Microsoft Word LA-Matr-deter-03-sed

Транскрипт

1 III -23- MATRICE Defiicije:. Neka je N k = {,2,.,., k} N, k N, tada svako preslikavaje A: N m xn K, (, m N), () gdje je K običo eko polje, azivamo matricom A formata (ili tipa) (m, ) iz polja K. Tu čijeicu zapisujemo kraće sa: A M m, (K), tj. M m, (K) je skup svih matrica (istog) formata (m,) iz polja K. Kažemo da je matrica A reala (ili kompleksa) već prema tome da li je K=R (ili je K=C). 2. Matrica se običo zadaje kao pravougaoa šema svojih vrijedosti: ( i =,m; j =,) = = A(i,j) = a ij, tj. a a2 L a a2 a22 a 2 A L =, ili M M M am am2 L am A = a a L a 2 a a L a M M M a a L a m m2 m ili kraće: A = (a i} ) m, ili A= a ij m,, gdje je a ij elemeat matrice A, koji leži u i-toj vrsti(redu) i j-toj koloi (stupcu). Dakle, uobičajeo je da se matrice ozačavaju sa velikim slovima a jihovi elemeti istim malim slovima latiice. Tako a = (A) zači da je a elemeat matrice A koji leži u prvoj vrsti i prvoj koloi. Opčeito ( A M m, (K)) ( i =,m; j =,) 3. Ako je m kažemo da je matrica pravugaoa. = = a i,j = (A) ij. Za m = kažemo da je matrica A = (a i} ), kvadrata matrica reda ili kraće da A M (K). Elemete: a, a 22,..., a sačijavaju glavu dijagoalu matrice A M (K); tragom matrice azivamo zbir dijagoalih elemeata tra =ĺ i= a ii ; elemeti: a, a 2,-,...,a leže a sporedoj dijagoali. 4. Traspoovau matricu matrice A ozačavamo sa A T ili A. Traspoovaje matrice je uara operacija koja se defiiše a slijedeći ači: ( A M m, (K)) (!B M,m (K)) B= A T tj. i-ta vrsta u A je i-ta koloa u A T. Vježba. Zapisati matrice A i A T ako je A M m,. df Ű ( i =,m; j =,) = = b ji = a ij, 5. Vektor matrice su matrice koje imaju samo jedu vrstu [x x 2 x ] ili krače X=[x i ],, te matrica koloa koja im samo jedu kolou, apr. Y=[y k ],. Sem toga, ako je Y matrica koloa oda je jea traspoovaa matrica Y T matrica vrsta (i obruto). Tako je aprimjer vektor [ ] T ustvari vektor koloa formata (4, ). Neka je A = (a ij ) m,, tada se matrica A može zapisati kao: (ii) matrica koloa: A= (A. A 2. A m. ) T, gdje je A i. = (a i a i2 a i ) i-ta vrsta matrice A, (ii) matrica vrsta: A=(A. A.2 A. ), gdje je A.k = (a k a 2k a mk ) T k-ta koloa matrice A. 6. Navodimo ekoliko matrica posebog oblika: Nula matrica, ozačavamo je sa O ( M m, (K)), je matrica čiji su svi elemeti ula, tj O= () m, ; Dijagoala matrica je kvadrata matrica kojoj su svi elemeti va dijagoale jedaki uli; oa se

2 -24- zapisuje u obliku d d d 2 d 2 ili ili diag d,d 2,,d O O d d ili kraće [d i δ ij ],, gdje je δ, i = j, ij Kroeckerov delta simbol defiisa sa: δ ij = {, i j. ( L ) Jediiča matrica je dijagoala matrica čiji su dijagiali elemeti jedaki, tj. matrica diag(,,). Ozačavamo je sa E, ili E kad želimo da istakemo da je je red. Dakle, E = [ δ ij ],.Umjesto E u upotrebi je i ozaka I. Trougaoe matrice (doja trouagoa, tj. gorja trougaoa) su kvadrate matrice: a a a2 L a a2 a 22 a22 a 2, ili a ij, ( aij =, i > j ); tj., ili a ij ( aij =, i < j ). M O O, a a2 a a 7. Neka su A = (a ij ) m,, B = (b ij ) p,q, C = (c