Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = + k / = + k = t = + + k = + k. t = + k = + k / = + k = t 5 = + + k = + k. Budući da se rješenja moraju nalaziti na segmentu [ ], 6, slijedi: 6 + k 6 / + 8 k / = + k 9 + 8 k 8 k 9 /: 8 k k =,. 8 8 Rješenja su: k = = + =, = + k k = = + = + =. = + k
6 5 5 + k 6 / 5 + 8 k / 5 = + k 5 7 5 5 + 8 k 5 5 5 8 k 7 /:8 k k =. 8 8 Rješenje je: k = 5 5 5 = + =. = + k Vježba Odredi skup rješenja jednadžbe = na segmentu [, ]. Rezultat: =. Zadatak (Vlado, srednja škola) tgα + ctgα Koliko je, ako je α =? tgα ctgα Rješenje α α tgα =, ctgα, α α. α = α + = α α α + α α + α + tgα + ctgα α α α α α α α + α = = = = = = tgα ctgα α α α α α α α α α α α α α α α α = = = = = = =. α α α Vježba tgα ctgα Koliko je, ako je α =? tgα + ctgα Rezultat:. Zadatak (Mornar, pomorska škola) Ako je + =, nañi. Rješenje,,, α α a + b = a + a b + b α + α = α = α α α =. kvadriramo / + = + = + = ( ) jednakost
+ + = + + = + = =. Vježba Ako je + =, nañi. Rezultat:. Zadatak (Goga, srednja škola) Mate i Sanja udaljeni su m i oboje gledaju balon. U isto vrijeme, Sanja vidi balon pod kutom º, a Mate pod kutom 7º. Koliko je Sanja udaljena od balona? Rješenje Zbroj unutarnjih kutova trokuta je 8º: α + β + γ = 8. Poučak o usima (usov poučak) U trokutu ABC vrijedi a b c = = α β γ ili a : b : c = α : β : γ. C d α 7 Gledaj sliku! Najprije odredimo kut α: α + + 7 = 8 α = 8 7 α = 68. Pomoću usova poučka izračuna se udaljenost d: d d = = / 7 d = 7 d = 6.98 m. 7 68 7 68 68 Vježba Mate i Sanja udaljeni su m i oboje gledaju balon. U isto vrijeme, Sanja vidi balon pod kutom º, a Mate pod kutom 8º. Koliko je Sanja udaljena od balona? Rezultat:. m. Zadatak 5 (Goran, gimnazija) Izračunaj α β ako je α + β = i α + β =. m Rješenje 5 + y = + y + y, + =, y = y + y. α + β = kvadriramo / α + β = α β jednakosti α β / + = + =
α + α β + β = zbrojimo α α β β jednakosti + + = α + α + α β + α β + β + β = ( α α ) ( α β α β ) ( β β ) ( α β ) + + + + + = + + = ( α β ) = ( α β ) = /: ( α β ) =. Vježba 5 Izračunaj α β ako je α β = i α β =. Rezultat:. Zadatak 6 (Marina, gimnazija) ( + ) ( ) = Dokaži identitet: α β α β α β. Rješenje 6 ( + y) = y + y, ( y) = y y, y = ( y) ( + y). + =, n n a b = n a b, =. + y y, + y + y = y = y..inačica ( + ) ( ) = α β α β α β. Transformiramo lijevu stranu identiteta da bismo dobili desnu stranu: ( α β ) ( α β ) ( α β α β ) ( α β α β ) [ a a] + = + = razlika kvadr t = = α β α β = α β α β = α β α β = = α α β β + α β = α β..inačica ( + ) ( ) = α β α β α β. Transformiramo desnu stranu identiteta da bismo dobili lijevu stranu: α β = α β α + β = α + β α β α + β α β α + β α + β α β α β = = = Vježba 6 α + β α β = = + ( + ) ( ) = ( α β ) ( α β ) Dokaži identitet: α β α β α β. Rezultat: Dokaz analogan..
Zadatak 7 (Vlado, srednja škola) 6 6 Riješi jednadžbu: + =. Rješenje 7 n m n m a = a, a + b = a + b a a b + b, a + a b + b = a + b. α α + α =, α =. Lijevu stranu jednadžbe transformiramo uporabom formule za zbroj kubova i kvadrat zbroja: 6 6 + = + = ( ) ( ) ( ) + + = ( + ) = + = + + = + + = + = = = = = = ( ) = ( ) / = = = = = / = = = / ( ) računamo u = = = ±.9597 + k /: radijanima = ±.77985 + k, Vježba 7 Riješi jednadžbu: =. Rezultat: = + k = ( k + ) Zadatak 8 (A, TUPŠ) Izračunaj bez uporabe računala: 8º º + º 7º. Rješenje 8 9 =, Adicijska formula: + y = y y. Uporabom adicijske formule dobije se: 8º º + º 7º = 8º º + (9º 8º) (9º º) = = 8º º + 8º º = (8º º) = 6º =.5. 5
Vježba 8 Izračunaj bez uporabe računala: 7º º + º 8º. Rezultat:.5. Zadatak 9 (Boby, tehnička škola) Pojednostavni:. + Rješenje 9 α = α α, α + α =, α = α α. α α α α α α = = = = + α + α + α α α + α + α α α Vježba 9 + Pojednostavni:. Rezultat: ctg. α α α = = = tgα. α α Zadatak (Ljubica, gimnazija) Dokaži da za svaki šiljasti kut α vrijedi relacija: α + α >. Rješenje = za >, a = a, a + b = a + a b + b, α + α =. α = α α, < α < 9 < α <. α + α = α + α = α + α = α + α α + α = < α < 9 = + α α = + α = = + α >. α > Vježba Dokaži da za svaki šiljasti kut α vrijedi relacija: α + α α α <. Rezultat: Dokaz analogan. Zadatak (Vesna, gimnazija) Koja relacija postoji meñu šiljastim kutovima α i β ako vrijedi: tg β = tgα? + tg β Rješenje tg tg tg, tg α = α β = β. + tgα tg β tg tg β tg tg β tg tg β tg β tg α = = = = = tg β. tg β tg β tg β + + + + tg tg β Iz 6
tgα tg = β dobije se: α = β α + β =. Vježba Koja relacija postoji meñu šiljastim kutovima α i β ako vrijedi: + tg β =? tg β tgα Rezultat: α + β =. Zadatak (Josip, srednja škola) Dokaži jednakost: 7 =. Rješenje y = ( y) ( + y), ( 9 α ) = α. 7 7 = = 7 7 + 6 8 = = 8 + 8 + 8 8 = = = = = = =. Vježba Dokaži jednakost: =. 8 Rezultat: Dokaz analogan. Zadatak (Vedran, gimnazija) Za koji realan broj m jednadžba + = m ima realna rješenja? Rješenje Za svaki realni broj vrijedi: Transformiramo zadanu jednadžbu: [ ] ili, ili. y = y + y. 7
m tg co s / m m + = + = + = + = m + = m = m. Budući da je slijedi: Vježba, m m / m m [, ]. Za koji realan broj m jednadžba Rezultat: m [, ]. + = m ima realna rješenja? Zadatak (Josip, gimnazija) Izračunaj tg + ctg, ako je + =. Rješenje a + b = a + a b + b, α + α =. s + = + = /: in + = / ( + ) = + + = + = = = /: =. 8 Računamo zadani izraz: + tg + ctg = + = + = = = 8 = = = = = 8. 8 8 Vježba Izračunaj 6 tg + 6 ctg, ako je + =. Rezultat: 6. Zadatak 5 (Natalija, gimnazija) γ Pokaži da je trokut jednakokračan ako za njegove kutove vrijedi relacija: α =. β Rješenje 5 Zbroj svih kutova u trokutu je 8º: α + β + γ = 8. Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednake duljine zovemo kraci trokuta. Uočimo da su kutovi koji leže na trećoj stranici jednaki zbog činjenice da se nasuprot jednakim stranicama nalaze jednaki kutovi. 8
+ y = y + y, y = y y, 8 =. γ γ α + β + γ = 8 α = α = / β α β = γ β β γ = 8 ( α + β ) α β = 8 α + β α β = α + β ( ) α β = α β + α β α β + α β α β = 9 α β α β = α β = α β = α = β. Vježba 5 α Pokaži da je trokut jednakokračan ako za njegove kutove vrijedi relacija: β =. γ Rezultat: β = γ. Zadatak 6 (Emy, gimnazija) Ako kutovi trokuta ABC zadovoljavaju jednakost trokut ABC pravokutan ili jednakokračan. Rješenje 6 y = y + y. α β = α β, dokaži da je Zbroj svih kutova u trokutu je 8º: α + β + γ = 8. Pravokutan trokut ima jedan pravi kut. Pravi kut iznosi 9º. Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednake duljine zovemo kraci trokuta. Uočimo da su kutovi koji leže na trećoj stranici jednaki zbog činjenice da se nasuprot jednakim stranicama nalaze jednaki kutovi. + y y + y y + y =, y =, =. y = = ili y = il i = y =. = = + ( α β ) α β ( α β ) ( α β ) ( α β ) α + β α β α + β α β ( α β ) = α + β α + β α β α β ( α β ) = ( α β ) ( α β ) ( α β ) ( α β ) ( α β ) ( α β ) = + + = α β = α β = α β = ( α β ) ( α + β ) = α β α β α β 9 + = + = + = Vježba 6 α = β trokut ABC je jednakokračan. γ = 9 trokut ABC je pravokutan Ako kutovi trokuta ABC zadovoljavaju jednakost trokut ABC pravokutan ili jednakokračan. Rezultat: Dokaz analogan. α γ = α γ, dokaži da je
Zadatak 7 (A, TUPŠ) y = 6 Riješi sustav jednadžbi: y =. Rješenje 7 α β = ( α β ) + ( α + β ). Transformiramo trigonometrijsku jednadžbu u zbroj. y = 6 y = 6 y = ( y) + ( + y) = y = 6 y = 6. ( y) + ( + y) = / ( y) + ( + y) = Umjesto y u drugu jednadžbu uvrstimo. 6 y = 6 y = y = 6 6 + ( + y) = + ( + y) = + ( + y) = 6 y = y = 6 6. ( + y) = + y = + k Zajedno s prvom jednadžbom dobije se sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. y = metoda 6 + suprotnih = + + k = + k 6 6 + y = + k koeficijenata = + k = + k / = + k. 6 Nepoznanicu y izračunamo, na primjer, iz jednadžbe: + y = + k. = + k + k + y = + k y = + k k + y = + k
y = + k y = + k. 6 6 Rješenje sustava jednadžbi je skup ureñenih parova: (, y) = + k, y = + k, k Z. 6 Vježba 7 y = Riješi sustav jednadžbi: + y =. Rezultat: 5, y = + k, y = + k, k Z. 6 6 Zadatak 8 (Ante, Visoka škola za sigurnost) = Riješi jednadžbu: Rješenje 8 Jednadžba = a ima rješenja ako je a. y t t - a a t t Pomoću a koristeći tablice ili kalkulator odredimo t : t = a. Ako je točka u prvom kvadrantu onda je glavna mjera kuta t pa je rješenje = t + k Ako je točka u drugom kvadrantu onda je glavna mjera kuta t = t pa je rješenje = t + k Ako je točka u trećem kvadrantu onda je glavna mjera kuta t = + t pa je rješenje = + t + k Ako je točka u četvrtom kvadrantu onda je glavna mjera kuta t = t pa je rješenje Tako dobijemo rješenja jednadžbe = a: = t + k = t + k, = t + k, k Z, za a >, = t + k, = + t + k, k Z, za a <.
supstitucija ( ) = ( ) = /: ( ) ( ) = t. t = = y E (t ) t - t t E (t ) Na slici točkom točke, položimo pravac = koji trigonometrijsku kružnicu siječe u dvije E t i E t. Simetrijom je svakoj točki koja nije u prvom kvadrantu pridružena točka u prvom kvadrantu kojoj je pridružen broj t,. y t t - a a t t = = t =. Zato je: t = t + k, k Z t = + k, k Z t = + k t = + t + k, Z t,,. = + + = + k Z Vraćamo se na supstituciju: t = = + t. Rješenja iznose:
t = + k, k Z 5 = + + k, k Z = + k, k Z, = + t t = + k, k Z 7 = + + k, k Z = + k = + t Vježba 8 Rezultat: Riješi jednadžbu: ( ) + = 5 7,,,. k k Z = + = + k k Z Zadatak 9 (Tina, gimnazija) β + γ Ako kutovi α, β i γ nekog trokuta zadovoljavaju jednakost: α =, nañi kut α. β + γ Rješenje 9 Zbroj kutova u trokutu je 8 : α + β + γ = 8. a b a b a a =, =, 9 =, 9 =. n n n b b = co s, y = = ili y = ili = y =. Formule za transformaciju: + y y, + y + y = + y = y. β + γ β γ β + γ β γ β + γ α = α = α = β + γ β + γ β γ β + γ β γ 8 α β + γ 8 α α = α = α = β + γ 8 α 8 α α 9 α α α α α α = α = α = / α = α α α 9 α α α α α α α α α = = =
α α α = = 9 = 9 / α = 8 nema smisla α α α α = = = /: = / α α α racionalizacija α = = = = nazivnika α α α = = = 5 / α = 9. Vježba 9 α + γ Ako kutovi α, β i γ nekog trokuta zadovoljavaju jednakost: β =, nañi kut β. α + γ Rezultat: 9. Zadatak (Ico, gimnazija) Koliki je ukupan broj svih rješenja jednadžbe = + na intervalu,? 6 Rješenje Jednadžbu koja sadrži trigonometrijske funkcije nepoznatog broja ili kuta zovemo trigonometrijska jednadžba s jednom nepoznanicom. = α + k = α. = α + k, k Z Pitamo se za kakve brojeve i α vrijedi = α. Zamislimo da je α zadan i da tražimo sve vrijednosti od za koje vrijedi ta jednakost. Budući da je funkcija us periodična s osnovnim periodom, jasno je da će ona vrijediti ako je Meñutim, kako je = α + k α = α, može biti i = α + k Rješavamo zadatak. = + = + + k = + k = + k. 6 6 6 6 Zbog uvjeta zadatka rješenja moraju biti izmeñu i. od sustava nejednadžbi < < < + k < < + k < / 6 oduzmemo 6 6 6 7 5 sustav nejednadžbi < + k < < k < 6 6 6 6 6 6 podijelimo sa 7 5 7 5 < k < / < k < 6 6 6 6
7 5 k mora biti < k < k =. Postoji rješenje. cijeli broj = + = + + k = + k 6 6 6 5 5 + = + k = + k /: = + k. 6 6 8 Zbog uvjeta zadatka rješenja moraju biti izmeñu i. 5 < < < + k < 8 od sustava nejednadžbi 5 oduzmemo 8 5 5 5 5 5 5 < + k < / < + k < 8 8 8 8 8 8 sustav nejednadžbi < k < < k < / 8 8 pomnožimo sa 8 8 k mora biti < k < < k < 8 8 cijeli broj k =,,. Postoje rješenja. Ukupan broj rješenja je: + =. Vježba Koliki je ukupan broj svih rješenja jednadžbe = + na intervalu,? 6 Rezultat:. 5