24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g
|
|
- Наташа Савић
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 4. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka,. april 07. ZADACI PRVI RAZRED. Dat je razlomak a7, gdje su a i b cifre za koje je b a =. Ako se 7b egovom brojiocu doda prirodan broj n, a od imenioca se oduzme isti taj broj n, dobijeni razlomak e biti jednak 4. Nai n. 5. Dat je trougao ABC i taqke K i N na stranicama AB i AC, redom, takve da je KB = KN. Neka je R sredixte luka AB koji ne sadri taqku C. Prava koja sadri taqku R i normalna je na AB sijeqe du BN u taqki D. Dokazati da taqke A, K, D, N pripadaju jednoj krunici. 3. Data je tabla m n i tri boje. elimo da obojimo svaku du dobijene mree sa jednom od te tri boje tako da svaki jediniqni kvadrat ima dvije stranice obojene jednom bojom i dvije stranice obojene nekom drugom bojom. Koliko ima takvih boje a? 4. Neka su a, b, c pozitivni brojevi takvi da je abc. Dokazati da je a + b + c + 6 a + b + c. DRUGI RAZRED. Dokazati da za proizvo ne realne parametre a, b i c razliqite od nule bar jedna od jednaqina ax + bx + c = 0, bx + cx + a = 0 i cx + ax + b = 0 ima realne korijene.. Dat je oxtrougli trougao ABC. Neka je D podnoje visine iz tjemena C na stranicu AB. Pretpostavimo da je AD = 3 BD. Neka su M i N redom sredixta stranica AB i AC. Neka je P taqka takva da je NP = NC i CP = CB, pri qemu B i P lee sa razliqitih strana prave AC. Dokazati da je AP M = P BA.
2 3. Nai sve parove prirodnih brojeva (x, y), x > y, za koje vai x + y x + y = Segment S duine 50 je pokriven sa nekoliko segmenata duine, od kojih je svaki sadran u S. Ako bilo koji od tih jediniqnih segmenata uklonimo onda S vixe nee biti potpuno pokriven. Nai maksimalan broj jediniqnih segmenata koji zadovo avaju ove uslove. TRE I RAZRED. U jednakokraki trapez ABCD upisana je krunica sa centrom O koja dodiruje krakove BC i AD trapeza redom u taqkama M i N. (a) Dokazati da je AB + CD = MN ; (b) Ako su taqke A, O, M kolinearne, odrediti uglove tog trapeza.. Jediniqni kvadrati table n n, n, obojeni su crnom ili bijelom bojom tako da svaki crni kvadrat ima bar tri bijela susjeda (susjed je jediniqni kvadrat sa zajedniqkom stranicom). Koliki je najvei broj crnih jediniqnih kvadrata? 3. Dato je 000 tegova sa masama od 3, 3, 3 3,..., grama. Dokazati da se oni mogu razbiti u dvije grupe sa podjednakim masama i sa podjednakim brojem tegova (po 000). 4. Odrediti najveu konstantu C tako da nejednakost (x + x + + x 6 ) C (x (x + x 3 ) + x (x 3 + x 4 ) + + x 6 (x + x )) vai za sve realne brojeve x, x,..., x 6. Za dobijeno C odrediti sve x, x,..., x 6 za koje se dostie jednakost. QETVRTI RAZRED. Neka je H ortocentar oxtrouglog trougla ABC. Na duima HB i HC izabrane su redom taqke K i L tako da je AKC = 90 = ALB. Dokazati da je AK = AL.. Isti kao zadatak za trei razred. 3. Isti kao zadatak 3 za trei razred.
