Ako pronñeš cestu ez preprek, zpitj se d li t cest igdje vodi. Projektn nstv Osnovn škol Ivn Gundulić DUBROVNIK MEMENTO (mtemtik)
Plnirli smo: Nprviti pregled elementrnih sdržj iz mtemtike s primjerim zdtk. Cilj: Ponvljnje grdiv. Upoznti ostle učenike s projektom. Koristiti MEMENTO kod uvodnog i zvršnog ponvljnj. Nprvili smo: Referte po cjelinm/temm. Odrli smo prve primjere zdtk. Mentori su korigirli pogreške u refertim. Referti su informtički orñeni. Prikupljene mterijle i referte odložili smo u projektnu mpu. Proved projekt: Relizirli učenici od petog do osmog rzred Vrijeme provede projekt 010./011. i 011./01. školsk godin
Suodnos: Mlden Andrijnić - informtik Mgd Pvlović,Gorn Pehr Ljoljić,Zdenk Šiš- mtemtik Litertur: Rzni udženici Bilježnice redovne nstve Internet
4
NA MEMETU SU RADILI : TIMOVI UČENIKA OD 5. 8. RAZREDA I MLADI INFORMATIČARI VRIJEME REALIZACIJE: 010./011. i 011./01. ŠKOLSKA GODINA MENTORI : MLADEN ANDRIJANIĆ MAGDA PAVLOVIĆ GORAN PEHAR - LJOLJIĆ ZDENKA ŠIŠA Drgi učenici, vši vršnjci s svojim učiteljim su se potrudili d elementrne sdržje iz mtemtike ojve u ovom MEMENTU. Koristit će vm pri ponvljnju grdiv n krju, odnosno n početku školskih godin. Budući srednjoškolci želimo vm sretn nstvk školovnj i nek vm ovj MEMENTO ude od koristi n inicijlnim ispitim. Vši učitelji 5
SADRŽAJ Strnic Alger Relni rojevi (Prirodni, cijeli, rcionlni i ircionlni rojevi)... 9-41 Kvdrirnje... 4-44 Korjenovnje... 45-47 Linern jedndž s jednom nepoznnicom... 48-51 Sustv dviju linernih jedndži s dvjem nepoznnicm... 5-56 Omjer, rzmjer...57 Proporcionlne i ornuto proporcionlne veličine... 58-64 Osnovne elementi sttistike... 65-67 Vjerojtnost... 68-69 Geometrij Dužin, prvc i poluprvc... 7-76 Kut... 77-87 Trokut... 88-10 Sličnost trokut... 104-11 Četverokut... 11-18 Mnogokuti... 19-14 Krug i kružnic... 15-148 Koordintni sustv... 149-15 Linern funkcij... 15-159 Grf funkcije f(x)=x...159 Pitgorin poučk... 160-17 Geometrijsk tijel (Prizme, pirmide, ol tijel)... 174-06 6
Brojevi Im ih mnogo Prerojt ih j nism mogo Imju redni i glvni, Prni i neprni, Rzlomci i decimlni. Oni su vžni, U školi su stlni Uvijek u knjigm nñu mjesto I ne ude im tijesno. Mtemtik je školski Predmet tj Gdje rojevi imju Svoj rj. Adrin Kilird, 5.A (011./01.) 7
8
PRIRODNI BROJEVI Brojevi koje susrećemo od njrnijeg djetinjstv i pomoću kojih rješvmo rzne zdtke i proleme iz svkodnevnog život, PRIRODNI SU BROJEVI. Skup svih prirodnih rojev oznčvmo s N = {1,,,4,5,6 } Skup prirodnih rojev s nulom oznčvmo s No = {0,1,,,4,5,6 } Zroj i umnožk dv prirodn roj je uvijek prirodn roj. Brojevni prvc O 0 E 1 O - ishodište E - jediničn točk OE - jediničn dužin O E 0 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 15 16 17 18 19 Ovim postupkom svki roj skup No pridružujemo točno jednoj točki prvc. Prvc kojem smo n tj nčin pridružili rojeve nzivmo BROJEVNI PRAVAC. Pr.1. Točkm prvc pridruži rojeve: ) 5, 8, 9 ) 7, 7, 79 c) 00, 500, 700 ) O 0 E 1 5 8 9 ) 69 70 7 7 79 c) O E 0 100 00 500 700 9
Usporeñivnje prirodnih rojev Usporediti dv prirodn roj znči odrediti koji je veći, koji je mnji. Broj 1 je njmnji prirodni roj, njveći prirodni roj ne postoji. D ismo zpisli rezultte usporeñivnj koristimo znkove usporeñivnj: - je mnje ili jednko < - je mnji od = - je jednko - je veći ili jednko > - je veći od Broj 0 je mnji od svkog prirodnog roj, tj. z svki prirodni roj n vrijedi 0 < n. Ako su dv roj rzličit, to oznčvmo znkom. Npr. 5 8 jest točn tvrdnj. Čitmo je 5 je rzličito od 8. Ako je jedn roj mnji od drugog ili jednk drugom, to oznčvmo znkom. Npr. 5 8 jest točn tvrdnj. Čitmo je 5 je mnje ili jednko 8. Ako je jedn roj veći od drugog ili jednk drugom, to oznčvmo znkom. N primjer: 7 4 i 6 6 jesu točne tvrdnje. Čitmo ih: 7 je veće ili jednko 4 i 6 je veće ili jednko 6. Pr.1: Usporedi Pr.. Brojevi 5, 19, 6, 900, 45, 9, 978, 104 poredj 6 < 8 po veličini. 10 > 5 = 5 6 < 9 < 19 < 45 < 78 < 104 < 5 < 900 < 978 Zrjnje prirodnih rojev + = c zroj prvi drugi prirojnik prirojnik prirojnici Zrjnje prirodnih rojev je skrćeno PREBROJAVANJE. 10
Zrjti možemo : 1. Usmeno 500 + 400 = 900. Pismeno ) u stupcu ) u retku 77 + 148 = 01 85 + 91 = 477 77 + 148 01 Osnovn svojstv zrjnj 1. svojstvo KOMUTATIVNOSTI Zmijenimo li mjest prirojnik, zroj se neće promijeniti. + = + Primjer: 4 + 5 = 5 + 4 = 9. svojstvo ASOCIJATIVNOSTI Promijenimo li redoslijed zrjnj više prirojnik, zroj se neće promijeniti. + + c = ( + ) + c = + ( + c) Primjer: + + 4 = ( + ) + 4 = + ( + 4) = 9 Primjer: Izrčunj 9 + 54 + 46 + 61 + 4 = = (9 + 61) + (54 + 46) + 4 = = 100 + 100 + 4 = = 4 11
Oduzimnje prirodnih rojev - = c RAZLIKA ILI DIFERENCIJA UMANJITELJ UMANJENIK + = c = c - Ako od zroj oduzmemo jedn prirojnik, doit ćemo drugi. = c - ODUZIMATI MOŽEMO: ) usmeno: 0-0=00 ) pismeno: 1. u stupcu 61-879 74. u retku..... 108 99= 68.. 1
Množenje prirodnih rojev Množenje je skrćeni zpis zrjnj jednkih prirojnik. Primjer: 5 7 = 7 + 7 + 7 + 7 +7 = c FAKTORI UMNOŽAK ILI PRODUKT Umnožk ilo kojeg prirodnog roj i roj 0 jest 0. n 0 = 0 Umnožk ilo kojeg prirodnog roj i roj 1 jest sm tj roj. Umnožk roj 0 s rojem 0 jest 0. n 1 = n 0 0 = 0 Primjer: ) 5 48 = 1 144 ) 555 1 = 555 5 48 101 c) 9 0 = 0 + 04 1144 Osnovn svojstv množenj: 1. svojstvo KOMUTATIVNOSTI Ako fktori zmijene mjesto, umnožk se neće promijeniti. =,, N Primjer: 7 = 7 = 1 1
. svojstvo ASOCIJATIVNOSTI Promijenimo li redoslijed množenj više fktor, umnožk se neće promijeniti. c = ( c) = ( ) c,,, c N Primjer: ( 5) = 10 = 0 ( ) 5 = 6 5 = 0 5 = 6 5 = 0. svojstvo DISTRIBUTIVNOSTI ) Svojstvo distriutivnosti množenj prem zrjnju ( + c) = + c,,,c N ) Svojstvo distriutivnosti množenj prem oduzimnju ( - c) = - c,,,c N Primjer: ) 7 450 + 9 450 = ) 6 40 + 94 40 = = (7 + 9) 450 = = (6 + 94) 40 = = 100 450 = = 100 40 = = 45000 = 4000 c) 5 4 5 4 = = (5 ) (5 4) 4 = = 10 100 4 = = 4000 Dijeljenje prirodnih rojev : = c KOLIČNIK (KVOCIJENT) DJELJENIK DJELITELJ = c c : = c : = Ako se umnožk dvju prirodnih rojev podijeli jednim od fktor, doije se drugi fktor. 14
