Programski paketi u nastavi matematike, Jelena Milošević Kreiranje dinamičkih konstrukcija Konstrukcije u GeoGebri se sastoje od matematičkih objekata

Транскрипт

1 Kreiranje dinamičkih konstrukcija Konstrukcije u GeoGebri se sastoje od matematičkih objekata različitih tipova koji mogu biti kreirani korišćenjem alata ili komandi. Objekti Imamo dva tipa objekata u GeoGebri: slobodni i zavisni objekti. definisani kao pomoćni objekti (auxiliary objects). Neki od njih mogu biti Slobodni objekti su objekti čija pozicija ili vrednost ne zavisi od nekog drugog objekta. Njih pravimo direktnim unosom ili npr. pomoću alata New Point Tool. Mogu da se pomeraju, iako su fiksirani. Zavisni objekti su objekti koji zavise od nekog drugog objekta. Oni su kreirani korišćenjem alata ili komandi. Pomoćni objekti su objekti koje korisnik definiše kao pomoćne ili objekti koji su napravljeni pomoću specifičnih alata npr. Regular Polygon Tool. Geometrijski objekti Tačke i vektori Prave i koordinatne ose Konusni preseci Funkcije Krive Nejednakosti Intervali Tačke i vektori Tačke i vektori mogu biti unešeni pomoću Input Bara u Dekartovim ili polarnim koordinatama. Tačke takodje mogu biti kreairane korišćenjem alata Point Tools, Vector from Point Tool, Vector between Two Points Tool i mnogim drugim komandama. Napomena: Velikim slovima se označavaju tačke, a malim slovima vektori. Ovo pravilo nije obavezno. Primer: Tačku P i vektor v možemo zadati Dekartovim koordinatama P = (1, 0) i v = (0, 5). Ako ovu tačku i vektor želimo da zadamo u polarnim koordinatama ukucali bismo P = (1; 0 0 ) ili v = (5; 90 0 ). Napomena: Primetimo da kod označavanja polarnih koordinata koristimo tačku-zarez. Ako ne zadamo ugao u stepenima i tako i označimo, GeoGebra će tretirati ugao kao da je u radijanima. GG3-1

2 U Geogebri takodje možemo da vršimo neka izračunavanja sa tačkama i vektorima. Primer: Možemo odrediti središte duži AB (označimo ga sa M) ukucavanjem izraza M = (A + B)/2 u Input Bar. Takodje, možemo izračunati dužinu vektora v na sledeći način duzina = sqrt(v v). Ako je tačka A = (a, b) onda je A + 1 = (a + 1, b + 1). Prave i koordinatne ose Prave se mogu uneti kao linearne jednačine od x i y ili u parametarskom obliku u Input Bar. Primer: Ukucaj g : 3x + 4y = 2 da bi uneo pravu g kao linearnu jednačinu. Možemo da unesemo pravu i u parametarskom obliku g : X = ( 5, 5)+t(4, 3). Treći načine je da definišemo parametre m = 2 i b = 1, a onda da pravu h zadamo na sledeći način y = m x + b. Obe koordinatne ose imaju već rezervisana imena u GeoGebri - xaxis i yaxis. Primer: Komanda zadatoj tački A. PerpendicularLine(A,xAxis) konstruiše pravu normalnu na x-osu u Konusni preseci Konusne preseke možemo uneti kao kvadratnu jednačinu od x i y. Ime konusnih preseka treba uneti na početku unosa, odvojeno dvema tačkama. Primer: Konusni preseci Unos Elipsa e : 9x y 2 = 144 Hiperbola h : 9x 2 16y 2 = 144 Parabola p : y 2 = 4x Kružnica c1 : (x 5) 2 + (y + 2) 2 = 25. Funkcije Da bismo uneli funkciju koristimo predhodno definisane promenljive (brojeve, tačke, vektore) kao i druge funkcije. Takodje, možemo koristiti integral ili izvod funkcije. Primer: funkcija f : f(x) = 3x 3 x 2 ; funkcija g: g(x) = sin(f(x)); h(x) = cos(f (x + 2)). GG3-2

