8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

Транскрипт

1 8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

2 Sadržaj 1 Izmjenični napon i izmjenična struja Inducirani napon 2 3 Izmjenični napon Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

3 Izmjenični napon i izmjenična struja Tok magnetskoga polja kroz svaku zatvorenu površinu jednak je 0. To je Gaussov zakon za magnetsko polje. Međutim, tok magnetskoga polja kroz nezatvorenu površinu ne mora biti jednak 0. Svaka nezatvorena površina ima svoj rub, koji je zatvorena krivulja. kroz površinu S određujemo kao Φ B = B d S (1) No, jedna te ista zatvorena krivulja može biti rubom beskonačno mnogo različitih površina. Postavlja se pitanje, ako želimo izračunati magnetski tok kroz površinu od koje nam je poznat samo rub, koju od beskonačno mnogo površina valja uzeti za izračunavanje magnetskoga toka? Odgovor na to pitanje zapravo se nalazi u prvoj rečenici ove stranice. Zamislimo da imamo okvir od žice, s pomoću kojega napuhavamo balončiće od sapunice. Očito je da se tijekom napuhavanja balončića na okviru pojavljuje beskonačno puno (kontinuum) različitih površina, a da se pri tom okvir ne mijenja. S Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

4 Izmjenični napon i izmjenična struja Svaka od tih površina, sve dok se balončić ne odlijepi od okvira, ima jedan te isti rub, naime sam okvir. Plava i crvena površina (balončići) prikazane na slici imaju isti rub ( crna elipsa). d S d S Uzimajući zajedno plavu i crvenu površinu, napravit ćemo zatvorenu površinu, koja, očito, više ne će imati nikakav rub. Po Gaussovu zakonu za magnetsko polje, magnetski tok kroz tu zatvorenu površinu jednak je 0. No, taj tok možemo prikazati kao razliku dvaju tokova, naime kao razliku toka kroz crvenu i plavu površinu. Zašto razlika? Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

5 Izmjenični napon i izmjenična struja Razlika dolazi od činjenice što pri združivanju plave i crvene površine, plavu strjelicu moramo suprotno orijentirati da bi cijela, združena, površina imala sve normale na nju orijentirane prema van. Matematički je zapis navedenih činjenica sljedeći: Φ B (cr. + pl.) = 0 = Φ B (cr.) Φ B (pl.) Φ B (cr.) = Φ B (pl.) (2) kroz svaku površinu (balončić) s jednim te istim rubom jedan je te isti. Dakle, magnetski tok na određeni način ovisi samo o rubu površine, ne i o samom geometrijskom obliku površine čiji je to rub. Ponavljam to vrijedi samo zato što je magnetski tok kroz svaku zatvorenu površinu jednak 0. Mjerna je jedinica za magnetski tok očito Tm 2, koja se zove veber: Wb = Tm 2. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

6 Izmjenični napon i izmjenična struja Promjena magnetskoga toka Magnetski se tok može promijeniti na razne načine. Promjena se može ostvariti barem na dva očita načina: promjenom magnetskoga polja, pri čemu okvir, tj. zatvorena krivulja koja čini rub površine kroz koju promatramo tok, može ostati nepromijenjen. promjenom prostornoga položaja okvira u odnosu na magnetsko polje, koje može biti statičko. Općenita je promjena magnetskoga toka spoj spomenutih dvaju načina promjene toka. Naprimjer, gibanje jedne točkaste nabijene čestice kroz magnetsko polje određuje promjenu magnetskoga toka. Naime, u određenom kratkom vremenskom intervalu imamo određena tri vektora, koji zatvaraju trokutastu površinu: imamo početni i krajnji položaj čestice i njezin pomak koji je razlika krajnjeg i početnog položaja čestice. To nam je dovoljno da uzmemo površinu čiji rub određuju ta tri vektora i izračunamo magnetski tok kroz tu površinu. Očito je da će gibanje čestice mijenjati taj tok. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

