Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M

Транскрипт

1 Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Student: Dejan Staji broj indeksa: 59 Nix, 207.

2

3 SADRЖAJ Tenzorska analiza 5. Uvod Invarijanta, vektori i tenzori Algebarske operacije sa tenzorima Koeficijenti koneksije Kovarijantni izvod Riqijev identitet i Rimanov tenzor Krive i povrxi na mnogostrukostima Geodezijska preslikavanja Rimanovih prostora Osnovne teoreme geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora Invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavanja Geodezijska preslikavanja simetriqnih i rekurentnih Rimanovih prostora Ekvidistantni Rimanovi prostori Normalna geodezijska preslikavanja Rimanovih prostora Osnovne teoreme teorije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora Novi oblik osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslikavanja Invarijantna transformacija Rimanovih prostora Zatvoren sistem osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslikavanja Stepen mobilnosti Rimanovih prostora u odnosu na geodezijska presli Geodezijska preslikavanja obostrano rekurentnih Rimanovih prostora 62 3

4 4 SADRЖAJ

5 Deo Tenzorska analiza Data glava ima uvodni karakter. U njoj emo dati bez dokaza teoreme, ali sa potrebnim objaxnjenjima, osnovnog tenzorskog raquna, Rimanove geometrije i teorije prostora linearne koneksije, koja e se koristiti u daljem. Detaljnije o ovim temama moжete na i u knjigama P.A. Xirokova, P.K.Raxevskog, A.P.Nordena i drugim.. Uvod Posmatrajmo n-dimenzionalnu mnogostrukost realnog diferencijabilnog prostora X n klase C r (r>). Njegove elemente, kao i obiqno, nazivamo taqkama i oznaqavamo sa M, N, M i t.d. Sve razliqite taqke prostora X n, kao xto je poznato, pripadaju bar jednoj njegovoj koordinatnoj oblasti Ω. Neka proizvoljna taqka M Ω ima lokalne koordinate x, x 2,..., x n. One mogu imati proizvoljne vrednosti u nekoj oblasti D: x k 0 < x k < x k (k =, 2,..., n) Kada je taqka M Ω fiksirana, mi emo oblast D, kojoj pripadaju koordinate te taqke, nazvati okolina taqke M. U oblasti Ω ili u preseku sa drugom koordinatnom oblasti Ω, uvek se moжe pre i iz jednog sistema koordinata x, x 2,..., x n u drugi x, x 2,..., x n transformacijom x k = x k (x, x 2,..., x n ) (k =, 2,..., n) (.) Funkcije x (x, x 2,..., x n ), x 2 (x, x 2,..., x n ),..., x n (x, x 2,..., x n ), koje pripadaju klasi C r, imaju neprekidne parcijalne izvode po svim argumentima do r-tog, ukljuquju- i i r-ti, a Jakobijan je razliqit od nule u svakoj taqki: 5

6 6. Tenzorska analiza det x k x i 0 (k, i =, 2,..., n) (.2) Kao posledica zakona transformacije (.), preslikavanje lokalnog sistema koordinata u okolini neke taqke je jednoznaqno određeno, tj. moжe se ekvivalentno definisati preslikavanje x i = x i (x, x 2,..., x n ) (.3) prvobitnih koordinata x, x 2,..., x n taqke M kao funkcija od njenih novih koordinata x, x 2,..., x n. U daljem tekstu emo lokalni sistema koordinata nazivati dopustivim. Ako je r =, funkcije (.) i (.3) imaju neprekidne parcijalne izvode proizvoljnog reda po svim argumentima u nekoj okolini svake taqke. Za r = ω one su po definiciji vixestruke i analitiqke, tj. dopuxtaju u nekoj okolini svake taqke predstavljanje u obliku konvergentnog stepenog reda. Nadalje emo pretpostavljati postojanje i neprekidnost svih tih proizvoljno izabranih funkcija, koje se koriste u dokazu. Naxe istraжivanje e i i, po pravilu, u realnom vixestrukom diferencijabilnom prostoru X n konaqne klase C r i pritom lokalno, tj. u nekoj okolini proizvoljne taqke. Geometrijska, mehaniqka, fiziqka i mnoga druga svojstva realnih tela, procesa i pojava u matematiqkim istraжivanjima qesto se opisuju uporednim sistemima N funkcija f A (A =, 2,..., N) od koordinate pomenute taqke M vixestrukog diferencijabilnog prostora X n ili nekog njegovog potprostora, definisanog u nekom lokalnom sistema koordinata i promeni u rezultatu neke njene transformacije oblika (.), (.3) određenog pravila, na primer, f A (x ) = F A (x ; x ; 2 x ;... ; p x ; f). (.4) Svaku od ovih funkcija nazivamo poljem geometrijskog objekta, zadanom na X n ili nekom njegovom podskupu (ili samo u jednoj taqki). Kra e, polje geometrijskog objekta se qesto naziva samo geometrijski objekat. Svaku od funkcija f (x, x 2,..., x n ), f 2 (x, x 2,..., x n ),..., f N (x, x 2,..., x n ) nazivamo redom po njenom broju komponenti geometrijskog objekta u koordinatnom sistemu x, x 2,..., x n, a f (x, x 2,..., x n ), f 2 (x, x 2,..., x n ),..., f N (x, x 2,..., x n ) u novom sistemu koordinata x, x 2,..., x n u istoj taqki M. Zakon (.4) nazivamo zakonom geometrijske transformacije pri promeni sistema koordinata oblika (.). U (.4) F A (A =, 2,..., N) se javljaju određene funkcije novih koordinata x, x 2,..., x n, od kojih je argument određen jednim predstavnikom x bez broja. Ove funkcije koje, u opxtem sluqaju, zavise od prvog, drugog itd. do nekog reda p (ukljuquju i i njega) parcijalnih izvoda funkcija (.) su oblika i x k = x k x i, 2 i i 2 x k = 2 x k x i x i 2,..., p i i 2...i p x k = p x k x i x i 2... x i p,

7 .2. Invarijanta, vektori i tenzori 7 (k, i, i 2,..., i p =, 2,..., n). Iz svake grupe datih promenljivih u F A eksplicitno je zadat samo jedan predstavnik bez broja: x, 2 x,..., p x. Dakle, F A zavisi i od sastava geometrijske funkcije f (x, x 2,..., x n ), f 2 (x, x 2,..., x n ),..., f N (x, x 2,..., x n ) u starom sistemu koordinata. U njima, kao i u proizvoljnim funkcijama (.), pretpostavimo da su poqetne koordinate x, x 2,..., x n taqke M izraжene redom sa (.3) preko svojih novih koordinata x, x 2,..., x n. Uslov (.4) mora biti ispunjen u svakoj taqki M X n, gde je definisana geometrijska funkcija. U zavisnosti od specifiqnosti formule (.4) definixemo klasifikaciju geometrijskog objekta. Na primer, kada se u F A javljaju linearne funkcije f (x), f 2 (x),..., f N (x), geometrijsku funkciju nazivamo linearnom. Kada F A sadrжi parcijalne izvode funkcija (.) i (.3) prvog reda, geometrijski objekat nazivamo objektom prvog reda, i t.d..2 Invarijanta, vektori i tenzori Najjednostavniji, veoma vaжan, geometrijski objekt je invarijanta. U svakom lokalnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n i x, x 2,..., x n na X n je definisana funkcijama f(x, x 2,..., x n ) i f (x, x 2,..., x n ) respektivno. Zakon promene pri promeni sistema koordinata (.) i (.3) glasi: f (x, x 2,..., x n ) = = f(x (x, x 2,..., x n ), x 2 (x, x 2,..., x n ),..., x n (x, x 2,..., x n )). Kra e ga zapisujemo: f (x ) = f(x(x )), (.5) xto jasno ukazuje na samo jednog predstavnika (bez broja) iz svake grupe promenljivih - poqetnih i transformisanih koordinata taqke M. Formula (.5) nam govori, da invarijanta f u svakoj taqki M X n u svim sistemima koordinata ima istu brojevnu vrednost. Iz tog svojstva proizilazi termin invarijante za geometrijski objekat sa zakonom transformacije (.5). Nexto sloжeniji geometrijski objekat je kontravarijantan vektor. U svakom sistemu koordinata iz X n on je određen skupom od n realnih funkcija λ (x, x 2,..., x n ), λ 2 (x, x 2,..., x n ),..., λ n (x, x 2,..., x n ) poređanih u određenom poretku, od koordinate taqke M u poqetnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n i odgovaraju e funkcije λ (x, x 2,..., x n ), λ 2 (x, x 2,..., x n ),..., λ n (x, x 2,..., x n ) u novom sistemu koordinata x, x 2,..., x n određene slede im zakonom promenljivih: λ k (x, x 2,..., x n ) = λ α (x, x 2,..., x n ) α x k (x, x 2,..., x n ). Ovo moжemo kra e zapisati u obliku: λ k (x ) = λ α (x) α x k (x) (k, α =, 2,..., n), (.6)

