Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V

Транскрипт

1 Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica Velimirovi Student: Vladislava Stankovi Nix, 2015.

2

3 PREDGOVOR Diferencijalna geometrija ima veliku primenu u fizici, naroqito u teoriji relativnosti. Tvorac moderne teorije relativnosti je Albert Ajnxtajn. Ajnxtajn je rođen godine u Ulmu, bio je teorijski fiziqar, jedan od najve ih umova i najznaqajnijih liqnosti u svetskoj istoriji. Predmet njegovih istraжivanja su bile kapilarne sile, Specijalna i Opxta teorija relativnosti, kosmologija, Braunovo kretanje, termodinamika svetlosti pri maloj gustini zraqenja, fotoelektriqni efekat, Voltin efekat itd. Iako je bio najpoznatiji po teoriji relativnosti, godine je dobio Nobelovu nagradu za objaxnjenje fotoelektriqnog efekta kao i za doprinos razvoju teorijske fizike. Umro je godine u Prinstonu. Ovaj master rad je nastao iz жelje da se znanja iz diferencijalne geometrije sagledaju i iz ugla matematici srodne nauke - fizike. Sam rad ima tri dela, sa velikim brojem definicija i teorema koje su bile neophodne za bolje razumevanje osnovnih pojmova diferencijalne geometrije na kojima je izgrađena teorija relativnosti. U prvom delu se nalaze osnovne definicije i teoreme tenzorske algebre. Istaknimo pojam pseudoeuklidskog prostora, qiji je specijalan sluqaj prostor Minkovskog, i algebarske operacije sa tenzorima. Drugi deo rada je posve en tenzorskoj analizi i Rimanovim prostorima. Uvodimo pojam kovarijantnog i kontravarijantnog metriqkog tenzora, definixemo Kristofelove simbole, kovarijantni izvod tenzora, geodezijske linije, kao i Riqijev i Ajnxtajnov tenzor. Tre i deo je centralni deo ovog rada i obuhvata osnovne pojmove teorije relativnosti. Posebnu paжnju posve ujemo izvođenju Ajnxtajnovih jednaqina polja. Zahvaljujem se svom mentoru, prof. dr Ljubici Velimirovi na podrxci i pomo i pri izradi master rada.

4

5 SADRЖAJ 1 Uvod u tenzorsku algebru Sistemi veliqina i operacije sa njima Pseudoeuklidski i euklidski prostor Pseudoeuklidski prostor Euklidski prostor Transformacija promenljivih. Invarijante i tenzori I reda Skalarne invarijante Kontravarijantni tenzori I reda Kovarijantni tenzori I reda Tenzori vixeg reda Algebarske operacije sa tenzorima Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Definicija Rimanovog prostora Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor Dizanje i spuxtanje indeksa Pridruжeni vektori u Rimanovom prostoru. Fiziqke koordinate vektora Pridruжeni vektori u euklidskom prostoru Dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog reda Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru Definicija i osnovne osobine Kristofelovih simbola Transformacija Kristofelovih simbola Kovarijantni izvod tenzora Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora Osobine kovarijantnog izvoda Gradijent. Diferencijalni operatori I reda Divergencija vektora i tenzora Rotor Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan

6 6 SADRЖAJ 2.7 Izvod u pravcu, apsolutni izvod i apsolutni diferencijal Paralelno pomeranje i geodezijske linije Paralelno pomeranje vektora u E N Paralelno pomeranje tenzora u R N Geodezijske linije u R N Geodezijske linije na povrxi u E Riqijev identitet i tenzor krivine u R N Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine Kovarijantni tenzor krivine Riqijev tenzor Specijalni koordinatni sistemi u R N i njihova primena Geodezijske koordinate u R N Rimanove koordinate u R N Drugi Bjankijev identitet, invarijanta krivine i Ajnxtajnov tenzor Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti Ajnxtajnovi postulati Dilatacija vremena Grafici u prostor-vremenu Prostor-vreme i Ajnxtajnove jednaqine polja

7 Deo 1 Uvod u tenzorsku algebru 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa njima U Dekartovom koordinatnom sistemu taqka i vektor su određeni svojim koordinatama, pa se, na primer u trodimenzionom euklidskom prostoru E 3 taqka izraжava sa tri koordinate x, y, z i pixe se M(x, y, z). Drugi primer su elementi determinante tre eg reda, koje obiqno obeleжavamo sa dva indeksa, a ij, gde prvi indeks oznaqava redni broj vrste, a drugi redni broj kolone. Qesto se, takođe, redni broj vrste oznaqava gornjim indeksom, a redni broj kolone donjim, pa pixemo a i j (i, j = 1, 2, 3). Matrice sa navedenim elementima emo oznaqavati, npr. (a ij ) odnosno (a i j), a determinante det(a ij ), det(a i j). Takođe je poznat primer beskonaqnih nizova a 1, a 2,..., odnosno a i (i = 1, 2,...). Ovakav, uređen skup brojeva ili funkcija zva emo sistem. Indeksi se, u zavisnosti od potrebe, mogu pisati kao donji ili kao gornji i uzimati vrednosti 1, 2,..., N, gde je N neki konaqan ili beskonaqan broj. Mi emo, ako nije drugaqije naglaxeno, smatrati da je N konaqan prirodan broj. Pri upotrebi gornjih indeksa stepenovanje emo oznaqavati zagradom, npr. (a) 3 = a a a, dok je a 3 tre i element sistema a i. Neki određeni, npr. M-ti element sistema a i oznaqavamo velikim slovom M, tj. a M. Indeks koji moжe uzimati razne vrednosti zovemo promenljivi (teku i), a neki određeni je fiksirani indeks. Na primer, u a i j indeksi i, j su teku i, a u a 1 j indeks 1 je fiksiran. Kod sistema razlikujemo red i tip sistema. Na primer: a i je sistem I reda, tipa (1, 0); a i je sistem I reda, tipa (0, 1); a ij je sistem II reda, tipa (2, 0); a ij k je sistem III reda, tipa (2, 1). Sistemi I i II reda mogu da se napixu u vidu matrice. Za veliqinu bez indeksa, npr. a, kaжemo da je sistem reda 0. Ako se pri razmeni mesta neka dva indeksa, vrednost elemenata sistema ne menja, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je simetriqan po tom paru indeksa, 7

8 8 1. Uvod u tenzorsku algebru a ako se menja samo znak, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je antisimetriqan (kososimetriqan) po tom paru. Moжe se govoriti samo o simetriji ili antisimetriji po paru indeksa istog tipa, tj. ako su oba indeksa gornji ili oba donji. Upotreba donjih i gornjih indeksa je naroqito korisna ako se primenjuje Ajnxtajnova konvencija za sabiranje, koja glasi: Ako se jedan indeks u nekom qlanu (sabirku) javlja istovremeno kao donji i kao gornji, po tom indeksu se podrazumeva sabiranje i bez znaka Σ. Takav indeks se zove nemi indeks i on se moжe zameniti i drugim slovom. Na primer, a i i = N a i i = a a N N = a s s. i=1 Ako koordinate taqke u E 3 obeleжimo sa x 1, x 2, x 3, jednaqina ravni se moжe napisati u obliku a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + d = 0 tj. a i x i + d = 0 (i = 1, 2, 3), a bilinearna forma a 11 x 1 y 1 +a 12 x 1 y 2 +a 21 x 2 y 1 +a 22 x 2 y 2 u obliku a ij x i y j (i, j = 1, 2). Promenljivi indeks, koji nije nemi, zove se slobodan indeks. Broj elemenata nekog sistema se određuje na osnovu slobodnih indeksa. Na primer, pretpostavimo da indeksi uzimaju vrednosti 1, 2, 3. Tada je u sistemu a ij jk broj elemenata 3 2, jer su 2 indeksa slobodna. To su elementi b i k = a i1 1k + a i2 2k + a i3 3k (i, k = 1, 2, 3), koji se dobijaju za (i, k) {(1, 1), (1, 2), (1, 3); (2, 1), (2, 2), (2, 3); (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Dva sistema istoga tipa su jednaka, ako su im odgovaraju i elementi jednaki (to su elementi koji imaju iste i sa istim rasporedom i poloжajem indekse). Na primer, za i, j = 1, 2 vaжi a i j = b i j (a 1 1 = b 1 1 a 1 2 = b 1 2 a 2 1 = b 2 1 a 2 2 = b 2 2). Zbir dva sistema istog tipa je sistem tog istog tipa, sa elementima koji su zbirovi odgovaraju ih elemenata sistema sabiraka. Na primer, c ij k = aij k + bij k. Sistem pomnoжen brojem (funkcijom) je sistem, qiji su svi elementi pomnoжeni tim brojem (funkcijom). Odavde, na osnovu definicije zbira, za razliku vaжi: a ij k bij k = aij k + ( 1)bij k = dij k. (Spoljni) proizvod dva sistema je sistem qiji su elementi dobijeni tako xto se svaki element jednog sistema pomnoжi svim elementima drugog sistema. Na primer, c ijl k = aij b l k.

9 1.1. Sistemi veliqina i operacije sa njima 9 Vidimo da je u ovom sluqaju proizvod sistema a ij tipa (2, 0) i sistema b l k tipa (1, 1) sistem c ijl k tipa (3, 1). Uopxte, lako se zakljuquje da je proizvod sistema tipa (a, b) i sistema tipa (c, d) sistem tipa (a + c, b + d). Kontrakcija (saжimanje) je operacija koja se sastoji u tome da se u sistemu dva indeksa, od kojih je jedan gornji, a drugi donji, obeleжe istim slovom i po njima se podrazumeva sabiranje, jer se time dobija nemi indeks. Ako se izvrxi kontrakcija po jednom paru slobodnih indeksa, tj. dobija se nemi indeks, time se red sistema smanjuje za dva, a od sistema tipa (p, q) dobija se sistem tipa (p 1, q 1). Na primer, sistem a ijk lm je tipa (3, 2), dok je aijk im tipa (2, 1), a sistem a ijk ik je tipa (1, 0), tj. tip sistema određuje broj i raspored slobodnih indeksa. Pri kontrakciji se ponovljeni indeks moжe oznaqiti bilo kojim slovom, ali ako imamo dva para ponovljenih indeksa, slovo upotrebljeno za jedan par, mora se razlikovati od slova za drugi par. Na primer, a ijk ijl = a jik jil = a pjk pjl itd. Da bismo oznaqili neki opxti qlan u kome su jednaki jedan gornji i jedan donji indeks, npr. a 1j 1, a 2j 2, a 3j 3 ne moжemo pisati aiji, jer je aiji = a 1j 1 + a 2j 2 + a 3j 3, ve se tu obiqno upotrebljava veliko slovo, tj. u naxem primeru pixemo a P j P za P = 1, 2, 3. Kompozicija (unutraxnje mnoжenje) dva sistema je operacija koja se sastoji iz mnoжenja i kontrakcije po paru indeksa, od kojih se donji nalazi u jednom qiniocu, a gornji u drugom. Na primer, a ip b j p = a i1 b j a in b j N = cij, tj. dobija se sistem tipa (2, 0). Kronekerovi simboli su δ i j, δ ij, δ ij, i imaju vrednost 1 kada je i = j = K, gde je K prirodan broj, a vrednost 0 za i j tj. δ i j = δ ij = δ ij = { 1, za i = j = K 0, za i j. (1.1) Naglasimo da je vrednost 1 kada je K fiksirano, jer za nefiksirano i = j imamo, kada se indeksi menjaju od 1 do N imamo δ i i = δ δ N N = = N, (1.2) dok je δ K K = 1. Kronekerovi simboli imaju primenu u mnogim sluqajevima. Na primer, ako imamo N nezavisno promenljivih x i (i = 1,..., N), onda je jer je xp x = 1, x P = 0 P za P Q. xq x i x j = δi j, (1.3)

10 10 1. Uvod u tenzorsku algebru x i Ako nezavisno promenljive x i zavise od drugih promenljivih (i = 1,..., N ), tj. x i = x i (x 1,..., x N ), imamo pri qemu je i nemi indeks. x i x i x i x j = xi x j = δi j, (1.4) Primetimo da se u xi x i gornji indeks i ispod razlomaqke crte posmatra kao donji indeks. Umesto x i za druge promenljive moжemo pisati, npr. x i ili y i, pa bismo umesto (1.4) imali tj. Kronekerov simbol δ i j x i x p x p x j = δi j, odnosno xi y p y p x j = δi j. se zove i supstitucioni faktor, jer je: δ i pa p = δ i 1a 1 + δ i 2a δ i N = a i, δ i pa p = a i. (1.5) Na ovaj naqin iz a p dobijamo a i, odn. izvrxena je supstitucija indeksa. 1.2 Pseudoeuklidski i euklidski prostor Pseudoeuklidski prostor Definicija Afini N-dimenzioni prostor A N nad poljem K je skup elemenata dveju vrsta, taqaka i vektora, koji zadovoljavaju slede e aksiome: 1. Skup svih vektora iz A N je N -dimenzioni vektorski prostor nad poljem K. 2. Svaki uređeni par taqaka (A, B) određuje jedinstveni vektor v = AB. 3. Za proizvoljnu taqku A i proizvoljan vektor v postoji jedinstvena taqka B takva da je v = AB. 4. Ako je u = AB, v = CD, tada je u + v = AC. Na osnovu aksioma afinog prostora, dolazimo do direktnih posledica. Navedimo neke od njih. 1. Ako je AB = CD = v, onda je B C. 2. Za svaku taqku A afinog prostora je AA = BA = AB 4. Proizvoljno zadati vektor v indukuje potpuno određenu translaciju taqaka afinog prostora. Slede om definicijom uvodimo pojam koordinatnog sistema i koordinata u afinom prostoru A N.

11 1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 11 Definicija Koordinatni sistem u afinom prostoru A N se sastoji iz: 1. neke taqke O A N tj. koordinatnog poqetka, 2. baze e 1,..., e N pridruжenog vektorskog prostora X N. Koordinate vektora v u tom koordinatnom sistemu su koordinate tog vektora u bazi e 1,..., e N. One ne zavise od izbora koordinatnog poqetka O. Koordinate taqke M afinog prostora su koordinate vektora OM. U oba sluqaja je req o afinim koordinatama vektora, odn. taqke u afinom koordinatnom sistemu, a baza e 1,..., e N je afina baza. Da bi afini prostor bio metriqki prostor, definixe se pojam skalarnog proizvoda u pridruжenom vektorskom prostoru. Definicija Skalarni proizvod u vektorskom prostoru X N je proizvoljna realna funkcija, koja elementima x i y skupa X N pridruжuje broj x y skupa R pri qemu za proizvoljne elemente x, y, z iz X N i λ iz R vaжe aksiome skalarnog proizvoda: 1. x (y + z) = x y + y z, 2. λ(x y) = (λx) y = x (λy), 3. x y = y x, 4. Ako je x y = 0 za svako y iz X N, tada je x = 0. Definicija Vektorski (linearni) prostor u kome je definisan skalarni proizvod zove se pseudoeuklidski vektorski (linearni) prostor. Definicija Afini prostor A N pseudoeuklidski prostor. snabdeven skalarnim proizvodom zove se Definicija U pseudoeuklidskom prostoru duжina (intenzitet, norma) vektora x, u oznaci x ili x, je a ugao φ između nenula vektora x i y je dat sa x = x x, (1.6) cos φ = x y x y. (1.7) Za vektore x i y kaжemo da su uzajamno normalni (ortogonalni), ako je x y = 0. Skalarni proizvod je skalarna funkcija dva vektorska argumenta, pa moжemo pisati g(x, y) = x y R. (1.8)

12 12 1. Uvod u tenzorsku algebru Iz osobina skalarnog proizvoda sledi da je funkcija g: 1. simetriqna, jer je g(x, y) = g(y, x), 2. bilinearna (linearna po oba argumenta) g(x, λy 1 + µy 2 ) = λg(x, y 1 ) + µg(x, y 2 ), g(λx 1 + µx 2, y) = λg(x 1, y) + µg(x 2, y). Pretpostavimo da vektori e 1,..., e N qine afinu bazu prostora X N i neka je Tada za vektore x = x i e i, y = y j e j imamo e i e j = g(e i, e j ) = g ij. (1.9) x y = g(x i e i, y j e j ) = x i y j g(e i, e j ) = g ij x i y j, (1.10) tj. bilinearnu formu u koordinatama. Prema (1.6) i (1.10), za x = y, kvadratna forma posmatranog prostora je x 2 = x x = g ij x i x j. (1.11) Sada emo uvesti standardni koordinatni sistem u pseudoeuklidski prostor. Definicija Vektori e 1,..., e N qine ortonormiranu bazu u pseudoeuklidskom prostoru, ako je e i e j = g ij = 0, za i j, 1, za i = j {1,..., K}, K < N, 1, za i = j {K + 1,..., N}, (1.12) a koordinatni sistem sa takvom bazom je Dekartov pravougli koordinatni sistem. U sluqaju ovakve baze imamo x y = x 1 y 1 x K y K + x K+1 y K x N y N, (1.13) x 2 = (x 1 ) 2 (x K ) 2 + (x K+1 ) (x N ) 2. (1.14) Uzimaju i ispred korena znak +, prema (1.6) i (1.12), imamo { 1 = i, za j = 1,, K, e j = (1.15) 1 = 1, za j = K + 1,..., N. Kao xto je poznato broj qlanova sa znakom ili + u (1.14), tj. broj imaginarnih ili realnih jediniqnih vektora u (1.15) ne zavisi od izbora ortonormirane baze.

