homotetija_ddj.dvi
|
|
- Jovo Kovačević
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Homotetija verzija.0: uxan uki efinicija. Homotetija H O,k sa centrom O i koeficijentom k je preslikavanje ravni koje slika svaku taqku X u taqku X takvu da je OX = k OX. Homotetiju zovemo pozitivnom ako je k > 0, i negativnom ako je k < 0. Homotetija je transformacija sliqnosti, tj. slika neke figure je njoj sliqna figura. Kao takva, homotetija slika prave u prave i krugove u krugove, xto znaqi da quva kolinearnost i koncikliqnost, kao i paralelnost i konkurentnost pravih. Ona takođe quva uglove i odnose između duжina. Ukratko, homotetija quva sve osim veliqine. H O,0.6 () = H O, 0.8 () = O ko homotetija sa centrom O slika taqku u, onda se centar O nalazi na pravoj. Ovo jednostavno svojstvo emo qesto koristiti. T.1. ko su trouglovi i takvi da je, i, onda su oni homotetiqni ili podudarni. Prave, i konkurentne u centru homotetije ili paralelne. okaz. ko se nikoje dve od pravih,, ne seku, tvrđenje je trivijalno. Pretpostavimo bez smanjenja opxtosti da se i seku u taqki O. Homotetija sa centrom O koja slika taqke, u, redom slika u taqku 1 takvu da je 1 i 1, pa je 1, xto dokazuje tvrđenje. Primer. U trouglu, ortocentar H, teжixte T i centar opisanog kruga O leжe na jednoj pravoj (Ojlerova prava). okaz. Neka su 1, 1, 1 redom sredixta stranica,,. Taqka O je ortocentar trougla Homotetija sa centrom T i koeficijentom 1 slika trougao u 1 1 1, pa zato slika ortocentar H trougla u ortocentar O trougla 1 1 1, dakle H,T,O su na pravoj i HT = TO. Kompozicija dve homotetije takođe je homotetija. Slede e tvrđenje daje vezu između centara dve homotetije i njihove kompozicije. T.. Neka su H 1 i H homotetije sa centrima O 1 i O redom. ko je O centar homotetije H = H H 1, onda su taqke O 1,O i O kolinearne. okaz. Oznaqimo sa λ 1 i λ redom koeficijente homotetija H 1 i H. Neka je proizvoljna taqka u ravni, = H 1 () i = H () = H(). Taqke O 1,O i O redom leжe na stranicama, i trougla. Pri tom je O 1 = λ 1, O = λ i O = 1 O 1 O O λ 1λ, dakle O 1 O O = 1, i po Menelajevoj teoremi O 1,O i O su na pravoj. O 1 O O 1
2 Slede e tvrđenje je direktna posledica prethodnog. T.3 (Monжova teorema). ati su krugovi k 1,k i k 3 u ravni. Spoljaxnje zajedniqke tangente k i k 3 seku se u 1 ; analogno se definixu i 3. Tada su taqke 1, i 3 kolinearne. k 1 Tvrđenje vaжi i ako se dve od tri taqke 1,, 3 definixu kao preseci unutraxnjih zajedniqkih tangenti. k k 3 okaz. Neka su H 1 i H homotetije sa centrima 1 i koje slikaju k u k 3 i k 3 u k 1, re- 1 3 dom. Homotetija H H 1 koja slika k u k 1 ima centar u 3. Iz prethodne teoreme sledi tvrđenje. Posledica. Neka krugovi γ 1 i γ iznutra dodiruju krug γ u taqkama i. Tada se spoljaxnje tangente krugova γ 1 i γ seku na pravoj. Zadaci 1. Krugovi k 1 i k se dodiruju spolja u taqki P, a njihove spoljaxnje zajedniqke tangente seku se u taqki Q. Prava kroz taqku Q seqe krug k 1 u taqkama i, a krug k u taqkama i, uz raspored taqaka Q. okazati da je P = 90.. ati su krugovi k 1 i k polupreqnika r 1 i r koji se dodiruju u taqki P. Odrediti najve u mogu u povrxinu trougla PQR kome je teme Q na krugu k 1, a teme R na k. 3. Krug γ 1 iznutra dodiruje krug γ u taqki. Tetiva kruga γ dodiruje γ 1 u taqki. okazati da je =. 