3 4. Dokazati nejednakosti 3 7 (n + ) n < (n + ). RJEXE A PRVI RAZRED. Odgovor: n = 07. Dati uslov je evivalentan redom sa s edeim jednaqinama a7 + n 7b n = 4 5, 5(a7 + n) = 4(7b n), 5n + 4n = 4 ( b) 5 ( a). Zamje ujui u pos ed oj jednakosti b = a + slijedi da je () 9n = a. Odavde dobijamo da a, a kako je a = a (a + 3) i kako su brojevi 8756 i 99a dje ivi sa 9, slijedi da je broj a + 3 dje iv sa 9. Kako je a cifra, ovo vai samo za a = 6. Da e, za a = 6 se () svodi na 9n = 853, odakle dobijamo da je n = 07.. Oqigledno je prava RD simetrala stranice AB. Odavde zak uqujemo da vai AD = BD, tj. ABD = BAD. Takoe, iz uslova KB = KN imamo da je KBN = KNB. Sada je KAD = BAD = ABD = KBN = KNB = KND, pa kako se taqke A i B nalaze u istoj poluravni u odnosu na pravu KD, taqke A, K, D, N pripadaju jednoj kruici. 3. Gor a stranica jediniqnog kvadrata u gor em lijevom uglu moe se obojiti na 3 naqina. Zatim, imamo 3 naqina za izbor druge stranice istog tog kvadrata koja ima istu boju kao ve obojena stranica. Preostale dvije stranice ovog kvadrata moraju biti obojene istom bojom, a za ovu boju imamo dvije mogunosti. Zak uqujemo da jediniqni kvadrat u gor em lijevom uglu moe biti obojen na 3 3 = 8 naqina. Da e, bojimo jediniqne kvadrate u prvom redu slijeva nadesno. Pri tome je svaki put lijeva stranica kvadrata ve obojena. Imamo 3 naqina da odaberemo stranicu jediniqnog kvadrata koja e biti obojena istom bojom kao i egova lijeva stranica. Za boje e preostale dvije stranice imamo dvije mogunosti (boje). Prema tome, imamo 6 3
4 naqina za boje e svakog od ovih kvadrata. Nastav amo sliqno sa boje em prve kolone. Bojimo jediniqne kvadrate odozgo nadole i za svaki od ih imamo 6 naqina boje a. Sada bojimo kvadrate u redovima, 3,..., m i u kolonama, 3,..., n. Bojimo ih slijeva nadesno i odozgo nadole. Kod boje a svakog novog kvadrata on ve ima obojene dvije stranice: gor u i lijevu. Ako su ove stranice razliqitih boja, onda su i boje preostale dvije stranice ve odreene, i postoje naqina za ihovo boje e. A ako dvije stranice koje su ve obojene imaju istu boju, onda i ostale dvije stranice imaju istu boju. Ta boja se moe izabrati na dva naqina. Prema tome, za svaki od ovih kvadrata postoje dva mogua naqina boje a. Dakle, ima 8 6 m 6 n (m )(n ) = mn 3 m+n takvih boje a. 4. Zapiximo datu nejednakost u obliku ( a + b + ) (a + b + c) a + b + c + 6. c Na osnovu nejednakosti izmeu aritmetiqke i geometrijske sredine je Zbog toga je i a + b + c i a + b + c 3 3 abc. abc ( 3 a + b + ) (a + b + c) a + b + c c ( 3 a + b + ) (a + b + c) c abc 3 abc = 6. Sabira em pos ed e dvije nejednakosti dobijamo datu nejednakost. DRUGI RAZRED. Pretpostavimo da nijedna od tri date jednaqine nema realne korijene. Tada je b < ac, c < ab i a < bc, odakle sabira em dobijamo da je a + b + c < ab + ac + bc. Kako je ova nejednakost ekvivalentna sa (a b) + (a c) + (b c) < 0, dobili smo kontradikciju. 4
