Neodreeni integrali - Predavanje III

Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci

Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

DIFERENCIJALNI RAČUN. Zadatak diferencijalnog računa je da se za zadanu funkciju f (x) odredi njena derivacija f (x), odnosno diferencijal df (x) = f (x)dx. INTEGRALNI RAČUN. Zadatak integralnog računa je da se za zadanu funkciju f (x) odredi funkcija F (x) takva da je F (x) = f (x).

Neodredeni integrali Integralni račun je vezan uz diferencijalni račun. Neka je zadana funkcija f (x). Primitivna funkcija funkcije f (x) je svaka funkcija F (x), koja je definirana na istoj domeni kao i funkcija f (x), takva da je F (x) = f (x). Ako je F (x) primitivna funkcija funkcije f (x) (znači da je F (x) = f (x)), onda za funkciju G(x) = F (x) + c vrijedi G (x) = (F (x) + c) = F (x) = f (x), odnosno i G(x) je primitivna funkcija funkcije f (x). Vezu funkcije f (x) i njezine primitivne funkcije zapisuje se neodredenim integralom f (x)dx = F (x) + c. Dakle, skup svih primitivnih funkcija funkcije f (x) zove se neodredeni integral funkcije f (x) i vrijedi jednakost F (x) = f (x).

Tablični integrali. dx = x + c, 2. x n dx = x n+ + c, n, n + 3. dx = ln x + c, x 4. a x dx = ax ln a + c, 5. sin xdx = cos x + c, 6. cos xdx = sin x + c, 7. cos 2 dx = tgx + c, x 8. sin 2 dx = ctgx + c, x

Tablični integrali. 2. 3. 4. 5. a 2 + x 2 dx = a arc tgx a + c, a 2 x 2 dx = 2a ln a + x a x + c, a 2 x dx = arc sinx 2 a + c, a 2 + x 2 dx = ln(x + a 2 + x 2 ) + c, x 2 a 2 dx = ln(x + x 2 a 2 ) + c.

Provjera... Provijera drugog neodredenog integrala u gornjem popisu. Hoće li deriviranje izraza s desne strane jednakosti dati podintegralnu funkciju. Iz ( ) x n+ n + + c = n + (n + )x n = x n slijedi da je izraz s desne strane jednakosti zaista primitivna funkcija podintegralne funkcije.

Svojstva integrala Ovdje su navedena pravila integriranja (koja slijede iz pravila deriviranja): (. f (x)dx) = f (x), 2. df (x) = f (x) + c, 3. af (x)dx = a f (x)dx, 4. (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx.

Zadaci. Izračunajte sljedeće intgerale:. 8x 3 dx,.2 4 dx, x 3 ( x + 3 x) 2.3 dx, x.4 2x dx, 3 x+ + 2 x.5 6 x dx,.6 7x 2 8 dx..7 dx. 7 5x 2

Metoda supstitucije Postavlja se pitanje kako integrirati funkciju f (x) = sin 2x, ali znamo da je sin xdx = cos x + c? Može se pretpostaviti da bi se integriranjem izraza sin 2x trebali dobiti slični rezultati. Uvedi se susptitucija u = 2x. Onda je du = 2dx, odnosno dx = 2du. Slijedi sin 2xdx = sin u 2 du = sin udu = 2 2 cos u+c = cos 2x+c. 2 Općenito, metodu supstitucije može se opisati sljedećim izrazom f (g(x))g (x)dx = f (u)du = F (u) + c = F (g(x)) + c, gdje je u = g(x) i F (x) je primitivna funkcije funkcije f (x).

Zadaci. Metodom supstitucije izračunajte sljedeće integrale:. ( + x) 3 dx,.2 xe x 2 dx, x 2.3 2 + x 3 dx, 5x 2.4 dx, 4x 3 4x 3.5 x 8 dx,.6 x ln 2 x dx, sin x.7 cos 3 x dx,.8 sin 2 xdx,.9 e 2 cos x sin xdx.

Metoda parcijalne integracije Iz pravila o deriviranju produkta funkcija u i v slijedi d(uv) = udv + vdu, odnosno udv = uv vdu. Navedena formula daje metodu parcijelne integracije za integriranje funkcije koja je produkt dviju funkcija u i v. Pri odabiru funkcije koju ćemo označavati s v, odnosno funkcije koju ćemo označavati s u vodimo računa da vdu mora biti jednostavniji od početnog integala.

Primjer Riješiti integral xe x dx. Neka je u = x i dv = e x dx. Onda je du = dx i v = e x dx = e x. Slijedi xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + c.

Zadaci. Metodom parcijalne integracije izračunajte sljedeće integrale:. x sin xdx,.2 ln xdx,.3 x 2 e x dx.