4. Podudarnikrugovi ω 1 i ω iznutra dodiruju krug ω redomutaqkama i. Odabrana je taqka na ω. Prave i ponovo seku ω 1 i ω u i redom. okazati da je. 5. at je paralelogram. Krug k a dodiruje stranice i, a krug k c dodiruje stranice, i krug k a spolja u taqki M. okazati da je M na dijagonali. 6. (a) U trouglu, upisani krug ω dodiruje u, a pripisani krug ω a preko puta dodiruje u E. okazati da taqka F dijametralno suprotna taqki u ω leжi na pravoj E. (b) ko je M sredixte i I centar ω, dokazati da prava MI polovi. 7. U trouglu upisani krug i pripisani krug naspram imaju centre I i I a, a dodiruju stranicu u taqkama i a, redom. okazati da se prave I a i I a seku na visini trougla iz temena. 8. Kvadrat PQRS je upisan u krug. Tangente iz taqke van kruga seku PR u taqkama K i L, a prave Q i S redom seku PR u M i N. okazati da je KM = LN. 9. Trougao u kome je = upisan je u krug k. Krug ω iznutra dodiruje krug k i dodiruje stranice i redom u P i Q. okazati da je centar upisanog kruga trougla sredixte duжi PQ. 10. Trougao je takav da je + =. okazati da taqka, sredixta M i N stranica i i centri upisanog i opisanog kruga I i O, redom, leжe na jednom krugu k. Takođe dokazati da je IT tangenta na k, gde je T teжixte trougla.
3 11. Krugovi ω 1 i ω sa centrima O 1 i O redom seku se u taqkama K i K. Jedna zajedniqka tangenta dodiruje ω 1 i ω u P 1 i P, a druga u Q 1 i Q, redom. Neka su M 1 i M redom sredixta P 1 Q 1 i P Q. okazati da je O 1 KO = M 1 KM. 1. at je trapez sa paralelnim stranicama >. Taqke K i L redom na stranicama i su takve da je K K = L L. Taqke P i Q na duжi KL su takve da je P = i Q =. okazati da su taqke,,p,q koncikliqne. 13. Tri kruga jednakih polupreqnika prolaze kroz taqku O i leжe unutar trougla. Svaki od tih krugova dodiruje po dve stranice trougla. okazati da taqka O i centri opisanog i upisanog kruga trougla leжe na jednoj pravoj. 14. ata su qetiri kruga γ,γ a,γ b,γ c jednakih polupreqnika ρ unutar trougla. Krug γ a dodiruje i, γ b dodiruje,, a γ c dodiruje,, i svaki od tih krugova dodiruje γ. ko su r i R polupreqnici upisanog i opisanog kruga, odrediti ρ. 15. U nejednakokrakom trouglu 1 3, a i oznaqava stranicu nasuprot temenu i. Za i = 1,,3, M i je sredixte stranice a i, T i taqka dodira upisanog kruga sa a i, a S i taqka simetriqna taqki T i u odnosu na simetralu ugla u temenu i. okazati da se prave M 1 S 1,M S i M 3 S 3 seku u jednoj taqki. 16. at je krug γ u unutraxnjosti trougla. Krug γ a dodiruje stranice i i spolja dodiruje γ u taqki 1 tako da je bliжe krugu γ a nego krugu γ; analogno se definixu krugovi γ b,γ c i taqke 1, 1. okazati da prave 1, 1 i 1 imaju zajedniqku taqku. 