13 1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 13 Definicija Broj K negativnih qlanova u (1.14) zove se negativni indeks, a broj pozitivnih qlanova N K je pozitivni indeks. Takav pseudoeuklidski prostor emo obeleжavati EK N, a pridruжeni vektorski prostor EK N. Posebno vaжan sluqaj je E4 1, tj. sluqaj kada se kvadratna forma (1.14) svodi na x 2 = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 + (x 4 ) 2, a prostor E1 4 se zove prostor Minkovskog (H. Minkovski, , nemaqki matematiqar i fiziqar jevrejskog porekla). U prostoru EK N su, na osnovu (1.14), mogu i vektori qija je norma: a) realna, b) imaginarna, v) nula, iako to nisu nula-vektori. Definicija Vektor prostora EK N vektor. qija je norma 0, zove se izotropni Definicija Rastojanje između dveju taqaka A(x 1,..., x N ) i B(y 1,..., y N ) u prostoru EK N dato je sa AB = [ (y 1 x 1 ) 2... (y K x K ) 2 +(y K+1 x K+1 ) (y N x N ) 2 ] 1/2. (1.16) Euklidski prostor Dodavanjem aksiome nenegativnosti definiciji pseudoeuklidskog prostora EK N dobijamo Euklidski prostor, koji emo oznaqavati sa EN, a njemu pridruжeni vektorski prostor sa E N. Aksioma nenegativnosti: Za svaki element x vektorskog prostora vaжi x 2 0. Prema aksiomi nenegativnosti, iz (1.14) sledi da je K = 0, tj. E N = E0 N. Kako je E N specijalni sluqaj prostora EK N, to sve dokazano za EN K vaжi i u E N. Tako iz (1.12), (1.13), (1.14), (1.15), (1.16) dobijamo redom: e i e j = δ ij = { 0, za i j, 1, za i = j. (1.17) x y = x 1 y x N y N = N x i y i. (1.18) i=1

14 14 1. Uvod u tenzorsku algebru x 2 = (x 1 ) (x N ) 2 = N (x i ) 2 (1.19) e j = 1 za j = 1,..., N. (1.20) AB = (y 1 x 1 ) (y N x N ) 2. (1.21) Iz aksiome nenegativnosti sledi i da u pridruжenom vektorskom prostoru E N nema izotropnih vektora. Teorema (Koxi-Xvarc-Bunjakovski) Za sve x, y iz E N vaжi nejednakost (x y) 2 (x) 2 (y) 2, (1.22) ili u koordinatama (x 1 y x N y N ) 2 [(x 1 ) (x N ) 2 ] [(y 1 ) (y N ) 2 ]. (1.23) Posledica Za sve elemente x, y pridruжenog vektorskog prostora E N vaжi x y x y. (1.24) Teorema Za proizvoljne x, y iz prostora E N vaжi i=1 x + y x + y. (1.25) Posledica Taqke A, B, C prostora E N zadovoljavaju nejednakost trougla: AC AB + BC. (1.26) Definicija Neka je S = {A, B, C,...} neprazan podskup prostora X N i d : S 2 R + {0} funkcija, takva da vaжi: 1. d(a, B) > 0 za A B i d(a, B) = 0 za A = B, 2. d(a, B) = d(b, A), 3. d(a, C) d(a, B) + d(b, C), tada je par (S, d) metriqki prostor, a funkcija d je metrika. Ako u euklidskom prostoru E N definixemo rastojanje između taqaka A i B na slede i naqin: d(a, B) = AB, (1.27) onda je, na osnovu prethodno izloжenog, E N metriqki prostor.

15 1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 15 Definicija Skup taqaka prostora E N, određen jednaqinom ili u skalarnom obliku, y = y(t), t (a, b) R (1.28) y i = y i (t), t (a, b) R, i = 1,..., N, (1.29) pod uslovom dy/dt 0, je kriva prostora E N. Tada je dy = dy i e i, pa za diferencijal luka ds imamo odakle zbog (1.17) vaжi (ds) 2 = (dy) 2 = (dy i e i )(dy j e j ) = (e i e j )dy i dy j, (ds) 2 = δ ij dy i dy j = (dy 1 ) (dy N ) 2. (1.30) Definicija Izraz na desnoj strani u (1.30) se zove I osnovna (diferencijalna) kvadratna forma prostora E N u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, a veliqine δ ij = e i e j su koeficijenti ove kvadratne forme u navedenom sistemu. Ako difeomorfizmom y i = y i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N (1.31) pređemo na nove nedekartove koordinate, gde su x i Dekartove koordinate prostora E N, imamo dy i = yi x p dxp, xto zamenom u (1.30) daje tj. pri qemu je (ds) 2 = δ ij y i yj dxp xp x q dxq, (ds) 2 = g pq dx p dx q, (1.32) y i y j g pq = δ ij x p x = N y k y k q x p x = g qp. (1.33) q Jednaqina (1.32) izraжava I kvadratnu formu Euklidskog prostora E N u krivolinijskim koordinatama x i, a g pq su koeficijenti ove forme, izraжeni preko veze (1.31) između Dekartovih i nedekartovih koordinata. Definicija Determinanta J = (y1,..., y N ) (x 1,..., x N ) = k=1 y 1 x y1 1 x N y N x yn 1 x N se zove Jakobijan transformacije koordinata (1.31).

16 16 1. Uvod u tenzorsku algebru 1.3 Transformacija promenljivih. Invarijante i tenzori I reda Skalarne invarijante Kako postoje veliqine koje se pri transformaciji koordinata ne menjaju, dok se druge menjaju, to kao osnovu za razlikovanje prirode sistema uzimamo njihovo ponaxanje pri transformaciji koordinata. Posmatrajmo, najpre, sistem reda 0, tj. skalare. Ako je, na primer, temperatura t u nekom delu prostora E 3 funkcija taqke, bi e u Dekartovim koordinatama y i data sa t = t(y 1, y 2, y 3 ). (1.34) Ako pređemo na druge koordinate, pri qemu su veze između Dekartovih y i i novih x i potpuno određene transformacijom y i = y i (x 1, x 2, x 3 ) = y i (x j ), i, j = 1, 2, 3, (1.35) vrednost temperature se ne menja, pa je t(y 1, y 2, y 3 ) = t[y 1 (x j ), y 2 (x j ), y 3 (x j )] = t(x 1, x 2, x 3 ), (1.36) gde oblik funkcija t i t moжe biti razliqit. Sada emo navesti definiciju veliqina sa ovom osobinom. Definicija Ako se vrednost funkcije φ(x 1,..., x N ) ne menja pri transformaciji koordinata i pri inverznoj transformaciji x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.37) x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.38) tj. ako je φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1,..., x N ), (1.39) za funkciju φ kaжemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0.

17 1.3. Transformacija promenljivih. Invarijante i tenzori I reda Kontravarijantni tenzori I reda Linearna transformacija promenljivih x i u promenljive x i je oblika x i = a i i x i + b i = a i 1 x a i Nx N + b i, (1.40) gde su a i i, bi konstante, i = 1,..., N. Specijalan sluqaj linearne transformacije je homogena linearna transformacija, dobijena za b i = 0, Ova jednaqina se moжe napisati u obliku x i = a i i x i, a i i = const. (1.41) x i = xi x i xi, x i x i = a i i. (1.42) Opxta transformacija koordinata (1.37) se ne moжe napisati u obliku (1.42), ali uvek je, bez obzira da li se radi o (1.41) ili (1.37), dx i = xi x i dxi, (1.43) s tim xto su za (1.41) xi x i konstante, a za (1.37) su funkcije od x i. Definicija Sistem I reda u i (x 1,..., x N ), qije se komponente u i pri prelasku na druge koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.37) transformixu po zakonu (1.43), tj. u i = xi x i ui (1.44) zove se kontravarijantni tenzor I reda ili kontravarijantni vektor. Dakle, primer kontravarijantnog vektora u odnosu na opxtu transformaciju koordinata (1.37) je sistem diferencijala tih koordinata, a sistem afinih koordinata je kontravarijantni vektor samo u odnosu na homogene linearne transformacije. Primer kontravarijantnog vektora je, takođe, vektor brzine pri kretanju materijalne taqke u prostoru E 3. U tom sluqaju, ako je jednaqina kretanja r = r(t) = (x i (t)), vektor brzine e biti v = dr dt = ( dx 1 dt, dx2 dt, dx3 dt ) = (v i (t)), gde su x i (t) Dekartove koordinate. Ako sa koordinata x i pređemo na koordinate x i, smenom x i = x i (x i ), bi e x i (t) = x i (x i (t)), pa v i (t) = dxi dt = xi dx i x i dt tj. v i (t) = xi x i v i (t).

18 18 1. Uvod u tenzorsku algebru Kovarijantni tenzori I reda Ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je Ako oznaqimo φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1 (x 1,..., x N ),..., x N (x 1,..., x N )). (1.45) φ x i = φ i, (1.46) bi e φ i = φ = φ x i = xi φ x i x i i. Dakle, pri opxtoj transformaciji x i x i promenljivih, sistem parcijalnih izvoda skalarne invarijante φ(x 1,..., x N ) (gradijent) se transformixe po zakonu φ i = xi x i φ i, (1.47) gde je φ i dato u (1.46). Motivisani ovim primerom, koji se razlikuje od transformacije za kontravarijantni vektor, dajemo opxtu definiciju: Definicija Sistem I reda v i (x 1,..., x N ) qije se komponente v i pri prelasku na nove koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.37), transformixu po zakonu v i = xi x i v i, (1.48) zove se kovarijantni tenzor I reda ili kovarijantni vektor. Dakle, gradijent je primer kovarijantnog vektora. 1.4 Tenzori vixeg reda Neka je dat sistem w ij = u i v j, (1.49) koji se dobija kao proizvod odgovaraju ih komponenata dva kontravarijantna vektora. Tada je w i j = xi xj ui xi x j vj = xi x j x i x j wij. Koriste i ovaj primer kao model, moжemo dati definiciju kontravarijantnog tenzora II reda.

19 1.4. Tenzori vixeg reda 19 Definicija Ako se neki sistem II reda w ij, koji u opxtem sluqaju ne mora biti proizvod dva sistema I reda, transformixe po zakonu onda je to kontravarijantni tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j wij, (1.50) Neka je sada dat sistem w ij = u i v j, (1.51) pri qemu su u i i v j komponente kovarijantnih vektora. Tada se posmatrani sistem transformixe na slede i naqin: w i j = u i v j = xi x j u i v j = xi x j w ij. x i x j x i x j Slede om definicijom uvodimo pojam kovarijantnog tenzora II reda. Definicija Sistem II reda w ij, koji se transformixe po zakonu zove se kovarijantni tenzor II reda. w i j = xi x j w ij, (1.52) x i x j Posmatrajmo sada sistem II reda w i j = u i v j. Pri promeni koordinata on se transformixe na slede i naqin: w i j = ui v j = xi x i x j x j u i v j = xi x i x j x j w i j. Analogno prethodnim razmatranjima uvodimo definiciju mexovitog tenzora II reda. Definicija Sistem II reda wj i, koji se transformixe po zakonu zove se mexoviti tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j w i j (1.53)

20 20 1. Uvod u tenzorsku algebru Kronekerov simbol δ i j je primer mexovitog tenzora II reda, jer je δ i j = xi x j = xi x i x i x j = xi x i x j x j δ i j. Jednaqina (1.53), koja daje komponente tenzora u koordinatama x i pomo u komponenata toga tenzora u koordinatama x i, moжe se napisati i u inverznom obliku. Zaista, ako u (1.53) izvrximo kompoziciju sa xp x j x i x q, dobijamo x p x j wj i x i x q = xp x i x i x i x j x j x j x q wi j = δ p i δj qw i j = w p q. Odavde, preoznaqavanjem odgovaraju ih indeksa, dobijamo w i j = x i i xj j wi j xto je traжeni inverzni zakon transformacije. Analogno, za vektore dobijamo, (1.54) u i = xi u i, v i = xi x i x v i i. (1.55) Nije sluqajno da li emo neke indekse pisati kao gornje ili donje, ve, osim xto nam to omogu uje primenu Ajnxtajnove konvencije o sabiranju, takođe izraжava prirodu sistema u vezi sa tim indeksom pri transformaciji koordinata. Radi konciznijeg izraжavanja, naroqito u vezi sa zakonom transformacije komponenata tenzora, ako su x i i x i koordinate, koje se transformixu jedne u druge, uvodimo oznake x i x i = x i i, x i = x i x i i, xi j = xi x = j δi j, 2 x i x j x k = xi jk, 2 x i x j x k = x i j k. x i x j = δ i j, (1.56) U tom sluqaju, zakone transformacije za kontravarijantni i kovarijantni tenzor I reda i tenzore II reda pixemo u obliku u i = x i i u i, v i = x i i v i, w i j = x i i x j j wij, w i j = xi i xj j w ij, w i j = xi i x j j w i j. Ovakav naqin je posebno koristan kada imamo ve i broj indeksa, xto emo primeniti u definiciji tenzora vixeg reda.

21 1.5. Algebarske operacije sa tenzorima 21 Definicija Sistem T i 1...i A j 1...j B je tenzor reda A + B, A puta kontravarijantan, B puta kovarijantan, ako pri prelasku sa koordinata x i na koordinate x i vaжi zakon transformacije T i 1...i A j 1...j B = x i 1 i1...x i A ia x j 1 j 1 Za posmatrani tenzor takođe kaжemo da je tenzor tipa (A, B)....x j B j T i 1...i A B j 1...j B. (1.57) Dakle, invarijanta je tenzor reda 0 tipa (0, 0), kontravarijantni vektor je tenzor I reda i tipa (1, 0), a kovarijantni vektor je tenzor I reda tipa (0, 1). Navedimo sada neke osobine tenzora. Simetrija u odnosu na indekse tenzora istog tipa se odrжava pri opxtoj transformaciji koordinata. Na primer, iz u ij = u ji sledi u i j = x i i x j j uij = x i i x j j uji = u j i. Antisimetrija u odnosu na indekse istog tipa se takođe odrжava pri opxtoj transformaciji koordinata. Na primer, u ij = u ji ako i samo ako je u i j = u j i. Simetrija ili antisimetrija po paru indeksa razliqitog tipa se u opxtem sluqaju ne odrжava pri transformaciji koordinata. Svaki tenzor moжemo da rastavimo na simetriqan i antisimetriqan tenzor istog tipa. Na primer, za tenzor A ij k bismo imali A ij k = 1 2 (Aij k + Aji k ) (Aij k Aji k ). Ako su komponente nekog tenzora jednake nuli u jednom koordinatnom sistemu, one su jednake nuli u svakom koordinatnom sistemu. Takav tenzor se zove nula - tenzor. Tenzori koji su jednaki nekom koordinatnom sistemu, jednaki su u svim koordinatnim sistemima. 1.5 Algebarske operacije sa tenzorima Sve xto smo dosad rekli za operacije sa sistemima uopxte vaжi i za tenzore. Teorema Zbir tenzora istog tipa je tenzor tog istog tipa.

22 22 1. Uvod u tenzorsku algebru Dokaz: Da ne bismo izlaganje komplikovali ispisivanjem mnogih indeksa, dokaza emo teoremu u konkretnom sluqaju, jer se i opxti sluqaj dokazuje na isti naqin. Neka su u ij k, vij k komponente tenzora. Tada su w ij k = uij k + vij k (1.58) takođe komponente tenzora, jer w i j k = u i j k + v i j k = x i i x j j xk k uij k + xi i x j j xk k vij k = xi i x j j xk k wij k. Teorema Ako je α skalar (relan broj ili funkcija) i u ij k i αu ij k tenzor istog tipa. tenzor, tada je Dokaz: Ako obeleжimo w ij k = αuij k, tada, zbog invarijantnosti skalara pri transformaciji koordinata, vaжi Posledica Ako je u ij k Definicija Tenzor u ij k w i j k = αu i j k = x i i x j j xk k (αuij k ) = xi i x j j xk k wij k. tenzor, tada je i uij k = ( 1)uij k tenzor. je suprotan tenzor za tenzor uij k. Teorema Skup tenzora istog tipa je linearnan (vektorski) prostor nad poljem realnih brojeva, pri qemu je unutraxnja operacija sabiranja tenzora, a spoljaxnja operacija mnoжenja tenzora skalarom. Teorema Proizvod tenzora tipa (A, B) i tenzora tipa (C, D) je tenzor tipa (A + C, B + D). Dokaz: Dokaz izvodimo u konkretnom sluqaju, dok se opxti sluqaj pokazuje analogno. Neka je, na primer, w ij k = ui v j k, tada imamo w i j k = u i v j k = x i i u i x j j xk k vj k = xi i x j j xk k wij k. Teorema Kontrakcijom tenzora po nekim indeksima dobija se tenzor po slobodnim indeksima.

23 1.5. Algebarske operacije sa tenzorima 23 Dokaz: Tvrđenje emo dokazati u konkretnom sluqaju, jer se dokaz u opxtem sluqaju izvodi analogno. Neka je, na primer, u ij kl tenzor. Dokaza emo da je tenzor tipa (1, 1). Kako je u ij ki to za l = i dobijamo u i j k l = x i i x j j xk k xl l uij kl, gde smo koristili x i i x l i = δl i. u i j k i = x i i x j j xk k xl i uij kl = δl ix j j xk k uij kl = xj j xk k uij ki, Kontrakcijom tenzora po jednom paru indeksa se red tenzora sniжava za 2, pa se, kada je isti broj gornjih i donjih indeksa, ako imamo kontrakciju po parovima indeksa, moжe dobiti skalarna invarijanta. Kompozicijom dva tenzora po nekim indeksima, dobija se tenzor po slobodnim indeksima, a kompozicijom po svim indeksima, u sluqaju kada je to mogu e, dobija se skalarna invarijanta. Slede a teorema odgovara na pitanje: Kako izvesti zakljuqak o tenzorskom karakteru jednog qinioca u kompoziciji, kada se zna tip i tenzorski karakter drugog qinioca i proizvoda? Teorema (Zakon koliqnika) Ako je u neki sistem, v... proizvoljan tenzor poznatog tipa, pa se kompozicijom u i v... dobije tenzor w... poznatog tipa, onda je u tenzor, qiji su indeksi oni koji se pojavljuju samo kod jednog od tenzora v i w......, pri qemu je kod u... karakter odgovaraju ih indeksa isti kao kod, a suprotan nego kod v... w Dokaz. Posmatra emo primer, koji je dovoljno opxt, da bi se izveo zakljuqak o taqnosti teoreme. U opxtem sluqaju se dokaz izvodi analogno. Neka su vil k(xp ), w j l (xp ) tenzori i u......vil k(xp ) = w j l (xp ). Najpre treba utvrditi indekse sistema u Poxto i postoji na levoj strani prethodne jednaqine kao donji indeks, a ne postoji na desnoj strani, to znaqi da na levoj strani postoji kao gornji indeks tenzora u Istim rasuđivanjem je k donji indeks tenzora u Indeks j postoji na desnoj strani, pa se pojavljuje i kod tenzora u..., dok indeks l ve postoji na obe strane, pa se ne e javiti kod u Dakle, u sistemu po x i vaжi jednaqina u ij k vk il = wj l, a u sistemu po xi je u i j k v i k l = wj l. Kako su, tenzori, na osnovu zakona transformacije sledi v......, w... a odavde je u i j k x k k x i i xl l vk il = x j j xl l wj l = x j j xl l uij k vk il, x l l vk il(u i j k x k k x i i xj j uij k ) = 0.