ij ) r,s tri matrice ad poljem K i eka je λ K. Tada vrijede slijedeće defiicije: df ( m,) = ( p,q ), (i) A = B 2 ( i =,m; j =,) aij = b ij, tj. matrice su jedake akko su jedakog formata i imaju jedake odgovarajuće elemete. (Dokazati da je = relacija ekvivalecije u skupu M m, (K)). ( ) = ( ) = ( ) def m, = p,q = r,s, ( ii) A + B = C 2 ( i =,m; j =,) aij + bij = c ij, tj. matrice se mogu sabirati akko su matrice sabirci istog formata; tada je i jihov zbir istog formata, a elemeti zbira se dobiju sabirajem odgovarajućih elemeata matrica sabiraka. df ( m,) = ( p,q ), ( iii) λ A = B 2 ( i =,m; j =,) λ aij = b ij, ili matrica se moži skalarom tako da joj se svaki elemet pomoži skalarom; ( ) ( ) ( ) = = df iv AB = C = p, r,s = m,q, 2 ( i =,m; j =,q) cij = aikb kj, k= tj. proizvod AB dvije matrice postoji akko su matrice ulačee, tj. akko je broj koloa prvog faktora A jedak broju p vrsta drugog faktora B, tj. broj elemeata u vrsti matrice A mora biti jedak broju elemeata u koloi druge matrice B. Sem toga, elemeti matrice proizvoda dobiju se prema: bj c = A B = a L a M : = a b ij i..j i i ik kj k= b j

3 -25- gdje je uzeto, po defiiciji, da je dobijei rezultat skalar a e matrica formata (, ). 8. Osobie operacija sa matricama (matrice kao algebarske strukture). Koristeći prethode defiicije lako se dokazuju stavovi:. Algebarska struktura (M m, (K), +) je Abelova grupa. (Ovdje je M m, (K) familija matrica istog formata (m,) ad poljem K (= C ili R),a sabiraje matrica je defiisao sa 7.(ii); ula matrica je O M m, (K), tj. O= () m, je eutrali elemet za sabiraje, dok je matrica - A = (- a ij ) m, suprota elemeat matrici A u odosu a sabiraje. 2. M m, (K) je vekiorski prostor ad poljem K, (gdje je možeje matrice skalarom dato sa 7.(iii)). Dimezija tog prostora dim(m m, (K)) = m. Primjedba. Kako sve matrice tipa x čie vektorski prostor, to će vektorski prostor čiiti i sve dijagoale matrice, sve gorje ili doje trougaoe matrice itd., jer je lieara kombiacija dvije takve matrice poovo matrica istoga oblika (viditi stav 2..). 3. Možeje matrica, defiisao sa 7. (iv), ima slijedeće osobie: (i) ( A M m, (K); B M,p (K)); C M p,r (K)) A(BC) = (AB)C, (ii) ( A M m, (K); B,C M,p (K)) A(B + C) = AB + AC, (iii) ( A, B M m, (K); C M,p (K)) (A + B)C = AC + BC (iv) ( A M m, (K)) A E = A = E m A, (v) ( A M m, (K); B M,m (K)) (AB) T = B T A T. Dokaz (dese jedakost u (iv)). Neka je X= E m A, tada je a osovu defiicije možeja matrica: X = (x ij ) m, = E m A ( ) odakle a osovu jedakosti matrica izlazi da je E m A=A. i =,m; j =, x = δ a = δ a = a, m ij ik kj ii ij ij k= VJEŽBE. a) Dokazati da je A E = A. b) Za dokaze ostalih tvrdji (i) (v) iz stava 3. (kao i stavova. i 2.) vidjeti str prep. Primjedbe: a) Lako se provjerava da možeje matrica u opštem slučaju ije komutativo, tj. i kad postoje oba rezultata AB i BA, oi ili isu istog formata, istog su formata akko su obe matrice kvadrate istog reda, ali i u tom slućaju te dvije matrice e moraju biti jedake. Napr. A =, B =, te je AB = = BA b) Iz (iv) slijedi