8 8. Tenzorska analiza izraжenom sa samo jednim predstavnikom (bez broja) iz proizvoljne grupe promenljivih. Desna strana (.6) za proizvoljno fiksirano k po indeksu α predstavlja sumu od do n, iako je znak sume Σ izostavljen. Nadalje svaki termin, koji sadrжi dva indeksa, pri qemu je jedan gore, a drugi dole, oznaqava sumu po svim svojim vrednostima od do n. Indeksi sumiranja emo, po pravilu, oznaqavati malim grqkim slovima α, β, γ,..., α, β, γ,... da bi se razlikovali od ostalih, takozvanih esencijalnih indeksa, koje emo oznaqavati malim latiniqnim slovima, na primer, h, k, l, i, j,... Desna strana jednakosti (.6), kao i u (.4), izraжena sa x, x 2,..., x n, od kojih zavise λ α (x) i α x k (x) saglasna je sa izrazom (.3) izraжenog pomo u x, x 2,..., x n. Inaqe, dvojni kontravarijantan vektor je geometrijski objekat, koji nazivamo kovarijantnim vektorom. U svakom lokalnom sistemu koordinata iz X n kovarijantan vektor je takođe određen skupom n funkcija, poređanih u određenom poretku, µ, µ 2,..., µ n od koordinate poqetne taqke M, ali zakon njihove transformacije u rezultatu promene sistema koordinata pomo u formule (.) i (.3) ima oblik: µ i(x ) = µ α (x) ix α (i, α =, 2,..., n). (.7) Ovde su µ i(x ) elementi kovarijantnog vektora u novom sistemu koordinata, a µ α (x) elementi kovarijantnog vektora u rezultatu sistema koordinata u jednoj istoj taqki M X n. Kao i ranije, uvex emo oznaku ix α = xα x i Kontravarijantni i kovarijantni vektori su specijalni sluqajevi opxteg geometrijskog objekta - tenzora. Tenzor tipa ( p je geometrijski objekat, koji je određen u svakom lokalnom sistemu koordinata iz X n skupom funkcija S i i 2...i p j j 2...j q (x) (svaki od indeksa i 2, i 2,..., i p ; j, j 2,..., j q nezavisno jedan od drugog uzima sve vrednosti od do n) i promene iz sistema koordinata x, x 2,..., x n u sistem koordinata x, x 2,..., x n na osnovu formule (.) i (.3) u skladu sa slede om jednakox u: S i i 2...i p j j 2...j q (x ) = S α α 2...α p β β 2...β q (x) α x i α2 x i 2... αp x i p j x β j 2 x β 2... j q x βq. (.8) Ovde su S i i 2...i p j j 2...j q (x ) komponente tenzora u sistemu koordinata x, x 2,..., x n, a S α α 2...α p β β 2...β q (x) u sistemu koordinata x, x 2,..., x ( n p. Tenzor oblika qesto nazivamo p-kontravarijantan i q-kovarijantan tenzor. Ponekad ga kra e oznaqavamo sa S ( p. Gornji indeksi u S ( p u formuli (.8) nazivamo kontravarijantni, a donji kovarijantni. Kako svaki ( od njih uzima, nezavisno jedan od drugog, sve vrednosti od do p n, tenzor oblika ima n p+q elementa.

9 .3. Algebarske operacije sa tenzorima 9 Oqigledno, (.8) predstavlja poseban sluqaj formule (.4) za N = n p+q i specijalan redosled elemenata posmatranog geometrijskog objekta. Za p =, q = 0, iz (.8) dobijamo (.6), a za p = 0, q = dobijamo (.7). Prema tome, kontravarijantan vektor se javlja kao tenzor oblika ( 0), a kovarijantan vektor kao tenzor oblika ( 0 ). Iz formule (.8) je lako zakljuqiti da se invarijanta javlja kao tenzor oblika ( 0 0). Lako je zakljuqiti da veliqina δ h i = {, h = i 0, h i (h, i =, 2,..., n), koju nazivamo Kronekerovim simbolom, obrazuje tenzor oblika ( ). Iz (.8) vidimo da se u diferencijabilnoj mnogostrukosti X n klase C r elementi tenzora S ( p javljaju kao funkcije u klasi C r. Napomenimo da smo istovremeno definisali pojam polja geometrijskog objekta, u posebnom invarijantnom, kontravarijantnom i kovarijantnom vektoru, tenzorskog polja oblika ( p na Xn ili nekog njegovog podskupa, a takođe i pojam geometrijskog objekta u datoj taqki M 0 iz X n. Pri posmatranju nekog konkretnog pitanja nadalje e biti oqigledno o kom sluqaju se radi. Međutim, ponekad, da bude jasnije, posebno emo naglasiti. Tenzor S ( p, za proizvoljno p i q nazivamo nula tenzor, ako su svi njegovi elementi jednaki nuli (na celom X n, na nekom njegovom podskupu ili u datoj taqki). Jedno od vaжnih svojstva tenzora je da ako je tenzor S ( p jednak nuli u odnosu na jedan sistem koordinata, onda je on jednak nuli u odnosu na bilo koji drugi sistem koordinata..3 Algebarske operacije sa tenzorima Za tenzore postoji nekoliko algebarskih operacija, u kojima se ponovo dobijaju tenzori. Tri osnovne operacije su: algebarsko sabiranje, mnoжenje i kontrakcija. a) Algebarski zbir tenzora oblika ( p za proizvoljne p i q je tenzor istog oblika. Ako su S i T tenzori oblika ( p na Xn, u proizvoljnoj taqki M, gde su oni definisani, i u proizvoljnom sistemu koordinata R i i 2...i p j j 2...j q (x) = S i i 2...i p j j 2...j q (x) + et i i 2...i p j j 2...j q (x) (i, i 2,..., i p ; j, j 2,..., j q =, 2,..., n), (.9) gde je e = ±, onda kaжemo da je tenzor R dobijen algebarskim sabiranjem tenzora S i T. Iz (.8) jasno sledi da je prethodno definisan geometrijski objekat R tenzor oblika ( p. Za e = + on se naziva zbir, a za e = razlika tenzora S ( p i T ( p. Ponekad (.9) kra e pixemo R( p = S( p + et ( p.