24 24 1. Uvod u tenzorsku algebru Kako je, po pretpostavci, v k il proizvoljan tenzor, sledi odakle kompozicijom sa x k p, xq i odaakle je u i j k x k k x i i = xj j uij k, dobijamo u i j k δ k p δq i = x j j xk p xq i uij k, u q j p = x j j xk p xq i uij k. Smenom indeksa q i, p k dobija se u i j k = x i i x j j xk k uij k, tj. tenzorski zakon transformacije. Posledica Ako je rezultat kompozicije tenzora v i sistema u... skalarna invarijanta, onda je v tenzor suprotne varijantnosti u odnosu na u

25 Deo 2 Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.1 Definicija Rimanovog prostora Na poqetku definiximo pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Posmatrajmo neki proizvoljan skup M N, qije elemente zovemo taqkama i neka za svaku taqku P M N postoji podskup U P, P U P M N, koji se po zakonu φ preslikava uzajamno jednoznaqno i neprekidno na otvoren podskup Euklidskog prostora E N. Tada je φ(p ) = x = (x 1..., x N ) E N. (2.1) U ovom sluqaju x i su koordinate taqke P M N i oznaqavamo P (x 1,..., x N ) = P (x). Podskup U P je okolina taqke P, a par (U P, φ) nazivamo lokalnim koordinatnim sistemom ili lokalnom kartom. Pod određenim uslovima, za koje smatramo da su ispunjeni, M N se na ovaj naqin moжe prekriti okolinama i ako je (U P, φ ) drugi lokalni koordinatni sistem za istu taqku P, tj. P U P U P, bi e xi druge lokalne koordinate za taqku P, pri qemu pretpostavljamo da u E N postoji preslikavanje takvo da je λ : φ(u P U P ) φ (U P U P ), (2.2) λ : φ(p ) φ (P ), tj. λ : (x 1,..., x N ) (x 1,..., x N ). (2.3) Ovom preslikavanju odgovara transformacija lokalnih koordinata 25

26 26 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (2.4) Ako pretpostavimo da je preslikavanje λ uzajamno jednoznaqno i neprekidno, tada postoji inverzno preslikavanje λ 1, pa iz (2.4) sledi x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (2.5) Sada moжemo dati definiciju diferencijabilne mnogostrukosti. Definicija Skup M N, zajedno sa skupom {(U P, φ)} lokalnih koordinatnih sistema, pri qemu funkcije (2.4), (2.5) za transformaciju lokalnih koordinata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i J = (x1,..., x N ) (x 1,..., x N ) 0, (2.6) zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija diferencijabilne mnogostrukosti M N. Povrxi u E 3 su primeri diferencijabilne mnogostrukosti. Na primer, kod kruжnog paraboloida S = {(x, y, z) (x, y) E 2, z = (x) 2 + (y) 2 } kao lokalni koordinatni sistem moжemo uzeti par (U P, φ), gde je P S proizvoljna taqka, U P S, a φ normalno projektovanje na ravan xoy, tj. na E 2. Kako je φ preslikavanje na E 2, to je u ovom sluqaju S = M 2. Poxto je u ovom sluqaju okolina U P cela povrx, lokalni koordinatni sistem se odnosi na celu povrx, pa kaжemo da je globalni, ali takav sistem nije uvek mogu. Uproxteno reqeno, u definiciji diferencijabilne mnogostrukosti M N je bitno preslikavanje φ : M N E N i preslikavanje λ : E N E N, iz koga proistiqe transformacija koordinata (2.4), odnosno (2.5). I sam Euklidski prostor E N je diferencijabilna mnogostrukost, pri qemu se za preslikavanje φ moжe uzeti identiqno preslikavanje i : P P za svako P E N, a koordinatni sistem je globalni. Naravno, moжe se posmatrati transformacija koordinata i u odnosu na dva globalna koordinatna sistema. Analogno definiciji u E N definixe se kriva u M N : Definicija Kriva na diferencijabilnoj mnogostrukosti M N je skup taqaka u M N, qije su koordinate funkcije jednog realnog parametra t: x i = x i (t), t (a, b) R, (2.7) pod uslovom da nisu svi dx i /dt istovremeno jednaki nuli.

27 2.1. Definicija Rimanovog prostora 27 Da bismo prexli na definiciju Rimanovog prostora, podsetimo se da je u Euklidskom prostoru E N I osnovna kvadratna forma, u krivolinijskim koordinatama x i, data sa (ds) 2 = g ij dx i dx j. Definicija Diferencijabilna mnogostrukost R N u qijim taqkama su zadate funkcije g ij (x 1,..., x N ) = g ji (x 1,..., x N ) (2.8) tako da je duж krive u R N (ds) 2 = g ijdx i dx j, (2.9) gde je det(g ij ) g ij 0, (2.10) zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor. Rimanov prostor je svojstven ako je g ij dx i dx j > 0 u svim taqkama prostora. Za metriku svojstvenog Rimanovog prostora se kaжe da je pozitivno definitna. Sluqaj g ij dx i dx j < 0 se ne razmatra posebno, jer se mnoжenjem sa 1 svodi na prethodni (tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j ). Ako moжe biti (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, prostor se zove pseudorimanov prostor, a za njegovu metriku se kaжe da je nedefinitna. Pseudoeuklidski prostor je specijalan sluqaj pseudorimanovog prostora, xto je u vezi sa Teorijom relativnosti (na ovu problematiku emo se osvrnuti u daljem izlaganju). Ako nije naglaxeno drugaqije, pod Rimanovim prostorom emo u daljem izlaganju podrazumevati svojstven Rimanov prostor. Teorija Rimanovog prostora je Rimanova geometrija (u xirem smislu, jer se ponekad i takozvana eliptiqna geometrija u ravni zove Rimanova geometrija). Osnove Rimanove geometrije je postavio jox nemaqki matematiqar B. Riman u svom radu O pretpostavkama, koje leжe u osnovama geometrije, gde su izloжene samo ideje (skoro samo tekst, bez obrazaca). Dalje su Rimanovu geometriju razvili drugi matematiqari, posebno Riqi koji je krajem XIX veka prvi uveo dva zakona transformacije i oznake sa gornjim i donjim indeksima, zbog qega se tenzorski raqun qesto zove i Ricci-calculus. Ovu teoriju dalje razvija Ajnxtajn u vezi sa teorijom relativnosti. Naime, Ajnxtajn je godine izloжio svoju specijalnu teoriju relativnosti, u kojoj se prostor i vreme posmatraju kao jedinstven prostorno-vremenski kontinuum, tj. kao 4-dimenzioni pseudoeuklidski prostor u kome je I kvadratna forma (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 (cdt) 2, (2.11)

28 28 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori gde su x i prostorne koordinate, c-brzina svetlosti, t-vreme. Pseudoeuklidski prostor sa I kvadratnom formom (2.11) zove se prostor Minkovskog. Ajnxtajn je godine objavio svoju Opxtu teoriju relativnosti, u kojoj se kao prostor u kome se odvijaju fiziqke pojave uzima opet jedinstveni prostorno-vremenski kontinuum, u kome je metrika određena sa (ds) 2 = g ij dx i dx j, g ij (x) = g ji (x), i, j = 1, 2, 3, 4, (2.12) pri qemu sada g ij nisu konstante kao u (2.11), ve zavise od rasporeda masa u prostoru. Dakle, sa matematiqke taqke gledixta, prostor Opxte teorije relativnosti je Rimanov prostor R 4. Taqka (x 1, x 2, x 3, x 4 ) u Opxtoj teoriji relativnosti se zove događaj, jer je sa prve tri koordinate određeno mesto, a qetvrtom vreme. Napomenimo jox i da je Ajnxtajn prvi godine uveo termin tenzor. Matematiqki aparat Opxte teorije relativnosti je tenzorski raqun. Osim toga, danas se u diferencijalnoj geometriji, mehanici i tehnici koristi tenzorski raqun, pa se mnoge teoreme ovih disciplina izraжavaju u tenzorskom obliku, odnosno pojedine veliqine su tenzori. 2.2 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor Kako je u jednaqini (2.9) (ds) 2 invarijanta, a dx i, dx j kontravarijantni vektori, prema zakonu koliqnika sledi da je g ij (x) kovarijantni tenzor drugog reda, tj. tenzor tipa (0, 2), pa zadovoljava zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij. (2.13) Tenzor g ij (x) se zove kovarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. Njemu odgovara determinanta g 11 g g 1N g = g ij = g 21 g g 2N (2.14) g N1 g N2... g NN Ako sa G ji obeleжimo kofaktor elementa g ij, razvijanjem g po elementima L-te vrste dobijamo g = g L1 G 1L + g L2 G 2L + + g LN G NL = g Lp G pl, dok je za M L (kada mnoжimo elemente L-te vrste sa kofaktorima M-te vrste):

29 2.2. Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor 29 pa iz poslednje dve jednaqine imamo g Lp G pm = 0, Kako ovo vaжi za sve L, M {1,..., N}, to je g Lp G pm = gδ M L. (2.15) g ip G pj = gδ j i. (2.16) Ako obeleжimo jednaqina (2.16) postaje g ij = G ij /g, (2.17) g ip g pj = δ j i. (2.18) Kako su g ij, δ j i tenzori, sledi da je i g ij tenzor i zove se kontravarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. Iz (2.18) sledi da su matrice (g ij ) i (g ij ) inverzne jedna drugoj. Naime, (g ij )(g ij ) = = = g 11 g g 1N g 21 g g 2N g N1 g N2... g NN g 1p g p1 g 1p g p g 1p g pn g 2p g p1 g 2p g p g 2p g pn g Np g p1 g Np g p g Np g pn = E, g 11 g g 1N g 21 g g 2N g N1 g N2... g NN = δ 1 1 δ δ N 1 δ 1 2 δ δ N δ 1 N δ2 N... δn N tj. (g ij ) = (g ij ) 1 g ij = g ji. (2.19) Primetimo da je, na osnovu (2.18), g ip g pi = δ i i = δ δ δ N N = N. (2.20)

30 30 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.3 Dizanje i spuxtanje indeksa Pridruжeni vektori u Rimanovom prostoru. Fiziqke koordinate vektora U Rimanovom prostoru R N se svakom kontravarijantnom vektoru u i moжe pomo u metriqkog tenzora g ij pridruжiti kovarijantni vektor, koji emo obeleжiti sa u i : g ip u p = u i, (2.21) jer je na osnovu Zakona koliqnika jasno da, ako je u i kontravarijantni vektor, bi e u i kovarijantni vektor. Analogno se pomo u g ij kovarijantnom vektoru v i moжe pridruжiti kontravarijantni vektor: g ip v p = v i. (2.22) Definicija Pridruжivanje vektora u i vektoru u i na osnovu (2.21) se zove spuxtanje indeksa, a pridruжivanje vektora v i vektoru v i na osnovu (2.22) je podizanje indeksa. Teorema Pridruжivanje je uzajamno, tj. pridruжenom vektoru, bio bi prvobitni vektor. vektor koji bi se pridruжio Dokaz. Neka je u i dobijen iz u i prema (2.21). Tada, prema (2.22), sledi g iq u q = g iq (g qp u p ) = δ i pu p = u i. U Rimanovom prostoru R N ne postoje vektori u uobiqajenom smislu, tj. kao u Euklidskom prostoru. Na primer, kontravarijantni vektor je samo sistem I reda qije se komponente transformixu po kontravarijantnom zakonu. Međutim, ako, na primer, imamo kontravarijantni vektor u i u nekoj taqki M Rimanovog prostora R N, moжemo u 1,..., u N uzeti za koordinate vektora u = (u 1,..., u N ) u E N. Za takav Euklidski prostor E N kaжemo da je tangentni prostor prostora R N u taqki M. Na primer, ako je u taqki M na povrxi S R 2 iz E 3 definisan sistem u i (M), i = 1, 2, koji se pri promeni krivolinijskih koordinata na povrxi transformixe po tenzorskom zakonu, tj. ako je u i (M) kontravarijantni vektor, moжemo u tangentnoj ravni E 2 te povrxi posmatrati vektor u = (u 1, u 2 ) u odnosu na neki afini koordinatni sistem u toj ravni. Ako je zadat kovarijantni vektor v i, moжemo mu pridruжiti v i na osnovu (2.22), pa odrediti v = (v i ).

31 2.3. Dizanje i spuxtanje indeksa 31 Kako kontravarijantnom vektoru u i odgovara pridruжeni kovarijantni vektor u i, kaжemo da je to isti vektor u sa kontravarijantnim, odnosno kovarijantnim komponentama i pixemo u = (u i ) = (u i ). (2.23) Ako su λ i (k) neki jediniqni vektori, komponente vektora u u pravcima tih jediniqnih vektora su projekcije na pravce tih vektora, tj. u (k) = g ij u i λ j (k) = u jλ j (k), (2.24) kada je k = 1,..., N. Za λ j (k) koordinatnih linija. se obiqno koriste jediniqni tangentni vektori Pridruжeni vektori u euklidskom prostoru U Euklidskom prostoru, pri predstavljanju vektora u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, ne pravimo razliku između kontravarijantnih i kovarijantnih vektora, tj. vaжi slede a teorema Teorema U Euklidskom prostoru E N u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem ne postoji razlika između kontravarijantnih i kovarijantnih koordinata vektora. Dokaz: U datom sistemu vaжi g ij = δ ij = δ i j = δ ij = g ij, (2.25) pa, ako komponente vektora obeleжimo velikim slovima, dobijamo jer je δ ip = δ p i. Dakle, U i = g ip U p = δ ip U p = δ p i U p = U i, U i = U i. (2.26) Međutim, u Eulkidskom prostoru E N, u odnosu na pravolinijski kosougli koordinatni sistem ili u odnosu na krivolinijski koordinatni sistem, razlikuju se dve vrste koordinata za isti vektor, xto emo ilustrovati slede im primerima. Primer Neka je a = a 1 e 1 + a 2 e 2 vektor pomeranja u E 2, gde su e 1, e 2 jediniqni vektori kosouglog Dekartovog koordinatnog sistema. Ako su a i kontravarijantne koordinate, na i kovarijantne koordinate istog vektora, pod uslovom da jediniqni vektori zaklapaju ugao (e 1, e 2 ) = ω.

32 32 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Rexenje: Za proizvoljan vektor r = x 1 e 1 + x 2 e 2 (2.27) vaжi dr = dx 1 e 1 + dx 2 e 2, (ds) 2 = dr dr = (dx 1 ) 2 + 2dx 1 dx 2 (e 1 e 2 ) + (dx 2 ) 2, odakle je (ds) 2 = (dx 1 ) cos ωdx 1 dx 2 + (dx 2 ) 2, (2.28) xto predstavlja I kvadratnu formu za E 2 u posmatranom koordinatnom sistemu. Za matricu kovarijantnog odnosno kontravarijantnog metriqkog tenzora imamo ( ) 1 cos ω (g ij ) = (2.29) cos ω 1 odnosno (g ij ) = (g ij ) 1 = 1 ( sin 2 ω 1 cos ω cos ω 1 ). (2.30) Da bismo naxli kovarijantne koordinate vektora a = a i e i, vrximo spuxtanje indeksa: a i = g ip a p, pa odavde i na osnovu (2.29) vaжi a 1 = a 1 + a 2 cos ω, a 2 = a 1 cos ω + a 2. (2.31) Slika 2.1.

33 2.3. Dizanje i spuxtanje indeksa 33 Na Slici 2.1. je: OA = a, AA 1 e 2, AA e 1, AA 2 e 1, AA e 2, OA 1 = a 1, OA 2 = a 2, A 1 A = A 1 A cos ω = a 2 cos ω, A 2 A = a 1 cos ω OA = OA 1 + A 1 A = a 1 + a 2 cos ω, OA = OA 2 + A 2 A = a 2 + a 1 cos ω, pa odavde i na osnovu (2.31): OA = a 1, OA = a 2, (2.32) tj. kovarijantne koordinate se poklapaju sa normalnim projekcijama na ose koordinatnog sistema. Oqigledno, iz (2.31) i sa slike za ω = π/2, tj. u sluqaju Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, dobijamo a 1 = a 1, a 2 = a 2, tj. nema razlike između kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata vektora. Prema Teoremi , ako smo kovarijantni vektor dobili spuxtanjem indeksa kontravarijantnog vektora, pa zatim izvrximo dizanje indeksa-vra amo se na prvobitni kontravarijantni vektor. Proverimo to na posmatranom primeru, koriste i (2.30) i (2.31): b 1 = g 1p a p = g 11 a 1 + g 12 a 2 = 1 sin 2 ω (a1 + a 2 cos ω) cos ω sin 2 ω (a1 cos ω + a 2 ) = a 1, b 2 = g 2p a p = g 21 a 1 + g 22 a 2 = a 2. Primer Za vektor u = i + 2j = (1, 2) u taqki M(0, 2) E 2 odrediti kovarijantne koordinate u polarnom koordinatnom sistemu. Rexenje: Kako je vektor u = i + 2j = (1, 2) zadat u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, to se njegove kovarijantne koordinate, na osnovu Teoreme , ne razlikuju, tj. u 1 = u 1 = 1, u 2 = u 2 = 2, pa kovarijantne koordinate u polarnom koordinatnom sistemu moжemo na i transformacijom koordinata u i = x i i u i, tj. u 1 = x 1 1 u 1 + x 2 1 u 2 = x ρ u 1 + y ρ u 2 = cos θ u 1 + sin θ u 2, u 2 = x 1 2 u 1 + x 2 2 u 2 = x θ u 1 + y θ u 2 = ( ρ sin θ) u 1 + ρ cos θ u 2. Kako je M(ρ = 2, θ = π/2) i u 1 = 1, u 2 = 2, to je u 1 = 2, u 2 = 2.

34 34 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog reda Kao xto smo vrxili dizanje i spuxtanje indeksa kod tenzora, moжemo vrxiti i dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog tipa. Međutim, u ovom sluqaju je uglavnom potrebno naznaqiti koji je indeks podignut ili spuxten. Na primer, a pj g pi = a i j, a jp g pi = a i j, (2.33) pri qemu je taqka stavljena na mesto na kome je indeks bio pre premextanja. Oqigledno, ako je a pj = a jp, tada na osnovu (2.33) vaжi a i j = aj, i xto oznaqavamo sa a pj g pi = a i j. U sluqaju sistema sa vixe indeksa mogu se istovremeno neki od njih podi i, a drugi spustiti. U tom sluqaju, ako je sistem mexovit, pogodno je indekse ne pisati jedan iznad drugog, da bi ostala rezervisana mesta za spuxtanje, odnosno podizanje indeksa. U protivnom, moramo da napixemo kompoziciju pomo u koje su indeksi premextani. Na primer, polaze i od a j i k imamo a k ij = a p i q g pjg qk, (2.34) pri qemu moжemo pisati samo a ij k, pa je jasno da je taj sistem nastao od a j i k na naqin (2.34). Međutim, ako napixemo a k ij, da bi bilo jasno da je to dobijeno iz a j i k moramo da napixemo vezu (2.34). Napomenimo da moжemo istovremeno podi i ili spustiti vixe indeksa. Na primer, iz a ij dobijamo a pq g pi g qj = a ij. (2.35) I kod metriqkih tenzora moжemo podizati i spuxtati indekse, pa polaze i od g ij ili g ij i korix enjem veze (2.18) dobijamo gde smo zbog g ij = g ji pisali g i j g ip g pj = g i j = δ i j, (2.36) umesto gi j. Definicija Tenzor gj i = δj i prostora. je mexoviti metriqki tenzor Rimanovog Koriste i vezu (2.36), dolazimo do slede ih rezultata: g pq g ip g jq = δ i qg jq = g ji = g ij, (2.37) g pq g ip g jq = δ q i g jq = g ji = g ij. (2.38) Ako se u nekom qlanu neki indeks jednom javlja kao donji, a drugi put kao gornji (nemi indeks), on se moжe, bez promene vrednosti qlana, na jednom mestu podi i, a na drugom spustiti. Na primer,

35 2.4. Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru 35 u ip v p =u i qg pq v p = u i qv q = u i pv p, a ijk k =a ij k p gpk = a pij p = a kij k. Ako se u nekoj jednaqini određeni slobodan indeks nalazi na obema stranama te jednaqine, onda se podizanjem ili spuxtanjem tog indeksa svuda gde se on pojavljuje dobija ekvivalentna jednaqina. Na primer, ako u jednaqini a ijk = b ij c k izvrximo kompoziciju sa g km, dobijamo a ijk g km = b ij c k g km a m ij = b ij c m, pa zamenom m sa k dobijamo a k ij = b ij c k. 2.4 Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru Uvođenjem metriqkog tenzora u Rimanov prostor R N, dobijamo mogu nost da definixemo skalarni proizvod dva vektora, intenzitet vektora, duжinu luka krive i uopxte da rexavamo metriqke probleme. Definicija Skalarni proizvod vektora u i v je skalarna invarijanta u v = u i v i. (2.39) Kako je v i = g ij v j, u i = g ij u j to sledi u v = g ij u i v j = g ij u j v i = g ij u i v j. (2.40) Ako Dekartove koordinate vektora Euklidskog prostora E N velikim slovima U i = U i, V i = V i, tada prema (2.39) dobijamo obeleжimo u v = U i V i = U 1 V U N V N = U 1 V U N V N. (2.41) Definicija Intenzitet (norma) vektora u je u = u u = g ij u i u j = u i u i. (2.42) Ako je u = 1, tada je vektor u jediniqni vektor.

