Zdtk 8 (Ivn, tehničk škol) Rcionlizirj rzlomk Rješenje 8 6 +, b b, b b Proširiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n b b n, n, n Zkon distribucije množenj prem zbrjnju Vježb 8 Rezultt: inčic inčic b + c b + c, b + c b + c ( 6 + ) 6 + 6 + 6 + 6 + 9 9 Rcionlizirj rzlomk 6 + 6 + 6 + 6 + 5 6 + 5 5 6 + 6 + 6 + 5 Zdtk 8 (Iren, gimnzij) Izrčunj: 56787 56788 56789 56786 Rješenje 8 Množenje zgrd Zkon distribucije množenj prem zbrjnju inčic Oznčimo x 56786 Td je: inčic n m n m, + ( + b) ( c + d ) c + d + b c + b d b + c b + c, b + c b + c 56 787 56788 56789 56 786 x + x + x + x Oznčimo x 56787 Td je: x + x + x + x x x + x + x + x x
56 787 56 788 56 789 56 786 x x + x + x x + x x x + x x + x x + x x + x + x x + x x + inčic Oznčimo x 56788 Td je: ( x ) x ( x ) ( x ) 56 787 56 788 56 789 56 786 + x x x x + x x x x + x x + x x x + x x + inčic Oznčimo x 56789 Td je: ( x ) ( x ) x ( x ) 56 787 56 788 56 789 56 786 x x x + x + x x x x + x + x Vježb 8 Izrčunj: 56 57 58 55 Rezultt: Zdtk 8 (Iris, gimnzij) Broj 8 7 5 7 npišite u stndrdnom obliku Rješenje 8 n n n m n m n m n + m b b,, n Decimlni broj množimo dekdskom jedinicom (,,,, ) tko d mu decimlnu točku pomknemo udesno z onoliko mjest koliko dekdsk jedinic im nul Svki reln broj možemo npisti u stndrdnom obliku, tj ko umnožk broj iz intervl, i potencije broj N primjer, 5 5, 7 7 Preoblikujemo zdni broj 7 7 7 7 7 7 7 7 8 5 8 5 8 8 6 8 8 Vježb 8 Broj 5 npišite u stndrdnom obliku Rezultt: 5 8 Zdtk 8 (Robert, gimnzij) Dokži d je četveroznmenksti broj oblik bb djeljiv s Rješenje 8, Z zpis broj koristimo znmenke,,,,, 5, 6, 7, 8 i 9 Brojevn vrijednost što ju nosi nek znmenk određen je ne smo vrijednošću te znmenke već i pozicijom te znmenke u zpisu broj Tkv zpis broj zovemo pozicijskim zpisom Općenito: { } Ako je N n, pričemu je,,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, n n i i n dekdski zpis prirodnog broj N, ond je njegov vrijednost
N n n n n + n + n + + + + Broj zove se bz dekdskog brojevnog sustv Broj b je višekrtnik prirodnog broj ko postoji tkv prirodn broj k d vrijedi b k Z prirodni broj b kžemo d je djeljiv s prirodnim brojem ko je b k, k N, tj ko je broj b višekrtnik broj Zkon distribucije množenj prem zbrjnju b + c b + c, b + c b + c Z četveroznmenksti prirodni broj vrijedi bcd + b + c + d, gdje je { } b c d { } Vježb 8,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,,,,, 5, 6, 7, 8, 9 bb b b + b + b + + b + b + + b + b + + b 9 + b 9 + b Dokži d je četveroznmenksti broj oblik bb djeljiv s Rezultt: Dokz nlogn, ( + b) Zdtk 85 (Robert, gimnzij) Dokži d je šesteroznmenksti broj oblik bcbc djeljiv s 7 Rješenje 85, Z zpis broj koristimo znmenke,,,,, 5, 6, 7, 8 i 9 Brojevn vrijednost što ju