Microsoft Word - 26ms281

Слични документи
1. Realni brojevi

Microsoft Word - 26ms441

Microsoft Word - 16ms321

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - FINALNO.doc

1

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Microsoft Word - 11ms201

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 15ms261

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Microsoft Word - VALJAK.doc

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Algebarski izrazi (4. dio)

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Microsoft Word - 12ms121

s2.dvi

ALIP1_udzb_2019.indb

Microsoft Word - 24ms221

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

0255_Uvod.p65

Državna matura iz informatike

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

untitled

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

8. razred kriteriji pravi

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

PowerPoint Presentation

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA PROBNI ZAVRŠNI ISPIT školska

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Linearna algebra Mirko Primc

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

Programiranje 2 0. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog2 2019, 0. predavanje p. 1/4

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

os07zup-rjes.dvi

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Matematički leksikon

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Microsoft Word - MATRICE.doc

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

Vjezbe 1.dvi

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

untitled

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

Транскрипт:

Zdtk 8 (Ivn, tehničk škol) Rcionlizirj rzlomk Rješenje 8 6 +, b b, b b Proširiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n b b n, n, n Zkon distribucije množenj prem zbrjnju Vježb 8 Rezultt: inčic inčic b + c b + c, b + c b + c ( 6 + ) 6 + 6 + 6 + 6 + 9 9 Rcionlizirj rzlomk 6 + 6 + 6 + 6 + 5 6 + 5 5 6 + 6 + 6 + 5 Zdtk 8 (Iren, gimnzij) Izrčunj: 56787 56788 56789 56786 Rješenje 8 Množenje zgrd Zkon distribucije množenj prem zbrjnju inčic Oznčimo x 56786 Td je: inčic n m n m, + ( + b) ( c + d ) c + d + b c + b d b + c b + c, b + c b + c 56 787 56788 56789 56 786 x + x + x + x Oznčimo x 56787 Td je: x + x + x + x x x + x + x + x x

56 787 56 788 56 789 56 786 x x + x + x x + x x x + x x + x x + x x + x + x x + x x + inčic Oznčimo x 56788 Td je: ( x ) x ( x ) ( x ) 56 787 56 788 56 789 56 786 + x x x x + x x x x + x x + x x x + x x + inčic Oznčimo x 56789 Td je: ( x ) ( x ) x ( x ) 56 787 56 788 56 789 56 786 x x x + x + x x x x + x + x Vježb 8 Izrčunj: 56 57 58 55 Rezultt: Zdtk 8 (Iris, gimnzij) Broj 8 7 5 7 npišite u stndrdnom obliku Rješenje 8 n n n m n m n m n + m b b,, n Decimlni broj množimo dekdskom jedinicom (,,,, ) tko d mu decimlnu točku pomknemo udesno z onoliko mjest koliko dekdsk jedinic im nul Svki reln broj možemo npisti u stndrdnom obliku, tj ko umnožk broj iz intervl, i potencije broj N primjer, 5 5, 7 7 Preoblikujemo zdni broj 7 7 7 7 7 7 7 7 8 5 8 5 8 8 6 8 8 Vježb 8 Broj 5 npišite u stndrdnom obliku Rezultt: 5 8 Zdtk 8 (Robert, gimnzij) Dokži d je četveroznmenksti broj oblik bb djeljiv s Rješenje 8, Z zpis broj koristimo znmenke,,,,, 5, 6, 7, 8 i 9 Brojevn vrijednost što ju nosi nek znmenk određen je ne smo vrijednošću te znmenke već i pozicijom te znmenke u zpisu broj Tkv zpis broj zovemo pozicijskim zpisom Općenito: { } Ako je N n, pričemu je,,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, n n i i n dekdski zpis prirodnog broj N, ond je njegov vrijednost

