PowerPoint Presentation

Транскрипт

1 Predavaje # 6: Adaptiva regulacija i etimacija parametara Ukratko će e predtaviti ljedeći tipovi adaptivih regulatora: Gai-chedulig regulator, Samopodeivi auto-tuig regulator, Samopodešavajući elf-tuig regulator, Adaptivi regulator zaova a primjei referetog modela Opiat će e ideja idetifikacije modela procea, te će e poebo ovruti a potupke zaovae a miimiziraju redjeg kvadratog odtupaja predikcije modela tzv. Leat-Square potupak etimacije parametara. Pritom će e razmotriti idetifikacija procea zaovaa a prethodo imljeim podacima off-lie, i u realom vremeu o-lie. Literatura: [] K. J. Atröm, B. Wittemark: "Computer Cotrolled Stem", Pretice-Hall, Lodo, 984. [] R. Ierma: Digital Cotrol Stem, Spriger-Verlag, Berli, 989. [3] M. S. Grewal, A. P. Adrew: Kalma Filterig heor ad Practice, Joh Wile & So, New York, USA,.

2 Uvod u utave adaptive regulacije Primjea regulatora fikim parametrima ima mila amo ako e parametri objekta upravljaja procea e mijejaju začajo. Ukoliko u vjerojate začaje promjee parametara objekta upravljaja odoo jegove diamike, potrebo je primijeiti odgovarajuću trukturu regulatora koja će moći očuvati povolju kvalitetu odziva regulacijakog kruga. Pritom e ajčešće korite dva pritupa: Regulator podeše za robuo vladaje regulacijkog kruga za širok rapo promjee parametara četo e aziva i robui regulator. Adaptivi regulator, odoo regulator koji e prilagođuje adaptira promjeama parametara procea. Ovi regulatori e mogu podijeliti u ekoliko podkupia: Regulator prepodešavajem pojačaja ovio o radoj točki Gai Schedulig Cotroller, GSC Samopodeivi regulator Auto-uig Cotroller, AC Samopodešavajući regulator Self-uig Cotroller, SC Adaptivi regulator zaova a referetom modelu Model Referece Adaptive Cotroller, MRAC

3 ... Gai Schedulig Cotroller Ovaj tip adaptivog regulatora prepodešava pojačaja odoo parametre regulatora ovio o radoj točki u kojoj e proce alazi korištejem preglede tablice. Jeda primjer ovakvog regulatora je autopilot borbeog zrakopolova F-4E Phatom, koji e prepodešava ovio o admorkoj viii, brzii, apadom kutu... Regulator Parametri regulatora R Proraču pojačaja parametara Z.O.H. z Vajki poremećaj * Proce i u u u... r R - e G R z u * e u G p u p Pricipi blokovki dijagram utava Gai- Schedulig regulatorom. Pregleda Look-up tablica za podešavaje parametara regulatora.

4 Auto-uig Cotroller U ovoj trukturi regulator e podešava periodički pr. a početku ili a kraju jedog radog ciklua ili a zahtjev operatera kada zamijeti loše vladaje regulacijkog kruga. Etimacija parametara može e proveti otvoreom krugu temeljem odziva procea a tep pobudu ili dovođejem zatvoreog regulacijkog kruga u režim graičo tabilih ocilacija. Podešeje regulatora može e zaivati a aalitičkim izrazima metoda tep odziva za EC ili praktičim preporukama pr. prema akahahiu. R - e Regulator pr. PID Proraču parametara regulatora Proraču parametara adomjeog modela u K p, u, G Proce R - e Regulator pr. PID Proraču parametara regulatora u w cr, K cr Etimiraje kritiče frekvecije i pojačaja Proce a Ipiti igal b Releji čla Pricipi blokovki dijagrami utava Auto-uig regulatorom: etimacija parametara zaovaa a tep ipitom igalu a i a izazivaju graičo tabilih ocilacija b.

