1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Транскрипт

1 (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b.. Zadani su vrhovi trokuta A(,, ), B(,, ) i C(,, ). Pokažite da je trokut ABC jednakostraničan.. Zadani su radij-vektori vrhova trokuta: r A = i+ j+ k, r B = i+ k i r C = j+ k. Odredite radij-vektor težišta trokuta.. Za vektor a= AB+ CD, A(,, ), B(,, ), C(, 6, 5) i D(, 6, ) odredite duljinu i napišite vektor a (jedinični vektor vektora. 5. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(,, ) i točkom B(,, ) b) ima vektor smjera s = (,, ) c) paralelan je s pravcem odre denim s = y+7 = z+ d) okomit je na ravninu 5y+z=. 6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom A(,, ) i paralelna je vektorima p=(,, ) i q=(,, ). 7. Izračunajte a b i odredite kut koji zatvaraju vektori a i b ako je a=(,, ), b=(,, ) b) a=(,, ), b=(,, ) c) a=(,, ), b=(,, ). 8. Odredite kuteve trokuta ABC odre denog vrhovima A(,, ), B(,, ), C(,, ). 9. Zadani su vektori a=(,, ) i b=(,, ). Izračunajte skalarnu projekciju a b vektora a na vektor b, te kut (a, b) vektora a i b.. Odredite projekcije vektora a na koordinatne osi, ako je a= AB+ DC, A(,, ), B(,, ), C(,, ) i D(,, ).. Odredite m tako da vektori a=(m,, ) i b=(,, ) budu okomiti; b) kolinearni.. Izračunajte (5 a+ b) ( a b), ako je a =, b = i a b. b) a 5 b, ako je a =, b = i ( a, b)= π.. Izračunajte vektorski produkt a b za

2 a=(,, 5) i b=(,, ). b) a=(,, 7) i b=(, 6, ).. Odredite jedinični vektor koji je okomit na vektore a i b, ako je a= i+ j+ k, b= i+ j+ k. b) a= AB, A(,, ), B(,, ), a b zatvara s osi y kut π, s osi z kut π i b =, te sa osi zatvara oštar kut. 5. Neka je a = (,, ). Odredite dva vektora b i c tako da su vektori a, b, c me dusobno okomiti. 6. Za trokut ABC zadan s A(,, ), B(,, ), C(,, ) odredite površinu; b) visinu na stranicu AB. 7. Napišite jednadžbu ravnine koja sadrži točku A(,, ) i okomita je na pravac = y 5 = z+. b) sadrži pravac iz zadatka. 8. Napišite jednadžbu ravnine koja sadrži točke A(,, ), B(,, ), C(,, ). 9. Odredite m i n tako da ravnina y+7z= i pravac n m = y = z n budu okomiti.. Odredite m tako da ravnine y+z=, m+y z= budu me dusobno okomite.. Na dite probodište pravca = y = z s ravninom +y+z=.. Izračunajte a ( b c) ako je a=(,, ), b=(,, ), c=(,, ). b) a=(,, ), b=(,, ), c=(,, ).. Ispitajte jesu li vektori a=(, 5, 7), b=(,, ) i c=(,, ) komplanarni. Ako jesu, izrazite vektor c pomoću vektora a i b.. Ispitajte leže li točke A(5, 7, ), B(,, ), C(9,, ) i D(, 5, ) u istoj ravnini. 5. Vrhovi trostrane piramide su: A(,, ), B(,, ), C(, 5, ) i D(5, 5, 6). Izračunajte volumen b) površinu baze ABC c) visinu piramide spuštene na bazu ABC....

3 (druga zadać Matrice, vektori [. Ako je A= i B= 7 [ naći: A B, b) (A B) T, c) A T B T.. Za matrice iz prethodnog zadatka izračunajte AB T i B T A.. Za matrice naći AB i BA. A= i B=. Za matrice A = [ 6 [ i B= naći AB i BA. 5. Izračunajte [ b) [ Rješavanje sustava linearnih jednadžbi 6. Riješite sustav: = = =. 7. Odrediti a tako da sustav y+az= +y z= + 5z=5 nema rješenja. 8. Riješi sustave: c) = 6 = 8 b) d) 8 7 = =