N n n n n + n + n + + + + Broj zove se bz dekdskog brojevnog sustv Broj b je višekrtnik prirodnog broj ko postoji tkv prirodn broj k d vrijedi b k Z prirodni broj b kžemo d je djeljiv s prirodnim brojem ko je b k, k N, tj ko je broj b višekrtnik broj Zkon distribucije množenj prem zbrjnju b + c b + c, b + c b + c Z četveroznmenksti prirodni broj vrijedi bcd + b + c + d, gdje je { } b c d { } Vježb 8,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,,,,, 5, 6, 7, 8, 9 bb b b + b + b + + b + b + + b + b + + b 9 + b 9 + b Dokži d je četveroznmenksti broj oblik bb djeljiv s Rezultt: Dokz nlogn, ( + b) Zdtk 85 (Robert, gimnzij) Dokži d je šesteroznmenksti broj oblik bcbc djeljiv s 7 Rješenje 85, Z zpis broj koristimo znmenke,,,,, 5, 6, 7, 8 i 9 Brojevn vrijednost što ju nosi nek znmenk određen je ne smo vrijednošću te znmenke već i pozicijom te znmenke u zpisu broj Tkv zpis broj zovemo pozicijskim zpisom Općenito: { } Ako je N n, pričemu je,,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, n n i i n dekdski zpis prirodnog broj N, ond je njegov vrijednost N n n n n + n + n + + + + Broj zove se bz dekdskog brojevnog sustv Broj b je višekrtnik prirodnog broj ko postoji tkv prirodn broj k d vrijedi b k Z prirodni broj b kžemo d je djeljiv s prirodnim brojem ko je b k, k N, tj ko je broj b višekrtnik broj Zkon distribucije množenj prem zbrjnju Z šesteroznmenksti prirodni broj vrijedi b + c b + c, b + c b + c bcdef + b + c + d + e + f, gdje je { } b c d e f { },,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,,,,,,, 5, 6, 7, 8, 9 5 5 bcbc b c b c + b + c + + b + c 5 + b + c + + b + c + b + c + + b + c

Vježb 85 [ ] ( b c) + b + c + b + c 7 7 + + Dokži d je šesteroznmenksti broj oblik bbcc djeljiv s Rezultt: Dokz nlogn, ( + b + c) Zdtk 86 (Jelic, gimnzij) Koji od brojev ne može biti rješenje lgebrske jedndžbe x + x + b x s cjelobrojnim koeficijentim? A B C D Rješenje 86 Nultočk polinom n n n f ( x) n x + n x + n x + + x + x + je svki kompleksni broj x z koji je f x Ako je x reln broj, ond se x zove reln nultočk, ko je x kompleksn broj ond se x zove kompleksn nultočk Z broj x kžemo d je nultočk (korijen) funkcije f ko vrijedi f x Broj b je višekrtnik prirodnog broj ko postoji tkv prirodn broj k d vrijedi b k Z prirodni broj b kžemo d je djeljiv s prirodnim brojem ko je b k, k N, tj ko je broj b višekrtnik broj Ako je cijeli broj x nultočk polinom n n n f ( x) n x + n x + n x + + x + x + s cjelobrojnim koeficijentim, ond je djeljiv s x Odredimo koeficijente zdnog polinom f ( x) x + x + b x f ( x) x + x + x + b x b Znim ns koeficijent Redom provjervmo je li djeljiv brojevim,,,, tj koji od brojev,,, ne može biti nultočk zdnog polinom [ : 5 Z ] x nije djeljiv s p broj ne može biti rješenje lgebrske jedndžbe x [ : Z ]

Odgovor je pod A je djeljiv s p broj može biti rješenje lgebrske jedndžbe : Z x je djeljiv s p broj može biti rješenje lgebrske jedndžbe x [ : Z ] je djeljiv s p broj može biti rješenje lgebrske jedndžbe Vježb 86 Koji od brojev ne može biti rješenje lgebrske jedndžbe x + x + b x 9 s cjelobrojnim koeficijentim? A B C D Rezultt: A Zdtk 87 (Zvonko, gimnzij) n n Odredite n iz jedndžbe 7 Rješenje 87 n c b d n, b d c Umnožk prvih n prirodnih brojev oznčvmo posebnim simbolom 5 n! n n n Broj n! čitmo ''en fktorijel'' Tko n primjer, vrijedi Vidimo d fktorijele zdovoljvju formulu Uočimo d se može pisti, n primjer,!,!,!,!, 5! 5, 6! 5 6 itd n! (n )! n 9! 8! 9, 9! 7! 8 9, 9! 6! 7 8 9, 9! 5! 6 7 8 9, 9!! 5 6 7 8 9 itd n! (n )! n, n! (n )! (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) (n ) n, n! (n 5)! (n ) (n ) (n ) (n ) n itd Binomni koeficijent n Nek je n prirodn broj, k prirodn broj ili i k n Binomni koeficijent oznčvmo simbolom k i