36 36 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Ako uoqimo infinitezimalni vektor dx = (dx i ), prema (2.40) sledi dx dx = g ij dx i dx j = (ds) 2, (2.43) xto predstavlja vezu između skalarnog proizvoda i I kvadratne forme u Rimanovom prostoru R N. Ugao između vektora (u i ) i (v i ) definisan je obrascem cos φ = u v u v = g ij u i v j gij u i u j g ij v i v j. (2.44) Odavde vidimo da je uslov normalnosti datih vektora određen sa u i v i = g ij u i v j = 0. (2.45) Neka je u Rimanovom prostoru R N data kriva x i = x i (t), i = 1,..., N; t (a, b). (2.46) Tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j, odakle je ds dt = dx g i dx j ij dt dt, (2.47) pa za duжinu luka između taqaka x i (t 0 ) i x i (t 1 ) dobijamo t1 dx s = g i dx j ij dt dt. (2.48) Odavde za promenljivu gornju granicu vaжi t dx s = g i dx j ij dt dt Iz jednakosti (2.49) je t = t(s), pa jednaqine (2.46) daju t 0 t 0 = s(t). (2.49) x i = x i (t(s)) = x i (s), (2.50) tj. luk krive s se moжe uzeti za parametar. Iz (2.47) je g ij dx i ds dx j ds = 1, (2.51) xto znaqi da je vektor (t i ) = ( dxi ) jediniqni, a to je jediniqni vektor tangente krive ds (2.50).

37 2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru Definicija i osnovne osobine Kristofelovih simbola U opxtem sluqaju, metriqki tenzor g ij je funkcija taqke u prostoru R N, tj. funkcija koordinata x i. Oznaqimo Definicija Izrazi g ij,k = g ij x k. (2.52) se zovu Kristofelovi simboli I vrste, a izrazi Γ i.jk = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ) (2.53) Γ i jk = g ip Γ p.jk = 1 2 gip (g pj,k g jk,p + g kp,j ) (2.54) Kristofelovi simboli II vrste Rimanovog prostora R N (E.Christoffel, , nemaqki matematiqar). Kako je g ij = g ji, to iz (2.53) sledi Γ i.jk = Γ i.kj, (2.55) a odavde i zbog (2.54) je Γ i jk = Γ i kj. (2.56) Napomenimo da se u literaturi Kristofelovi simboli qesto pixu tako xto se u odnosu na (2.53) vratimo cikliqno unazad za jedno mesto u uređenom skupu (i, j, k) tj. i k j i, pa dobijamo Γ k.ij = 1 2 (g ki,j g ij,k + g jk,i ). U tom sluqaju [ se ] obiqno umesto Γ k.ij pixe Γ ij,k za xta se koristi i oznaka ij [ij, k], a ređe i, pa bismo umesto (2.53) imali k Γ ij,k = [ij, k] = 1 2 (g ki,j g ij,k + g jk,i ), (2.57) a odgovaraju e oznake za Kristofelove simbole II vrste su { } k g kp [ij, p] = = Γ k ij ij,

38 38 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori a ređe i {ij, k}. Iz (2.57) se nax obrazac dobija ako se u uređenom skupu (i, j, k) izvrxi pomeranje i j k i. Napomenimo da je za konkretne { } 1 indekse uvek na primer : Γ 1.23 = [23, 1], Γ 2.31 = [31, 2] itd. i da je Γ 1 23 =, { } 23 2 Γ 2 31 = itd. Mi emo koristiti samo oznake prema (2.53) i (2.54). 31 U (2.54) je Kristofelov simbol II vrste izraжen pomo u Kristofelovog simbola I vrste. Da je mogu e obrnuto, pokazuje slede a teorema. Teorema Vaжi relacija, koja je inverzna definicionoj relaciji (2.54) : Dokaz: Koriste i vezu (2.54), dobijamo Γ i.jk = g ip Γ p jk. (2.58) g ip Γ p jk =g ipg qp Γ q.jk = δ q i Γ q.jk = Γ i.jk. U nastavku dokazujemo neke osobine Kristofelovih simbola. Teorema Ako se saberu dva Kristofelova simbola sa razliqitim indeksima na prvom mestu, dobija se izvod metriqkog tenzora, qiji su indeksi pomenuti razliqiti indeksi, po promenljivoj, koja odgovara preostalom indeksu, tj. Γ i.jk + Γ j.ik = Γ i.jk + Γ j.ki = g ij,k (2.59) Γ i.jk + Γ k.ji = Γ i.jk + Γ k.ij = g ik,j. (2.60) Dokaz: Prema definiciji Kristofelovih simbola I vrste, uzimaju i u obzir g ij = g ji, dobijamo da vaжi Γ i.jk + Γ j.ik = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ) (g ji,k g ik,j + g kj,i ) = g ij,k. Na isti naqin se dokazuje da vaжi (2.60). Teorema Za Kristofelove simbole II vrste vaжi g ip Γ j pk + gjp Γ i pk = g ij,k. (2.61) Dokaz: Diferenciranjem relacije g ip g pj = δj i po xk, dobijamo g ip,k g pj + g ip g pj,k = 0,

39 2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 39 odakle je g ip g pj,k = g ip,k g pj. Ako izvrximo kompoziciju sa g jm i na levoj strani primenimo (2.59), dobija se g ip g jm (Γ p.jk + Γ j.pk ) = g ip,k δm p = g im,k, a primenom (2.54): g jm Γ i jk + g ip Γ m pk = g im,k. Ako svuda slobodan indeks m zamenimo sa j, a nemi indeks j sa p, dobija se (2.61). Teorema Ako je g = det(g ij ), tada je g g ij = G ji (x), g x = i 2gΓp pi, odnosno (ln g) = Γ p x i pi, (2.62) gde je G ji kofaktor elemenata g ij. Dokaz: Razvijanjem determinante g 11 g g 1N g = g L1 g L1... g LN g N1 g N2... g NN po elementima L te vrste dobijamo (2.63) odakle za fiksirano M imamo g = g L1 G 1L + g L2 G 2L + + g LN G NL = g Lp G pl, (2.64) g g LM = g Lp g LM G pl + g Lp G pl g LM. (2.65) Kako g Lp i g LM nisu međusobno zavisni za p M, to je g Lp g LM = δp M, a kako se svaki kofaktor G pl dobija izostavljanjem cele L-te vrste, to G pl ne sadrжi g LM, pa je GpL g LM = 0. Dakle, g g LM = δ M p G pl = G ML. Kako poslednja jednakost vaжi za sve M, L iz skupa {1,..., N}, to vaжi prva jednakost ovog tvrđenja.

40 40 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Kada uporedimo poloжaj indeksa na levoj i desnoj strani u prvoj jednakosti relacije (2.62), vidimo da su donji u imeniocu leve strane prexli u gornje indekse na desnoj strani. Determinanta g = det(g pq ) je preko g pq funkcija od x i, pa koriste i dokazanu prvu jednakost, imamo g x = g g pq i g pq x i =Gqp g pq,i =gg qp (Γ p.qi + Γ q.pi )=g(γ q qi + Γp pi ) = 2gΓp pi, pa vaжi druga jednakost, koju moжemo da zapixemo u obliku tre e jednakosti, pa je ovim teorema dokazana Transformacija Kristofelovih simbola Teorema Kristofelovi simboli I vrste se transformixu po zakonu Γ i.j k = xi i xj j x k k Γ i.jk + x i i xj j k g ij (2.66) Dokaz: Diferenciraju i po x k zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij, (2.67) dobijamo i cikliqno po i, j, k g i j,k = xi i k xj j g ij + x i i xj j k g ij + x i i xj j g ij,k x k k g j k,i = xj j i x k k g jk + x j j x k k i g jk + x j j x k k g jk,ix i i g k i,j = xk k j xi i g ki + x k k xi i j g ki + x k k xi i g ki,jx j j. Iz ove tri jednaqine, odgovaraju om izmenom nemih indeksa, dobijamo 1 2 (g i j,k g j k,i + g k i,j ) = xi i xj j k g ij xi i xj j x k k (g ij,k g jk,i + g ki,j ), tj. vaжi (2.66). Napomenimo da se zakon transformacije (2.66) moжe pisati i u inverznom obliku Γ i.jk = x i i x j j xk k Γ i.j k + xi i xj jk g i j, (2.68) xto dobijamo polaze i od g ij = x i i x j j g i j. Teorema Kristofelovi simboli II vrste se transformixu po zakonu Γ i j k = xi i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k. (2.69)

41 2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 41 Dokaz: Polaze i od veze Γ i j k = gi p Γ p.j k, korix enjem zakona transformacije za g ip i Γ p.jk, dobijamo Γ i j k =xi i x p p g ip (x q p x j j x k k Γ q.jk + x q p x j j k g qj ) =x i i x p p g ip x q p x j j x k k Γ q.jk + x i i x p p g ip x q p x j j k g qj =x i i δ q pg ip x j j x k k Γ q.jk + x i i δ q pg ip x j j k g qj =x i i x j j x k k gip Γ q.jk + x i i x j j k g iq g qj =x i i x j j x k k Γi jk + x i i x j j k δ i j = x i i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k. Zakon transformacije za Kristofelove simbole II vrste se moжe napisati i u inverznom obliku Γ i jk = x i i xj j xk k Γ i j k + xi i jk. (2.70) xi Zakoni transformacije Kristofelovih simbola II vrste omogu avaju da se izraze drugi izvodi jednih koordinata pomo u prvih izvoda i Kristofelovih simbola. Ako u (2.69) izvrximo kopmpoziciju sa x p i dobijamo odnosno Smenjuju i p sa i dobijamo Iz (2.70), analogano vaжi δ p i xi j k = xp i Γ i j k xp i x i i x j j x k k Γi jk, x p j k = x p i Γ i j k xj j x k k Γp jk. x i j k = xi i Γi j k xj j x k k Γi jk. (2.71) x i jk = x i i Γ i jk x j j xk k Γ i j k. (2.72) Iz zakona transformacije (2.66) i (2.69) prime ujemo da se Kristofelovi simboli u odnosu na opxtu transformaciju koordinata ne transformixu po tenzorskom zakonu. Tenzorski zakon vaжi samo u odnosu na (linearnu) afinu transformaciju x j = a j j xj + b j, (2.73) jer tada x j j = a j j = const. povlaqi x j jk = 0, pa (2.68) postaje tenzorski zakon. Na isti naqin postupamo i u ostalim sluqajevima.

42 42 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Definicija Kristofelovi simboli II vrste se zovu i koeficijenti povezanosti (koneksije) Rimanovog prostora R N. Ako se na diferencijabilnoj mnogostrukosti ne definixu koeficijenti g ij, ve Γ i jk (x1,..., x N ) kao sistem koji zadovoljava zakon transformacije (2.69), onda imamo prostor afine koneksije (koji ne mora da bude metriqki). Svaki Rimanov prostor je prostor afine koneksije, obrnuto ne vaжi. Primer Na i Kristofelove simbole za polarne koordinate u E 2. Rexenje: Kako je (ds) 2 = (dρ) 2 + (ρdθ) 2, to je ( 1 0 (g ij ) = 0 (ρ) 2 ), (g ij ) = (g ij ) 1 = ( (1/ρ) 2 ). Kako je Γ i.jk = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ), g ij,k = g ij / x k, to sledi Γ 1.11 = 1 2 g 11,1 = 1 g 11 2 x = 0, 1 Γ 1.12 = 1 2 (g 11,2 g 12,1 + g 21,1 ) = 1 2 g 11,2 = 0 = Γ 1.21, Γ 1.22 = ρ, Γ 2.11 = 0, Γ 2.12 = Γ 2.21 = ρ, Γ 2.22 = 0. Prema obrascu Γ i jk = gip Γ p.jk, nalazimo da je Γ 1 22 = g 1p Γ p.22 = g 11 Γ g 12 Γ 2.22 = Γ 1.22 = ρ, Γ 2 12 = g 2p Γ p.12 = ( 1 ρ )2 ρ = 1 ρ = Γ2 21, dok su ostali Γ i jk jednaki 0. Primer Na i Kristofelove simbole za polarne koordinate u E 2 polaze i od Kristofelovih simbola u Dekartovim koordinatama i zakona transformacije. Rexenje: Kako je u Dekartovim koordinatama (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2, to je ( ) 1 0 (g ij ) = Γ 0 1 i.jk = 0, i, j, k {1, 2}, (2.74) pa prema (2.66) Γ i.j k = xi i xj j k g ij. Ako su x i Dekartove koordinate, a x i polarne, koriste i (2.74), dobijamo Γ = xi 1 xj 2 2 g ij =x 1 1 x x2 1 x2 2 2, (2.75)

43 2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 43 gde je x 1 = x = ρ cos θ, x 2 = y = ρ sin θ, x 1 1 = x ρ = cos θ, x 1 2 = x θ = ρ sin θ, x = x θθ = ρ cos θ, x 2 1 = y ρ = sin θ, x 2 2 = y θρ cos θ, x = y θθ = ρ sin θ, pa se prema (2.75) dobija Γ = cos θ( ρ cos θ) + sin θ( ρ sin θ) = ρ, a to je u prethodnom primeru dobijena vrednost Γ Na isti naqin se dobijaju i ostale vrednosti Γ i.j k (to su Γ i.jk iz prethodnog primera). Prema (2.74) je u Dekartovim koordinatama Γ i jk = 0, i, j, k {1, 2}, a na osnovu zakona transformacije (2.69): Γ = x1 i x j 2 x k 2 Γi jk + x 1 i x i 2 2 = 0 + x1 1 x x1 2 x 2 2 2, jer je Γ i jk = 0. Kako je x 1 1 = ρ x = x (x)2 + (y) = ρ cos θ 2 ρ x 1 2 = ρ y = = cos θ, x = ρ cos θ, y (x)2 + (y) = sin θ, 2 x2 2 2 = ρ sin θ, to dobijamo Γ = cos θ( ρ cos θ) + sin θ( ρ sin θ) = ρ, a to je u prethodnom primeru nađena vrednost Γ Na isti naqin dobijamo i ostale vrednosti Γ i j k (to su Γi jk iz prethodnog primera). Primer Na i Kristofelove simbole za E 3 u a) cilindriqnim koordinatama, b) sfernim koordinatama. Rexenje: a) U cilindriqnim koordinatama vaжi pa sledi (g ij ) = (ρ) (ds) 2 = (dρ) 2 + (ρ) 2 (dθ) 2 + (dz) 2, (2.76), (g ij ) = (g ij ) 1 = /(ρ) Ako je x 1 = ρ, x 2 = θ, x 3 = z, g ij,k = g ij / x k, tada je. (2.77) Γ 1.22 = 1 2 g 22,1 = ρ, Γ 2.12 = Γ 2.21 = ρ (2.78)

44 44 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori a ostali Γ i.jk su jednaki 0. Dalje je Γ i jk = gip Γ p.jk, pa dobijamo Γ 1 22 = ρ, Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 ρ, (2.79) dok su ostali Γ i jk jednaki 0. b) Kako je u sfernim koordinatama (ds) 2 = (dr) 2 + (r cos φ) 2 (dθ) 2 + (r) 2 (dφ) 2, (2.80) to se dobija (g ij ) = (r cos φ) (r) , (g ij 1 ) = 0 0 (r cos φ) (r) 2, (2.81) g = det(g ij ) = (r) 4 cos 2 φ. (2.82) Ako je r = x 1, θ = x 2, φ = x 3, g ij,k = g ij / x k, tada dobijamo Γ 1.22 = 1 2 (g 12,2 g 22,1 + g 21,2 ) = 1 2 g 22,1 = 1 2 (2r cos2 φ) = r cos 2 φ, Γ 1.33 = r, Γ 3.22 = 1 2 g 22,3 = (r) 2 cos φ sin φ, (2.83) a ostali Γ i.jk su jednaki 0. Dalje je Γ 1 22 = g 1p Γ p.22 = g 11 Γ 1.22 = r cos 2 φ, Γ 1 33 = r, Γ 3 22 = cos φ sin φ. (2.84) 2.6 Kovarijantni izvod tenzora Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda Podsetimo se da, ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je sistem parcijalnih izvoda φ,i = φ/ x i tenzor tipa (0, 1), tj. kovarijantni vektor. To je jedini sluqaj da je parcijalni izvod tenzora ponovo tenzor u odnosu na opxtu transformaciju koordinata. Na primer, za vektor u i (x 1,..., x N ) transformacijom koordinata dobijamo u i = x i i u i, pa ako je u i,j = u i / x j, imamo u i,j = ui = (x i x j i u i ),j = x i ij ui + x i i u i,j. (2.85)

45 2.6. Kovarijantni izvod tenzora 45 Kako je x i = x i (x 1,..., x N ), u i = u i (x 1,..., x N ), x i = x i (x 1,..., x N ), to je x i i = x i i (x 1,..., x N ), x i ij = (x i x j i ) = x i ijx j j, u i,j = ui,jx j j, pa iz (2.85) vaжi u i,j = xi ijx j j u i + x i i x j j u i,j (2.86) ij = 2 x i tj. imamo tenzor samo u sluqaju da je x i = 0, tj. kada je x i x j x i = x i (x 1,..., x N ) afina transformacija. Zbog toga se uvodi pojam kovarijantnog izvoda tenzora, koji je takođe tenzor. Definicija Ako je u i (x 1,..., x N ) vektor, sistem u i ;j = u i,j + Γ i pju p (2.87) se zove kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora u i. Napomena: U literaturi se za kovarijantni izvod kovarijantnog vektora koriste oznake: u i ;j = j u i = Dui. Takođe se koristi i oznaka u i Dx j,j za kovarijantni izvod, a za parcijalni izvod se pixe u i / x j. Teorema Kovarijantni izvod vektora u i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (1, 1). Dokaz: Diferenciramo relaciju u i = x i i u i po x j i primenimo (2.72) za x i ij, dobijamo u i,j = xi ijx j j u i + x i i u i,jx j j = (x i p Γ p ij xk i x l j Γ i k l )xj j u i + x i i x j j u i,j, u i,j + δl j xk i Γ i k l ui = x i p x j j Γ p ij ui + x i i x j j u i,j. Ako u prvom sabirku na desnoj strani smenimo p i, sledi da je u i,j + Γi k j xk i u i = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ). Kako je u i tenzor, to je x k i u i = x k k uk = u k, pa sledi a prema (2.87) u i ;j = xi i x j j u i ;j, tj. ui ;j u i,j + Γi k j uk = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ), se transformixe kao tenzor tipa (1, 1). Definicija Ako je v i (x 1,..., x N ) kovarijantni vektor, sistem se zove kovarijantni izvod vektora v i. v i;j = v i,j Γ p ij v p (2.88) Teorema Kovarijantni izvod vektora v i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (0, 2).

