.jpg "Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]")
КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y
Fiziqki Fakultet Univerzitet u Beogradu Zadaci sa vebi iz SIMETRIJA U FIZICI Marko Milivojevi Beograd, 2018
Fiziqki Fakultet Univerzitet u Beogradu Zadaci sa vebi iz SIMETRIJA U FIZICI Marko Milivojevi Beograd, 8 PREDGOVOR Ova skripta je name ena studentima B smera Fiziqkog fakulteta Univerziteta u Beogradu
res_gradsko_2010.dvi
REXEƫ ZTK OKRUЖNOG TKMIQEƫEƫ IZ MTEMTIKE UQENIK SREƫIH XKOL, 0.000. Prvi razred, kategorija Kako je xyz > 0, sledi x > y,z, odakle je 4x > (y + z) = x, tj. x < Iz x = (y + z) sledi x, pa mora biti x =
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni
Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zr
Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zrači svjetlost. Primarni: Sunce, zvijezde, Sekundarni: Mjesec,
(Geometrijska i algebarska interpretacija presjeka stoıca i valjka ravninom | math.e)
eometrijska i algebarska interpretacija presjeka stošca i valjka ravninom... Vol 33.2 1 of 11 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Geometrijska i algebarska interpretacija presjeka stošca i
PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2.
PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2. Aktivnosti u toku semestra mogu biti obavezne i opcione,
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
4.1 The Concepts of Force and Mass
Kinematika u dvije dimenzije FIZIKA PSS-GRAD 11. listopada 017. PRAVOKUTNI KOORDINATNI SUSTAV U RAVNINI I PROSTORU y Z (,3) 3 ( 3,1) 1 (0,0) 3 1 1 (x,y,z) x 3 1 O ( 1.5,.5) 3 x y z Y X PITANJA ZA PONAVLJANJE
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
Microsoft PowerPoint - Predavanje3.ppt
Фрактална геометрија и фрактали у архитектури функционални системи Улаз Низ правила (функција F) Излаз Фрактална геометрија и фрактали у архитектури функционални системи Функционални систем: Улаз Низ правила
Programski paketi u nastavi matematike, Jelena Milošević Kreiranje dinamičkih konstrukcija Konstrukcije u GeoGebri se sastoje od matematičkih objekata
Kreiranje dinamičkih konstrukcija Konstrukcije u GeoGebri se sastoje od matematičkih objekata različitih tipova koji mogu biti kreirani korišćenjem alata ili komandi. Objekti Imamo dva tipa objekata u
Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M
Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Student: Dejan Staji
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU PRIMENA NEKIH PROGRAMSKIH PAKETA ZA VIZUALIZACIJU U GEOMETRIJI MASTER RAD Men
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU PRIMENA NEKIH PROGRAMSKIH PAKETA ZA VIZUALIZACIJU U GEOMETRIJI MASTER RAD Mentor : Prof. dr Ljubica Velimirović Student: Rašić Sandra
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
kolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln
Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln
ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ ИМЕ И ПРЕЗИМЕ 1. У основне величине у физици, по Међународном систему јединица, спадају и следеће три величине : а) маса, температура,
ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ ИМЕ И ПРЕЗИМЕ 1. У основне величине у физици, по Међународном систему јединица, спадају и следеће три величине : а) маса, температура, електрични отпор б) сила, запремина, дужина г) маса,
Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler
Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija
Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs
Numeričke metode u fizici, Projektni zadataci 8./9.. Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrsta životinja koje se nadmeću za istu hranu, dx ( dt = x x ) xy
Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b+ c Gde je R, a i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b+ c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Okruzno2007ZASTAMPU.dvi
4. RAZRED 1. Koliko ima trouglova na slici? Navesti te trouglove. D E F C A 2. Na koliko naqina Voja, Rade i Zoran mogu da podele 7 jednakih klikera, tako da svaki od Φih dobije bar jedan kliker? 3. TravΦak
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
ANALITIČKA GEOMETRIJA 275 ANALITIČKA GEOMETRIJA, grana geometrije u kojoj se geometrijski objekti istražuju metodama matematičke analize. Obično se po
ANALITIČKA GEOMETRIJA 275 ANALITIČKA GEOMETRIJA, grana geometrije u kojoj se geometrijski objekti istražuju metodama matematičke analize. Obično se pod analitičkom geometrijom razumijeva uže područje te
Microsoft Word - vodic B - konacna
VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi
Slide 1
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S
MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b