definirmo Svojstvo simetrije: inčic Preoblikujemo zdnu jedndžbu n n! k k! ( n k )! n n k n k n n n! n! n! n! 7! ( n )! 7! ( n 7 )!! ( n )! 7! ( n 7 )! / n!! ( n )! 7! ( n 7 )!!! 7! 7! ( n ) ( n ) 7! 8 9 ( n )! 7! ( n 7 )! 7! 8 9 ( n )! 7! ( n 7 )! / 7! ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) 8 9! 7! 8 9!! 9 8 7 8 9 ( n )! ( n )! ( n 9) ( n 8) ( n 7) /! 6 ( n ) n 9 8 8 9 ( n 9) ( n 8) ( n 7) ( n 9) ( n 8) ( n 7) 8 9 n 8 9 n 7 inčic Zbog svojstv simetričnosti binomnog koeficijent slijedi: Vježb 87 n n Odredite n iz jedndžbe 5 Rezultt: n 5 Zdtk 88 (Mrko, gimnzij) n 8 + 9 n 7 n 9 + 8 n 7 n 7 n + 7 n 7 n n k + n k k + n k n, k n k n n + 7 n n 7 7 Dokži d je broj 7 + + 7 cijeli broj Rješenje 88 + b + b + b,, b b n n n b + b b, b b

Ako zdni izrz oznčimo slovom n i kvdrirmo g, dobivmo: n 7 + + 7 n 7 + + 7 / n 7 + + 7 ( 7 ) 7 7 ( 7 ) n + + + + n 7 + + 7 + 7 + 7 ( ) n 7 + + 7 + 7 + 7 n n 7 + 7 + 7 + 7 + 7 n + 9 n + 9 6 n + 9 8 Budući d je n pozitivn broj, n + n + n + n 6 n 7 + + 7 > slijedi d je n 6 n 6 / n 6 n Dkle, zdni broj je prirodn Vježb 88 Rezultt: Dokži d je broj + 6 + 6 cijeli broj Dokz nlogn Zdtk 89 (Tomislv, srednj škol) U rzredu je dječk i 8 djevojk N ispitu znnj prosjek rzred bio je 9 bodov Ako su dečki postigli prosjek 87 bodov, koliki je prosjek djevojk? Rješenje 89,,,, n Td je ritmetičk sredin ili prosjek A n brojev,,,, n definirn izrzom + + + + n A n n Ako su,,,, n veličine čiji se prosjek trži i immo f veličine f veličine f n veličine n, td je prosječn vrijednost vgn (ponderirn) ritmetičk sredin: Nek je dn skup n pozitivnih brojev { } f f f fn n A n + + + + f + f + f + + f n U rzredu je ukupno učenik + 8 Dečki su postigli prosjek 87 bodov Nek je x prosjek bodov djevojk Budući d je n ispitu znnj 7

prosjek rzred bio 9 bodov, vrijedi: 8 x + 87 8 x + 8 x + 9 9 9 / 8 x + 7 8 x 7 8 x 656 8 x 656 /: 8 x 9 Vježb 89 U rzredu je dječk i 8 djevojk N ispitu znnj prosjek rzred bio je 9 bodov Ako su djevojke postigle prosjek 9 bod, koliki je prosjek dječk? Rezultt: 87 Zdtk 9 (Dvork, srednj škol) Izrčunjte ( ) 8 Rješenje 9 n n n n m n m c c n,, n, ( ), b b b d b d n m n + m, b b Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b inčic ( ) 8 8 8 8 6 6 Vježb 9 8 6 8 6 inčic ( ) 8 ( ) 6 6 { } { } ( ) Izrčunjte 8 Rezultt: 8