10 0. Tenzorska analiza Navedeni algebarski zbir dva tenzora oqigledno vaжi i za konaqno mnogo tenzora istog oblika. Za dva tenzora S ( ( p i T p kaжemo da su jednaka ako je njihova razlika nula tenzor, tj. ako je S i i 2...i p j j 2...j q (x) = T i i 2...i p j j 2...j q (x) (.0) za sve međusobno razliqite indekse i, i 2,..., i p ; j, j 2,..., j q, koje uzimaju vrednosti od do n. Koriste i algebarski zbir tenzora uvex emo operaciju simetrije i alternacije dva istoimena indeksa i operaciju cikliranja tri istoimena indeksa. Za tenzor S ( p u proizvoljnom sistemu koordinata definiximo S i i 2...i p (j j 2 )j 3...j q (x) = S i i 2...i p j j 2...j q (x) + S i i 2...i p j 2 j j 3...j q (x), (.) za q 2 i S i i 2...i p [j j 2 ]j 3...j q (x) = S i i 2...i p j j 2 j 3...j q (x) S i i 2...i p j 2 j j 3...j q (x) (.2) za q 3. S i i 2...i p (j j 2 j 3 )j 4...j q (x) = S i i 2...i p j j 2 j 3 j 4...j q (x) + S i i 2...i p j 2 j 3 j j 4...j q (x) + S i i 2...i p j 3 j j 2 j 4...j q (x) (.3) Na osnovu (.8) vidimo da su kompozicije (.), (.2) i (.3) takođe tenzori oblika ( p. Prva od njih je simetrija, druga alternacija po prva dva kovarijantna indeksa i tre a cikliqnost po prva tri kovarijantna indeksa poqetnog tenzora S ( p. Ove operacije za proizvoljne kovarijantne indekse se uvode na slede i naqin: S i i 2...i p...(j... k)... (x) = S i i 2...i p...j...k... (x) + S i i 2...i p...k...j... (x), (.4) S i i 2...i p...[j... k]... (x) = S i i 2...i p...j...k... (x) S i i 2...i p...k...j... (x), (.5) S i i 2...i p...(j... k... l)... (x) = S i i 2...i p...j...k...l... (x) + S i i 2...i p...k...l...j... (x) + S i i 2...i p...l...j...k...(x). (.6) Ovde su taqkama oznaqeni indeksi koji ne menjaju svoja mesta, dok su oni drugi, koji su u zagradama, odvojeni vertikalnim crtama. Potpuno isto uvodimo operacije simetrije, alternacije i cikliqnost tenzora S ( p za p> i p>2, redom, po kontravarijantnim indeksima. Sliqne operacije uvodimo za tenzor S ( p, ne samo za dva ili tri istoimena indeksa, nego i za vixe njih. Kada je operacija simetrije (.4) tenzora S ( p nula tenzor, tada je S i i 2...i p...j...k... (x) = Si i 2...i p...k...j...(x) (.7)

11 .3. Algebarske operacije sa tenzorima U tom sluqaju tenzor S ( p zovemo koso-simetriqan tenzor po indeksima j i k. Kada je za isti tenzor S ( p operacija alternacije (.5) nula tenzor, tada je S i i 2...i p...j...k... (x) = S i i 2...i p...k...j... (x) (.8) i taj tenzor nazivamo simetriqnim po j i k. Na sliqan naqin uvodimo pojam simetrije i kose simetrije tenzora S ( p po dva kontravarijantna indeksa. Svojstva simetrije i kose simetrije tenzora ne zavise od izbora koordinatnog sistema u X n. b) Proizvod dva tenzora S ( ( p i R r ) ( p+r t je tenzor oblika q+t). Neka je u proizvoljnom sistemu koordinata G i i 2...i p j j 2...j r k k 2...k q l l 2...l t (x) = S i i 2...i p k k 2...k q (x) R j j 2...j r l l 2...l t (x) (i, i 2,..., i p ;j, j 2,..., j r ; k, k 2,..., k q ; l, l 2,..., l t =, 2,..., n), (.9) to iz (.8), odmah nalazimo da je geometrijski objekat (.9) tenzor oblika ( p+r q+t), koji nazivamo proizvod tenzora S ( p sa tenzorom R ( r t). Ponekad emo (.9) kra e zapisivati G( p+r q+t ) = S( p R( r t ). Naravno, ovde nisu iskljuqeni sluqajevi kada je p = q = 0 ili r = t = 0, pa qak i kada su svi istovremeno jednaki nuli. Iz (.9) vidimo da proizvod dva tenzora zavisi od poretka qinioca, ali ne i neophodno, jer je redosled unosa indeksa u (.9) proizvoljan. Za zbir i proizvod tenzora vaжi distributivni zakon, tj. [ S( p q ) + et ( p ] R( r t ) = S( p R( r t) + et ( p R( r t ) (.20) v) Operacija kontrakcije se uvodi za bilo koji tenzor S ( p za p, ( q>0 i rezultat je p tenzor oblika q ). Neka je u proizvoljnom sistemu koordinata L i 2i 3...i p j j 3...j q (x) = S αi 2i 3...i p j αj 3...j q (x) = n α= S αi 2i 3...i p j αj 3...j q (x) (.2) Iz (.8) lako ( zakljuqujemo ) da ovako definisan geometrijski objekat predstavlja tenzor oblika p i q. Njega nazivamo rezultatom kontrakcije tenzora S i 2...i p j j 2...j q (x) po drugom kovarijantnom i prvom kontravarijantnom indeksu. Na tenzor S i i 2...i p j j 2...j q (x) se moжe primeniti ( operacija kontrakcije po bilo koja dva p razliqita indeksa i dobiti tenzor oblika q ). Međutim, rezultat kontrakcije

12 2. Tenzorska analiza najvixe zavisi ot toga po kojim indeksima je to urađeno. Na primer, kontrakcijom tenzora S ( p po drugom (za p>) kontravarijantnom i poslednjem kovarijantnom indeksu, dobi emo N i i 3...i p j j 2...j q (x) = S i αi 3...i p j j 2...j q α (x). (.22) Naravno, u opxtem sluqaju, tenzor N ( ) ( p q nije jednak tenzoru L p q ), koji smo mi dobili u (.2). Tenzor N ( p q ), za p, q> ponovo moжemo kontrakovati po razliqitim indeksima i td. U ( sluqaju p = q(>0), kada primenimo p puta operaciju kontrakcije, dobi emo 0 tenzor 0), tj. invarijantu. Operacije mnoжenja i kontrakcije qesto koristimo zajedno. Naime, prvi tenzor S ( ( p pomnoжimo tenzorom R r t), kako je prikazano u (.9), a zatim na dobijeni proizvod primenimo operaciju kontrakcije po dva razliqita indeksa, jedan koji pripada prvom qiniocu, a drugi drugom, na primer po k i j. U rezultatu dobijamo tenzor S i i 2...i p αk 2...k q (x)r αj 2...j r l l 2...l t (x). (.23) Kra e kaжemo, da je taj tenzor dobijen iz tenzora S i i 2...i p k k 2...k q (x) kontrakcijom po k sa tenzorom R j j 2...j r l l 2...l t (x) kontrakovanim po j. Kontrakcijom prvog tenzora sa drugim po indeksima k i j, kao i po indeksima i i l 2 dobijamo tenzor S βi 2...i p αk 2...k q (x)r αj 2...j r l βl 3...l t (x) (.24) ( p+r 2 koji je oblika q+t 2). Na primer, za r = q i t = p kompletna kontrakcija tenzora S ( p sa tenzorom R ( q p) je oblika S β β 2...β p α α 2...α q (x)r α α 2...α q β β 2...β p (x), (.25) gde, kao i obiqno, po proizvoljnom indeksu α, α 2,..., α q ; β, β 2,..., β p nezavisno jedan od drugog suma od do n, predstavlja tenzor oblika ( 0 0), tj. invarijantu. Definisanje vixe algebarskih operacija nad tenzorima moжe se vrxiti sa konaqnim skupom tenzora konaqan broj puta u proizvoljnom poretku. Skup svih kontravarijantnih vektora u proizvoljnoj taqki M diferencijabilne mnogostrukosti X n klase C r (r ) obrazuje n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem R realnih brojeva sa gore uvedenim operacijama algebarskog zbira i mnoжenja invarijanti (brojeva). Njega nazivamo tangentnim prostorom na X n u taqki M i oznaqavamo sa T M. Ako su λ h, λh 2 2,..., λh q q proizvoljni vektori iz T M, njihov proizvod λ h h 2...h q = λ h λh λ h q q (.26) ( q predstavlja tenzor tipa 0) u taqki M, koji ( nazivamo prost q puta kontravarijantan q tenzor. Skup svih prostih tenzora tipa 0) i sve mogu e njihove kombinacije nad