17. U nejednakostraniqnom trouglu upisani krug dodiruje stranice,, redom u taqkama,e,f. Taqke P,Q,R redom su podnoжja visina iz,e,f u trouglu EF. okazati da se prave P,Q i R seku u taqki na Ojlerovoj pravoj trougla EF. 18. Upisani krug trougla dodiruje stranice,, redom u taqkama,e,f. okazati da centri opisanog i upisanog kruga i ortocentar EF leжe na istoj pravoj. 19. (Paskalova teorema) Neka su,,,,e,f taqke na krugu. Prave i E seku se u L, prave i EF u M, a i F u N. okazati da su taqke L,M,N kolinearne. 0. Trougao je upisan u krug Ω. Neka krug ω a dodiruje stranice i i iznutra dodiruje Ω u taqki T a ; analogno definixemo krugove ω b,ω c i taqke T b,t c. okazati da se prave T a,t b,t c seku u jednoj taqki, i to na pravoj FH, gde je H ortocentar i F Fojerbahova taqka trougla. 1. ata je taqka P na stranici konveksnog qetvorougla. Neka je ω upisani krug trougla P i I njegov centar. Pretpostavimo da ω dodiruje upisane krugove trouglova P i P u taqkama K i L redom. Neka se dijagonale i seku u E, a prave K i L u F. okazati da su taqke E,I i F kolinearne.. Neka je konveksan qetvorougao kod koga je =. Neka su ω 1 i ω upisani krugovi trouglova i, redom. Pretpostavimo da postoji krug ω koji dodiruje polupravu iza taqke i polupravu iza taqke, a koji istovremeno dodiruje i prave i. okazati da se spoljaxnje zajedniqke tangente krugova ω 1 i ω seku na ω. 3
4 Rexenja 1. Neka je H homotetija sa centrom u Q koja slika krug k 1 u krug k. Ta homotetija slika taqke i redom u i. Takođe, slika taqke P je taqka P na krugu k dijametralno suprotna taqki P. Prema tome, P P i P = PP = 90.. Homotetija sa centrom P koja slika k 1 u k slika e taqku Q k 1 u taqku Q k takvu da je PQ = r r 1 PQ. Zato je P PQR = r1 r P PQ R, gde je trougao PQ R upisan u krug k. Znamo da je povrxina trougla PQ R maksimalna kada je on jednakostraniqan, i tada je jednaka r 3 4. Sledi da je maksimalna povrxina PQR jednaka r1r Posmatrajmo homotetiju H sa centrom u koja slika ω 1 u ω. Slika prave pri homotetiji H je prava paralelna njoj koja dodiruje ω u taqki = H(). Sledi da je sredixte luka kruga ω koji ne sadrжi taqku, dakle je simetrala ugla. 4. Neka je r polupreqnik ω, a r polupreqnik ω 1 i ω. Homotetija sa centrom i koeficijentom k koja slika ω 1 u ω slika u, pa je / = k. nalogno je / = k, pa je po Talesovoj teoremi. 5. Neka je H homotetija sa centrom M koja slika k a u k c. Slika prave pri H je tangenta na k c paralelna pravoj, odakle sledi da je to prava. nalogno, H slika pravu u pravu, dakle slika taqke je, i M je na. 6. Homotetija sa centrom koja slika ω a u ω takođe slika E u taqku na ω u kojoj je tangenta paralelna sa, a to je taqka F; dakle,,e,f su kolinearne. Kao srednja linija trougla EF, prava MI je paralelna pravoj EF i zato sadrжi srednju liniju trougla E, odakle sledi tvrđenje. 7. Po prethodnom zadatku, taqka F na upisanom krugu dijametralno suprotna taqki leжi na pravoj a. Sledi da prava a I prolazi kroz sredixte visine iz temena. nalogno, prava I a prolazi kroz sredixte te visine. 