5 Self-uig Cotroller SC Ovaj adaptivi regulator zaiva ea o-lie proračuu etimaciji parametara diamičkog modela procea pr. etimacija parametera ARX modela RLS potupkom. Pritom je petlja adaptacije običo za red veličie porija od regulacijke petlje diamika etimacije parametara e utječe a tabilot. Nadalje, etimirai parametri procea e vrlo četo oredjavaju filtriraju NP filtrom, kako bi e izbjeglo da dođe do aglih promjea u izoima parametara regulatora tj. da e otvari bump-le adaptacija. R Regulator Proraču parametara regulatora Adaptacijka petlja pora Idetifikacija modela procea Z.O.H. * Proce u HOLD ESIM. HOLD ESIM. HOLD t R - e G R z u * e u G p Ipiti igal Regulacijka petlja brza t Pricipi blokovki dijagram utava a Self- uig regulatorom. Iključivaje etimacije/adaptacije obzirom a varijacu pobudog ulazog igala procea. Kod o-lie etimacije i adaptacije regulatora treba voditi račua o perziteciji pobude, tj. etimacija i adaptacija da trebaju biti omogućee amo ako pobudi ulazi igal procea ima dovoljo izražeu diamiku pobuđuje ve bite modove procea.

6 Model Referece Adaptive Cotroller MRAC Adaptacija regulatora e provodi a temelju odtupaja vladaje objekta upravljaja regulatorom od željee diamike opiae referetim modelom. Potupak adaptacije regulatora atoji veti pogrešku u odou a modelku diamiku a miimala izo, te je potrebo defiirati vezu između pogreške lijeđeja modelke diamike e M i parametara regulatora R. Adaptacijka petlja ima brzu diamiku, te je potrebo pažljivo defiirati kriterij adaptacije kako regulacijki krug adaptacijkom petljom e bi potao etabila. R - e R Adaptacijka petlja G R z Regulator u * Refereti model Potupak podešavaja regulatora Z.O.H. e u ^M Proce G p Regulacijka petlja e M - Pricipi blokovki dijagram utava MRAC regulatorom. * Neke od metoda podešavaja adaptivog regulatora tipa MRAC: M.I.. metoda: dr dt em grad em Metode zaovae a teoriji tabiloti Lapuova: V e M dv e dt M R

7 Iterativot!! Idetifikacija modela procea Defiicija: Određivaje trukture i parametara matematičkog modela koji zadovoljavajuće točo opiuje tatičko i diamičko vladaje objekta upravljaja. Idetifikacija procea uključuje ljedeće korake:. Plairaje pokua: - off-lie ili o-lie idetifikacija - odabir ipitog igala tep, pravokuti igal, PRBS, BLWN - odabir amplitude i pektra pobudog igala. Izbor trukture modela procea: - lieari modeli vremeki kotiuirai/dikreti, prijeoa fukcija/ protor taja... - eliari modeli model u protoru taja, euroke mreže, eizrazita logika 3. Etimacija parametara pr. primjeom LS/RLS potupka etimacije, gradijeti potupci, teorija Lapuova, geetki algoritmi... i izbor kriterija optimaloti pr. miimum redjeg kvadratog odtupaja 4. Validacija modela a odvojeom etu podataka: - povolja vrijedot kriterija kvalitete - idetificirai model predtavlja tzv. miimalu realizaciju - pogreška predikcije modela ije začajo amokoreliraa liča bijelom šumu