nosi nek znmenk određen je ne smo vrijednošću te znmenke već i pozicijom te znmenke u zpisu broj Tkv zpis broj zovemo pozicijskim zpisom Općenito: { } Ako je N n, pričemu je,,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, n n i i n dekdski zpis prirodnog broj N, ond je njegov vrijednost N n n n n + n + n + + + + Broj zove se bz dekdskog brojevnog sustv Broj b je višekrtnik prirodnog broj ko postoji tkv prirodn broj k d vrijedi b k Z prirodni broj b kžemo d je djeljiv s prirodnim brojem ko je b k, k N, tj ko je broj b višekrtnik broj Zkon distribucije množenj prem zbrjnju Z šesteroznmenksti prirodni broj vrijedi b + c b + c, b + c b + c bcdef + b + c + d + e + f, gdje je { } b c d e f { },,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,,,,,,, 5, 6, 7, 8, 9 5 5 bcbc b c b c + b + c + + b + c 5 + b + c + + b + c + b + c + + b + c
Vježb 85 [ ] ( b c) + b + c + b + c 7 7 + + Dokži d je šesteroznmenksti broj oblik bbcc djeljiv s Rezultt: Dokz nlogn, ( + b + c) Zdtk 86 (Jelic, gimnzij) Koji od brojev ne može biti rješenje lgebrske jedndžbe x + x + b x s cjelobrojnim koeficijentim? A B C D Rješenje 86 Nultočk polinom n n n f ( x) n x + n x + n x + + x + x + je svki kompleksni broj x z koji je f x Ako je x reln broj, ond se x zove reln nultočk, ko je x kompleksn broj ond se x zove kompleksn nultočk Z broj x kžemo d je nultočk (korijen) funkcije f ko vrijedi f x Broj b je višekrtnik prirodnog broj ko postoji tkv prirodn broj k d vrijedi b k Z prirodni broj b kžemo d je djeljiv s prirodnim brojem ko je b k, k N, tj ko je broj b višekrtnik broj Ako je cijeli broj x nultočk polinom n n n f ( x) n x + n x + n x + + x + x + s cjelobrojnim koeficijentim, ond je djeljiv s x Odredimo koeficijente zdnog polinom f ( x) x + x + b x f ( x) x + x + x + b x b Znim ns koeficijent Redom provjervmo je li djeljiv brojevim,,,, tj koji od brojev,,, ne može biti nultočk zdnog polinom [ : 5 Z ] x nije djeljiv s p broj ne može biti rješenje lgebrske jedndžbe x [ : Z ]
Odgovor je pod A je djeljiv s p broj može biti rješenje lgebrske jedndžbe : Z x je djeljiv s p broj može biti rješenje lgebrske jedndžbe x [ : Z ] je djeljiv s p broj može biti rješenje lgebrske jedndžbe Vježb 86 Koji od brojev ne može biti rješenje lgebrske jedndžbe x + x + b x 9 s cjelobrojnim koeficijentim? A B C D Rezultt: A Zdtk 87 (Zvonko, gimnzij) n n Odredite n iz jedndžbe 7 Rješenje 87 n c b d n, b d c Umnožk prvih n prirodnih brojev oznčvmo posebnim simbolom 5 n! n n n Broj n! čitmo ''en fktorijel'' Tko n primjer, vrijedi Vidimo d fktorijele zdovoljvju formulu Uočimo d se može pisti, n primjer,!,!,!,!, 5! 5, 6! 5 6 itd n! (n )! n 9! 8! 9, 9! 7! 8 9, 9! 6! 7 8 9, 9! 5! 6 7 8 9, 9!! 5 6 7 8 9 itd n! (n )! n, n! (n )! (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) (n ) n, n! (n 5)! (n ) (n ) (n ) (n ) n itd Binomni koeficijent n Nek je n prirodn broj, k prirodn broj ili i k n Binomni koeficijent oznčvmo simbolom k i