5 . Kako je N sredixte stranice AC to je N C = N A. Po pretpostavci je NP = NC, xto znaqi da je AP C periferijski ugao nad preqnikom AC, pa je AP C = 90. Poxto je AD = 3 BD i M sredixte dui AB to je MD = BD. Osim toga je CDB = 90 = CDM, pa su trouglovi CDB i CDM podudarni, odakle slijedi da je CB = CM. Po pretpostavci je CP = CB, pa je C centar krunice koja prolazi kroz taqke P, M i B. Kako je AP C = 90 to je AP tangenta ove krunice. Zbog toga je AP M = P BM = P BA. 3. Jednaqina x + y = 07(x + y) je ekvivalentna sa jednaqinama x + y 07(x + y) = 0, x + y 07(x + y) = 0, (x y) + (x + y) 07(x + y) = 0, (x y) + (x + y 07) = 07. Ako je x + y 07 onda je 07(x + y) (x + y) > x + y pa data jednaqina nema rjexe a. Dakle, x + y > 07 pa koristei formulu za Pitagorine trojke dobijamo da postoje prirodni brojevi m i n, m > n, takvi da je ili x y = mn, x + y 07 = m n, 07 = m + n, x y = m n, x + y 07 = mn, 07 = m + n. Kako je 07 prost broj oblika 4k + jednaqina m + y = 07 ima jedinstveno rjexe e. To je par (m, n) = (44, 9). Da e dobijamo sisteme linearnih jednaqina x y = 79, x + y 07 = 855, x y = 855, x + y 07 = 79, qija su rjexe a (x, y) = (33, 540) i (x, y) = (33, 477). To su ujedno i jedina rjexe a date jednaqine. 4. Neka su S, S,... segmenti duine koji pokrivaju segment S gledano slijeva nadesno. Dokazaemo najprije da su bilo koja dva segmenta S k i S k+ disjunktna. Ako bi neka dva segmenta S k i S k+ imala zajedniqku taqku onda bi ihova unija bio segment koji sadri segment S k+. Tada bismo segment S k+ mogli izbaciti a segment S bi bio pokriven ostalim segmentima, xto je kontradikcija sa uslovom zadatka. Poxto je duina segmenta S jednaka 50, to znaqi da segmenata S i, kako sa neparnim tako i sa parnim indeksima ponaosob, moe biti najvixe 49, tj. moemo imati najvixe 98 segmenata duine koji pokrivaju S. Na primjeru emo pokazati da se taj maksimalan broj moe i postii. Posmatrajmo segment I = [0, 50] na brojevnoj pravoj. Uoqimo na ovom segmentu 5
6 taqke M i koje imaju brojevne vrijednosti 49 + (i ), i =,,..., Neka su S i segmenti duine qija su sredixta taqke M i, i =,,..., 98. Kako je M i M i+ = 98/97, ( i 96), segmenti S i i S i+ su razdvojeni duinom /97, koju pokriva samo segment S i+, xto znaqi da ne moemo ukloniti nijedan od segmenata S i, i =,,..., 98, jer bi S istao nepokriven. TRE I RAZRED. Neka je r polupreqnik krunice upisane u dati trapez i neka su K i L redom sredixta egovih osnovica AB i CD. Neka je P = KL MN i BAO = ϕ, tj. BAD = ϕ. Posmatrajmo qetvorougao OLDN. On ima prave uglove u tjemenima L i N, a kako je NDL = ADC = 80 ϕ, slijedi da je NOL = ϕ. Pravougli trouglovi OLD i OND su podudarni, pa je DOL = ϕ. (a) Sada iz pravouglih trouglova AKO, OLD i OP N dobijamo pa je Odavde slijedi da je AK = r ctg ϕ, DL = r tg ϕ, NP = r sin ϕ, AB = r ctg ϕ, C = r tg ϕ, MN = r sin ϕ. MN AB + MN CD = r sin ϕ r ctg ϕ xto je i trebalo dokazati. + r sin ϕ r tg ϕ = sin ϕ + cos ϕ =, (b) Ako su taqke A, O, M kolinearne, onda su uglovi AOK i MOL unakrsni, pa je AOK i MOL. Kako je AOK = 90 ϕ = MOL = ϕ, slijedi da je 90 ϕ = ϕ, tj. ϕ = 30. Dakle, oxtri ugao tog jednakokrakog trapeza je 60, a tupi ugao je 0.. Uoqimo najprije da su