Zdtk 9 (Ddo, gimnzij) n N Nđi C() ko je C zdno rekurzijom C C ( n) C ( n) C ( n ) C ( n ) Rješenje 9 Skup svih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo:, +, + 6 + +, { n n } N,,,, 5,,, +, Skup svih neprnih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: {,, 5, 7, 9,,,, } N n n + Skup svih prnih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: {,, 6, 8,,,,, } N n n + Svki se prni prirodni broj može prikzti u obliku n, neprni broj u obliku n, gdje je n prirodn broj, tj n N Nizove možemo zdvti pomoću rekurzivnih formul u kojim se člnovi niz zdju pomoću već prije definirnih U rekurzivnom zdvnju niz mor biti poznt prvi čln, kko bismo pomoću njeg mogli izrčunti drugi čln itd Zvisno od rekurzivne formule, ponekd je potrebno zdti više od jednog početnog čln niz C ( n + ) C ( 6 n + ) + C ( ) C ( n) C ( n) + C ( 5) + n + 5 n C ( n) C ( n) + C C 6 + + + C 6 + C 8 + + 8 + ( 8) C ( n) C ( n) + C ( ) C ( ) C ( n) C ( n) C + + + + + C C ( n) C ( n) + C + + + 5 C + + 5 C + 6 + 6 7 Vježb 9 n N Nđi C() ko je C zdno rekurzijom C C ( n) C ( n) C ( n ) C ( n ) Rezultt: Zdtk 9 (Ivn, gimnzij) Pojednostvni broj 8 6 Rješenje 9 9, +, + 6 + +, b b, b b, b + b b, A + A B A A B,, A ± B ± Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b inčic Izrz pod korijenim dv put preoblikujemo u kvdrt rzlike 8 6 6 6 + +

inčic Primjenom formule + + ( ) A + A B A A B A B dv put, dobije se: A 8, A 78 8 6 8 6 8 768 B 768 8 + 78 768 8 78 768 8 + 6 8 6 8 + 8 6 A, A 6 + 6 6 + B Vježb 9 + 6 6 Pojednostvi broj 7 Rezultt: Zdtk 9 (Antonij, srednj škol) Rzlik kvdrt dv uzstopn neprn prirodn broj iznosi 8 Nđite veći od brojev Rješenje 9 n n n b b + b b b, + b + b + b, Zkon distribucije množenj prem zbrjnju ( b) b + b b + c b + c, b + c b + c Skup svih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: { n n } N,,,, 5,,, +, Skup svih neprnih prirodnih brojev oznčvmo s N i pišemo: {,, 5, 7, 9,,,, } N n n + Svki se prni prirodni broj može prikzti u obliku n, neprni broj u obliku n, gdje je n prirodn broj, tj n N inčic Nek su zdn dv uzstopn neprn prirodn broj: Prem uvjetu zdtk dobije se: k, k +, k N

+ 8 + + + 8 ( k ) ( k ) (( k ) ( k )) (( k ) ( k )) ( k k ) ( k k ) ( k k ) ( k k ) + + + + 8 + + + + 8 k 8 8 k 8 8 k 8 /: 8 k 5 Veći broj iznosi: k + 5+ + inčic Nek su zdn dv uzstopn neprn prirodn broj: Prem uvjetu zdtk dobije se: k, k +, k N ( k ) ( k ) k k ( k k ) + 8 + + + 8 k + k + k + k 8 k + k + k + k 8 8 k 8 8 k 8 /: 8 k 5 Veći broj iznosi: k + 5+ + Vježb 9 Rzlik kvdrt dv uzstopn neprn prirodn broj iznosi 8 Nđite mnji od brojev Rezultt: Zdtk 9 (Dino, srednj škol) n Dokžite d je: + + + + 5 5 + 7 n + n + + n + Rješenje 9 + b b b, b d b d Zkon distribucije množenj prem zbrjnju, c c b + c b + c, b + c b + c + + + + 5 5 + 7 n + n + 5 5 7 n n + + + + + 5 5 5 + 7 5 7 n + n + n n + 5 5 7 n n + + + + ( 5) ( 5) ( 7 ) ( n ) ( n + ) 5 5 7 n n + + + + 5 5 7 n + ( n ) 5 5 7 n n + + + + n n 5 5 7 n n + + + + n n