46 46 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Dokaz: Polaze i od relacije v i = x i i v i i koriste i (2.71), dobijamo v i j = xi i j v i + x i i v i,jx j j = (Γ k i j xi k Γi jkx j i x k j )v i + x i i xj j v i,j, a odavde je v i,j Γk i j xi k v i = Γ i jkx j i x k j v i + x i i xj j v i,j. U prvom sabirku na desnoj strani smenimo i p, j i, k j, pa prema (2.88) sledi v i ;j = xi i xj j v i;j. Definiximo sada kovarijantni izvod proizvoljnog tenzora. Definicija Ako je t i 1...i A j 1...j B t i 1...i A j 1...j B;k = t i 1...i A j 1...j B,k + A α=1 tenzor, sistem Γ iα pk ti 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B B β=1 Γ p j β k ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B (2.89) je kovarijantni izvod datog tenzora. Pod kovarijantnim izvodom skalarne funkcije podrazumevamo njen parcijalni izvod. Na primer, t ij kl;m = tij kl,m + Γi pmt pj kl + Γj pmt ip kl Γp km tij pl Γp lm tij kp. (2.90) Slede i primer je objaxnjenje za motivaciju da pod kovarijantnim izvodom skalarne invarijante podrazumevamo njen parcijalni izvod. Primer Ako je u i j tenzor, tada je u i j;m = u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm ui p, odakle, za i = j dobijamo skalarnu invarijantu φ = u i i i njen kovarijantni izvod φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γp im ui p. Ako u tre em sabirku na desnoj strani smenimo i p, vidimo da se on ponixtava sa drugim sabirkom, pa imamo φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γi pmu p i = ui i,m = φ,m. (2.91) Ve smo dokazali da je kovarijantni izvod kontravarijantnog i kovarijantnog vektora tenzor, pri qemu se kovarijantnost pove ava za jedan. Uopxte vaжi slede a teorema:

47 2.6. Kovarijantni izvod tenzora 47 Teorema Kovarijantni izvod tenzora tipa (A, B) je tenzor tipa (A, B + 1). Dokaz: Dokaz emo izvesti za tenzor t i j, tj. dokaza emo da je t i j;k = t i j,k + Γ i pkt p j Γp jk ti p (2.92) tenzor. U ostalim sluqajevima se sliqno dokazuje. Posmatrajmo parcijalni izvod po x k zakona transformacije t i j = xi i x j j t i j i izrazimo parcijalne izvode drugog reda x i ik, xj j k preko (2.71) i (2.72), dobijamo tj i,k = (t i x k j ) = xi ikx k k xj j t i j + x i i x j j k t i j + x i i x j j t i j,kx k k = (x i p Γ p ik xp i xq k Γi p q )xk k xj j t i j + x i i t i j(x j q Γ q j k x q j x r k Γj qr) + x i i x j j x k k ti j,k, a prebacivanjem na levu stranu qlanova sa Γ u sistemu x i obzir da je x q k xk k Γi p q = δq k Γ i p q = Γi p k, dobijamo i uzimaju i u t i j,k + xp i xj j Γ i p k ti j x i i x j q t i jγ q j k = x i i x j j x k k ti j,k + x i p x j j x k k Γp ik ti j x i i x q j x r k Γj qrt i j. Ako uzmemo da je, prema zakonu transformacije, na levoj strani x p i xj j t i j = t p j, x i i x j q t i j = t i q, a na desnoj strani izvrximo smenu nemih indeksa (u drugom sabirku p i, a u tre em q j, r k), bi e Prema (2.91) imamo tj. t i j;k t i j,k + Γi p k tp j t i q Γq j k = x i i x j j x k k (ti j,k + Γ i pkt p j Γq jk ti q). t i j ;k = xi i x j j x k k ti j;k, se transformixe po tenzorskom zakonu Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora U Euklidskom prostoru E N u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem g ij su konstante, pa su Kristofelovi simboli jednaki 0. Zato je kovarijantni izvod ustvari obiqan parcijalni izvod, pa je g ij,k = g ij = 0. Jedna od x k glavnih karakteristika Euklidskih prostora je postojanje bar jednog koordinatnog sistema u kome su Kristofelovi simboli I i II vrste jednaki 0. To ove prostore izdvaja od opxtih Rimanovih prostora. U Rimanovom prostoru, ali i u Euklidskom u krivolinijskim koordinatama, nisu svi g ij konstante, pa parcijalni izvodi od g ij nisu jednaki nuli. Međutim, kovarijantni izvodi su 0, xto emo pokazati u narednoj teoremi.

48 48 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Teorema Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora u R N su jednaki nuli, tj. g ij;k = g ij ;k = gi j;k = δ i j;k = 0. (2.93) Dokaz: Koriste i osobine Kristofelovih simbola (2.58), (2.59), (2.61) i (2.35) imamo: jer su δ i j konstante. g ij;k = g ij,k Γ p ik g pj Γ p jk g ip = g ij Γ j.ik Γ i.jk = 0, g ij ;k = gij,k + Γi pkg pj + Γ j pk gip = 0, g i j;k = δ i j;k = δ i j,k + Γ i pkδ p j Γp jk δi p = 0 + Γ i jk Γ i jk = 0, Definicija Tenzor, qiji je kovarijantni izvod 0, zove se kovarijantno konstantan tenzor. Dakle, metriqki tenzori su kovarijantno konstantni u Rimanovom prostoru R N Osobine kovarijantnog izvoda Pojedine osobine kovarijantnog izvoda se poklapaju sa osobinama obiqnih izvoda. Posmatra emo tenzore kao funkcije koordinata, tj. tenzorska polja, ako nije drugaqije napomenuto. Sve osobine kovarijantnog izvoda se dokazuju na osnovu definicije, a mi emo ih posmatrati na određenim primerima. 1. Kovarijantni izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) kovarijantnih izvoda. Na primer, (u i j ± v i j) ;k = (u i j ± v i j),k + Γ i pk(u p j ± vp j ) Γp jk (ui p ± v i p) = u i j;k ± v i j;k. 2. Ako je c konstanta, tada je (cu i j) ;k = cu i j;k. 3. Vaжi Lajbnicovo pravilo, za obiqan (spoljaxnji) proizvod: (u i jv k ) ;m = (u i jv k ),m + Γ i pm(u p j v k) Γ p jm (ui pv k ) Γ p km (ui jv p ) =u i j,mv k + u i jv k,m + (Γ i pmu p j Γp jm ui p)v k (Γ p km v p)u i j =(u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm )v k + (v k,m Γ p km v p)u i j =u i j;mv k + u i jv k;m. 4. Za kompoziciju (unutraxnji proizvod) tenzora vaжi Lajbnicovo pravilo. Na primer, ako u prethodnom primeru uzmemo k = i: (u i jv i ) ;m = u i j;mv i + u i jv i;m.

49 2.6. Kovarijantni izvod tenzora Kontrakcija i kovarijantno diferenciranje su komutativni. Na primer: (u i ik) ;m = (δ p i ui pk) ;m = δ p i;m ui pk + δ p i ui pk;m = 0 + δ p i (ui pk;m). 6. Operacija dizanja i spuxtanja indeksa je komutativna sa kovarijantnim diferenciranjem, na primer: (g ip u p ) ;m = g ip ;mu p + g ip u p;m = 0 + g ip u p;m Gradijent. Diferencijalni operatori I reda Definicija Ako je φ(x 1,..., x n ) neka skalarna funkcija u R N, sistem parcijalnih izvoda φ/ x i = φ,i zove se gradijent skalarne funkcije φ, u oznaci φ gradφ. Kako se za u sluqaju skalarne funkcije poklapaju parcijalni i kovarijantni izvod, to imamo gradφ φ = φ x i φ,i = φ ;i (2.94) Kao xto se vidi iz (2.94), gradijent je kovarijantni vektor. Da bismo pokazali jedno geometrijsko tumaqenje gradijenta, posmatrajmo u R N hiperpovrx φ(x 1,..., x n ) = C (C = const). Bi e dφ = φ,i dx i = 0, pa kako je dx i tangentni vektor, to je φ,i = φ vektor normale navedene hiperpovrxi. Kvadrat intenziteta gradijenta φ zovemo diferencijalni parametar I reda i obeleжavamo 1 φ. Dakle, 1 φ = ( φ) 2 = g ij φ,i φ,j. (2.95) Ovaj operator zovemo jox i Beltramijev diferencijalni parametar (E.Beltrami, , italijanski matematiqar). U geometriji se koristi jox jedan diferencijalni operator I reda, tzv. skalarni proizvod gradijenata skalarnih funkcija φ, ψ određen sa 1 (φ, ψ) = φ ψ = g ij φ,i ψ,j. (2.96) Divergencija vektora i tenzora Posmatrajmo kontravarijantni vektor u i i njegov kovarijantni izvod po x i : u i ;j = u i,j + Γ i pju p. (2.97)

50 50 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Definicija Skalarna invarijanta, koja se dobija kontrakcijom u kovarijantnom izvodu kontravarijantnog vektora zove se divergencija vektora tj. div u = u i ;i = u i,i + Γ i piu p. (2.98) tj. Kako je, prema (2.62), Γ i pi = g,p 2g to je div u = u i,i + g,p 2g up = 1 (u i g,i g,i g + 2 g ui ), div u = 1 g (u i g) i, 0 < g = det(g ij ). (2.99) U prostoru E 3 su, u odnosu na Dekartove kordinate, Kristofelovi simboli jednaki nuli, pa iz (2.98) dobijamo poznati obrazac div u = u i,i = u1 x + u2 1 x + u3 2 x. (2.100) 3 Određivanje devergencije se moжe definisati i za vektor v određen kovarijantnim kordinatama v i, kada se pomo u njih u R N prethodno odrede kontravarijantne kordinate. U tom sluqaju, po definiciji je div u = (g ij v i ) ;j = g ij v i;j = v j ;j = vi ;i, (2.101) gde smo uzeli u obzir da je g ij ;j = 0. Za tenzor proizvoljnog tipa se takođe moжe definisati operacije divergencije. U opxtem sluqaju rezultat zavisi od toga po kome od gornjih indeksa se vrxi kontrakcija, pa imamo, na primer, div (i) u ij k div (k) u ij k = uij k;i, div (j)u ij k = uij k;j = (gpk u ij k ) ;p = u ijp ;p = u ijk ;k Rotor Operaciju rotora vektorske funkcije emo u sluqaju Rimanovog prostora uopxtiti na slede i naqin. Neka je dat kovarijantni vektor v i. Tada je, r ij = v i,j v j,i = v i;j v j;i, (2.102) dvostruki antisimetriqni kovarijantni tenzor, a druga jednakost se lako proverava na osnovu izraza za kovarijantni izvod v i;j, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola.

51 2.6. Kovarijantni izvod tenzora 51 Definicija Operacija (2.102), kojom se svakom kovarijantnom vektoru v i dodeljuje dvostruki kovarijantni tenzor r ij, zove se operacija rotora. U Rimanovom prostoru R N se operacija rotora moжe indirektno primeniti i na kontravijantni vektor u i, tako xto se prvo odredi pridruжeni kovarijantni vektor u i = g ij u j. U R 3 se pomo u e-sistema tenzoru r ij moжe jednoznaqno pridruжiti kontravarijantni vektor. r i = 1 2 eijk r jk = 1 2 eijk (v j;k v k;j ) = e ijk v j;k, (2.103) Odakle je r 1 = e 1jk v j;k = e 123 v 2;3 + e 132 v 3;2 = v 2;3 v 3;2 = v 2,3 v 3,2. Analogno za r 2, r 3, pa imamo r 1 = v 2,3 v 3,2, r 2 = v 3,1 v 1,3, r 3 = v 1,2 v 2,1, (2.104) a takvi su poznati obrasci u E 3. Pomo u (2.104) se u E 3 dobija vektor r = (r 1, r 2, r 3 ), koji zovemo rotor vektora v i pixemo r = rot v. (2.105) Operatori gradijenta, divergencije i rotora su diferencijalni operatori I reda, jer se njihovom primenom pojavljuju izvodi I reda Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan Diferencijalni operatori II reda su oni operatori kod kojih se pojavljuju izvodi II reda (kovarijantni ili obiqni). Najvaжniji diferencijalni operator II reda je Laplasov operator, tzv. Laplasijan. Definicija Laplasov operator, u oznaci, se sastoji u određivanju divergencije gradijenta, tj. = div div grad. (2.106) Laplasijan se primenjuje na skalarnu funkciju. φ(x 1,..., x n ) je, prema (2.106), Laplasijan funkcije φ = div φ = divφ ;i = div(g ij φ ;j ). (2.107) Ako oznaqimo g ij φ ;j = φ ;i, (2.108)

52 52 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori iz (2.107) sledi φ = div(φ ;i ) = 1 g (φ ;i g),i = 1 g (g ij φ,j g),i, (2.109) gde smo uzeli u obzir da je φ ;j = φ,j = φ/ x j. Obrascu za Laplasijan se moжe dati i drugi oblik, polaze i od definicije divergencije, tj. ako najpre nađemo kovarijantni izvod kontravarijantnih koordinata gradijenta i izvrximo kontrakciju. Dakle, prema (2.98), uzimaju i u obzir da je g ij kovarijantno konstantan, bi e φ (2.108) = div(φ ;i ) (2.98) = (φ ;i ) ;i (2.108) = (g ij φ ;i ); i = g ij (φ ji Γ p ji φ ;p), tj. φ = g ij ( 2 φ x i x j φ x p Γp ji ) gij (φ,ij + Γ p ij φ,p ). (2.110) Definicija Jednaqina φ = 0 zove se Laplasova difererencijalna jednaqina, a skalarna funkcija φ je, u tom sluqaju, harmonijska funkcija. Pojam Laplasovog operatora se moжe proxiriti i na proizvoljne tenzore, a analogno prethodnoj definiciji, moжemo da definixemo harmonijske vektore i tenzore. Primer Na primeru u ij ik pokazati da na kovarijantni izvod utiqu samo slobodni indeksi j, k. Rexenje: pa za l = i: u ij lk;m = uij lk,m + Γi pmu pj lk + Γj pmu ip lk Γp lm uij pk Γp km uij lp, u ij ik;m = uij ik,m + Γi pmu pj ik + Γj pmu ip ik Γp im uij pk Γp km uij ip, Ako u 4. sabirku na desnoj strani smenimo neme indekse p i, vidimo da se on ponixtava sa 2. sabirkom, pa u rezultatu utiqu indeksi j, k. Primer Dat je vektor (u i ) = (θ, ρ), u odnosu na polarne koordinate u E 2. a) Na i taj vektor u Dekartovim pravouglim koordinatama u E 2. b) Na i njegov kovarijantni izvod u Dekartovim koordinatama. v) Na i kovarijantni izvod toga vektora u polarnim koordinatama direktno. g) Na i kovarijantni izvod datog vektora u polarnim koordinatama, koriste i vrednost pod b). d) Na i kovarijantne koordinate u i datog vektora. đ) Na i fiziqke kooordinate istog vektora.

53 2.6. Kovarijantni izvod tenzora 53 Rexenje: Obeleжimo x 1 = ρ, x 2 = θ, x 1 = x, x 2 = y. Tada je u 1 = θ, u 2 = ρ, u i = x i i u i. a) u 1 = x 1 1 u 1 + x 1 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = cos θ θ + ( ρ sin θ)( ρ), u 2 = x 2 1 u 1 + x 2 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = sin θ θ + ρ cos θ)( ρ), tj. (u 1, u 2 ) = (θ cos θ + (ρ) 2 sin θ, θ sin θ (ρ) 2 cos θ). (2.111) Ako ρ, θ izrazimo preko x, y, ima emo ( (u 1, u 2 ) = arctg y x x (x)2 + (y) + 2 ((x)2 + (y) 2 y ) (x)2 + (y), 2 arctg y x y (x)2 + (y) 2 ((x)2 + (y) 2 x ) ). (x)2 + (y) 2 (2.112) b) Kako su x i Dekartove pravougle koordinate, Kristofelovi simboli su jednaki 0, pa je kovarijantni izvod obiqan parcijalni izvod: u 1 ;1 = u1 x i x i x 1 = u1 x 1 x 1 x 1 + u1 x 2 x 2 x 1 = u1 ρ ρ x + u1 θ θ x = (21) x 2ρ sin θ (x)2 + (y) + (cos θ θ sin θ + y 2 (ρ)2 cos θ) (x)2 + (y) 2 tj. u 1 ;1 = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ]. (2.113) Na isti naqin nalazimo ostale vrednosti u i ;j. v) U polarnim koordinatama je u 1 = θ, u 2 = ρ, Γ 1 22 = ρ, Γ 2 12 = 1, ρ a ostali Γ i jk su jednaki 0. Kovarijantni izvodi su u 1 ;1 =u 1,1 + Γ 1 p1u p = u1 x 1 + Γ1 11u 1 + Γ 1 21u 2 = θ ρ = 0, u 1 ;2 =u 1,2 + Γ 1 12u 1 + Γ 1 22u 2 = θ θ ( ρ)( ρ) = 1 + (ρ)2, u 2 ;1 =u 2,1 + Γ 2 11u 1 + Γ 2 21u 2 = 2, u 2 ;2 = θ/ρ. Dakle, u polarnim koordinatama je ( (ρ) (u i ) = (θ, ρ) (u i 2 ;k) = 2 θ/ρ ). (2.114) g) Ako su x i Dekartove pravougle koordinate, a x i polarne u E 2, u i ;j emo na i koriste i u i ;j i zakon transformacije tenzora

54 54 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori u 1 1 =x1 i x j 1 u i ;j = x 1 1 x 1 1 u1 ;1 + x 1 2 x 2 1 u2 ;2 + x 1 2 x 1 1 u2 ;1 + x 1 1 x 2 1 u1 ;2 =x ρ ρ x u 1 ;1 + x θ θ x u 1 ;1 + x θ ρ x u 2 ;1 + x ρ θ x u 1 ;2. Koriste i (2.114) i veze između jednih i drugih koordinata, sledi u 1 ;1 = cos θ x y 0 + ( ρ sin θ) (x)2 + (y) 2 (x)2 + (y) θ 2 ρ 2x +( ρ sin θ) (x)2 + (y) + cos θ y 2 (x) 2 + (y) (1 + 2 (ρ)2 ) = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ], tj. dobija se (2.113). Na isti naqin moжemo na i i ostale vrednosti u i ;j. d) Primenom vrednosti (2.5.2) i operacije spuxtanja indeksa, ima-mo u i = g ip u p = g i1 u 1 + g i2 u 2, u 1 = g 11 u 1 + g 12 u 2 = θ, u 2 = (g 21 u 1 + g 22 u 2 ) = ((ρ) 2 ( ρ)) = (ρ) 3. (2.115) đ) Prema (2.24) imamo u (1) = u j λ j (1) = u 1λ 1 (1) + u 2 λ 2 (1), u (2) = u j λ j (2) = u 1λ 1 (2) + u 2 λ 2 (2). (2.116) Iz jednaqine koja daje vektor poloжaja proizvoljne taqke r = (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) za tangentne vektore koordinatnih linija u polarnom sistemu u ravni imamo r1 = r ρ = r = (cos θ, sin θ), ρ r2 = r θ = ( ρ sin θ, ρ cos θ). Kako je r 1 = 1, r 2 = ρ, to za jediniqne tangentne vektore imamo (razlaganje po bazi r 1, r 2 ): λ (1) = r 1 = 1 r r 2 = (1, 0) = (λ 1 (1), λ 2 (1)) λ (2) = 1 r2 = 0 r r2 = (0, 1 ρ ρ ρ ) = (λ1 (2), λ 2 (2)) Ovde je λ 1 (1) = 1, λ2 (1) = 0; λ1 (2) = 0, λ2 (2) = 1. Zamenom ovih vrednosti, kao i ρ u 1, u 2 iz (2.115) u (2.116), sledi u (1) = θ, u (2) = (ρ) 2. Primer Za hiperpovrxi u R N x i = c 1 = const., x j = c 2 = const., na i a) 1 (x i, x j ), b) (x i ) 2, v) cos θ ij, gde je θ ij ugao pod kojim se ove hiperpovrxi seku u nekoj taqki.

