Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010
SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija kvadratnog trinoma ]... 3 [ Primjer 19. Faktorizacija kvadratnog trinoma ]... 5 { Zadaci za vježbu }... 6 Aleksandra-Maria Vuković amvukovic@gmail.com 2
7. KVADRATNI TRINOM Već smo naučili da tročlani polinom zovemo još i TRINOM. Trinom oblika ax 2 + bx + c zovemo KVADRATNI TRINOM i sastoji se od sljedeća tri člana: ax 2 = kvadratni član (jer je nepoznanica na kvadrat) ax = linearni član (jer je nepoznanica na prvu) c = slobodni član U prethodnim smo primjerima promatrali kvadratne trinome koji su zapravo kvadrat zbroja ili kvadrat razlike. Njih lako faktoriziramo primjenom formula za kvadrat zbroja i razlike: 4a 2 + 12ab + 9b 2 = ( + ) 2 = (2a + 3b) 2 = (2a + 3b) (2a + 3b) umnožak dva binoma x 2 14x + 49 = ( ) 2 = (x 7) 2 = (x 7) (x 7) umnožak dva binoma Međutim, postoje i kvadratni trinomi koji se NE MOGU FAKTORIZIRATI PRIMJENOM FORMULA premda jesu rezultat množenja dva binoma. Njih faktoriziramo točno određenim postupkom. [ Primjer 18. Faktorizacija kvadratnog trinoma ] RJEŠENJE: Faktoriziraj kvadratni trinom 6x 2 + 19x + 15. očito je da zadani kvadratni trinom NIJE KVADRAT ZBROJA jer ne postoji izraz čiji je kvadrat jednak 6x 2 ili 15 moramo pronaći koja dva binoma pomnožena daju zadani kvadratni trinom 1. korak najprije ispišemo koeficijente iz članova kvadratnog trinoma: 6x 2 + 19x + 15 ax 2 + bx + c koeficijent a = 6 (koeficijent kvadratnog člana) koeficijent b = 19 (koeficijent linearnog člana) koeficijent c = 15 (slobodni član) SREDNJI (linearni) član 19x moramo prikazati kao zbroj ili razliku dva člana za čije koeficijente vrijedi: 19x = Kx + Lx npr. 19x = 15x + 4x (K = 15, L = 4) K L = a c i K + L = b umnožak koeficijenta K i L mora biti jednak umnošku koeficijenta a i c zbroj koeficijenata K i L mora biti jednak koeficijentu b K L = 6 15 = 90 K + L = 19 Aleksandra-Maria Vuković amvukovic@gmail.com 3
dakle, moramo PRONAĆI BROJEVE K i L (dva broja) koja pomnožena daju 90, a zbrojena 19 2. korak NAJPRIJE PRONAĐEMO PAR BROJEVA KOJI POMNOŽENI DAJU 90 kako je umnožak pozitivan znači da tražimo ili dva pozitivna ili dva negativna broja no, kako je i zbroj pozitivan znači da tražimo dva pozitivna broja, jer bi zbroj dva negativna broja bio isto negativan 3. korak tražimo zapravo DJELITELJE BROJA 90 K L = 90 1 90 2 45 3 30 5 18 6 15 9 10... Tražimo dok ne naiđemo na par djelitelja br. 90 čiji je zbroj 19 među svim parovima djelitelja pronađemo onaj par čiji je zbroj 19 traženi brojevi K i L su: 9 i 10 9 10 = 90, 9 + 10 = 19 znači SREDNJI ČLAN 19x prikazati kao: 4. korak 19x = 9x + 10x sada se vratimo na zadani trinom i rastavimo srednji član na navedeni način, pri čemu ćemo dobiti ČETVEROČLANI IZRAZ: 6x 2 + 19x + 15 = 6x 2 + 9x + 10x + 15 Najprije odredimo redom sve PROSTE djelitelje broja 90. Za ostale djelitelje koristimo SVOJSTVO da ako je broj djeljiv s brojem a onda je djeljiv i sa svim djeliteljima broja a i obrnuto. Npr. ako je broj djeljiv i sa 2 i sa 3 onda je djeljiv i sa 6. Nadalje, ako je broj djeljiv s br. 18 (ili 30 ili 15 itd.) onda je djeljiv i sa svim djeliteljima tog broja. dobiveni polinom faktoriziramo GRUPIRANJEM ODGOVARAJUĆIH ČLANOVA (primjerice prva dva i druga dva člana) 6x 2 + 9x + 10x + 15 = (6x 2 + 9x) + (10x + 15) = 3x (2x + 3) + 5 (2x + 3) = (2x + 3) (3x + 5) Odgovor: 6x 2 + 19x + 15 = (2x + 3) (3x + 5) PROVJERI REZULTAT MNOŽENJEM Aleksandra-Maria Vuković amvukovic@gmail.com 4
FAKTORIZACIJA KVADRATNOG TRINOMA Neka je dan KVADRATNI TRINOM ax 2 + bx + c koji treba faktorizirati. I. korak Rastavimo srednji član bx na bx = Kx + Lx pri čemu mora vrijediti: K L = a c i K + L = b II. korak Prikažemo zadani trinom preko tako rastavljenog srednjeg člana: ax 2 + bx + c = ax 2 + Kx + Lx + c III. korak Faktoriziramo dobiveni četveročlani izraz GRUPIRANJEM ODGOVARAJUĆIH ČLANOVA. [ Primjer 19. Faktorizacija kvadratnog trinoma ] RJEŠENJE: 1. korak Faktoriziraj kvadratni trinom x 2 x 12. ispišemo koeficijente iz članova zadanog kvadratnog trinoma x 2 x 12 ax 2 + bx + c a = 1 b = 1 c = 12 srednji član moramo rastaviti na: 2. korak 1x = Kx + Lx za K i L mora vrijediti: K L = a c = 12, K + L = b = 1 tražimo dva broja K i L koja pomnožena daju 12, a zbrojena daju 1 kako su i umnožak i zbroj negativni znači da TRAŽIMO JEDAN POZITIVAN I JEDAN NEGATIVAN BROJ K L = 12 1 12 2 6 3 4 1 12 2 6 3 4 odmah vidimo da je traženi par: 3 ( 4) = 12 i 3 + ( 4) = 1 Aleksandra-Maria Vuković amvukovic@gmail.com 5
3. korak prikažemo zadani trinom preko rastavljenog srednjeg člana i faktoriziramo ga GRUPIRANJEM ODGOVARAJUĆIH ČLANOVA x 2 x 12 = x 2 + 3x + ( 4x) 12 = x 2 + 3x 4x 12 izlučimo x izlučimo 4 x 2 + 3x 4x 12 = x (x + 3) 4(x + 3) = (x + 3) (x 4) x 2 x 12 = (x + 3) (x 4) PROVJERI REZULTAT MNOŽENJEM { Zadaci za vježbu } 11. zadatak Faktoriziraj kvadratne trinome. a) 6y 2 + y 1 b) x 2 + 5x + 6 c) 3x 2 + 26x 9 d) x 2 + 7x + 10 e) 2x 2 + 7x + 3 f) 2x 2 x 15 Aleksandra-Maria Vuković amvukovic@gmail.com 6