3 Da bismo ograničili funkciju na intervalu koristimo komandu Function ili If. Primer: Obe naredbe If(x 3 x 5, x 2 ) i Function(x 2, 3, 5) crtaju funkciju x 2 na intervalu (3, 5).. Krive U GeoGebri imamo dva tipa krivih: implicitno i parametarski zadane krive. Implicitno zadane krive Implicitno zadane krive su polinomi promenljivih x i y. Mogu biti unete direktno u Input Bar. Primer: x 4 + y 3 = 2x y (x 2 + y 2 1) 3 x 2 y 3 = 0 - srce. Parametarski zadane krive Parametarski zadane krive su oblika a(t) = (f(t), g(t)), gde je t realni parametar koji pripada odredjenom intervalu. Interval vrednosti za parametar t možemo kreirati pomoću komande Curve. Parametarski zadane krive mogu biti korišćene u komandama Tangent i Point. Primer: jedinična kružnica sa centrom u koordinatnom početku u polarnim koordinatama je zadata sa x = cos t, y = sin t, 0 t 2π tj. u GeoGebri (cos(t), sin(t)); elipsa je u uopštenim polarnim koordinatama zadata sa x = 2 cos t, y = 3 sin t, 0 t 2π; srce - x(t) = 16 sin 3 (t), y(t) = 13 cos(t) 5 cos(2t) 2 cos(3t) cos(4t).. Ako unesemo c(3) kobićemo tačku na krivoj c za vrednost parametar t = 3. Nije moguće napraviti parametarsku krivu koja prolazi kroz zadate tačke. Nejendnakosti GeoGebra podržava nejednakosti od jedne ili dve promenljive. Nema ograničenja za pojavljivanje nejednakosti u Algebarskom prikazu, ali samo odredjene nejednakosti mogu biti nacrtane u Grafičkom prikazu: nejednakosti sa polinomima jedne promenljive - npr. x 3 > x + 1 ili y 2 > y; kvadratne nejednakosti od dve promenljive - npr. x 2 + y 2 + x y 4; nejednakosti linearne po jednoj promenljivoj -npr. 2x > sin(y) ili y < sqrt(x) Za znak nejednakosti možemo koristiti simbole >, <,,, kao i <=,>=. Više nejednakosti možemo povezati konjukcijom ili disjunkcijom. Na primer, (x > y) && (x + y < 3). Možemo testirati da li neka tačka (x, y) zadovoljava nejednakost a ukucavanjem izraza a(x, y) u Input Bar. Ako je tačka označena sa A, korektna sintaksa u tom slučaju je a(a). Takodje, možemo usloviti neku tačku da mora da pripada oblasti koja je odredjena nekim nejednakostima pomoću komande PointIn. GG3-3

4 Intervali Da bismo kreirali interval ukucajmo 2 < x < 3 u InputBar. Interval u predhodnom primeru je otvoren. Takodje možemo definisati i sve ostale tipove intervala: zatvoreni(segment) i polu zatvoreni (2 x 3 ili 2 x < 3). Da bismo odrediti da li neki broj c pripada intervalu r unosino izraz r(c) u Input Bar. Zapravo, nejednakosti su generalizacija intervala. Komande za intervale Min, Max, Midpoint komande za interval sa donjom granicom a, a gornjom b daju sledeće rezultate: a, b i a+b redom. Rezultat ovih komandi ne zavisi od toga da li je interval otvoren, 2 zatvoren ili polu zatvoren; Naredba Point nam daje tačku koja se kreće i njena x-koordinata pripada intervalu a y- koordinata je 0. A naredba PointIn nam daje tačku koja se kreće i njena x-koordinata pripada intervalu, a y-koordinata je proizvoljna. Opšti objekti Brojevi i uglovi Kompleksni brojevi Logičke vrednosti Liste Matrice Tekst Brojevi i uglovi Možemo kreirati brojeve koristeći InputBar. Ako samo ukucamo broj, GeoGebra dodeljuje malo slovo kao ime tog broja. Ako želimo da damo broju neko specifično ime, možemo ukucati ime, pa znak jednakosti i broj (npr. r = 5.32). Napomenimo da se u GeoGebri za označavanje decimalnih brojeva koristi tačka. Takodje u GeoGebri postoje neke unapred definisane konstante kao što su π ili Ojlerova konstanta e. Uglovi se unose ili u stepenima ili u radijanima. Konstanta π je korisna za vrednosti u radijanima i možemo je uneti i ukucavanjem teksta pi. Interesentano je spomenuti da GeoGebra svoja interna izračunavanja vrši u radijanima. Kompleksni brojevi GeoGebra ne podržava kompleksne brojeve direktno, ali možemo koristiti tačke da simuliramo operacije sa kompleksnim brojevima. Primer: Unošenjem kompleksnog broja 3+4i u Input Bar, dobijamo tačku (3, 4) u Grafičkom prikazu. GG3-4

