Microsoft Word PRCE.doc

Транскрипт

1 Iva Prce * Domiika Crjac ** Martia Crjac *** POMORSKO OSIGURANJE ISSN (11-16) NEIZVJESNOST PARAMETARA U OSIGURANJU Ucertaity of parameters i isurace policy UDK Prethodo priopćeje Prelimiary commuicatio Sažetak Modeli rizika proučavaju se uglavom kada su s izvjesom sigurošću pozati parametri. Ipak, parametri redovito isu eksplicito pozati, pa ih treba procijeiti iz odgovarajućeg skupa podataka. Pokazat će se kako se eki modeli mogu proširiti i pri tome dopuštaju eizvjesost parametara. Ključe riječi: portfelj, polica, parametar, distribucija, očekivaje, varijaca, šteta. Abstract Risk models are mostly ivestigated i cases where parameters are kow with a positive certaity.usually parameters are ot explicitly kow, therefore they eed to be estimated from the correspodig data set. Key words: portfolio, isurace policy, parameter, distributio, expectatios, variace, damage. 1. Uvod Itroductio U [] su proučavai modeli rizika uz pretpostavku da su sa sigurošću pozati parametri, to jest mometi a u ekim slučajevima i distribucije, broja šteta i izosa idividualih šteta. Općeito ti parametri eće biti pozati, ego će ih trebati procijeiti iz odgovarajućeg skupa podataka. *mr. sc. Iva Prce, Sveučilište u Dubroviku, Ćira Carića 4, 0000 Dubrovik **Domiika Crjac, ig. mat. i dipl. oec., Elektrotehički fakultet, Osijek ***Martia Crjac, dipl. oec., Lura d.d., Zagreb Vidjet će se kako se modeli opisai u [] mogu proširiti tako da dopuštaju eizvjesost parametara. To će biti učijeo promatrajem iza primjera. Većia, ali e svi, tih primjera razmatrat će eizvjesost u distribuciji broja šteta.. Neizvjesost u heterogeom portfelju Ucertaity i heterogeeous portfolio Promotrit će se portfelj koji se sastoji od ezavisih polica. Skupe štete astale po i-toj polici ozačee su slučajom varijablom S i, gdje S i ima složeu Poissoovu distribuciju [] s parametrima λ i i F(x). Uočite kako je, radi jedostavosti, pretpostavljeo da je distribucija izosa idividualih šteta, F(x), jedaka za sve police. U ovom primjeru pretpostavlja se da je distribucija izosa idividualih šteta, tj. F(x), pozata, ali su vrijedosti Poissoovih parametara, tj. λ i, epozate. U ovom radu { } i λ se tretira kao skup ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli s pozatom distribucijom. To zači da ako je iz portfelja izabraa polica a slučaja ači, tada se pretpostavlja da jezi Poissoov parametar ije pozat, ali se o jemu mogu stvarati vjerojatose tvrdje. Na primjer, ''postoji 50% vjerojatosti da je jezi Poissoov parametar između 3 i 5''. Važo je razumjeti da je Poissoov parametar police izabrae iz portfelja fiksa broj. Problem je u tome što je taj broj epozat. 11