Z svki prirodni roj vrijedi: 1. : 1 = 14 : 1 = 14. : = 1 5 : 5 = 1. 0 : = 0 0 : 41 = 0 4. S nulom ne možemo dijeliti! Dijeliti možemo: 1. usmeno. pismeno 40 : 5 = 8 0:5=44 79:=4 88:11=8 0 1 500:100=5 0 09 0 Redoslijed izvoñenj rčunskih rdnji Z zrjnje i oduzimnje kžemo d su rčunske rdnje istog stupnj. Isto tko su množenje i dijeljenje rčunske rdnje istog stupnj. U izrzu ez zgrd rčunske rdnje istog stupnj rješvmo redom,slijev udesno. Primjer: 40 + 56 8 + 41 = = 96 8 + 41 = = 58 + 41 = = 99 Primjer: 6 8 : 4 10 : 5 = = 48 : 4 10 : 5 = = 1 10 : 5 = = 10 : 5 = = 4 Ako je u zdtku zdno više rčunskih rdnji koje nisu istog stupnj, prvo ćemo izvršiti množenje i dijeljenje, ztim zrjnje i oduzimnje. Primjer: 5 10 + 9 : 1 = = 15-10 + 1 = = 5 + = = 7 Ukoliko su se u rojevnom izrzu pojvile zgrde: 1. Njprije izrčunmo rojevni izrz unutr zgrd,od unutrnjih zgrd prem vnjskim.. Izrčunvmo množenje i dijeljenje,kko slijede,redom,slijev udesno.. Izrčunvmo zrjnje i oduzimnje,kko slijede,redom,slijev udesno. 4. Prepisujemo sve što nismo izrčunli. 15
Primjer: ( 9 7 ) : 5 + 1 = = ( 7 7 ) : 5 + 1 = = 0 : 5 + 1 = = 4 + 1 = = 5 Višekrtnik i djelitelj Višekrtnik nekog prirodnog roj je roj koji je djeljiv tim rojem. Svki roj je sm sei višekrtnik. Svki roj im eskončno mnogo višekrtnik. Primjer: Nvedi sve višekrtnike roj 8. 8, 16, 4,, 40, 48, 56, 64, 7 Prirodni roj djeljiv je drugim prirodnim rojem smo ko podijeljen njime dje količnik koji je prirodni roj, s osttkom 0. Djelitelji nekog roj su oni rojevi s kojim je on djeljiv. Broj može iti djeljiv smo s rojevim koji nisu veći od njeg. Njmnji djelitelj svkog prirodnog roj je roj 1. Njveći djelitelj svkog prirodnog roj je sm tj roj. Svki roj im končno mnogo djelitelj. Primjer: Je li roj 7 djelitelj roj 96? 96 :7 = 1 16 0 Broj 7 je djelitelj roj 96. Primjer: Nvedi sve djelitelje roj 6. Djelitelji roj 6 su: 1,, i 6. Djeljivost s 10, 5,, i 9 Prvilo o djeljivosti s 10: Prirodni roj je djeljiv s 10 ko mu je znmenk jedinic 0. Prvilo o djeljivosti s 5: Prirodni roj je djeljiv s 5 ko mu je znmenk jedinic 0 ili 5. Prvilo o djeljivosti s : Prirodni roj je djeljiv s ko mu je znmenk jedinic 0,, 4, 6 ili 8. Prvilo o djeljivosti s : Prirodni roj je djeljiv s ko mu je zroj znmenk djeljiv s. Prvilo o djeljivosti s 9: Prirodni roj je djeljiv s 9 ko mu je zroj znmenk djeljiv s 9. 16
Primjer: Koji su od rojev: 1, 195, 1 008, 1 866, 4 050, 8 118, 11 010,, 10 101 011 djeljivi: ) s ) s c) s 5 d) s 9 e) s 10 ) 1 ) 195 c) 195 d) 1 008 e) 4 050 1 008 1 008 4 050 4 050 11 010 1 866 1 866 11 010 8 118 4 050 4 050 8 118 8 118 11 010 11 010 Djeljivost zroj i umnošk - DJELJIVOST ZBROJA - Ako je svki od prirojnik djeljiv nekim rojem, ond je i zroj djeljiv tim rojem. Primjer: Ne rčunjući zroj rojev 115 i 4 odgovori hoće li on iti djeljiv s 9! Zroj je djeljiv s 9 jer su o prirojnik djeljiv s 9. - DJELJIVOST RAZLIKE -Ako su umnjenik i umnjitelj djeljivi s nekim rojem,ond je i rzlik djeljiv s tim rojem. Primjer: Ne rčunjući rzliku rojev 115 i 4 odgovori hoće li on iti djeljiv s 9! Rzlik je djeljiv s 9 jer su umnjenik i umnjitelj djeljivi s 9. - DJELJIVOST UMNOŠKA - Ako je jedn od fktor djeljiv nekim rojem,ond je i umnožk djeljiv tim rojem. Primjer: Ne rčunjući umnožk provjeri je li 9 10 djeljiv s! Umnožk je djeljiv s jer mu je prvi fktor (9) djeljiv s. Prosti i složeni rojevi Prosti rojevi su rojevi koji imju dv djelitelj, roj 1 i smog see. Prosti rojevi su:,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,, 9, 1, 7, 41, 4, 47, 5, 59, 61, 67, 71, 7, 79, 8, 89, 97, 101, Složeni rojevi su rojevi koji imju više od dv djelitelj. Složeni rojevi su: 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 15, 16, 18, 0, 1,, 4, 5, 6, 7, 8, 0,,, 4, 5, 6, 8, 9, 40, 4, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 5, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 6, 6, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 7, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 8, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 9, 9, 94, 95, 96, 98, 99, 100, Broj 1 nije ni prost ni složen. 17
Rstvljnje rojev n proste fktore Rstviti roj n proste fktore znči tj roj npisti ko umnožk prostih fktor. 6 = 8 = 4 = 50 = 5 5 Svki složeni roj možemo rstviti n proste fktore. Svki prirodni roj im jedinstven rstv n proste fktore. 84 4 1 7 7 84 = 7 1 Zjednički djelitelji Broj koji je djelitelj dvju ili više zdnih rojev zovemo zjedničkim djeliteljem tih rojev. Njveći zjednički djelitelj rojev i, D (,), je njveći roj kojim su djeljivi (svi) zdni rojevi i. Primjer: Odredi zjedničke djelitelje rojev 8 i 1. Koji je zjednički djelitelj njveći? BROJ SVI NJEGOVI DJELITELJI 8 1,, 4, 8 1 1,,, 4, 6, 1 ZAJEDNIČKI DJELITELJI BROJEVA 8 i 1 SU: 1,, 4. NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ BROJEVA 8 i 1 JE 4. D (8, 1)=4 Primjer: Odredi njveći zjednički djelitelj rojev 75, 100. 75, 100 5 D (75, 100) = 5 5 = 5 15, 0 5, 4 18
Brojevi koji nemju zjedničkog prostog djelitelj zovu se reltivno prosti rojevi. Njihov je njveći zjednički djelitelj roj 1. Dkle ko je D (,) = 1, ond su i reltivno prosti rojevi. Njmnji zjednički višekrtnik Zjednički višekrtnik dvju rojev je roj koji je djeljiv s o roj. Njmnji zjednički višekrtnik dvju rojev je njmnji od rojev koji su djeljivi s o roj. Njmnji zjednički višekrtnik ilježimo V (,). Primjer: Odredi zjedničke višekrtnike rojev 6 i 9. Broj Svi njegovi višekrtnici 6 6, 1, 18, 4, 0, 6, 4, 48, 54, 60, 9 9, 18, 7, 6, 45, 54, 6, 7, 81, 90, Zjednički višekrtnici od 6 i 9 su: 18, 6, 54, Njmnji zjednički višekrtnik od 6 i 9 je 18. To krće zpisujemo V(6,9) = 18 Primjer: Odredi V(18, 0) 18, 0 9, 15, 5 1, 5 5 1, 1 V(18, 0) = 5 = 90 Ako su zdni rojevi prosti, ili reltivno prosti, ond je njmnji zjednički višekrtnik jednk njihovu umnošku. Ako je D(, ) =1, ond je V(, ) =. Primjer: Odredi V(5, 8) Brojevi 5 i 8 nemju zjedničkog djelitelj (rzličitog od 1) p je njihov njmnji zjednički višekrtnik njihov umnožk. V(5, 8)=5 8=40 19
CIJELI BROJEVI Rzlik dv prirodn roj nije uvijek prirodn roj. - ne pripd skupu N ko je <. Rčunsk opercij oduzimnj i rzn mjerenj u prirodi (temperture, ndmorske visine) nvel su ns n potreu proširivnj skup N n skup cijelih rojev Z. Z = {,-5,-4,-,-,-1,0,1,,,4,5,...} Prikzivnje cijelih rojev n prvcu 0 - ishodište E - jediničn točk OE - jediničn dužin N rojevnom prvcu desno od nule smješteni su prirodni (pozitivni cijeli) rojevi 1,,, lijevo od nule negtivni cijeli rojevi -1, -, -, Primjer: N rojevnom prvcu istkni točke kojim su pridruženi sljedeći rojevi: 7, -5,, -, 4, -6 O E -6-5 - 0 1 4 7 Primjer: N rojevnom prvcu istkni točke kojim su pridruženi sljedeći rojevi: -75, -7, -78-81 -80-78 -75-7 Primjer: N rojevnom prvcu istkni točke kojim su pridruženi sljedeći rojevi: -00, 00, -500, 600 O E -500-00 0 100 00 600 0
Suprotni rojevi i psolutn vrijednost Brojevi simetrično smješteni n rojevnom prvcu s ozirom n nulu nzivju se SUPROTNI BROJEVI. Broju 6 suprotn je roj -6. Broju -4 suprotn je roj 4. Broju 0 suprotn je roj 0. Apsolutn vrijednost cijelog roj nm govori koliko jediničnih dužin je tj cijeli roj udljen od 0. Primjer: 17 = 17-5 = 5 0 = 0 Apsolutn vrijednost svkog cijelog roj je pozitivn roj ili 0. -8 =8 10 =10 8 =8-10 =10 Suprotni rojevi imju jednku psolutnu vrijednost. Primjer: Nñi sve cijele rojeve z z koje vrijedi: ) z = 5 ) z < 4 c) z 5. z = ±5 z = ±, ±, ±1, 0 z = ±5, ±6, ±7,... Usporeñivnje cijelih rojev Svki pozitivni cijeli roj veći je od nule. Primjer: 1 > 0 0 < 98 Svki negtivn cijeli roj mnji je od nule. 1
Primjer: -1 < 0 0 > -98 Svki negtivn cijeli roj mnji je od svkog pozitivnog cijelog roj. Primjer: -5 < 10 > -7 Od dvju pozitivnih cijelih rojev veći je onj koji im veću psolutnu vrijednost. Primjer: 17 > 1 5 > 4 < 85 Od dvju negtivnih cijelih rojev veći je onj koji im mnju psolutnu vrijednost. Primjer: -4 > -7-15 > -4 Primjer: Primjer: Z koje sve cijele rojeve z vrijedi: -< z z = -, -1, 0, 1, Brojeve -18,, -5, -14 i 10 poredj po veličini počevši od njvećeg. > 10 > -5 > -14 > -18 Zrjnje cijelih rojev Brojevi jednkih predznk zrjju se tko d se zroje njihove psolutne vrijednosti i zroju ostvi isti predznk. Primjer: - + (-) = - 5-1 + (-1) = - 1 + + (+8) = + 11 +4 + (+) = + 6 Zroj dvju suprotnih rojev jednk je nuli. Primjer: - + = 0 15 + (-15) =0 Brojeve rzličitih predznk zrjmo tko d oduzmemo njihove psolutne vrijednosti (mnje od veće) i rzlici stvimo predznk roj većeg po psolutnoj vrijednosti. Primjer: -7 + 8 = 1 + (-5) = -1 Z svki cijeli roj vrijedi + 0 = Primjer: 5 + 0 = 5-7 + 0 = -7
Svojstv zrjnj cijelih rojev 1. Svojstvo komuttivnosti. Z svk dv cijel roj i vrijedi +=+. Svojstvo socijtivnosti Z svk tri cijel roj,,c vrijedi (+)+c=+(+c).. Suprotn roj Z svki cijeli roj postoji njemu suprotn cijeli roj tkv d vrijedi +(-)=-+=0 4. Neutrlni element Z svki cijeli roj vrijedi +0=0+= Primjer: Izrčunj: -++(-7)++6+(-) =11+(-1)= =- Primjer: Izrčunj: 5+(-)+(-4)++9+(-5)+7= =+(-11)= =1 Primjer: Zroji sve cijele rojeve koji zdovoljvju nejednkost -9<x<9-8+(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-)+(-)+(-1)+0+1+++4+5+6+7+8= =0 Oduzimnje cijelih rojev Oduzeti cijeli roj znči prirojiti mu suprotn roj - = + (-),, Z
Primjer: Primjer: Primjer: -4-8=-4+(-8)=-1-5+6-7+4= -79-(-65)-(-48)-14= 4-8=4+(-8)=-4 =10-1= =-79+65+48-14= -(-)=+=5 =- =11-9= -4-(-1)=-4+1=- =0 Rd s zgrdm Ako je ispred zgrde znk +, on se riše zjedno s zgrdom, pri tome NE MIJENJAMO PREDZNAK rojev u zgrdi. Ako je ispred zgrde znk -, on se riše zjedno s zgrdom, li pri tome MIJENJAMO PREDZNAKE rojev u zgrdi. Primjer: - + (- + ) = Primjer: - + (-7-1) + (- + 4) = = - - + = = - -7-1 - + 4 = = -5 + = = -14 + 4 = = - = -10 Primjer: 4 - (7-5 + 1) = Primjer: 1 ( - - 4 ) - ( 9 ) = = 4-7 + 5-1 = = 1 + + 4 - + 9 = = 9 8 = = 8 - = = 1 = 6 Primjer: - ( ) + ( - 6 + 11) = Primjer - ( 5 ) + ( -1 + (- - ) -1 + ) = = - + - 6 + 11 = = - + 5 + ( - 1 - - - 1 + ) = = 1-6 + 11 = = - + 5-1 - - -1 + = - 5 + 11 = = - 10 + 7 = 6 = - Množenje cijelih rojev Dv roj rzličitih predznk množimo tko d pomnožimo njihove psolutne vrijednosti i rezulttu dmo negtivn predznk. Dv roj jednkih predznk množimo tko d pomnožimo njihove psolutne vrijednosti i rezulttu dmo pozitivn predznk. Dkle,cijele rojeve množimo tko d pomnožimo njihove psolutne vrijednosti, predznk odredimo u skldu s ovom tlicom: + + = + + - = - - + = - - - = + 4
Z svki cijeli roj vrijedi : 0 = 0 =0 1 = 1 = (-1) = (-1) = - Ako je roj negtivnih fktor prn, umnožk je pozitivn, ko je roj negtivnih fktor neprn, umnožk je negtivn. Primjer: Primjer: 5 7 = 5 ( -) ( -) ( +5) = 0 (-) = -6 (-) (-1) ( -) = -1 4 (-6) = -4 (-) ( -7) = 1-7 0 = 0 1 ( -5) = -5 - ( -1) = Primjer: ) + (-5) = = 15 = = - 1 ) + 7 (-5) + (-7) (-1) = = - 6 + (-5) + 7 = = 7 41 = = - 4 c) ( - 5 ) ( -8 ) = = - 7 ( -8) = = 56 5
Dijeljenje cijelih rojev Dv cijel roj dijelimo tko d podijelimo njihove psolutne vrijednosti. Ako su rojevi jednkih predznk,količnik je pozitivn. Ako su rojevi rzličitih predznk količnik je negtivn. Z svki cijeli roj z rzličit od nule vrijedi: z:z = 1 z: (-z) = -1 z:1 = z z:(-1) = -z 0:z = 0 z:0 = Primjer: Primjer: 1 : (-1) = -1 : (-1) - 1:4 = 56 : 8 = 7 = - - = (-5) : 5= -5 = -5 49 : (-7) = -7-5 : 1= -5 Primjer: 4:0 = Nije definirno! (00-84):4-(8-100): = 0:15 = 0 = 116:4-(-9): = -6: (-1) = 6 = 9+46 = -7: (-7) = 1 = 75 6
RACIONALNI BROJEVI Zroj, rzlik i umnožk dv cijel roj je uvijek cijeli roj, li količnik dv cijel roj nije uvijek cijeli roj. : ne pripd skupu Z ko nije višekrtnik roj. Rzlomci Rzlomcim se izriče dio neke cjeline. oojno: 1 5 prvokutnik neoojno: 1 7 prvokutnik Rzlomk: rojnik rzlomčk crt nzivnik Brojnik nm govori koliko smo jednkih dijelov oznčili, nzivnik n koliko je jednkih dijelov podijeljeno jedno cijelo. 1. Koliki dio dn prespv čovjek ko spv 8 sti u dnu? 8 1 = 4. Mc Crtk im 10 mčić, od kojih je 6 potpuno ijelih, ostli su crni. Prikži rzlomkom roj crnih mčić. 4 = 10 5 : =, 0 n Ako su rojnik i nzivnik jednki, rzlomk iznosi 1. 1 n = Svki prirodni roj možemo izrziti ko rzlomk. Ako je rojnik 0, vrijednost rzlomk je 0. n = n 1 0 n = 0 Rzlomci kojim je rojnik višekrtnik nzivnik jesu prirodni rojevi. 7
18. = 6 0 = 0 6 7 = 1 7 11 11= 1 4. Izrčunj 4 od 40. od 40 =(40:4) = 4 =10 = =0 5. dm = m 10 60 60 cm = m= m 100 5 75 75mm= m = m 1000 40 Prvi rzlomk je rzlomk koji je mnji od 1. Brojnik mu je mnji od nzivnik. Neprvi rzlomk je rzlomk koji je veći od 1. Brojnik mu je veći od nzivnik. 6. Prvi rzlomci:, 11 4,,, 4 7 1 19 Neprvi rzlomci: 5, 7 5 101 9 75,,,, 6 9 100 8 7 Neprvi rzlomk možemo npisti u oliku mješovitog roj. Mješoviti roj jest zpis neprvog rzlomk u oliku zroj prirodnog roj i prvog rzlomk. 7 1 7 = 14 = 5 5 19 1 1 4 = 11 = 6 6 c+ = c c 8
Proširivnje rzlomk: Proširiti rzlomk znči i rojnik i nzivnik pomnožiti s jednim te istim prirodnim rojem. Proširivnjem rzlomk njegov se vrijednost ne mijenj. c = c 0, c 0 7. Koliko šestin im u jednoj trećini? 1 1 = = 6 8. Rzlomk 5 proširi s 4. 5 = 4 5 4 = 1 0 9. Rzlomk 4 proširi tko d rojnik ude 7. 4 = 9 4 9 = 7 6 10. Rzlomk 7 5 proširi tko d nzivnik ude 4. 5 7 = 5 6 7 6 = 0 4 11. Kojim smo rojem proširili rzlomk 55:5=11 5 55 =. 7 77 77:7=11 Skrćivnje rzlomk Skrtiti rzlomk znči i rojnik i nzivnik podijeliti s jednim te istim prirodnim rojem. Skrćivnjem rzlomk njegov vrijednost se ne mijenj. Do krj skrtiti rzlomk znči i rojnik i nzivnik zdnog rzlomk podijeliti njihovim njvećim zjedničkim djeliteljem. 4 1. Rzlomk skrti rojem. 0 4 0 = 4 : 0 : = 8 10 9
64 1. Rzlomk skrti do krj. 10 1 nčin: Postupno: 64 10 64 : 4 = 10 : 4 = 16 0 16 : = 0 : = 8 15 nčin: Odjednom: 64, 10, 60 16, 0 8, 15 U prksi krće zpisujemo ovko: D ( 64, 10 ) = = 8 64 64 : 8 8 = = 10 10 : 8 15 64 8 10 15 = 15 8 Svoñenje rzlomk n zjednički nzivnik Postupk kojim zdne rzlomke proširujemo do rzlomk s jednkim nzivnicim nziv se svoñenje rzlomk n zjednički nzivnik. Postupk svoñenj rzlomk n njmnji zjednički nzivnik provodimo u dv kork: 1. Odredimo njmnji zjednički višekrtnik nzivnik zdnih rzlomk.. Zdne rzlomke proširimo do rzlomk s tim zjedničkim nzivnikom. 0
14. Rzlomke i svedi n njmnji zjednički nzivnik. 4 9 = = V (, 4 ) = 1 4 4 1 = 4 4 = 8 1 Usporeñivnje rzlomk Od dv rzlomk jednkih nzivnik veći je onj koji im veći rojnik. > 5 5 jer je > 4 9 < 7 7 jer je 4<9 Od dv rzlomk jednkih rojnik veći je onj koji im mnji nzivnik. 5 5 > 7 11 jer je 7<11 < 8 5 jer je 8>5 Rzlomke rzličitih rojnik i nzivnik usporeñujemo tko d ih svedemo n zjednički nzivnik, ond ih usporedimo po prvilu z usporeñivnje rzlomk s jednkim nzivnicim. 9 8 9 8 > = = > 4 jer je 4 1, 1, 1 1 1
Ili po prvilu: c Z rzlomke i vrijedi: d < = > c d c d c d ko je d<c ko je d=c ko je d>c 15. Usporedi rzlomke: 84 88 5 6 7 8 < 11 1 5 6 < 6 7 Decimlni rojevi i decimlni rzlomci Decimlni ili dekdski rzlomci su rzlomci kojim je nzivnik jedn od rojev: 1, 10, 100, 1 000, 10 000 1. Npiši tri dekdsk rzlomk. 7, 10 47, 100 85 1000 Decimlni zpis jest nčin zpisivnj decimlnog rzlomk. 178 1000 = 17. 8 dekdski ili cijeli dio Decimln točk rzdvj dekdski i decimlni dio. decimlni dio ili decimle decimln točk
Decimlni roj jest roj koji im decimlni zpis. 84 = 8. 4 10 nzivnik dekdskog rzlomk im jednu nulu decimlni zpis im jedno decimlno mjesto 5 100 = 0. 5 dekdski rzlomk im dvije nule u nzivniku. Zpiši roj u decimlnom zpisu decimlni zpis im dv decimln mjest 75 15 + =.075 = = 1. 5 1000 10 5. Dopuni: 4 7 8 = = 0.4 = = 0. 8 10 5 100 4 cm = 0.4 m 7 mm = 0.07 m dm = 0. m Zokruživnje decimlnih rojev Postupk zokruživnj decimlnih rojev: 1. Uoči znmenku n koju želiš zokružiti. Promotri prvu sljedeću znmenku. Ako je prv znmenk koju želiš znemriti 0, 1,,, 4, posljednj znmenk koju želiš zdržti ostje ist ( zokruživnje n niže ). Ako je prv znmenk koju želiš znemriti 5, 6, 7, 8 ili 9, posljednju znmenku koju želimo zdržti povećmo z 1.
4. Broj 48.64 zokruži n: ) dvije decimle c) cijeli dio ) jednu decimlu d) njližu deseticu ) 48.64 48.6 ) 48.64 48. c) 48.64 48 d) 48.64 480 5. Zokruži n cijeli dio 99.77 400 101.10 101 Usporeñivnje decimlnih rojev Od dv decimln roj veći je onj koji im veći cijeli dio. 87.1 < 486.9 6. >.8976545 Ako su cijeli dijelovi jednki,ond usporeñujemo decimle, ovim redoslijedom: prve, ko su iste prelzimo n druge, ko su i one iste prelzimo n treće,,sve dok ne niñemo n jednog od njih koji im veću decimlu, p zključujemo d je on veći. 7.1 > 7.1. <.1 1.456 = 1.4560 Ako decimlni roj n zdnjim decimlnim mjestim im nule, te nule možemo ispustiti roj se pritom neće promijeniti..450 =.45 657.000 = 657. 8 = 8.0 = 8.00 = 8.000 = 8.0000 = 8.00000 =. Rčunsk opercij dijeljenj nvodi ns n potreu proširivnj skup cijelih rojev. Skup rcionlnih rojev je skup svih rzlomk i svih rojev koji se mogu zpisti u oliku rzlomk. Skup rcionlnih rojev oznčvmo Q. Q= : Z, N 4
Zrjnje i oduzimnje rcionlnih rojev Z rcionlne rojeve i d c vrijedi: ± ± = c c c c d± c ± = d d 6. 7. 5 + 4 5 = 9 11 7 5 = 11 1 5 = 7 11 8. 7 1 1 1 = 8 1 = 9. 7 10 + 5 = 7+ 6 10 = 1 10 1 1 10. + 1 = 11. 8 4 = 5 9 = + 8 = = + 4 = = 0+ 9 8 = 8+ 9 = = 1 11 = = 1 8 8 = 1 1 1. 7 1 = 4 10 1. 0.788+ ( 0.877) 7 1 = + = 4 10 = 0.089 15+ 14 10 = = 0 14. 8.04 5.6 1.9 (.8) = 11 = 0 = 8.04 5.6 1.9+. 8 = = 11.87 7. 5= = 4.7 5
1 1 1 1 15. + + = 4 5 + 1 1 = + = 6 4 5 5 1 1 = + = 6 4 5 50 15+ 1 = = 60 5 = 60 1 1 16..5+ 0.7 = 8 4 7 4 7 1 = + = 8 10 4 7 1 14 5 = = 8 0 7 1 9 = = 8 0 140 5 18 = = 40 16 = = 4 40 40 Množenje decimlnih rojev Z rcionlne rojeve i d c vrijedi: c c = d d 17. 6 14 4 1 = = 1 7 1 9 5 40 16 = = = 7 7 5 1 7 7 18. 5.( 0.4) 8 19. 0.5 0.6 = 0. 6
1 0. = 5 9 18 0 7 = 5 1 9 1 = 1 =-8 1 4 9 1 1. 1 1 + 0. 8=. + 0.7 + 0.6 = 7 5 5 10 = 1 1 7 9 4 4 9 7 5 + = = + + = 1 7 1 5 5 5 10 5 10 4 = 1 + = = 4 18 + 7 + = 5 5 10 5 10 5 4 = + = = 4 11 = 5 5 10 5 5 10+ 4 = = = = 5 5 5 6 1 5 = =-1 = = 1 5 5 5 1 Dijeljenje rcionlnih rojev je recipročni roj roj. = 1 Rcionlni roj Recipročn vrijednost 1.4-1 5 5 5 1 7 Z rcionlne rojeve i d c vrijedi: : c = d = d d c c 7
7 5 15. : = = 8 5 8 7 56 4 16 16 4. :( 4) 7 = 1 = 7 4 1 4 7 5. 1 1 6 1 1 :8 = : = = 6 6 6 6 4 1 1 1 : 5.5 7 : 55 1 1 7 4 = = = 100 4 1 1 6. ( ) 7. -18.9 :.5 = -189 : 5 =-7.56 140 150 // 8. : 4 = 0.75 0 0 // 9. 1 7 5 :1 :1.5= 4 8 1 15 15 : : = 4 8 10 7 1 8 = 4 1 15 1 8 = = 15 1 = 1 15 8
0. 1. 1 4 1 ( 1 ) : + : 1 = 4 5 15 1 4 4 16 = + 1 + : = 5 15 1 1 4 4 15 = + = 5 1 16 4 5 = = 4 0 9 = = 1 11 = 1 7 5 1 : 6 : 0. :1 1 8 + + = 4 6 1 7 1 = 8 4 6 5 4 + : : + 1 = 6 10 5 7 1 5 10 = + 8 8 6 1 + 1 = 4 7 1 5 = 1 8 + 8 9 + = 7 1 50 7 = 1 8 + + = 8 18 7 1 = 1 8 + + = 8 18 7 1 = + 1 = 8 8 18 = 18 Podskupovi rcionlnih rojev su prirodni i cijeli rojevi. Nime svki prirodni roj i svki cijeli roj je i rcionln roj. N N0 Z Q 9
Rcionlne rojeve zpisujemo u oliku rzlomk li i u oliku decimlnog roj.svki rzlomk može se zpisti u oliku končnog decimlnog roj,eskončnog periodičkog decimlnog roj (čisto periodičkog i mješovito periodičkog decimlnog roj). Od neskrtivog rzlomk doijemo končn decimlni roj ko nzivnik u svom rstvu n proste fktore im smo dvojke i petice. Od neskrtivog rzlomk doijemo čisto periodički decimlni roj ko nzivnik u svom rstvu n proste fktore nem ni ni 5.Kod tih rojev se jedn ili grup deciml periodički ponvlj. Znmenku ili grupu znmenki koje se ponvljju nziv se period. Periodu oznčvmo točkom povrh znmenke koj se ponvlj, ko se ponvlj grup znmenki, ond točkom povrh znmenke kojom počinje i kojom zvršv. Od neskrtivog rzlomk doijemo mješovito periodički decimlni roj ko nzivnik u svom rstvu n proste fktore im fktor,5 ili i 5 i još neki prosti roj.to su rojevi s eskončno mnogo deciml od kojih se jedn ili više deciml n početku ne ponvljju (pretperiod), ztim se jedn ili više deciml periodički ponvljju. Primjer : ) = : 5= 0. 6 = : 4= 0. 75 = 0. 7 5 4 7 10 Prosti fktor 5 Prosti fktor Prosti fktor i 5 ) = : = 0.66... = 0.6 0 0 5 11 = 5 :11= 0.4545... = 0.45 50 60 50.. c) 5 6 = 5 : 6= 0.8... = 0.8 50 0 0. 40
7 15 = 7 :15= 70 100 10. 0.46 Pitgor i Pitgorejci su čvrsto vjerovli d se sve može prikzti u oliku roj pri čemu je svki roj količnik dv cijel roj. Meñutim kd su pokušli izmjeriti duljinu hipotenuze jednkokrčnog prvokutnog trokut došli su do zključk d se on ne može prikzti ko količnik (omjer) dv prirodn roj. To je z njih io šok i tu tvrdnju d postoje rojevi koji se ne mogu prikzti ko količnik (omjer) dv prirodn (cijel roj) čuvli su u duokoj tjnosti. Otkrili su IRACIONALNE BROJEVE. π,,,,, 5, 5... Beskončni neperiodički decimlni rojevi IRACIONALNI BROJEVI Ircionlne rojeve ne možemo npisti u oliku rzlomk. Svi rcionlni rojevi zjedno s ircionlnim rojevim tvore skup relnih rojev Q I = R Svkom relnom roju možemo pridružiti odreñenu točku rojevnog prvc. A O 1 E 1 1 A 0 1 41
KVADRIRANJE 1. r π = r =r r - duljin strnice r- rdijus Kvdrirti roj znči pomnožiti g s smim soom. VAŽNO! ) 5 ( 5 ) ) 5 5 4 4 9 Kd kvdrirmo negtivn Kd kvdrirmo rzlomk, roj, negtivn roj ovezno rzlomk ovezno dolzi dolzi u zgrdi. u zgrdi. c) 1 1 1 1 4 4 d) 0. = 0.04 Kvdrt decimlnog roj im duplo više deciml od decimlnog roj kojeg kvdrirmo.. ( ) = ( c) = c Umnožk kvdrirmo tko d kvdrirmo svki fktor i doivene kvdrte pomnožimo, tj. kvdrt umnošk jednk je umnošku kvdrt. 4
Primjer: 5 1 5 4 = = = 5 16 5 5 161 5 5 1 1 5 1 1 100 = 5 100 = 1 = 1 5 100 51 1001. ( : ) : : ( : ) = Kvdrt količnik jednk je količniku kvdrt i ortno, = Količnik kvdrt jednk je kvdrtu količnik. = ( : ) = : Primjer : 7 8 : = 5 15 7 8 = : = 5 15 7 1 = = 51 8 4 15 9 = = 4 16 4. KVADRAT ZBROJA I RAZLIKE (KVADRAT BINOMA dvočlni izrz) ( ± ) = ± + ( I ± II) = I ± I II + II Primjeri: ( x + y) = ( x) + x y+ y = 4x + 4xy+ y ( 0.5xy ) = ( 0.5xy) 0.5xy + = + 0.5x y xy 4 4
5 1 + = + = 5 5 5 5 = + + 5 5 5 9 = + + 9 5 5. RAZLIKA KVADRATA ( + )( ) = = + ( )( ) ( I+ II)( I II) = I II I II = I+ II I II ( )( ) Primjeri: ( + )( ) = ( ) x y x y x y = x 4y 0.01x 5 y = (0.1 x) (5 y) = (0.1x 5 y)(0.1x+ 5 y) 44
KORJENOVANJE Nučili smo d kvdrirti neki roj znči pomnožiti roj s smim soom. Kod korjenovnj immo ornuti postupk. Trži se roj kojemu je poznt kvdrt. Kžemo d ćemo tržiti korijen nekog roj.postupk trženj roj čiji je kvdrt poznt nziv se korjenovnje. Znk n čitj: drugi korijen iz n n je potkorijen veličin (u osnovnoj školi rdimo smo drugi korijen iz n 0 ) Primjer 1. : Izrčunj opseg kvdrt čij je površin 49 cm. P = 49 cm O =? P = O = 4 49cm = O = 4 7cm = 49cm O = 8 cm = 7cm Primjer. : ) 5 = 5 jer je 5 = 5 d) ( 6) = 6 ) 0.6 = 0. 6 jer je 0.6 = 0. 6 e) c) 0 = 0 4 4 ( ) = 9 9 ili f) = = smo z 0 4 ( ) z svki 4 = ( ) = Z 0 vrijedi ( ) = Z ilo koji (pozitivn,negtivn ili 0) vrijedi nenegtivn roj. RAČUNANJE S KORIJENIMA Zrjnje i oduzimnje korijen = Kvdrtni korijen je Zrjmo odnosno oduzimmo smo korijene istih potkorijenih veličin, tko d zrojimo odnosno oduzmemo koeficijente i doiveni zroj odnosno rzliku pomnožimo s zdnim korijenom. Primjeri: + - = (-) + = + - + 5-4 - = -7 + 4 45
Množenje i dijeljenje korijen Množenje Umnožk korijen dvju rojev i jednk je korijenu umnošk tih rojev. = 0 0 Primjeri: 1 1 8 = 8 = 4= 18 7= 18 7= 18 18 4 = 18 = (18 ) = 6 Dijeljenje Količnik korijen dvju rojev i jednk je korijenu količnik tih rojev. : = = : Primjeri: 1 1 7 : = 7 : = 7 = 81= 9 7 : = 7 : = 6 = 6 Vrijede orti z množenje i dijeljenje = : = = : = DJELOMIČNO KORJENOVANJE Djelomično korjenovnje koristimo kd potkorijen veličin nije kvdrt nekog rcionlnog roj. Potkorijenu veličinu td pišemo u oliku umnošk prostih fktor i potpunih kvdrt (4,9,16,5,6 ). Ztim korijen umnošk zpišemo ko umnožk korijen i n krju rčunmo korijene potpunih kvdrt. Primjeri : 48 = 16 = 16 = 4 75 75 7+ 108 = 5 9 + 6 = 5 5 = 5 + 6 = 5 5 = 8 1 46
RACIONALIZACIJA NAZIVNIKA Rcionlizcij nzivnik je postupk kojim se osloñmo korijen u nzivniku. Koristimo proširivnje rzlomk (vrijednost rzlomk se ne mijenj ko rojnik i nzivnik pomnožimo istim rojem). Primjeri : = = ( ) = = 10 10 10 10 = 0 ( 10) = 4 5 10 = 4 5 10 = 5 5 47
LINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM Jednkost je izjv u kojoj stoji znk =. Primjer: 4 1 = 18 7 Jedndž je jednkost u kojoj se nlzi nepoznnic. Nepoznnicu možemo oznčiti ilo kojim slovom, li njčešće je oznčvmo slovom x. Svk jedndž koj se može svesti n jedndžu olik x + = 0, gdje su i rcionlni rojevi i 0, zove se linern jedndž s jednom nepoznnicom. Rješenje jedndže je roj koji uvršten u jedndžu umjesto nepoznnice, dje istinitu jednkost. Pri rješvnju jedndže koristimo se sljedećim prvilim : - Lijevoj i desnoj strni jedndže možemo prirojiti ili oduzeti isti roj. Primjer: x+ = 5 x+ = 5 x= Primjer: x 4= + 4 x 4+ 4= + 4 x= 7 - Oje strne jedndže možemo množiti ili dijeliti istim rojem rzličitim od nule. Primjer: 4x= 0 : 4 4 x 0 = 4 x= 5 4 1 5 Primjer: x = 0 5 5 x 5 = 0 5 5 x= 100 Primjer: Je li x = 5 rješenje jedndže x 1 = x + 9. x 1= x+ 9 5 1= 5+ 9 15 1= 14 14= 14 x = 5 jest rješenje zdne jedndže. 48
Primjer: Riješi jedndžu : ) 4x 7 x+ = x+ 5 x 1 4x x x+ x = 5 1+ 7 x= 9 ) x ( x 1) = 5+ ( x+ ) x x+ 1= 5+ x+ x x x= 5+ 1 x= 7 : 1 x= 7 c) ( x ) = ( x+ 1) d) e) x 6= x x+ x= + 6 4x= 7 : 4 7 x= 4 ( ) x 5x 0.5x + 0.4x= 0.8 6 1 x 5x 4 x + x= 0 6 5 5 15x 10x+ 5x 1x= 4 18x= 4 :18 4 x= 18 4 x= 8 x 5 4x x+ 6 = 6 6 8 x 5 4x = x+ 6 ( ) ( ) ( ) 8 x 10+ 8x= x+ 18 x+ 8x x= 18 8+ 10 4x= 0 : 4 x= 5 1 0.x = 1 4 1 1 1 x = 5 4 1 1 x+ = 60 10 4 40 6x+ 90= 15 6x= 90 40+ 15 6x= 115 : 6 f) ( ) x= 115 6 4 ( ) 49
Primjer: Uvećmo li neki roj 4 put, ond još z 4, doijemo 4. Koji je to roj? 4x+4 = 4 4x = 4-4 4x = 0 : 4 x = 5 To je roj 5. Primjer: Uvećš li dvokrtnik nekog roj z 7, doit ćeš jednko ko d si umnjil peterokrtnik istog roj z 8. Koji je to roj? x+7 = 5x-8 x-5x = -8-7 -x = -15 :( ) x=5 To je roj 5. Primjer: Broj uvećn z 1 i 1 svoje vrijednosti iznosi. Koji je to roj? 1 1 x+ x+ x= 6 6x+ x+ x= 1 11x= 1 :11 x= 1 To je roj 1. Primjer: Zroj triju uzstopnih cijelih rojev jest 6. Koji su to rojevi? Tri uzstopn prirodn roj oznčimo x-1, x, x+1. x 1 + x+ x+ 1 = 6 ( ) ( ) x 1+ x+ x+ 1 = 6 x+ x+ x= 6 x= 6 : x= 1 To su rojevi 11,1 i 1. 50
Primjer: Mrko im 11 sličic, Frn 15. Koliko sličic tre Frn dti Mrku d imju jednko? 11+ x= 15 x x+ x= 15 11 x= 1 : x= 6 Frn tre dti Mrku 6 sličic. Primjer: Drveni je stup petinom duljine u zemlji, trećinom u vodi, 84 cm se nlzi iznd vode. Kolik je duljin stup? 1 1 x+ x+ 84= x 15 5 x+ 5x+ 160= 15x x+ 5x 15x= 160 7x= 160 : 7 x= 180 Duljin stup je 180 cm. ( ) Primjer: Kolik je duljin prvokutnik opseg 54 cm, ko je njegov širin 1 cm. + 1= 54 + 4= 54 = 54 4 = 0 : = 15 Duljin prvokutnik je 15 cm. 51
SUSTAV DVIJU LINEARNIH JEDNADŽBI S DVJEMA NEPOZNANICAMA Svk jedndž olik x+y=c ( 0, 0) nziv se linern jedndž s dvije nepoznnice. Olik x+y=c nziv se stndrdni olik jedndže s dvije nepoznnice. X i y su oznke z te nepoznnice, i su odgovrjući koeficijenti uz te nepoznnice, c je sloodni čln. Rješenje linerne jedndže s dvije nepoznnice je svki ureñeni pr rojev (x,y) koji uvršten u tu jedndžu dje točnu jednkost. Linern jedndž s dvije nepoznnice im eskončno mnogo rješenj tj. ureñenih prov (x,y) koji je zdovoljvju. Primjer: Npiši tri ureñen pr (x,y) koji zdovoljvju jedndžu -x+y=4. Rješenje : (-,0), (6, 16 ) ( 1, 5 ),... - (-)+y=4-6+y=4-1 + y = 4 4+y=4-1+y=4-1+y=4 y=4-4 y=4+1 y=4+1 y=0 y=16 y = 5 y=0 y= 16 y= 5 Im eskončno mnogo ureñenih prov (x,y) koji su rješenj zdne jedndže. Odreñujemo ih tko d z x ili y oderemo ilo koji rcionlni roj, uvrstimo g u zdnu jedndžu i izrčunmo y ili x. Sustv dviju linernih jedndži s dvjem nepoznnicm x i y u stndrdnom oliku pišemo: 1 x+ 1 y= c 1 x+ y= c Sustv dvije linerne jedndže s dvije nepoznnice im jedinstveno rješenje, ureñeni pr 1 1 (x,y) koji zdovoljv i jednu i drugu jedndžu ko je. 5
METODA SUPSTITUCIJE je jedn od metod kojom nlzimo rješenje sustv (x,y). Korci pri rješvnju: 1. Iz jedne jedndže izrzimo jednu nepoznnicu pomoću druge.. Doiveni izrz uvrstimo (supstituirmo) u drugu jedndžu.. Riješimo doivenu linernu jedndžu s jednom nepoznnicom. 4. Doivenu vrijednost nepoznnice uvrstimo u jedndžu odrnu n početku te odredimo vrijednost druge nepoznnice. 5. Provjerimo zdovoljvju li vrijednosti nepoznnic polzne jedndže. 6. Ako su oje polzne jedndže zdovoljene, istknemo rješenje, ko nisu, tržimo pogrešku. Primjer: provjer: x+5y=-7 x = -7-5y +5 (-) = -7 x+y=4 x = -7-5 (-) -10 = -7 x = -7+10-7 = -7 (-7-5y)+y = 4 x = -14-10y+y = 4 +(-) = 4-10y+y = 4+14 - = 4-9y = 18 6- = 4 y = 18:(-9) 4 = 4 y = - Ureñeni pr (,-) rješenje je zdnog sustv. METODA SUPROTNIH KOEFICIJENATA je drug metod kojom nlzimo rješenje sustv (x,y). Korci pri rješvnju: 1. Oderemo jednu nepoznnicu x ili y, pomnožimo jednu ili oje jedndže rojevim tko d se uz odrnu nepoznnicu doiju suprotni koeficijenti.. Zrjnjem jedndži eliminirmo jednu nepoznnicu uz koju su suprotni koeficijenti.. Riješimo doivenu jedndžu s jednom nepoznnicom. 4. Doivenu vrijednost nepoznnice uvrstimo u ilo koju jedndžu sustv p izrčunmo vrijednost druge nepoznnice. 5. Provjerimo zdovoljvju li vrijednosti doivenih nepoznnic zdne jedndže. 6. Ako su oje polzne jedndže zdovoljene, istknemo rješenje, ko nisu, tržimo grešku. 5
Primjer: x+7y =1/ +7y = 1 5x-y =1/ 7 6 +7y = 1 6x +1y = 9 ] + 7y = 1-6 5x-1y = 84 7y = 7 41x = 1 y = 7 7 x = 1 41 x = y = 1 (x,y)= (,1) provjer: +7 1= 1 5-1 = 1 6 + 7 = 1 15 = 1 1 = 1 1 = 1 Ureñeni pr (,1) je rješenje zdnog sustv. Primjer: Svedi n stndrdni olik, ztim riješi sustv : 5 x 7 y+ 1 + = / 15 5 x+ 4 4 6y = 1/ 8 4 8 5(5 x) + (7 y+ 1) = 0 ( x+ 4) (4 6 y) = 8 5 10x+ 1y+ = 0 6x+ 8 4+ 6y= 8 10x+ 1y= 0 5 6x+ 6y= 8 8+ 4 10x+ 1y= / ( ) 6x+ 6y= 1 / 5 6x+ 6 = 1 0x 6y= 6 0x + 0y= 60 6x= 4 y= 66 4 x= 6 66 y= x= 4 y= Ureñeni pr(4, ) je rješenje zdnog sustv. 54
Primjeri: 1. Rzlik dvju rojev je, drugi roj je 5 6 prvog roj. Koji su to rojevi? 5 x y= x x= / 6 6 5 y= x 6x 5x= 18 6 x= 18 5 y= 18 6 1 y=15 (18,15) Trženi rojevi su 18 i 15.. Zroj dvju rojev je 66. Jedn od njih je 0% drugog. Koji su to rojevi? x+ y= 66 x= 0% y x+ y= 66 0.y+ y= 66 x= 0.y 1.y= 66 x= 0. 55 66 y= 1. x= 11 y= 55 (11, 55) Trženi rojevi su 11 i 55. 55
. Zroj znmenke desetic i znmenke jedinic dvoznmenkstog roj jest 9. Rzlik zdnog roj i roj npisnog istim znmenkm u ornutom redoslijedu tkoñer je 9. Koji je to roj? znmenk desetic - x znmenk jedinic y x+ y= 9 5+ y= 9 10 x+ y (10 y+ x) = 9 y= 9 5 x+ y= 9 y= 4 10x+ y 10y x= 9 (5, 4) x+ y= 9 / 9 9x 9y= 9 Trženi roj je 54. 9x+ 9y = 81 + 9x 9y = 9 18x= 90 90 x= 18 x= 5 56
OMJER I RAZMJER (PROPORCIJA) Omjer Omjer dvju rojev i, 0 količnik je tih rojev i oznčvmo s : ili. := čitmo :,, prem Vrijednost omjer se ne mijenj ko o čln pomnožimo ili podijelimo istim rojem. 14:8=7:4 :5=1:0 Rzmjer (proporcij) Rzmjer (proporcij) je jednkost dvju omjer. Unutrnji člnovi rzmjer : = c:d Vnjski člnovi rzmjer Umnožk vnjskih člnov rzmjer jednk je umnošku unutrnjih člnov. Npr. Odredi x iz rzmjer: ) :x = 6:18 x+ x ) = 5 6 x = 18 5(x+) = x x = 18 5x+10 = x 6 1 x = 9 5x-x = -10 x = -10 x = - 10 5 1 x = -5 57
PROPORCIONALNE VELIČINE Veličine su proporcionlne ko vrijedi: ko se jedn veličin n put poveć, ond će se i drug veličin n put povećti ili ko se jedn veličin n put smnji, ond će se i drug veličin n put smnjiti. Primjer : Krojč z 5 istih odijel tre 16m pltn.koliko pltn tre z 7 tkvih odijel? m pltn roj odijel 16 5 roj m x 7 odijel(x) pltn (y) 5 16 7? x :16 = 7:5 y k = x y= k x 5 x = 16 7 ili 16 k = 5 y =. 7 m 16 7 X= 5 11 X= 5 k =. m/odijelu y=.4 m X=.4 m k je koeficijent proporcionlnosti (roj metr pltn z 1 odijelo) O: Z 7 tkvih odijel potreno je.4 m pltn. Koliko se put povećo roj odijel, toliko se put povećo roj metr pltn. Primjer : Aprt z umnožvnje z 4 minute preslik 40 strnic. Z koje će vrijeme prt preslikti 00 strnic? 4 min 40 strnic x 00 strnic vrijeme u min.(x) roj strnic(y) 4 40 x 00 k = y x 58
x : 4= 00 : 40 40 k = 4 40 x = 4 00 ili k = 60 strnic/minuti x = 4 00 40 x = 5 minut x= k y 00 x = 60 x=5 minut Ako su dvije veličine y i x proporcionlne, ond je omjer njihovih vrijednosti uvijek isti. y Tj omjer nziv se koeficijent proporcionlnosti i oznčv se slovom k =. x Primjer : Dopuni tlicu: Jedn čokold košt 4 kune. x (roj čokold) y(iznos u kn) 1 4?() 8?() 1 4?(16) k = 5?(0) 4 1 8 1 = = =... = y x Koeficijent proporcionlnosti stln veličin Primjer : Dv prijtelj, Ivn i Mtej igrli su loto. Ivn je uložio 1 kun, Mtej 9 kun. Kko će podijeliti doitk od 609 kun ko g žele podijeliti u omjeru uloženog novc? I+M = 609 I : M = 1:9 I = 1k =1 9 = 48 I+M = 609 M = 9k = 9 9= 61 1k+9k=609 609 k = 1 k=9 59
OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE Veličine su ornuto proporcionlne ko vrijedi: ko se jedn veličin n put poveć, ond će se drug veličin n put smnjiti i ornuto. Primjer 1: Sooslikr je zvršio poso z 9 dn rdeći dnevno 4 st. Z koliko i dn zvršio tj poso d je rdio 1 sti dnevno? 9 dn 4 st dnevno x (roj dn) y (sti) x 1 sti dnevno 9 4 x 1 k = x y 9 : x = 1:4 k=6 (roj rdnih dn ko dnevno rdi 1 st) k x= y 6 1x=9 4 x = 1 x= dn x = dn O: Sooslikr zvrši poso z dn ko dnevno rdi 1 sti. Primjer : Zrkoplov vozi rzinom 80 km/h i odreñenu udljenost prijeñe z 5 sti. Z koliko će sti prijeći istu tu udljenost ko vozi rzinom od 500 km/h? 80 km/h 5 sti 500 km/h x sti x : 5 = 80 : 500 x 500 = 5 80 x = 5 80 500 k = x y k = 80 5 k = 1900 km k x= y 1900 x= h 500 x =.8 h x = h i 48 min.8 h = h 48 min. 0.8h=0.8 60 min. =48min. 19 x = h 5 x=.8 h Odgovor: Ako vozi rzinom od 500 km/h, istu udljenost će prijeći z h i 48 min. 60
Iz zdtk je vidljivo - koliko se put jedn veličin smnjil, toliko se put drug veličin povećl. Primjer : Neki se poso ovi z 6 dn rdeći dnevno 1 st. Dopuni tlicu: x y Broj sti rd dnevno Broj dn 1 6 4?(9)?(1) k = x y k =1 6 = 4 9 = 1 = = x y Koeficijent ornute proporcionlnosti je stln veličin. 61
POSTOTAK Postotk je RAZLOMAK s nzivnikom 100. Zpisuje se n sljedeći nčin : p P%= 100 Npr: %= 100 Postotke možemo izrziti u oliku: - Rzlomk - Decimlnog roj Primjer: 5 7 5%= = 100 0 5 5%= =0.5 100 U postotnom rčunu koristimo sljedeće veličine : y-postotni iznos x-osnovn vrijednost p-postotk P je y = p% x Koristeći se postotnim rčunom,možemo riješiti mnoge proleme iz svkodnevnice: Primjeri : 1. Škol im 600 učenik od kojih 7% trenir košrku: Koliko učenik u toj školi trenir košrku? 7% od 600 7% 600= =0.07 600= =4 Odgovor: 4 učenik te škole trenir košrku. 6
.Nek vreć pun voć sdrži 80% juk.koliko je kg juk u vreći ko je ukupno 100 kg voć? x=100kg p%=80% y=? y = p% x y = 80% 100 y = 0.8 100 y =80kg Odgovor: U vreći je 80 kg juk..n ispitu iz mtemtike Ivn je reliziro 0 odov od moguć od.koliki je postotk Ivnove uspješnosti n tom ispitu? x= y=0 P%=? Y=p% x 0=p% 0 P%= =0.65 P%=6.5% Odgovor: Ivnov uspješnost n tom ispitu je 6.5%. 4. Nkon 0% poskupljenj cijen nekog proizvod je 6 kn. Kolik je il cijen tog proizvod prije poskupljenj? p%= 100 % + 0 % = 10 % y= 6 x=? y = p% x 6=10% x 6=1. x 6 x = kn 1. x= 80 kn.nčin rd x + 0% x = 6 x + 0. x = 6 1. x = 6 6 x = 1. x = 80 kn Cijen prije poskupljenj je il 80 kn. 6
JEDNOSTAVNI KAMATNI RAČUN Uz godišnju stopu (s) i uz uloženu glvnicu(g), nkon vremen(v) doiju se kmte(k), čiji iznos rčunmo po formuli jednostvnog kmtnog rčun: k= s g v Vrijeme štednje(v) izržv se u godinm. Kmte su proporcionlne s kmtnom stopom, glvnicom i vremenom. Primjeri: 1.Koliku kmtu godišnje donese glvnic od 10000 kn uz kmtnu stopu od 7%? s= 7% v=1 god k=? k=s g v k=7% 10 000 1 kn k= 0.07 10 000 kn k= 700 kn O: Godišnj kmt je 700 kn..koj glvnic uložen uz kmtnu stopu od 7.5% n 18 mjeseci donese 05 kn kmte? s= 7.5% v= 18 mj =1.5 g k = 05 kn g=? k= s g v 05 = 7.5 % g 1.5 05 = 0.075 g 1.5 05 = 0.115 g 05 g = kn 0. 115 g = 18000 kn O: Glvnic je 18000 kn.. Koliko vremen mor iti uložen glvnic od 8500 kun uz kmtnu stopu od 10% ko želimo doiti 450 kun kmte? g=8500 kn k=s g v s=10% k=4 50kn 450= 10% 8500 v v=? 450= 850 v 450 v= godin 850 v= 5 godin O: Glvnic mor iti uložen n 5 godin. 64
STATISTIKA Grn mtemtike. Bvi se prikupljnjem i ordom podtk. Podtke možemo prikzti n rzne nčine:tličnim prikzom,slikovnim prikzom,stupčstim dijgrmom,kružnim dijgrmom i linijskim dijgrmom. TABLIČNI PRIKAZ STUPČASTI DIJAGRAM KRUŽNI DIJAGRAM LINIJSKI DIJAGRAM SLIKOVNI PRIKAZ OBILJEŽJE SKUPA Kriteriji po kojim ojekte rzvrstvmo u rzličite skupine. FREKVENCIJA Frekvencij je roj (put) pojvljivnj odreñene vrijednosti u oilježju skup. RELATIVNA FREKVENCIJA Omjer frekvencije i zroj frekvencij. 65
Reltivnu frekvenciju izržvmo u postocim. npr. Izor predsjednik 8.d rzred Oilježje skup Frekvencij Reltivn frekvencij Mrko 5 5/5=0.0=0.0 100%=0% Mrij 8 8/5=0.=0. 100%=% Pero 9 9/5=0.6=0.6 100%=6% Ivn /5=0.1=0.1 100%=1% Ukupno: 5 100% Stupčstim i kružnim dijgrmom lkše očitvmo podtke. Primjer: U tlici su prikzni prikupljeni podci o količini prodnog voć u jednoj voćrnici. ) Prikupljene podtke prikži tlicom reltivnih frekvencij. ) Ncrtj stupčsti dijgrm. c) Koje je voće njprodvnije? 66
Primjer: U 1. rzredu prikupljeni su podci o hoijim. ) Prikupljene podtke prikži tlicom reltivnih frekvencij. ) Ncrtj stupčsti dijgrm. c) Ncrtj kružni dijgrm. VRSTE HOBIJA FREKVENCIJE RELATIVNE FREKVENCIJE glz 11 film 6 sport 7 čitnje knjig rd n PC-u 8 11 0.1 1% 5 = = 6 0.17 17% 5 = = 7 0. 0% 5 = = 0.09 9% 5 = = 8 0. % 5 = = UKUPNO: 5 1 = 100% 1 10 8 rd n PC-u % glz 1% 6 4 0 glz film sport čitnje knjig rd n PC-u čitnje knjig 9% sport 0% film 17% 67
VJEROJATNOST Izrzi koje koristimo z vjerojtnost nekog dogñj su : vjerojtno, sigurno, gotovo nemoguće, pol / pol Sigurn dogñj im vjerojtnost 100% = 1. N pol vjerojtn dogñj im vjerojtnost 50% = 1 = 0.5. Nemoguć dogñj im vjerojtnost 0%. Vjerojtnost nekog dogñj je roj izmeñu 0 i 1. Vjerojtnost oznčvmo slovom P. P(A)-vjerojtnost d će se ziti dogñj A. Primjer: Izvlčenje kuglic rzličitih oj iz vrećice Kod izvlčenj kuglice iz vrećice rezultt jednog izvlčenj nziv se elementrni dogñj. Kko rčunmo vjerojtnost d će iz vrećice iti izvučen kuglic odreñene oje : P ( nek oj) Broj kuglic te oje = Ukupn roj svih kuglic P ( A) = Broj elementrnih dogñj povoljnih z A Ukupn roj svih elementrnih dogñj Primjer: Slov riječi MATEMATIKA npisn su n deset krtic, krtice su ztim promiješne i okrenute slovim n dolje. ) Imju li sv slov jednke izglede d udu okrenut? Nemju. ) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo A? P(A)= = 0. = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo A je 0%. 10 c) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo M? P(M)= = 0. = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo M je 0%. 10 d) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo K? P(K)= 1 = 0.1 = 10% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo K je 10%. 10 e) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici piše slovo N? 68
P(N)= 0 = 0 = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo N je 0%. 10 f) Kolik je vjerojtnost d n izvučenoj krtici pišu slov T ili I? P(T ili I)= = 0. = 0% Vjerojtnost d ćemo izvući slovo T ili I je 0%. 10 69
Mlo tre d se shvti koliko su +, Ali teško nije niti rojeve oduzeti. Td doñe množenje i dijeljenje ez osttk, E,to već znš riješiti sve do krj zdtk! Ms,duljin,opseg,površin, mjerne jedinice znmo, A d ih prvilno upotrijeimo, formule z to immo. Tek kd smo svldli crtnje trokut i prvokutnik, Idemo n učenje kutov i njihovih olik. Kko skrtiti rzlomk jko je lko, A decimlne rojeve uvijek piši pzeći n točku i polko. Mte Mihljević 5.c (011./01.) 70
71