5 Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva: (2 + 1i) + (1 2i) daje nam broj 3 1i; (2 + 1i) (1 2i) daje nam kompleksan broj 1 + 3i. Množenje i deljenje komleksnih brojeva: (2 + 1i) (1 2i) daje nam kompleksan broj 4 3i; (2 + 1i)/(1 2i) daje nam kompleksan broj 0 + 1i. Napomena: Uobičajeno množenje (2, 1) (1, 2) daje nam skalarni proizvod ova dva vektora. Takodje, GeoGebra razlikuje izraze sa realnim i kompleksnim brojevima. Logičke vrednosti U GeoGebri možemo koristiti logičke vrednosti tačno (true) ili netačno (false). Na primer samo ukucaj u Input Bar a = true ili b = false. Slobodne logičke vrednosti mogu biti prikazane kao checkbox (polje za označavanje) u Grafičkom prikazu (vidi alat Check Box). Korišćenjem strelica sa tastature možemo menjati logičke vrednosti u Algebarskom prikazu (vidi odeljak Manual Animation). Možemo koristiti sledeće operacije sa logičkim vrednostima i uslovima u GeoGebri ili birajući ih sa liste do Input Bara ili unošenjem koristeći tastaturu (vidi sliku 1). Slika 1: Operacije sa logičkim vrednostima Liste Korišćenjem vitičastih zagrada {} možemo kreirati listu različitih objekata (npr. tačaka, segmenata, krugova). GG3-5

6 Primer: Izraz L = {A, B, C} kreira listu koja se sastoji od tri unapred definisane tačke A, B i C. Izraz L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} kreira listu koja se sastoji od unešenih tačaka. Podrazumeva se da elementi liste nisu prikazani u Grafičkom prikazu. odredjenom elementu iz liste koristimo komandu Element. Da bismo pristupili Uporedjivanje dve liste: Lista1==Lista2: proverava da li su dve liste jednake i daje odgovor tačno ili netačno kao rezultat. Lista1! =Lista2: proverava da li dve liste nisu jednake i daje odgovor tačno ili netačno kao rezultat. Operacije sa listama: < Objekat > < Lista > < Lista > < Lista > < Lista > < Lista > < Lista > \ < Lista >. Sabiranje i oduzimanje: Lista1+Lista2 (sabiraju se odgovarajući elementi dve liste; dve liste moraju biti iste dužine) Lista + Broj (dodaje se broj svakom elementu liste) Lista1- Lista2 (oduzimaju se elementi druge liste od odgovorajućih elemenata prve liste; dve liste moraju biti iste dužine) Lista - Broj (oduzima se broj od svakog elementa liste) Množenje i deljenje: Lista1 Lista2 (množenje odgovarajućih elemenata dve liste; liste moraju biti iste dužine) Lista Broj (množi se brojem svaki element liste) Lista1/ Lista2 (deli elemente prve liste odgovarajućim elementima druge liste; dve liste moraju biti iste dužine) Lista/Broj (svaki element liste se deli brojem) Broj/Lista (Broj se deli svakim elementom liste) Ostali primeri: Lista 2 (kvadrira sve elemente liste) 2 Lista (kreira listu od stepena broja dva, čiji su eksponenti elementi iz liste) GG3-6

7 Lista1 Lista2 (kreira listu čiji su elementi oblika a b, gde a i b pripadaju listama Lista1 i Lista2 redom) sin(lista) (primenjuje sinusnu funkciju na svaki element liste) Matrice GeoGebra takodje podržava matrice, koje su predstavljene kao lista od listi koja sadrži vrste matrice. Primer: U GeoGebri izraz {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} predstavlja matricu tipa 3 3. Da bi matrica bila prikazana u Grafičkom prikazu koristimo komandu FormulaText na sledeći način: FormulaText({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} ). Sabiranje i oduzimanje matrica Matrica1+Matrica2 (sabiraju se odgovarajući elementi dve kompatibilne matrice) Matrica1 Matrica2 (oduzimaju se odgovarajući elementi dve kompatibilne matrice) Množenje matrica Matrica1 Matrica2 (množenje matrica) Matrica Broj (množi se brojem svaki element matrice) Ostali primeri Determinant(<Matrix>) Invert(<Matrix>) Transpose(<Matrix>) Tekst Tekst se može kreirati pomoću komande Text ili pomoću alata Insert Text Tool ili prevlačenjem nekog objekta iz Algebarskog prikaza u Grafički prikaz. Imamo tri vrste teksta: statički, dinamički i mešoviti. Statički tekst ne zavisi ni od jednog matematičkog objekta i obično nije pod uticajem promene konstrukcije. Dinamički tekst sadrži vrednosti objekata koji se automatski prilagodjavaju promenama tog objekta. Mešoviti tekst je kombinacija statičkog i dinamičkog teksta. GG3-7