da u skupu praugaoih matrica M m, postoje lijevi E m i desi E eutrali elemet koji su različiti, tj. da samo u skupu kvadratih matrica M, postoji eutrali elemet E =E m = E= δ ij, za možeje matrica. c) Pošto samo kvadrate matrice imaju eutrali elemet za možeje, to je samo grupoid (M,, ) potecijalo grupa. Potrebo je istražiti pitaje egzistecije iverzih elemeata u tom grupoidu. Dakle, promatraćemo samo kvadrate matrice (istog reda) radi toga što se samo u tom skupu defiisae sve tri prije uvedee operacije:sabiraje matrica, možeje skalara i matrice te možeje matrica. 9. Determiata matrice Svakoj kvadratoj matrici A M, (K) pridruže je skalar jea determiata, (egl, detertiat, jem. Determiate, fr. dćtermiat, rus. opredelitelj od lat. determiare -odredili. Taj skalar ozačavamo sa det A ili A ili D. Pri račuaju determiati koristit ćemo zapis

4 -26- a a2 L a a a2 L a a2 a22 a 2 a2 a22 a2 det L L ili. M M M M M M a a2 L a a a2 L a Ozaku uveo je 84. Cayley. Kako je ovaj zapis sliča oome kod matrica, govorit ćemo, kao i kod matrica, o elemetima a ij determiate, jeoj vrsti ili koloi, iako je oa (kad se izračua) tek jeda skalar iz K. Determiate ćemo defisaati iduktivo. Slijedi jedostava ali euobičajeo duga defiicija determiate. 9.. Defiicija determiate i. Za = i matricu A = [a ] defiicija je: deta = A = a = a. Ovdje A ili a ozačava determiatu, a e apsolutu vrijedost. To as e treba briuti, jer kasije ikad ećemo pisali determiatu matrice prvoga reda. Takođe, zapis determiate A e treba dovoditi u vezu s apsolutom vrijedošću matrice koja ije iti će biti defiisaa. ii. Za = 2, determiata matrice drugoga reda, tj. determiata drugog reda defiše se ovako: 2 D = a a : = a a - a a a a () a 2 Naprimjer: ab. - b = + 2 Primjedba. Što je motivisalo ovakvu defiiciju determiate? Iteresato je spomeuti da je pojam determiate istorijski prethodio pojmu matrice, a javio se je pri rješavaju sistema liearih jedačia. Zapišimo ajjedostaviji sistem liearih jedačia: ax + by = e, cx + dy=f. Njega možemo lako riješiti bilo kojom od elemetarih metoda. Napr. metodom suprotih koeficijeata: pomožimo prvu jedačiu brojem d, drugu brojem b i saberimo rezultate. Dobićemo ekvivaletu jedačiu: ed - bf (ad bc)x = ed bf x =. ad - bc Sličo, dobijemo da za drugu epozaicu vrijedi af - ce (ad bc)y = af ce y =. ad - bc Brojik i azivik u ovim izrazima su determiate, tj. e b a e ed - bf f d af - ce c f x = =, y = =. (2) ad - bc a b ad - bc a b c d c d Ova veza liearih sistema i determiati je utoliko važija pošto aaloge formule vrijede i za sistema višega reda. Što ćemo moći dokazati koristeći determiate. iii. Za =3, determiata (matrica) trećega reda defiiše sa (pomoću determiate drugog reda): a a2 a3 a22 a23 a2 a23 a2 a22 D = a2 a22 a 23 : = a - a2 + a3 (3). a32 a33 a3 a33 a3 a32 a a a Račuaje determiate može se astaviti račuajem determiati 2-gog reda: D = a (a a - a a ) - a (a a - a a ) + a (a a - a a ) = aa 22a33 - aa 23a32 - a2a2a 33 + a2a23a3 + a3a2a 32 - a3a22a3 Primjedba. Za izračuavaje determiate drugog i trećeg reda može se koristiti takozvao Sarusovo pravilo (Sarrus, ).Oo je predstavljeo slijedečom šemom:

