Popoviciujeva nejednakost IZ NASTAVNE PRAKSE Popoviciujeva nejednakost Radomir Lončarević 1 Rumunjski matematičar Tiberie Popoviciu ( ) doka

Слични документи
Osječki matematički list 13 (2013), 1-13 O nultočkama polinoma oblika x n x 1 Luka Marohnić Bojan Kovačić Bojan Radišić Sažetak U članku se najprije z

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 28. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

DM

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

UNIVERZITET U ZENICI

Natjecanje 2016.

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Jednadžbe - ponavljanje

Auditorne vjezbe 6. - Jednadzbe diferencija

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Neki zadaci sa vebi iz Analize 1 Zlatko Lazovi 21. april verzija 2.1 (zadaci sa oznakom * nisu raeni

Microsoft Word - 12ms121

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, ožujka razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DR

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

os07zup-rjes.dvi

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 12ms101

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - predavanje8

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elma Daferović HIJERARHIJA KONVEKSNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada

Title

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

Nastavno pismo 3

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

Microsoft Word - z4Ž2018a

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Metoda neodredjenih koeficijenata

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i prim

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih osnova sličan je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole n

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

ss08drz-A-zad.dvi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

vjezbe-difrfv.dvi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta

75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (2)(2019), DOI: /МК A ISSN (p) ISSN (o) PET RAZNI

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad V

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

8. razred kriteriji pravi

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

07jeli.DVI

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Željka Ćaćić BARICENTRIČKE KOORDINATE 20 CENTARA TROKUTA Diplomski rad Vod

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

My_P_Trigo_Zbir_Free

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Osijek, 2013

Skripte2013

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

ss08drz-A-zad.dvi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Транскрипт:

IZ NASTAVNE PRAKSE Radomir Ločarević Rumujski matematičar Tiberie Popoviciu (906. 975.) dokaao je 965. poatu ejedakost i područja kovekse aalie (vidi [.]), koja ima primjee, medu ostalim, u brojim adatcima koji se pojavljuju u matematičkim atjecajima. Dokaat ćemo Popoviciujevu ejedakost, ako čega ćemo pokaati primjeu a ekoliko adataka te dati ekoliko adataka a vježbu. Defiicija. Neka je I iterval u. Kažemo da je fukcija f : I koveksa ako a sve x, y I i a svaki β 0, vrijedi f(( β) x+ βy) ( β) f( x) + β f( y). Fukcija f je strogo koveksa ako a x y i a sve β (0,) vrijedi stroga ejedakost. Defiicija. Fukciju f : I aivamo koveksom u Jeseovom smislu ili J-koveksom a I ako a sve xy, Ivrijedi x+ y f( x) + f( y) f. Fukcija f je strogo J-koveksa ako a sve xy, Ix, yvrijedi stroga ejedakost. Teorem. Fukcija f : I koveksa je ako i samo ako a sve x,, x I i a sve β,, β 0, takve da je βk = vrijedi k= f βkxk βk f( xk). k= k= Napomea. Poseba slučaj prethode ejedakosti kada je β i =, i =,,, tj. Radomir Ločarević, Fakultet prometih aosti, Zagreb 9 Poucak 74.idd 9 8.6.08. 7:50:00

Poučak 74 x+ x + + x f( x) + f( x) + + f( x) f, jeda je od ajčešćih oblika Jeseove ejedakosti koja se koristi u rješavaju klasičih adataka veaih u ejedakosti. Dokaao ju je daski matematičar J. L. W. V. Jese (859. 95.) u člacima objavljeim 905. i 906. godie. Teorem. Neka je f : I eprekida fukcija. Fukcija f koveksa je ako i samo ako je J-koveksa. Prethodi teorem koristit ćemo u dokau Popoviciujeve ejedakosti, a govori am o jedakosti pojmova koveksosti i J-koveksosti a eprekide fukcije. Teorem. () Neka je f : I eprekida fukcija. Tada je f koveksa ako i samo ako je f( x) + f( y) + f( ) x+ y+ x+ y x+ y+ + f f f f + + a sve xy,, I. U slučaju da je f strogo koveksa fukcija tada vrijedi stroga ejedakost a sve xy,, Iosim a x = y =. Doka. ( ) Be smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da je x y. x+ y+ x+ Ako je y, slijedi da je y, tj. y+ Budući da je x, imamo da je x+ x+ + x+ y+ x+ =. y+ + y + x+ y+ y+ =. Odavde slijedi da postoje st, [0,] takvi da je x+ x+ y+ = s + ( s) y+ x+ y+ = t + ( t). 0 Poucak 74.idd 0 8.6.08. 7:50:00