8 Action Objects Check Boxes Input Boxes Buttons Comboboxes Check Boxes Check Boxes je grafička reprezentacija logičkih vrednosti. Input Boxes Input Boxes radi kao unos teksta za skriptove. Skript je aktiviran promenom teksta u Input Boxu ili pritiskom na dugme Enter ili napuštanjem Input Boxa. Unetoj vrednosti se može pristupiti korišćenjem promenjljive %0. Input Box može biti kreiran korišćenjem alata Insert Input Box ili komande InputBox. Primer: Input Box sa a = a + %0 menja vrednost broja a za unetu vrednost. Buttons Button ili dugme je namenjeno da aktivira skriptove tako što kliknemo na njega. Buttons može biti kreiran korišćenjem alata Insert Buttons ili komande Button. Comboboxes Comboboxes su dostupni samo u Spreadsheet pikazu. Napredne funkcije Pozicija objekta Uslovljena vidljivost Dynamic colors Scripting Pozicija objekta Pozicija objekta može biti odredjena u polju Position u Properties Dialogu. Podrazumevano je da je npr. pozicija vektora odredjena početnom tačkom, a pozicija slike odredjena sa jednim, dva ili tri ugla. Pozicija slika i slajdera može biti fiksirana u odnosu na ekran. Ovo svojstvo može biti podrazumevano u zavisnosti da li se radi o slajderima ili slikama. Ukoliko to želimo da GG3-8

9 promenimo, uključimo Absolut Position On Sreen. Action Objects uvek imaju apsolutnu poziciju na ekranu. Uslovljena vidljivost Pored toga što možemo da prikazujemo ili skrivamo neke objekte, takodje njihova vidljivost može da zavisi od nekog uslova. Na primer, želimo da se neki objekat pojavi na ekranu kada čekiramo Check Box ili kada slajder uzme odredjene vrednosti. Uslovljena vidljivost već postojećih objekata se postiže korišćenjem Check Boxa, kako je već opisano. Promena vidljivosti kod novo kreiranih objekata - U Properties dialogu se može uneti uslov za vidljivost objekta u polje Advanced. Primer: Ako je a slajder, tada uslov a < 2 znači da se odgovarajući objekat prikazuje samo kada slajder uzima vrednosti manje od 2. Ako je b logička vrednost, možemo iskoristiti b kao uslov. Odgovarajući objekat se pojavljuje kad god je b =true, a nestaje kada je b =false. Ako su g i h dve prave i ako mi želi da se odredjeni tekst pojavi samo pod uslovom kada su ove prave paralelne, tada možemo iskorisiti izraz g h kao uslov za pojavljivanje teksta. Dynamic colors U GeoGebri možemo menjati boju objekata koristiće polje Color u Properties Dialogu. Medjutim, možemo podesiti da se boja objekta menja dinamički. Otvorimo Properites Dialog objekta čiju boju želimo da menjamo, konkretno polje Advanced. Tu ćemo naći odeljak pod imenom Dynamic Colors sa tri polja za tekst za komponente boja - crvena, zelena i plava. U svako od ovih polja može se uneti funkcija koja uzima vrednosti u skupu [0, 1]. Primer: Kreirajmo tri slajdera a, b i c sa vrednostima od 0 do 1. Kreiraj mnogougao, čija će boja biti odredjena slajderima a, b, c. U polju Advanced-Dynamic Colors unesi imena tri kreirana slajdera. Menjaj vrednosti slajderima i uoči kao te promene utiču na boju mnogougla. Možemo animirati slajdere tako da se svaki kreće drugačijom brzinom, da bi se boja mnogougla menjala automatski. Scripting Skript je niz komandi, koje se izvršavaju jedna posle druge.geogebra podržava dva jezika za scripting - GGBScript i Javascript. Izvršavanje može biti aktivirano: kliktanjem na neki objekat ažuriranjem nekog objekta (kada je vrednost ili svojstvo objekta promenjano) GGBScript Možemo kreirati skriptove korišćenjem GeoGebra komandi. Nakon aktiviranja skripta, svaka komanda se izvršava jedna za drugom. Primer: Kreirajmo slajder a koji uzima vrednosti 1, 2 i 3. Zatim kreirajmo listu list1 = { red, green, blue }. Kao svojstvo slajdera a, u polje On Update ukucajmo komandu SetColor(a,Element(list1,a)). Pomeranjem slajdera menjamo njegovu boju. GG3-9

10 Alati Movement tools Point tools Line Tools Special Line Tools Polygon Tools Circle and Arc Tools Conic Section Tools Measurement Tools Transformation Tools Special Object Tools Action Object Tools Generale Tools Custome Tools Komande Geometry Commands Algebra Commands Text Commands Logic Commands Functions & Calculus Commands Conic Commands List Commands Vector & Matrix Commands Transformation Commands Statistics Commands Probability Commands Spreadsheet Commands Scripting Commands Discrete Math Commands Optimization Commands GG3-10