5 ] a a2 = aa 22 - a2a2 a2 a, 22 - Z tj. sličo za determiatu trečeg reda, poslije dopisivaja sdesa jee prve dvije koloe, prema priložeoj šemi izlazi: ] ] ] a a a a a a a a a a a a a a a Z Z Z = aa 22a33 + a2a23a3 + a3a2a 32 - a3a22a3 - a a a - a a a I u ovom slučaju elemeti sa istim prvim i drugim ideksom obrazuju glavu dijagoalu ( a,a,a ). Nazivamo je još i lijeva dijagoala. Elemeti a 3, a 22, a3 obrazuju sporedu dijagoalu ili desu dijagoalu. Nazovimo epotpuom lijevom dijagoalom duž koja spaja elemete a 2 i a 23 i duž koja spaja elemete a 2 i a 32. Sličo elemeti a 2 i a 2 obrazuju epotpuu desu dijagoalu kao ielemeti a 23 i a 32. Lako je vidjeti da proizvod elemeata glave dijagoale a, a 22, a ulazi u 33 determiatu sa zakom + (plus) a proizvod elemeata sporede dijagoale sa zakom - (mius). Svaki od ostalih četiri sabiraka determiate je: proizvod od dva elemeta sa epotpue dijagoale i trećeg elemeta iz suprotog ugla. Proizvodi se uzimaju sa zakom plus ako se radi o lijevoj epotpuoj dijagoali i sa zakom mius ako se radi o desoj epotpuoj dijagoali. Naprimjer za dijagoalu a 2 i a 23 suproti elemeat iz ugla je a 33, pa se proizvod ovih elemeata a2a2a 33 mora uzeti sa zakom mius. iv. Defiiciju determiate učiićemo jedostavijom uvodeći ove pojmove: (i) Mior (ili subdetermiata) matrice A M (K) elemeta a ij aziva se determiata ( - )-og reda koja se iz determiate deta -tog reda dobije brisajem i-te vrste i j-te koloe i ozačava se s M ij. (ii) Kofaktor (ili algebarske komplemete) elemeta a ij defiiše se pomoću miora pridružujući mu predzake + ili - prema slijedećoj formuli: ( ) i + j ě M ij, za i + j paro, Aij = - Mij = ď í M ij, za i + j eparo. ďî Uz ove ozake, defiicija (3) determiate trećeg reda glasi: D = deta = a M - a 2 M l2 + a 3 M 3. (4) Ista formula, zapisaa preko miora, glasi D = deta = a A + a 2 A l2 + a 3 A 3. (5) gdje je a a2 M : = a a, a2 a23 a2 a22 M 2 : =, M 3 : =, tj. a a a a A := +M, A 2 := -M 2, A 3 := +M 3. Ovakav ači račuaja determiate azivamo razvoj determiate po elemetima prve vrste. Primjer. Razvoj determiate po prvoj vrsti: = = 2 ( (- 3) - ) - + 3( (- ) =

6 -28- Pokušajmo sad poopćiti ovaj zapis. v. Tvrdimo da vrijedi formula aaloga sa (4) za razvoj po po bilo kojoj vrsti: 3 3 ij ij ĺ ij ij j= j= ( ) ( ) i + " = = = ĺ = - j ili čak i za razvoj po bilo kojoj koloi: i, 3 D det A a A a M (6) 3 3 ij ij ĺ ij ij i= i= ( ) ( ) i + " = = = ĺ = - j j, 3 D det A a A a M. (7) Na primjer, za j = 2, razvijajući determiatu trečeg reda po drugoj koloi, dobićemo: a a2 a3 a2 a23 a a3 a a3 D= a2 a22 a23 = a2a 2 + a22a 22 + a32a 32 = -a2 + a22 - a32, a3 a33 a3 a33 a2 a33 a a a Račuaje determiate može se astaviti račuajem determiati 2-gog reda. Dobije se D = aa 22a33 - aa 23a32 - a2a2a 33 + a2a23a3 + a3a2a 32 - a3a22a3. što se podudara s determiatom račuatom u (3). Vježba. Provjeriti da će se ista vrijedost za D dobiti razvojem determiate trečeg reda po po