Microsoft Word - Rijeseni primjeri 15 vjezbe iz Mehanike fluida I.doc

Транскрипт

1 . Odredite ubitke tlaka pri strujanju zraka (ρ=,5 k/m 3 =konst., ν =,467-5 m /s) protokom =5 m 3 /s kroz cjevovod duljine L=6 m pravokutno presjeka axb=6x3 mm. Cijev je od alvanizirano željeza. Rješenje: Budući nije zadana visina hrapavosti stijenke cijevi uzima se vrijednost definirana u tablici uz Moodyev dijaram, prema kojoj je za alvanizirano željezo k =,5 mm. Ovdje se radi o nekružnom presjeku pa se proračun pada tlaka vrši s ekvivalentnim promjerom, koji je definiran formulom: 4A 4ab De = = =, 4 O ( a+ b) dje je: A- površina poprečno presjeka toka (ovdje je to puni presjek A=ab) i O- oplakani opse toka odnosno duljina opsea poprečno presjeka u dodiru s fluidom, ovdje O=(a+b) U nastavku se koriste izrazi za proračun pada tlaka u okrulim cijevima, s tim da se u svim izrazima umjesto promjera D, koristi ekvivalentni promjer D e, osim pri definiciji brzine strujanja, koja se definira omjerom protoka i stvarne površine A poprečno presjeka toka. Dakle vrijedi: k,5,375 D = e, 4 = v= = 7,7 m s (prosječna brzina se računa sa stvarnom površinom toka!!) ab vd 5 Re = e = 7,6 ν,35 λ = =,647 k 5,74 ln + 3,7,9 D e Re te je traženi ubitak tlaka prema Darcy-Weissbachovom izrazu: L ρ p = λ v = 67,3 Pa D e

2 . Odredite promjer D cjevovoda da bi razina fluida u spremniku prema slici ostala konstantna. Zadano je: ρ=997 k/m 3, ν=,86-6 m /s, =8, m, h=,4 m, L =898 m, D = mm, k =k =, mm i L =6 m. Rješenje: U ovom primjeru imamo istjecanje fluida iz veliko spremnika, u spremnik konačnih dimenzija, iz koje fluid istječe u atmosferu. Traži se da razina fluida u spremniku ostane konstantna, te je prema jednadžbi kontinuiteta jasno da protok kojim fluid utiče u spremnik mora biti jednak protoku kojim fluid iz njea istječe. Budući je zadana visinska razlika, te svi podaci za cjevovod između spremnika i, mouće je izračunati protok, kojim fluid utiče u spremnik, a zatim se treba odrediti promjer D, da bi fluid istim tim protokom istjecao iz spremnika. Protok će se odrediti iz modificirane Bernoullijeve jednadžbe, koja postavljena od točke na slobodnoj površini u spremniku, do točke na slobodnoj površini u spremniku. Uzimajući u obzir da su brzine na obje slobodne površine jednake nuli, te da između točaka i imamo lokalni ubitak utjecanja u spremnik (K=) modificirana Bernoullijeva jednadžba lasi: pa pa v L v + = + K + λ (a) ρ ρ D a brzina v u cjevovodu između spremnika i se može izraziti preko protoka u obliku 4 v = (b) D π Kombinacijom izraza (a) i (b) slijedi 8 = ( D + λl), D π odnosno traženi protok je 5 π D = (c) 8( D+ λl) Uvrštavanjem zadanih veličina iz ornje izraza slijedi, 654 { } 3 = (d) m/s, + 898λ dje je,35 λ = (e) k 5,74 ln + 3,7,9 D Re i 4 6 Re = vde 7,4 { } m/s 3 ν = πdυ = (f)