8. Posmatrajmo homotetiju H sa centrom koja slika PR u tangentu na krug u taqki S; ona slika N u S. Neka H slika K,L,M u K,L,M redom. ati krug je upisan u K L i dodiruje K L u S, pa je po prethodnom zadatku K M = L S, odakle je i KM = LN po Talesovoj teoremi. 9. Neka je O centar kruga ω i neka ω dodiruje k u taqki. Sredixte I duжi PQ leжi na pravoj sa taqkama, O i. Posmatrajmo homotetiju sa centrom koja slika sredixte M stranice u taqku ; ona slika u neki trougao, pri qemu je k = koeficijent homotetije. Kako su trouglovi IP,, i PO sliqni, imamo I O = I P P O = =, pa homotetija slika I u O, tj. u centar upisanog kruga ; dakle, I je centar upisanog kruga. 10. Neka je sredixte luka opisanog kruga koji ne sadrжi. entar I je na pravoj i vaжi = = I. Na osnovu Ptolomejeve teoreme u qetvorouglu imamo = ( +) =, odakle je = = I, tj. I je sredixte tetive, odakle sledi OI = 90. Prema tome, taqke M,N i I leжe na krugu k nad preqnikom O. Krug k je homotetiqan krugu sa centrom homotetije i koeficijentom 1, a I je sredixte luka MN, pa je tangenta u I na k paralelna pravoj. Kako je ah a = [] = (a + b + c)r = 3ar, rastojanje od T do prave je jednako 1 3 h a = r, dakle IT je paralelno sa i dodiruje k. 4
5 11. Primetimo da je O 1 KO = M 1 KM ekvivalentno sa O 1 KM 1 = O KM. Neka je S taqka preseka zajedniqkih tangenti. P 1 L P Homotetija sa centrom u S koja slika K ω 1 u ω slika K u L. Iz SO 1 P 1 SP 1 M 1 imamo SK SL = SP1 = SO S 1 SM 1, O 1 M 1 O M xto znaqi da su O 1,L,K,M 1 koncikliqne. Q Zato je O 1 KM 1 = O 1 LM 1 = O KM. Q 1 1. Neka je E taqka preseka pravih i. Homotetija H sa centrom E, koja slika taqke i redom u i, slika taqku L i K, xto znaqi da su taqke E, L, K kolinearne. Neka se pri toj homotetiji taqka Q slika u Q. Kako je Q = Q = 180 P, qetvorougao PQ je tetivan. Sledi da je (u orijentisanim uglovima) 180 QP = EQ = EQ = P = 180 P P = P = P. Q 13. Neka su O a,o b,o c centri ovih krugova koji odgovaraju temenima,,, redom. Prave O a,o b i O c su simetrale uglova trougla i seku se u centru upisanog kruga I. Stranice trougla O a O b O c su paralelne stranicama trougla, dakle O a O b O c je slika pri homotetiji H sa centrom I. Kako H slika centar O opisanog kruga O a O b O c u centar S opisanog kruga, taqke I,O,S su kolinearne. 14. Neka su S a,s b,s c,s,i,o redom centri γ a,γ b,γ c,γ i upisanog i opisanog kruga ω,ω trougla, redom. Trougao S a S b S c je homotetiqan trouglu sa koeficijentom sliqnosti r ρ r. entar ove homotetije je presek pravih S a,s b,s c, a to je I. Ista homotetija slika Ω (polupreqnika R) u opisani krug S a S b S c (polupreqnika ρ jer je SS a = SS b = SS c = ρ), pa je r ρ r = R Rr ρ. Odavde dobijamo ρ = R+r. 15. Taqke S 1,S,S 3 su na upisanom krugu. Oznaqimo sa XY orijentisani luk XY. Lukovi T S 1 i T 1 T 3 su jednaki jer su simetriqni 3 u odnosu na simetralu 1. nalogno je i T 3 T = S T 1. Odavde je T 3 S 1 = T 3 T + T S 1 = S T 1 + T 1 T 3 = S T 3. Sledi da je S T 1 S 1 S paralelno 1, pa je paralelno i pravoj M 1 M. Sliqno je S 1 S 3 M 1 M 3 i S S 3 M M 3. T S 1 Poxto M 1 M M 3 i S 1 S S 3 nisu podu- 1 T 3 darni (nemaju iste polupreqnike opisanih krugova), oni su homotetiqni, i prave M i S i prolaze kroz centar homotetije. 