Sigali i sustavi Auditore vježbe 6. Jedadžbe diferecija Koriste se u opisu diskretog sustava modelom s ulazo-izlazim varijablama. Određivaje odziva sustava svodi se a problem rješavaja jedadžbi diferecija. Načie rješavaja jedadžbi diferecija ilustrirat ćemo primjerima. Klasiči ači rješavaja Rješeje eomogei lieari jedadžbi diferecija općeito se dobiva kao zbroj:. rješeja omogee jedadžbe [] kojeg određuje struktura jedadžbe te. partikularog rješeja p [] kojeg određuje fukcija pobude. Zadatak. Zadatak. - karakterističa jedadžba Zadatak. - karakterističa jedadžba Riješi omogeu jedadžbu diferecija ] uz počete uvjete [ ] i [ ]. Jedadžbu zadovoljava fukcija []. Uvrštavajem [] u zadau jedadžbu dobivamo karakterističu jedadžbu Sređivajem dobivamo: Trivijalo rješeje je, dok etrivijalo rješeje traži:, ( ( ± ( Netrivijala rješeja karakterističe jedadžbe azivaju se vlastite frekvecije. ( ± ( (,, Jedadžbu zadovoljavaju izovi (, (. Rješeje omogee jedadžbe diferecija za različite i dobivamo u obliku: [ ] C C ( 6 Zadatak. - određivaje kostati Zadatak. - koačo rješeje Zadatak. Kostate C i C se određuju a temelju pozavaja početi uvjeta [ ] i [ ]. Početi uvjeti su [ ] i [ ]. Tada vrijedi: [ ] C ( [ ] C ( C C C C, C 6 7 Opće rješeje jedadžbe ] je C [ ], Z Uz počete uvjete [ ] i [ ] rješeje je [ ] ( +, Z 6 8 Nađi opće rješeje omogee jedadžbe diferecija ] ] Karakterističa jedadžba je odoso 9
Zadatak. - karakterističa jedadžba Zadatak. - karakterističa jedadžba Zadatak. Karakterističa jedadžba je trećeg reda. Sređivajem dobivamo: ( ( + ( + ( ( + ( + ( + Tada su vlastite frekvecije sustava,, Ovdje se radi o višestrukoj vlastitoj vrijedosti (dvostrukoj, pa je omogeo rješeje oblika: [ ] C ( C ( C ( Nađi opće rješeje omogee jedadžbe diferecija + [ ] Karakterističa jedadžba je odoso + + Zadatak. - karakterističa jedadžba Zadatak. - opće rješeje Zadatak. - koačo rješeje Rješavajem ove kvadrate jedadžbe dobivamo rješeja, ± j Rješeja možemo apisati preko modula i argumeta kao jπ + j e jπ j e Opće rješeje je prema tome [ ] C ( jπ jπ ( e ( e jπ jπ ( C e e Ekspoecijale fukcije možemo apisati i pomoću fukcija si[] i cos[]: [ ] ( ( ( jπ jπ ( Ce e π π π π ( C cos si cos si + jc jc π π (( C cos( + j( C C si( Uvodimo ove kostate A i B A C B j(c C Koačo rješeje je tada π π ( Acos( + B si( ( modul vlastite frekvecije faza vlastite frekvecije Određivaje omogeog rješeja Određivaje partikularog rješeja Zadatak. jedostruka reala vlastita frekvecija k-struka reala vlastita frekvecija kojugirao-kompleksi par kuta ±φ i modula k-struki kojugiraokompleksi par kuta ±φ i modula [] C [] (C + + k C k [] (A cos(φ + B si(φ [] cos(φ (A + A + + k A k + si(φ (B + B + + k B k Najveći broj pobuda zaimljivi za aalizu diskreti sustava dade se predstaviti ili aproksimirati izovima oblika polioma ili komplekse ekspoecijale. To je razlog da se metoda eodređei koeficijeata koristi u aalizi sustava (zbog jee jedostavosti. Riješi jedadžbu diferecija [ ] + [ ] + [ ] x [ ] uz pobudu ( za x [ ] iače te uz počete uvjete [ ] i [ ] 6 7 8