3 Protok se određuje iterativno iz izraza (d), (e) i (f), s tim da iterativni postupak započinjemo s izrazom (e) uz pretpostavku Re =. Nakon određivanja λ, određuje se protok prema izrazu (d), a zatim Reynoldsov broj prema izrazu (f), nakon čea se ponovo može izračunati λ prema izrazu (e). Tablica se popunjava sve dok se protok ne prestane mijenjati u prve tri znamenke. Iteracije λ [m 3 /s] Re,9,83 5,947 5,4,739 5,467 5,43,735 5,44 5 3,43,735 Iz tablice je očito da je strujanje turbulentno jer je Reynoldsov broj daleko veći od kritične vrijednosti 3, što opravdava i pretpostavku da je koeficijent ispravka kinetičke enerije približno jednak jedinici. Budći se protok prestao mijenjati u prve tri znamenke nakon drue iteracije, za rješenje se uzima konačna vrijednost =73,5 l/s. Nakon što je određen protok kroz prvu cijev, traži se promjer drue cijevi da bi kroz nju fluid strujao jednakim protokom. Promjer D će se odrediti iz modificirane Bernoullijeve jednadžbe (M.B.J.) postavljene od točke na slobodnoj površini spremnika, dje vlada atmosferski tlak, a brzina strujanja je nula, do točke u mlazu, na izlazu iz cjevovoda, dje je tlak jednak atmosferskom tlaku, a brzina mlaza jednaka 4 brzini u cjevovodu v =. Uzimajući u obzir linijske ubitke M.B.J. lasi D π 8 h= v + λ L v = ( λl + D) () 5 D D π odakle je 8 D 5 = ( D + λl) (h) π h Uvrštavanjem svih zadanih vrijednosti u izraz (h) slijedi: dje je { } 5 { } D =,34 ( D + 6 λ ) (i) m m λ =,35 k 5,74 ln + 3,7,9 D Re i Reynoldsov broj Re = = (k) πν D D { } m Promjer D će se također odrediti iterativno iz izraza (i), (j) i (k), pri čemu je iterativni postupak mouće započeti pretpostavkom bilo koje veličine. Sljedeća tablica prikazuje rezultate dobivene u iterativnom postupku koji započinje s pretpostavkom D =D =, m. Na kraju bi dobili isti rezultat da se krenulo i s nekom druom vrijednošću promjera D. (j) 3

4 Iteracije D [m] k /D Re λ,, 5,43 5,3,58,73 4,99 5,446,73,74 3,998 5,45 3,73 Iz tablice je očito da se nakon drue iteracije promjer D prestao mijenjati u prve četiri znamenke, pa se za konačno rješenje usvaja D =7 mm. 4

5 3. Treba odrediti snau koju pumpa predaje fluidu u sustavu za hlađenje kada je izveden kao otvoreni, prema slici (a), te kao zatvoreni prema slici (b). U oba je slučaja protok u sustavu =5 l/s, a promjenu ustoće i viskoznosti s temperaturom se može zanemariti. Zadano je: ρ=998, k/m 3, ν=,. -6 m /s, L a =,4 m, D=8 mm, k=,5 mm, =,4 m, h=,5 m, svi lokalni ubici u otvorenom sustavu ΣK a =4,, a u zatvorenom ΣK b =4,8, L b =L a +. hla eni objekt hla eni objekt L a L = L + D k D k b a hladnjak pumpa ρν, h pumpa P a =? P b =? (a) (b) Riješenje: hla eni objekt z= ρ, ν Slika (a) Otvoreni sustav h Problem strujanja u otvorenom sustavu će se riješiti postavljanjem modificirane Bernoullijeve jednadžbe od točke na slobodnoj površini spremnika do točke na izlazi iz cijevi sustava za hlađenje, kao što je prikazano na slici (a). U otvorenom sustavu za hlađenje cirkulira stalno jedan te isti fluid, te se može pretpostaviti da je razina fluida u spremniku stalno na istoj visini te da je brzina strujanja u točki približno jednaka nuli. Prema tome je očito da je kinetička enerija mlaza u točki sa stajališta strujanja izubljena. Ako se usvoji da se ravnina z= poklapa sa slobodnom površinom u spremniku, modificirana Bernoullijeva jednadžba od točke do točke lasi v v La v hp = + + Ka +λ (a) D 5

