INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matmatik u industrijskom inžnjrstvu, 6.9... Diskutovati po a, b R i ršiti sistm linarnih jdnačina b + by = a. Za linarnu funkciju f(,, 3 = 3 3 izračunati minimum i tačku u kojm s minimum dostiž, pod uslovima + + 3, + 3 8, + 5,,, 3. ( z + i 3. Ršiti po npoznatoj z C (gd j z = + iy,, y R jdnačinu z + 5 = R + i 6 3 5 + 6 4 + 3 8 + 8 9 4. (a Izračunati I = 4 3 + d. + i Im (iz. (b Izračunati dužinu luka paramtarski zadan kriv (t = 6 t6, y (t = 4 t4 za t [, 4 8 ]. 5. Ispitati funkciju f ( = ln, bz izračunavanja drugog izvoda i bz ispitivanja konvksnosti i ln + konkavnosti. 6. (a Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y y = + y. (b Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y 5y + 6y = ( + 3. INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matmatik u industrijskom inžnjrstvu, 6.9... Diskutovati po a, b R i ršiti sistm linarnih jdnačina b + by = a. Za linarnu funkciju f(,, 3 = 3 3 izračunati minimum i tačku u kojm s minimum dostiž, pod uslovima + + 3, + 3 8, + 5,,, 3. ( z + i 3. Ršiti po npoznatoj z C (gd j z = + iy,, y R jdnačinu z + 5 = R + i 6 3 5 + 6 4 + 3 8 + 8 9 4. (a Izračunati I = 4 3 + d. + i Im (iz. (b Izračunati dužinu luka paramtarski zadan kriv (t = 6 t6, y (t = 4 t4 za t [, 4 8 ]. 5. Ispitati funkciju f ( = ln, bz izračunavanja drugog izvoda i bz ispitivanja konvksnosti i ln + konkavnosti. 6. (a Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y y = + y. (b Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y 5y + 6y = ( + 3.
REŠENJA:. b + by = a (b a = a ; (, b za b i b a sistm j odrdn, i R S = {( a b za a = b = sistm j kontradiktoran; 3 za b = i a imamo 4 za b = a imamo a = a = a a + ay = = a 4. za b = a {, } j sistm kontradiktoran; a a b a = = a } ; t imamo podslučajv t j sitm kontradiktoran; 4. za b = a = j sistm + y = jdan puta nodrdn i R S = {(α, α α R}.. Nalazimo maksimum funkcij f(,, 3 = + 3 + 3 + + 3 + 4 = + 3 + 5 = 8 + + 6 = 5 (/ = 8 5 (5/ = 5 3 5 8 (8/ = 8 5 (5/ = 5 5 (5/ = 5 3 (3/ = 3 5 3 5 (/ = 3 5 (5/ = 5 5 3 3 Dakl, minimum funkcij f j 3, i dostiž s u tački (, 3, 5. 3. Uvodnjm smn z = + iy (, y R dobijamo ( iy + i + iy + 5 = R i + i Im (i( + iy + i i ( y + + i( y + 5 + iy = R + i Im ( y + i + 5 + iy = y + + i + 5 + iy = y + + i y + 4 + i(y = (y + 4 = y = = y = 4. Dakl, jdnačina ima jdinstvno ršnj z = 4 4i. 6 3 5 + 6 4 + 3 8 + 8 9 4. (a I = 4 3 + d =...,
Kako j polinom u brojiocu vćg stpna od onog u imniocu, najpr ih dlimo: ( 6 3 5 + 6 4 + 3 8 + 8 9 : ( 4 3 + = + 3 ( 6 5 + 4 + 3 5 + 5 4 6 + 8 9 ( 5 + 4 3 + 4 3 4 + 3 4 + 4 9 ( 3 4 3 3 + 3 + 3 6 5 3 + 3 odakl sldi ( I = + 3 + 53 + 3 4 3 + = 3 3 + 3 + d = 5 3 + 3 4 3 + d =... Rastavljamo polinom p ( = 4 3 + na nsvodljiv činioc. Kandidati za racionaln korn polinoma p su ±, ±. Njihovom provrom dobijamo 4 p ( = ( + ( ( +, pri čmu j + nsvodljiv polinom nad poljm ralnih brojva R jr njgovi korni, = ± 8 = ± nisu ralni brojvi, tako da j ( + ( ( + faktorizacija polinoma p ( = 4 3 + nad R. Sldi I = 3 3 5 3 + 3 + 3 + 4 3 + d = = ( A 3 3 + 3 + + + B + C + D d = + = 3 3 + 3 + ( A( + + B(+ ( + + (C+D(+( + 4 3 + d = = 3 3 + 3 + ( A 3 + 3 + B ( 3 + + + C ( 3 + D ( + 4 3 + d = = 3 3 + 3 + (A+B +C 3 + ( A+D + (3A+B C + ( A+B D + 4 3 + d, zatim izjdnačavanjm odgovarajućih koficijnata polinoma 5 3 + 3 i (A + B + C 3 + ( A + D + (3A + B C + ( A + B D u imniocima dobijamo A + B + C = 5 A + D = 3A + B C = A + B D = 3 A + B + C = 5 A + D = 4A + B = 6 4B = 4 t j dalj B = A = D = 3 C = 4
I = ( 3 3 + 3 + + + 4 3 + d = = 3 3 d + 3 + + d + 4 3 + d =... U prva dva intgrala uvodimo rdom smn + = t, d = dt i = z, d = dz I = dt dz 3 3 + 3 + t z + 3 + d = = 3 3 + 3 + ln t ln z + + d = = 3 3 + 3 + ln (+ ln ( + + d d + =... U prvi intgral uvodimo smnu + = t, ( d = dt, a u trugom polinom + pišmo u obliku ( + α + β: + = ( + α + β = + α + α + β ( α = α + β = ( α = β = 4, t dobijamo I = 3 3 + 3 + ln ( + ln ( + dt t d ( + 4 =... U posldnjm intgralu, radi svodnja na tablični intgral????, uvodimo smnu = z, d = dz: I = 3 3 d + 3 + ln ( + ln ( + ln t ( = z + I = 3 3 + 3 + + ln ( + ln ( + ln ( + arctg z + c = = 3 3 + 3 + ln (b t (t = t 5 i y (t = t 3, t j l = 4 8 (t 5 + ( t 3 dt = ( ( + ln ( + 4 8 ln ( t + t 6 dt = 4 8 arctg + c. t 3 t 4 + dt =... smnom t 4 + = z, t 3 dt = 4 dz, uz promnu granica t = z = 4 + = i t = 4 8 z = ( 4 8 4 + = 9: l = 4 9 9 zdz = z dz = 4 4 3 z 3 9 = (9 3 = 6 6 6 = 3 3. 5. (a Domn funkcij: D f = { R > ln + } = { R > ln } = = { R > = } = (, (,. (b Nul funkcij: f ( = = D f ln = ln = = ; dakl, ova funkcija ima jdnu nulu u tački =. (c Znak funkcij: za D f j ln > ln > >, ln + > ln > >, + + + ln + + ln + + f ( + +
dakl, funkcija f j pozitivna na skupu (, (,, a ngativna na intrvalu (,. (d Monotonost funkcij: f ( = ln ln + + (ln + (ln (ln + = = ln ln + + (ln + = ln + (ln + ; kako j ln > i (ln + za sv D f, sldi da j f ( > za sv D f, t j funkcija f monotono rastuća na clom svom domnu. (f Vrtikaln asimptot funkcij: vrtikaln asimptot tražimo u tačkama i ; ln kako j lim + ln + vrtikalnu asimptotu; kako j lim f ( = [ ] = lim + kako j lim f ( = + [ ] - Primnom Lopitalovog pravila. =, sldi da j lim f ( = =, t funkcija f u tački nma + ( + =, funkcija f u tački (g Horizontalna / kosa asimptota funkcij: ln [ ] kako j lim = lim ln + stran nma horizontalnu asimptotu; ima vrtikalnu asimptotu s lv stran; =, funkcija f u tački ( + + ima vrtikalnu asimptotu i s dsn stran. =, sldi da j lim f ( = =, t funkcija f (sa dsn f ( ln kako j s jdn stran lim = lim =, funkcija f sa dsn stran mož da ima kosu ln + asimptotu y = + n; mdutim, s drug stran j ( lim (f ( = lim ln ( ln ln + = lim ln + (ln + [ ] = lim ln = lim = lim ln + ln + = lim =, što znači da funkcija f nma ni kosu asimptotu. [ ] - Primnom Lopitalovog pravila. (h Grafik funkcij: 5 3 4 5 6 5 6. (a y y = + y / : y y = + ( y, smnom y = t, y = t, y = t + t, t + t t = + t t = + t dt = dt + t = ln t + + t + t = ln + c t + + t = c y + + ( y = c y + + y = c. (b Karaktristična jdnačina i njni korni: k(r = r 5r + 6 =. Karaktristični korni: r =, r = 3. Fundamntalna ršnja: y ( =, y ( = 3.
Opšt ršnj homognog dla: y h ( = c + c 3. Tražimo partikularno ršnj y p : y p 5y p + 6y p = ( + 3 = (( + 3 cos( + sin(, gd + i nij karaktristični korn, t j y p = ((A + B + C cos( + (D + E + F sin( = (A + B + C, y p = (A + B + C + (A + B = (A + (A + B + (B + C, y p = (A + (A + B + (B + C + (A + (A + B = (A + (4A + B + (A + B + C, p 5y p + 6y p = ( + 3 (A + (4A + B + (A + B + C 5 (A + (A + B + (B + C + 6 (A + B + C = ( + 3 A + (4A + B + (A + B + C 5(A + (A + B + (B + C + 6(A + B + C = + 3 A + ( 6A + B + (A 3B + C = + 3, y A = 6A + B = A 3B + C = 3 A = B = 3 C = 3 4 Partikularno ršnj: y p = ( + 3 + 3 4. Opšt ršnj: y( = y h ( + y p = c + c 3 + ( + 3 + 3 4.