4 9. Dvije ravnine koje sadrže ishodište zadane su sa vektorima normala n = (,, ) i n = (,, 5). Presjek ovih ravnina je pravac. Odredite parametarsku jednadžbu toga pravca rješavanjem sustava jednadžbi dobivenog iz jednadžbi ovih ravnina.. Odrediteλ R tako da sustav + = +λ + = + λ = ima jedinstveno rješenje, b) nema rješenja, c) ima beskonačno rješenja. Inverzne matrice. Odredite inverzne matrice za: [ b) [ c) [ 9 9 d) [ 7 5 e) [ 6 5. Odredi A za A= 5 5 b) A= cos π 6 sin π 6 sin π 6 cos π 6 c) A=. Odredi A i A, za A =B C, A = B+C. Matrice B i C su zadane sa [ B=, C= [. Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti. Odredite svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore matrica: [ b) [ c) [ d) [ e)

5 5 (treća zadać Derivacija funkcije. Tangenta na krivulju. Na dite derivacije sljedećih funkcija tj. na dite dy d : y= b) y= + c) y= 5 a d) y= π + ln e) y= f) y= g) y=tg cos + h) y= +7 i) y= j) y=e cos k) y=( + ) ln l) y= sin ( ) cos m) y= ln n) y= + log ln. Na dite jednadžbu tangente na krivulju y= + b) y=( ) c) y= d) y=sin π u točki =. Skicirajte krivulju i tangentu.. Na dite jednadžbu tangente na krivulju y= koja je okomita na pravac y= +. Linearna aproksimacija i totalni diferencijal. Na dite linearnu aproksimaciju funkcije y= za =. Koristeći se tom aproksimacijom približno izračunajte.. 5. Na dite linearnu aproksimaciju funkcije y=e za =. Koristeći se tom aproksimacijom približno izračunajte e.. 6. Za funkciju y=cos i za = π 6 i = π 6 na dite diferencijal (linearnu aproksimaciju prirast. 7. Za funkciju y = ln i za = i =.5 na dite diferencijal (linearnu aproksimaciju prirast. 8. Položaj točke koja se giba po pravcu zadan je funkcijom (t)=t t (t u sekundama, u centimetrim. Na dite brzinu i ubrzanje te točke u trenutku t=. 9. Položaj točke koja se giba po pravcu zadan je funkcijom (t)=t t (t u sekundama, u centimetrim. Na dite brzinu i ubrzanje te točke u trenutku t=.

6 6 Lančano deriviranje. Na dite derivacije sljedećih funkcija: ( ) a+ y= b) y=(+) c) y=cos +cos d) y=sin +sin e) y=ln ( + ) f) y= ln ( + ). Na dite y () za y=5e + e + b) y () za y=e + e c) y () za y= sin +sin d) y ( π cos ) za y= +cos. Jedna stranica pravokutnika ima konstantnu veličinu a = cm, a druga stranica b raste konstantnom brzinom cm/s. Kojom brzinom rastu dijagonala i površina tog pravokutnika kada je b=cm?. Polumjer kugle povećava se jednoliko brzinom od 5cm/s. Kojom se brzinom povećava površina kugline plohe i volumen kugle u trenutku kada polumjer postane jednak 5cm?. Na dite derivaciju y funkcije zadane s ln y+ y = e, b) y = y +y. 5. Izračunajte vrijednost y funkcije (+y) = ( y) za =iy=. Napišite jednadžbu tangente na krivulju u točki T(, ). 6. Izračunajte vrijednost y funkcije y = +ln y točki T(, ). za =, y=. Napišite jednadžbu tangente na krivulju u 7. Na dite derivaciju y = dy d funkcije zadane parametarski: = ( +t, y= t ) b) = at +t +t, y= a( t ) +t 8. Izračunajte y = dy d = ( +t, y= t +t b) =t ln t, y= ln t, t=. t za zadanu vrijednost parametra t, ako je ), t= π, 9. Koristeći L Hospitalovo pravilo izračunajte cos sin lim, b) lim c) lim π tg tg 5, tg sin sin, e. d) lim

7 7 (četvrta zadać Tok funkcije. Odredite intervale rasta i pada, te lokalne ekstreme sljedećih funkcija f ()= + + b) f ()= + +5 c) f ()= + d) f ()= ( )(8 ) e) f ()= ( ) f) f ()= (+) g) f ()= ln h) f ()= e. Odredite intervale zakretanja, te točke pregiba sljedećih funkcija f ()= b) f ()= + c) f ()=(+ )e d) f ()= ln. Izračunajte sljedeće limese: lim (+)( ) 5+ c) lim 5 5 e) lim g) lim 7 9 i) lim( ) tg π b) lim + d) lim + f) lim 6 h) lim 8 5+ j) lim ln ln(). Ispitajte granično ponašanje sljedećih funkcija u okolini točaka prekida i u beskonačnosti. f ()= c) f ()= + e) f ()= e 5. Ispitajte tok i skicirajte graf sljedećih funkcija b) f ()= + d) f ()= + f) f ()=e f ()= b) f ()= 6 c) f ()= + 9 d) f ()= e) f ()= + f) f ()= g) f ()= e h) f ()= ln 6. Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu f ()= + + za [, 5 b) f ()= + + za [, c) f ()= za [ 5, + d) f ()= ( ) za [, 6