8 Plairaje pokua i izbor ipitog igala Plairaje pokua ovii o pecifičotima objekta upravljaja procea, pr. u idutriji četo ije moguće mjeriti ve procee veličie iti korititi pecijalizirae ezore. Stoga e idetifikacija vrlo četo temelji a tadardim proceim mjerejima i odgovarajućim ipitim ulazim igalima. Ulaze varijable ipiti igali u u u m PROCES Izlaze varijable tadarda mjereja Svim potupcima idetifikacije je zajedičko da je a ulaz procea potrebo doveti ipiti igal takve aravi da može pobuditi ve odoo ve važije apekte diamike procea modove procea. U tu vrhu ajčešće e korite ljedeći tipovi pobudih igala: a Step pobuda pul i pravokuti igal - četo e korite u idetifikaciji modela procea za primjeu u amopodeivim Auto-tuig regulatorima. b Peudolučaji biari igal Peudo-Radom Biar Sigal, PRBS i bijeli šum ograičeog pektra Bad-Limited White Noie, BLWN primjea u amopodešavajućim Self-tuig regulatorima c Harmoički iui igal i tzv. chirp igal iui igal promjejive frekvecije koriti e ajčešće za etimaciju frekvecijkih karakteritika procea

9 .5.5 t [] Pravokuti pul Pravokuti iz i iui igal Chirp igal BLWN igal. f [Hz] t [] f [Hz] t [] f [Hz] Ipiti igali i pripadajući amplitudi pektri t [] f [Hz] Pravokuti pul dobro pobuđuje ikofrekvecijke modove objekta procea, dok mu viokfrekvecijki adržaj opada razmjero frekvecijom. Pogoda za određivaje prijelaze karakteritike odziva. Siui igal pogoda je za određivaje frekvecijkih karakteritika točku po točku jer ažo pobuđuje amo jedu frekveciju iu. U tu vrhu može polužiti i pravokuti iz, time da o u ebi adrži i tzv. više harmoike, pa je moguće odrediti ekoliko točaka itodobo. Chirp igal je izimo pogoda za određivaje frekvecijkih karakteritika u jedom koraku jer ima vrlo bogat frekvecijki adržaj, a frekvecija rate liearo u vremeu. BLWN igal i PRBS također ima bogat frekvecijki adržaj, o češće e koriti za idetifikaciju tzv. modela vremekih izova ARX, ARMAX i l..

10 U praki četo ije moguće raditi idetifikaciju u otvoreom krugu, jer otvaraje regulacijke petlje podrazumijeva prekidaje rada regulatora, a time i ormalog rada potrojeja oim ako e e radi o redovitom prekidu rada zbog remota. U takvim lučajevima ipiti igal e adodaje upravljačkom igalu izlazu regulatora, te e idetifikacija provodi a tako dobiveim izlazim igalima. Ipiti igal Regulator Z.O.H. Proce R - e G R z u e G p Idetifikacija u zatvoreom regulacijkom krugu.

11 Varijable taja mjerljive Ulaz Parametri. Izbor trukture modela procea Pod trukturom modela procea podrazumijeva e red diamičkog modela i vrta modela lieari/elieari model, protor taja/prijeoa fukcija. Struktura modela procea odabire e ajčešće a temelju ekih prethodih a-priori azaja o proceu. Na primjer, elatiči dvomaei utav ima jeda ulaz momet motora i jeda izlaz brziu vrtje motora, a može e opiati liearim diamičkim modelom 3. reda u protoru taja ili u obliku prijeoe fukcije: m m J J c J d J d J c J d J d w w w w J c d J m w w m m w w m Ulaz Mjereje Parametri J J m G m m w w

12 Općeito gledao, za kvalitetu idetifikaciju poželjo je zati kojeg bi reda mogao biti proce odoo kojeg je reda jegova domiata diamika, te e može idetificirati tzv. black-box model procea koji SISO utav glai: k f k, k, u k, u k,, θ Vektor parametara Mjereja Ulazi u proce Pritom e vrlo četo korite lieari modeli procea pr. model prijeoe fukcije: Poliom reda m m parametara Moički poliom reda - parametar Procea mjereja omiali parametri B q k u k A q Vremeki-dikreti operator jediičog kašjeja U vrhu ocjejivaja kvalitete modela mjere koliko dobro model opiuje tatičko i diamičko vladaje procea, potrebo je defiirati odgovarajući kriterij optimaloti kriterijku fukciju. U praki e vrlo četo koriti kriterij redjeg kvadratog odtupaja Mea Squared Error, MSE, odoo redjeg izoa ume kvadrata predikcijke pogreške: N J θ [ k, θ ˆ k, θˆ] k Predikcijka pogreška Predikcija etimirai izlaz za dae etimirae parametre modela procea