6 iz koje je očito da će se visina dobave pumpe trošiti na svladavanje eodetske visine, lokalnih i linijskih ubitaka, a da će se dio visine dobave pretvoriti u kinetičku eneriju izlazno mlaza. Tražena se visina dobave pumpe može izračunati direktno iz izraza (a) jer su poznati i protok i promjer cjevovoda. Brzina strujanja fluida je 4 v = =,995 m s (b) D π Reynoldsov broj je vd 4 Re = = 6,63 (c) ν iz čea se zaključuje da je strujanje u cijevi turbulentno, te se koeficijent trenja λ računa iz izraza,35 λ = (d) k 5,74 ln + 3,7,9 D Re što uvršteno u izraz (a) daje visinu dobave pumpe h p =,8 m. Snaa koju pumpa predaje fluidu je tada Pa = ρhp = 37,4 W (e) Slika (b) Zatvoreni sustav Slika (b) prikazuje zatvoreni sustav hlađenja u kojem cirkulira jedan te isti rashladni fluid. U ovom su slučaju strujnice zatvorene krivulje, te se modificirana Bernoullijeva jednadžba može postaviti npr. od ulaza u pumpu, točka na slici (b), duž strujnice kroz pumpu, hlađeni objekt i hladnjak ponovo do točke na ulazu u pumpu. S obzirom da polazna točka odovara dolaznoj u Bernoullijevoj jednadžbi se izjednačuju dovedena enerija i enerija ubitaka, tj. vrijedi v Lb v hp = K +λ (f) b D Iz ornje je jednadžbe očito da će se visina dobave pumpe trošiti samo na svladavanje lokalnih i linijskih ubitaka trenja. Brzina i koeficijent trenja λ su jednaki kao i u prethodnom slučaju, te je h =,4 m. p Snaa pumpe u ovom slučaju je Pb = ρhp =,6 W () Očito je u zatvorenom sustavu potrebna puno manja snaa pumpe neo u otvorenom jer u zatvorenom sustavu nije potrebno svladavati eodetsku visinu, a nema ni ubitka kinetičke enerije. 6

7 4. ρ,ν K u D =? L, k Treba odrediti promjer D cjevovoda da bi se na izlazu iz mlaznice dobilo 9% raspoložive potencijalne enerije u obliku kinetičke enerije izlazno mlaza uz protok od =,55 m 3 /s. Koliki je promjer D 3 mlaznice. Zadano je: ρ=998, k/m 3, ν=, m /s, L=39 m, k=, mm, =74 m, K u =,, K m =,6. K m D 3 Riješenje: Ovdje se radi o cjevovodu koji dovodi fluid iz akumulacijsko jezera do Pelton turbine, dje se traži da se turbini privede što više raspoložive enerije. Zbo toa će se fluid transportirati kroz cjevovod veliko promjera D, u kojem će strujanje biti malom brzinom, te će i ubici mehaničke enerije biti mali. Pred mlaznicom će tlak biti visok, a u mlaznici će se ta enerija tlaka pretvoriti u kinetičku eneriju mlaza. ρ,ν K u Slika (a) K m 3 Slika (a) prikazuje cjevovod s ucrtanim karakterističnim točkama. U točki na ulazu u cjevovod nastaje lokalni ubitak mehaničke enerije koji se obračunava kroz koeficijent lokalno ubitka K u, od točke do točke postoje linijski ubici, a od točke do točke 3, ponovo lokalni ubitak u mlaznici koji je zadan koeficijentom K m lokalno ubitka. S obzirom da nije nalašeno uz koju se visinu brzine računa ovaj lokalni ubitak, podrazumijeva se veća visina brzine, a u ovom slučaju to je izlazna brzina. Visinska razlika označuje raspoloživu potencijalnu eneriju po jedinici težine fluida, a kinetička enerija mlaza po jedinici težine fluida je v 3, dje je v 3 brzina mlaza. Traži se da kinetička enerija mlaza bude 9% raspoložive potencijalne enerije, tj. v3,9 = (a) odakle je brzina v 3 =7,3 m/s. Promjer D 3 mlaznice koji će osiurati traženu brzinu v 3 kod zadano protoka slijedi iz jednadžbe kontinuiteta 4 D3 = = mm (b) v π 3 7