definirmo Svojstvo simetrije: inčic Preoblikujemo zdnu jedndžbu n n! k k! ( n k )! n n k n k n n n! n! n! n! 7! ( n )! 7! ( n 7 )!! ( n )! 7! ( n 7 )! / n!! ( n )! 7! ( n 7 )!!! 7! 7! ( n ) ( n ) 7! 8 9 ( n )! 7! ( n 7 )! 7! 8 9 ( n )! 7! ( n 7 )! / 7! ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) 8 9! 7! 8 9!! 9 8 7 8 9 ( n )! ( n )! ( n 9) ( n 8) ( n 7) /! 6 ( n ) n 9 8 8 9 ( n 9) ( n 8) ( n 7) ( n 9) ( n 8) ( n 7) 8 9 n 8 9 n 7 inčic Zbog svojstv simetričnosti binomnog koeficijent slijedi: Vježb 87 n n Odredite n iz jedndžbe 5 Rezultt: n 5 Zdtk 88 (Mrko, gimnzij) n 8 + 9 n 7 n 9 + 8 n 7 n 7 n + 7 n 7 n n k + n k k + n k n, k n k n n + 7 n n 7 7 Dokži d je broj 7 + + 7 cijeli broj Rješenje 88 + b + b + b,, b b n n n b + b b, b b
Ako zdni izrz oznčimo slovom n i kvdrirmo g, dobivmo: n 7 + + 7 n 7 + + 7 / n 7 + + 7 ( 7 ) 7 7 ( 7 ) n + + + + n 7 + + 7 + 7 + 7 ( ) n 7 + + 7 + 7 + 7 n n 7 + 7 + 7 + 7 + 7 n + 9 n + 9 6 n + 9 8 Budući d je n pozitivn broj, n + n + n + n 6 n 7 + + 7 > slijedi d je n 6 n 6 / n 6 n Dkle, zdni broj je prirodn Vježb 88 Rezultt: Dokži d je broj + 6 + 6 cijeli broj Dokz nlogn Zdtk 89 (Tomislv, srednj škol) U rzredu je dječk i 8 djevojk N ispitu znnj prosjek rzred bio je 9 bodov Ako su dečki postigli prosjek 87 bodov, koliki je prosjek djevojk? Rješenje 89,,,, n Td je ritmetičk sredin ili prosjek A n brojev,,,, n definirn izrzom + + + + n A n n Ako su,,,, n veličine čiji se prosjek trži i immo f veličine f veličine f n veličine n, td je prosječn vrijednost vgn (ponderirn) ritmetičk sredin: Nek je dn skup n pozitivnih brojev { } f f f fn n A n + + + + f + f + f + + f n U rzredu je ukupno učenik + 8 Dečki su postigli prosjek 87 bodov Nek je x prosjek bodov djevojk Budući d je n ispitu znnj 7
prosjek rzred bio 9 bodov, vrijedi: 8 x + 87 8 x + 8 x + 9 9 9 / 8 x + 7 8 x 7 8 x 656 8 x 656 /: 8 x 9 Vježb 89 U rzredu je dječk i 8 djevojk N ispitu znnj prosjek rzred bio je 9 bodov Ako su djevojke postigle prosjek 9 bod, koliki je prosjek dječk? Rezultt: 87 Zdtk 9 (Dvork, srednj škol) Izrčunjte ( ) 8 Rješenje 9 n n n n m n m c c n,, n, ( ), b b b d b d n m n + m, b b Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b inčic ( ) 8 8 8 8 6 6 Vježb 9 8 6 8 6 inčic ( ) 8 ( ) 6 6 { } { } ( ) Izrčunjte 8 Rezultt: 8