55 2.7. Izvod u pravcu, apsolutni izvod i apsolutni diferencijal 55 Rexenje: a) Prema (2.114) je 1 (x i, x j ) = x i x j = g pq x i,px i,q = g pq δ i pδ j q = g ij b) ( x i ) 2 = 1 x i = g ii v) Ugao između hiperpovrxi je ugao između njihovih normala, pa cos θ ij = x i x j ( xi ) 2 ( x j ) 2 = g ij g ii g jj. Dakle, uslov ortogonalnosti hiperpovrxi je g ij = Izvod u pravcu, apsolutni izvod i apsolutni diferencijal Na osnovu pojma kovarijantnog izvoda tenzora definixu se jox neki vaжni pojmovi tenzorske analize. Definicija Kompozicijom kovarijantnog izvoda tenzora sa nekim vektorom a i po indeksu kovarijantnog diferenciranja, dobija se izvod tenzora u pravcu vektora a i. Na primer, izvod tenzora t ij k u pravcu vektora ai je t ij k;q aq = (t ij k,q + Γi pqt pj k + Γj pqt ip k Γp kq tij p )a q. Kao specijalan sluqaj izvoda tenzora u pravcu vektora imamo izvod u pravcu krive. Definicija Ako je u R N data kriva x i = x i (t), (2.117) izvod tenzora u pravcu tangentnog vektora dxi dt, tj. izvod u pravcu krive u nekoj taqki, zove se apsolutni izvod po parametru t ili Bjankijev izvod, u oznaci D Dt. Na primer, ili detaljnije tj. Dw i j Dt Dw i j Dt = wj;q i dx q dt, (2.118) = ( wi j x q + Γi pqw p j Γp jq wi p) dxq dt,

56 56 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Dw i j = dwi j Dt dt + Γi pqw p dx q j dt dx q Γp jq wi p dt. (2.119) Specijalni sluqaj apsolutnog izvoda po parametru je apsolutni izvod po luku. Na primer, Dwj i Ds = dx q wi j;q ds. Definicija Proizvod apsolutnog izvoda sa diferencijalom parametra zove se apsolutni diferencijal tenzora, u oznaci D. Na primer, Dwj i = Dwi j Dt dt = ( dwi j (2.119) dt + Γi pqw p dx q j dt dx q Γp jq wi p dt )dt, Dw i j = dw i j + Γ i pqw p j dxq Γ p jq wi pdx q. (2.120) Apsolutni diferencijal se dobija kompozicijom kovarijantnog izvoda sa dx q. Na primer, (2.120) se moжe napisati u obliku Dw i j = w i j;qdx q, (2.121) xto se lako proverava razvijanjem desne strane. Deljenjem leve i desne strane ove jednaqine sa dt dobijamo Dw i j dt odakle upoređivanjem sa (2.118) zakljuqujemo: = wj;q i dx q dt, (2.122) Dt = dt. (2.123) Iz definicija izvoda po pravcu, apsolutnog izvoda i apsolutnog diferencijala uoqavamo da za njih vaжe osobine analogne osobinama za kovarijantni izvod, kao i da su istoga tipa kao i polazni tenzor. Kako je za invarijantu kovarijantni izvod jednak parcijalnom izvodu, to je apsolutni izvod invarijante zapravo izvod po parametru Dφ = dφ Dt dt. Kako su kovarijantni izvodi metriqkih tenzora jednaki 0 u R N, to su i apsolutni izvodi matriqkih tenzora jednaki 0 u R N. Primer Dokazati da je: a) Za skalarnu invarijantu φ(x 1,..., x N ) zadovoljeno Dφ Dt = dφ dt, b) D(g iju i v j ) Dt v) D( u )2 Dt = g ij Du i Dt vj + g ij u i Dvj Dt, = 2g ij u i Duj Dt.

57 2.8. Paralelno pomeranje i geodezijske linije 57 Rexenje. a) Prema (2.91) i Definiciji je Dφ Dt = φ dx q x q dt = dφ dt. b) Kako je g ij u i v j = φ skalarna invarijanta, to je prema a) i qinjenici da su apsolutni izvodi metriqkih tenora jednaki 0 u R N : d(g ij u i v j ) dt = D(g iju i v j ) Dt = D(ui v j ), Dt odakle vaжi b). v) Kako je u 2 = g ij u i u j, to za v j = u j iz b) sledi v). 2.8 Paralelno pomeranje i geodezijske linije Paralelno pomeranje vektora u E N Ako duж krive C određene sa x i = x i (t) (2.124) u E N, gde su x i Dekartove koordinate, t parametar, imamo u svakoj taqki M vektor u = (u i ) istoga intenziteta, pravca i smera, tj. vektor u se paralelno pomera duж C, njegove koordinate u i se u takvom sistemu ne menjaju duж C, pa je du i = 0. (2.125) dt Međutim, ako u svakoj taqki M vektor u posmatramo u odnosu na krivolinijske koordinate x i (na primer polarne u E 2 ili sferne u E 3 ), tada se njegove koordinate u i menjaju od taqke do taqke, jer se menjaju koordinatni vektori r i = r/ x i, (2.126) gde je r vektor poloжaja taqke M. Ako je veza između Dekartovih koordinata x i bi e a jednaqina posmatrane krive je sada i krivolinijskih x i data sa x i = x i (x 1,..., x N ), (2.127) u i = x i i u i, (2.128) x i = x i (t). (2.129)

58 58 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Na osnovu (2.128) je du i dt = d dt (xi i )u i + x i i du i dt = x i iju i dxj (2.127) dt + xi i du i dt = 0. (2.125) Kako je Γ i j k = 0 i xi jk = Γi jk xi i Γ i j k xj pa prethodna jednaqina postaje j xk k, to imamo x i ij = Γ k ijx i k Γ i j k xj j xk i = Γ k ijx i k + 0, Kompozicijom sa x m i : Γ k ijx i k u i dxj dt + xi i du i dt = 0. δ m i du i dt + Γk ijδk m u i dxj dt = 0 dum + Γ m ij u i dxj dt dt = 0, tj. Du m /Dt = 0, odnosno Du i = 0, (2.130) Dt tj. du i dt + Γi pqu p dxq = 0. (2.131) dt Odavde vidimo da je pri prelasku na krivolinijske koordinate jednaqina (2.125) zamenjena sa (2.130). Pri prelasku iz taqke (x i ) u taqku (x i + dx i ) duж krive C, komponente vektora u dobijaju priraxtaje u i du i, koji se nalaze iz (2.131): du i = Γ i pqu p dx q. (2.132) Integracijom ovog sistema diferencijalnih jednaqina nalazimo u i (x 1,..., x N ), u proizvoljnoj taqki M(x i ) sa krive C Paralelno pomeranje tenzora u R N Jednaqina (2.130), kojom se izraжava paralelno pomeranje vektora u E N u krivolinijskim koordinatama, sugerixe nam definiciju paralelnog pomeranja u R N. Definicija Za vektor u i u R N kaжemo da se pomera paralelno duж krive C date jednaqinom x i = x i (t), (2.133)

59 2.8. Paralelno pomeranje i geodezijske linije 59 ako duж C vaжi Uopxte, za tenzor u Du i = 0. (2.134) Dt kaжemo da se paralelno pomera duж C, ako je duж C : Du Dt = 0. (2.135) Ovako definisan paralelizam je paralelizam u smislu Levi -Qivita. Teorema Pri paralelnom pomeranju dva vektora u R N ne menja se njihov skalarni proizvod, kao ni intenzitet svakog od njih, ni ugao između njih. Dokaz: Poxto je u v = g ij u i v j skalarna invarijanta, to se apsolutni izvod svodi na obiqan izvod po parametru, a po pretpostavci je Du i Dt = 0, Dv i Dt = 0, (2.136) pa, koriste i qinjenicu da je apsolutni izvod od g ij nula, u R N imamo d dt (u v) = d dt (g iju i v j ) = D Dt (g iju i v j ) = g ij ( Dui Dt vj + u i Dvj Dt ) = g ij (0 + 0) = 0, (2.136) a odavde je u v = const. Poxto se intenzitet vektora, kao i ugao između dva vektora izraжavaju pomo u skalarnog proizvoda, to se ni oni ne menjaju pri paralelnom pomeranju Geodezijske linije u R N Posmatrajmo neku pravu u E N. Ako se njen jediniqni vektor pravca a = (a i ) zadat svojim Dekartovim koordinatama paralelno pomera, on ostaje i dalje vektor pravca. Tada je da i = 0, (2.137) ds odnosno u krivolinijskim koordinatama Da i ds = 0. (2.138)

60 60 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Za krivu liniju je njen vektor pravca u nekoj taqki njen tangentni vektor u toj taqki. Dakle, za vektor pravca prave u E N u krivolinijskim koordinatama x i vaжi (2.138). Kao uopxtenje prave iz E N imamo geodezijsku liniju u R N (posebno na povrxi u E 3 ). Definicija Kriva u R N je geodezijska linija, ako njeni jediniqni tangentni vektori (a i ) = (dx i /ds) qine polje paralelnih vektora u smislu Levi-Qivita, tj. kriva x i = x i (s) (2.139) je geodezijska linija, ako za njen tangentni vektor (a i ) = (dx i /ds) vaжi jednaqina d ds (dxi ds ) + dx i dx i Γi jk ds ds = 0, ili d 2 x i (ds) + dx j dx k 2 Γi jk = 0. (2.140) ds ds Ovo je sistem obiqnih diferencijalnih jednaqina II reda po nepoznatim funkcijama x i (s), qijom integracijom se dobijaju geodezijske linije (2.139). Prema teoriji ovih jednaqina, sistem (2.140) ima jedinstveno rexenje za date poqetne uslove x i (s 0 ) = x i 0, ( dxi ds ) s 0 = v i 0 (i = 1,..., N), tj. kroz datu taqku u datom pravcu u R N postoji jedna geodezijska linija. U sluqaju E N sa metricom (ds) 2 = N i=1 (dxi ) 2 je Γ i jk = 0, pa iz (2.140) dobijamo d 2 x i /(ds) 2 = 0, odakle x i = a i s + b i, (2.141) xto znaqi da su u ovom sluqaju geodezijske linije prave Geodezijske linije na povrxi u E 3 Povrx u E 3 je diferencijabilna mnogostrukost. Kako postoji i metriqki tenzor g ij, gde je g 11 = E, g 12 = g 21 = F, g 22 = G, to povrx moжemo posmatrati kao dvodimenzionalni Rimanov prostor R 2. Na povrxi su unutraxnje koordinate u 1, u 2, pa iz (2.140) za i, j, k = 1, 2, x 1 = u 1, x 2 = u 2, dobijamo sistem diferencijalnih jednaqina geodezijskih linija d 2 u 1 (ds) + 2 Γ1 11( du1 ds )2 + 2Γ 1 du 1 du 2 12 ds ds + Γ1 22( du2 ds )2 = 0, d 2 u 2 (ds) + 2 Γ2 11( du1 ds )2 + 2Γ 2 du 1 12 ds du 2 ds + Γ2 22( du2 ds )2 = 0. (2.142)

61 2.8. Paralelno pomeranje i geodezijske linije 61 Pokaza emo narednom teoremom kako se ovaj sistem moжe svesti na jednu jednaqinu, xto je praktiqnije za nalaжenje geodezijskih linija u primerima. Teorema Sistem (2.142) se moжe svesti samo na jednu jednaqinu ili d 2 u 2 (du 1 ) 2 = Γ1 22( du2 du 1 )3 + (2Γ 1 12 Γ 2 22)( du2 du 1 )2 (2Γ 2 12 Γ 1 11) du2 du 1 Γ2 11, (2.143) d 2 u 1 (du 2 ) 2 = Γ2 11( du2 du 2 )3 + (2Γ 2 12 Γ 1 11)( du1 du 2 )2 (2Γ 1 12 Γ 2 22) du1 du 2 Γ1 22. (2.144) Dokaz: Najpre, napomenimo da se (2.144) dobija iz (2.143) kada indeksi 1 i 2 uzajamno zamene mesta. Osim toga, Kristofelovi simboli u prvom i poslednjem sabirku se dobijaju jedan iz drugog na prethodni naqin, a isto vaжi za srednja dva sabirka. Dokaжimo da vaжi (2.143). Umesto unutraxnjim jednaqinama u 1 = u 1 (s), u 2 = u 2 (s), kriva na povrxi, pa i geodezijska linija, moжe se zadati tako xto se jedan parametar izrazi preko drugog. Neka je, na primer, u 2 = u 2 (u 1 ). Tada imamo pa smenom d2 u i (ds) 2, du 2 du2 du = ds, 1 du 1 ds d 2 u 2 d2u2 du 1 (du 1 ) = d2 u 1 du 2 (ds) 2 ds (ds) 2 ds, (2.145) 2 ( du1 ds )3 (i = 1, 2) u drugu od ovih jednaqina prema (2.142), sledi d 2 u 2 (du 1 ) 2 (du1 ds )3 = du1 ds [Γ2 11( du1 ds )2 + 2Γ 2 du 1 du 2 12 ds ds + Γ2 22( du2 ds )2 ] + du2 ds [Γ1 11( du1 ds )2 + 2Γ 1 du 1 du 2 12 ds ds + Γ1 22( du2 ds )2 ], odakle deljenjem sa (du 1 /ds) 3 dobijamo (2.143). Na sliqan naqin se dobija i (2.144). Napomenimo da se unutraxnje jednaqine u i = u i (s), i = 1, 2, mogu odrediti i bez poznavanja jednaqine povrxi r = r(u 1, u 2 ). Dovoljno je znati metriqku formu g ij du i du j, odnosno metriqki tenzor g ij. Vektor pravca prave je konstantan, a tangentni vektor geodezijske linije je kovarijantno konstantan. S druge strane, znamo da je odseqak prave najmanje duжine od odseqaka svake krive xto spaja dve taqke. Na povrxi tu ulogu u određenom smislu ima odseqak geodezijske linije. Naime, vaжi slede a teorema: Teorema Odseqak geodezijske linije, koja spaja taqku A na povrxi S sa dovoljno bliskom taqkom B S, ima najmanju duжinu u odnosu na sve druge krive AB na povrxi. Obrnuto, ako je odstojanje između dveju taqaka na povrxi, mereno duж neke krive na toj povrxi, minimalno, ta kriva je geodezijska linija.

62 62 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Primer Vektor u = ı + 2ȷ = (1, 2) je dat u taqki A(a, 0) u E 2 u Dekartovom pravouglom sistemu. Odrediti kontravarijantne koordinate toga vektora u proizvoljnoj taqki u polarnom sistemu pri paralelnom pomeranju duж kruжnice ρ = a. Specijalno, odrediti ove koordinate u taqki B(0, a). Rexenje: U ovom sluqaju se zadatak moжe rexiti na dva naqina. I naqin: Neka je x 1 = x, x 2 = y, x 1 = ρ, x 2 = θ. U Dekartovim koordinatama vektor ima iste koordinate u svakoj taqki, a odgovaraju e polarne koordinate vektora se dobijaju preko obrazaca za transformaciju: a za taqke na krugu ρ = a je u 1 = xu1 + yu 2 (x)2 + (y) 2, u2 = xu2 yu 1 (x) 2 + (y) 2, (2.146) u 1 = 1 a (xu1 + yu 2 ), u 2 = 1 (a) 2 (xu2 yu 1 ). (2.147) Za taqku B(0, a) je u 1 = 1, u 2 = 2, pa sledi II naqin: Prema (2.132), u polarnim koordinatama je u 1 (B) = 2, u 2 (B) = 1 a. (2.148) du i = Γ i p q up dx q, gde je Γ = ρ, Γ2 1 2 = 1/ρ, dok su ostali Γi p q nula, pa sledi du 1 = Γ u2 dx 2 = ρu 2 dθ, du 2 = 1 ρ (u1 dθ + u 2 dρ). (2.149) Integracijom ovog sistema nalazimo nepoznate funkcije u i (ρ, θ) u proizvoljnoj taqki na posmatranoj krivoj. Specijalno, pri paralelnom pomeranju po posmatranom krugu je ρ = a, dρ = 0 pa (2.149) postaje Eliminacijom dθ dobijamo du 1 = au 2 dθ, du 2 = u1 dθ a. (2.150) u 1 du 1 = au 2 du 2, odakle je (u 1 ) 2 = (au 2 ) 2 + (c 1 ) 2,

63 2.8. Paralelno pomeranje i geodezijske linije 63 odnosno u 1 = ± (c 1 ) 2 (au 2 ) 2. (2.151) Poxto znak ne daje u krajnjem rezultatu nixta bitno novo, koristimo samo +. Zamenom u(2.150) dolazimo do du 2 ( c 1a ) 2 (u 2 ) 2 = dθ, pa integraljenjem dobijamo arcsin au2 c 1 = c 2 θ, tj. a zamenom u (2.151): u 2 = c 1 a sin(c 2 θ), (2.152) u 1 = c 1 cos(c 2 θ). (2.153) Integracione konstante c 1 i c 2 moжemo odrediti iz poqetnih uslova u 1 (A), u 2 (A), koje nalazimo iz (2.138): u 1 (A) = 1, u 2 (A) = 2/a. Kako je θ = 0 u taqki A, zamenom u (2.142), dobijamo c 1 = 5, c 2 = arcsin 2 5, pa jednaqine (2.152), (2.153) postaju u 1 = 5 cos(arcsin 2 5 θ), u 2 = 5 a sin(arcsin 2 5 θ) (2.154) i daju komponente posmatranog vektora u lokalnom reperu u proizvoljnoj taqki pri paralelnom pomeranju po datom krugu. Za taqku B(θ = π/2) iz (2.154) je u 1 (B) = 5 cos(arcsin 2 π 5 2 ) = 5 sin(arcsin 2 ) = 2, 5 u 2 (B) = 5 a sin(arcsin 2 5 π 5 2 ) = a cos(arcsin 2 5) = 1 a, tj. dobijamo vrednosti kao u (2.148). Primer Ako se vektori u i, v j paralelno pomeraju duж neke krive, tj. duж te krive određuju paralelna vektorska polja, izvesti obrazac za apsolutni izvod tenzora w i j.