13 Ova kriterij e vrlo četo proširuje dodatim težikim člaom koji uzima u obzir ložeot trukture modela red modela, te e takav kriterij aziva AIC kriterij Akaike Iformatio Criterio: J θ N k [ k, θ ˆ k, θˆ] Normiraje log m m ord B ord A Naglaak e ada daje a čim jedotaviji model koji dobro opiuje vladaje procea. Jedotavot modela povolja je a taovišta: Dijagotike ukoliko e model koriti za praćeje vladaja procea, jegov izlaz će biti maje ojetljiv a šum Regulacije jer će jedotaviji model procea rezultirati i regulatorom ižeg reda. ako e mogu izbjeći problemi a relativom tabilošću regulacijkog kruga povezai umeričkom točošću etimacije parametara modela viokog reda. Potupci etimacije parametara mogu e kategorizirati kao: a Potupci koji e rabe a prethodo imljeim podacima off-lie, te potupci koji e provode u realom vremeu o-lie, b Etimacija u vremeki-kotiuiraom ili dikretom području, te etimacija u frekvecijkom području etimacija frekvecijkih karakteritika.

14 3. Validacija modela Validacija kazuje koliko dobro idetificirai model predviđa vladaje objekta upravljaja u milu tatičke točoti i praćeja domiate diamike procea Nadalje, potrebo je da model procea udovoljava ljedećim uvjetima: a Potupak etimacije parametara modela rezultira miimumom kriterija optimaloti, b Model predtavlja miimalu realizaciju tj. dobive je model ajižeg reda koji dobro prati diamiku procea, c Pogreška predikcije ek = k k ^ ije koreliraa, odoo ima vojtva blika bijelom šumu, a što e u praki određuje račuajem autokorelacijke fukcije: R ee N N k e k e k Normiraje R Ree max R Kvaliteta etimacije ovii o tome kako je potavlje problem idetifikacije. Loše potavlje problem idetifikacije loš izbor ipitog igala, trukture/reda modela, ili kriterijke fukcije, rezultirat će idetificiraim modelom koji eće dobro opiivati tatičko i diamičko vladaje procea. ada je potrebo revidirati rezultate, odrediti vjerojati uzrok pogreške, i pooviti potupak idetifikacije. ee ee Uvjet ekoreliraoti, R ee,

15 Broj parametara Broj mjereja 4. Etimacija parametara primjeom kriterija redjeg kvadratog odtupaja Pretpotavlja e da e izlaza mjerea varijabla može aprokimirati u fukciji ulaze varijable x a ljedeći ači: i i i t t t t gdje u,,..., pozate fukcije, dok u,,..., epozati parametri. Uz pretpotavku jedake točoti vih mjereja, pricip miimuma kvadratog odtupaja alaže da parametri,,..., moraju biti takvi da e potiže miimum kriterija optimaloti: N i i i J ] ˆ [ θ gdje i predtavlja i-to mjereje izlaze varijable, dok predtavlja etimat i-tog mjereja a oovi ulaza x i parametara modela,,...,. ˆ t t t i Uvode e ljedeće uptitucije vektorko-matriči zapi: φ θ N t N t t φ φ φ Φ

16 Odatle e problem optimizacije može apiati u ljedećem obliku: Uz daljju uptituciju J θ [ ˆ] [ ˆ] ˆ Euklidka orma razlike procjee izlaza i mjereja ˆ Φθ, optimizacijki problem poprima koači matriči oblik: J θ [ Φθ] [ Φθ] Rapiivajem kriterijke fukcije dobije e ljedeći izraz: J θ Φθ θ Φ θ Pozitivi elemeti: fukcija ima miimum Nako deriviraja i izjedačavaja ulom dobije e: Φ Φθ θ Φ Φ Φθ Odakle lijedi da je Φθ Odoo kriterij redjeg kvadratog odtupaja ima miimum J = za lučaj kada je F F = F, odoo za izbor parametara: θ Φ Φ Φ Peudoiverzija matrice F