bilo kojoj vrsti ili koloi. vi. Determiata matrice -toga reda - Laplaceov razvoj. U općem slučaju, determiata matrice defiše se razvojem po bilo kojoj vrsti, odoso bilo kojoj koloi, baš kao u formulama (6) i (7). Takav se razvoj aziva Laplaceov razvoj determiate. Neka je M ij mior, a A ij kofaktor elemeta a ij. Tad se determiata matrice A reda defiiše a ači: + j ij ij ij ij j= j= i (" = ) = = ĺ = ĺ (- ) i, D det A a A a M (8), kao razvoj po bilo kojoj i-toj vrsti, tj. kao razvoj po bilo kojoj j-toj koloi: + j ij ij ij ij i= i= i (" = ) = = ĺ = ĺ (- ) j, D det A a A a M. (9) Primjedba. Bilo bi korektije defiisati determiatu razvojem samo po prvoj vrsti, a zatim dokazati da se taj razvoj podudara s razvojima po oslalim vrstama ili koloama. Međutim dokaz ovoga stava (kojega sro provjerili za delermiate trećega reda) je slože, te ga ećemo avoditi. Preporučujemo dokaze u citiraoj literaturi ili kompletiraje dokaza idukcijom. Za defiiciju determiate ajveće zasluge pripadaju Laplasu (Pierre Simo Laplace ( ), fracuski matematičar, fizičar i astroom). Može se dokazati da je defiicija determiate -tog reda (8), tj. (9) ekvivaleta sa: ĺ D = det A = ± a a2 L a () j j j 2 gdje se sumiraje vrši po svim permutacijama ( j j 2,...j ) skupa ideksa {, 2,..., }, a sabirci a a L a su produkt od elemeata matrice A, od kojih bilo koja dva isu i iz iste vrsti i iz j 2j2 j iste koloe.predzak + ili - ovisi o permutaciji ( j j 2,...j ) drugih ideksa, već prema tome da li je permutacija para ili epara: + dolazi uz pare, a - uz epare permutacije, kojih ima podjedako mogo. Detalje o permutacijama i ovakvoj defiiciji determiate studeti mogu potražiti u literaturi. Je li račuaje determiate jedostava posao ili ije? Kod determiariata višeg reda astupaju poteškoće kod jihovog efektivog račuaja. Naime, iako je teorijski moguće izračuati svaku determiatu služeći se jeziom defiicijom, to je često praktičo emoguće, jer broj osovih sabiraka raste astroomski s redom determiate. Tako ap. determiata desetog reda ima! == 3.6 milijua sabiraka, pa bi samo za popisivaje

7 -29- tih sabiraka trebalo 36 kjiga, s straica svaka. Tu, dakako, daas pomažu račuari, ali se raču može zato pojedostaviti koriste li se eka svojstva determiati. Eksplicita formula () izgieda da daje jedostava algoritam, ako e za ručo a oo barem pomoču račuara. Medutim, takva je pomisao daleko od istie. Da bismo odredili determiatu koristeći formulu () potrebo je učiiti, za zasvaki od! sabiraka(toliko ima permutacija od elemeata), toco - možeje i a kraju! - sabiraje, što ukupo daje.! - operacija. Taj je broj strahovito velik pošto faktorijeli rastu vrlo brzo (čak brže od ekspoecijalih fukcija kao sto je recimo ). Račuajući determiate primjeom defiicije, pomocu rekurzivih formula, dobćemo tek ezatu uštedu, potreba broj operacija poasa se kao e.!. Uz prctpostavku da račuar izvrši 6 operacija u jedoj sekudi, dobićemo sljedeća vremea koja su potreba za izracu determiati, uz e baš preveliki broj : N BROJ OPERACIJA VRIJEME RAČUNANJA sekuda