Zdtk 9 (Ddo, gimnzij) n N Nđi C() ko je C zdno rekurzijom C C ( n) C ( n) C ( n ) C ( n ) Rješenje 9 Skup svih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo:, +, + 6 + +, { n n } N,,,, 5,,, +, Skup svih neprnih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: {,, 5, 7, 9,,,, } N n n + Skup svih prnih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: {,, 6, 8,,,,, } N n n + Svki se prni prirodni broj može prikzti u obliku n, neprni broj u obliku n, gdje je n prirodn broj, tj n N Nizove možemo zdvti pomoću rekurzivnih formul u kojim se člnovi niz zdju pomoću već prije definirnih U rekurzivnom zdvnju niz mor biti poznt prvi čln, kko bismo pomoću njeg mogli izrčunti drugi čln itd Zvisno od rekurzivne formule, ponekd je potrebno zdti više od jednog početnog čln niz C ( n + ) C ( 6 n + ) + C ( ) C ( n) C ( n) + C ( 5) + n + 5 n C ( n) C ( n) + C C 6 + + + C 6 + C 8 + + 8 + ( 8) C ( n) C ( n) + C ( ) C ( ) C ( n) C ( n) C + + + + + C C ( n) C ( n) + C + + + 5 C + + 5 C + 6 + 6 7 Vježb 9 n N Nđi C() ko je C zdno rekurzijom C C ( n) C ( n) C ( n ) C ( n ) Rezultt: Zdtk 9 (Ivn, gimnzij) Pojednostvni broj 8 6 Rješenje 9 9, +, + 6 + +, b b, b b, b + b b, A + A B A A B,, A ± B ± Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b inčic Izrz pod korijenim dv put preoblikujemo u kvdrt rzlike 8 6 6 6 + +
inčic Primjenom formule + + ( ) A + A B A A B A B dv put, dobije se: A 8, A 78 8 6 8 6 8 768 B 768 8 + 78 768 8 78 768 8 + 6 8 6 8 + 8 6 A, A 6 + 6 6 + B Vježb 9 + 6 6 Pojednostvi broj 7 Rezultt: Zdtk 9 (Antonij, srednj škol) Rzlik kvdrt dv uzstopn neprn prirodn broj iznosi 8 Nđite veći od brojev Rješenje 9 n n n b b + b b b, + b + b + b, Zkon distribucije množenj prem zbrjnju ( b) b + b b + c b + c, b + c b + c Skup svih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: { n n } N,,,, 5,,, +, Skup svih neprnih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: {,, 5, 7, 9,,,, } N n n + Svki se prni prirodni broj može prikzti u obliku n, neprni broj u obliku n, gdje je n prirodn broj, tj n N inčic Nek su zdn dv uzstopn neprn prirodn broj: Prem uvjetu zdtk dobije se: k, k +, k N
+ 8 + + + 8 ( k ) ( k ) (( k ) ( k )) (( k ) ( k )) ( k k ) ( k k ) ( k k ) ( k k ) + + + + 8 + + + + 8 k 8 8 k 8 8 k 8 /: 8 k 5 Veći broj iznosi: k + 5+ + inčic Nek su zdn dv uzstopn neprn prirodn broj: Prem uvjetu zdtk dobije se: k, k +, k N ( k ) ( k ) k k ( k k ) + 8 + + + 8 k + k + k + k 8 k + k + k + k 8 8 k 8 8 k 8 /: 8 k 5 Veći broj iznosi: k + 5+ + Vježb 9 Rzlik kvdrt dv uzstopn neprn prirodn broj iznosi 8 Nđite mnji od brojev Rezultt: Zdtk 9 (Dino, srednj škol) n Dokžite d je: + + + + 5 5 + 7 n + n + + n + Rješenje 9 + b b b, b d b d Zkon distribucije množenj prem zbrjnju, c c b + c b + c, b + c b + c + + + + 5 5 + 7 n + n + 5 5 7 n n + + + + + 5 5 5 + 7 5 7 n + n + n n + 5 5 7 n n + + + + ( 5) ( 5) ( 7 ) ( n ) ( n + ) 5 5 7 n n + + + + 5 5 7 n + ( n ) 5 5 7 n n + + + + n n 5 5 7 n n + + + + n n