2 .1. Primjer E[S i ] = E[E[S i λ i ]] = E [λ i m 1 ] = 0,m 1 Pretpostavimo da su Poissoovi parametri polica iz portfelja epozati, ali jedako vjerojati 0,1 i 0,3. (i) Treba proaći očekivaje i varijacu (s pomoću m 1 i m ) ukupih izosa šteta slučajo odabrae police iz portfelja. (ii) Treba proaći očekivaje i varijacu (s pomoću m 1 i m i ) ukupih izosa šteta cijelog portfelja. Moglo bi pomoći da se o ovome razmišlja kao o modelu dijela portfelja osiguraja motorih vozila. Police u cijelom portfelju podijeljee su po svojim vrijedostima faktora za određivaje premije, kao što su ''dob vozača'', ''tip vozila'', te čak i ''proteklo iskustvo o štetama''. Police u razmatraom dijelu portfelja imaju jedake vrijedosti tih faktora za određivaje premije. Međutim, postoje eki faktori, kao a primjer ''vještia vožje'', koji se e mogu lako mjeriti, pa se e mogu eksplicito uračuati. Pretpostavlja se da su eki od tih osiguraika u tom portfelju ''dobri'' vozači, a ostali ''loši'' vozači. Distribucija izosa idividualih šteta jedaka je za sve vozače, ali je broj astalih šteta za ''dobre'' vozače maji (prosječo 0,1 godišje) ego za ''loše'' vozače (prosječo 0,3 godišje). Pretpostavlja se kako je pozato, moguće iz acioalih podataka, da je osiguraik u tom dijelu portfelja s jedakom vjerojatošću ''dobar'' vozač ili ''loš'' vozač, ali da se e može zati je li određei osiguraik ''dobar'' vozač ili je ''loš'' vozač. Neka je λ i,,,...,, Poissoov parametar i-te police u portfelju. { } i λ se promatra kao skup ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli, svaka sa sljedećom distribucijom P(λ i =0,1) = 0,5 P(λ i =0,3) = 0,5. Var[S i ] = E[Var[S i λ i ]] + Var [E[S i λ i ]] = E[λ i m ] + Var[λ i m 1 ] = 0,m + 0,01m 1. (ii) Slučaje varijable { S i} su ezavise i jedako distribuirae, svaka s distribucijom S i daom u dijelu (i). Dakle, mogu se upotrijebiti rezultati iz (i) za: E = E S = S.. Primjer [ i ] 0, m1 [ S ] = 0, m 0, 01m i = Var i + Pretpostavimo da su Poissoovi parametri idividualih polica izvučei iz gama-distribucije s parametrima i δ. Treba aći distribuciju broja šteta astalih po slučajo odabraoj polici iz portfelja. Neka N i ozačava broj šteta po i-toj polici u portfelju, i eka je λ i jezi Poissoov parametar. Tada N i ima Poissoovu distribuciju s parametrom λ i, ali je problem u tomu što je vrijedost λ i epozata. Problem se može rješiti ovako: 1. Uz dao: Iz toga izlazi: E[λ i ] = 0, Var[λ i ] = 0,01. (i) Mometi od λ i mogu se izračuati uvjetovajem a vrijedost od λ i. Budući da S i λ i ima složeu Poissoovu distribuciju, formule E(S) = λm 1 i Var(S) = λm mogu se upotrijebiti za: N i λ i ~ P(λ i ) i λ i ~ G(,δ) treba aći margialu distribuciju od N i. Ovaj se problem može riješiti uklajajem uvjetovaja a uobičajei ači: P Za x = 0, 1,,... λ δ = λ δ 1 exp 0 x! Γ ( N x) = exp { λ} i x ( ) { δλ} dλ 1

3 δ { λ x + 1 = exp ( δ + 1) } λ dλ. Γ x! 0 ( ) Itegral se izračuava uspoređujući itegrad s gama- -gustoćom, tako da je: P ( N = x) i δ = Γ x! ( ) Γ ( x + ) x+ ( δ + 1) što pokazuje da je margiala distribucija od N i egativa bioma s parametrima i δ / ( δ+ 1 ). 3. Varijabilost u homogeom portfelju Variability i homogeeous portfolio Pretpostavimo, kao i dosad, da imamo portfelj s polica. Skupe štete astale po pojediačoj polici imaju složeu Poissoovu distribuciju s parametrima λ i F(x). Ti su parametri isti za sve police u portfelju. Kad bi vrijedost λ bila pozata, ukupi izosi šteta astalih po različitim policama bili bi međusobo ezavisi. Pretpostavljeo je da vrijedost od λ ije pozata, možda zato jer se mijeja iz godie u godiu, ali da postoje eki pokazatelji vjerojatosti da će λ biti u daom skupu vrijedosti. Kao i u prethodom primjeru, pretpostavlja se, radi jedostavosti, da ema eizvjesosti oko momeata distribucije izosa idividualih šteta, tj. oko F(x) Primjer Pretpostavimo da će Poissoov parametar λ biti jedak 0,1 ili 0,3 s jedakom vjerojatošću. (i) Treba izračuati očekivaje i varijacu (s pomoću m 1 i m ) ukupih izosa šteta po slučajo odabraoj polici iz portfelja. (ii) Treba izračuati očekivaje i varijacu (s pomoću m 1 i m i ) ukupih izosa šteta iz cijelog portfelja. Koristeći se istim ozakama, eka S i ozačava ukupe izose šteta po i-toj polici u portfelju. Slučaje varijable { i } i 1 S λ = su ezavise i jedako distribuirae, svaka sa složeom Poissoovom distribucijom s parametrima λ i F(x). Slučaja varijabla λ ima sljedeću distribuciju: P(λ i =0,3) = 0,5. (i) Uvjetovajem a vrijedost od λ, E[S i ] = E[E[S i λ]] = E [λm 1 ] = 0,m 1 Var[S i ] = E[Var(S i λ)] + Var [E(S i λ)] (ii) = E[λm ] + Var[λm 1 ] = 0, m + 0,01 m 1. = = i= 1 jedako distribuirae) i [ 1] 0. 1 (izbor { S i} E S E S m = E Var = E [ λm ] + [ λm ] = 0, m + 0, 01 λ + E 1 m 1. λ 4. Neizvjesost u broju šteta i izosima šteta i eizvjesost parametara Ucertaity i umber ad amouts of damages ad ucertaity of parameters 4.1. Primjer Osigurateljo društvo modelira štete od oluja astale po osigurateljoj polici kućastva koristeći se pretpostavkama. Pretpostavlja se da broj oluja u svakoj godii, K, ima Poissoovu distribuciju s parametrom λ. Pretpostavlja se da broj šteta prijavljeih po i-toj oluji, N i,,,..., K, ima Poissoovu distribuciju s parametrom Ө i. Pretpostavlja se da su parametri Ө i,,,..., K, ezavise i jedako distribuirae slučaje varijable s E(Ө i ) = i Var(Ө i ) = s 1. Izos j-te štete astale u i-toj oluji, X ij, j = 1,,..., N i, ima logormalu distribuciju s parametrima µ i i σ, gdje se pretpostavlja da je σ pozato. P(λ i =0,1) = 0,5 13