8 Promjer D cjevovoda će se odrediti iz modificirane Bernoullijeve jednadžbe, koja postavljena od točke do točke 3 lasi v3 v3 v L = + Km + Ku + λ (c) D i jednadžbe kontinuiteta D π D3 π = v = v3 (d) 4 4 dje je sa v označena brzina u cijevi promjera D. Uvrštavanjem jednadžbe (d) u (c) se dobiva v3 8 = ( + Km) + 5 ( KuD+ λl) (e) π D iz koje se može izraziti promjer D u obliku 8 ( KuD+ λl) D= { D} =,36 5,{ D} + 39λ (f) m m 5 v 3 π ( + Km ) Reynoldsov broj je 5 4 6,7 Re = = () πdν { D} m Iz jednadžbe (f) je očito da za određivanje promjera D treba poznavati koeficijent trenja λ koji je funkcija Reynoldsova broja, a za čije je određivanje potrebno poznavati promjer D, te je očito nužan iterativni postupak. Iterativni postupak započinje pretpostavljanjem promjera. Jedan od načina je da se u jednadžbi (f) pretpostavi koeficijent trenja λ=,, a da se član,d zanemari. Tada je 5 D =,36 39, =, 49 m (h) Sljedeća tablica prikazuje rezultate iterativno postupka koji započinje s vrijednošću D. Broj iteracije D, m k D Re λ,49,4739,4745,47,4,54. 6,3. 6,65,66 U ornjoj tablici je koeficijent trenja λ izračunat iz izraza (7.6) jer se očito radi o turbulentnom strujanju. Vrijednost promjera D u ornjoj tablici se prestala mijenjati u prve tri znamenke te se može usvojiti da je konačna vrijednost D=474 mm. Isti bi se rezultat dobio da se krenulo od neke drue vrijednosti promjera D. Za kontrolu se može izračunati brzinu v= 4 D π = 3,m s, koja uvrštena u polaznu modificiranu Bernoullijevu jednadžbu (c) daje visinu =73,9 m, što se vrlo dobro slaže sa zadanom vrijednošću =74 m, te je time dokazana točnost rezultata. 8

9 5. p M K u K k ρ, ν D, k h=? K m d K k Treba odrediti visinu h, protok i snau P F koja se troši na svladavanje trenja, u situaciji prema slici. Koliku bi visinu h id doseao mlaz i koliki bi bio protok id da je fluid idealan. Zadano je: ρ=999 k/m 3, ν=,3. -6 m /s, D=65 mm, d=3 mm, L uk =9,9 m, k=,45 mm, =,4 m, K k =,9, K u =,5, K m =,5 (uz izlaznu brzinu), p M =,86 bar. L uk Riješenje: Osnovni zadatak u ovom primjeru je naći protok, odnosno brzinu na izlazu iz mlaznice jer je tada jednostavno odrediti visinu h koju će dosenuti mlaz. Zadatak se kao i uvijek rješava primjenom modificirane Bernoullijeve jednadžbe i jednadžbe kontinuiteta. Na slici (a) su ucrtane karakteristične točke sustava. p M Točka se nalazi na ρ, ν slobodnoj površini fluida u h=? velikom spremniku, tako da K u je brzina u točki jednaka d nuli. Neka je izlazna brzina u z= točki označena sa v, a K brzina strujanja u cijevi s v. m Ukupni lokalni i linijski D, k ubici mehaničke enerije su K k L uk Slika (a) hf = ( Ku + Kk) v + K v L v m + λ (a) D dje je lokalni ubitak u mlaznici izračunat s izlaznom brzinom v. Modificirana Bernoullijeva jednadžba od točke do točke lasi pm v hf ρ + = + (b) a jednadžba kontinuiteta D π d π = v = v (c) 4 4 Ako se brzine v i v u jednadžbama (a) i (b) izraze s pomoću protoka, te jednadžba (a) uvrsti u jednadžbu (b), slijedi izraz K k 9