17 Da bi izbjegla igularot peudoiverzije matrice F, matrica F F mora biti dobro kodicioiraa, što e pri idetifikaciji procea potiže perzitetom pobudom koja pobuđuje ve bite modove procea povolja amplituda i širok frekvecijki pektar. Ukoliko matrica F F ije dobro kodicioiraa može doći do razmjero velike pogreške etimacije parametara parametri i mogu poprimiti erealo vioke vrijedoti. Detekcija loše etimacije parametara: O-lie uporedba odziva modela procea i objekta upravljaja. Praćeje vrijedoti determiate matrice F F, gdje mali izoi bliki uli ugeriraju matricu bliku igularoj. Problem loše kodicioiraoti matrice F F za lučaj labe popujeoti veliki etovi mjereja moguće je do eke mjere kompezirati uvođejem tzv. egzakte regularizacije u kriterij optimaloti I = jediiča matrica: θ Φ Φ I Φ Regularizacijki faktor J θ [ Φθ] [ Φθ] Iθ θ θ Ovakav izbor kriterija optimaloti rezultira ljedećim rješejem problema optimizacije, odoo izrazom za optimale parametre: Može e u ekim lučajevima izbjeći loša kodicioiraot matrice

18 Stohatičke perturbacije bijeli šum 5. Off-lie etimacija parametara liearog diamičkog utava Neka je model procea takozvai ARX model Auto Regreive with exogeou iput: Aq - k = Bq - uk ek Nadalje, eka je red polioma A jedak i eka je red polioma B jedak m =. emeljem ARX modela vektor parametara polioma A i B i izlaz procea mogu e zapiati kako lijedi: b b b a a a θ q b q b b q q B q a q a q a q A gdje je vektor k- defiira a ljedeći ači: k u k u k u k k k k φ Uz matricu F i vektor izlaza defiirae kako lijedi: N φ φ Φ dobije e izraz za etimaciju parametara modela u prije opiaom obliku Φ Φ Φ θ k e k k θ φ N Razmjero jedotava model, priklada za izvod algoritma etimacije parametara

19 U praki e, oim ARX modela, četo ureću ljedeći modeli: - AR Auto-Regreive model: Aqk = ek Bijeli šum Ukoliko a zaima diamika obzirom a tohatički poremećaj. - ARMAX Auto-Regreive Movig Average with exogeou iput model: Aqk = Bquk Cqek Obojei šum Formalo točiji model u odou a ARX koji daje dodati tupaj lobode u modeliraju tohatičkog poremećaja kao obojeog šuma - Box-Jeki model je poopćei model koji odvojeo modelira determiitičku i tohatočku diamiku objekta upravljaja: B q D q k u k e k A q C q Obojei šum Složeiji model rezultira ložeijim algoritmom etimacije parametara Moguće je umjeto parametara vremeki-dikretog modela etimirati parametre vremeki-kotiuiraog modela procea, kao a primjer: a a a b u bu b u bu

20 Međutim, tada je potrebo etimirati vremeke derivacije izlazog i ulazog igala kako bi e mogao primjeiti LS potupak etimacije parametara = [a... a b... b ]. Vremeke derivacije moguće je etimirati primjeom filtra varijabli taja, čija realizacija polazi od kaokog forme modela filtra u protoru taja. f ŷ f ŷ ŷ f * a - * a ŷ f * a a a a a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ * * * * * Parametri filtra varijabli taja, pr. prema optimumu dvotrukog odoa Filtar varijabli taja za rekotrukciju prvih triju vremekih derivacija igala. Oova predot filtra varijabli taja leži u čijeici da u ve vremeke derivacije filtrirae itom diamikom imaju ita ekvivaleta kašjeja.