sekuda godia godia Matrice reda i račuaje jihovih determiati česte su u praksi što mora začiti da se velike determiate e račuaju primjeom gorjih formula. Dakako, postoje različite formule,a eke među jima efikasije su od drugih. Može se pokazati da je za izračuavaje determiati prethodim svođejem a trougaou formu potrebo učiiti, za determiatu -tog reda, približo 2 3 /3 operacija. Za matricu reda 25 potrebo vrijeme, račuajući a taj ači, izosi. sekudu, što je prema gorjih 8 godia ogroma ušteda u vremeu. Da bismo došli do takvog algoritma, potrebo je izučiti svojstva determiati. Navest ćemo sada osova svojstva determiati Svojstva determiati -tog reda Navešćemo ekoliko ajvažijih svojstava. Pri tom ćemo zapravo ukazati a algoritam pomoću kojega se determiate mogu jedostavo račuati. S obzirom da je aša defiicija determiati bila iduktiva, determiata je defiisaa pomoću determiati ižega reda, metoda matematičke idukcije bila bi osova pri dokazivaju. Slijedeće tvrdje bit će iskazae za vrste ili koloe determiati. Napomeimo da potpuo idetiče tvrdje vrijede i ako riječ vrsta zamijeimo sa koloa i obrato. Navodimo ajvažija svojstva determiati. Dokazi ekih tvrdji dati su u obliku uputa ili azaka ili u vrlo sažetom obliku. Pri tor ćemo koristiti zapis u kojem koloe matrice (determiate) prikazujemo u obliku vektora. Dl. Determiata trougaoe (i dijagoale) matrice jedaka je proizvodu elemeata a dijagoali. Ako je A apr. gorja trougaoa matrica, tada svi proizvodi u (), osim a a 22...a imaju barem jeda elemet iz dojeg trougla pa su jedaki ula. Na primjer, za jediicu ratricu vrijedi dete =. D2. det A = det A T. Jedakost vrijedi zbog formula (8) i (9). Iz ovog svojstva izlazi da svako svojstva koja vrijedi za vrste vrijedi i za koloe determiate (i obrato). D3. Zamjeom dviju vrste (koloa) determiata mijeja predzak. a a D = = - aa 22 - a2a2 = - D, te za a a 2 22 Za =2 osobia se jedostavo provjerava: ( ) 2 kompletiraje dokaza idukcijom ostaje da se dokaže da svojstvo važi i za + ako važi za.

8 -3- D4. Ako u A imamo dvije jedake vrste (koloe) oda je determiata deta=. Svojstvo slijedi stoga što po svojstvu D3 zamjeom dvije vrste determiata mijeja predzak, a kako smo zamijeili iste vrste determiata se e mijeja. Dakle D= - D odakle slijedi D=. D5. Determiata je multilieara fukcija svojih koloa, tj. ako je (samo jeda) apr. j-ta ( ) ( 2) koloa matrice A M lieara kombiacija A = a A + ba oda je.j. j. j deta= α deta () + β deta (2), ( ) gdje je j-ta koloa: A u matrice A () ( ) i A 2 u matrici A (2) (ostale koloe su iste kao u matrici A).. j Ovo svojstvo slijedi direkto iz formule (9) za razvoj po j-toj koloi: ( ) ( 2) ( ) ( 2) kj kj kj kj kj kj kj k= k= k= ĺ ( ) ĺ ĺ det A = a a + b a A = a a A + b a A. j =αdeta () + β deta ( 2). Primjedba. Iskazati, tj zapisati pricip superpozicije, kako se aziva osobia D5. za α=β=. D6. (i) Neka je A matrica koja se dobije tako što se svi elemeti eke od koloe matrice A M pomoze s brojem α. Tada vrijedi deta = α deta, tj. determiata se moži brojem tako da joj