jediniqni kvadrati u uglovima table obojeni bijelom bojom (jer imaju samo dva susjeda). Takoe, u vrstama (kolonama) koje se nalaze uz ivice table, ne mogu biti dva susjedna jediniqna kvadrata obojena crnom bojom, jer ne bi mogli imati tri susjedna bijela jediniqna kvadrata. Primijetimo da iz istog razloga u svakom kvadratu moemo imati najvixe dva crna jediniqna kvadrata. Ako je n neparan broj, podijelimo tablu u 4 dijela: kvadrat (n ) (n ) koji sadri sve jediniqne kvadrate u prvih n vrsta i n kolona (gledan od dna ka vrhu), pravougaonik (n ) uz desnu ivicu table, pravougaonik (n ) uz gor u ivicu table i jediniqni kvadrat u gor em desnom uglu table. Ako kvadrat (n ) (n ) izdijelimo na kvadrate (kojih 6
7 ima (n ) /4), jasno je da emo u emu imati najvixe (n ) / crnih kvadrata. Takoe, u pravougaonicima (n ) i (n ) moemo imati najvixe (n )/ crnih kvadrata, a poxto je gor i desni kvadrat bijele boje, maksimalan broj crnih kvadrata je (n ) + n + n = n Ovaj maksimum se moe dostii ako tablu obojimo,,xahovski" crno-bijelo, sa bijelim jediniqnim kvadratima u uglovima. Ako je n paran broj, podijelimo tablu u 9 dijelova: kvadrat (n ) (n ) u sredini table, 4 pravougaonika (n ) ili (n ) uz ivice table i 4 jediniqna kvadrata u uglovima table. Ako kvadrat (n ) (n ) izdijelimo na kvadrate, a pravougaonike na ma e pravougaonike ili, moemo imati maksimalno (n ) + 4 n = n 4 crnih kvadrata. Ovaj maksimum se moe dostii ako tablu n n obojimo na xahovski naqin, a onda dva crna kvadrata koja se nalaze u uglovima table prebojimo u bijelo, te imamo tablu koja zadovo ava uslove zadatka i koja ima n = n 4 crnih po a. 3. Kako je 000 = 6 5 dovo no je dokazati da za svakih 6 uzastopnih prirodnih brojeva postoji takvo razbija e. Imamo da je (k +) 3 +(k +4) 3 (k +) 3 (k +3) 3 = (k +4) 3 (k +3) 3 ((k +) 3 (k +) 3 ) = = (k+4) +(k+4)(k+3)+(k+3) (k+) (k+)(k+) (k+) = k+30, () (k + ) 3 + (k + 4) 3 = (k + ) 3 + (k + 3) 3 + k Ako u () umjesto k stavimo k + 4 dobijamo da je () (k + 6) 3 + (k + 7) 3 + (k + 4) + 30 = (k + 5) 3 + (k + 8) 3. Sabira em () i () dobijamo (3) (k+) 3 +(k+4) 3 +(k+6) 3 +(k+7) = (k+) 3 +(k+3) 3 +(k+5) 3 +(k+8) 3. Ako u (3) umjesto k stavimo k + 8 dobijamo da je (4) (k+0) 3 +(k+) 3 +(k+3) 3 +(k+6) 3 = (k+9) 3 +(k+) 3 +(k+4) 3 +(k+5)
8 Sabira em (3) i (4) dobijamo da je (k+) 3 +(k+4) 3 +(k+6) 3 +(k+7) 3 +(k+0) 3 +(k+) 3 +(k+3) 3 +(k+6) 3 = = (k+) 3 +(k+3) 3 +(k+5) 3 +(k+8) 3 +(k+9) 3 +(k+) 3 +(k+4) 3 +(k+5) 3, xto je i trebalo dokazati. 4. Primijetimo da se izraz na desnoj strani date nejednakosti x x + x x 3 + x x 3 + x x 4 + x 3 x 4 + x 3 x 5 + x 4 x 5 + x 4 x 6 + x 5 x 6 + x x 5 + x x 6 + x x 6 moe zapisati u obliku (x + x 4 )(x + x 5 ) + (x + x 5 )(x 3 + x 6 ) + (x 3 + x 6 )(x + x 4 ). Koristei smjenu X = x + x 4, Y = x + x 5 i Z = x 3 + x 6, data nejednakost postaje (X + Y + Z) C (XY + Y Z + ZX), gdje su X, Y i Z proizvo ni realni brojevi. Za X = Y = Z = imamo da je 9 3C, tj. C 3. Dokaimo sada da nejednakost (X + Y + Z) 3(XY + Y Z + ZX), vai za proizvo ne realne brojeve X, Y i Z. Kako je ova