16. Posmatrajmo tri homotetije H a, H b i H c sa centrima u 1, 1, 1 redom koje slikaju γ a, γ b i γ c u γ. Oznaqimo = H a (), = H b () i = H c (); pri tom γ c 1, 1 i 1. Obe homotetije H a i H b slikaju pravu u tan- 1 gentu kruga γ paralelnu pravoj, pa je X γ γ ; analogno, i a 1 1 γ b. To znaqi da su trouglovi i homotetiqni, sa centrom X u pre- seku pravih, i. Sledi da prave 1, 1, 1 prolaze kroz X. K S 3 L Q P E 5
6 17. Prave PQ,QR,RP su paralelne stranicama,, redom, pa su trouglovi i P QR homotetiqni, sa centrom homotetije u nekoj taqki X. Ta homotetija slika i upisane krugove ovih trouglova jedan u drugi, a njihovi centri su centar I upisanog kruga (ujedno i centar opisanog kruga EF) i ortocentar EF. 18. Oznaqimo sa O i I redom centre opisanog i upisanog kruga, i sa V ortocentar EF. Neka su P,Q,R redom podnoжja visina iz,e,f u trouglu EF. Kao u prethodnom zadatku, trouglovi E R PQR i su homotetiqni; neka je X X P V centar homotetije H koja slika u I Q PQR. entar upisanog kruga PQR je O V. Homotetija H slika I u V, pa su taqke X, V, I kolinearne, tj. X je na Ojlerovoj F pravoj l trougla EF. Takođe, H slika O u centar opisanog kruga PQR, xto je Ojlerov centar trougla EF, odakle sledi da i O leжi na l, qime je tvrđenje dokazano. 19. Neka prave i EF ponovo seku krug FN u taqkama G i H redom. Lema. ati su krugovi ω 1 i ω koji se seku u i, i taqke i na ω 1. ko prave i redom seku ω u E E i F, tada je EF. N okaz. Radimo sa orijentisanim uglovima: EF = F = = L M, i otuda EF. Na osnovu leme je E GH, E HN i F NG. Trouglovi NGH i LE imaju H paralelne stranice, xto znaqi da su homotetiqni, pa su G, EH i LN konkurentne, i to upravo u taqki G EH = M. 0. Oznaqimo sa ω i φ redom upisani i Ojlerov krug. Neka je M centar pozitivne homotetije koja slika ω u Ω. Na osnovu teoreme 3 za krugove ω,ω i ω a, taqke,t a i M su kolinearne, dakle prave T a,t b,t c se seku u M. entri homotetija za parove krugova (φ,ω), (φ,ω) i (Ω,ω) su redom H,F,M, odakle po T.3 sledi M FH. 1. Oznaqimo sa J centar kruga k koji dodiruje prave,, u poluravni određenoj pravom u kojoj je qetvorougao, i sa ω a i ω b krugove upisane u P i P. Neka je F centar negativne homotetije koja slika ω u k. entri negativne i pozitivne homotetije koji slikaju ω a u ω i k redom su K i, odakle po T.3 sledi F K; analogno F L. Sledi da je F F, dakle prava IJ kroz centre krugova ω i k sadrжi F. Iz uslova da su tangentne duжi iz P na ω i ω a jednake dobijamo da je P = J ω P, dakle qetvorougao P ima F upisan qetvorougao ω d. Neka je X centar I pozitivne homotetije koja slika ω a u ω. L ω K E b ω Na osnovu teoreme 3 za krugove ω a,ω d i a ω, taqka X leжi na pravoj. S druge strane, T.3 za krugove ω a,ω i k nam daje P kolinearnost taqaka X,,E, gde je E centar pozitivne homotetije koja slika ω u k. Odatle E ; analogno E, pa sledi E E. akle, prava IJ sadrжi i taqku E, xto je kraj dokaza.. Neka ω dodiruje prave,,, redom u taqkama K,L,M,N. Tada je + = +N N = K N = L M = +M M = +. To znaqi da, 6 k G