13 .4. Koeficijenti koneksije 3 poljem R obrazuje vektorski prostor dimenzije n q nad R, koji nazivamo tenzorskim proizvodom stepena q prostora T M nad samim sobom i oznaqavamo sa: T M ( = T M T M T }{{ M. (.27) } q Skup svih kovarijantnih vektora u taqki M mnogostrukosti X n takođe obrazuje n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem R realnih brojeva sa uvedenim operacijama algebarskog zbira i proizvoda skalarom. Njega oznaqavamo sa T M i nazivamo adjungovanim sa T M. Proizvod µ k k 2...k p = µ k µ 2 k2... µ p kp (.28) p proizvoljnih ( vektora µ k, µ 2 k2,..., µ p kp iz TM obrazuje takozvani prost tenzor 0 tipa p) u taqki M. Skup svih tih tenzora i sve mogu e njihove linearne kombinacije nad R obrazuje tenzorski proizvod stepena p prostora TM nad samim sobom Tenzorski proizvod, TM(p) = TM TM TM. (.29) }{{} p T M ( T M(p) (.30) po definiciji, predstavlja skup svih proizvoda razliqitih tenzora iz T M ( sa tenzorom iz TM (p) i sve mogu e njihove linearne kombinacije, koje prirodno predstavljaju vektorski ( prostor nad R dimenzije n q+p (. Svaki njihov element se javlja q kao tenzor tipa p). Pritom, bilo koji tenzor S p, zadat u taqki M po formuli (.25), obrazuje linearno preslikavanje tenzorskog proizvoda (.30) na R: T M ( T M(p) S ( p R. Ponekad se to svojstvo tenzora S ( p prihvata kao njegova definicija. Drugim reqima, tenzor S tipa ( p u taqki M Xn nazivamo linearnim preslikavanjem tenzorskog proizvoda (.30) u polju realnih brojeva R. Ta definicija je ekvivalentna definiciji uvedenoj na samom poqetku..4 Koeficijenti koneksije U mnogim zadacima postoji potreba izuqavanja geometrijskih objekta na diferencijabilnoj mnogostrukosti X n i nexto sloжenijih od tenzora. Jedan od njih je objekat afine koneksije Γ k ij (k, i, j =, 2,..., n), koji se karakterixe slede im zakonom transformacije pri promeni sistema koordinata (.) i (.3): ) k Γ k ij (x ) = (Γ x αβγ(x) xβ x γ x α x i x + 2 x α j x i. (.3) x j

14 4. Tenzorska analiza Ovde su Γ k ij komponente objekta afine koneksije u sistemu koordinata x, x 2,..., x n ; Γ k ij (x ) u novom sistemu koordinata x, x 2,..., x n ; x k x l parcijalni izvod funkcije x (.), h x i parcijalni izvod njoj inverzne funkcije (.3). Desna strana (.3) po α, β, γ, kao i obiqno, predstavlja sume od do n koje ne zavise jedna od druge. Objekat afine koneksije na X n klase C r (r 2) u daljem izlaganju moжemo pretpostaviti da je simetriqan, tj. da ispunjava uslov: Γ k ij(x) = Γ k ji(x). (.32) Oni, kao xto se moжe videti iz (.3), imaju invarijantni karakter u odnosu na izbor sistema koordinata. U saglasnosti sa (.3) objekat afine koneksije je linearan geometrijski objekat drugog reda..5 Kovarijantni izvod Na diferencijabilnoj mnogostrukosti X n, u kojoj je definisan objekat afine ( koneksije, uvodimo pojam kovarijantan izvod tenzorskog polja proizvoljnog tipa p ) q na celoj mnogostrukosti Xn ili u nekoj njenoj nedegenerisanoj n-dimenzionalnoj oblasti. On predstavlja tenzorsko polje tipa ( p q+). Za tenzor tipa ( 0), tj. za kontravarijantan vektor, na primer λ h (x), kovarijantan izvod koneksije Γ k ij, oznaqi emo sa λh,i, u proizvoljnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n i definisati na slede i naqin: λ h,i(x) = λh (x) x i + Γ h iα(x)λ α (x) (h, i =, 2,..., n). (.33) Ovde se, kao i obiqno, pod α podrazumeva sumiranje po svim vrednostima od do n. Prema transformaciji (.6) element kontravarijantnog vektora i objekta afine koneksije (.3) neposredno sledi, ( da kovarijantan izvod (.33) kontravarijantnog vektora predstavlja tenzor tipa ). ( 0 U sluqaju tenzorskog polja tipa ), tj. kovarijantnog vektora µj, kovarijantan izvod µ j,i po koneksiji Γ k ij u proizvoljnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n definixemo sa: µ j,i (x) = µ j(x) x i Γ α ij(x)µ α (x) (i, j =, 2,..., n). (.34) Iz (.7) i (.3) zakljuqujemo da je kovarijantan izvod (.34) kovarijantnog vektora tenzor tipa ( 0 2). Za tenzorska polja b h j tipa ( ) kovarijantan izvod po koneksiji Γ u proizvoljnom sistemu koordinata po definiciji je oblika b h j,i(x) = bh j (x) x i + Γ h iα(x)b α j (x) Γ α ij(x)b h α(x) (.35)

15 .5. Kovarijantni izvod 5 (h, i, j =, 2,..., n). Odatle sledi, da je kovarijantan izvod Kronekerovih simbola po bilo kojoj koneksiji jednak nuli: δ h i,k 0 (h, i, j =, 2,..., n). U opxtem sluqaju, kovarijantan izvod tenzorskog polja S tipa ( p po koneksiji Γ, koje emo zvati, kao i ranije, interakcija, u proizvoljnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n određen je slede om formulom: S i i 2...i p j j 2...j q,k (x) = ks i i 2...i p j j 2...j q (x) + Γ i kα (x)s αi 2...i p j j 2 j q (x) Γ i p kα (x)s i i 2...i p α (x) Γ β kj (x)s i i 2...i p βj 2...j q (x)... j j 2...j q Γ β kj q (x)s i i 2...i p j j 2 j q β (x) (i,..., i p ; j,..., j q ; k =, 2,..., n). (.36) Iz (.8) i (.3) zakljuqujemo da je to tenzor tipa ( p q+). Na kraju, kovarijantan izvod polja invarijanti f(x) određen je slede om formulom: f,k (x) = k f(x). (.37) To je tenzor tipa ( 0 ), tj. kovarijantan i pritom gradijentan vektor. Uvedimo i kovarijantan izvod S λ( p tenzorskog polja S ( p u pravcu vektora λ sa: ili preciznije S λ( p = S( p,α λ α S i i 2...i p λj j 2...j q = S i i 2...i p j j 2...j q,α λα. (.38) Na osnovu pravila iz tenzorske algebre zakljuqujemo da je S λ( p tenzor tipa ( p. Kovarijantna diferencijalna suma i izvod dva tenzora dobija se prema istom pravilu kao i parcijalno diferenciranje: [ S( p q ) + et ( p ],k = S(p,k + et ( p,k [ S( p q )R( r t) ],k = S(p,k R( r t) + S( p R( r t),k (.39) Dakle, operacija kontrakcije i kovarijantnog diferenciranja se mogu zameniti (kada u kontrakciji indeks diferenciranja ne uqestvuje). Na primer, u skladu sa (.2) [ ] S αi 2i 3...i p j αj 3...j q (x) = S αi 2i 3...i p j αj 3...j (.40),k q,k