Zadatak. - omogea jedadžba Potrebo je riješiti eomogeu jedadžbu [] + [ ] + [ ] (, za Kada rješavamo eomogeu jedadžbu prvo rješavamo odgovarajuću omogeu jedadžbu, a oda metodom eodređei koeficijeata tražimo partikularo rješeje. Odgovarajuća omogea jedadžba je [] + [ ] + [ ], za Zadatak. - omogea jedadžba Karakterističa jedadžba jedadžbe [] + [ ] + [ ], za je ( + + Vlastite frekvecije su i Homogeo rješeje je oblika [] (C ( Zadatak. - partikularo rješeje Određivaje partikularog rješeja:. Pobuda je složea i predstavlja umožak polioma prvog reda i ekspoecijalog iza.. Za pobudu poliomom -tog reda partikularo rješeje će biti poliom -tog reda.. Za ekspoecijalu pobudu partikularo rješeje ima oblik komplekse ekspoecijale. Za ašu pobudu x[] ( za partikularo rješeje bi izgledalo ovako: p [] (A + B ( 9 Zadatak. - partikularo rješeje Partikularo rješeje je oblika p [] (A + B ( No budući da je frekvecija komplekse ekspoecijale jedaka vlastitoj frekveciji sustava koja je usto i dvostruka, partikularo rješeje treba pomožiti sa izom k gdje je k-stupaj višestrukosti vlastite frekvecije. Partikularo rješeje stoga postaje p [] (A + B ( Zadatak. - partikularo rješeje Uvrštejem partikularog rješeja u eomogeu jedadžbu i primjeom metode eodređei koeficijeata određujemo kostate A i B. Prvo odredimo p [], p [ ]i p [ ]. p [] (A + B ( (A + B ( p [ ] ( (A( + B ( ( A + A A + A B + B B ( p [ ] ( (A( + B ( (A 6A + A 8A + B B + B ( Zadatak. - partikularo rješeje Uvrstimo p [], p [ ]i p [ ]u jedadžbu: (A + B ( + ( A + A A + A B + B B ( + (A 6A + A 8A +B B + B ( ( ( Grupirajem uz pojedie potecije od dobivamo: uz : A A + A uz : 6A 6A + B B + B uz : 6A + A + B B 6A uz : A 8A B + B 6A + B Zadatak. - partikularo rješeje Zadatak. - ukupo rješeje Zadatak. - ukupo rješeje Sada odredimo koeficijete A i B. 6A 6A + B Iz gorji jedadžbi je A /6 i B /. Partikularo rješeje je p[ ] + (, 6 Ukupo rješeje je zbroj omogeog i partikularog rješeja: [ ] C ( + + (, 6 Sada je iz zadai početi uvjeta [ ] i [ ] potrebo odrediti C i C. Rješeje je ispravo samo za, te ije moguće izravo koristiti [ ] i [ ]. Moramo izračuati [] i [] da bi odredili ( Račuamo [] i [] iz [ ] i [ ] prema [] ( [ ] [ ]: [] ( [] ( ( Sada određujemo C i C : [] ( C + C ( + + ( 6 [] ( C ( + + ( 6 C i C. 6 7