10 L u k 8 + K K + K + λ m D pm = + (d) π d D ρ U ornjem su izrazu nepoznati protok i koeficijent trenja λ, koji zavisi od protoka, te će za određivanje protoka trebati primijeniti iterativni postupak. Za tu svrhu će se u izraz (d) uvrstiti sve poznate veličine, nakon čea se dobiva,63 { } 3 = (e) m s 6 6,45 + 8,53 λ Reynoldsov broj izražen s pomoću protoka je 4 6 Re = 7,33 { } m 3 s πdν = (f) U izrazima (e) i (f) sve konstante su dimenzijske, a s obzirom da su sve veličine uvrštavane u SI sustavu jedinica, protok će biti izražen u m 3 /s. Koeficijent trenja λ za turbulentno strujanje se računa iz izraza,35 λ = () k 5,74 ln + 3,7,9 D Re Iterativni postupak započinje s pretpostavljenom vrijednošću koeficijenta trenja λ u režimu potpuno izražene hrapavosti, koja se dobije iz izraza () za Re. Nakon toa se iz izraza (e) računa protok, a iz izraza (f) Reynoldsov broj koji uvršten u izraz () daje koriiranu vrijednost koeficijenta trenja λ, s kojom započinje nova iteracija. Rezultati iterativno postupka su sumirani u sljedećoj tablici Broj iteracije λ, m 3 /s Re,8,,,956,9,9,6. 5,59. 5 Očito se protok u posljednje dvije iteracije slaže u prve četiri sinifikantne znamenke te se iterativni postupak prekida i usvaja =9, l/s. Iz jednadžbe (c) slijede brzine v=,77 m/s i v =3, m/s, a iz jednadžbe (a) uz λ=, prema ornjoj tablici h F =,54 m. Snaa koja se troši na svladavanje ubitaka je P F = ρh F = 9 W. Visina h koju dosene mlaz se određuje iz Bernoullijeve jednadžbe od točke do točke prema slici (a). U obje točke vlada atmosferski tlak, a s obzirom da je točka najviša točka mlaza, u njoj je brzina jednaka nuli. Ako se zanemari utjecaj sile trenja između mlaza i okolne atmosfere, može se tvrditi da od točke do točke nema ubitaka mehaničke enerije, te vrijedi v h 8,64 m = = (h) Kada bi fluid bio idealan, tj. strujanje bez ubitaka mehaničke enerije, brzina strujanja bi se računala na temelju Bernoullijeve jednadžbe koja ima oblik jednadžbe (b) uz h F =, odnosno vid = pm + = 4,8m s (i) ρ Protok bi bio id =,5 l/s, a mlaz bi dosenuo visinu h id =,8 m.

11 Napomena: Kao što je kod istjecanja fluida kroz otvor na velikom spremniku uveden koeficijent korekcije brzine C v, tako bi se i u ovom slučaju moao definirati isti taj koeficijent kao odnos stvarne i idealne brzine strujanja što bi u ovom slučaju bilo v Cv = =,878 (j) vid U ovom slučaju koeficijent C v obuhvaća sve lokalne i linijske ubitke mehaničke enerije, koji se također mou pokazati jednim jedinstvenim koeficijentom lokalno ubitka uz izlaznu brzinu Kuk = =,94 (k) Cv v Isti taj koeficijent se može izračunati iz izraza (a) uz uvjet hf = K, tj. uk L v Kuk = Km + Ku + Kk + λ =, 94. (l) D v