nejednakost ekvivalentna sa (X Y ) + (Y Z) + (Z X) 0, ona oqito vai. Pri tome, jednakost vai samo ako je X = Y = Z, tj. x + x 4 = x + x 5 = x 3 + x 6. QETVRTI RAZRED. Oznaqimo sa P i Q podnoja visina spuxtenih iz tjemena C redom na stranice AC i AB. Tada imamo s edee parove sliqnih trouglova AKC AP K, ABP ACQ, ALB AQL, jer su svi ovi trouglovi pravougli i trouglovi u istom paru imaju zajedniqki oxtri ugao. Slijedi da je AK = AP AC = AQ AB = AL, tj. AK = AL.. Isti kao zadatak za trei razred. 8
9 3. Isti kao zadatak 3 za trei razred. 4. Lijevu nejednakost dokazujemo matematiqkom indukcijom. Za n = vai jednakost =. Neka je n >. Pretpostavimo da nejednakost vai 8 za n, tj. da je () 3 7 n (n ) 3. Dovo no je jox dokazati da za svaki prirodan broj n vai () n (n + ) n, 3 jer sabira em () i () dobijamo da lijeva nejednakost vai za n. A nejednakost () vai poxto je ekvivalentna sa n(n + ) n 3 (n + ), tj. 0 3n +. Za dokaz desne nejednakosti procijenimo opxti qlan. Imamo za k k3 tj. k < 3 k 3 k = k(k )(k + ) = k ( ) = k(k ) k(k + ) Na osnovu ovoga je za n > = ( k ) = k + ( k k k + k + k < ( 3 k k + ). k n = n k < = 3 + k=3 ( 3 n + ) n + n k=3 ), ( k k + ) = k + = 5 4 n(n + ) < 5 4 (n + ). Primjedba. Mi smo u stvari dokazali jaqu nejednakost n < n(n + ), koja se takoe lako dokazuje matematiqkom indukcijom. Zadatke pripremili: Vidan Govedarica i Marko iti. 9
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
ВишеMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr
Prvi razred A kategorija 1. Za prirodan broj n oznaqimo sa x n broj koji se dobije uzastopnim zapisivanjem svih prirodnih brojeva od 1 do n jedan iza drugog (npr. x 14 = 1234567891011121314). Neka je funkcija
ВишеKvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina
Вишеrjeshenja.dvi
16. REPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Banja Luka, 11.04.2009. ZADACI PRVI RAZRED 1. Neka su a, b, c pozitivni brojevi. Dokazati da iz a 2 + b 2 = c 2 slijedi a 2
Више1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
ВишеMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.
Prvi razred A kategorija Za brojeve a, b, c, x, y i z vaжi {a, b, c} = {x, y, z} = {15, 3, 2014}. Da li broj a bc + x yz mora biti sloжen? (Za m, n, k N je sa m nk oznaqen broj m (nk).) Neka su a, b i
ВишеOkruzno2007ZASTAMPU.dvi
4. RAZRED 1. Koliko ima trouglova na slici? Navesti te trouglove. D E F C A 2. Na koliko naqina Voja, Rade i Zoran mogu da podele 7 jednakih klikera, tako da svaki od Φih dobije bar jedan kliker? 3. TravΦak
ВишеPEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
ВишеАлгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
ВишеGEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i
GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i B 1 C 1 paralelne i vai B 1 C 1 = 1 2 BC. 2. Ako su
Више1996_mmo_resenja.dvi
37. ME UNARODNA MATEMATIQKA OLIMPIJADA Mumbaj, Indija sreda, 10. jul 1996. 1. Neka je ABCD pravougaona tabla sa AB = 20 i BC = 12. Tabla je razloжena na 20 12 jediniqnih kvadrata. Neka je r prirodan broj.