4 Pretpostavlja se da su očekivai izosi šteta, Λ i = exp(µ i + σ / ) ezavise i jedako distribuirae slučaje varijable s očekivajem p i varijacom s. Također se pretpostavlja da su Ө i i Λ i ezavise. (i) Pokažimo da je E[X ij ] = p i Var[X ij ] = exp { σ }( p + s ) p. (ii) Neka S i ozačava ukupe izose šteta astale iz i-te oluje, tako da je S i { Ө i, Λ i } složea Poissoova slučaja varijabla. Pokažimo da je E[S i ] = p i Var[S i ] = ( p + s )( + s 1 )( + s 1 + exp{ σ }) - p. (iii) Nađimo izraz za očekivaje i varijacu godišjih ukupih izosa šteta astalih iz svih oluja. Zadja dva rezultata zajedo daju: Var[S i ] = ( + s 1 )( p + s ) p + (p + s )exp { σ }. (iii) Neka slučaja varijabla R ozačava godišje ukupe izose šteta astale iz svih oluja. Tada se R može pisati: R = K S i gdje K ima Poissoovu distribuciju, a slučaje varijable {S i } su ezavise jedako distribuirae. Dakle, R ima složeu Poissoovu distribuciju, pa je poradi toga: E[R] = λe(s i ) = λp Var[R] = λe(s i ) = λ(var[s i ] + E[S i ] ) (i) E[X ij ] = E[E(X ij Λ i )] = E[Λ i ] = p Var[X ij ] = E[Var(X ij Λ i )] + Var[E(X ij Λ i )] = E[Λ i (exp{σ } 1)] + Var(Λ i ) = ( p + s )(exp{σ } 1) + s = ( p + s )(exp{σ } p. = λ(p + s )( + s 1 + exp{σ }). 4.. Primjer Svake godie osigurateljo društvo prikupi izvjesta broj osigurateljskih polica kućastava, od kojih je za svaku godišja premija 80NJ. Skupe godišje štete astale po pojediačoj polici imaju složeu Poissoovu distribuciju; Poissoov parametar je 0,4, a idividuali izos šteta ima gama-distribuciju s parametrima i λ. (ii) E[S i ] = E[E(S i Ө i, Λ i )] = E[Ө i Λ i ] = p. Budući da su Ө i i Λ i ezavise i, dalje, budući da S i {Ө i, Λ i } ima složeu Poissoovu distribuciju, Trošak rješavaja štete je slučaja varijabla uiformo distribuiraa između 50NJ i bnj(>50nj). Izos troškova eovisa je o izosu pridružee štete. Slučaja varijabla S predstavlja cjelokupe ukupe izose šteta i troškove u godii iz tog portfelja. Može se pretpostaviti da S ima približo ormalu distribuciju. Var [S i Ө i, Λ i ] = Ө i E[X ij Λ i ] dobiva se: = Ө i (Λ i exp{σ }), E[Var(S i Ө i, Λ i )] = (p + s )exp{ σ }. (i) Pretpostavimo da je: = 1; λ = 0,01; b = 100. Pokažimo da društvo mora godišje prodati barem 884 police da bi s 99%-tom sigurošću prihod od premija admašio štete i troškove. Također izlazi: Var[E(S i Ө i, Λ i )] = Var[Ө i, Λ i ] = E[Ө i, Λ i ] p = ( + s 1 )( p + s ) p. (ii) Pretpostavimo sada da vrijedosti od, λ i b isu sa sigurošću pozate, ego da mogu biti bilo gdje u sljedećim itervalima: 0,95 1,05; 0,009 λ 0,011; 90 b

