1. Realni brojevi

Слични документи
Microsoft Word - 26ms281

1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - FINALNO.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 16ms321

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Microsoft Word - 26ms441

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

s2.dvi

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

0255_Uvod.p65

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Microsoft Word - VALJAK.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Microsoft Word - 12ms121

7. а) 3 4 ( ) ; б) ( ) ( 2 5 ) ; в) ( ) 3 16 ; г) ( ). 8. а) ( г) ) ( ) ; б)

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Matematika 1 - izborna

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 11ms201

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

untitled

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

Matematički leksikon

untitled

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 15ms261

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје

ALIP1_udzb_2019.indb

Zad.RGS.2012za sajt [Compatibility Mode]

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Algebarski izrazi (4. dio)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati

MATEMATIKA IZVEDBENI GODIŠNJI NASTAVNI PLAN I PROGRAM MATEMATIKE OSNOVNA ŠKOLA, 2. razred šk. god Planirala: Višnja Špicar, učitelj RN

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

UDŽBENIK 2. dio

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA PROBNI ZAVRŠNI ISPIT školska

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

PowerPoint Presentation

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

m3b.dvi

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Linearna algebra Mirko Primc

untitled

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

gt3b.dvi

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predava

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije

os07zup-rjes.dvi

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

Транскрипт:

.. Skupovi brojev N {, 2,,...,n, n +,...} Skup prirodnih brojev ztvoren je s obzirom n opercije zbrjnj i množenj. To znči d se bilo koj dv broj ili više njih) mogu zbrjti i množiti i ko rezultt opet dobivmo prirodni broj. Z {...,, 2,, 0,, 2,,...,n, n +,...} Skup cijelih brojev je osim opercij zbrjnj i množenj ztvoren i s obzirom n operciju oduzimnj. { } Q b :, b Z, b 0 U skupu rcionlnih brojev osim već nvedenih opercij definirno je i dijeljenje, pri čemu je djelitelj rzličit od 0. I { x : x sene može prikzti u obliku U skupu ircionlnih brojev nlze se oni brojevi koje ne možemo prikzti ko količnike dvju cijelih brojev. R Q I Skup relnih brojev je unij skupov rcionlnih i ircionlnih brojev. Svki relni broj možemo prikzti u končnom ili beskončnom decimlnom prikzu ± 0. 2... gdje je 0 prirodni broj ili nul,, 2,... su neke od znmenk 0,,...,9. Vrijede sljedeći skupovni odnosi: N Z Q R, I R Q I 0, Q I R } b Svojstv skupov N, Z i Q : Skup N im njmnji element, li nem njveći. Skup Z nem ni njmnji ni njveći element. Ako je Z, ond nem element u Z koji bi bio izmedu - i, tj. izmedu - i +. 2

.. Skupovi brojev Skup Q nem ni njmnji ni njveći element. Izme - du bilo koj dv rcionln broj i b < b ) postoji brem jedn rcionln broj c tkv d vrijedi < c < b. To svojstvo zove se gustoć skup Q. Jednkost rcionlnih brojev: b c d Opercije s rcionlnim brojevim: d b c b + c d + bc d bd b : c d b d c d bc b c d b : c d d bc bd b c d bc d Svki rcionlni broj može se krćenjem dovesti n oblik u kojem brojnik i nzivnik nemju zjedničkih djelitelj. Svojstv zbrjnj i množenj relnih brojev:. Komuttivnost: + b b +, b b 2. Asocijtivnost: + +c +b + c), c b c). Distributivnost množenj prem zbrjnju obostrn): b + c) b + c, + c c + b c. Postojnje neutrlnih element, 0 z zbrjnje i z množenje: + 0 0 +,. Postojnje suprotnog element z zbrjnje i recipročnog element z množenje: + ) )+ 0, Skup R je ureden, - tj. njegovi elementi mogu se medusobno - usporedivti: -. b ili b. 2. Ako je b i b, ond je b.. Ako je b i b c, ond je c.. Ako je b,tdzsvki c R vrijedi + c b + c.. Ako je 0 i0 b, ond je 0 b.

.2. Zdci Zdtk. Odredi pet uzstopnih: ) prirodnih brojev čiji je zbroj 70 prnih prirodnih brojev čiji je zbroj 90 c) neprnih prirodnih brojev čiji je zbroj 2 ) n 2, n, n, n +, n + 2 pet uzstopnih prirodnih brojev n 2 + n + n + n + + n + 2 70 n 70 / : n 2,,,, 2n, 2n 2, 2n, 2n + 2, 2n + pet uzstopnih prnih prirodnih brojev 2n + 2n 2 + 2n + 2n + 2 + 2n + 90 0n 90 / :0 n 9,,,, 22 c) 2n, 2n, 2n +, 2n +, 2n + pet uzstopnih neprnih prirodnih brojev 2n + 2n + 2n + + 2n + + 2n + 2 0n + 2 0n / :0 n 2 2, 2, 2, 27, 29 Zdtk 2. Izrčunj: ) + 2+ +...+ 22+ 2+ 2 2+ + +...+ 0+ 0+ ) Trženi zbroj oznčimo s S. Ztim pribrojnike npišemo u obrnutom poretku i zbrojimo te dvije jednkosti.

.2. Zdci S + 2 + +...+ 22 + 2 + 2 S 2 + 2 + 22 +...+ + 2 + 2S 2 + 2 + 2 +...+ 2 + 2 + 2 }{{} 2 pribrojnik 2S 2 2 / :2 S 2 2 S 00 Postupmo ko i u ) dijelu zdtk: S 2 + + +...+ 0 + 0 + S + 0 + 0 +...+ + + 2 2S 2 + 2 + 2 +...+ 2 + 2 + 2 }{{} pribrojnik 2S 2 / :2 S 7 2 S 9 Kko odredujemo - broj pribrojnik? Od zdnjeg čln trženog zbroj oduzmemo prvi čln, 2 99, te dobiveni rezultt podijelimo s rzlikom izmedu - svk dv čln koj u ovom zdtku iznosi, 99 :. Dodmo jer se broje i prvi i zdnji čln, +. Zdtk. N - di njveći zjednički djelitelj mjeru) i njmnji zjednički višekrtnik brojev i 92. Njveć zjedničk mjer je umnožk svih prostih fktor koji su zjednički i jednom i drugom broju. Njmnji zjednički višekrtnik jednk je umnoškusvih prostih fktor koji se jvljju ili u jednom ili u drugom broju. 92 2 0 9 2 0 2 NZD, 92) 2 2 2 2 2 NZV, 92) 2 2 2 90

Zdtk. Izrčunj: ) 7 0 99 ) :. ) : 2 ) + 0.7 : ) 7 0 99 ) : 0 + 7 99 ) 0 27 0 99 ) 27 99 90 77 79 90 7 90. ) : 2 ) + 0.7 : 0 ) : 2 + ) + 7 00 7 2 ) : 9 ) + ) + 9 9 9 ) + + 0 Zdtk. Izrčunj: ) : { 2 [ 2 + 2 ) : ]} 2 2 c) 0.7.2.2 + + 2 2 + 2 ) : 7 2 2 ) 9 2 : 7

.2. Zdci ) { [ : 2 2 + 2 ) : ]} 2 2 { [ : 2 2 + 2 2 + ) 2 { [ : 2 2 + 2 2 ]} { [ : 2 2 2 } : { 2 : { + 2 9 2 ]} ) 2 ]} { [ : 2 { [ : 2 ]} } : 27 + 2 2 + 2 2 2 ]} c) 0.7.2 7.2 + + 000 2 0 + 7 2 7 2 2 2 2 2 + 2 ) 7 2 2 + 2 2 + 2 2 2 2 2 7 2 2 0 2 + 2 : 2 ) 2 9 : 7 + 2 ) 2 + ) 2 7 + 9 7 ) 7 ) 2 2 9 7 + 7

+ 0 22 2 2 7 2 77 77 7 2 0 2 2 2 77 7 0 [ ] 2 7 72 2 7 7 2 7 0 Zdtk. Izrčunj x iz sljedećih jednkosti: ) x + 2) :2. 2 + [ ] 00 x) 2 :2 ) x + 2) :2. 2 + [ ] 00 x) 2 2 x + 2) : 2 0 00 x) 2 + 2 x + 2) 2 x 0 2 x + 2 2 x 0 x + 2 0 x 0 x 2 / : x / : x 2 x 22 Zdtk 7. Izrčunj vrijednost brojevnog izrz ) : + b b b z 2 i b 0..

.2. Zdci 2 2 + b 0. 2 2 0 ) : + b b b : 2 2 2 ) 2 + ) 2 9 : 0 9 7 : 0 9 7 : ) 7 0 0 Zdtk. Izrčunj b, b, + b b ko je + b. Iz + b slijedi + b, b 2. Utržene brojevne izrze umjesto b uvrstit ćemo 2 : b 2 2 b 2 + b b + 2 2 Zdtk 9. Poredj po veličini brojeve 2,, 2, 2 počevši od njmnjeg. Rzlomke ćemo proširiti tko d njihovi nzivnici budu jednki. Njmnji zjednički višekrtnik brojev,, 2 i 2 je broj 2. 2 2 + 2 2 + 2 2 2 2 2 2 < 0 2 < 2 2 < 2 2 2 2 0 2 2 < 2 < < 2 Zdtk 0. Poredj po veličini brojeve 7, 2,, 2. počevši od njvećeg. 9

7 2 2 2 2 2 + 7 2 2. 2 0 2 0 2 2 2 > 0 2 > 2 > 2 7 > 2. > > 2 Zdtk. Odredi sve cijele brojeve n z koje je dni rzlomk cijeli broj: ) 2 n ) 2 n n n c) 2n + n Nzivnik dnog rzlomk mor biti cjelobrojni djelitelj brojnik. n {±, ±2, ±, ±, ±, ±2} n n n + n n n + n + n Cjelobrojni djelitelji broj su brojevi i p mor vrijediti: n n 2 n n 0 c) 2n + n 2n + 7 2n ) n n + 7 n 2 + 7 n Cjelobrojni djelitelji broj 7 su brojevi ± i±7 p mor vrijediti: n n n n 2 n 7 n 0 n 7 n Zdtk 2. Odredi pet brojev čij je ritmetičk sredin 2., svki idući broj je od prethodnog veći z 0.. n, n + 0., n + 0., n + 0.9, n +.2 trženi brojevi 0

.2. Zdci Aritmetičk sredin n brojev je broj koji dobijemo kd njihovu sumu podijelimo s n. n + n + 0. + n + 0. + n + 0.9 + n +.2 2. n + / 2. n + n / : n 2.2 2.2, 2., 2.,.,. Zdtk. U nekom rzredu s 2 učenik prosječn ocjen ispit iz logike je 2.. Kolik je prosječn ocjen učenik koji su dobili pozitivnu ocjenu ko je četvero učenik dobilo? Oznčimo s n zbroj svih ocjen. Prosječnu ocjenu svih učenik dobijemo kd zbroj ocjen podijelimo s ukupnim brojem učenik. Iz te relcije izrčunt ćemo n. n / 2 2. 2 n 70 D bismo izrčunli prosječnu ocjenu pozitivno ocijenjenih učenik, od ukupnog broj učenik oduzmemo jer je četvero učenik dobilo, od zbroj svih ocjen oduzmemo jedinice. n 70 zbroj pozitivnih ocjen 2 2 broj učenik koji su dobili pozitivnu ocjenu 2 2.7 Prosječn ocjen pozitivno ocijenjenih učenik je 2.7.