Vježb 9 Rezultt: 5 5 7 n n + + + + ( 5 5 7 n n ) + + + + ( 5 + 5 7 + + n n ) ( n ) + + n + n + n + + n + + ( n ) ( n + ) ( n + + ) ( n ) n + n n + + n + + n + + n + + Dokžite d je: Dokz nlogn n n + + 9 + + + + 5 5 + 7 99 + + Zdtk 95 (Igor, tehničk škol) Ako je x, y, ond je Rješenje 95 A x y B y x + C y x D x y Skup prirodnih brojev oznčvmo slovom N i pišemo {, } N,,,,, n, n n +, Prethodnik prirodnog broj n, n, je prirodni broj n Sljedbenik prirodnog broj n je prirodni broj n + b + b b inčic Uočimo d je broju : njegov prethodnik njegov sljedbenik Sd je: y y + y x y x x y x y Odgovor je pod A inčic Pokžimo d općenito vrijedi n n n + Odgovor je pod A n n n + n n n n + n n +

Vježb 95 Ako je x, y 5, ond je Rezultt: B A x y B x y C y x D x y Zdtk 96 (Vesn, ekonomsk škol) jednk je: Vrijednost izrz Rješenje 96 A B 56 C 5 D 6 + 5,, ( n ) m n m b b + b b n m n + m,, b b, ( b) ( + b) b n n n n n n b b, n, n, b b b b b b + + + + c c b d b d inčic Odgovor je pod D 8 + ( ) + 8 8 8 8 8 + 8 + + rcionlizcij 6 + 5 6 + 5 6 5 nzivnik 6 5 6 + 5 6 5 ( ) 6 + 5 6 + 5 6 + 5 6 + 5 6 + 5 676 5 676 675 676 5 inčic rcionlizcij + + nzivnik + ( ) + + ( + ) + + + 8 + + + 8 + + 8 + Odgovor je pod D 8 + + 8 + 8 + + 8 + 6 + 5

Vježb 96 Vrijednost izrz ( + ) jednk je: Rezultt: D A 8 B 5 C 5 + D 6 5 Zdtk 97 (A, TUPŠ) Koji je od nvedenih brojev veći od i mnji od? Rješenje 97 A B C D 5 7 8 b b < b <, > b > n n n n Proširiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b b n inčic Zdne rzlomke pretvorimo u decimlne brojeve (n primjer, n tri decimle) tko d brojnik podijelimo nzivnikom i ond ih usporedimo : 5, : : 5, : 7, : 8 75, : 5 7 8 - + 5 Odgovor je pod D inčic 5, 7, 8 75, Je li neki rzlomk veći od i mnji od provjerit ćemo tko d sv tri rzlomk svedemo n zjednički nzivnik i ond ih usporedimo 5 5 6 5 5 5,, 6 < < < < 6 6 6 6 5 6 v

7 7 8 8 7,, 8 < < < < 8 8 8 8 7 8 8 v 9 8 8 6 6 8 9 8,, < < < < 8 8 v 8 6 5 5 8,, 6 < < < < 6 6 6 6 6 v Odgovor je pod D Vježb 97 Koji je od nvedenih brojev veći od i mnji od? Rezultt: D Zdtk 98 (A, TUPŠ) 7 A B C D 5 7 8 5 Z koji su prirodn broj n u rzvoju binom ( x y) osmog čln jednke? n n! Npomen: k k! ( n k )! Rješenje 98 n + vrijednosti binomnih koeficijent petog i A 9 B C D n c b d n, b d c Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b Umnožk prvih n prirodnih brojev oznčvmo posebnim simbolom n! n n n 5