Вишеhomotetija_ddj.dvi
Homotetija verzija.0: 16.10.016. uxan uki efinicija. Homotetija H O,k sa centrom O i koeficijentom k je preslikavanje ravni koje slika svaku taqku X u taqku X takvu da je OX = k OX. Homotetiju zovemo pozitivnom
ВишеREXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =
REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE 8.03.006. Prvi razred A kategorija. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B = i A B = α, dokazati da postoji jednakokraki pravougli trougao
Вишеres_gradsko_2010.dvi
REXEƫ ZTK OKRUЖNOG TKMIQEƫEƫ IZ MTEMTIKE UQENIK SREƫIH XKOL, 0.000. Prvi razred, kategorija Kako je xyz > 0, sledi x > y,z, odakle je 4x > (y + z) = x, tj. x < Iz x = (y + z) sledi x, pa mora biti x =
ВишеМатематика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
ВишеTrougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
ВишеPripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c
Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar 013. Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c+a) = abc i (a 3 +b 3 )(b 3 +c 3 )(c 3 +a 3 ) = a 3
Више58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola
58. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 4.0.018. godine PRVI RAZRED Zadatak 1 Ako su, i realni brojevi takvi da je 0, dokazati da vrijedi
ВишеVISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
ВишеМатематика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
Више1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
ВишеNermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh
Slicnost trouglova Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a,, c su stranice trougla suprotne vrhovima A, B, C redom. -m a, m, m c su tezisnice iz vrhova A, B, C redom. -h a, h, h c su
ВишеМинистарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III
25.02.2017 III разред 1. Број ногу Периних паса је за 24 већи од броја њихових глава. Колико паса има Пера? 2. На излет су кренула три аутобуса у којима је било укупно 150 ученика. На првом одмору је из
ВишеParticije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn
Particije prirodnog broja druga-0. verzija: 7..03. Duxan uki Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodnih brojeva, pri qemu je redosled sabiraka nebitan. Sa p(n)
Више{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p
{ Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te
ВишеJEDNAKOSTI I JEDNAČINE,
ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА Диофантове једначине смо решавали у петом, шестом и седмом разреду. Тада смо се упознали и са појмом Диофантове једначине и појмом решења Диофантове једначине. Циљ ове наставне
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO
MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(9), -8 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI:.75/МК9A ISSN 54-6969 (o) ISSN 986-588 (o) JOŠ JEDAN DOKAZ PTOLEMEJEVE TEOREME I NJENA ZNAČAJNA PRIMJENA Dr. Šefket Arslanagić,
ВишеDELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a
DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a. b a oznaqava da a ne deli b. Napomena 1.1. (1) Deljivost
ВишеЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
ВишеPRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee
PRVI KOLOKVIJUM 1992. 1. Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t 1. 3. Rexiti sistem
ВишеRokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
ВишеZadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
ВишеМатематика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
Више32zadatka_2014_IMO-pripreme_ddj.dvi
Pripreme za MMO - Beograd, 11-15 juni 014 Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Pokuxao sam, verovatno neuspexno, da unutar svake oblasti sortiram zadatke od lakxih ka teжim Radite ih sami (ali
Вишеuntitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
ВишеNermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv
Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,nazivam inverzija u odnosu na kruznicu k(o, r). -I(P ) = P 1 je oznaka za sliku tacke P
Вишеos07zup-rjes.dvi
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI
ВишеŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA
ВишеАутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег
Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили. Немојте
ВишеPRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)
Вишеrumunija0107.dvi
ME URODI TREIG Z MMO Râmnicu Vâlcea, 19. & 0.01.007. Prvi dan Zadata 1. Konaqno mnogo rugova preriva oxtrougli trougao. Doazati da je zbir njihovih polupreqnia ne manji od polupreqnia opisane ruжnice tog
ВишеMATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
Вишеkolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
ВишеPitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
ВишеPitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
ВишеMatematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
ВишеТалесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
Више25. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Istoqno Sarajevo, 14. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Na xahovskom tur
5. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Istoo Sarajevo 14. aril 018. ZADACI PRVI RAZRED 1. Na xahovsom turiru odigrao je uuo 100 artija. Dva igraa su austila turir.
ВишеРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/2014. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш
ВишеШифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП
Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година СЕДМИ РАЗРЕД ТЕСТ СПОСОБНОСТИ
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
ВишеZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.