16 6. Tenzorska analiza.6 Riqijev identitet i Rimanov tenzor Ako je kovarijantan izvod λ h,k kontravarijantnog vektora λh tenzor tipa ( ), opet moжemo kovarijantno diferencirati po koneksiji Γ, tj. razmatra emo geometrijski objekat [ λ h,k(x) ],l = λh,kl(x). On je tenzor tipa ( 2), koji nazivamo drugi kovarijantan izvod po koneksiji Γ od poqetnog kontravarijantnog vektora (najpre po x k, a zatim po x l ). Pritom u X n klase C r (r>2) za vektorsko polje λ h klase C 2 sa objektom koneksije Γ klase C Riqijev identitet λ h,kl(x) λ h,lk(x) = λ α (x)r ḥ αkl(x), (.4) predstavlja tenzorsko izraжavanje uslova nezavisnosti vrednosti drugih neprekidnih parcijalnih izvoda od poretka diferenciranja: U (.4) 2 klλ h (x) 2 lkλ h (x) 0. R ḥ ijk = j Γ h ik(x) + Γ α ik(x)γ h jα(x) k Γ h ij(x) Γ α ij(x)γ h kα(x) (.42) i nazivaju se Rimanovi simboli objekta koneksije Γ. Na osnovu (.3) preslikavanja objekta afine koneksije sledi da Rimanovi simboli obrazuju tenzor tipa ( 3) na X n. Taj tenzor zovemo Rimanovim tenzorom koneksije Γ. Sliqno pojmu drugog kovarijantnog izvoda po koneksiji Γ uvodimo kovarijantan vektor µ i sa: µ i,jk = (µ i,j ),k Za njega takođe vaжi Riqijev identitet, koji je oblika µ i,jk (x) µ i,kj (x) = µ α (x)r α.ijk(x). (.43) Na kraju, u sluqaju tenzorskog polja S proizvoljnog tipa ( p drugi kovarijantan izvod po koneksiji Γ je oblika: [ ] S i i 2...i p j j 2...j q,k (x),l = S i i 2...i p j j 2...j q,kl (x) U diferencijabilnoj mnogostrukosti X n klase C r (r>2) za tenzorsko polje S( p klase C 2 sa objektom koneksije Γ klase C vaжi Riqijev identitet: S i i 2...i p j j 2...j q,kl (x) S i i 2...i p j j 2...j q,lk (x) = = S αi 2...i p j j 2...j q (x)r i j j 2...j q.αkl (x)... S i i 2...i p α (x)r i p.αkl (x)+ + S i i 2...i p βj 2...j q (x)r β.j kl (x) S i i 2...i p j j 2...j q β (x)r β.j q kl (x) (.44)

17 .7. Krive i povrxi na mnogostrukostima 7 koji predstavlja tenzorski uslov nezavisnosti vrednosti drugog neprekidnog parcijalnog izvoda komponenti tenzorskog polja S( p po redu diferenciranja: 2 kls i i 2...i p j j 2...j q (x) 2 lks i i 2...i p j j 2...j q (x) 0. (.45) Na osnovu njegove konstrukcije Rimanov tenzor (.42) ima kosu simetriju po poslednja dva kovarijantna indeksa, tj. Međutim, za njega postoji jox jedan identitet: R h.ijk(x) + R h.ikj(x) 0. (.46) R h.(ijk)(x) = R h.ijk(x) + R h.jki(x) + R h.kij(x) 0. (.47) Drugim reqima, rezultat cikliranja Rimanovog tenzora po kovarijantnim indeksima identiqan je nuli. Za Rimanov tenzor (.42) za objekat afine koneksije Γ klase C 2, uporedo sa algebarskim identitetima (.46) i (.47), postoji diferencijabilan Bjankijev identitet: R h.i(jk,l)(x) = R h.ijk,l(x) + R h.ikl,j(x) + R h.ilj,k(x) 0. (.48) Ovde je R.ijk,l h kovarijantan izvod Rimanovog tenzora po koneksiji Γ za istu koneksiju..7 Krive i povrxi na mnogostrukostima Krivu L u vixestrukoj diferencijabilnoj mnogostrukosti X n (klase C r ) u parametarskom predstavljanju nazivamo jednodimenzionalna podmnogostrukost, određena u proizvoljnom lokalnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n jednaqinom: x h = x h (t) (T 0 < t < T ; h =, 2,..., n). (.49) Ovde su x (t), x 2 (t),..., x n (t) realne funkcije jedne promenljive t, koje nazivamo lokalnim parametrom krive. Pretpostavimo da one pripadaju klasi C r. Izvodi tih funkcija po t dx h dt = λh (t) (.50) se javljaju kao komponente tangentnog vektora krive u proizvoljnoj taqki. U rezultatu transformacije (.) lokalni sistem koordinata na X n parametarske jednaqine krive L se menjaju po formuli: x h = x h (t) = x h (x(t)). (.5) Odatle sledi da je dx h dt = x h x α dx α dt,

18 8. Tenzorska analiza odnosno, λ h = x h x α λα. (.52) To govori da se tangentni vektor krive javlja kao kontravarijantni vektor u X n. S- hodno tome, on pripada tangenti na X n u proizvoljnoj taqki prostora T M. Oqigledno, kroz svaku taqku M iz X n, moжemo nacrtati krivu L, koja u toj taqki svojim tangentnim vektorom određuje prethodno dat vektor iz T M. Stoga je T M skup svih tangenti u taqki M vektora svih krivih iz X n. Kriva L p, definisana u X n, prikazana u sistemu koordinata x, x 2,..., x n, jednaqinama x h = c h (h p), x p = t, (.53) gde je p neki fiksirani broj od do n, a c h neka konstanta, naziva se koordinatna linija x p. Njen tangentni vektor u proizvoljnoj taqki M određen je formulom (.52) i oblika je λ h p = δ h p (.54) Prema tome, λ =, λ2 =... = λn = 0; λ2 2 =, λ 2 = λ3 2 =... = λn 2 = 0 i td. su tangentni vektori sa koordinatnim linijama x, x 2 i td. u nekoj taqki M. Oni obrazuju u njoj bazu tangentnog prostora T M. Parametar t krive L u parametarskom predstavljanju (.49) predstavlja transformaciju oblika t = t(τ), (.55) gde realna funkcija t(τ) ima neprekidan izvod do reda r, pri qemu je dt 0. Jednaqina krive L posle prelaska na novi parametar τ po formuli (.55) bi e dτ oblika: x h = x h (τ) x h (t(τ)). (.56) Dakle, za tangentni vektor λ h krive L sa novom parametrizacijom dobijamo izraz λ h = dt dτ λh. (.57) Neka je u nekoj oblasti D mnogostrukosti X n, pomo u sistema koordinata x, x 2,..., x n, zadano polje kontravarijantnog vektora λ h (x, x 2,..., x n ) 0 klase C r (r>). Tada, svako rexenje oblika (.49) sistema obiqnih diferencijalnih jednaqina dx h dt = λh (x, x 2,..., x n ) (.58) predstavlja svoju trajektoriju ili liniju toka vektorskog polja λ h. Pritom, kroz proizvoljnu taqku M 0 D sa koordinatama x 0, x 2 0,..., x n 0 prolazi jedna i samo jedna trajektorija. Ona proizilazi iz jednakosti (.58) kao rexenje koje odgovara poqetnim vrednostima x h 0 = x h (t 0 ). (.59)

19 .7. Krive i povrxi na mnogostrukostima 9 Skup svih trajektorija vektorskog polja λ h određuje u oblasti D krivolinijsku podudarnost. Povrx S m dimenzije m<n mnogostrukosti X n u parametarskom obliku nazivamo m-dimenzionalna podmnogostrukost određena u proizvoljnom lokalnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n jednaqinom x h = x h (u, u 2,..., u m ) (h =, 2,..., n). (.60) Ovde je x h (u, u 2,..., u m ) realna funkcija klase C r od m realnih promenljivih u, u 2,..., u m, tzv. parametri, pri qemu je rang x h u p = m (h =, 2,..., n; p =, 2,..., m). (.6) Pri tome se u, u 2,..., u m menjaju u nekoj m-dimenzionalnoj oblasti U m i nazivamo ih unutraxnjim koordinatama taqaka povrxi S m. Vrednosti funkcije (.60) predstavljaju koordinatne taqke povrxi S m u mnogostrukosti X n, kome pripada ta povrx. Kada je n m =, povrx S m nazivamo hiperpovrx. Kriva L na povrxi S m, data u parametarskom obliku (.60), je određena jednaqinama u p = u p (t) (T 0 < t < T ; p =, 2,..., m). (.62) Ovde imamo u vidu realne funkcije jedne realne promenljive t-parametra krive, koje pripadaju klasi C r. Parametarsko predstavljanje (.49) za datu krivu L dobijamo iz (.60) na osnovu (.62) u obliku x h = x h (t) = x h (u (t), u 2 (t),..., u m (t)). (.63) Odatle nalazimo tangentni vektor krive L: gde je ξ p = dup dt dx h dt = λh = xh (u) u p ξ p, (.64) i naziva se unutraxnja komponenta tangentnog vektora krive. Skup vektora λ h, tangente po svim krivama na povrxi, koje prolaze kroz datu taqku M(u, u 2,..., u m ) po definiciji određuju tangentnu ravan E m u S m u taqki M. Iz (.64) sledi, da ona predstavlja svoj linearni omotaq nezavisnog, na osnovu (.6), vektora λ h p = xh (u) (p =, 2,..., u p m), tangente koordinatne linije u, u 2,..., u m povrxi S m u proizvoljnoj taqki M. Opxtom m-dimenzionalnom povrxi u X n nazivamo njegovu realnu podmnogostrukost, određenu skupom svih taqaka qije koordinate zadovoljavaju n m nezavisnih jednaqina F σ (x, x 2,..., x n ) = 0 (σ =, 2,..., n m). (.65)

