OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA

Транскрипт

1 OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA

2 UPUTSTVO ZA RAD Drage učenice i učenici, Čestitamo! Uspjeli ste da dođete na državno takmičenje iz matematike i samim tim ste već napravili veliki uspjeh Zato zadatke koji su pred vama posmatrajte kao interesantne probleme i potrudite se da ih rješavate s punom pažnjom i zalaganjem, ali i sa uživanjem Redoslijed izrade zadataka nije bitan Ako vam je neki zadatak suviše težak, nemojte se na njemu dugo zadržavati, već pređite na sljedeći Ukoliko vam bude preostalo vremena, vratite se i pokušajte uraditi zadatke koje nijeste rješavali Pišite čitko, naročito brojeve! Radite samostalno Nijesu dozvoljena nikakva dogovaranja U radu možete koristiti školski pribor za crtanje geometrijskih figura, ali nije dozvoljeno upotreba mobilnih telefona, kalkulatora i bilo kojih drugih elektronskih pomagala Za svaki zadatak je predviđeno po 25 bodova Za rad imate 180 minuta Počnite sa radom Srećno!

3 ZADACI 1 Za tri minuta iz česme A istoče 2 litra vode Za šest minuta iz česama A i B istoči ukupno 13 litara vode Dok iz česme B istoči jedan litar, iz česme C istoče 2 litra vode Koliko će ukupno vode istočiti iz česama A i C za tri minuta? 2 Najmanji prost broj veći od datog prirodnog broja se zove prostosljedbenik i označava sa Evo nekoliko primjera prostosljedbenika: Odrediti posljednjih pet cifara proizvoda svih prostosljedbenika iz date tabele 3 Prije nekoliko godina je pored jedne stare masline u zaleđu Bara posađena nova maslina Trebaće da mlada maslina postane šezdeset šest puta starija nego što je sada da bi bila dvostruko mlađa od stare masline, a prošle godine je bila čak sto puta mlađa od nje Koliko je godina bilo staroj maslini kada je posađena nova maslina? 4 Za potrebe posebnog projekta grupa arhitekata pravi žičane mreže u obliku kvadra koje izgledaju kao da su napravljene od kockica ivice 1cm Na slici je jedna takva mreža široka dvije kockice, dugačka dvije kockice i visoka jednu kockicu Jedna mreža koju su arhitekti napravili se sastoji od 37 kockica Koliko su žice upotrijebili u izradi te mreže?

4 RJEŠENJA 1 Neka su, i količine vode u litrima koje istoče za jedan minut iz česama A, B i C redom Iz prvog uslova imamo da je, pa je Iz drugog uslova imamo ; lako dobijemo da je Po uslovu zadatka voda iz česme C toči dvostruko je Odgovor na pitanje je brže nego iz česme B, pa 2 Primijetimo: Vidimo da traženi proizvod rastavljen na proste činioce sadrži i dvojke i petice, pa ćemo prvo provjeriti sa koliko se nula završava Proizvod glasi: Uvrštavajući dosad nađene prostosljedbenike dati proizvod možemo zapisati ovako: Nakon zamjene mjesta činilaca možemo ga zapisati i ovako: A kada izmnožimo desetke koje se dobiju množeći činioce u zagradama dobijamo: Primijetimo da je proizvod djeljiv sa, a nije djeljiv sa, pa se završava peticom Dakle, naš proizvod je proizvod broja koji se završava peticom i broja, pa zaključujemo da se završava sa 3 Neka je broj godina mlade masline danas Od danas do trenutka kada mlada maslina bude stara godina proći će godina U tom trenutku stara maslina će biti stara godina Dakle, za godina stara maslina će imati godina, pa trenutno ima godina Prošle godine je mlada maslina bila sto puta mlađa od stare pa važi i Rješenje ove jednačine je To znači da je mlada maslina danas stara tri godine, a stara masline je stara godinu Dakle, stara maslina je bila stara godina kada je posađena mlada maslina

5 4 Kako je broj 37 prost, jedini kvadar koji sadrži toliko kockica je onaj koji se sastoji iz 37 kockica naslaganih jedna na drugu: kvadar širine i dužine 1cm, a visine 37cm Osnova tog kvadra je kvadrat ivice 1cm, za čiju je izradu potrebno 4cm žice Žičanu mrežu kvadra možemo posmatrati kao niz takvih kvadrata, pri čemu su svaka dva susjedna kvadrata spojena sa slojem od po četiri žičice dužine 1cm (kao na slici) Kvadrata ima ukupno 38: osnova kvadra i još po jedan kvadrat za svaku kockicu (kao njena gornja strana) Za izradu tih kvadrata je potrebno 38 4=152cm žice Spojnih slojeva od po četiri žice ima 37, i za njihovu izradu se upotrijebi 37 4=148cm žice Ukupno je potrošeno =300cm žice