7 ako sa P i Q oznaqimo dodirne taqke ω 1 i ω redom sa, vaжi P = + + = = Q. rugim reqima, pripisani krug ω b naspram u dodiruje upravo u Q. P ω 1 Posmatrajmo homotetiju H sa centrom P Q ω koja slika ω b u ω i oznaqimo T = Q H (Q). Na osnovu velikog zadatka, taqka P dijametralno suprotna taqki P na ω 1 leжi na pravoj Q, a taqka Q dijametralno ω b suprotna taqki Q na ω leжi na ω T P. Tangente u P, Q i T na ω 1,ω i ω M redom paralelne su pravoj. Sledi da N K L homotetija sa centrom koja slika ω u ω slika taqku Q u T, pa su taqke T,,Q,P kolinearne. Znaqi, prave P Q i PQ se seku u taqki T, pa kako je PP QQ, taqka T je centar homotetije koja slika ω 1 u ω, odakle sledi tvrđenje. eograd,
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr
Prvi razred A kategorija 1. Za prirodan broj n oznaqimo sa x n broj koji se dobije uzastopnim zapisivanjem svih prirodnih brojeva od 1 do n jedan iza drugog (npr. x 14 = 1234567891011121314). Neka je funkcija
Вишеkolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
ВишеGEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i
GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i B 1 C 1 paralelne i vai B 1 C 1 = 1 2 BC. 2. Ako su
Више1996_mmo_resenja.dvi
37. ME UNARODNA MATEMATIQKA OLIMPIJADA Mumbaj, Indija sreda, 10. jul 1996. 1. Neka je ABCD pravougaona tabla sa AB = 20 i BC = 12. Tabla je razloжena na 20 12 jediniqnih kvadrata. Neka je r prirodan broj.
Вишеrjeshenja.dvi
16. REPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Banja Luka, 11.04.2009. ZADACI PRVI RAZRED 1. Neka su a, b, c pozitivni brojevi. Dokazati da iz a 2 + b 2 = c 2 slijedi a 2
ВишеТалесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
ВишеАутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег
Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили. Немојте
ВишеPripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c
Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar 013. Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c+a) = abc i (a 3 +b 3 )(b 3 +c 3 )(c 3 +a 3 ) = a 3
Више1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
Више24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g
4. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka,. april 07. ZADACI PRVI RAZRED. Dat je razlomak a7, gdje su a i b cifre za koje je b a =. Ako se 7b egovom brojiocu
Вишеrumunija0107.dvi
ME URODI TREIG Z MMO Râmnicu Vâlcea, 19. & 0.01.007. Prvi dan Zadata 1. Konaqno mnogo rugova preriva oxtrougli trougao. Doazati da je zbir njihovih polupreqnia ne manji od polupreqnia opisane ruжnice tog
Вишеres_gradsko_2010.dvi
REXEƫ ZTK OKRUЖNOG TKMIQEƫEƫ IZ MTEMTIKE UQENIK SREƫIH XKOL, 0.000. Prvi razred, kategorija Kako je xyz > 0, sledi x > y,z, odakle je 4x > (y + z) = x, tj. x < Iz x = (y + z) sledi x, pa mora biti x =
ВишеMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.