8 Odredite stranice pravokutnika čija je površina 9cm tako da mu opseg bude minimalan. 8. Odredite stranice a, b pravokutnika čija je površina 6cm tako da zbroj a+b bude minimalan. 9. Zadanoj kugli radijusa R treba upisati valjak najvećeg volumena. Koje su dimenzije tog valjka?. Zadanoj kugli radijusa R treba upisati stožac najvećeg volumena. Koje su dimenzije tog stošca?

9 9 (peta zadać. Izračunajte neodre dene integrale: () d b) c) d d) 5 e) d f) cos g) (5 + 5)d h) (+ )( + )d ( (sin +5 cos )d (e + )d ) d. Na dite funkciju čija je derivacija y = 7+ ako je za = vrijednost funkcije 6.. Na dite funkciju čija je derivacija y = + 5 ako je za = vrijednost funkcije 9.. Brzina čestice koja se giba duž osi u trenutku t iznosi v(t)=t +. Odredite položaj čestice u proizvoljnom trenutku t ako je u trenutku t= čestica u točki =. 5. Brzina čestice koja se giba duž osi u trenutku t iznosi v(t)=t 8t+. Odredite položaj čestice u proizvoljnom trenutku t ako je u trenutku t= čestica u točki =. 6. Ubrzanje čestice koja se giba po osi iznosi a(t)=t + 6t. Odredite položaj i brzinu čestice u proizvoljnom trenutku ako je u trenutku t= brzina v=8 i položaj =8. 7. Ubrzanje čestice koja se giba po osi iznosi a(t) = 6t + 8. Odredite položaj i brzinu čestice u proizvoljnom trenutku ako je u trenutku t= brzina v= i položaj =5. 8. Izračunajte odre dene integrale: d) 9 ( + +)d b) d e) π ( + )d c) cos d f) π π 6 ( )d sin d 9. Izračunajte površine likova koji su ome deni s +y =, y=, =, = b) y+=, +y 5=, y= c) y=, y=, =, = d) y= +, y= e) y=, y= f) 7 9y+9=, 5 9y+7= g) y=sin, y= π h) y=sin, y=cos, π. Izračunajte neprave integrale: d) g) d b) d e) d h) π d cos c) d f) ( ) d d d

10 (šesta zadać. Poznavajući graf funkcije y=sin skicirajte grafove funkcija: y= sin ; b) y= sin ; c) y= sin(+π); d) y= sin ( π ).. Na dite najveću i najmanju vrijednost funkcija na zadanim intervalima: f ()= sin, [, π ; b) f ()=sin cos, [,π.. Odredite pomoću trigonometrijske kružnice: arc cos(cos( π )); b) arc sin(sin π )).. Na dite derivacije funkcija: f ()= arcsin (arc tg ) ; b) f ()= arc tg + arcsin. 5. Pod kojim kutem grafovi funkcija: y= sin ; b) y= arcsin sijeku os u ishodištu? 6. Izračunajte integrale / d, b) + d. 7. Izračunajte neprave integrale d, b) + d. 8. Poznavajući grafove funkcija y=e i y=ln skicirajte grafove funkcija y=ln( ) b) y= e c) y=e d) y=ln(+) 9. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcija: y= ln, b) y= e.. Primjenom prethodnog logaritmiranja derivirajte funkcije: y= (+) (+) ; b) y= ( ) 9 ( + ) 5 ( ) ; c) y= sin ; d) y=(cos ).. Vrijeme poluraspada radija je T= 69 godina. Koliko će ostati od grama radija nakon godina?. % radioaktivnog elementa raspadne se u godinu dana. Koliko je vrijeme poluraspada tog elementa?

11 (dodatni zadaci sa sustavim Riješite sustave Gaussovom metodom:. 5 7 = 8 FiXm ruka: s dva s. 8 = 7. 5 =. 7 =