64 64 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Rexenje: Iz datog uslova za u i, v j je Kako je w i ju j v i invarijanta, to je Du i Dt = Dv i Dt = 0. (2.155) Kako je prema (2.155) D(w i ju j v i ) Dt = d(wi ju j v i ) dt = 0. (2.156) prema (2.156) i (2.157) sledi du j dt = Γj pqu p dxq dt, dv i dt = Γp iq v dx q p dt, (2.157) Dwj i Dt ui v j = dwi j dt uj v i + wj i du j dt v i + wju i j dv i dt = (2.157) dwj i dt uj v i + wj( Γ i j pqu p dxq dt )v i + wju i j (Γ p iq v dx q p dt ). Smenjuju i na desnoj strani u prvom sabirku p j, a u drugom p i, dobijamo ( Dw i ) j Dt dwi j dt Γi pqw p dx q j dt + dx q Γp jq wi p u j v i = 0. dt Kako su u i, v i proizvoljni vektori sa navedenom osobinom, za Dwi j Dt vrednost (2.119). dobijamo Primer Na i geodezijske linije povrxi r = (u cos v, u sin v, u). (2.158) Rexenje: Ovde je u 1 = u, u 2 = v, pa iz jednaqine (2.154) dobijamo (oznaqavamo bez indeksa) d 2 v du = 2 Γ1 22( dv du )3 + (2Γ 1 12 Γ 2 22)( dv du )2 (2Γ 2 12 Γ 1 11) dv du Γ2 11. (2.159) Iz (2.151) nalazimo da je Dalje je r u = (cos v, sin v, 1), r v = ( u sin v, u cos v, 0). g 11 = r 1 r 1 = r u r u = 2, g 12 = r 1 r 2 = r u r v = 0, g 22 = r 2 r 2 = r v r v = u 2,

65 2.8. Paralelno pomeranje i geodezijske linije 65 (g ij ) = (g ij ) 1 = ( 1/ /u 2 ), Γ 1.22 = u, Γ 2.12 = u, Γ 1 22 = u/2, Γ 2 12 = 1/u, a ostali Kristofelovi simboli su jednaki 0. Jednaqina (2.159) daje d 2 v du = u 2 2 (dv du )3 2 u dv du. (2.160) Ova jednaqina je zadovoljena za dv = 0, odn. za v = c = const., a zajedno sa jednaqinom povrxi određuje prvu familiju geodezijskih linija. To su prave, jer smenom v = c u (2.158) dobijamo x = u cos c, y = u sin c, z = u, tj. x cos c = y sin c = z(= u). (2.161) Napomenimo da iz (2.158) dobijamo x 2 + y 2 = u 2, tj. skalarna jednaqina povrxi (2.158) je x 2 + y 2 = z 2, (2.162) odakle vidimo da se radi o konusnoj povrxi, a (2.161) su njene izvodnice. Potraжimo sada drugu familiju geodezijskih linija na povrxi (2.158). Smenom dv = p u (2.160) dobijamo Bernulijevu jednaqinu du qije je rexenje određeno sa dp du = 2 u p u 2 p3, (2.163) p = (c 1 u u2 ) 1/2. Kako je p = dv, to je du v = du c 1 u 4 12 u2 = 2 arcsin(c /u) + c 2, (2.164) gde su c = 1/ 2c 1 i c 2 proizvoljne konstante. Jednaqine (2.158) i (2.164) definixu drugu familiju geodezijskih linija.

66 66 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.9 Riqijev identitet i tenzor krivine u R N Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine Ako je u i neki tenzor I reda, njegov kovarijantni izvod u i ;m je tenzor, pa se moжe na i njegov kovarijantni izvod, qime se dobija kovarijantni izvod II reda. Postavlja se pitanje: da li rezultat zavisi od reda kovarijantnog diferenciranja, tj. xta je npr., sa razlikom u i ;mn u i ;nm? Za kovarijantni izvod imamo: u i ;m = u i,m + Γ i pmu p, (2.165) u i ;mn =(u i ;m) ;n = (u i ;m),n + Γ i snu s ;m Γ s mnu i ;s = u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n + Γ i sn(u ș m + Γ s pmu p ) Γ s mn(u i,s + Γ i psu p ), (2.165) a razmenom m n dolazimo do u i ;mn =u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n +Γ i snu ș m + Γ i snγ s pmu p Γ s mnu i,s Γ s mnγ i psu p, u i ;nm =u i,nm + Γ i pn,mu p + Γ i pnu p,m +Γ i smu ș n + Γ i smγ s pnu p Γ s nmu i,s Γ s nmγ i psu p. (2.166) (2.167) Oduzimanjem (2.167) od (2.166) dobijamo u i ;mn u i ;nm = (Γ i pm,n Γ i pn,m + Γ s pmγ i sn Γ s pnγ i sm)u p, tj. pri qemu smo oznaqili u i ;mn u i ;nm = R i pmnu p, (2.168) R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm. (2.169) Na osnovu Zakona koliqnika zakljuqujemo da je sistem (2.169) tenzor tipa (1, 3). Definicija Jednakost (2.168) je Riqijev identitet za vektor u i, a tenzor Rjmn i, određen pomo u (2.169), je Riman-Kristofelov tenzor ili mexoviti tenzor krivine Rimanovog prostora R N. Analogno dolazimo do Riqijevog identiteta za kovarijantni vektor v j : gde je R p jmn određeno sa (2.169). v j;mn v j;nm = R p jmn v p, (2.170)

67 2.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 67 Analogni postupak određivanja Riqijevog identiteta se moжe koristiti i za tenzore vixeg reda. Međutim, moжe se koristiti i kompozicija, tako da se dobije skalarna invarijanta. Na taj naqin emo izvesti Riqijev identitet za, na primer, tenzor t i j. Ako su ui, v i vektori, onda je skalarna invarijanta, a prema Definiciji je gde je φ,m kovarijantni vektor. Dalje je φ = t i ju j v i (2.171) φ ;m = φ,m = φ x m, (2.172) φ ;mn = (φ,m ) ;n = (φ,m ),n Γ p mnφ,p, (2.172) φ ;mn φ ;nm = 0. (2.173) Prema (2.171), koriste i Lajbnicovo pravilo, dobijamo φ ;m = t i j;mu j v i + t i ju j ;mv i + t i ju j v i;m, φ ;mn = t i j;mnu j v i + t i j;mu j ;nv i + t i j;mu j v i;n + t i j;nu j ;mv i + t i ju j ;mnv i + t i ju j ;mv i;n + t i j;nu j v i;m + t i ju j ;nv i;m + t i ju j v i;mn, (2.174) φ ;nm = t i j;nmu j v i + t i j;nu j ;mv i + t i j;nu j v i;m + t i j;mu j ;nv i + t i ju j ;nmv i + t i ju j ;nv i;m + t i j;mu j v i;n + t i ju j ;mv i;n + t i ju j v i;nm. (2.175) Oduzimanjem jednaqina (2.174) i (2.175) dobijamo (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i (u j ;mn u j ;nm) + t i ju j (v i;mn v i;nm ) = 0, pa nakon xto primenimo (2.168) i (2.170), dolazimo do (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i R j pmnu p t i ju j R p imn v p = 0. Ako u drugom sabirku smenimo j p, a u tre em i p i uzmemo u obzir da su u j, v i proizvoljni vektori, sledi da je Riqijev identitet za tenzor t i j određen sa t i j;mn t i j;nm = R i pmnt p j Rp jmn ti p. (2.176) Ovaj postupak moжemo primeniti i u drugim sluqajevima. Na primer, moжemo na i Riqijeve identitete tenzora t ij, t ij, t ij k, koriste i skalarne invarijante φ =t ij u i v j, ψ = t ij u i v j, λ = t ij k u iv j w k, µ =t ij k uk i v j, ν = t ij k u ijv k,

68 68 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori znaju i Riqijeve identitete, na primer u sluqaju µ za u k i, v j. Na taj naqin imamo, na primer t ij k;mn tij k;nm = Ri pmnt pj k + Rj pmnt ip k Rp kmn tij p. Na osnovu izloжenog, zakljuqujemo da vaжi slede a teorema. Teorema Riqijev identitet za tenzor t i 1,...,i A j 1,...,j B glasi = A R i α pmn t i 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B α=1 t i 1...i A j 1...j B ;mn ti 1...i A j 1...j B ;nm B R p j β mn ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B. β=1 (2.177) Prema (2.169) vidimo da je u euklidskom prostoru E N u Dekartovim koordinatama R i jmn = 0. Na osnovu zakona transformacije sledi da u E N u svakom koordinatnom sistemu vaжi R i jmn = 0. (2.178) Teorema Mexoviti tenzor krivine R i jmn ima slede e osobine: R i jmn = R i jnm (antisimetrija), (2.179) R i jmn + R i mnj + R i njm = 0 (cikliqna simetrija). (2.180) Dokaz: Osobina (2.179) je oqigledna iz (2.169). Da bismo dokazali (2.180), imamo R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm, R i mnj = Γ i mn,j Γ i mj,n + Γ p mnγ i pj Γ p mj Γi pn, R i njm = Γ i nj,m Γ i nm,j + Γ p nj Γi pm Γ p nmγ i pj. Sabiranjem ovih jednaqina, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola po donjim indeksima i vrxe i potrebne izmene nemih indeksa, dobijamo jednaqinu (2.180). Jednaqina (2.180) se zove I Bjankijev identitet Kovarijantni tenzor krivine Definicija Tenzor tipa (0, 4) određen sa R ijmn = g ip R p jmn = g ip(γ p jm,n Γp jn,m + Γs jmγ p sn Γ s jnγ p sm) (2.181) zove se kovarijantni tenzor krivine u R N.

69 2.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 69 Teorema Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = Γ i.jm,n Γ i.jn,m + Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm. (2.182) Dokaz: Ako iz jednaqine nađemo Γ i.jm,n = (g ip Γ p jm ),n = g ip,n Γ p jm + g ipγ p jm,n g ip Γ p jm,n = Γ i.jm,n g ip,n Γ p jm = Γ i.jm,n (Γ i.pn + Γ p.in )Γ p jm (2.59) i to smenimo u (2.181), dobijamo R ijmn = Γ i.jm,n (Γ i.pn +Γ p.in )Γ p jm Γ i.jn,m+(γ i.pm +Γ p.im )Γ p jn +Γs jmγ i.sn Γ s jnγ i.sm, odakle sledi (2.182), jer se poslednja dva sabirka potiru sa odgovaraju im sabircima suprotnog znaka. Da bismo ispitali osobine tenzora R ijmn, napisa emo ga u jox jednom obliku. Teorema Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ) + g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (2.183) gde je, na primer, g im,jn = 2 g im / x j x n. Dokaz: Za prva dva sabirka u (2.182) imamo Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g ij,m g jm,i + g mi,j ),n 1 2 (g ij,n g jn,i + g ni,j ),m, a za poslednja dva Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ), (2.184) Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm = Γ p.img ps Γ s.jn Γ p.in g ps Γ s.jn =g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (2.185) gde smo primenili Γ p.in g ps Γ s.jm = Γ s.in g sp Γ p.jm = g ps Γ p.jm Γ s.in. Kada zamenimo (2.184), (2.185) u (2.182) dobija se (2.183).

70 70 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Teorema Kovarijantni tenzor krivine prostora R N ima slede e osobine: R ijmn = R ijnm, (2.186) R ijmn = R jimn, (2.187) R ijmn = R mnij, (2.188) Cikl αβγ R ijmn = 0, (2.189) gde je α, β, γ neka od qetiri kombinacije indeksa i, j, m, n, xto znaqi da se cikliqnom permutacijom bilo koja tri indeksa (a fiksiranjem qetvrtog) i sabiranjem dobijene tri komponente tenzora R ijmn, dobija 0. Dokaz: Relacija (2.186) sledi iz (2.179) i (2.181), a relacija (2.187) iz (2.183). Relacija (2.188) se proverava preko(2.183) kada se istovremeno izvrxe smene i m, j n. Relacija (2.189) se dokazuje korix enjem (2.180) i (2.181). Na primer, Cikl R ijmn = Cikl (g ipr p jmn ) = g ip(r p jmn + jmn (2.181) jmn Rp mnj + Rp njm ) = 0 (2.180) Cikl ijm R ijmn = (2.186) Cikl ijm R ijnm = (2.188) Cikl ijm R nmij = Cikl mij R nmij = 0. Na osnovu Teoreme vidimo da komponente tenzora R ijmn nisu nezavisne. Ako za nezavisne komponente smatramo one koje su razliqite od 0 i one koje se ne mogu izraziti kao linearne kombinacije drugih, postavlja se pitanje koliko ima nezavisnih komponenata u R N, tj. koliko komponenata treba zadati proizvoljno da bi se mogle izraqunati ostale komponente. Odgovor na postavljeno pitanje daje slede a teorema. Teorema Broj nezavisnih komponenata, u oznaci K(N), tenzora krivine R ijmn u prostoru R N je K(N) = 1 12 N 2 (N 2 1). (2.190) Dokaz: Razlikova emo sluqajeve u zavisnosti od jednakosti indeksa. 1. Ako su svi indeksi međusobno jednaki, na primer R 1111, takve komponente su jednake nuli zbog osobine antisimetrije. 2. Posmatrajmo komponente kod kojih su samo dva indeksa razliqita. Neka su to, na primer, indeksi 1 i 2. U tom sluqaju je samo jedna komponenta bitna, na primer R 1212, jer se ostale izraжavaju preko ove komponente ili su jednake 0 (R 2112 = R 1212 = R 2121 = R 1221, R 1122 = R 2211 = 0). Kako umesto 1, 2

71 2.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 71 moжemo uzeti bilo koja dva razliqita indeksa iz skupa {1,..., N}, to je broj nezavisnih komponenata sa dva razliqita indeksa jednak broju kombinacija bez ponavljanja druge klase od N elemenata, tj. K 2 = ( ) N Neka su u svakoj komponenti tri indeksa razliqita. Neka su to, na primer, indeksi 1, 2, 3. Tada se u R ijmn jedan indeks mora pojaviti dva puta, pri tome ponovljeni indeks mora biti u razliqitim parovima indeksa, da bi odgovaraju a komponenta bila razliqita od 0. Na taj naqin sa ponovljenim indeksom 1 imamo jednu bitnu komponentu, R 1213, jer je na primer R 1312 = (2.188) R 2113 itd. Na isti naqin dobijamo jednu bitnu komponentu sa R 1213 = (2.186) ponovljenim indeksom 2 i jednu sa ponovljenim indeksom 3. Dakle, sa indeksima 1, 2, 3 moжemo dobiti tri bitne komponente. To vaжi za svaka tri razliqita indeksa. Kako tri razliqita indeksa moжemo izabrati na ( ) N 3 naqina, to je broj ovakvih komponenata K 3 = 3 ( ) N Posmatrajmo jox komponente kod kojih su svi indeksi razliqiti, na primer 1, 2, 3, 4. Sve komponente sa ovim indeksima mogu se izraziti pomo u R 1234, R 1342, R 1423, ali ni ove komponente nisu nezavisne, jer je R R R 1423 = 0 na osnovu (2.189). Dakle, sa indeksima 1, 2, 3, 4 su dve komponente nezavisne. Zato je K 4 = 2 ( ) N 4. Dakle ukupan broj nezavisnih komponenata je ( ) ( ) ( ) N N N K(N) =K 1 + K 2 + K 3 + K 4 = N(N 1) = = N 2 (N 2 1) 12 N(n 1)(n 2) N(N 1)(N 2)(N 3) Na primer, za povrx u E 3 je N = 2, pa je K(2) = (2 2 1) = 1, tj. jedna komponenta je nezavisna Riqijev tenzor Ako pođemo od mexovitog tenzora krivine R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm (2.191) moжemo izvrxiti kontrakciju indeksa i na dva naqina: 1. sa indeksom j, 2. sa nekim od indeksa m, n. Prvi naqin daje tenzor koji je identiqki jednak nuli, tj. vaжi R p pmn = 0, (2.192)

72 72 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori jer iz relacije (2.191) imamo Rpmn p = Γ p pm,n Γ p pn.m + Γ s pmγ p sn Γ s pnγ p sm = ( ln g (2.62) x ) m,n ( ln g x ) n,m = (ln g),mn (ln g),nm = 0. Drugi naqin kontrakcije daje kovarijantni tenzor II reda koji se zove Riqijev tenzor, u oznaci R ij, i koji igra osnovnu ulogu u teoriji relativnosti. Dakle, vaжi a na osnovu (2.62) imamo tj. odakle zakljuqujemo da je R p jmp = R jm = Γ p jm,p Γp jp,m + Γs jmγ p sp Γ s jpγ p sm, (2.193) R jm = Γ p jm,p (ln g),jm + Γ s jm(ln g),s Γ s jpγ p sm, R ij = R p ijp = Γp ij,p (ln g),ij + Γ p ij (ln g),p Γ s ipγ p sj, (2.194) Dakle, Riqijev tenzor je simetriqan. R ij = R ji. (2.195) 2.10 Specijalni koordinatni sistemi u R N i njihova primena Geodezijske koordinate u R N U prostoru E N, u odnosu na afini koordinatni sistem, su g ij konstante, tj., g ij,k = g ij / x k = 0, odakle sledi da je Γ i jk = 0 u svakoj taqki takvog sistema. U Rimanovom prostoru (R N ) takav koordinatni sistem u opxtem sluqaju ne postoji. Definicija Ako su u nekoj taqki P prostora R N svi Kristofelovi simboli jednaki nuli u nekom koordinatnom sistemu x i, tj. ako je Γ i j k (P ) = 0, (2.196) takav sistem se zove geodezijski koordinatni sistem sa polom u taqki P. Teorema Uslov (2.196) je ekvivalentan sa uslovom g i j,k (P ) = 0. (2.197)

73 2.10. Specijalni koordinatni sistemi u R N i njihova primena 73 Dokaz: Kako je Γ i.j k = 1(g 2 i j,k g j k,i + g k i,j ), to iz uslova (2.197) sledi odakle je Γ i.j k (P ) = 0, Γ i j k (P ) = p gi (P )Γ p.j k (P ) = 0, pa vaжi (2.196). Obrnuto, poxto je g i j,k = Γ i.j k + Γ j.i k, to polaze i od (2.196) dobijamo odakle je Γ i.j k (P ) = g i p (P )Γp j k (P ) = 0, g i j,k (P ) = 0, pa vaжi (2.197) Napomenimo da se qesto koordinate x i x i (P ) = 0. uzimaju tako da je zadovoljeno Rimanove koordinate u R N Rimanove koordinate, koje emo sada definisati, su specijalan sluqaj geodezijskih koordinata. Definicija Neka je G proiyvoljna geodezijska linija kroz taqku P prostora R N, s duжina luka te geodezijske linije, merena od taqke P, x i proizvoljne koordinate i y i = t i s, t i = dxi (P ). (2.198) ds Tada su y i Rimanove koordinate u okolini taqke P R N. Kako u okolini svake taqke u svakom pravcu postoji određena geodezijska linija, to se u okolini taqke P taqka M moжe odrediti pomo u y i, jer kroz P i M postoji određena geodezijska linija, qime je određen s i t i = dxi (P ). ds Pri tome, ako se s meri od P, na osnovu (2.198), bi e y i (P ) = y i (s = 0) = 0. Kako su u (2.198) t i konstante, to u Rimanovim koordinatama jednaqine geodezijskih linija imaju isti oblik kao jednaqine pravih kroz koordinatni poqetak u Dekartovim pravouglim koordinatama. Teorema Rimanove koordinate su geodezijske.