Vježb 9 Rezultt: 5 5 7 n n + + + + ( 5 5 7 n n ) + + + + ( 5 + 5 7 + + n n ) ( n ) + + n + n + n + + n + + ( n ) ( n + ) ( n + + ) ( n ) n + n n + + n + + n + + n + + Dokžite d je: Dokz nlogn n n + + 9 + + + + 5 5 + 7 99 + + Zdtk 95 (Igor, tehničk škol) Ako je x, y, ond je Rješenje 95 A x y B y x + C y x D x y Skup prirodnih brojev oznčvmo slovom N i pišemo {, } N,,,,, n, n n +, Prethodnik prirodnog broj n, n, je prirodni broj n Sljedbenik prirodnog broj n je prirodni broj n + b + b b inčic Uočimo d je broju : njegov prethodnik njegov sljedbenik Sd je: y y + y x y x x y x y Odgovor je pod A inčic Pokžimo d općenito vrijedi n n n + Odgovor je pod A n n n + n n n n + n n +
Vježb 95 Ako je x, y 5, ond je Rezultt: B A x y B x y C y x D x y Zdtk 96 (Vesn, ekonomsk škol) jednk je: Vrijednost izrz Rješenje 96 A B 56 C 5 D 6 + 5,, ( n ) m n m b b + b b n m n + m,, b b, ( b) ( + b) b n n n n n n b b, n, n, b b b b b b + + + + c c b d b d inčic Odgovor je pod D 8 + ( ) + 8 8 8 8 8 + 8 + + rcionlizcij 6 + 5 6 + 5 6 5 nzivnik 6 5 6 + 5 6 5 ( ) 6 + 5 6 + 5 6 + 5 6 + 5 6 + 5 676 5 676 675 676 5 inčic rcionlizcij + + nzivnik + ( ) + + ( + ) + + + 8 + + + 8 + + 8 + Odgovor je pod D 8 + + 8 + 8 + + 8 + 6 + 5
Vježb 96 Vrijednost izrz ( + ) jednk je: Rezultt: D A 8 B 5 C 5 + D 6 5 Zdtk 97 (A, TUPŠ) Koji je od nvedenih brojev veći od i mnji od? Rješenje 97 A B C D 5 7 8 b b < b <, > b > n n n n Proširiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b b n inčic Zdne rzlomke pretvorimo u decimlne brojeve (n primjer, n tri decimle) tko d brojnik podijelimo nzivnikom i ond ih usporedimo : 5, : : 5, : 7, : 8 75, : 5 7 8 - + 5 Odgovor je pod D inčic 5, 7, 8 75, Je li neki rzlomk veći od i mnji od provjerit ćemo tko d sv tri rzlomk svedemo n zjednički nzivnik i ond ih usporedimo 5 5 6 5 5 5,, 6 < < < < 6 6 6 6 5 6 v
7 7 8 8 7,, 8 < < < < 8 8 8 8 7 8 8 v 9 8 8 6 6 8 9 8,, < < < < 8 8 v 8 6 5 5 8,, 6 < < < < 6 6 6 6 6 v Odgovor je pod D Vježb 97 Koji je od nvedenih brojev veći od i mnji od? Rezultt: D Zdtk 98 (A, TUPŠ) 7 A B C D 5 7 8 5 Z koji su prirodn broj n u rzvoju binom ( x y) osmog čln jednke? n n! Npomen: k k! ( n k )! Rješenje 98 n + vrijednosti binomnih koeficijent petog i A 9 B C D n c b d n, b d c Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b Umnožk prvih n prirodnih brojev oznčvmo posebnim simbolom n! n n n 5