Broj n! čitmo ''en fktorijel'' Tko n primjer, vrijedi Vidimo d fktorijele zdovoljvju formulu Uočimo d se može pisti, n primjer,!,!,!,!, 5! 5, 6! 5 6 itd n! (n )! n 9! 8! 9, 9! 7! 8 9, 9! 6! 7 8 9, 9! 5! 6 7 8 9, 9!! 5 6 7 8 9 itd n! (n )! n, n! (n )! (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) n, n! (n )! (n ) (n ) (n ) n, n! (n 5)! (n ) (n ) (n ) (n ) n itd Binomni koeficijent n Nek je n prirodn broj, k prirodn broj ili i k n Binomni koeficijent oznčvmo simbolom k i definirmo n n! k k! ( n k )! Binomni poučk Z svki, b R, n N vrijedi n n n n n n n n n n n + b b + b + b + + b + b n n Prvi čln u rzvoju binom im oblik n n n n n n ( k ) k b, drugi b,, k tičln glsi b k n n n n n n 7 7 n x + y x + + x y + + x y + + y 7 peti čln osmičln Budući d su vrijednosti binomnih koeficijent petog i osmog čln jednke, slijedi: n n n! n! 7! ( n )! 7! ( n 7 )! n! n!! 7! 6 5! 5 6 7 7! ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) 6 ( n ) n! n!! 7! /! 7! 6 n 5 n! 5 6 7 7! n! ( n 6) ( n 5) ( n ) 5 6 7 6 5 5 6 7 ( n ) ( n ) ( n )

Odgovor je pod C Vježb 98 n 6 5 n 5 + 6 n n 5 6 n 6 + 5 n n n 7 n 7 + n Z koji su prirodn broj n u rzvoju binom ( x y ) osmog čln jednke? n n! Npomen: k k! ( n k )! Rezultt: C Zdtk 99 (A, TUPŠ) Koj je od nvedenih tvrdnj točn? Rješenje 99 n + vrijednosti binomnih koeficijent petog i A 9 B C D 7 7 A < < B < < 7 7 C < < D < < n n Rzlomk pretvrmo u decimlni broj tko d brojnik podijelimo nzivnikom Decimlni broj piše se u obliku decimlnog rzlomk tko d se u brojnik npiše zdni decimlni broj bez decimlne točke, u nzivnik se npiše dekdsk jedinic (,,,,, ) koj im toliko nul koliko decimlni broj im deciml (znmenk n decimlnom mjestu, tj iz decimlne točke ili decimlnog zrez) Skrtiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b n b Proširiti rzlomk znči brojnik i nzivnik tog rzlomk pomnožiti istim brojem rzličitim od nule i jedinice n, n, n b b n inčic Rzlomk pretvorimo u decimlni broj i usporedimo decimlne brojeve 7 < < 7 < < < < 7 < < točn 7 : 7 < < tvrdnj < < < < 7 < < 7

Odgovor je pod A inčic 7 < < < < Decimlni broj pretvorimo u rzlomk, skrtimo g i rzlomke svedemo n zjednički nzivnik 7 7 7 7 < < < < < < < < 5 7 7 7 < < < < < < 7 < < 5 7 7 7 < < < < < < 7 < < 5 7 7 7 7 < < < < < < < < 5 Odgovor je pod A 6 5 < < 5 5 5 6 5 < < rzlomke svedemo n 5 5 5 točn zjednički nzivnik 5 5 6 tvrdnj < < 5 5 5 5 6 < < 5 5 5 Vježb 99 Koj je od nvedenih tvrdnj točn? Rezultt: A 6 5 7 < < < < 5 5 5 7 7 A > > B > > 7 7 C > > D > > Zdtk (Anit, gimnzij) Ako je svki od dv broj zbroj kvdrt dvju cijelih brojev, ond je i njihov umnožk zbroj dvju kvdrt Dokži! Rješenje Množenje zgrd ( + b) ( c + d ) c + d + b c + b d n n n n m n m b b,, + b + b + b, b + b b Nek su x i y dv broj koji su jednki zbroju kvdrt dvju cijelih brojev Td umnožk od x i y iznosi: x + b, y c + d 8

Vježb x y + b c + d x y c + b c + d + b d x y c + b c + d + b d + c b d c b d x y c + c b d + b d + b c c b d + d x y c + c b d + b d + b c c b d + d x y c + b d + b c d Ako je svki od dv broj rzlik kvdrt dvju cijelih brojev, ond je i njihov umnožk rzlik dvju kvdrt Dokži! Rezultt: Dokz nlogn 9