20 20. Tenzorska analiza Pritom su funkcije F (x, x 2,..., x n ), F 2 (x, x 2,..., x n ),..., F n m (x, x 2,...,x n ) invarijante u X n i rang F σ (x) x k = n m. (.66) Kada je n m =, (.62) sadrжi samo jednu jednaqinu, koja određuje opxtu hiperpovrx u X n. Zbog (.66) na osnovu teoreme o postojanju implicitne funkcije (.65) dobijamo jednaqinu oblika (.60). Obratno, iz (.60) na osnovu teoreme o postojanju inverznih funkcija proizilazi jednaqina oblika (.65). Stoga, s lokalne taqke gledixta (.60) i (.65) se javljaju u razliqitim oblicima (parametarskom i implicitnom) u X n jedne iste geometrijske slike m-dimenzionalne povrxi S m. je Kriva L u parametarskom predstavljanju (.49) odgovara opxtoj povrxi S m, ako F σ (x (t), x 2 (t),..., x n (t)) 0 (σ =, 2,..., n m) u odnosu na parametar t. Diferenciranjem po t sledi da je gde je λ h = dxh dt tangentni vektor krive L. F σ (x) x α λα = 0, (.67) Skup vektora X n, tangentnih po svim krivama na prostoj povrxi S m, koji prolaze kroz datu taqku M, obrazuje tangentnu ravan E m povrxi S m u taqki M. Kako je uslov (.67) ne samo potreban, nego i dovoljan, da vektor λ h pripada tangentnoj ravni E m povrxi S m, jednaqina (.67) ima m linearno nezavisnih rexenja λ h, λh 2,..., λh m, i E m predstavlja njihov linearni omotaq. Ako je (.60) parametarsko predstavljanje povrx S m date jednaqinama (.65), to iz (.67) na osnovu (.64) zbog proizvoljnog ξ p sledi da je F σ (x) x α λα p = 0 (p =, 2,..., m; σ =, 2,..., n m; α =, 2,..., n). (.68) Neka je u X n (ili nekoj njenoj nedegenerisanoj oblasti D) određena m-dimenzionalna raspodela E m. To znaqi da je u proizvoljnoj taqki M iz X n (ili oblasti D) dat m- dimenzionalni vektorski prostor E m, koji prirodno pripada tangentnom prostoru T m. Pretpostavimo da se λ h p (x, x 2,..., x n ) (p =, 2,..., m) javljaju kao bazni vektori raspodele E m u proizvoljnoj taqki M sa lokalnim koordinatama x, x 2,..., x n. Za te vektore smatramo da pripadaju klasi C r (r>). Raspodelu E m {λ h p (x)} nazivamo holonomnom ako za nju postoji familija m- dimenzionalnih povrxi m, proizvoljne tangentne ravni koje se u proizvoljnoj taqki M poklapaju sa ravni raspodele E m. Pretpostavimo da kroz proizvoljnu taqku M domena m-raspodele E m prolazi, u krajnjoj meri, jedna povrx iz date familije.

21 .7. Krive i povrxi na mnogostrukostima 2 Ako povrx S m familije m m-raspodele E m {λ h p (x, x 2,..., x n )} ho emo da prikaжemo u opxtem obliku (.65), to iz (.68) sledi da svaka od funkcije F σ mora zadovoljavati homogeni sistem linearnih diferencijalnih jednaqina Z p F λ α p (x, x 2,..., x n ) F = 0 (p =, 2,..., m). (.69) xα Holonomna raspodela E m postoji ako i samo ako dati sistem ima n m nezavisnih rexenja, F σ (x, x 2,..., x n ). Kao xto je poznato, ovo je mogu e samo kada je sistem (.69) kompletan, tj. kada komutator [Z q Z p ] F = Z p (Z p F ) Z p (Z q F ) bilo koja dva homogena linearna diferencijalna operatora, određena ovim sistemom, predstavlja linearnu kombinaciju istih operatora: [Z q Z p ] F = G s qp(x)z s F (p, q, s =, 2,..., m). (.70) Iz (.69) na osnovu komutativnosti sledi da je [Z q Z p ] F = ( ) F λ β q (x) βλ α p (x) λ β p (x) βλ α q (x) x. α Lako se vidi da se parcijalni izvodi vektora λ h p (x) mogu zameniti njihovim kovarijantnim izvodima po proizvoljnoj simetriqnoj afinoj koneksiji Γ h ij(x). Stoga se formula (.70) moжe zapisati i u obliku λ β q (x)λh p,β(x) λ β p (x)λh q,β(x) = G s qp(x)λ h s (x). (.7)

22 22. Tenzorska analiza

23 Deo 2 Geodezijska preslikavanja Rimanovih prostora U ovoj glavi emo uvesti geodezijsko preslikavanje afine koneksije i Rimanovih prostora, dobijenih osnovnim jednakostima teorije geodezijskih preslikavanja od strane Tulija Levi-Qivite, koji je otkrio invarijantne geometrijske objekte pri geodezijskom preslikavanju, prouqavao geodezijsko preslikavanje specijalnog Rimanovog prostora i prvi dokazao teoremu o jedinstvenosti određenih objekta koneksije simetriqnih i rekurentnih Rimanovih prostora skupom svojih geodezijskih linija. Zatim, pod određenim algebarskim pretpostavkama otkrio je nekoliko geometrijskih svojstva Rimanovih prostora i njihovih geodezijskih preslikavanja, na osnovu qega je prirodno objavio posebnu klasu geodezijskih preslikavanja i dobio potpunu klasifikaciju Rimanovih prostora, koji su priznati. 2. Osnovne teoreme geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora Posmatra emo dva prostora A n i Ān afine koneksije. Geodezijsko preslikavanje f prostora A n na prostor Ān je uzajamno jednoznaqno preslikavanje između njihovih taqaka, pri qemu se svaka geodezijska linija prostora A n slika u geodezijsku liniju prostora Ān. Neka je prostoru A n dodeljen sistem koordinata x, x 2,..., x n, a prostoru sistem koordinata x, x 2,..., x n. Elemente objekta koneksije prostora A n i Ān u njihovim taqkama M(x) i M(x) oznaqimo sa Γ h ij(x) i Γ h ij(x), pod pretpostavkom da su simetriqni, i neka je Γ h ij(x) = Γ h ij(x) + P h ij(x) (h, i, j =, 2,..., n). (2.) Iz zakona transformacije elementa objekta afine koneksije (.3) sledi da P h ij(x) 23 Ān

24 24 2. Geodezijska preslikavanja Rimanovih prostora određuje simetriqan tenzor tipa ( 2). Njega nazivamo tenzor deformacije koneksije Γ prostora A n na prostor Ān pri preslikavanju f. Posmatrajmo u prostoru A n krivu L, datu u parametarskom obliku x h = x h (t). (2.2) Ta kriva predstavlja svoju geodezijsku liniju ako i samo ako funkcije λ h zadovoljavaju jednaqinu = dxh dt dλ h (t) dt + Γ h αβ(x)λ α (t)λ β (t) = ρ(t)λ h (t). (2.3) Uopxte, pri preslikavanju f sistema koordinata kriva L prostora Ān, koja odgovara krivoj L, definisana je istim jednaqinama (2.2), a odgovaraju e taqke tih krivih imaju istu vrednost parametra t. Ako je preslikavanje f geodezijsko i L geodezijska linija prostora Ān, onda e i L biti geodezijska linija prostora Ān. Prema tome, funkcije λ h prostora Ān moraju zadovoljavati jednaqinu oblika (2.3): dλ h (t) dt + Γ h αβ(x)λ α (t)λ β (t) = ρ(t)λ h (t). (2.4) Oduzimanjem (2.3) i (2.4) i budu i da vaжi (2.) dobijamo P h αβ(x)λ α (t)λ β (t) = 2ψ(t)λ h (t) (2.5) Ovaj uslov mora biti ispunjen za bilo koju geodezijsku liniju prostora A n. Poxto se u A n kroz bilo koju taqku M(x), u proizvoljnom pravcu, λ h moжe formirati geodezijska linija, uslov (2.5) mora biti ispunjen na identiqan naqin u pogledu x, x 2,..., x n i λ, λ 2,..., λ n. Kako je leva strana u (2.5) za bilo koje h kvadrat od λ h, qiji koeficijenti ne zavise od λ h, a desna strana - proizvod homogene linearne funkcije λ h sa nezavisnom funkcijom ψ(t), ova druga, po potrebi, takođe mora biti homogena linearna, tj. mora biti oblika ψ(t) = ψ α (x)λ α (t). Sada je uslov (2.5) identiqan uslovu P h ij(x) = ψ i (x)δ h j + ψ j (x)δ h i, (2.6) gde je δ h i - Kronekerov simbol, a ψ i neki kovarijantan vektor. Uslov (2.6) treba imati identiqan karakter u odnosu na x, x 2,..., x n. Lako je videti da ti uslovi nisu samo potrebni, no i dovoljni da bi preslikavanje f bilo geodezijsko. Zaista, ako su oni ispunjeni, to je (2.5) ispunjeno identiqno u pogledu x, x 2,..., x n i λ, λ 2,..., λ n. Zato je bilo koje rexenje jednaqine (2.3) ujedno i rexenje jednaqine (2.4). Dakle, proizvoljna geodezijska linija L prostora A n e biti geodezijska linija prostora Ā n, tj. preslikavanje prostora A n na prostor Ān, zasnovano na principu jednakosti koordinata odgovaraju ih taqaka, je geodezijsko. Stoga, vaжi slede a teorema.

25 2.. Osnovne teoreme geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora 25 Teorema 2... Da bi preslikavanje f prostora afine koneksije A n u prostor afine koneksije Ān bilo geodezijsko, potrebno i dovoljno je da tenzor deformacije koneksije Pij h preslikavanja f bude oblika (2.6). Uslov (2.6) ima tenzorski karakter, xto znaqi da je invarijantan u pogledu izbora opxteg preslikavanja f u odnosu na sistem koordinata x, x 2,..., x n. Na osnovu tog uslova, jednakost (2.) moжemo predstaviti u obliku Γ h ij(x) = Γ h ij(x) + ψ i (x)δ h j + ψ j (x)δ h i. (2.7) Iz (2.7) neposredno sledi da je preslikavanje f, inverzno geodezijskom preslikavanju f prostora A n u prostor Ān, geodezijsko preslikavanje, pri qemu ono odgovara vektoru ψ i. Ako f predstavlja geodezijsko preslikavanje prostora Ān u prostor Ãn, koje odgovara vektoru ψ i, to, kao u (2.7), imamo Γ h ij(x) = Γ h ij(x) + ψ i (x)δ h j + ψ j (x)δ h i, gde je Γ h ij objekt koneksije Ãn. Iz (2.7) imamo Γ h ij(x) = Γ h ij(x) + ( ψ i (x) + ψ i (x) ) δ h j + ( ψ j (x) + ψ j (x) ) δ h i. Preslikavanje f koje je kompozicija geodezijskih preslikavanja f i f, predstavlja geodezijsko preslikavanje prostora A n u prostor Ãn i odgovara vektoru ψ i = ψ i + ψ i. Za skup svih geodezijskih preslikavanja vaжi da ako se dva prostora afine koneksije A () n i A (2) n preslikavaju u neki tre i prostor A (3) n onda postoji geodezijsko preslikavanje iz jednog u drugi. Drugim reqima, skup svih prostora afine koneksije Ān koji se mogu geodezijski slikati u dati prostor A n, koji je zatvoren u odnosu na geodezijska preslikavanja nazivamo geodezijskom klasom prostora A n. Tako, dva prostora koja se mogu geodezijski slikati jedan na drugi odgovaraju jednoj geodezijskoj klasi. Kada je prostor dat u odnosu na neki sistem koordinata x, x 2,..., x n svojim objektom koneksije Γ h ij(x), na osnovu teoreme 2... i prema formuli (2.7) pri proizvoljnom, konkretnom, izboru vektora ψ i (x), dobijamo objekt koneksije nekog prostora Ān, koji se moжe geodezijski preslikati na prostor A n. Ako je u (2.7) vektor ψ i (x) proizvoljan, ta formula nam daje objekte koneksije svih prostora Ān, koji se mogu geodezijski preslikati na prostor A n, tj. na geodezijsku klasu tog prostora. Posebno, vidimo da bilo koji prostor A n dopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavanje. Prostor afine koneksije Ān nazivamo projektivna ravan ako se on moжe geodezijski preslikati na ravan prostora A n. koordinatama, iz (2.7) dobijamo Γ h ij(y) = ψ i (y)δ h j + ψ j (y)δ h i. U sluqaju ravnog prostora A n, afinim U ovom obliku predstavljamo objekt koneksije proizvoljne projektivne ravni prostora Ān u specijalnom sistemu koordinata. Ovo je potrebno i dovoljno da bi prostor

26 26 2. Geodezijska preslikavanja Rimanovih prostora Ā n bio projektivna ravan, međutim, on nije invarijantan u odnosu na izbor sistema koordinata. U (2.) i (2.7) geometrijski objekti Γ h ij(x) i Γ h ij(x) su Kristofelovi simboli drugog reda, dobijeni iz metriqkih tenzora g ij (x) i ḡ ij (x) Rimanovih prostora V n i V n. Za tenzor ḡ ij vaжi: Koriste i (2.7), dobijamo: ḡ ij (x) x k Γ α ki(x)ḡ αj (x) Γ α kj(x)ḡ αi (x) 0. ḡ ij,k (x) = 2ψ k (x)ḡ ij (x) + ψ i (x)ḡ kj (x) + ψ j (x)ḡ ki (x), (2.8) gde, (zarez) oznaqava kovarijantnu diferencijabilnost u V n. Lako je videti, da u sluqaju simetriqnog nesingularnog tenzora ḡ ij (x) iz (2.8) sledi (2.7), u kome su Γ h ij(x) Kristofelovi simboli druge vrste, dobijeni iz tenzora ḡ ij. Tada, za Rimanov prostor vaжi slede a teorema. Teorema Preslikavanje Rimanovog prostora V n na Rimanov prostor V n je geodezijsko ako i samo ako postoji veza (2.7) između njihovih Kristofelovih simbola drugog reda ili, ekvivalentno tome, ako metriqki tenzor ḡ ij prostora V n u prostor V n zadovoljava uslov (2.8). Stoga, (2.7) i (2.8) nazivamo osnovnim jednakostima teorije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora. One nose naziv Levi-Qivita, koji ih je prvi otkrio. Treba naglasiti, da jednakosti (2.7) i (2.8) imaju tenzorski karakter, xto znaqi da su invarijantne u odnosu na izbor osnovnog sistema koordinata. Kontrakovanjem po h, j u (2.7), dobijamo U svakom Rimanovom prostoru V n vaжi: Γ α iα(x) = Γ α iα(x) + (n + )ψ i (x). (2.9) Γ α iα(x) = 2 iln g, gde je g = det g ij. U sluqaju geodezijskog preslikavanja Rimanovih prostora, iz (2.9) sledi da je 2(n + )ψ i = i ln ḡ g. (2.0) Kako koliqnik ḡ g predstavlja invarijantu, iz (2.0) sledi da je vektor ψ i gradijentan. Ako geodezijsko preslikavanje iz Rimanovog prostora V n u Rimanov prostor V n odgovara vektoru ψ i, to emo oznaqavati na slede i naqin: γ : V n ψ i Vn. Kao i u sluqaju prostora afine koneksije, i za Rimanove prostore kaжemo da pripadaju istoj geodezijskoj klasi ako postoji geodezijsko preslikavanje iz jednog u drugi.

27 2.2. Invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavanja Invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavanja Pretpostavimo da prostor afine koneksije A n dopuxta geodezijsko preslikavanje u prostor Ān. Tada, u zajedniqkom po preslikavanju koordinatnom sistemu između komponenata koneksije vaжi relacija (2.7). Iz njih proizilazi jednakost (2.9). Ako iz (2.9) izrazimo vektor ψ i i zamenimo ga u (2.7), dobi emo T h ij(x) = T h ij(x), (2.) gde je T ij(x) h = Γ h ij(x) ( δ h n + i Γ α jα(x) + δj h Γ α iα(x) ) (2.2) i sliqno tome definixemo T ij h u Ān. Veliqinu Tij h nazivamo projektivni parametar Tomasa ili objekat projektivne koneksije prostora A n, koji odgovara njegovom objektu afine koneksije Γ. Uslov (2.) govori i o tome da je projektivni parametar Tomasa invarijantno geometrijsko preslikavanje. Istovremeno, iz (2.) na osnovu (2.2) i odgovaraju ih odnosa u Ān sledi (2.7), ako je vektor ψ i određen iz (2.9). Stoga, invarijantnost projektivnih parametara Tomasa za preslikavanje iz prostora A n u prostor Ān je potreban i dovoljan uslov da bi to preslikavanje bilo geometrijsko. Dok projektivni parametri Tomasa pri proizvoljnom sistemu koordinata x, x 2,..., x n definixemo kroz objekt koneksije Γ po formuli (2.2), u rezultatu transformacije koordinata (.) i (.3) parametri se menjaju po određenom pravilu, indukovanom pravilom transformacije (.3) objekta koneksije. Ta formula je oblika: T α ij (x ) xh x = T h α αβ(x) xα x β x i x + ( ln x h j n + x i x + ln ) x h + 2 x h j x j x i x i x, j gde je = det xi x j. Zato je uslov invarijantnosti projektivnih parametara Tomasa pri preslikavanju prostora A n na Ān, kada su oni dodeljeni nezavisno izabranom sistemu koordinata x, x 2,..., x n i x, x 2,..., x n, oblika T ij(x) α xh x = T αβ(x) h xα x β α x i x + j + ( ln x h n + x i. gde je = det xi x Kao rezultat dobijamo j x + ln j x j ) x h + 2 x h (2.3) x i x i x, j Teorema Prostor afine koneksije A n sa objektom koneksije Γ h ij(x) u sistemu koordinata x, x 2,..., x n dopuxta geodezijsko preslikavanje na prostor Ān sa objektom koneksije Γ h ij(x) u sistemu koordinata x, x 2,..., x n ako i samo ako postoje funkcije klase C r, koje zadovoljavaju uslov (2.3).

28 28 2. Geodezijska preslikavanja Rimanovih prostora U principu, ova teorema nam daje mogu nost da za proizvoljna dva prostora afine koneksije A n i Ān saznamo da li oni mogu da se slikaju geodezijski jedan u drugi ili ne. Teorema vaжi i za Rimanove prostore. Neka je P h ij(x) tenzor deformacije koneksije prostora A n pri preslikavanju f na prostor Ān. To znaqi da preslikavanje sistema koordinata između objekta koneksije A n i Ān zavisi od (2.). Kako smo tenzor R h ijk Rimanovog prostora Ān izrazili preko njegovog objekta koneksije po formuli (.42), tj. R ḥ ijk(x) = j Γh ik (x) + Γ α ik(x) Γ h αj(x) k Γh ij (x) Γ α ij(x) Γ h αk(x), to na osnovu (2.) dobijamo R ḥ ijk(x) = R ḥ ijk(x) + P h ik.j(x) P h ij.k(x) + P α ik(x)p h αj(x) P α ij(x)p h αk(x), (2.4) pri qemu se kovarijantan izvod uzima u prostoru A n (R ḥ ijk Rimanov tenzor u A n ). Uzimaju i u obzir uslov (2.6) tenzora deformacije koneksije pri preslikavanju ψ i γ : A n Ā n, proizilazi slede a zavisnost između tenzora Rimanovih prostora A n i Ān R ḥ ijk = R ḥ ijk + δi h (ψ kj ψ jk ) + δkψ h ij δj h ψ ik, (2.5) gde je Kontrakovanjem (2.5) po h i k dobijamo: ψ ij = ψ i,j ψ i ψ j. (2.6) R ij = R ij + ψ [ij] + (n ) ψ ij. (2.7) Ovde su R ij i R ij tenzori Riqija prostora A n i Ān, a [ij] oznaqava alternaciju (bez raspodele). Alternacijom (2.7) po i i j dobijamo da je Prema tome, (2.7) nam daje (n + ) ψ [ij] = R [ij] R [ij]. (2.8) (n + ) (n ) ψ ij = ( n R ij + R ji ) (nrij + R ji ). Nakon zamene svih ovih izraza, na kraju tenzor ψ ij (n>) iz (2.5) predstavljamo u obliku W ḥ ijk(x) = W ḥ ijk(x), (2.9) gde je W ḥ ijk = R ḥ ijk + n + δh i R [jk] [ ] (2.20) (nrij + R n 2 ji ) δk h (nr ik + R ki ) δj h. Analogno u Ān određujemo W.ijk h. Oqigledno, W (.ijk h predstavlja tenzor tipa 3) u prostoru A n. Njega nazivamo tenzor Vejla ili tenzor projektivne krivine prostora A n. Jednakost (2.9) pokazuje da je tenzor projektivne krivine invarijanta geodezijskog preslikavanja. Time smo dokazali slede u teoremu.

29 2.2. Invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavanja 29 Teorema Projektivni parametri Tomasa (2.2) i tenzor Vejla (2.20) su invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavanja prostora afine koneksije. Ako su prostori A n i Ān ekviafini onda su njihovi tenzori Riqija R ij i R ij simetriqni. Tada iz (2.8) sledi da je ψ ij ψ ji ili, na osnovu (2.6), ψ i,j ψ j,i. Ovo oznaqava gradijentnost vektora ψ i. U tom sluqaju je (2.7) oblika: R ij = R ij + (n ) ψ ij. (2.2) U ekviafinom prostoru A n formula (2.20) za komponente tenzora Vejla je u prostijem obliku predsavljena sa: W ḥ ijk = R ḥ ijk ( ) Rij δk h R ik δj h n (2.22) Razmotrimo sluqaj geodezijskog preslikavanja prostora A n na ravan prostor Ān. Tada je prostor A n projektivno ravan. Kako je za Ān tenzor Rimana R ḥ ijk identiqki jednak nuli, tenzor Riqija R ij takođe jednak nuli, to iz formule (2.20) proizilazi da je W ḥ ijk 0. Tada je na osnovu (2.9) u prostoru A n tenzor Vejla takođe identiqki jednak nuli W ḥ ijk(x) 0. (2.23) Uslov (2.23) je potreban da bi A n bio projektivno ravan, a za n>2 je i dovoljan. Pre nego xto dokaжemo, prodiskutujmo ono xto je korisno za dokazivanje (2.23). Prvo (2.23) u saglasnosti sa (2.20) moжemo ekvivalentno zapisati u obliku R ḥ ijk = n + δh i R [jk] ( ) δ h n 2 k p ij δj h p ik, (2.24) pri qemu smo koristili kra i zapis p ij = nr ij + R ji. (2.25) Iz (2.24), na osnovu Bjankijevog identiteta (.48) sledi: (n ) δ h i ( R[jk],l + R [kl],j + R [lj],k ) + δ h k p ij,l + δ h l p ik,j + δ h j p il,k δ h j p ik,l δ h kp il,j δ h l p ij,k = 0. Kontrakovanjem ovde po h i l dobijamo (n ) ( R [jk],i + R [ki],j + R [ij],k ) + (n 2) (pik,j p ij,k ) = 0. Cikliranjem ovih relacija po i, j, k, na osnovu (2.25) dolazimo do uslova R [ij],k + R [jk],i + R [ki],j = 0.