Broj n! čitmo ''en fktorijel'' Tko n primjer, vrijedi Vidimo d fktorijele zdovoljvju formulu Uočimo d se može pisti, n primjer,!,!,!,!, 5! 5, 6! 5 6 itd n! (n )! n 9! 8! 9, 9! 7! 8 9, 9! 6! 7 8 9, 9! 5! 6 7 8 9, 9!! 5 6 7 8 9 itd n! (n )! n, n! (n )! (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) (n ) n, n! (n 5)! (n ) (n ) (n ) (n ) n itd Binomni koeficijent n Nek je n prirodn broj, k prirodn broj ili i k n Binomni koeficijent oznčvmo simbolom k i definirmo n n! k k! ( n k )! Binomni poučk Z svki, b R, n N vrijedi n n n n n n n n n n n + b b + b + b + + b + b n n Prvi čln u rzvoju binom im oblik n n n n n n ( k ) k b, drugi b,, k tičln glsi b k n n n n n n 7 7 n x + y x + + x y + + x y + + y 7 peti čln osmičln Budući d su vrijednosti binomnih koeficijent petog i osmog čln jednke, slijedi: n n n! n! 7! ( n )! 7! ( n 7 )! n! n!! 7! 6 5! 5 6 7 7! ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) 6 ( n ) n! n!! 7! /! 7! 6 n 5 n! 5 6 7 7! n! ( n 6) ( n 5) ( n ) 5 6 7 6 5 5 6 7 ( n ) ( n ) ( n )
Odgovor je pod C Vježb 98 n 6 5 n 5 + 6 n n 5 6 n 6 + 5 n n n 7 n 7 + n Z koji su prirodn broj n u rzvoju binom ( x y ) osmog čln jednke? n n! Npomen: k k! ( n k )! Rezultt: C Zdtk 99 (A, TUPŠ) Koj je od nvedenih tvrdnj točn? Rješenje 99 n + vrijednosti binomnih koeficijent petog i A 9 B C D 7 7 A < < B < < 7 7 C < < D < < n n Rzlomk pretvrmo u decimlni broj tko d brojnik podijelimo nzivnikom Decimlni broj piše se u obliku decimlnog rzlomk tko d se u brojnik npiše zdni decimlni broj bez decimlne točke, u nzivnik se npiše dekdsk jedinic (,,,,, ) koj im toliko nul koliko decimlni broj im deciml (znmenk n decimlnom mjestu, tj iz decimlne točke ili decimlnog zrez) Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b Proširiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b b n inčic Rzlomk pretvorimo u decimlni broj i usporedimo decimlne brojeve 7 < < 7 < < < < 7 < < točn 7 : 7 < < tvrdnj < < < < 7 < < 7
Odgovor je pod A inčic 7 < < < < Decimlni broj pretvorimo u rzlomk, skrtimo g i rzlomke svedemo n zjednički nzivnik 7 7 7 7 < < < < < < < < 5 7 7 7 < < < < < < 7 < < 5 7 7 7 < < < < < < 7 < < 5 7 7 7 7 < < < < < < < < 5 Odgovor je pod A 6 5 < < 5 5 5 6 5 < < rzlomke svedemo n 5 5 5 točn zjednički nzivnik 5 5 6 tvrdnj < < 5 5 5 5 6 < < 5 5 5 Vježb 99 Koj je od nvedenih tvrdnj točn? Rezultt: A 6 5 7 < < < < 5 5 5 7 7 A > > B > > 7 7 C > > D > > Zdtk (Anit, gimnzij) Ako je svki od dv broj zbroj kvdrt dvju cijelih brojev, ond je i njihov umnožk zbroj dvju kvdrt Dokži! Rješenje Množenje zgrd ( + b) ( c + d ) c + d + b c + b d n n n n m n m b b,, + b + b + b, b + b b Nek su x i y dv broj koji su jednki zbroju kvdrt dvju cijelih brojev Td umnožk od x i y iznosi: x + b, y c + d 8
Vježb x y + b c + d x y c + b c + d + b d x y c + b c + d + b d + c b d c b d x y c + c b d + b d + b c c b d + d x y c + c b d + b d + b c c b d + d x y c + b d + b c d Ako je svki od dv broj rzlik kvdrt dvju cijelih brojev, ond je i njihov umnožk rzlik dvju kvdrt Dokži! Rezultt: Dokz nlogn 9