Prvi razred A kategorija Za brojeve a, b, c, x, y i z vaжi {a, b, c} = {x, y, z} = {15, 3, 2014}. Da li broj a bc + x yz mora biti sloжen? (Za m, n, k N je sa m nk oznaqen broj m (nk).) Neka su a, b i
ВишеREXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =
REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE 8.03.006. Prvi razred A kategorija. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B = i A B = α, dokazati da postoji jednakokraki pravougli trougao
ВишеPitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
Више{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p
{ Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te
Више32zadatka_2014_IMO-pripreme_ddj.dvi
Pripreme za MMO - Beograd, 11-15 juni 014 Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Pokuxao sam, verovatno neuspexno, da unutar svake oblasti sortiram zadatke od lakxih ka teжim Radite ih sami (ali
ВишеZadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
ВишеPitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
ВишеNermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv
Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,nazivam inverzija u odnosu na kruznicu k(o, r). -I(P ) = P 1 je oznaka za sliku tacke P
ВишеMatematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
ВишеЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
ВишеOkruzno2007ZASTAMPU.dvi
4. RAZRED 1. Koliko ima trouglova na slici? Navesti te trouglove. D E F C A 2. Na koliko naqina Voja, Rade i Zoran mogu da podele 7 jednakih klikera, tako da svaki od Φih dobije bar jedan kliker? 3. TravΦak
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO
MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(9), -8 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI:.75/МК9A ISSN 54-6969 (o) ISSN 986-588 (o) JOŠ JEDAN DOKAZ PTOLEMEJEVE TEOREME I NJENA ZNAČAJNA PRIMJENA Dr. Šefket Arslanagić,
Вишеuntitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
ВишеTrougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
ВишеParticije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn
Particije prirodnog broja druga-0. verzija: 7..03. Duxan uki Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodnih brojeva, pri qemu je redosled sabiraka nebitan. Sa p(n)
ВишеKvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina
ВишеNermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh
Slicnost trouglova Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a,, c su stranice trougla suprotne vrhovima A, B, C redom. -m a, m, m c su tezisnice iz vrhova A, B, C redom. -h a, h, h c su
ВишеPEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
ВишеМатематика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
Више1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
Више58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola
58. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 4.0.018. godine PRVI RAZRED Zadatak 1 Ako su, i realni brojevi takvi da je 0, dokazati da vrijedi
ВишеDELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a
DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a. b a oznaqava da a ne deli b. Napomena 1.1. (1) Deljivost
Више1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
ВишеАлгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
ВишеPelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav
Pelova jednaqina verzija.1: 1..015. Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexavamo pomo u jednostavnog algoritma. Diofantske jednaqine
ВишеМатематика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
Више1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je
1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na
ВишеPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(07) 9-35 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК7049Ž ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ЈЕДНА КЛАСА ХЕРОНОВИХ ТРОУГЛОВА БЕЗ ЦЕЛОБРОЈНИХ ВИСИНА Милан Живановић Висока
ВишеMicrosoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
ВишеALGEBRA 2 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu
ALGEBRA 2 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu Grupe Dejstva grupa Zapoqnimo ovu lekciju slede om definicijom. Definicija 1 Neka je G grupa i X neprazan skup. Pod dejstvom grupe G na skupu
ВишеРастко Вуковић: Математика III Математика III за трећи разред гимназије Растко Вуковић, проф. скрипта за наставу држану ш. г. у Бањој Луци
Математика III за трећи разред гимназије Растко Вуковић, проф. скрипта за наставу држану -. ш. г. у Бањој Луци Гимназија Бања Лука, 7. Гимназија Бања Лука Математика за III разред гимназије Скрипта за
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
ВишеACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje
ВишеRokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
ВишеSKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?
ВишеМатематика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
ВишеСТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
ВишеVISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
ВишеUniverzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V
Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica Velimirovi Student: Vladislava Stankovi Nix, 2015. PREDGOVOR
ВишеUniverzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M
Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Student: Dejan Staji
ВишеSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela
ВишеZadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
ВишеMATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
ВишеΣ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr
1 2 3 4 5 Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij - 24. studenog 2017. Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme rje²avanja je 120 minuta. Odmah
ВишеMicrosoft Word - KUPA-obnavljanje.doc
KUPA Kupa je oblo feometrijko telo čija je onova krug, a omotač je deo obrtne konune površi a vrhom u tački S. S r Oa kupe je prava koja prolazi kroz vrh kupe i centar onove kupe. Ako je oa normalna na
ВишеUniverzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankov
Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankovi Student: Duxan Mijajlovi broj indeksa 156 Nix, 2018.
ВишеNatjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
ВишеUNIVERZITET U NIXU PRIRODNO-MATEMATIQKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU KLASIQNI GEOMETRIJSKI PROBLEMI MASTER RAD Mentor : Student : Prof. dr Milan Z
UNIVERZITET U NIXU PRIRODNO-MATEMATIQKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU KLASIQNI GEOMETRIJSKI PROBLEMI MASTER RAD Mentor : Student : Prof. dr Milan Zlatanovi Dejan Spasi Nix, 2016. Temu diplomskog rada
ВишеMicrosoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
ВишеMinistarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1
Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka
ВишеFOR_Matema_Srednja
Јован Бојиновић НЕОПХОДНЕ ФОРМУЛЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПОЛАГАЊЕ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА ЗА ФАКУЛТЕТЕ Формуле из планиметрије и стереометрије Страна: ПОВРШИНА ТРОУГЛА. Површина троугла се може израчунати и Хероновим
ВишеNaziv studija
Naziv studija Integrirani preddiplomski i diplomski učiteljski studij Naziv kolegija Matematika 2 Status kolegija Obvezni Godina 1. godina Semestar 2. semestar ECTS bodovi 3 Nastavnik Mr.sc. Damir Mikoč
ВишеSkripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
ВишеЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
Више294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi
294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi točaka, kao što su dužina, kut, kružnica i krug, jesu
ВишеKonstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.
Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi
ВишеМинистарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III
25.02.2017 III разред 1. Број ногу Периних паса је за 24 већи од броја њихових глава. Колико паса има Пера? 2. На излет су кренула три аутобуса у којима је било укупно 150 ученика. На првом одмору је из
ВишеMatematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
ВишеŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA
ВишеUniverzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Veli
Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Velimirović Niš, oktobar 2015. Sadržaj 1 Uvod 3 2 Platonova
ВишеDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka 019. Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom.
ВишеTest iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
ВишеUniverzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Stude
Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Student: Nemanja Nikoli Nix, 2017. Temu master rada predloжio
ВишеMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc
Matematika szerb nyelven középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Важне
ВишеMicrosoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
ВишеMatematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vujičić 1045/2015 Beograd, 2018. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Stepena
ВишеDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK
RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI
ВишеТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
ВишеPismeni dio ispita iz Matematike 1
Zenica, 00007 Odediti koeficijent uz 8 u azvoju tinoma 0 + + Rješiti i diskutovati sistem lineanih jednačina u zavisnosti od paameta a: a y + z = + ( a) y + z = 0 y+ a z = Ispitati funkciju i nactati gafik:
ВишеPRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)
ВишеMicrosoft Word - 09_Frenetove formule
6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog
ВишеGeometrija I–smer - deo 4: Krive u ravni
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 4: Krive u ravni Tijana Xukilovi 3. decembar 2018 Konus Neka su i i s dve prave u prostoru koje se seku u taqki T. Kruni konus sa temenom
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni
ВишеMicrosoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
ВишеРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/2014. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш
ВишеШифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП
Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година СЕДМИ РАЗРЕД ТЕСТ СПОСОБНОСТИ
ВишеSREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA
SREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA UPUTSTVO ZA TAKMIČARE Vrijeme za ra: 0 miuta. Rješeja zaataa eophoo je etaljo obrazložiti. Rješeja oja e buu aržala potreba ivo obrazložeja eće biti razmatraa. Rapojela poea: Zaata....
Вишеgt3b.dvi
r t. h en m le w.e w w 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su primjerice duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija,
ВишеМатрична анализа конструкција
. 5 ПРИМЕР На слици. је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су константног попречног пресека b/h=./.5 m, док је коси штап са линеарном променом висине. Одредити силе на
Више1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: prvi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Programski sadržaji za prvi razred: Teme : 1)
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
. D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi
ВишеДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
ВишеMy_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
ВишеMicrosoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_javitasi_0911_szerb.doc
Matematika szerb yelve emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Важне информације
Више