7 Izmjenični napon i izmjenična struja Primjer Elektron se vrti u homogenom magnetskom polju u ravnini okomitoj na polje. Izračunajte promjenu magnetskoga toka koju osjeća elektron. Rješenje: Ako polje usmjerimo u pozitivnom smjeru z-osi, onda će se elektron vrtjeti u smjeru suprotnom smjeru kazaljke na satu, tj. u pozitivnom smislu, po pravilu desne ruke. Tako ćemo orijentirati i ravninu kružnice po kojoj se elektron vrti; dakle, površina je kružnice orijentirana u smjeru polja. Gibajući se u intervalu vremena dt, elektron prebriše površinu ds = 1 2 r 2 dφ = 1 2 r 2 ωdt = 1 2 r 2 v r dt. Promjena je magnetskoga toka dφ B = BdS = 1 2Brvdt, gdje je r polumjer kružnice, a v iznos obodne brzine. No, magnetska je sila po iznosu jednaka ebv i jednaka je centripetalnoj sili mv 2 r. Iz toga dobivamo dφ B = 1 mv 2 2 e dt = E kin e dt. Dobili smo rezultat ( da je kinetička ) energija elektrona jednaka E kin = ( e), tj. kao da elektron dobiva svoju kinetičku energiju dφ B dt prolaskom kroz polje napona U = dφ B dt. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

8 Izmjenični napon i izmjenična struja Inducirani napon Inducirani napon Prethodni nam primjer pokazuje da smo gibanje elektrona mogli opisati tako da umjesto magnetskoga polja uzmemo neki ekvivalentni napon između središta kružnice i točke u kojoj se nalazi elektron. Taj ekvivalentni napon zovemo inducirani napon. Zapravo, navedeni se primjer može poopćiti u Faradayev zakon elektromagnetske indukcije: Ako se kroz okvir od vodljive žice mijenja magnetski tok, onda će u žici poteći struja koja odgovara naponu jednakom negativnoj derivaciji magnetskoga toka po vremenu. Smjer struje, odnosno polaritet napona, određen je tako da nastala struja stvara magnetsko polje čiji tok nastoji poništiti magnetski tok koji je uzrokovao struju. To se zove Lenzovo pravilo. Lenzovo pravilo nije ništa drugo nego zakon očuvanja ukupne energije. Naime, kada bi vrijedilo suprotno, onda bi inducirana struja rasla u nedogled, jer bi ukupni magnetski tok, a time i njegova promjena, rasla do beskonačnosti. No, to je nemoguće zato što nije u skladu sa zakonom očuvanja ukupne energije. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

9 Kada struja teče zatvorenom žicom određenoga oblika, ona će proizvoditi magnetsko polje, a time i magnetski tok. Taj će magnetski tok biti razmjeran jakosti struje. Pri tome smjer obilaženja krivulje (tj. žice) uzimamo u smjeru struje. Po pravilu desne ruke, orijentacija elementa površine bit će kao i orijentacija nastalog magnetskog polja, pa će magnetski tok biti pozitivan i razmjeran jakosti struje. To možemo zapisati sljedećom jednadžbom: Φ B = LI (3) U jednadžbi (3) konstanta L zove se induktivitet. Ta konstanta ovisi o obliku žice. Ako žicom teče promjenljiva struja, onda će i magnetski tok što ga stvara biti također promnjeljiv. To po Faradayevu zakonu elektromagnetske indukcije i Lenzovu pravilu znači da će se pojaviti magnetski tok suprotan prvotnome, koji će nastojati zaustaviti struju koja ga je prouzročila. To znači jednostavno da induktivitet pruža otpor promjenljivoj struji. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

10 Gotovo svaki vodič ima omski otpor. Recimo da je to otpor R. Kada bi taj vodič bio priključen na vanjski napon ɛ, njime bi tekla struja jakosti I = ɛ R. No, zbog Faradayeva zakona indukcije, u vodiču će se inducirati dodatni napon jednak U ind = dφ dt = L di dt. Taj se napon mora pribrojiti vanjskom naponu, tako da imamo: I = U + U ind R IR + L di dt = U (4) Jednadžba (4) nam pokazuje da vodič (žica) induktiviteta L djeluje tako kao da je na njemu uz omski otpor priključen nekakav dodatni otpor, koji nije omski. Taj je otpor jednak 0 ako je struja kroz vodič stalna.možemo reći da će vodič, uz svoj omski napon U R = IR imati i induktivni napon U L = L di dt, tako da je zbroj tih dvaju napona jednak vanjskom naponu: U R + U L = U (5) Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