ZADACI ZA VJEŽBU. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C).. Pomoću matematičke indukcije dokažite da za svaki n N vrijedi:
ВишеMicrosoft Word - Rjesenja zadataka
1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji
ВишеMy_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
ВишеNatjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
ВишеПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА ax x c 0 x x D 4ac a ( сви задаци су решени) c D xx x/ a a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реална D Двоструко решење (реална и једнака решења) D=0 Комплексна решења (нису
ВишеŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
ВишеZadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
ВишеMicrosoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
. D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,
ВишеMicrosoft Word - z4Ž2018a
4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,
ВишеMy_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
ВишеMATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,
ВишеMATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(07) 9-35 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК7049Ž ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ЈЕДНА КЛАСА ХЕРОНОВИХ ТРОУГЛОВА БЕЗ ЦЕЛОБРОЈНИХ ВИСИНА Милан Живановић Висока
ВишеPelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav
Pelova jednaqina verzija.1: 1..015. Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexavamo pomo u jednostavnog algoritma. Diofantske jednaqine
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj
ВишеSREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA
SREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA UPUTSTVO ZA TAKMIČARE Vrijeme za ra: 0 miuta. Rješeja zaataa eophoo je etaljo obrazložiti. Rješeja oja e buu aržala potreba ivo obrazložeja eće biti razmatraa. Rapojela poea: Zaata....
ВишеРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2017/2018. година
ВишеMicrosoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx
Универзитет у Београду Математички факултет О неким класичним квадратним Диофантовим једначинама Мастер рад ментор: Марко Радовановић студент: Ивана Фируловић Београд, 2017. Садржај Увод...2 1. Линеарне
ВишеDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka 019. Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom.
ВишеMATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
ВишеMicrosoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
ВишеMAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak
Више(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
ВишеMinistarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1
Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka
Више1 Ministarstvo za obrazovanje, nauku i mlade KS ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2016/2017. GODINI MATEMATIKA Stručni tim za matematiku:
1 Ministarstvo za obrazovanje, nauku i mlade KS ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2016/2017. GODINI MATEMATIKA Stručni tim za matematiku: Prof. dr. Senada Kalabušić Dragana Paralović, prof.
ВишеTest iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
ВишеMicrosoft Word - vodic B - konacna
VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi
ВишеСТЕПЕН појам и особине
СТЕПЕН појам и особине Степен чији је изложилац природан број N R \ 0 изложилац (експонент) основа степен Особине: m m m m : m m : : Примери. 8 4 7 4 5 4 4 5 6 :5 Важно! 5 5 5 5 5 55 5 Основа је број -5
Више1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je
1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na
ВишеSkripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
ВишеMicrosoft Word - KUPA-obnavljanje.doc
KUPA Kupa je oblo feometrijko telo čija je onova krug, a omotač je deo obrtne konune površi a vrhom u tački S. S r Oa kupe je prava koja prolazi kroz vrh kupe i centar onove kupe. Ako je oa normalna na
Више3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна јед
3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна једначина по х је свака једначина са непознатом х која
ВишеMinistarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja
ВишеMicrosoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
ВишеЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА
МАТЕМАТИКА ЗАДАЦИ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 1. Израчунати вредност израза: а) ; б). 2. Израчунати вредност израза:. 3. Израчунати вредност израза:. 4. Израчунати вредност израза: ако је. 5. Израчунати вредност
ВишеMatematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
ВишеMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc
Matematika szerb nyelven középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Важне
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je
Више(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi
ВишеMatematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Neki zadaci sa vebi iz Analize 1 Zlatko Lazovi 21. april verzija 2.1 (zadaci sa oznakom * nisu raeni
Matematiqki fakultet Uiverzitet u Beogradu Neki zadaci sa vebi iz Aalize Zlatko Lazovi april 06 verzija zadaci sa ozakom * isu raei a vebama Sadraj MATEMATIQKA INDUKCIJA NIZOVI 4 Limes iza Svojstva 4 Diferece
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7
ВишеMy_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
ВишеРационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева. Из скупа {,,,, 0,,, } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.. Запиши
Више