Zadatak. - koačo rješeje Dobivamo C i C /. Opće rješeje jedadžbe je [ ] 6 ( C ( + + (, Rješeje uz zadae počete uvjete [ ] i [ ] je [ ] ( + + (, 6 Zadatak. Riješi jedadžbu [] + [ ] + [ ] x[] uz supstituciju. Dakle potrebo je riješiti jedadžbu [ + ] + [ + ] + [ ] x[ + ] uz pobudu ( za x [ ] iače Zadatak. Karakterističa jedadžba je ( + + Rješeja zamo iz pretodog zadatka. Neomogea jedadžba je [ + ] + [ + ] + [ ] x[ + ] odoso [ + ] + [ + ] + [ ] ( + ( Partikularo rješeje je oblika p [ ] (C + D ( 8 9 Zadatak. - partikularo rješeje Uvrštejem partikularog rješeja u eomogeu jedadžbu i primjeom metode eodređei koeficijeata određujemo kostate C i D. Prvo odredimo p ['], p [' + ] i p [' + ]. p ['] ' (C' + D ( ' (C' + D' ( ' p [' + ] (' + (C(' + + D ( ' + ( C' C' A' C D' D' D ( ' p [' + ] (' + (C(' + + D ( ' + (C' + 6C' ' + 8C + D' +D' + D ( ' Zadatak. - partikularo rješeje Uvrstimo p ['], p [' + ] i p [' + ] u jedadžbu: (C' + D' ( ' + ( C' C' C' C D' D' D ( ' + (C' + 6C' ' + 8C +D' +D' + D ( ' ( ' + ( ' Grupirajem uz pojedie potecije od ' dobivamo: uz ' : C C uz ' : 6C + 6C + D D + D uz ' : 6C + D D 6C uz ' : C + 8C D + D 6C + D Zadatak. - partikularo rješeje Sada odredimo koeficijete C i D. 6C 6C + D Iz gorji jedadžbi je C /6 i D /. Partikularo rješeje je ' p[ ' ] ' + ' (, ' 6 Zadatak. - koačo rješeje Ukupo rješeje sada jedostavo odredimo kao zbroj omogeog i partikularog rješeja: [ '] 6 ' ' ( C + ' C ( + ' + ' (, ' Zadatak. - kometar Uočavamo da jedadžbe [] + [ ] + [ ] x[] [ + ] + [ + ] + [ ] x[ + ] imaju idetičo opće rješeje, tj. ekvivalete su. Prva se realizira pomoću elemeata za jediičo kašjeje (E, druga pomoću elemeata za predikciju (E! Zadatak 6. - Fiboaccijevi brojevi Fiboaccijevi brojevi {c } defiirai su rekurzivo c, c, c c + c, što možemo promatrati kao jedadžbu diferecija. Riješi tu jedadžbu. metodom korak-po-korak. klasičim ačiom 6
Zadatak 6. - metoda korak-po-korak Zadatak 6. - klasiča ači Zadatak 6. - klasiča ači Račuamo svaki ovi čla c a temelju dva pretoda prema c c + c,. Dobivamo,,,,, 8,,,,, 89, Običo se implemetira a račualu. log it fibboaci(it { it i, c, c, c; c ; c ; c ; for(i ; i < ; i++ { c c + c; c c; c c; } /* for */ retur( c ; } /* fibboaci */ 7 Rješavamo jedadžbu c c + c Karakterističa jedadžba je + odoso ako sređivaja ( Korijei su ( ± ( ( ±, Rješeje je oblika + c C 8 Kostate C i C određujemo iz početi uvjeta c i c. c C + ( ( C + ( ( + C c C Dobivamo C, C i koačo rješeje C +, C + + c +, 9 Zadatak 7. Bakterije se razmožavaju prema ovoj semi: svaka živi dva sata i svaki sat daje jedu ovu bakteriju (dakle, samo dvije tijekom života. Koliko je živo potomstvo jede bakterije ako sata, ako 8 sati i općeito ako sati od pojave prve bakterije? Zadatak 7. - rješeje Ozačimo sa b tražei broj Evideto vrijedi b, b, b Za, b b - predstavlja broj bakterija koje žive kao potomstvo bakterija živi ako - sati, a ti je s druge strae b - b b - +b - Radi se o istoj jedadžbi diferecija kao i u prošlom zadatku (Fiboaccijevi brojevi, ali su počete vrijedosti pomakute za dva mjesta uaprijed. b c + Specijalo; b c 6 768, te b 8 c 6 bilijua