11 Opće rješenje jednadžbe (4) za bilo koji vanjski napon U(t) može se navesti u zatvorenom matematičkom obliku. Ovdje ćemo navesti samo primjer isključivanja zavojnice iz strujnoga kruga. To znači sljedeće: zavojnica induktiviteta L priključena je na vanjski napon U(t). Njome teče struja I (t) i na njezinim je krajevima napon U(t). Za te veličine vrijedi nehomogena diferencijalna jednadžba (4). U određenom trenutku t, koji možemo po volji uzeti kao t = 0, isključimo vanjski napon U(t), tako da za t > 0 vrijedi U(t) = 0. Pri tome je vrijednost struje kroz zavojnicu u trenutku isključivanja bila jednaka I (0) = I 0. Tako od nehomogene jednadžbe (4) za t > 0 dobivamo homogenu jednadžbu: IR + L di dt = 0 (6) s početnim uvjetom I (0) = I 0. Rješenje je jednadžbe (6) s navedenim početnim uvjetom: I (t) = I 0 e R L t (7) Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

12 Rješenje (7) pokazuje da struja kroz zavojnicu ne prestaje teći odmah po isključenju napona, nego da njezina vrijednost eksponencijalno trne tj. da postane zanemarivom nakon određenoga vremena zadanoga s omjerom L R. To znači da se vrijednost struje nakon svakog intervala vremena τ = L R smanji e 2, 72 puta od svoje prethodne vrijednosti. Omjer τ = L R nazivamo vremenskom konstantom zavojnice. Što je induktivitet zavojnice L veći, a njezin omski otpor R manji, to će zavojnicom duže teći struja i nakon isključivanja vanjskoga napona. Iz te činjenice zaključujemo da zavojnica, odnosno bilo koji sustav koji ima induktivitet L, pohranjuje određenu energiju, u ovome slučaju energiju magnetskoga polja. Kad ne bi tako bilo, odakle bi onda dolazila energija koja bi tjerala električnu struju neko vrijeme nakon prestanka dovođenja energije iz vanjskoga izvora? Postavimo si pitanje: kolika je energija pohranjena u zavojnici induktiviteta L kada njome teće struja jakosti I? Odgovor na to pitanje dobit ćemo na isti način kao i za svaki drugi sustav energija je jednaka radu potrebnom da se količina naboja dq pomakne od jedne točke do druge između kojih je Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

13 napon jednak U. Taj je rad jednak: dw = UdQ = UIdt = L di Idt = LIdI = d dt ( ) 1 2 LI 2 (8) Energija E zavojnice induktiviteta L jednaka je, dakle, E = 1 2 LI 2 (9) Ovaj je izraz potpuno analogan pohranjenoj elektrostatskoj energiji u kapacitoru kapacitancije C: 1 2 CU2. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

14 Izmjenični napon Izmjenični napon Ako je petlja od vodiča ravninska, onda joj možemo pridružiti jedan vektor, naime onaj koji je okomit na tu ravninu. Magnetski će tok homogenog magnetskog polja kroz tu ravninu biti jednak Φ B = B S = BS cos(θ) (10) U jednadžbi (10) S je površina koju zatvara petlja, B je magnetsko polje, a θ je kut između normale na površinu i magnetskoga polja. Ako petlju jednoliko zavrtimo, onda će se kut θ mijenjati po jednadžbi θ = ωt, gdje je ω kutna brzina vrtnje petlje. Imat ćemo, dakle, vremenski ovisan magnetski tok: Φ B = BS cos(ωt) (11) Promjenljivi magnetski tok (11) inducirat će promjenljivi napon: U = dφ B dt = BSω sin(ωt) (12) Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14