C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil
Microsoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima
Romanian Master of Physics 2013 Теоријски задатак 1 (10 поена) Каменобил Фред и Барни су направили аутомобил чији су точкови две идентичне призме са к
Теоријски задатак 1 (1 поена) Каменобил Фред и Барни су направили аутомобил чији су точкови две идентичне призме са квадратном основом (слика 1). Аутомобил се креће по путу који се састоји од идентичних
RG_V_05_Transformacije 3D
Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
Fizika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1511 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 17. FIZIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI
Fizika szerb nyelven középszint 1511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 17. FIZIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Матурски радови
MatematikaRS_2.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: drugi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Teme: 1. Trigonometrija trougla (18) 2. Stepeni
Прегријавање електромотора
1. Електрична тестера када се обрће нормалном брзином повлачи релативно малу јачину струје. Али ако се тестера заглави док сијече комад дрвета, осовина мотора је спријечена да се обрће па долази до драматичног
Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc
IZVOD FUNKCIJE Predpotavimo da je funkcija f( definiana u nekom intervalu (a,b i da je tačka iz intervala (a,b fikirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku iz tog intervala (a,b. Ova tačka može da e pomera
Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.
Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević
Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobnost vizualizacije dijela prostora i skiciranja dvodimenzionalnih
Slide 1
Фрактална геометрија и фрактали у aрхитектури 3D L-системи - увод S =F F=FF+F-[F+F-F]-F+F angle = 90 n = 2 Фрактална геометрија и фрактали у aрхитектури 3D L-системи - увод S =F F=FF+F-[F+F-F]-F+F angle
Geometrija molekula
Geometrija molekula Oblik molekula predstavlja trodimenzionalni raspored atoma u okviru molekula. Geometrija molekula je veoma važan faktor koji određuje fizička i hemijska svojstva nekog jedinjenja, kao
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =
REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE 8.03.006. Prvi razred A kategorija. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B = i A B = α, dokazati da postoji jednakokraki pravougli trougao
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc
. C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ
MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
3.11. Судари
3.1. Судари Под сударом два тела подразумева се нагла промена стања кретања ти У првој фази, тела се релативно приближавају и сударају уз еластичну или нееластичну деформацију, док им брзине опадају до
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
Particije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn
Particije prirodnog broja druga-0. verzija: 7..03. Duxan uki Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodnih brojeva, pri qemu je redosled sabiraka nebitan. Sa p(n)
1996_mmo_resenja.dvi
37. ME UNARODNA MATEMATIQKA OLIMPIJADA Mumbaj, Indija sreda, 10. jul 1996. 1. Neka je ABCD pravougaona tabla sa AB = 20 i BC = 12. Tabla je razloжena na 20 12 jediniqnih kvadrata. Neka je r prirodan broj.
untitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o
Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti
Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
PowerPoint Presentation
Колоквијум # задатак подељен на 4 питања: теоријска практична пишу се програми, коначно решење се записује на папиру, кодови се архивирају преко сајта Инжењерски оптимизациони алгоритми /3 Проблем: NLP:
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V
Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica Velimirovi Student: Vladislava Stankovi Nix, 2015. PREDGOVOR
Slide 1
Грађевински факултет Универзитета у Београду МОСТОВИ Субструктура моста Вежбе 4 Програм предмета Датум бч. Предавања бч. Вежбе 1 22.02. 4 Уводно предавање - 2 01.03. 3 Дефиниције, системи, распони и материјали
Microsoft PowerPoint - GeoInfLEKCIJA2 [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - GeoInfLEKCIJA2 [Compatibility Mode]](/thumbs/100/144690952.jpg "Microsoft PowerPoint - GeoInfLEKCIJA2 [Compatibility Mode]")
Oblik i veličina Zemlje Datumi, projekcije, koordinatni sistemi Kako definišemo oblik Zemlje? Mi mislimo da je Zemlja sfera U stvari ona je sferoid (elipsoid), koji ima nešto malo veći radijus na ekvatoru
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako