Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankov

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankovi Student: Duxan Mijajlovi broj indeksa 156 Nix, 2018.

Predgovor Ovaj rad se koristi elementima iz Diferencijalne geometrije, a posveen je prouqava u nekih poznatih, kao i ma e poznatih ravanskih i prostornih krivih. S obzirom da se qitava,,rad a" odvija u Euklidskom n-dimenzionalnom prostoru, prva glava je posveena podsea u na neke osnovne osobine i definicije koje vae u tom prostoru. Druga glava obuhvata lokalnu i globalnu teoriju krivih u ravni i prostoru kao osnovu za da e izuqava e i prime iva e. Tree poglav e posveeno je prikaziva u algebarskih krivih, reda tri, qetiri i krivih vixeg reda, a zatim i transcendentnih krivih u ravni. Navedene su neke poznate krive koje su ostavile neizbrisiv trag u istoriji matematike. Zatim se, dotiqemo prostornih krivih, analogno krivama u ravni, uz dodatak nove dimenzije. Temu rada zanim ivijom qini i qi enica da su algebarske krive upotreb ene u dokazu Fermaove posled e teoreme kao i to da su, izmeu ostalog, upravo algebarske krive neophodne za razumeva e teorije struna. S druge strane, transcendentne krive svoju primenu naxle su u kinematici. Qi enica da je razvoj diferencijalne geometrije zapoqeo prouqava em parametrizovanih ravanskih krivih dodatno veliqa znaqaj ravanskih krivih. O univerzalnosti teme rada govori qi enica da se ravanske krive osim u razliqitim oblastima matematike - teoriji brojeva, kompleksnoj analizi, diferencijalnim jednaqinama, prime uju i u kriptografiji, geometrijskoj optici, dizajnu (CAD) i robotici. Koristim ovu priliku da se zahvalim mentoru, prof. dr Mii Stankoviu, na neizmernoj podrxci i razumeva u prilikom izrade ovog rada, korisnim sugestijama i vanim savetima. Zahvalio bih se i prof. dr Milanu Zlatanoviu i prof. dr ubici Velimirovi na dodatnoj podrxci i savetima. 3

Sadraj Predgovor 3 1 Uvodni deo 7 1.1 Euklidski n - dimenzionalni prostor................... 7 2 Elementi teorije krivih 10 3 Neke poznate krive u ravni i prostoru 31 3.1 Polukubna parabola.............................. 31 3.2 Dekartov list................................. 33 3.3 Paskalov pu................................. 34 3.4 Kardioida................................... 37 3.5 Bernulijeva lemniskata............................ 38 3.6 avo a kriva................................. 39 3.7 Hipocikloida i Epicikloida........................ 41 3.8 Cikloide.................................... 43 3.9 Logaritamska spirala............................ 45 3.10 Heliks...................................... 48 3.11 Vivijanijeva kriva.............................. 51 3.12 Kriva Xtajnmeca............................... 52 Literatura 55 Biografija 56 5

6 SADRAJ

Glava 1 Uvodni deo 1.1 Euklidski n - dimenzionalni prostor Pojmovi koji e u ovom radu biti izloeni pripadaju euklidskom n - dimenzionalnom prostoru. Podsetimo se najvanijih osobina ovog prostora. Skup R n = {a = (a 1, a 2,, a n ), a i R, i = 1,, n} je skup svih ureenih n - torki realnih brojeva. Euklidski prostor je vektorski prostor, gde su taqke tog prostora zapravo vektori i u tom prostoru definixemo operacije sabira a vektora, kao i skalarnog proizvoda vektora. a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ), a, b = n a j b j gde su a = (a 1, a 2,, a n ), b = (b 1, b 2,, b n ) elementi n - dimenzionalnog vektorskog prostora. Skalarni proizvod je komutativna operacija i distributivan je prema sabira u. Dakle, vai: α a = (αa 1, αa 2,, αa n ) j=1 (αa), b = α a, b = a, (αb), gde je α proizvo an realan broj. Pomou definisanih operacija, mogue je definisati normu i rastoja e u R n na sledei naqin: a = a, a d(a, b) = a b. Za ovako definisanu normu, vae sledee osobine: αa = α a, gde je a R n, α R. Takoe vai nejednakost trougla, kao i nejednakost Koxi - Xvarc, respektivno: a, b a b 7

8 GLAVA 1. UVODNI DEO a + b a + b. Posmatrajmo linearno preslikava e J : R 2 R 2 definisano sa: J(a 1, a 2 ) = ( a 2, a 1 ). U geometrijskom smislu, ovo preslikava e predstav a rotaciju za ugao π 2 suprotnom od kreta a kaza ke na satu. u smeru Preslikava e J ima sledee osobine: J 2 = Id (Ja), (Jb) = a, b za a, b R 2. (Ja), a = 0 Svaku taqku u R 2 moemo poistovetiti sa nekim kompleksnim brojem, pri qemu je prva kooordinata date taqke realni deo, a druga koordinata imaginarni deo posmatranog kompleksnog broja. Dakle, za a R 2 vai a = (a 1, a 2 ), pri qemu je a 1 = Re(a), dok je a 2 = Im(a), dakle a = a 1 +ia 2. Ko ugovano - kompleksan broj broja a, u oznacu a, definixemo na sledei naqin: a = a 1 ia 2. Moduo kompleksnog broja a, u oznaci a, definixemo sa: a = aa. Lema 1.1 Neka je R 2 skup kompleksnih brojeva i a, b R 2 = C. Tada vai Ja = ia a = a, ab = a, b + i (a, (Jb)). (1.1) Lema 1.2 Neka su a i b nenula vektori u R 2. Tada postoji jedinstven broj θ za koji vai a, b cos θ = a b, a, Jb sin θ =, 0 θ < 2π, (1.2) a θ je orijentisani ugao od b ka a. Dokaz. Iz a,b e pripadati jediniqnoj krunici u C, dakle postoji jedin- a b kompleksni broj stveno θ, 0 θ < 2π i vai: a, b = 1, a b Kombinujui (1.1) i (1.3) izvodi se: ab a b = eiθ. (1.3) a, b + i a, (Jb) = e iθ a b = a b cos θ + i a b sin θ. (1.4)

1.1. EUKLIDSKI N - DIMENZIONALNI PROSTOR 9 Slika 1.1: Orijentisani ugao θ Izjednaqavajui realne i imaginarne delove kompleksnog broja, sledi tve e Leme (1.2). Podsetili smo se nekih algebarskih karakteristika prostora R n. Sada se moramo prisetiti i pojma diferencijabilnosti na kome poqiva diferencijalna geometrija. Definicija 1.3 Funkcija F : U R m je diferencijalna u taqki x U ako postoji linearno preslikava e A x : R n R m takvo da u ε-okolini taqke x vai: F (x + ξ) = F (x) + A x (ξ) + o( ξ ). A x je linearno preslikava e koje se opisuje Jakobijanom od F: ( Fi J x F = x. x j )i,j Rang preslikava a F u taqki x jednak je rangu matrice Jakobijana od F. Nama e biti interesantan sluqaj kada je funkcija F diferencijabilna u svakoj taqki otvorenog skupa U, tj. x U. Prisetimo se, funkcija F je klase C ako svi eni parcijalni izvodi postoje i ako su svi neprekidne funkcije.

Glava 2 Elementi teorije krivih Neophodno je posvetiti pa u lokalnoj i globalnoj teoriji krivih, stoga ovde iznosimo teoreme od fundamentalnog znaqaja za prouqava e krivih. Posmatraemo, najpre, sluqaj u ravni. Na prvi pogled, kriva bi, najjednostavnije, mogla biti definisana kao neprekidno preslikava e iz intervala I R u R 2. Meutim, pretpostavka o neprekidnosti je suvixe slaba (mogua je pojava beskonaqno gustih krivih). Takoe, mora biti ispu ena i pretpostavka o diferencijabilnosti kao fundamentalnog pojma na kome se qitava priqa o krivama zasniva. Definicija 2.1 Parametrizovanom krivom u R 2 smatramo diferencijabilno preslikava e c : I R 2, pri qemu je I proizvo an interval skupa realnih brojeva, R. Posmatrajmo, najpre, parametrizaciju prave. Ako su a, b R 2 dve taqke sa prave δ(t), t R n, enu jednaqinu u parametarskom obliku zapisujemo na sledei naqin: δ(t) = (a t)a + tb = a + t(b a). Posmatrajmo krunicu u R 2 sa centrom u (p 1, p 2 ) R 2 polupreqnika r. ena parametrizacija je tada: α(t) = (p 1 + r cos t, p 2 + r sin t), 0 t < 2π. Prilikom prouqava a krivih, koristiemo razliqite koordinatne sisteme - Dekartov, polarni, bipolarni, a najqexe upotreb avani su Dekartov i polarni koordinatni sistem. Krive emo predstaviti i u implicitnom obliku, na sledei naqin: F (p, q) = 0, gde je F : R 2 R diferencijabilna funkcija. Nama je od znaqaja parametarska reprezentacija krivih. Istu krivu moemo zadati parametarski na razliqite naqine, pri qemu vrximo, tzv. reparametrizaciju krivih. Uvodimo sledeu definiciju: 10

Definicija 2.2 Posmatrajmo diferencijabilne krive h : (a, b) R 2 i g : (d, e) R 2. Kriva g je pozitivna reparametrizacija krive h ako postoji diferencijabilna funkcija ϕ : (d, e) (a, b) sa osobinom da je ϕ (u) > 0, d < u < e i g = h ϕ. Kriva g je negativna reparametrizacija krive h ako postoji diferencijabilna funkcija ϕ : (d, e) (a, b) sa osobinom da je ϕ (u) < 0, d < u < e i g = h ϕ. Bilo da imamo sluqaj pozitivne ili negativne reparametrizacije, krivu g zovemo reparametrizacijom krive h. Reparametrizacija je dopustiva ako moe da oquva izgled i orijentaciju krive. Uslov ϕ > 0 garantuje da e se pri reparametrizaciji oquvati orijentacija. Za pozitivnu reparametrizaciju kaemo da je dopustiva. Neke neregularnosti moemo otkloniti reparametrizacijom. Naime, moe se desiti da kriva ne bude regularna u nekoj taqki i enoj okolini, ali nakon reparametrizacije te krive, ona postaje regularna u datoj taqki. Primer koji ovo ilustruje je primer horizontalne prave koja je neregularna u taqki t = 0 kada je parametrizovana sa t (t 3, 0). Od veeg znaqaja je sluqaj kada neregularnost u okolini taqke ne moe biti otklo ena reparametrizacijom. Definicija 2.3 Za krivu h : (a, b) R 2 kaemo da je regularna u taqki t 0, a < t 0 < b ako funkciju t h (t) moemo dodefinisati do diferencijabilnosti u h (t) t 0. Ukoliko ovo nije mogue, kaemo da kriva h ima singularitet u taqki t 0. Moemo izvrxiti klasifikaciju singulariteta na one koji nastaju kada kriva seqe samu sebe i singularitete koje zovemo -,,xpic" ili,,xi ak" ( u ovim taqkama izvod ne postoji). Obe klase singulariteta ne moemo otkloniti reparametrizacijom. Uvedena definicija izbacuje mogunost postoja a singulariteta zbog zahteva o diferencijabilnosti, odnosno c 0 na celom domenu. Definiximo, sada orijentaciju parametrizovane krive. Orijentacija parametrizovane krive c u ravni prirodno je indukovana porastom parametra t. Orijentacija krive i odgovarajui smer tangentnog vektora za dve krive istog oblika, ali suprotne orijentacije dati su na slici (2.1). 11 Slika 2.1: Orijentacija krive u ravni

12 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Lema 2.4 Neka je g reparametrizacija krive h i neka za diferencijabilno preslikava e ϕ : (d, e) (a, b) vai g = h ϕ. Tada g (u) = ϕ (u)h (ϕ(u)), d < u < e. Dokaz. Kako za h i g vai h(t) = (h 1 (t),, h n (t)) i g(u) = (g 1 (u),, g n (u)) imamo da je g j (u) = h j (ϕ(u)), j = 1,, n, pa se prime ujui osobine izvoda sloene funkcije dobija g j(u) = h j(ϕ(u))ϕ (u), j = 1,, n, qime smo dokazali da vai tvre e g (u) = ϕ (u)c (ϕ(u)). Definicija 2.5 Regularnom parametrizovanom krivom zovemo neprekidno diferencijabilno preslikava e, h : I R 2, I je interval u R, za koje vai svojstvo ( t I) h (t) = dh dt 0. Interpretacija uslova regularnosti: Fiziqki smisao: Ukoliko sa t oznaqimo vreme, sa h puta u kreta a qestice u R 2, h(t) je poloaj qestice, a h (t) je vektor brzine kreta a qestice, tada uslov regularnosti znaqi da je brzina kreta a qestice razliqita od 0 svuda, odnosno qestica je stalno u pokretu. Vektor ubrza a qestice je h (t). Geometrijski smisao: Vektor h je tangentni vektor na krivu h u h(t). Uslov regularnosti znaqi da u svakoj taqki krive postoji nenula tangentni vektor. Jednaqina tangente na krivu h u h(t 0 ) data je na sledei naqin: t h(t 0 ) + th (t 0 ), gde je h (t 0 ) koeficijent pravca. Slika 2.2: Brzina i ubrza e ravanske krive Uvedimo, sada, definicije koje opisuju karakteristike krivih u ravni. Definicija 2.6 Ako je c : (a, b) R 2 kriva, tada duinu luka krive c izraqunavamo na sledei naqin: b L b a(c) := c (t) dt, pri qemu je euklidska norma. a

Duina luka neke krive nije zavisna od ene parametrizacije. Zaista vai sledea teorema: Teorema 2.7 Posmatrajmo krivu g koja je reparametrizacija krive c. Tada vai L b a(c) = L e d(g). 13 Dokaz. Posmatraemo dva sluqaja. Imamo, najpre, sluqaj pozitivne reparametrizacije. Neka je g = c ϕ, pri qemu je ϕ : (d, e) (a, b) i ϕ (u) > 0 za svako u, d < u < e. Sada, na osnovu leme (2.4) imamo da vai: g (t) = c (ϕ(u))ϕ (u) = c (ϕ(u)) ϕ (u). Da e, koristei definiciju (2.6) imamo: L(c) = b c (t) dt = e c (ϕ(u)) ϕ (u)du = e g (u) du = L(g). a Sluqaj negativne reparametrizacije: d d a s obzirom da vai: lim ϕ(u) = b, lim u d ϕ(u) = a, u e + g (t) = c (ϕ(u))ϕ (u) = c (ϕ(u)) ϕ (u) kao u prvom delu dokaza dobijamo b d e L(c) = c (t) dt = c (ϕ(u)) ϕ (u)du = g (u) du = L(g). a e d Definicija 2.8 Kriva c : I R n je prirodno parametrizovana, ako je c (t) = 1, t I. Kaemo jox da je prorodno parametrizovana kriva parametrizovana duinom luka. Teorema 2.9 Svaku regularnu krivu je mogue prirodno parametrizovati. Svake dve prirodne parametrizacije su ekvivalentne do na translaciju. Dokaz. Neka je c : [a, b] R n i l := L b a(c). Definixemo: t s(t) := L t a(c) := c (τ) dτ. a

14 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Tada vai s : [a, b] [0, l] i s (t) = c (t) > 0. Sledi da je s C 1 -difeomorfizam, pri qemu je odgovarajua reparametrizacija zadata sa: i pritom vai: c = c s 1 (c) (u) = (c s 1 )(u) = c (s 1 1 (u)) s (s 1 (u)) = c c (s 1 (u)) = 1. Ako su c i c ϕ dve prirodne parametrizacije tada vai 1 = (c ϕ) = c ϕ = ϕ, pa sledi da je ϕ(t) = t + a, a R n, odnosno ϕ je translacija. Samim tim vai i drugi deo tvre a, tj. proizvo ne dve prirodne parametrizacije ekvivalentne su do na translaciju. Lema 2.10 Ako je c regularna prirodno parametrizovana kriva, tada su vektori c i c ortogonalni, tj. c (s) c (s), s I. Dokaz. Diferencira em jednakosti dobijamo 1 = c (s) 2 = c (s), c (s), s I, 0 = 2 c (s), c (s) c (s) c (s). Posmatrajmo Tejlorov polinom krive c parametrizovane duinom luka u okolini neke taqke t 0 : c(t 0 + s) = c(t 0 ) + sc (t 0 ) + s2 2 c (t 0 ) + o(s 2 ). Razvoj do prvog reda je tangenta na krivu c u taqki t 0 s c(t 0 ) + sc (t 0 ), dok je razvoj do drugog reda zapravo oskulatorni konus s c(t 0 ) + sc (t 0 ) + s2 2 c (t 0 ) koji sa krivom c ima kontakt drugog reda u taqki t 0. Krive parametrizovane duinom luka, c 1 i c 2 imaju kontakt k-tog reda u taqki t 0 ako vai c 1 (t 0 ) = c 2 (t 0 ), c 1(t 0 ) = c 2(t 0 ),, c (k) 1 (t 0 ) = c (k) 2 (t 0 ). U sluqaju kada su c, c, c,, c (n) linearno nezavisni vektori u svakoj taqki krive c, tada za ih kaemo da formiraju ortonormiran sistem koji zovemo n-okvir. Definicija 2.11 Za prirodno parametrizovanu, regularnu krivu c klase C n kaemo da je Freneova 1 kriva ako su vektori c, c, c,, c (n 1) linearno nezavisni u svakoj taqki krive. Freneov okvir koji ovi vektori obrazuju je tada jedinstveno odreen sledeim uslovima: 1 Jean F rédéric F renet (1816-1900)

15 (i) Sistem e 1 (s),, e n (s) je pozitivno orijentisan ortonormiran sistem vektora prostora R n, (ii) k = 1,, n 1, s L(e 1 (s),, e k (s)) = L(c (s),, c (k) (s)), (iii) k = 1,, n 1, s c k (s), e k (s) > 0. gde je L lineal 2 nad skupom {c (s),, c (n 1) (s)}, odnosno skupom {e 1,, e n }. Prilikom konstrukcije Freneovog okvira koristiemo Gram-Xmitov postupak: e 1 = c (s) e 2 = c c e 3 = c c, e 1 e 1 c, e 2 e 2 c c, e 1 e 1 c, e 2 e 2. e n 1 = c (n 1) c (n 1) n 2 j=1 n 2 j=1 c (n 1), e j e j c (n 1), e j e j. Posled i vektor e n ovog niza bie jedinstveno odreen. Uvodimo definiciju krivine krive koja, suxtinski, meri odstupa e krive od prave. Definicija 2.12 Pretpostavimo da je c : (a, b) R 2 regularna kriva. Krivina k je broj koji definixemo na sledei naqin: Izraz 1 k[c](t) zovemo radijus krivine krive c. k[c](t) = c (t), Jc (t) c (t) 3. (2.1) U narednoj lemi bie izvedena formula za krivinu k krive c koju je dao utn 3, kao i ena ekvivalentna forma u sluqaju kada c : (a, b) C, tj. kodomen krive c je skup kompleksnih brojeva. 2 Posmatrajmo M koji je neprazan skup vektora vektorskog prostora V. Skup LV (M) = L(M) := {v V : v je linearna kombinacija vektora skupa M} naziva se lineal nad skupom M. Drugim reqima, lineal na skupu M je skup svih linearnih kombinacija vektora skupa M. 3 Newton (1642-1727)

16 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Lema 2.13 Posmatrajmo preslikava e c : (a, b) R 2 koje predstav a regularnu ravansku krivu parametrizovanu na sledei naqin sa c(t) = (x(t), y(t)). Tada krivinu k krive c definixemo na jedan od dva ekvivalentna naqina: k[c](t) = x (t)y (t) x (t)y (t) (x 2 (t) + y 2 (t)) 3 2 k[c](t) = Im c (t)c (t), u sluqaju c : (a, b) C. c (t) 3 Dokaz. S obzirom da vai c (t) = (x (t), y (t)) kao i Jc (t) = ( y (t), x (t)) na osnovu definicije preslikava a J imamo da je k[c](t) = (x (t), y (t))( y (t), x (t)) (x 2 (t) + y 2 (t)) 3 2 = x (t)y (t) x (t)y (t). (x 2 (t) + y 2 (t)) 3 2 Koristei poznate osobine preslikava a J i skalarnog proizvoda, sledi c (t)c = c c + ic (Jc ), sa primenom na c (t)c (t) dobijamo c (t) 3 c (t)c (t) + ic (Jc ) c (t) 3, a odavde, posmatrajui imaginarni deo, dobijamo (2.1). Odgovor na pita e da li krivina krive zavisi od ene parametrizacije daje sledea teorema: Teorema 2.14 Posmatrajmo regularnu krivu c : (a, b) R 2 i enu reparametrizaciju g : (d, e) R 2 i neka je g = c h, a h : (d, e) (a, b) je diferencijabilna funkcija. Tada k[g](u) = (sgn(h (u)))k(h(u)), (2.2) h (u) 0. Odavde zak uqujemo da krivina ne zavisi od parametrizacije do na znak. Dokaz. Na osnovu g = (c h)h imamo da je Jg = J(c h)h i vai g = (c h)h 2 + (c h)h, odakle da e dobijamo k[g] = ((c h)h 2 + (c h)h )J(c h)h = h 3 (c h)j(c h), (c h)h 3 h 3 c h 3 pa sledi jednakost (2.2). Lema 2.15 Posmatrajmo prirodno parametrizovanu krivu g u ravni. Tada vai g = k[g]jg.

Dokaz. Nakon xto potraimo izvod leve i desne strane izraza g, g = 1 dobijamo g g = 0. Dakle, g je umnoak Jg. Iz utnove formule za krivinu krive dobijamo da je taj umnoak jednak k[g]. Definisali smo orijentisan ugao izmeu dva vektora u R 2, analogno tome definisaemo ugao izmeu dve krive, xto e, zapravo, biti ugao izmeu ihovih tangentnih vektora. Navodimo nekoliko lema koje se tiqu egzistencije i jedinstvenosti funkcije ugla krivih, kao i ugla skreta a krive. Lema 2.16 Posmatrajmo f, g : (a, b) R dve diferencijabilne funkcije za koje vai f 2 + g 2 = 1. Izaberimo t 0, a < t 0 < b i neka za θ 0 vai f(t 0 ) = cos θ, g(t 0 ) = sin θ. Tada postoji jedinstvena, neprekidna funkcija θ : (a, b) R za koju vai: θ(t 0 ) = θ 0, f(t) = cos θ(t), g(t) = sin θ(t), a < t < b. (2.3) 17 Slika 2.3: Funkcija ugla izmeu krivih c i d Posledica 2.1 Posmatrajmo, regularne ravanske krive c i d qiji je domen interval (a, b) i neka je t 0 broj takav da vai a < t 0 < b. Odaberemo θ 0 tako da vai: c (t 0 ), d (t 0 ) c (t 0 ) d (t 0 ) = cos θ 0, c (t 0 ), Jd (t 0 ) c (t 0 ) d (t 0 ) = sin θ 0. Tada postoji jedinstvena diferencijabilna funkcija θ : (a, b) R sa osobinama: ( a < t < b), θ(t 0 ) = θ 0, c (t), d (t) c (t) d (t) = cos θ(t), c θ je funkcija ugla izmeu krivih c i d odreena sa θ 0. (t), Jd (t) c (t) d (t) = sin θ(t). Lema 2.17 Neka je c : (a, b) R 2 regularna kriva i t 0 iz intervala (a, b) fiksirana taqka. Neka je, da e, θ 0 broj takav da vai jednakost: c (t 0 ) c (t 0 ) = (cos θ 0, sin θ 0 ).

18 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Tada postoji jedinstvena diferencijabilna funkcija θ[c] : (a, b) R takva da vai: c (t) ( a < t < b) θ(t 0 ) = θ 0, = (cos θ(t), sin θ(t)), (2.4) c (t) θ[c] je ugao skreta a odreen sa θ 0. Napravimo relaciju izmeu ugla skreta a i krivine ravanske krive. Lema 2.18 Veza izmeu ugla skreta a i krivine ravanske krive opisana je sledeom relacijom: θ[c] (t) = c (t) k[c](t). (2.5) Slika 2.4: Ugao skreta a ravanske krive c (ugao izmeu x-ose i tangentnog vektora) Posledica 2.2 Veza izmeu krivine krive i ugla skreta a prirodno parametrizovane ravanske krive c zadata je sledeom relacijom: k[c](s) = dθ[c](s). ds Na osnovu rezultata iz posledice (2.2) vidimo da krivina meri brzinu promene ugla skreta a s obzirom na duinu luka. Posvetimo pa u jox jednom naqinu za definisa e krivine krive, kao i fundamentalnu teoremu lokalne teorije ravanskih krivih. Kako je c je regularna, ravanska kriva, bie i Freneova, pa vai da je tangentni vektor e 1 (s) = c (s), dok se vektor e 2 dobija rotacijom 4 e 1 u levo za ugao π xto zapisujemo pomou preslikava a J na sledei naqin: e 2 (s) = Je 1. Kako vai 1 = c, c, 2 dobija se 0 = 2 c, c = 2 e 1, c. Vektor e 1 je ortogonalan na vektor c, a e 2 i c su linearno zavisni, pa postoji neka funkcija k = k(s) tako da vai c = ke 2. Pomenuta funkcija k naziva se krivina krive c. Ravan koju odreuju vektori e 1 i e 2 zove 4 Rotirati vektor ( a b ) za ugao α znaqi izvrxiti proizvod: ( cos α sin α sin α cos α ) ( a b )

19 se oskulatorna ravan. Na osnovu gore navedenog, moemo izvesti tzv. Freneove jednaqine: e 1(s) = (c (s)) = k(s)e 2 (s) e 2(s) = e 2, e 1 e 1 + e 2, e 2 e 2 = ke 1, jer e 2, e 2 = 1, pa se dobija 2 e 2, e 2 = 0 i zbog e 1, e 2 = 0 sledi e 2, e 1 = e 1, e 2 = k e 2, e 2 = k. Matriqnim predstav a em, ove jednaqine dobijaju sledei oblik: ( ) ( ) ( ) e 1 0 k e1 =. k 0 e 2 Teorema 2.19 Regularna kriva u R 2 ima konstantnu krivinu akko je deo prave (k = 0) ili deo krunice polupreqnika 1 (k 0). k Za proizvo nu regularnu krivu c sa nenula krivinom, krunica sa centrom u c(s 0 ) + 1 e 1 k(s 0 ) 2(s 0 ) i polupreqnikom k(s 0 ) predstav a oskulatornu krunicu krive c u taqki c(s 0 ) i ima kontakt drugog reda sa krivom c. Kriva koja prolazi kroz sve centre svih oskulatornih krunica jedinstvena je i naziva se evoluta krive c i ona je parametarski zadata na sledei naqin s c(s) + e 2(s). Evoluta ne k(s) mora biti regularna kriva. Krivina krive je vaan element u opisiva u i prouqava u te krive. Ona je uvek pozitivna u R 3. Freneove jednaqine proxiruju se u sluqaju prostorne krive dodatnom jednaqinom koja predstav a prvi izvod vektora binormale e 3, pa su pored oskulatorne, definisane i dve dodatne ravni - normalna (e 2 i e 3 ) i rektifikaciona (e 1 i e 3 ). Osim toga u R 3 se definixe i torzija krive kao odstupa e krive od ravni. U sluqaju ravni, torzija je uvek jednaka nuli. Vana je sledea teorema: Teorema 2.20 (Fundamentalna teorema lokalne teorije ravanskih krivih) Zadajmo k : (a, b) R pozitivnu neprekidnu funkciju, s 0 (a, b), q 0 R 2 i e (0) 1, e (0) 2 pozitivno orijentisani ortonormirani vektori. Tada postoji jedinstvena, Freneova kriva c : (a, b) R 2 za koju vae sledea svojstva: c(s 0 ) = q 0, e (0) 1, e (0) 2 je Freneov 2-okvir u taqki q 0, k je Freneova krivina krive c. Ova teorema vai i u opxtem sluqaju, tj. za bilo koje krive u prostoru R n. Sada moemo prei, sa bav e a taqkom krive i enom okolinom, na xire prouqava e - globalnu teoriju krivih. e 2

20 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Definicija 2.21 Regularna kriva c : [a, b] R n naziva se zatvorena kriva ako postoji regularna kriva c : R R n tako da vai c [a,b) = c, c(t + b a) = t, c(a) = c(b) i c (a) = c (b). Kriva c naziva se periodiqna kriva. Zatvorena kriva c je prosta, ako je c [a,b) injektivno preslikava e, tj. za svako a t 1 < t 2 < b vai c(t 1 ) c(t 2 ), tj, nema taqaka samopreseca a. Definicija 2.22 Totalnu krivinu zatvorene krive c definixemo na sledei naqin: b l k(t) c (t) dt = k(s)ds, pri qemu je l duina luka krive c. a 0 Posmatrajmo, sada, sluqaj krivine u polarnim koordinatama. Lema 2.23 Neka je c : [a, b] R 2 Freneova kriva sa Freneovim 2-okvirom e 1 i e 2. Neka je e 1 (t) = (cos ϕ(t), sin ϕ(t)), t [a, b], reprezentacija e 1 u polarnim koordinatama. Tada vai k = dϕ ds = dϕ dt dt ds = ϕ (t) c (t). Dokaz. Na osnovu reprezentacije e 1 u polarnim koordinatama sledi da je e 2 (t) = ( sin ϕ(t), cos ϕ(t)). Ovo povlaqi ke 2 = de 1 ds = de 1 dt dt ds = 1 ϕ (t)( sin ϕ(t), cos ϕ(t)) c (t). Posledica 2.3 Za diferencijabilnu funkciju ϕ(t) vai: b a k(t) c (t) dt = b a ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ(a). Posledica 2.4 Za totalnu apsolutnu krivinu k ds proste zatvorene regularne krive u ravni vai: b a k(t) c (t) dt 2π, pri qemu jednakost vai akko krivina ne me a znak. Uvodimo sledeu definiciju. Definicija 2.24 Skup C R 2 je konveksan ako za proizvo ne dve taqke iz C i cela du odreena ima lei u C. Prosta zatvorena ravanska kriva je konveksna ako je ona rub konveksnog skupa u R 2.

Teorema 2.25 Posmatrajmo prostu zatvorenu regularnu ravansku krivu c koja je rub kompaktnog, povezanog skupa C R 2. Sledei uslovi su ekvivalentni: Skup C je konveksan, tj. kriva c je konveksna. Svaka prava koja ima presek sa c seqe je ili du intervala (koji moe da degenerixe u taqku) ili taqno u dve taqke. Za svaku tangentu krive c vai da kriva u celosti lei sa jedne strane tangente (tj. skup C u celosti lei sa jedne strane tangente). Krivina k ne me a znak. Sada posledica (2.4) dobija sledei oblik: totalna apsolutna krivina k ds proste zatvorene regularne ravanske krive zadovo ava nejednakost b a k(t) c (t) dt 2π, pri qemu jednakost vai akko je kriva jox i konveksna. Bez dokaza navodimo sledeu teoremu. Teorema 2.26 (F our vertex teorema) Prosta zatvorena regularna konveksna ravanska kriva klase C 3 ima najma e qetiri lokalna ekstrema svoje krivine k. Od interesa nam je i pojam obvojnice. Obvojnica familije ravanskih krivih je kriva koja predstav a granicu van koje nema krivih te familije, a istovremeno je i tangentna na svaku krivu iz familije u nekoj taqki. Osim toga napomenimo da veina navedenih definicija, lema i teorema moe da se uopxti i prime uje na krive u R n, n N. Razmotrimo, sada, sluqaj u prostoru. Posmatrajmo preslikava e r(t) = (x(t), y(t), z(t)), a t b, (2.6) nekog segmenta [a, b] u prostoru E 3. Ako su funkcije x(t), y(t), z(t) neprekidne na odseqku [a, b], preslikava e (2.6) se naziva neprekidnim. Sa r(t) oznaqiemo radijus vektor sa poqetnom u koordinatnom poqetku i krajem u taqki r(t). Preslikava e r(t) je neprekidno ako i samo ako je neprekidna vektor funkcija r(t). 21 Definicija 2.27 Neprekidno preslikava e r(t) segmenta [a, b] u prostoru E 3 je ekvivalentno sa neprekidnim preslikava em ρ(t) segmenta [α, β] u isti prostor, ako postoji neprekidna strogo monotona funkcija t = ϕ(τ) koja segment [α, β] preslikava u segment [a, b] i za svako τ [α, β] vai jednakost r(ϕ(τ)) = ρ(τ). (2.7)

22 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Funkcija ϕ(τ) se naziva dopustivim preslikava em ekvivalencije preslikava a r(t) i ρ(τ). Ako je neprekidno preslikava e r(t), a t b, segmenta [a, b] u prostoru E 3 ekvivalentno sa neprekidnim preslikava em ρ(τ), α τ β, segmenta [α, β] u E 3, to simboliqki zapisujemo sa r(t) ρ(τ). Direktnom proverom moemo utvrditi da je relacija ekvivalencije u skupu neprekidnih preslikava a zadatih relacijom (2.6). Na osnovu relacije (2.7) sledi da su skupovi koji su slike u E 3 ekvivalentnih neprekidnih preslikava a r(t), a t b i ρ(τ), α τ β, odseqaka [a, b] i [α, β] meusobno jednaki. Definicija 2.28 Svaki skup Γ neprekidnih ekvivalentnih preslikava a r(t) segmenta [a, b] u prostoru E 3 naziva se parametarski zadata kriva: Γ = {r(t) : a t b} = {(x(t), y(t), z(t)) : a t b} = { r(t) : a t b} Svako iz klase ekvivalencije izabrano preslikava e naziva se preslikava em te krive. Ako su funkcije x(t), y(t), z(t), nekog predstav a a krive, neprekidno diferencijabilne na odseqku [a, b], kae se da je kriva neprekidno diferencijabilna. Ukoliko je jox i izvod r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k 0, t [a, b] kriva je glatka, analogno sluqaju u ravni. Totalna ureenost brojeva na segmentu [a, b] pomou datog fiksiranog predstav a a r(t) krive Γ = {r(t) a t b}, daje mogunost za uvoe e sasvim prirodnog poretka meu taqkama date krive. Taqka r(t ) Γ je ispred taqke r(t ) Γ ako je a t t b. Da bi ovakav poredak meu taqkama bio zadran i za neko drugo predstav a e krive, potrebno je da funkcija ϕ(τ), dopustive transformacije parametara iz definicije (2.27), bude strogo monotono rastua. Definicija 2.29 Kriva Γ, definisana klasom ekvivalentnih neprekidnih preslikava a odseqka u prostoru E 3, za koja su dopustive transformacije parametara strogo monotono rastue neprekidne funkcije, naziva se orijentisanom krivom. Definicija 2.30 Neka je Γ = {r(t) : a t b} orijentisana kriva i t = t(τ) strogo monotono opadajua funkcija sa segmentom [α, β] na [a, b] za koju je t(α) = b, t(β) = a. Kriva, definisana predstav a em r = r(t(τ)), α τ β, naziva se kriva suprotno orijentisana od krive Γ i oznaqava se Γ.

U da em tekstu posmatraemo neprekidne krive Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t [a, b]} (2.8) sa svojstvom da M 1 M 0 (po krivoj Γ) t 1 t 0, gde t 0 i t 1 oznaqavaju vrednosti parametra t koje odgovaraju taqkama M 0 i M 1. Luk neke neprekidne krive (2.8), sa kraj im taqkama A i B, oznaqiemo sa AB. Pretpostavimo da taqkama A i B odgovaraju vrednosti a i b parametra t, kao i da se luk AB, posmatran kao prostorna kriva, moe predstaviti u obliku (2.8). Neka su A = A 0, A 1,, A n = B taqke na luku AB kojima odgovaraju vrednosti parametra t a = t 0 < t 1 < < t n = b. Oznaqiemo sa ÂB izlom enu liniju sastav enu od dui tj. stavimo A 0 A 1, A 1 A 2,, A n 1 A n, ÂB = n A k 1 A k. k=1 Ako sa s(a k 1 A k ) i s(âb) oznaqimo duine dui A k 1A k i izlom ene linije ÂB, imamo n s(âb) = s(a k 1 A k ). Definicija 2.31 Ako postoji konaqna graniqna vrednost k=1 23 lim s(âb) (2.9) max t k 0 (gde je t k = t k t k 1, k {1,, n}) i ne zavisi od izbora taqaka t k, k {1,, n 1} onda se kae da je luk AB isprav iv (rektifikabilan) i da je limes (2.9) egova duina. Duinu luka AB, ukoliko postoji, oznaqiemo sa s( AB). Pri tome, imamo s( AB) = lim s(âb), max t k 0 za proizvo nu podelu segmenta [a, b] taqkama t 1, t 2,, t n 1. Teorema 2.32 Neka su funkcije x(t), y(t), z(t) zajedno sa svojim izvodima x (t), y (t), z (t) neprekidne na segmentu [a, b]. Tada je luk AB isprav iv i egova duina izraqunava se na sledei naqin: b s( AB) = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt. a

24 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Dokaz. Kako taqkama A k, k {0, 1,, n} odgovaraju vrednosti parametara t k, k {0, 1,, n}, to duinu dui A k 1 A k izraqunamo na sledei naqin: s(a k 1 A k ) = [x(t k ) x(t k 1 )] 2 + [y(t k ) y(t k 1 )] 2 + [z(t k ) z(t k 1 )] 2. Primenom Lagraneve teoreme za funkcije x(t), y(t), z(t) na odseqku [t k 1, t k ] dobie se x(t k ) x(t k 1 ) = x (ξ k ) t k, pa je y(t k ) y(t k 1 ) = y (η k ) t k, z(t k ) z(t k 1 ) = z (ζ k ) t k, s(a k 1 A k ) = x 2 (ξ k ) + y 2 (η k ) + z 2 (ζ k ) t k. Zamenom ove vrednosti u (2.12), dobie se pa je s(âb) = n x 2 (ξ k ) + y 2 (η k ) + z 2 (ζ k ) t k. k=1 lim s(âb) = lim max t k 0 max t k 0 n x 2 (ξ k ) + y 2 (η k ) + z 2 (ζ k ) t k. k=1 Prema poznatim teoremama o egzistenciji integrala, posled i limes je jednak b x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt, pa je a b s( AB) = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt. a Izraz ds = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt naziva se elementom luka krive. Posmatrajmo vektorsku jednaqinu krive u prostoru u obliku r = r(s), gde je s luk krive meren od jedne odreene taqke krive. To je tzv. prirodna jednaqina krive u prostoru. Radi jednostavnosti korisno je uvesti sledee oznake Modul vektora r iznosi d r ds = r = lim s 0 d r ds = r = lim s 0 r(s + s) r(s). s r s = 1.

25 Ovo je posledica ekvivalentnosti infinitezimala r i s kada s 0. Poxto vektor r ima pravac tangente na krivoj r = r(s) u taqki M( r(s)), smer odreen prema raxe u luka, a modul jednak jedinici, moe se zak uqiti da izvod vektora poloaja taqke na krivoj r = r(s) po luku predstav a jediniqni vektor tangente na krivoj u taqki M. Dakle, Vektor d r ds = r = t, t = 1. dt K = t = ds = d r = 2 r ds 2 naziva se vektorom krivine. Neka je ort K = n, tj. K = K n = r n. Iz jednakosti t t = 1 t t = 0 t K = 0 t n = 0, xto znaqi da je nosaq vektora K normalan na tangenti. Dakle, ovaj nosaq predstav a jednu od normala krive u taqki M, koja se naziva glavnom normalom. Vektor n je vektor glavne normale. Modul vektora K, u oznaci K = K = r, naziva se fleksijom ili prvom krivinom krive u taqki M, a reciproqna vrednost ρ = 1 K = 1 r, naziva se polupreqnikom fleksije ili polupreqnikom prve krivine u taqki M. Prema ovim oznakama, razume se da je K = K n = n ρ, K 0 ρ > 0. Jediniqni vektor b = t n, koji sa vektorima t i n obrazuje pravougli triedar desne orijentacije, ima za nosaq pravu koja se naziva binormalom krive u taqki M. Triedar jediniqnih vektora t, n, b sa poqetkom u taqki M krive r = r(s) naziva se prirodnm triedrom. Osnovne ravni prirodnog triedra su: 1 oskulatorna ravan, tj. ravan odreena tangentom i glavnom normalom, 2 normalna ravan, tj. ravan odreena glavnom normalom i binormalom 3 rektifikaciona ravan, tj. ravan odreena tangentom i binormalom.

26 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Vektor Slika 2.5: Ravni prirodnog triedra τ = d b ds = b naziva se vektorom torzije ili vektorom druge krivine. Ako kriva lei u ravni, tada je b = const, pa je τ = d b ds = 0, oskulatorna ravan krive poklapa se sa ravni koja je sadri. Ako je kriva prostorna, vektor torzije τ = d b ds ene oskulatorne ravni. Diferencira em po luku sledee dve jednakosti b = t n, b b = 1, za posledicu ima da se dobijaju nove dve jednakosti τ = d b ds = τ d n ds, b τ = 0. karakterixe odstupa e krive od Dakle, vektor τ normalan je na vektorima t i na b, on ima za nosaq pravu koja se poklapa sa glavnom normalom. Ako uvedemo oznaku τ = τ, onda je τ = d b ds = ±r n, gde se znak + uzima ako su τ i n istog smera, a znak - ako su suprotnog smera. Veliqina R = ± 1 τ,

naziva se polupreqnikom torzije ili polupreqnikom druge krivine. Posle ove formulacije imamo τ = d b ds = n = n R. Mnoe em skalarno sa n ove jednakosti nalazimo a kako je to je d b ds = t d n ds ali kako je ( t K) K = 0, imamo da je Kako je 1 R = d b ds n, i n = ρ K, 1 R = ρdρ ds ( t K) K ( + ρ 2 t d K ) ds K, 1 ( R = ρ2 t d K ) ds K = ρ 2 ( t K) d K ds. t = r, K dk = r, ds =... r, jednakost kojom su vezani polupreqnici fleksije i torzije, ima oblik: 1 R = ρ2 ( r... r) r. Neka je jednaqina krive data vektorskom jednaqinom r = r(t) i neka je t = t(ξ), pri qemu postoji inverzna funkcija funkcije t(ξ), a osim toga neka je t(ξ) triput diferencijabilna funkcija po ξ. Tada je r(t) = r(t(ξ)). Prva tri izvoda vektorske funkcije r(t(ξ)) po argumentu ξ imaju sledee vrednosti: d r dξ = d r dt dt dξ, d 2 r dξ = d2 r ( dt ) 2 d r d 2 t + 2 dt 2 dξ dt dξ, 2 d 3 r dξ = d3 r ( dt ) 3 d 2 r d 2 t dt + 3 3 dt 3 dξ dt 2 dξ 2 dξ + d r d 3 t dt dξ. 3 Ako se najpre prve dve jednakosti pomnoe meusobno vektorski, a zatim se dobijena jednakost pomnoi skalarno treom, dobie se jednakosti d r dξ d2 r ( d r dξ = 2 dt d2 r )( dt ) 2, (2.10) dt 2 dξ ( d r dξ d2 r ) d 3 r (( d r dξ 2 dξ = 3 dt d2 r ) d 3 r )( dt ) 6, dt 2 dt 3 dξ 27

28 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH ili u ekvivalentnom obliku ( d r dξ d2 r ) dξ 2 (( d r dξ d2 r dξ 2 ) d3 r dξ 3 ) dξ 6 = dξ 3 = ( d r dt d2 r dt 2 ) dt 3, (2.11) (( d r dt d2 r dt 3 ) d3 r dt 3 ) dt 6. Prema tome, vektor odnosno skalar na desnim stranama u (2.11) invarijantan je pri transformaciji argumenta t na proizvo ni argument ξ, i obrnuto. Ako se uzme da je ξ = s, gde s oznaqava luk, i ako se zadre uvedene oznake d r ds = r, d 2 r ds = r, 2 jednakosti (2.10) daju Iz ds dt ( r d 3 r ds =... r, 3 d r dt = r, d 2 r = r, dt2 d 3 r = r, dt3 r r dt ) 3, = ( r r )( (2.12) ds... ( dt ) 6. r) r = [( r r ) r ] dt = r sledi da je = 1, te jednakosti (2.12) postaju ds r Iz b = t n sledi da je pa je ds r r = ( r r ) r 3, (2.13) ( r... r) r = [( r r ) r ]. r 6 a prema prvoj od jednakosti (2.13) imamo K b = t K n = t K = r r, K = K b = r r, K = 1 ρ = r r r 3. Ovo je formula za izraqunava e fleksije i polupreqnika fleksije, ako je jednaqina krive data u obliku r = r(t), gde je t proizvo ni argument. Zamenom ρ iz ove formule u τ = 1 R = ρ2 ( r... r) r ), nalazimo τ = 1 R = ( r r ) r, r r 2 a to je obrazac za izraqunava e apsolutne vrednosti torzije i polupreqnika torzije. Formirajmo, sada, jednaqine osnovnih ravni i pravaca prirodnog triedra.

1 Oskulatorna ravan i binormala. Neka je R vektor poloaja proizvo ne taqke oskulatorne ravni, odnosno binormale, r je vektor poloaja taqke M na krivoj Γ koja je zadata jednaqinom r = r(t) = r(x(t), y(t), z(t)), a b jediniqni vektor binormale. Prema dobro poznatim jednaqinama ravni i prave kroz datu taqku, vektorska jednaqina oskulatorne ravni je a vektorska jednaqina binormale ( R r) b = 0, ( R r) b = 0. 2 Normalna ravan i tangenta. Vektorska jednaqina normalne ravni je a vektorska jednaqina binormale ( R r) t = 0, ( R r) t = 0, gde je R vektor poloaja proizvo ne taqke normalne ravni odnosno tangente, r je vektor poloaja taqke M na krivoj Γ koja je zadata jednaqinom a t jediniqni vektor tangente. r = r(t) = r(x(t), y(t), z(t)), 3 Rektifikaciona ravan i glavna normala. Vektorska jednaqina rektifikacione ravni je ( R r) n = 0, a vektorska jednaqina binormale ( R r) n = 0. Kao xto je ranije ve reqeno, veina teorema i lema iskazanih za sluqaj u ravni moe se uopxtiti, tj. vaie i u prostoru R 3. Iz tog razloga neemo dub e zalaziti u teorijski deo vezan za krive u prostoru. Navodimo jox jedan vaan rezultat, koji predstav a osnovnu teoremu diferencijalne geometrije. Naime, na osnovu obrazaca za krivinu K i torziju τ krive c : r = r(s), gde je s luk, mogue je K i τ izraziti kao funkcije od s. Na taj naqin dobijamo prirodne jednaqine krive c : K = f(s), τ = g(s), gde je s luk krive c, meren od neke taqke. Teorema koju navodimo tvrdi egzistenciju krive sa datom krivinom i torzijom. 29

30 GLAVA 2. ELEMENTI TEORIJE KRIVIH Teorema 2.33 Ako su f(σ) > 0 klase C 1 i g(σ) klase C 0, pri qemu je σ realan argument, tada postoji kriva c za koju je K = f(σ), τ = g(σ), pri qemu je σ luk te krive, meren od neke taqke. Pri tome je jednaqina krive c odreena do na aditivnu konstantu. Dokaz ovog tvre a, koji je poznat kao Osnovna teorema diferencijalne geometrije moete pronai u [2].

Glava 3 Neke poznate krive u ravni i prostoru Prikazaemo najpre algebarske krive - treeg, qetvrtog, pa onda i vixeg reda, a zatim i transcendentne krive. Algebarskim krivama reda dva - konusni preseci neemo se deta nije baviti zbog ihove jednostavnosti. Opxti oblik algebarskih krivih drugog reda zadat je na sledei naqin: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. (3.1) Iz jednaqine, na osnovu,,izgleda" diskriminante D = B 2 4AC sledee krive: (i) D < 0 elipsa, (ii) D = 0 parabola, (iii) D > 0 hiperbola. Na slici (3.1) se ilustruju krive drugog reda nastale kao konusni preseci. razlikujemo 3.1 Polukubna parabola Polukubna parabola (na slici (3.2)) je znaqajna kriva familije ravanskih krivih zato xto je prva algebarska kriva, qiju je duinu luka 1657. godine postupkom rektifikacije odredio Vilijam Nil, 1 pa se ova kriva naziva i Nilova parabola. Polukubna parabola je implicitno zadata na sledei naqin: x 3 ay 2 odgovarajua parametrizacija uvoe em smene y = x t ima oblik: = 0, pa c(t) = (t 2, at 3 ). 1 W illiam Neile (1637-1670) 31

32 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU Slika 3.1: Konusni preseci ((a) krug, (b) elipsa, (c) parabola, (d) hiperbola) Ako posmatramo sluqaj a = 1 dobijamo: c (t) = (2t, 3t 2 ), Jc (t) = ( 3t 2, 2t), c (t) = (2, 6t), pa imamo da je duina krive na intervalu: [0, t] L t 0[c] = t a ena krivina je data sa: 0 c (u) du = t 0 k[c](t) = (2, 6t)( 3t2, 2t) (2t, 3t 2 ) 3 = Polukubna parabola je simetriqna u odnosu na x-osu. u 4 + 9u 2 du = 1 27 (4 + 9t2 ) 3 2 8 27, 6. t (4 + 9t 2 ) 3 2 Polukubna parabola je kao algebarska kriva treeg reda sa jednostavnom parametrizacijom, reprezentativan primer za dokaziva e regularnosti na osnovu (2.4). Proverimo regularnost Nilove parabole: c (t) c (t) = (2t, 3t2 ) t2 (4 + 9t 2 ), zbog (2t, 3t 2 ) ( 1, 0) = lim t 0 t2 (4 + 9t 2 ) lim (2t, 3t 2 ) t 0 + t2 (4 + 9t 2 ) = (1, 0). U taqki t = 0 postoji singularitet i to xpic. Treba primetiti da u toj taqki ne postoji tangenta na krivu c. Oqigledno, polukubna parabola nije Freneova kriva.

3.2. DEKARTOV LIST 33 3.2 Dekartov list Slika 3.2: Polukubna parabola y = x 3 2 Jedna od algebarskih krivih treeg stepena je Dekartov list. 1638. godine Dekart je prvi put u svom radu opisao ovu krivu. Dekart je verovao da se oblik krive iz prvog kvadranta ponav a u ostalim kvadrantima i da kriva izgleda kao cvet sa qetiri identiqne latice. Isto, pogrexno, mix e e delio je i Roberval i nazvao je krivu,,f leur de jasmin" (cvet jasmina). Kada je pravi oblik Dekartovog lista otkriven, naziv je odbaqen. S obzirom na to da je Pjer del Ferma u to vreme ve otkrio metod za pronalae e tangenti na krivu, Dekart ga je izazvao da pronae tangente na egovu krivu, u qemu je Ferma bio uspexan. Slika 3.3: Dekartov list

34 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU Implicitna jednaqina Dekartovog lista glasi x 3 + y 3 3axy = 0. (3.2) Parametarske jednaqine Dekartovog lista dobijaju se kada se u jednaqini (3.2) uvede smena y = xt: x(t) = 3at 3at2, y(t) =, < t <. 1 + t3 1 + t3 Iz definisanosti navedenih funkcija, sledi da kriva ima singularitet u t = 1. Deo krive u drugom kvadrantu nastaje za vrednosti parametra 1 < t < 0, pet a (deo krive u prvom kvadrantu) nastaje za 0 t <, a deo krive u qetvrtom kvadrantu nastaje za < t < 1. Jednaqina asimptote zadata je na sledei naqin: x + y + a = 0. U sluqaju polarnih koordinatama, Dekartov list zadajemo na sledei naqin: r = 3a sec θ tan θ 1 + tan 3 θ. Povrxinu pet e Dekartovog lista raqunamo na sledei naqin: A = 1 2 r 2 dθ = π 2 0 3a sec θ tan θ 1 + tan 3 θ dθ = 3 2 a2. Krivina Dekartovog lista zadata je sledeom funkcijom: k[c](t) = 2(1 + t 4 ) 4. 3a(1 + 4t 2 4t 3 4t 5 + 4t 6 + t 8 ) 3 2 Duinu luka pet e ove krive raqunamo pomou integrala: l = 3a 0 1 + t2 (4 4t 4t 3 + 4t 4 + t 6 ) (1 + t 3 ) 2 dt = 4.917488...a. Simetriqan je u odnosu na pravu y = x. Dekartov list je kriva koja ima singularitet, pa ne zadovo ava uslove da bude Freneova kriva. Vixe o Dekartovom listu moete proqitati u [8]. 3.3 Paskalov pu Meu algebarskim krivama qetvrtog stepena nalazi se Paskalov pu. Iako E. Paskal 2, otac Blez Paskala 3 nije prvi koji je opisao pua, on ipak nosi egovo 2 Étienne P ascal (1588-1651) 3 Blaise P ascal (1623-1662)

3.3. PASKALOV PU 35 ime. Direr 4 u svom delu iz 1525. godine pomi e konstrukciju pua. Prouqava em pua bavio se i Roberval, upotrebio ga je 1650. kao primer za prezentaciju svog metoda odreiva a tangenti. Pu je puta a taqke koja se nalazi u unutrax osti kruga, koji se bez kliza- a kotr a po krugu istog polupreqnika. Pu se moe nacrtati tako xto se prvo nacrta krug i zada taqka P, a zatim se crta niz krugova qiji su centri na krunici datog kruga i svi prolaze kroz taqku P. Obvojnica ovih krugova je pu. Specijalan sluqaj pua dobija se kada fiksiramo taqku na krunici i to je kardioida, o kojoj e biti reqi kasnije. Pua crtamo na sledei naqin: nacrtamo krug i oznaqimo mu preqnik AB = 2a. Kada je taqka P unutar ili na krunici imamo sluqaj konveksnog pua, a ukoliko je taqka van krunice, pu je nekonveksan. Izaberemo taqku Q na krunici kruga, le ir postavimo tako da je Q na sredini skale, a zatim le ir rotiramo tako da moemo povui pravu kroz taqke A i Q. Sa obe strane taqke Q oznaqimo taqke P i P, tako da su na istom rastoja u, veem od 2a od Q. Postupak ponovimo vixe puta, dobijene taqke bie taqke pua. U polarnim koordinatama pu se zadaje na sledei naqin: r = b + a cos θ. (3.3) Za razliqite vrednosti konstanti a i b iz polarnih koordinata nastaju razni oblici Paskalovog pua: (i) b 2a imamo sluqaj konveksnog pua, (ii) 2a > b > a jav a se,,udub e e", (iii) b = a pu je kardioida (specijalan sluqaj pua), (iv) b < a obvojnica ima taqku samopreseca a, (v) b = a 2 pu postaje trisektrisa, (vi) a = 0 pu je krug. Trisektrisa je kriva koju moemo upotrebiti za podelu ugla na tri jednaka dela, tj. za izvrxe e trisekcije ugla. Paskalov pu zadat u parametarskom obliku dobijamo uvoe em smene x = rθ i y = r sin θ. Tada, iz izraza (3.3) dobijamo parametarske jednaqine: x = cos t(a cos t + b), y = sin t(a cos t + b), π t π. Iz dobijene parametrizacije, moemo izraqunati duinu luka Paskalovog pua 4 Albrecth Dürer (1471-1528) s(t) = 2(a + b)e ( t 2, 2 ab ), a + b

36 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU gde je E(z, k) eliptiqni integral druge vrste. Za t = 2π dobija se s = 2(a + b)e ( 2 ab ). a + b U implicitnom obliku jednaqina pua data je sa: (x 2 +y 2 ax) 2 = b 2 (x 2 +y 2 ). Pu je simetriqan u odnosu na x-osu. Na slici (3.4) su predstav eni razliqiti oblici Paskalovog pua. (a) b 2a (b) 2a > b > a (c) b = a (d) b < a (e) b = a 2 (f) a = 0 Slika 3.4: Paskalov pu za razliqit odnos a i b

3.4. KARDIOIDA 37 3.4 Kardioida Kardioidu, algebarsku krivu qetvrtog reda zadajemo implicitno, neparametarski na sledei naqin: (x 2 + y 2 + ax) 2 = a 2 (x + y 2 ). Naziv kardioida (srcolika) prvi je upotrebio Salvemini Kasti one 5 u svom delu "Philosophical Transactions of the Royal Society", 1741. godine. Romer je 6 bio prvi koji je 1674. godine prouqavao kardioide u sklopu ispitiva a cikloidnih krivih neophodnih za konstrukciju zupqanika. Duinu luka kardioide prvi je izraqunao la Hire 7 1708.godine. Kardioidu crtamo na sledei naqin: crtamo krug i na egovoj krunici oznaqimo proizvo nu taqku A. Zatim crtamo krugove qiji centri pripadaju polaznoj krunici i sadre taqku A. Nastav amo postupak, a obvojnica dobijenih krugova je zapravo kardioida. Slika 3.5: Metod crta a kardioide Kardioida je specijalni sluqaj Paskalovog pua kada je b = a, pa imamo parametrizaciju kardioide zadatu u polarnim koordinatama: r = a(1 + cos θ), dok u Dekartovim, parametrizacija ima sledei oblik x(t) = a cos t(1 cos t), y(t) = a sin t(1 cost), pa lako dobijamo ene karakteristike: (a) duina kardioide L = 8a, (b) povrxina koju obuhvata kardioida A = 3 2 πa2, 5 Giovanni F rancesco Mauro Melchiorre Salvemini di Castiglione (1708-1791) 6 Ole Rømer (1644-1710) 7 P hilippe de La Hire ((1640-1718)

38 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU 3 (c) krivina k(t) = ( ), 4 a cos (d) duina luka s(t) = 8a sin 2 ( t 2 t 4 ). Takoe, poznato je i da je duina svih tangenti koje prolaze kroz xpic (±π, 0) jednaka i iznose 4a, kao i da sredine tih tangenti lee na krugu. Kardioida je epicikloida - puta a taqke kruga sa egove krunice dok se on kotr a po drugom krugu istog preqnika sa spo ne strane. Kardioida je i hipocikloida - puta a taqke kruga sa egove krunice dok se on kotr a po krunici drugog kruga duplo dueg preqnika sa unutrax e strane. Kardioida je inverzna kriva za parabolu u odnosu na en vrh. 3.5 Bernulijeva lemniskata Naziv potiqe od latinske reqi "lemniscus"(ukrasna traka). Prouqava a u vezi sa duinom luka lemniskate postavila su teme za kasnije ispitiva e eliptiqkih funkcija. Vat 8 je kod svog pobo xa a parne maxine koristio maxinu koja je radei opisivala upravo Bernulijevu lemniskatu. Postupak za crta e Bernulijeve leminskate je sledei: crtamo krug sa centrom u C, a zatim oznaqimo taqku O qije je rastoja e od centra 2 puta vee od polupreqnika. Kroz taqku O povuqemo proizvo nu pravu koja seqe krug u Q, Q i na toj pravoj oznaqimo taqke P i P koje su na rastoja u QQ od O. Postupak ponav amo za razliqite poloaje prave kroz taqku O i sve tako dobijene taqke su taqke Bernulijeve lemniskate. Bernulijeva lemniskata predstav a geometrijsko mesto taqaka za koje vai da je proizvod rastoja a od nepokretnih taqaka F 1 i F 2 (ie, koje su na meusobnom rastoja u 2a) konstantan i iznosi a 2. Neparametarska reprezentacija lemniskate je: (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ), dok je u polarnim koordinatama jednaqina lemniskate zadata na sledei naqin: r 2 = a 2 cos 2θ. U Dekartovim koordinatama lemniskatu zadajemo na sledei naqin: x(t) = a cos t a sin t cos t 1 + sin 2, y(t) = t 1 + sin 2, π t π. t Na osnovu jednaqina Bernulijeve lemniskate, dobijamo sledee rezultate: (i) povrxina lemniskate A = a 2, 8 James W att (1736 1819)

3.6. AVO A KRIVA 39 [ ( 2 (ii) duina luka lemniskate s(t) = a 1 Γ 2π 4)] = 5.2441151086...a, (iii) krivina lemniskate k(t) = 3 2 cos t a, 3 cos 2t (iv) duina lemniskate L = 4a(1 + 1 2 5 + 1 3 2 4 9 + ) Slika 3.6: Bernulijeva lemniskata za vrednost konstante a = 6 3.6 avo a kriva avo a kriva je jox jedna algebarska kriva qetvrtog reda. Neki smatraju da naziv potiqe od igre diabolo, xto u prevodu znaqi avo. Naime, kriva oblikom podsea na rekvizite za pomenutu igru. avo u krivu zadajemo u implicitnom obliku na sledei naqin: y 2 (y 2 a 2 ) = x 2 (x 2 b 2 ). U sluqaju polarnih koordinata jednaqina avo e krive zadata je sa: r 2 = a2 sin 2 θ b 2 cos 2 θ sin 2, θ cos 2 θ dok jednaqine u parametarskom obliku imaju sledei oblik: ( c(t) = cos t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t sin 2, sin t t cos 2 t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t ) sin 2. t cos 2 t avo a kriva ima taqku samopreseca a u koordinatnom poqetku, pa samim tim i singularitet. Kriva ima i dve asimptote: y = ±x. U zavisnosti od parametara a i b poloaj krive se me a. Ako je a < 1 kriva je u horizontalnom poloaju i b

40 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU (a) Kramerova skica (b) Lakroova skica Slika 3.7: Autentiqne skice avo e krive simetriqna je na x-osu, slika (3.8) (levo), a kada je a > 1 kriva je rotirana za π, b 2 odnosno u vertikalnom je poloaju i simetriqna je u odnosu na y-osu, slika (3.8) (desno). Za a = 1, odnosno a = b avo a kriva postaje krug. Poseban sluqaj avo e b krive se dobija za a 2 = 96 i b 2 = 100, i ova kriva se naziva kriva elektriqnog motora (slika (3.9)). Slika 3.8: avo a kriva za razliqit odnos konstanti a i b Slika 3.9: avo a kriva elektriqnog motora

3.7. HIPOCIKLOIDA I EPICIKLOIDA 41 Vixe o avo oj krivoj moe se nai u [12]. 3.7 Hipocikloida i Epicikloida Meu algebarskim krivama vixeg reda, obradiemo epicikloidu i hipocikloidu. Nastaju kotr a em kruga po krunici drugog kruga sa spo ax e, odnosno unutrax e strane. Hipocikloidu sa n+1 xi kom crtamo na sledei naqin: prvo crtamo krug sa centrom u O i oznaqimo egov preqnik B OB. Zatim crtamo polupreqnike OQ i OR tako da je BOQ = t, a B OR = nt. Nacrtamo du RQ, a za razliqite vrednosti t, dobijamo razliqite poloaje RQ, a ihova obvojnica je hipocikloida. Kada crtamo epicikloidu sa m 1 xi kom upotrebiemo gore opisani metod sa tom razlikom xto e se ugao mt nalaziti u treem kvadrantu. Slika 3.10: Metod crta a hipocikloide Brojevi m i n moraju da ispu avaju odreene uslove. Za n = 1 konstrukcija ne vai, n + 1 je odnos obima fiksiranog kruga i kruga koji se kotr a i ako je ceo broj u pita u onda je to broj xpiceva. Ako je n + 1 = p, gde su p i q uzajamno q prosti prirodni brojevi, hipocikloida e imati p xi kova nastalih u q obrtaja. Isto vai i za epicikloidu (m 1 = p ). Jednaqina hipocikloide u parametarskom q obliku kada kotr amo krug polupreqnika a sa unutrax e strane krunice kruga polupreqnika a(n + 1) data je sa: x(t) = na cos t + a cos nt, y(t) = na sin t a sin nt. Jednaqina epicikloide koja nastaje kotr a em kruga polupreqnika a sa spo ax e strane krunice kruga polupreqnika a(m 1) u parametarskom obliku data je sa: x(t) = ma cos t a cos mt, y(t) = ma sin t a sin mt.

42 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU Slika 3.11: Metod crta a epicikloide Za konkretne vrednosti parametara n i m dobijamo specijalne sluqajeve hipocikloide: 1. n = 2 deltoid, 2. n = 3 astroid i epicikloide: 1. m = 2 kardioida, 2. m = 3 nefroid. (a) Deltoid (b) Astroid (c) Nefroid Slika 3.12: Specijalni sluqajevi hipocikloide i epicikloide Osobine ovih krivih navodimo u vidu rezultata dobijenih iz parametarske reprezentacije: (i) duina krive L = 8na, odnosno L = 8ma, (ii) povrxina obuhvaena krivom A = πa 2 (n 2 n), tj. A = πa 2 (m 2 + m).

3.8. CIKLOIDE 43 3.8 Cikloide Cikloida spada u red transcendentnih krivih. Ovom krivom bavio se Galilej 9, taqnije pokuxao je da odredi povrxinu cikloide. Merio je metalne komadie oblika cikloide, pri qemu je oqekivao da e odnos teina tako oblikovanog komadia i komadia oblika kruga biti π : 1. Taqnu povrxinu cikloide odredio je Galilejev uqenik Toriqeli 10, ali i Dekart, Roberval (1628) i Ferma. Roberval je 1634. odredio duinu luka cikloide. Isto je 1658. godine uradio i Kristofer Vren 11. Za ovu krivu vezuje se niz interesantnih istorijskih qi enica kao i xiroka rasprostra enost u primeni. Hajgens je izumite prvog sata sa klatnom. Sat je sadrao ureaj koji je u toku rada opisivao luk cikloide. Dezarg je predloio da zupci na zupqaniku imaju oblik cikloide. S obzirom na sve nabrojano u vezi sa cikloidom, s pravom je nazvana "Helen of Geometers." Na sledeoj slici prikazan je jedan od naqina na koji cikloida moe biti konstruisana. Deta nije moete pronai u [13]. Slika 3.13: Konstrukcija cikloide Jednaqine cikloide u parametarskom obliku zadate su na sledei naqin: x(t) = at b sin t, y(t) = a b cos t, t R. U zavisnosti od odnosa a i b razlikujemo sledee cikloide: (i) u sluqaju a = b imamo cikloidu kod koja se jav a,,xpic" u koordinatnom poqetku, 9 Galileo Galilei (1564-1642) 10 Evangelista T orricelli (1608-1647) 11 Christopher W ren (1632-1723)

44 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU Slika 3.14: a = b (ii) u sluqaju b < a dobijamo skraenu cikloidu, Slika 3.15: b < a (iii) sluqaj a < b daje produenu cikloidu (3.16) Navedimo sada i neka svojstva cikloide iz prvog sluqaja (kada je a = b): (i) duina jednog luka L = 8a, (ii) povrxina ispod jednog luka A = 3πa 2, (iii) duina luka cikloide za prvi luk s(t) = 8a sin 2 ( 1 4 t ),

3.9. LOGARITAMSKA SPIRALA 45 (iv) krivina cikloide k(t) = csc Slika 3.16: a < b ( 1 ) 2 t, 4a (v) duina prave po kojoj se kotr a krug od xi ka do xi ka je 2πa. 3.9 Logaritamska spirala U ovom ode ku baviemo se spiralama. Ova klasa krivih u ravni spada u red transcendentnih krivih i pritom razlikujemo: 1. logaritamsku spiralu, 2. aritmetiqke spirale koje obuhvataju (a) hiperboliqnu spiralu, (b) Arhimedovu spiralu, (c) Fermaovu spiralu (d) krivu po imenu litus - pastirski xtap, 3. sinusoidalne spirale, 4. Ojlerovu spiralu, 5. Koteove spirale. Pozabaviemo se svojstvima logaritamske spirale. Logaritamska spirala je kriva koja se qesto jav a u prirodi - pueva kuica, nervi ro aqe, neke galaksije kao i cikloni imaju oblik logaritamske spirale.

46 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU Primer koji opisuje puta u logaritamske spirale je problem,,qetiri psa". Qetiri psa nalaze se u uglovima dvorixta oblika kvadrata i poqi u istovremeno kreta e tako da se pas iz ugla A kree ka psu iz ugla B, a pas iz ugla B ka psu iz ugla C i tako redom. Psi se kreu ravnomerno, istim brzinama. Sledei poloaj, u kome su se psi naxli, prikazan je na slici (3.17). Slika 3.17: Problem,,qetiri psa" Novonastali poloaj odgovara kvadratu rotiranom za neki ugao u odnosu na poqetni kvadrat, a puta a svakog psa je prava, koja je pod odreenim (konstantnim) uglom u odnosu na pravu koja spaja centar kruga sa stranicom iz qijeg temena je krenuo pas. Puta a svakog psa je logaritamska spirala - tangenta u svakoj taqki na puta u gradi konstantan ugao sa pravom kroz taqku dodira i fiksiranu taqku (centar kvadrata). Parametrizacija logaritamske spirale data je na sledei naqin: c(t) = a(e bt cos t, e bt sin t), t [a, b]. Sa promenom znaka b, me a se i smer uvija a spirale. ako stavimo b = 0 spirala postaje krunica. Za b > 0 krivina se sma uje sa povea em parametra t, funkcija krivine ove krive data je na sledei naqin: k(t) = 1 ae bt 1 + b 2, t [a, b]. Ako b spirala e imati infinitezimalnu vrednost krivine, pa e teiti pravoj.

3.9. LOGARITAMSKA SPIRALA 47 Posmatrajmo c : (a, b) R 2 krivu koja ne prolazi kroz koordinatni poqetak. Ugao izmeu krive i tangentnog vektora definisan je kao funkcija φ = φ[c] : (a, b) R 2 i vai: c (t)c(t) c (t) c(t) = cos φ(t) i c (t)jc(t) = sin φ(t) c (t) c(t) za a < t < b. Navodimo lemu koja tvrdi glavno svojstvo logaritamske spirale: Lema 3.1 Neka je c : (a, b) R 2 kriva koja ne prolazi kroz koordinatni poqetak. Sledea dva tvre a su ekvivalentna: (i) Ugao izmeu tangente i krive φ[c] je konstantan. (ii) c je reparametrizcija logaritamske spirale. Slika 3.18: Ugao izmeu tangente i krive je konstantan Jakob Bernuli je logaritamsku spiralu nazvao qudesna spirala zbog osobine da en oblik ostaje isti bez obzira na to koliko zavoja spirala ima i upravo zbog te karakteristike se qesto jav a u prirodi, jer omoguava rast bez promene oblika. U polarnim koordinatama (r, θ) jednaqina logaritamske spirale data je na sledei naqin: r = ae bθ, θ = 1 ( r ) b ln, a, b R +. a

48 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU (a) a > 0 (b) a < 0 Slika 3.19: Uticaj promene konstante a na oblik logaritamske spirale (b = 0.2) (a) b > 0 (b) b < 0 Slika 3.20: Uticaj promene konstante b na oblik logaritamske spirale (a = 1) U teorijskom delu ovog rada, naveli smo definicije i neka svojstva prostornih krivih. Neki od najjednostavnijih sluqajeva jesu prava linija (zadata kao presek dve ravni) i krunica u prostoru, koje e, u suxtini biti krive u ravni, s tom razlikom da smo im pridruili jox jednu koordinatu. Neemo deta nije oko prave i krunice zbog ihove jednostavnosti, ve emo pa u posvetiti nekim specijalnim krivama prostora R 3 kao xto su heliks (zavojnica) i Vivijanijeva kriva, a bie reqi i o krivoj Xtajnmeca (Steinmetz Curve). 3.10 Heliks Heliks je kriva u trodimenzionalnom prostoru qija svaka tangenta zaklapa konstantan ugao sa fiksnom pravom. Req heliks znaqi zakriv en, uvrnut. Drugi naziv za heliks je zavojna linija. Heliks moe biti levostrani ili desnostrani (3.21a) u zavisnosti od smera kreta a spirale. Ako posmatramo iz pravca ose heliksa i kreemo se u smeru kreta a

3.10. HELIKS 49 kaza ke na satu, tada je heliks desnostrani. Ako se kreemo u suprotnom smeru kreta a kaza ke na satu, tada je heliks levostran. Ova poznata kriva ima sledee osobine: Hiralnost. Heliks poseduje osobinu hiralnosti, tj. nemogue je preslikati heliks na egovu sliku u ogledalu koristei samo translacije i rotacije. Visina heliksa je razda ina izmeu dve taqke na heliksu koje se razlikuju za taqno jedan obrtaj heliksa. Vrste heliksa: 1. Dvostruki heliks se sastoji od dva kongruentna heliksa du iste ose koji se razlikuje za translaciju du ose. 2. Kruni heliks (to je heliks sa konstantnim preqnikom) ima konstantnu krivinu i konstantnu torziju. Ovakav heliks pripada krunom cilindru i podvrsta je cilindriqnog heliksa. 3. Cilindriqni heliks (3.21b) je heliks qija tangenta zaklapa konstantan ugao sa fiksnom linijom u prostoru. Kriva je cilindriqni heliks ako i samo ako je odnos krivine i torzije konstantan. 4. Konoidni heliks (3.21b) je spirala na konusu. (a) Desnostrani heliks (b) Cilindriqi i konoidni heliks Slika 3.21: Heliks Heliks je prostorna kriva sa sledeim parametarskim jednaqinama u Dekartovom koordinatnom sistemu: x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, z(t) = ct, t R, gde je r > 0 polupreqnik heliksa, a c konstanta koja odreuje visinu heliksa, odnosno meri istegnutost opruge.

50 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU (a) Desnostrani DNK (b) Levostrani heliks list Slika 3.22: Oblik heliksa u prirodi U cilindriqnom koordinatnom sistemu isti heliks predstav en je sledeim parametarskim jednaqinama: r(t) = 1, θ(t) = t, h(t) = t, t R. Ekvivalentni levostrani heliks se moe konstruisati na vixe naqina, a jedan od najjednostavnijih jeste da x, y ili z komponentu podelimo sa 1. Tada je levostrani heliks: x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, z(t) = ct. Postoje razna svojstva heliksa, a neka od ih su sledea: (i) krivina heliksa k = (ii) torzija heliksa τ = r r 2 +c 2 c r 2 +c 2 odnos k τ = r c (iii) duina luka heliksa s = t r 2 + c 2. je konstantan. Oblik heliksa je gotovo svuda uoq iv, od osnovnih, dobro poznatih formi DNK molekula koji mogu biti desnostrani, ali i levostrani heliksi. Neretko se heliks moe videti i u arhitekturi i projektova u, a naxao je i primenu u izradi raznih vrsta zupqanika, opruga i veine xrafova. Takoe se oblik heliksa prime uje

3.11. VIVIJANIJEVA KRIVA 51 u izgrad i rolerkostera u zabavnim parkovima, gde je jedan od poznatijih bax rolerkoster,,helix" u Xvedskoj. 3.11 Vivijanijeva kriva U red zatvorenih krivih u prostoru spada Vivijanijeva 12 kriva. Spada u red krivih oblika broja osam (figure osam). Pre Vivijanija, ovom krivom se bavio i Roberval. Ovu prostornu krivu moemo dobiti kao presek sfere i cilindra, xto je prikazano na slici (3.23) Slika 3.23: Vivijanijeva kriva kao presek povrxi [15] Kako ova kriva predstav a presek navedenih povrxi, enu jednaqinu neparametarski zadajemo na sledei naqin: x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2 (x a) 2 + y 2 = a 2, pri qemu prva jednaqina predstav a sferu polupreqnika 2a, a druga jednaqina je cilindar u taqki (a, 0, 0) polupreqnika a. U parametarskom obliku, Vivijanijevu krivu zadajemo na sledei naqin: x(t) = a(cos t + 1) y(t) = a sin t 12 V incenzo V iviani (1622-1703) italijanski matematiqar i nauqnik. Bio je Galilejev uqenik.

52 GLAVA 3. NEKE POZNATE KRIVE U RAVNI I PROSTORU Slika 3.24: Vivijanijeva kriva ( t z(t) = 2a sin 2) Duinu luka Vivijanijeve krive raqunamo na sledei naqin: s(t) = 2 ( t 2aE 2, 1, 2) gde je E eliptiqni integral druge vrste. Funkcije ( ) t 3 cos t + 13 6 cos k(t) = a 3 (cos t + 3), τ(t) = 2 2 3a cos(t) + 13a, predstav aju krivinu i torziju Vivijanijeve krive, respektivno. 3.12 Kriva Xtajnmeca Kriva Xtajnmeca 13 (Steinmetz Curve) predstav a krivu koja nastaje kao presek dva cilindra koji se nalaze u normalnom poloaju. Za polupreqnike ovih cilindara uzimamo vrednosti a i b. Ako vertikalni cilindar ima polupreqnik a, a horizontalni polupreqnik b, tada je ova kriva zadata parametarski na sledei naqin: x(t) = a cos t y(t) = a sin t 13 Charles P roteus Steinmetz (1856-1923) po ski matematiqar

3.12. KRIVA XTAJNMECA 53 z(t) = ± b 2 a 2 sin 2 t Iz ovih jednaqina, jednostavno je mogue dobiti i neparametarsku reprezentaciju: x 2 z 2 = a 2 b 2 y 2 + z 2 = b 2. Jasno, posled e dve jednaqine predstav aju jednaqine cilindra u qijem preseku je ova kriva. Slika 3.25: a = 2, b = 1 Na sledeoj slici prikazujemo krivu Xtajnmeca za a = b = 1: Slika 3.26: a = b = 1