74 74 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Dokaz: Diferencijalna jednaqina geodezijskih linija kroz taqku P u koordinatama y i je d 2 y i ds + dy i dy k 2 (Γi jk) y = 0. (2.199) ds ds No, iz (2.198) sledi da je dyi = t i = dxi (P ) = const, ds ds odakle je d2 y i = 0, pa ds 2 (2.199) daje (Γ i jk (P )) y = 0, xto predstavlja jednaqinu (2.196) u koordinatama y i Drugi Bjankijev identitet, invarijanta krivine i Ajnxtajnov tenzor U geodezijskim koordinatama x i sa polom P je Γ i jk = 0, pa se tada kovarijantni izvod svodi na obiqan parcijalni izvod. Polaze i od jednaqine Rjmn i = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jn Γi pn Γ p jn Γi pm, (2.200) dobijamo da je u geodezijskim koordinatama u taqki P Rjmn i = Γ i jm,n Γ i jn,m, (2.201) odakle je Rjmn;u i = Rjmn,u i = Γ i jm,nu Γ i jn,mu. Vrxe i cikliqnu permutaciju indeksa m, n, u dobijamo R i jmn;u + R i jnu;m + R i jum;n = Γ i jm,nu Γ i jn,mu + Γ i jn,um Γ i ju,nm + Γ i ju,mn Γ i jm,un 0. Kako se geodezijske koordinate mogu uvesti u svakoj taqki, to prethodna jednaqina vaжi u svakoj taqki Rimanovog prostora R N. Ona vaжi u svim koordinatnim sistemima, jer za tenzor u geodezijskim koordinatama vaжi B i jmnu = R i jmn;u + R i jnu;m + R i jum;n B i jmnu = 0. U nekim drugim koordinatama x i je Dakle, vaжi slede a teorema. B i j m n u = xi i x j j x m m xn n xu u Bi jmnu = 0.

75 2.10. Specijalni koordinatni sistemi u R N i njihova primena 75 Teorema Za tenzor krivine R i jmn u svakoj taqki prostora R N i u svakom koordinatnom sistemu vaжi II Bjankijev identitet odn. R i jmn;u + R i jnu;m + R i jum;n = 0, (2.202) Cikl mnu Ri jmn;u = 0. (2.203) Kako je g ip;u = 0, kompozicijom sa g ip iz (2.202) sledi R ijmn;u + R ijnu;m + R ijum;n = 0, odnosno Cikl mnu R ijmn;u = 0, (2.204) xto je II Bjankijev identitet za kovarijantni tenzor krivine. Iz identiteta (2.204) dobijamo R hijk;m + R hikm;j + R himj;k = 0, odakle kompozicijom sa g hk g ij i koriste i osobine antisimetrije dolazimo do g hk g ij R hijk;m g hk g ij R himk;j g hk g ij R ihmj;k = 0, g ij R k ijk;m g ij R k imk;j g hk R j hmj;k = 0, odakle, uvode i Riqijev tenzor prema (2.193) imamo Ako oznaqimo g ij R ij;m g ij R im;j g hk R hm;k = 0. R = g ij R ij, R i j = g ip R pj, (2.205) gde je R invarijanta krivine a R i j mexoviti Riqijev tenzor prostora R N, prethodna jednaqina postaje R ;m R j m;j Rk m;k = 0 R ;m 2R j m;j = 0 ili odnosno Mexoviti tenzor R j m;j 1 2 R ;m = 0 R j m;j 1 2 δj mr ;j = 0, (R j m 1 2 δj mr) ;j = 0. (2.206) E i j = R i j 1 2 δi jr (2.207) zove se Ajnxtajnov tenzor i on igra veliku ulogu u teoriji relativnosti. Jednaqina (2.206) se moжe napisati u obliku E j m;j = 0, tj. E i j;i = 0. (2.208) Odavde zakljuqujemo da je divergencija Ajnxtajnovog tenzora jednaka nuli.

76 76 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Primer Pomo u geografske duжine θ i xirine φ na sferi polupreqnika a izraziti a) tenzor krivine, b) Riqijev tenzor, v) invarijantu krivine, g) Ajnxtajnov tenzor. Rexenje: Obeleжimo θ = x 1, φ = x 2, (2.209) pa imamo g 11 = (a) 2 cos 2 φ, g 12 = g 21 = 0, g 22 = (a) 2, g = g ij = (a) 4 cos 2 φ, (2.210) Γ 2.11 = (a) 2 cos φ sin φ, Γ 1.12 = Γ 1.21 = (a) 2 cos φ sin φ, (2.211) Γ 1 12 = Γ 1 21 = tgφ, Γ 2 11 = cos φ sin φ, (2.212) dok su ostali Kristofelovi simboli jednaki 0. a) Uzimaju i u obzir osobine tenzora Rjmn i, poxto u ovom sluqaju indeksi uzimaju vrednosti 1, 2, treba na i R112, 1 R212, 1 R112, 2 R212, 2 jer se ostale komponente izraжavaju preko ovih ili su jenake 0. Na osnovu obrasca (2.169), koriste i (2.209) i (2.212) imamo Dakle, vaжi R =Γ 1 11,2 Γ 1 12,1 + Γ p 11Γ 1 p2 Γ p 12Γ 1 p1 =Γ 1 11,2 Γ 1 12,1 + Γ 1 11Γ Γ 2 11Γ 1 22 Γ 1 12Γ 1 11 Γ 2 12Γ 1 21 = 0, R =Γ 1 21,2 Γ 1 22,1 + Γ p 21Γ 1 p2 Γ p 22Γ 1 p1 =Γ 1 21,2 Γ 1 22,1 + Γ 1 21Γ Γ 2 21Γ 1 22 Γ 1 22Γ 1 11 Γ 2 22Γ 1 21 =Γ 1 21,2 (Γ 1 12) 2 = φ ( tgφ) + tg2 φ = 1, R =Γ 2 11,2 Γ 2 12,1 + Γ 1 11Γ Γ 2 11Γ 2 22 Γ 1 12Γ 2 11 Γ 2 12Γ 2 21 =Γ 2 11,2 Γ 1 12Γ 2 11 = φ (cos φ sin φ) + tgφ cos φ sin φ = cos 2φ + sin2 φ = cos 2 φ, R =Γ 2 21,2 Γ 2 22,1 + Γ 1 21Γ Γ 2 21Γ 2 22 Γ 1 22Γ 2 11 Γ 2 22Γ 2 21 = 0. R = R = 0, R = 1, R = cos 2 φ. (2.213) b) Kako je, prema (2.194), Riqijev tenzor R ij = Γ p ij,p (ln g),ij + Γ p ij (ln g),p Γ s ipγ p sj (2.214)

77 2.10. Specijalni koordinatni sistemi u R N i njihova primena 77 i (ln g),ij = 2 x i x (ln g) = (2lna + ln cos φ) j,ij, (2.215) (2.210) to (2.214) daje Dakle, Γ s ipγ p sj = Γ1 ipγ p 1j + Γ2 ipγ p 2j = Γ1 i1γ 1 1j + Γ 1 i2γ 2 1j + Γ 2 i1γ 1 2j + Γ 2 i2γ 2 2j, R 11 = Γ 1 11,1 + Γ 2 11,2 (2lna + ln cos φ),11 + Γ 1 11(2lna + ln cos φ),1 + Γ 2 11(2lna + ln cos φ),2 Γ 1 11Γ 1 11 Γ 1 12Γ 2 11 Γ 2 11Γ 1 21 Γ 2 12Γ 2 21 = (cos φ sin φ) φ (ln cos φ) θθ + cos φ sin φ(ln cos φ),φ (2.212) + 2tgφ cos φ sin φ = cos 2φ sin 2 φ + 2 sin 2 φ = cos 2 φ. R 11 = cos 2 φ. (2.216) Na isti naqin moжemo dobiti i ostale vrednosti R ij. Vrednosti R ij se mogu na i i na osnovu (2.193), xto je u ovom sluqaju, kada znamo vrednosti (2.213), jednostavnije. R 11 = R p 11p = R R = (2.213) cos 2 φ, tj. dobija se vrednost (2.216). Na isti naqin dobijamo ostale vrednosti, pa imamo R 11 = cos 2 φ, R 12 = R 21 = 0, R 22 = 1. (2.217) v) Prema (2.205) je R = g ij R ij = g 11 R 11 + g 12 R 12 + g 21 R 21 + g 22 R 22. (2.218) Kako prema (2.210) vaжi ( (a cos φ) 2 0 (g ij ) = 0 (a) 2 ( (g ij ) = (g ij ) 1 = ), 1 0 (a cos φ) (a) 2 ), (2.219) to iz (2.217) i (2.218) sledi vrednost invarijante krivine sfere R = 2 (a) 2. (2.220) g) Na osnovu (2.207), za određivanje Ajnxtajnovog tenzora Ej i najpre nalazimo Rj i = g ip R pj = g i1 R 1j + g i2 R 2j,

78 78 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori a prema (2.219) i (2.217) je R 1 1 = g 11 R 11 = 1 (a) 2, R1 2 = 0, R 2 1 = 0, R 2 2 = g 22 R 22 = 1 (a) 2. (2.221) Kako je E i j = R i j + δ i jr, prema (2.221), (2.220) dobijamo E 1 1 = E 2 2 = 3 (a) 2, E1 2 = E 2 1 = 0.

79 Deo 3 Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti Prve uspexne teorije relativnosti razvili su jox Galilej i Njutn. U fizici se pod relativnox u podrazumeva prouqavanje toga kako razliqiti posmatraqi, u relativnom kretanju, vide isti događaj. Relativnost koju je Ajnxtajn razvio se preciznije zove moderna teorija relativnosti i deli se na specijalnu i opxtu. Specijalna relativnost se odnosi na opisivanje merenja koja se vrxe u razliqitim inercijalnim (neubrzanim) sistemima reference, dok se u okviru opxte teorije relativnosti prouqavaju i ubrzano relativistiqko kretanje i gravitacija. Ajnxtajnove teorije relativnosti su napravile radikalne rezove u predstavama o prostoru i vremenu i dale revolucionarna predviđanja, pa stoga nisu odmah po formulisanju prihva ene. Danas su ove teorije potvrđene sa velikom preciznox u u velikom broju eksperimenata. 3.1 Ajnxtajnovi postulati Razmixljaju i o tome da se svetlost u vakumu kre e uvek brzinom c, Ajnxtajn je zakljuqio da postoji kontradikcija između tog predviđanja i Njutnove mehanike u kojoj se brzine sabiraju kao vektori. Ako bi ovo bilo primenljivo i na elektromagnetne talase, onda bi dva posmatraqa koja se kre u razliqitim brzinama registrovali razliqite brzine kretanja svetlosti. Zapravo, Ajnxtajn je pokuxavao da shvati kako bi svetlosni talas izgledao nekome ko se kre e istom brzinom kao i sam talas. Sve brzine se mere u odnosu na neki sistem reference. Najjednostavniji su oni koji se ne kre u ubrzano i koji ne rotiraju i u takvim sistemima vaжi Njutnov prvi zakon (zakon inercije). Takve sisteme nazivamo inercijalnim sistemima reference. Posmatrano iz ovakvih sistema, tela koja miruju ostaju u stanju mirovanja, a ona koja se kre u konstantnom brzinom 79

80 80 3. Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti pravolinijski nastaljaju da se kre u tako sve dok na njih ne deluju spoljaxnje sile. Zakoni fizike imaju najjednostavniju formu u inercijalnim sistemima reference. Na primer, sistem reference koji je vezan za Zemlju je samo pribliжno inercijalan. Kako se Zemlja ne kre e uniformno i pravolinijski, to se moжe primetiti da postoji dodatna sila koja komplikuje opisivanje kretanja tela u odnosu na Zemlju. Ono xto je najvaжnije je da zakoni fizike imaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima reference. Ajnxtajnova Specijalna teorija relativnosti poqiva na dva postulata: 1. Princip relativnosti: Zakoni fizike imaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima reference. 2. Princip konstantnosti brzine svetlosti: Brzina svetlosti u vakuumu iznosi c = m/s i ima, nezavisno od relativne brzine izvora svetllosti i posmatraqa, istu vrednost u svim inercijalnim sistemima reference. Princip relativnosti je generalizacija Galilejevog principa relativnosti koji se odnosi samo na mehaniqke pojave. Sa ekserimentalne taqke gledixta, Ajnxtajnov princip relativnosti kaжe da svi eksperimenti, izvrxeni u laboratoriji koja je u stanju mirovanja, moraju da daju iste rezultate i kada se izvrxe u laboratoriji koja se kre e konstantnom brzinom u odnosu na nju. Dakle, nema privilegovanih sistema, pa nije mogu e definisati apsolutno kretanje. Princip konstantnosti je povezan sa principom relativnosti. Naime, ako brzina svetlosti ne bi bila konstantna, njeno merenje bi moglo da se iskoristi za pravljenje razlika između sistema, tj. ne bi svi sistemi bili ravnopravni, xto je u kontradikciji sa principom relativnosti. Neka je S dati referentni sistem. Svaki događaj sistema S je određen trima prostornim koortinatama x, y, z i jednom vremenskom koordinatom t. Naime, za svaki događaj moramo da znamo gde se desio i kada je bio. Razliqiti posmatraqi iz svojih sistema reference opisuju iste događaje razliqitim koordinatama. Sistem reference iz koga opisujemo događaje se sastoji od koordinatne mreжe i skupa qasovnika koji se nalaze u taqkama preseka mreжe. Kako u datom sistemu ima vixe qasovnika, oni moraju da budu sinhronizovani. Sinhronizacija se moжe izvrxiti pomo u svetlosnih signala. Neka se u koordinatnom poqetku datog sistema nalazi posmatraq sa glavnim satom i neka je u trenutku t = 0s poslao svetlosni puls. Da bi stigao do sata koji je na rastojanju r od koordinatnog poqetka, pulsu je potrebno vreme r/c. Ovakva sinhronizacija podrazumeva qinjenicu da se svetlost kre e jednakom brzinom u svim pravcima i svim sistemima reference. Razliqiti posmatraqi e isti događaj okarakterisati razliqitim skupovima prostorno vremenskih koordinata. Ako vaжe Ajnxtajnovi postulati, dva događaja koja su istovremena u jednom sistemu reference ne mogu biti istovremena u drugom koji se u odnosu

81 3.1. Ajnxtajnovi postulati 81 Slika 3.1. Albert Ajnxtajn na prvi kre e nekom uniformnom brzinom. Ukoliko se dva posmatraqa nalaze u relativnom kretanju, oni se, u opxtem sluqaju, ne e sloжiti oko toga da li su dva posmatrana događaja istovremena ili ne. Mi qak ne moжemo re i da je jedan od njih u pravu, a da drugi grexi. Bitna osobina Specijalne teorije relativnosti je upravo u tome da su obojica u pravu i da ne postoji opravdanje za tvrdnju da je bilo koji od njih ravnopravniji od onog drugog. Dakle, istovremenost nije apsolutni ve relativni pojam i kao takav zavisi od relativnog kretanja posmatraqa. U Njutnovoj mehanici, pri odsustvu gravitacije se tela kre u po inerciji, odn. ravnomerno i pravolinijski. Kada se telo nađe u gravitacionom polju, pod dejstvom sile se naruxava inercijalno kretanje, telo dobija ubrzanje i kre e se neravnomerno i nepravolinijski. U skladu sa Ajnxtajnovom idejom, tela se uvek kre u po inerciji nezavisno od toga da li gravitaciona polja postoje ili ne. Kretanje po inerciji je kretanje po geodezijskoj liniji (po linijama najkra eg rastojanja između datih taqaka), a na kretanje se troxi minimalno sopstveno vreme (vreme mereno po satu koji se nalazi na telu koje se kre e). Ukoliko je telo van gravitacionog polja, prostor je homogen i izotropan, a vreme homogeno, pa e se telo kretati po pravolinijskoj trajektoriji, a brzina kretanja e biti konstantna veliqina.

82 82 3. Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti Ukoliko se telo nalazi u gravitacionom polju, gde je vreme nehomogeno, a prostor nehomogen i neizotropan, geodezijska linija e biti kriva qiji oblik zavisi od strukture gravitacionog polja, odn. od raspodele masa koje ga izazivaju. Dakle, u ovom sluqaju je brzina kretanja tela promenljiva veliqina. Polaze i od ovakvih razmatranja, Ajnxtajn je uspeo da formulixe Opxtu teoriju relativnosti u kojoj se kao graniqni sluqaj slabih polja i malih brzina kretanja tela, javlja upravo Njutnova teorija gravitacije. U osnovi Opxte teorije relativnosti se nalaze dva postulata: 1. Opxti princip relativnosti: Svi zakoni prirode imaju isti oblik za sve posmatraqe u bilo kom sistemu reference, bez obzira na to da li je on ubrzan ili ne. 2. Princip ekvivalentnosti: U bliskoj okolini bilo koje taqke, gravitaciono polje je ekvivalentno ubrzanom sistemu reference koji se nalazi van gravitacionog polja. Prema prvom postulatu su svi sistemi reference ravnopravni xto znaqi da su fiziqki zakoni kovarijantni u odnosu na proizvoljne transformacije koordinata. Prema drugom postulatu, pojave u inercijalnom sistemu koji se nalazi u homogenom gravitacionom polju, i pojave u neinercijalnom sistemu koji se kre e sa konstantnim ubrzanjem, odvijaju se na potpuno isti naqin. Slika 3.2. Prema Ajnxtajnu, gravitacija nije sila ve samo posledica zakrivljenosti prostor-vremena. Takva definicija naqelno uvodi jednu potpunu novinu, a to je da prostor i vreme nisu nezavisni i da se ta nova qetvorodimenzionalna tvorevina sastoji od neqega. Kada u to nexto stavimo masu ona deformixe prostor-vreme daju i mu novi geometrijski izgled. Pod tim promenjenim