21 6. Rekurzivi potupak etimacije parametara liearog diamičkog utava Prethodo objašjei potupak etimacije parametara primjeo Leat Square LS kriterija može e efikao primijeiti amo za lučaj off-lie etimacije. Naime, potupak u ebi adrži iverziju matrice F F, što je umerički izuzeto zahtjevo. Stoga e za o-lie primjee koriti rekurzivi potupak etimacije Recurive Leat Square, RLS koji e ovdje daje bez izvoda: θ k θ k K k[ k φ k θ k] Itegrator Korekcija obzirom a mjereja Proraču parametara a temelju mjereja K k P k φ k [ φ k P k φ k ] Proraču optimalih pojačaja P k [ I K k φ k ] P k Faktor zaboravljaja Etimacija matrice kovarijaci parametara Kk je vektor matrica pojačaja za korekciju vektora parametara a oovi mjereja. Matrica Pk daje procjeu kovarijaci odtupaja etimiraih parametara od jihovih tvarih vrijedoti. Što je etimat odtupaja veći, to će i člaovi dijagoali matrice kovarijaci P biti većih izoa.

22 Izbor faktora zaboravljaja: je lučaj kada ema zaboravljaja prošlih vrijedoti parametara, odoo RLS algoritam e poaša kao itegrator z/z pora diamika etimacije, je lučaj brzog zaboravljaja prošlih vrijedoti parametara, a RLS algoritam e poaša kao brzi P čla z/z praćeje brzih promjea parametara. Izbor početih vrijedoti: Početi izoi parametara e potave a pretpotavljee vrijedoti ili a ulu. Početi izoi matrice kovarijaci P = mi m = 4 radi brze kovergecije. Praćeje moitorig etimacije: Zaiva e a praćeju izoa člaova matrice kovarijaci P. Ukoliko izoi člaova matrice P ratu u vremeu egl. P matrix blow-up, što ugerira progreivo povećaje izoa odtupaja parametara od realih vrijedoti, tada je potrebo zautaviti etimaciju parametara. Ova mjera može e primijeiti uz moitorig perzitetoti pobude.

23 Rekurzivi potupak etimacije parametara primjeom Kalmaovog filtra Etimacija e vodi a etimaciju varijabli taja liearog vremekidikretog tohatičkog utava zadaog u protoru taja a ljedeći ači: Jedadžba taja: Izlaza jedadžba: x k x k ν k k H k x k e k Rk dotupa iz mjereja Šum mjereja Perturbacije u varijablama taja Neovii tohatički Gauovki procei očekivajima jedakim uli. Varijable taja xk tohatičkog utava opiae u očekivajem Exk i matricom kovarijaci odtupaja od očekivae vrijedoti Pk: P k P k Q k Qk- Kalmaov filtar je karakterizira miimumom kvadratog odtupaja procjee u odou a očekivae vrijedoti varijabli taja uz pozate matrice Q i R: Kalmaov filtar: poopćeje RLS algoritma P k P k K k H k P k Q k, K k P k H k H k P k H k, R k xˆ k xˆ k K k[ k H kˆ x k ]. Veći tupaj lobode u podešavaju diamike etimacije

24 Podešavaje Kalmaovog filtra odabirom matrica Q je kompromi između: olajaja a mjereja i bolje točoti lijeđeja varijabli taja veći izoi Q i K, povoljog odoa igal/šum u procijejeim tajima maji izoi Q i K. Poboljšaje lijeđeja Kalmaovog filtra: adaptacijki mehaizam zaova a proračuu kumulative ume predikcijke pogreške. Algoritam detekcije agle promjee varijabli taja k uk- ˆ k Kalmaov filtar etimator xˆ k k ˆ k Kumulativa uma gk Q Q adapt gk- q - RESE q - g t Q Proraču pojačaja K Kk Blokovki dijagram adaptacije Kalmaovog filtra. Diamika P matrice