se eka (ali samo jeda koloa) pomoži tim brojem. (ii) Ako matrica A ima vrstu sastavlje od samih ula, odaje deta =. Ovo su direkte posljedice svojstva D5. Svojstvo (ii) moguće je provjeriti direkto razvojem determiate po -vrsti. D7. Vrijede geeralizacije formula (8) i (9): i+ j (" i =,;s =,) ĺ asjaij = ĺ (- ) asjmij = Dd si = { za ią s, (8 D za i = t;! ), j= j= i+ j (" j =,;t =,) ĺ ai taij = ĺ (- ) aitmij = Dd tj = { za ją t,. (9 D za j= t.! ) i= i= Formule (8! ) dobiju se a osovu D4. kao razvoj po i-toj vrsti kad umjesto i-te poovo stoji s-ta vrsta tako da D ima dvije jedake vrste (za i s); formule (9! ) dobiju se a osovu D4. kao razvoj po j-toj koloi kad umjesto j-te poovo stoji t-ta koloa, tako da D ima dvije jedake koloe(za j t). D8. Determiata se e mijeja ako jedoj koloi dodamo eku drugu kolou pomožeu sa ekim brojem. Neka smo matricu A dobili iz matrice A tako što smo j-toj koloi A.j dodali t-tu kolou A. t pomožeu sa α, tada je prema formuli (9) i svojstvu D5: pošto je ĺ ( ) ĺ ĺ det A = a + l a A = a A + l a A = det A, ĺ i= a A jedake koloe j-tu i t-tu. it ij i t ij ij ij it ij i= i= i= ij = prema (9! ) u D7, jer je to razvoj determiate po j-toj koloi, koja ima dvije D9. Ako je jeda koloa (ili vrsta) matrice A lieara kombiacija preostalih koloa (ili vrsta) oda je deta=. Slijedi uzastopom primjeom osobia D5 i D4. Primjedba. Kasije ćemo dokazati da je ovaj uslov i potreba, tj. deta= akko su jee vrste (koloe) liearo zavise.

9 -3- D. (Biet -Cauchyjev stav; J. P. M. Biet ( ), fracuski malematičar). Determiata proizvoda dviju matrica jedaka je proizvoda determiati: ( A, B M ) Dokaz ećemo izvoditi. det(ab) =detadetb. Vježba. Uzeti dvije proizvolje matrice reda 2 ili 3 i provjeriti da je za jih ta tvirdja tača. Primjer. Koristeći svojstva determiate i Laplasov razvoj imamo: ě II + I = ď í III + I ď ďî IV + 3 I = 42 = 42( - )( - ) 8 2 = Ovaj primjer pokazuje da račuaje determiati može biti čak i za determiate maleoga reda mukotrpa posao; da je 'ručo' račuaje determiati umjetost sama po sebi: različite osobe često će različitim pristupom doći do (istog!?) koačog rezultata. Osova ideja sastoji se u tome da se determiata svodi a determiatu trougaoe matrice, međutim izbor trasformacija ostaje pri tome popriličo sloboda. Pri ručome račuaju astojimo izbjeći raču s razlomcima koliko je god to moguće. S druge strae, algoritam prilagođe račuaru jedozačo je određe i e uzima toliko sloboda pri izboru trasformacija. Mi ćemo taj (Gaussov) algoritam detaljo opisati pri rješavaju sustema liearih jedačia. Primjer 2. (Vadermodeova determiata.) Provjerimo sljedeći rezultat: L x x L x M 2 x x L x Ő( x x j i). = - Ozaka Π ozačava proizvod po svim mogućim izborima ideksa za koje je i < j. Ukupa broj faktora u umošku a desoj strai jedakosti je ( )\2. Ozačimo tražeu determiatu s V(x,..., x ). Da izračuamo jeziu vrijedost, ačiit ćemo sljedeće trasformacije pretposljedji, -vi red pomožiti s x i dodati posljedjem; 2 -gi red pomožiti s x i dodati -l-vom, itd..., prvi red pomožiti s x i dodati drugom. Nako toga se determiata može rastaviti po prvoj koloi i iz svih trasformiraih vrsta izvući zajedički faktor. Dobije se: L i< j x - x L x - x V(x,...,x ) = M 2 ( - ) L ( - ) x x x x x x 2 2 ( - ) L ( - ) = x x x x V(x,...,x ) 2 2 Dobili smo determiatu idetiču prvotoj, ali reda -. Tako smo dobili rekurzivu relaciju: V (x,x 2,..,x ) = (x x )... (x 2 x )V(x 2,..., x ). Isto razmišljaje možemo primjeiti i a ovu, umajeu determiatu: V (x 2,..,x ) = (x x 2 )... (x 3 x 2 )V(x 3,..., x ). i astaviti postupak sve dok e stigemo do posljedjih jedadžbi: V(x -2,x -,x ) = (x -x - 2 ) (x -x - )

10 -32- V(x -, x ) = = x - x. - x x - Uvrštavajem svih ovih vrijedosti dobije se tražei rezultat.. ZADACI - i. Dokazati da matrice A =, B =, C = ( i = -, imagiara jediica) i - zadovoljavaju jedakosti: A 2 = B 2 = C 2 = E; 2 BC= - CB= ia, CA = - AC = ib, AB = - BA = ic, Provjeriti da li za matrice A, B, C takođe važe jedakosti: [B, C] = ε. 2iA, [C, A]= ε. 2iB, [A, B]= ε. ic, [A, A 2 +-B 2 + C 2 ] = [B, A 2 +B 2 +C 2 ]=[C,A 2 +B 2 + C 2 ] = O, gde je ε= ili ε= - i gde je [A, B]=AB BA. Primjedba. Matrice A, B, C se sreću u kvatoj mehaici i zovu se Paulieve matri. 2. Dokazati jedakost A (a) A (b)=a(a + b), gde je A (a) = cosa - si a. si a cosa 3. Neka je: A (a) = cosa - si a - tgt, B =. si a cosa tgt Provjeriti da li je: (E+B)=A(2t)(E-B). 4. Dokazati da je Data je matrica ( ) 5 = O. 2-a a- A (a) =,( a Î R). 2 -a 2a- Odrediti: A (a)a(b); 2 A (a) 2 i A (a) ( N) Date su kvadrate matrice A, B M reda 2, gdje je: a ij = (i j), a ii =, b ij =a ij - - Provjeriti jedakost AB =E Provjeriti sljedeću prezetaciju matrice drugog reda a a 2 a + a a + a i a - a a - a - i = - i + + i, a a 2 2 i 2-2 i 2 22 gde je i imagiara jediica.

11 Date su matrice: i A =, A =, A =, i i A =, A =, A =, i gde je i imagiara jediica. Ako je [X, Y]= XY YX, provjeriti: [A, A 3 ]=2A 3, [A, A 4 ]=2A 4, [A 2, A 3 ]=2A 3, [A, A 5 ]= - 2A 5, [A, A 6 ]= - 2A 6, [A 2, A 5 ]= - 2A 6, [A 3, A 5 ]=A, [A 3, A 6 ]=A 2, [A 4, A 5 ]=A 2, [A 2, A 4 ]= - 2A 3, [A 2, A 6 ]=2A 5, [A 4, A 6 ]= - A, [A, A 2 ]= O, [A 3, A 4 ]= O, [A 5, A 6 ]= O. Odrediti sve matrice koje su komutative sa jedom od matrica A i ( i =, 6). 9. Odrediti a i b tako da matrice écosa - si a ů é ů A = si a cosa, B = cosb - si b ę ú ę si b cos b ë ű ë úű budu komutative.. Ako su A i B kvadrate matrice drugog reda, dokazati da je AB+BA = AtrB+BtrA+E(tr(AB) (tra)(trb)). Primjedba. Da li ova jedakost važi ako su A i B matrice reda veceg od dva?. Ako je priroda broj i A= é ů ę ë ú, dokazati da je: A = E +(A - E). ű 2. Neka je A M i eka važi j i a ij =. Dokazati da je A =O. 3. Neka je A M i a ij = za svako i i j. Dokazati da za svaki priroda broj k važi A k =A. 4. Ozačimo sa M skup svih kvadratih matrica reda koje imaju osobiu da je zbir elemeata svake vrste jedak. Dokazati implikaciju (A M B M) AB M. 5. Ozacimo sa M skup svih kvadratih matrica reda koje imaju osobiu da je zbir elemeata svake vrste i svake koloe jedak. Dokazati implikaciju (A M B M) AB M.