Dužin, prvc, poluprvc Rvnin je rvn neomeñen ploh. Njmnji dio rvnine je točk. Točke imenujemo velikim tisknim slovim osim Č, Ć, Š, Ž, ð, DŽ, Lj, Nj. A C B Dužin je omeñen rvn crt. Dužin je njkrć spojnic dviju točk. Krjnje točke su točke kojim je omeñen dužin. A B Duljin dužine je udljenost izmeñu krjnjih točk dužine. Duljinu dužine AB oznčvmo AB. Z mjerenje dužine izeremo njpogodniju mjernu jedinicu, primjerice m, dm, cm, mm. AB = cm mjern jedinic mjerni roj Prvc je rvn crt neomeñen s oje strne. Prvce ilježimo mlim slovim. Z točke koje pripdju prvcu još kžemo d leže n prvcu ili d prvc njim prolzi. A B p prvc AB ili prvc p 7
Kroz dvije točke, A i B, možemo povući točno jedn prvc. A B p Kroz jednu točku možemo povući eskončno mnogo prvc. Prmen prvc je skup svih prvc koji imju jednu zjedničku točku. S Zjedničku točku dvju prvc zovemo njihovim (pre)sjecištem. S Ako se prvci i ne sijeku, td kžemo d su usporedni ili prlelni i pišemo. 7
Dio rvnine izmeñu dv prleln prvc zovemo PRUGA. Prvci i su okomiti ko se sijeku tko d rvninu dijele n četiri meñusono jednk dijel. Pišemo. Poluprvc je rvn crt koj je s jedne strne omeñen, s druge strne nije. V A p poluprvc VA ili poluprvc p Poluprvc oznčvmo mlim ltiničnim slovim ili s dv tiskn slov kojim smo imenovli početnu točku i točku kroz koju prolzi tj poluprvc. 74
Simetrl dužine Simetrl dužine je prvc koji je okomit n dužinu i dijeli je n dv jednk dijel. Polovište dužine je točk koj dužinu dijeli n dv jednk dijel. Polovište je sjecište dužine i njezine simetrle. A P B s Svk točk n simetrli dužine jednko je udljen od krjnjih točk te dužine. Svk točk koj je jednko udljen od krjnjih točk te dužine leži n njezinoj simetrli. S A B SA = SB s Primjer: Ncrtj dužinu, ztim ez mjerenj odredi njezino polovište. A P B s 75
Primjer: C C P P S P A S P1 B A P1 B S-sjecište simetrl strnic SA = SB = SC, p kružnic s središtem u S i rdijusom SA prolzi kroz sve vrhove trokut ABC. To je tom trokutu opisn kružnic. Središte opisne kružnice šiljstokutnog trokut je unutr trokut, tupokutnog trokut izvn trokut, prvokutnog je u polovištu hipotenuze. A S P1 P B P C 76
Kut i mjerenje kut Kut je dio rvnine omeñen dvm poluprvcim s zjedničkom početnom točkom. V V Zjedničku početnu točku poluprvc zovemo vrh kut ( V ). Svki od poluprvc koji omeñuju kut zovemo krk kut. Točke koje pripdju krkovim kut nzivmo rune točke kut, ostle točke kut unutrnje točke kut. Kutomjer je nprv z mjerenje kutov. Veličinu kut mjerimo u stupnjevim. Osnovn jedinic z mjerenje kut je jedn kutni stupnj. To je veličin kut koji je tristošezdeseti dio punog kut,odnosno devedeseti dio prvog kut. Oznk z jedn kutni stupnj je 1. Z preciznij mjerenj potrene su nm i mnje mjere. Šezdeseti dio kutnog stupnj kutn je minut,oznk 1'. Dkle,1 = 60'. A opet,šezdeseti dio kutne minute kutn je sekund,oznk 1''. 1 = 60' 1' = 60'' 1 = 600''. Prvi kut je kut čiji su krci meñusono okomiti.veličin prvog kut iznosi 90. 77
Šiljsti kut je kut mnji od prvog kut. Veličin šiljstog kut iznosi mnje od 90. Ispruženi kut je kut čiji krci čine jedn prvc. Veličin ispruženog kut iznosi 180. Tupi kut je kut veći od prvog kut, mnji od ispruženog.veličin tupog kut je mnj od 180, već od 90. Puni kut je kut koji je veći od ispruženog kut, njegovi se krci podudrju. Veličin punog kut iznosi 60. 78
Izočeni kut je kut koji je veći od ispruženog, mnji od punog kut.veličin izočenog kut je mnj od 60, već od 180. Sukuti i vršni kutovi Sukuti (susjedni kutovi) jesu dv kut koji imju jedn krk zjednički, preostl dv krk leže n istom prvcu. Zroj veličin sukut iznosi 180. α V β α,β=sukuti α + β=180 Primjer:. Ako je veličin jednog kut 1, kolik je veličin njegovog sukut? α = 1 β =? β= 180-1 β=57 79
Vršni kutovi jesu dv kut s zjedničkim vrhom tkvi d su krkovi jednog od njih suprotni poluprvci krkov drugog kut. Svk dv prvc rvnine koj se sijeku odreñuju dv pr vršnih kutov. Vršni kutovi meñusono su jednke veličine. α V β α, β-vršni kutovi α = β Primjer: Odredi veličinu kut s slike! α=54 V α 54 Primjer: Odredi veličinu nepozntih kutov s slike! α 154 V β γ β=154 α=180-154 α=6 γ=6 80
Kutovi uz presječnicu usporednih prvc Prvc koji siječe dv usporedn prvc nziv se njihov PRESJEČNICA ili TRANSVERZALA. Usporedni prvci i njihov presječnic odreñuju 8 kutov, 4 šiljst i 4 tup. Kutovi iste vrste meñusono su jednki. Kutovi rzličitih vrst ( jedn tupi, drugi šiljsti ) jesu SUPLEMENTARNI( zjedno dju 180 ). α β α β α β β α Ako je presječnic okomit n usporedne prvce, ond su svi ti kutovi prvi. Primjer: Odredi veličine nepozntih kutov s slike: ) ) 54 β α 1 α=54 β=1 81
c) d) 15 γ α 81 β γ δ ε ϕ θ γ=180-15 γ=8 β = φ = ε = 81 α = γ = δ = θ = 180 81 = 99 Kutovi s usporednim i kutovi s okomitim krcim Dv su kut s meñusono usporednim krcim ili jednk ili suplementrn. Ako su o kut iste vrste, ili o šiljst ili o tup, ond su jednki. Ako su kutovi rzličitih vrst (jedn šiljsti drugi tupi), ond su suplementrni. α β α=β β α α+β=180 8
Dv su kut s meñusono okomitim krcim ili jednk ili suplementrn. Ako su o kut iste vrste (o šiljst ili o tup), ond su oni jednki. Ako su kutovi rzličitih vrst (jedn šiljsti drugi tupi), ond su suplementrni. α β γ δ α=β γ+δ=180 Primjer: Odredi veličine kutov α, β, γ i δ: ) ) 107 α 5 β α=107 β=180-5 β=18 8
c) d) 19 γ δ γ=180-19 δ= γ=41 Konstrukcij kut Konstruirj kut od : ) 60 ) 0 84
c) 45 d) 90 Primjer: Konstruirj kut od : ) 10, )180, c)150, d) 75. ) ) c) d) 85
Simetrl kut Simetrl kut je prvc koji dijeli kut n dv jednko velik kut. Sstoji se od točk koje su jednko udljene od oju krkov kut. C D Svk točk simetrle kut jednko je udljen od o krk kut. A B B C D A A1 B1 C1 D1 Primjer : Ncrtj kut i podijeli g n četiri jednk dijel. 86
Sve tri simetrle kutov trokut sijeku se u jednoj točki koj je jednko udljen od svih njegovih strnic. Tko je točk S središte kružnice koj dodiruje sve njegove strnice i koju zovemo trokutu upisn kružnic. Primjer : Ncrtj ) šiljstokutn trokut ) prvokutn trokut ) c) tupokutn trokut i upiši mu kružnicu. C A B ) c) C C B A B A Trokut Trokut je dio rvnine omeñen trim dužinm od kojih svke dvije imju zjedničku smo krjnju točku. Te dužine tkoñer pripdju trokutu. Trokut je jednoznčno odreñen trim točkm koje ne leže n istom prvcu. ABC - čitj trokut ABC Vrhovi trokut : A, B, C Strnice trokut : AB, BC, CA Duljine strnic trokut : = BC, = CA, c = AB Kutovi trokut : α = A= CAB β = B= ABC γ = C = BCA Opseg trokut je zroj duljin njegovih strnic tj. O = + + c. 87