Zbrajajem prethodih jedakosti te sređivajem iraa dobivamo ( x+ y )( s+ t ) = 0. Ako je x+ y = 0, oda je užo x = y =, i time je očita. Ako je s+ t = 0, oda brajajem sljedeće tri ejedakosti: x+ x+ y+ f ( ) ( ) sf + s f y+ x+ y+ f tf ( t) f ( ) + x y f f( x) f( y), + dobivamo x y y x y ( s t) f + + f( x) f( y) ( s t) f( ) + + + + + + pa bog s+ t = imamo x y y x y f + + ( f ( x ) f ( y ) f ( )), + + + + + odakle možejem s dobivamo tražeu ejedakost ( ) Zbog eprekidosti i Teorema. dovoljo je pokaati da je fukcija f koveksa u Jeseovom smislu. Ako je y =, oda i Popoviciujeve ejedakosti slijedi f( x) + f( y) x+ y x+ y + f f f ( y ) + f ( x ) x + y 4 x + f f y + x+ y x+ y f( x) + f f 4 4 a sve x, y I, pa je f koveksa u Jeseovom smislu. Navest ćemo, be dokaa, eke dovolje uvjete a koveksost. Doka se može vidjeti u [.]. Poucak 74.idd 8.6.08. 7:50:00

Poučak 74 Teorem 4. Neka je f : I dva puta derivabila fukcija a otvoreom iter- valu I. Fukcija f koveksa je a I ako i samo ako je f 0, x I. Sljedeći korolar amijeje je čitateljima koji e poaju diferecijali raču, ali poaju grafove elemetarih fukcija. Korolar. Neka je f : I dva puta derivabila fukcija a otvoreom itervalu I. Tada je f koveksa a I ako se a bilo koji x0 I sve točke grafa fukcije f alae iad tagete grafa povučee u točki ( x0, f( x0)). Zadaci su preueti i [.], [4.] i [5.]. Zadatak. Neka su x, x, x poitivi brojevi, pri čemu isu svi istodobo jedaki. Dokažite da je 7 ( x + x) > 64 xxx( x + x + x). i< j i j Rješeje. Promotrimo fukciju f( x) = l xx, (0, + ). Kako je f ( x) = > 0, x a svaki x (0, ), slijedi da je f strogo koveksa a (0, ). Primjeom Popoviciujeve ejedakosti imamo x + x + x x + x x + x x + x x x x > l l l l l, x+ x + x ( x+ x)( x + x)( x + x) l( xxx ) + l < l, 8 x+ x + x ( x+ x)( x + x)( x + x) ( xxx ) <, 8 ( xxx )( x+ x + x) < ( x+ x)( x + x)( x + x). 7 64 Odatle možejem s 7. 64 dobivamo tražeu ejedakost. Zadatak. Neka su x, y, poitivi reali brojevi. Dokažite ejedakost x+ y y+ x+ x y + + 4 + +. x y x+ y y+ x+ + Rješeje. Promotrimo fukciju f( x) = x+, x. Kako je f ( x) = > 0 a x x + svaki x, slijedi da je f strogo koveksa a +. Primjeom Popoviciujeve ejedakosti imamo Poucak 74.idd 8.6.08. 7:50:00

x+ + y+ + + x y x+ y+ x+ y x+ y+ + + + + + + +, x+ y+ x+ y x+ y+ ( x+ y+ ) + + + + x+ y+ + + +, x y x+ y+ x+ y x+ y+ 9 + + + 4 + +, x y x+ y+ x+ y x+ y+ odakle možejem s x+ y+ 0, dobivamo x+ y y+ x+ x+ y+ x+ y+ x+ y+ + + 4 + +, x y x+ y x+ y+ x+ y y+ x+ x+ y+ x+ y+ x+ y+ x+ y x+ y+ + + 4 + + x y x+ y x+ y+ x+ y x+ y+ x y = 4 + +. x+ y y+ x+ Zadatak. Dokaži da a svaki trokut ABC vrijedi ejedakost α β γ s cos + cos + cos +, 4 R gdje su αβγ,, jegovi uutarji kutovi, s poluopseg i R polumjer trokutu opisae kružice. Rješeje. Promotrimo fukciju f( x) = si xx, [0, π ]. Kako je f ( x) = si x 0, x [0, π ], daa fukcija je koveksa a itervalu [0, π ]. Primjeom Popoviciujeve ejedakosti imamo siα + si β + siγ α + β + γ α + β β + γ α + γ si si si si. + + Kako je α + β + γ = π, imamo da je u svakom trokutu α + β + γ si =, α β γ siα + si β + siγ = 4cos cos cos, α + β β + γ α + γ α β γ si + si + si = cos + cos + cos. Poucak 74.idd 8.6.08. 7:50:0

Poučak 74 Odavde slijedi da je U svakom trokutu vrijedi α β γ 4cos cos cos α β γ cos cos cos. + + α β γ s cos cos cos =. 4R Primjeom prethode jedakosti pa možejem s dobivamo tražeu ejedakost s α β γ + cos + cos + cos. 4 R Zadatak 4. Za svaki šiljastokuti trokut s kutovima αβγ,, vrijedi ejedakost s tgα + tgβ + tgγ. r π Rješeje. Promotrimo fukciju f ( x) = tgx, x (0, ). si x π π Kako je f ( x) = > 0, x (0, ) pa je f strogo koveksa a (0, ). Primjeom Popoviciujeve ejedakosti cos x imamo tgα + tgβ + tgγ α + β + γ α + β β + γ α + γ + tg tg tg tg, + + a odavde bog α + β + γ = π, imamo Sada je α + β + γ tg =, α + β β + γ α + γ α β γ s tg + tg + tg = ctg + ctg + ctg =. r tgα + tgβ + tgγ s +, r odakle možejem s dobivamo dau ejedakost. Zadatak 5. Dokažite da a svaki šiljastokuti trokut, čiji kutovi adovoljavaju π π uvjete < αβγ,, <, vrijedi ejedakost 4 4 Poucak 74.idd 4 8.6.08. 7:50:0

tgαtgβtgγ s. 9r Rješeje. Promotrimo fukciju π π f ( x) = l tgx, x,. 4 Kako je 4cosx π π f ( x) = > 0, x,, si x 4 slijedi da je f strogo koveksa a π π x,. 4 Primjeom Popoviciujeve ejedakosti imamo π α + β β + γ α + γ (ltgα + ltgβ + l tgγ) + ltg ltg ltg l tg, + + α + β β + γ α + γ l( tgαtgβtgγ) + l l tg tg tg, Nadalje vrijedi da je ( α β γ) α + β β + γ α + γ l tg tg tg l tg tg tg, α + β β + γ α + γ tgαtgβtgγ tg tg tg. α + β β + γ α + γ α β γ s tg tg tg = ctg ctg ctg = r pa odatle slijedi tražea ejedakost. Zadatci a vježbu. Dokažite da a svaka tri poitiva reala broja a, b, c vrijedi a + b + c + abc + ( ab + bc + ca).. Neka su x, x, x poitivi brojevi, pri čemu isu svi istodobo jedaki. Dokažite da je x + x + x + xxx > ( xx + xx + xx). 6 6 6. Dokažite da a svaki trokut s kutovima αβγ,, vrijedi ejedakost α β γ 5 r si + si + si +, 4 R gdje su R i r polumjeri trokutu opisae i upisae kružice. 5 Poucak 74.idd 5 8.6.08. 7:50:0

Poučak 74 4. Dokažite da a svaki šiljastokuta trokut s kutovima αβγ,, vrijedi ejedakost rtgαtgβtgγ + r, s pri čemu je r polumjer trokutu upisae kružice, a s poluopseg trokuta. Literatura. Tiberiu Popoviciu (965.), Sur certaies iégalités qui caractériset les foctios covexes, Aalele ştiiţifice Uiv. Al.I. Cua Iasi, Secţia I a Mat., : 55 64. S. Kurepa, Matematička aalia I. i II. dio, Tehička kjiga, Zagreb, 989.. Šefket Arslaagić, Matematika a adaree, Bosaska riječ, Sarajevo, 004. 4. O. Bottema ad others, Geometric Iequalities, Wolters-Noordhoff Publishig, Groige, 969. 5. http://www.imomath.com/ 6. Costati P. Niculescu i Lars-Erik Persso, Covex fuctio ad their applicatios, A Cotemporary Approach, Spriger, 006, 7-60. 6 Poucak 74.idd 6 8.6.08. 7:50:0