5 Promatrajući što bi za osigurateljo društvo bila ajgora moguća kombiacija vrijedosti od, λ i b, izračuajmo broj polica koje društvo mora prodati da bi s barem 99%-tom sigurošću prihod od premija admašio štete i troškove. Stadardizacijom od S, kao što je uobičajeo pri ormalim distribucijama, to postaje: ( S 70) ( 80 70) P < 17, 80 17, 80 0, 99. Prethodo 99%-ta točka stadarde ormale distribucije je,36, pa je zato uvjet za : Neka je X i izos i-te štete, a Y i izos pridružeih troškova. Neka je N ukupa broj šteta za portfelj, i eka je broj polica u portfelju. Tada N ima Poissoovu distribuciju s parametrom 0,4 i S se može pisati kao: S + N ( X + ) i Y i gdje je {X i + Y i } i =1 iz ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli, ezavisih od N. Odavde se može vidjeti da S ima složeu Poissoovu distribuciju gdje (X i + Y i ) predstavljaju ''izos i-te idividuale štete''. Sada se mogu iskoristiti stadardi rezultati za zapis sljedećih formula za momete od S: E[S] = 0,4E[X i + Y i ] Var[S] = 0,4E[(X i + Y i ) ] = 0,4(E[X i ] + E[X i Y i ] + [Y i ]). Mometi od X i i Y i su s pomoću, λ i b kako slijedi: E[X i ] = / λ E[Y i ] = (b + 50)/ E[X i ] = ( + 1) / λ E[Y i ] = (b + 50b + 500)/3 E[X i Y i ] = E[X i ]E[Y i ] gdje zadja relacija slijedi iz ezavisosti od X i i Y i. (i) Stavimo zatim: = 1; λ = 0,01; b = 100 u te formule da bismo pokazali kako je: E[S] = 70 i Var[S] = 17,80. Poradi toga S ima približo ormalu distribuciju s očekivajem 70 i stadardom devijacijom 17,80. Prihod od premija je 80 i traži se ajmaja vrijedost od, takva da je: P(S < 80) 0,99. ( 80 70) 17, 80 što daje:, ,7 (ili 884 do sljedećeg većeg cijelog broja). (ii) Za reosigurateljo društvo ajlošija je moguća kombiacija vrijedosti od, λ i b oa koja daje ajviše moguće vrijedosti za E[S] i Var[S]. Da bismo to vidjeli, eka µ i σ ozačuju očekivaje i stadardu devijaciju ukupih izosa šteta i troškova po pojediačoj polici. I µ i σ će biti fukcije od, λ i b, pa izlazi: E[S] = µ i Var[S] = σ. Na isti ači kao u (i), uvjet a je: ( 80 µ ) to jest: σ, 36 [,36σ/(80 µ)]. Dakle, ajviša vrijedost za rezultira iz ajviših vrijedosti za µ i σ. Sada uočite da je: µ = 0,4E[X i + Y i ] i σ = 0,4E[(X i + Y i ) ]. Iz formula za momete od X i i Y i daih prethodo µ i σ su maksimali kada su i b ajveći, a λ je ajmaji mogući, tj. kada je: = 1,05; λ = 0,009; b = 110. Te kombiacije vrijedosti daju: µ = 78,67 i σ = 144,14 tako da mora biti barem da bi osigurateljo društvo barem 99% bilo siguro kako će prihod od premija admašiti štete i troškove. 15

6 Zaključak Coclusio Literatura Refereces U radu su proučavai parametri rizika ukupih izosa šteta. Pokazao je kako se iz Poissoova i gammamodela proalazi distribucija broja šteta po slučajo odabraoj polici iz portfelja. Temeljem jedostavih primjera uz prihvatljive pretpostavke dokazae su postavljee tvrdje. [1] Adrijašević, S., V., Petraović, Ekoomika osiguraja, Zagreb, [] Crjac, D. i suradici, Some of the Risk Models (u tisku) [3] Feller, W., A itroductoi to Probability Theory ad its Applicatios, VolumeII, Wiley, New York, [4] Neill, A., Life Cotigecies, Oxford, Rukopis primlje: